DERS 6 Türe Hesabı e Bazı Uyglamalar - I Öceki ersi soa belirttiğimiz üzere, b ersimize türe esabıı kolaylaştıracak kral e yötemler göreceğiz Türei yglaması olarak, ız karamıı, yaklaşık eğer esabıı e özel olarak, ekoomie marjial aalizi ele alacağız Her agi bir oksiyo teki türeii ' lim 0 olğ aımsayalım y eklemi ile taımlamış bir oksiyo içi ' yerie aşağıaki gösterimler e kllaılır: y y',,,, D 6 Sabit Foksiyo Türei Öceki ersi soa bir örekte görmüş olğmz gibi, eragi bir c reel sayısı içi c eklemi ile taımlaa sabit oksiyo türei ' lim 0 c c lim 0 0 olarak ele eilir Çükü, c olp eki eğişim y e eragi bir eğişime ee olmamaktaır Bla iae iğer gösterimle yazılırsa ş ormül ele eilir: c 0
Türe Hesabı e L Hospital Kralı 96 Örek eklemi ile taımlaa sabit oksiyo türei 0 eklemi ile erilir Diğer gösterimle, 0 6 Ket Foksiyo Türei sııra arklı bir reel sayı olmak üzere eklemi ile taımlaa oksiyoa ket oksiyo eir Türe taımıa, ket oksiyo türei - olarak ele eilir oğal sayı olca b ormülü kaıtlamak çok kolayır: 0 0 0 lim ] [ lim lim L L Ket oksiyo türei ile ilgili ormül iğer gösterimle yazılırsa ş biçimi alır: Örek ; Örek Karekök oksiyo türeii öceki erste taım kllaarak esaplamıştık Şimi ket oksiyo olarak Örek eklemi e bir ket oksiyo taımlar: Dolayısıyla Örek,
Ders 6 97 6 Bir Sabit ile bir Foksiyo Çarpımıı Türei k bir sabit e bir oksiyo ols Eğer ' taımlı ise, y k çarpımı olarak taımlaa oksiyo türei y' k ' ile erilir Diğer gösterimle yazılırsa ş ormül ele eilir: k k ' Örek, - - - -6 - Örek 6 Toplam e Farkı Türei e oksiyolarıı türeleri mect ise, y e y eklemleri ile taımlaa oksiyoları a türeleri mecttr e, ir Sözel olarak iae eilirse, iki oksiyo toplamıı türei türelerii toplamıa, arkıı türei e türelerii arkıa eşittir Örek - - - Diğer gösterimle, Örek - - - - - - Diğer gösterimle,
Türe Hesabı e L Hospital Kralı 98 Toplam e arkı türei ile ilgili kralları ikie çok oksiyo toplam e arkı içi e geçerli olğ görmek kolayır Örek 6 9 ' 6 0 Diğer gösterimle, 6 9 6 9 6 0 Braya kaar ele eile soçlara a L a a a0 poliom oksiyo türei içi aşağıaki ormülü elee eeriz: a a a0 a L a a L 6 Türe e Hız Gülük yaşama türe ile açıklaabilecek e öemli karamlaraa biri ız karamıır Bir kooriat eksei üzerie areket ee bir esei aıaki yeri y eklemi ile erilmişse, b esei a aıa a aıa kaar ortalama ızı alılıa yol a a zama e a aıaki alık ızı ır ' a lim 0 a a Örek y - eksei üzerie areket ee bir esei aıaki yeri y - 6 9 olarak eriliyor Aşağıakileri blz a e e kaar ortalama ız, b Alık ız oksiyo, c e te alık ız, ç Hızı sıır olğ zamalar 6 7 Çözüm a b ' c ', ' olr ç ' 0 0 0 eya Hız, 0 e aıa sıır
Ders 6 99 66 Çarpımı Türei e oksiyolarıı türeleri mect ise, y eklemi ile taımlaa oksiyo türei ' ' ' ormülü ile blr Sözel iae ile, iki oksiyo çarpımıı türei, birici çarpaı türei ile ikici çarpaı çarpımıı ikici çarpaı türei ile birici çarpaı çarpımıa toplaması ile ele eilir Çarpımı türei ile ilgili ormülü iğer gösterimlerle yazılışları şöyleir:, ' ' ' y Örek 6 9 6 9 6 9 ' 6 9 6 ' 6 6 6 ' Örek Örek 7 7 7 ' 7 6 0 ' Örek 7 7 7 ' 8 70 8 80 8 0 ' 0 Örek 0 8 0 6
Türe Hesabı e L Hospital Kralı 00 67 Bölümü Türei e oksiyolarıı türeleri mect ise, eklemi ile taımlaa oksiyo türei ' ' ' ormülü ile blr Sözel olarak iae eersek, bir kesiri türei, o kesiri payıı türei ile payasıı çarpımıa payasıı türei ile payıı çarpımı çıkarılıca ele eile arkı pay; kesri payasıı karesii e paya olarak yazılığı kesirir İki oksiyo belirleiği bölümü ya a kesiri türei ile ilgili ormülü eğişik gösterimlere yazılışları şöyleir:, ' ' ' y Örek ' ' Örek Örek Örek Parçalı taımlamış bir oksiyo türeie bir örek erelim < > < > < >,,, ',,,
Ders 6 0 B oksiyo içi ' e ' türeleri esaplamak isteirse, taım kllaılır Öreği, ' lim lim 0 0 ir Bezer şekile taım kllaılarak ' esaplamağa çalışılırsa, ' i mect olmaığı görülür 68 Yaklaşık Değerler a içi türee saip bir oksiyo a, a oktasıaki teğetii eğimii ' a e o oktaaki teğeti eklemii e y ' a a a olğ biliyorz a ya yakı bir a eğeri içi a eğerii üşüelimşekile izleyiiz a, a ye, y a, a a a a, a a a, a a a yai sııra yaklaştıkça i graiği üzerieki a, a oktası teğet üzerieki a, aa oktasıa yaklaşacaktır B eele, i sııra yakı eğerleri içi teğet üzerie apsisi a ola oktaı oriatı ola a a eğeri a içi yaklaşık eğer olarak alıabilir İki eğeri birbirie yaklaşık eğerler olğ göstermek içi işaretii kllaacağız Böylece, a ' a a
Türe Hesabı e L Hospital Kralı 0 Geometrik olarak gözlemleiğimiz b ss, cebirsel olarak şöyle görülebilir Yaklaşık olkları kabl eile iki eğer arasıaki arkı a a a ' a a ' a a a biçimie iae eip ' a lim olğ aımsayalım i sııra 0 a a yakı eğerleri içi oraı ' a ya yakı olacağıa b tür eğerleri a a içi a ' a a ' a eğerleri e sııra yakı olacaktır Dolayısıyla, a ' a a Örek Ykarıaki ikri kllaarak 0 içi bir yaklaşık eğer blalım B içi, a 00, alıırsa, a 0 0, a 00 0, ', '00 00 0 olr e ormüle ele eilir 0 0 00 0 Örek 98 sayısıa bir yaklaşık eğer blalım B içi alıırsa, 98, a 8, ', ' a 98 olr e ormüle ele eilir, a, 00 98 00 8 7 76
Ders 6 0 69 Marjial Değerler Ekoomie ortaya çıka oksiyolar içi yaklaşık eğer e türe karamlarıı ayrı bir öemi arır Gier oksiyo Gi yi ele alalım ürü içi toplam gieri Gi ile gösteriliğii aımsarsak, ürüü ürettikte sora bir sorakii, yai ici ürüü üretmek içi yapıla gieri olğ görürüz Gi Gi Diğer yaa, ykarıaki yaklaşık eğer ormülüü gier oksiyo Gi içi yazalım: B ormüle a, alıırsa, Gi a Gi' a Gi a Gi Gi' Gi ya a Gi Gi Gi' ele eilir Braa görüyorz ki, tae ürüe sora ici ürüü üretmek içi yapıla gier yaklaşık olarak Gi tir B eele, gier oksiyo türei ola Gi ' oksiyoa marjial gier oksiyo eir Gi ', aet ürü üretmek içi marjial gierir e b eğer, ürü üretilikte sora bir soraki yai, ici ürüü üretmek içi yapıla gieri yaklaşık eğerii erir Örek Çelik kapı ürete bir irmaı aylık toplam gieri kapı içi Gi 000 00 0 YTL olarak eriliyor a Marjial gier oksiyo blz b Aya 0 kapı üretilirse toplam gier e olr? c ici kapıı üretilmesi içi yapılması gereke gieri yaklaşık olarak belirleyiiz e gerçek eğeri ile karşılaştırıız Çözüm a Gi' 00 b Gi0 000 00 0-0 0 9 0 YTL c Gi '0 00 0 70 bi YTL Gi 000 00 0 0 090 YTL Gerçek gier, Gi Gi0 0 090 9 0 690 YTL Gerçek gier ola 690 YTL yerie yaklaşık olarak 70 YTL alımakla 00 YTL ata yapılmıştır
Türe Hesabı e L Hospital Kralı 0 Örek Bir irma küçük çitçiler içi çapa makiesi üretiyor aet makie üretmek içi toplam gier Gi 0000 800 0 YTL olarak eriliyor a Marjial gier oksiyo blz b Gi '0 eğerii blz e yormlayıız c ici makiei üretilebilmesi içi yapılacak gerçek gieri blz e marjial gier ile karşılaştırıız Çözüm a Gi' 800 0 b Gi '0 800 0 0 77 B eğer, ici makiei üretilebilmesi içi yapılacak yaklaşık gieri 77 YTL olğ gösterir c ici epo içi yapılacak gerçek gier Gi Gi0 0000 800 0 0000 800 0 0 0 706996 69900 7996 YTL olr 0 ürü içi marjial gier ola 77 YTL ile ici ürü içi gerçek gier ola 7996 YTL arasıa 096 YTL ark arır Marjial gelir oksiyo e marjial kâr oksiyo ykarıakie bezer biçime taımlaır ürü üretilice toplam gelir Ge e toplam kâr K ile gösterilmek üzere, marjial gelir Ge e marjial kâr K olr ici ürüü üretice, saece ici ürüe ele eile gelir olp b yaklaşık eğeri Ge - Ge Ge Ge Ge ormülü ile erilir Bezer biçime, ici ürüe sağlaa kâr K K ir e b yaklaşık eğeri K K - K ormülü ile erilir
Ders 6 0 Örek Özel olarak tasarlamış bir MP- çalar p YTL e satılması rma aya aet talep görüyor e ile p arasıa aşağıaki bağıtı tespit eiliyor: 00 60 p a Fiyatı göstere p yi talep, yai i oksiyo olarak iae eiiz e b oksiyo taım kümesii belirleyiiz b Gelir oksiyo iae eiiz e b oksiyo taım kümesii belirleyiiz c 00 ciaz satıması rma marjial geliri belirleyiiz e b eğeri yormlayıız ç 0 ciaz satılması rma marjial geliri belirleyiiz e b eğeri yormlayıız 00 Çözüm a 000 60 p 60 p 00 p Dolayısıyla, 60 iyat oksiyo e o taım kümesi şöyleir: 00 p, 0 < < 00 60 b Toplam gelir, satıla ürü sayısı ile satış iyatıı çarpımıır Dolayısıyla, gelir oksiyo 00 Ge p, 0 < < 000 60 biçimie ele eilir 00 c Marjial gelir oksiyo Ge' olr Dolayısıyla, 00 ciaz 60 00 00 satılması rma marjial gelir Ge '00 0 YTL olr O ale, 0 60 ici saatta sağlaacak gelir yaklaşık olarak 0 YTL ir ç Daa öce ele eile iaee, 0 saat satılması rma marjial gelir 00 00 Ge '0 00 60 YTL olr O ale, ici saatta sağlaacak gelir yaklaşık olarak 00 YTL ir Örek aet rayol alarm saatıı satışıa ele eile kâr olarak eriliyor K 00 80 00, 0 < < 000 a 0 ici saatı satışıa ele eilecek gerçek kârı blz
Türe Hesabı e L Hospital Kralı 06 b Marjial kârı kllaarak 0 ici saatı satışıa sağlaacak kârı yaklaşık olarak belirleyiiz c 00 ici saatı satışıa ele eilecek gerçek kârı blz ç Marjial kârı kllaarak 00 ici saatı satışıa sağlaacak kârı yaklaşık olarak belirleyiiz Çözüm a 0 ici saatı satışıa ele eilecek gerçek kâr YTL olr K0 K00 00 80 0 000 00 80 00 0000 80 000 00 80 000 80 00 998 b Marjial kâr oksiyo K ' 80 00 e 0 ici saatı satışıa sağlaacak kârı yaklaşık eğeri K '00 80 00 00 0 YTL olr c 00 ici saatı satışıa ele eilecek gerçek kâr K 00 K 000 00 80 00 0000 00 80 000 00000 80 0000 000 80 0000 80 800 00 YTL olr 00 ici saatı satışıa zarar eiliyor, acak b zarar çok küçüktür ç 00 ici saatı satışıa sağlaacak kârı yaklaşık eğeri K '000 80 00 000 0 YTL olr Gier, gelir e kâr oksiyolarıı tümüü içere örekler erelim
Ders 6 07 Örek Bilgisayar masası ürete bir irmaı bir aya taesi p YTL e tae masa satılabileceğii arsayarak üretim yapması rma iyat talep oksiyo 70 0 p bağıtısı ile e tae masaı üretimi içi toplam gier Gi 00 00 YTL olarak eriliyor a Fiyatı göstere p yi i oksiyo olarak iae eiiz e b oksiyo taım kümesii belirleyiiz b tae masa satılması rma ele eilecek gelir Ge i esaplayıız Gelir oksiyo Ge i taım kümesi eir? c tae masa satılması rma ele eilecek kâr K i esaplayıız Kâr oksiyo K ı taım kümesi eir? ç Marjial gier, marjial gelir e marjial kâr oksiyolarıı blz Gi '00, Ge'00, K'00 eğerlerii blz e yormlayıız Çözüm a 70 0p 0p 70 p 00 Dolayısıyla, iyat oksiyo e o taım kümesi şöyleir: p 00, 0 < < 70 p i taım kümesi 0,70 aralığıır Braa problemi oğası gereği e tamsayı eğerler alabilir p acak b tae masa satılması rma ele eilecek gelir YTL olarak Ge 00 00 ir e Ge i taım kümesi e 0,70 aralığıır c tae masa satılması rma ele eilecek kâr K Ge Gi 00 00 ir K i e taım kümesi 0,70 aralığıır ç Marjial gier, marjial gelir e marjial kâr oksiyoları eklemleri ile erilir Gi ' 00, Ge' 00, K' 00 Gi '00 00, 0 ici masa içi yapılacak yaklaşık gieri gösterir Braa, gier oksiyo iaesie, er bir masa içi sabit gier ışıa 00 YTL gier olğ görülmekteir Dolayısıyla, 00 masa üretilikte sora, 0 ici masa içi yapılacak gerçek gier, 00 YTL ir e b, ilk cümlee iae eile yaklaşık eğer ile çakışmaktaır Ge '00 00 800 700, 0 ici masaa ele eile yaklaşık geliri gösterir K '00 00 800 00, 0 ici masaa ele eile yaklaşık kârı erir
Türe Hesabı e L Hospital Kralı 08 Örek 6 Fiyat - Talep Deklemi 800 00p ile, gier oksiyo Gi 00 ile e para birimi birim parabp olarak eriliğie göre a Fiyat p yi talep i oksiyo olarak iae eiiz e p i taım kümesii belirleyiiz b Marjial gier oksiyo blz c Gelir e marjial gelir oksiyolarıı blz, gelir oksiyo graiğii çiziiz ç Kâr e marjial kâr oksiyolarıı belirleyiiz, kâr oksiyo graiğii çiziiz Maksimm gelir, maksimm kâr agi üretim seiyelerie ortaya çıkar? e 0 ici ürüe sağlaacak kârı yaklaşık eğerii blz Çözüm a p 8 00, 0 800 b Gi ' c Gelir oksiyo Ge 8 00 eklemi ile, marjial gelir oksiyo Ge' 8 0 0 eklemi ile erilir Ge 8 00 iaesie gelir oksiyo karesel oksiyo olğ görüyorz Gelir oksiyo graiği içi b a 8 00 00, 600 y k b c a 0 6 00 600 y Ge e köşe oktası 00, 600 olarak ele eilir; -kesişimleri Ge 0 8 00 0 0, 800 e 0,0 e 800,0 olarak ele eilir Böylece gelir oksiyo graiği yaa gösteriliği gibiir 0,0 800 00
Ders 6 09 ç Kâr oksiyo K Ge Gi 00 8 00 00 6 00 00 00 00 iaesi ile taımlamaktaır Marjial kâr oksiyo K' 6 0 0 eklemi ile erilir Kâr oksiyo graiği aşağıaki gibiir y 00,00 00 00 0,0 00 0,-00 800,-900 Kâr e zarar eile üretim seiyelerii b graikte görebiliyor msz? Ykarıaki iki graikte kolayca görülebileceği üzere, maksimm gelir, 00 ürü üretilice, 600 birim para olarak gerçekleşir Maksimm kâr, 00 ürü üretilice, 00 birim para olarak gerçekleşir e 0 ici ürüe sağlaacak kâr, yaklaşık olarak K '00 00 00 6 YTL olacaktır Demek ki, 0 ici ürüe zarar eiliyor, acak b üretim seiyesie toplama eüz zarara geçilmemiş olğa ikkât eiiz Maksimm kâr gerçekleştikte sora üretile er ürü toplam kâra üşüşe ee olmakta, b eele marjial kâr egati olmaktaır
Türe Hesabı e L Hospital Kralı 0 Yaklaşık eğer e marjial eğer yglamasıa bir örek aa eriyorz Örek 7 Yei basıla bir kitap bi aet satıyor t aya 00t S t t 0 a S ' t yi blz b S 0 e S '0 eğerlerii blz e yormlayıız c S '0 kllaarak ici ayı soa yapılacak satışı tami eiiz Çözüm a S ' t 00t t 0 00t 00 t 0 t 0 000 b S 0 B eğer, 0 aya 000 aet kitap satılığıı gösterir 0 000 S' 0 97 eğeri e ici ay boyca yaklaşık 9 7 kitap satılığıı 600 gösterir c 0 aya satıla kitap sayısı 000 aet e ici ay boyca satıla oy sayısı yaklaşık 9 7 aet olğa, ici ayı soa, yaklaşık S 0 S'0 97 7 bi, yai 7 aet kitap satılır Gerçek eğer S 68 bi ir
Ders 6 Problemler 6 Aşağıaki türeleri esaplayıız a içi b y π içi y c y içi 6 ç e 7 g 0 y 6 7 Aşağıaki türeleri esaplayıız a - içi b c içi ç içi olğa göre i graiğie,0 oktasıa teğet ola oğr eklemii yazıız olğa göre i graiğie, oktasıa teğet ola oğr eklemii yazıız y i graiğie e teğet ola oğr eklemii yazıız 8 a b c 6 Aşağıa erile oksiyoları graikleri üzerieki agi oktalara teğet oğrları yatayır? a b c 7 Y-eksei üzerie areket ee bir esei aıa zama saiye ile e zaklık satimetre ile ölçülsü blğ oktaı oriatı 8 7 olarak eriliyor a Alık ız oksiyo blz b e aıa ızı blz c Hızı sıır olğ aları blz 8 a ' a a a yaklaşık eğer ormülüü kllaarak aşağıakiler içi yaklaşık eğerler blz a b 70 c 7998 ç 7
Türe Hesabı e L Hospital Kralı 9 Bir irma otomobiller içi otomatik ites kts üretmekteir Aya aet ites kts üretiliği takire toplam gier Gi 0 000 600 07 YTL olarak eriliyor Ba göre a Marjial gier oksiyo blz b Gi 00 ü blz e blğz soc yormlayıız c 0 ici ites kts üretmek içi gerçek gieri esaplayıız e blğz soc ba öceki şıkta blğz marjial gier ile karşılaştırıız 0 tae rayo satılırsa ele eile gelir Ge 00 00 YTL olarak eriliyor a Marjial gelir oksiyo blz b Ge '600 e Ge '00 eğerlerii blz e b eğerleri yormlayıız tae otogra makiesi satılırsa ele eile kâr K -800 0 00 YTL olarak eriliyor a Marjial kâr oksiyo blz b K '0 e K '0 eğerlerii blz e b eğerleri yormlayıız Dizüstü bilgisayar ürete bir irmaı bir aya taesi p YTL e tae bilgisayar satılabileceğii arsayarak üretim yapması rma iyat talep oksiyo 00 0 p bağıtısı ile e tae bilgisayarı üretimi içi toplam gier Gi 000 000 YTL olarak eriliyor a Fiyatı göstere p yi i oksiyo olarak iae eiiz e b oksiyo taım kümesii belirleyiiz b tae bilgisayar satılması rma ele eilecek gelir Ge i esaplayıız Gelir oksiyo Ge i taım kümesi eir? c tae bilgisayar satılması rma ele eilecek kâr K i esaplayıız Kâr oksiyo K i taım kümesi eir? ç Marjial gier, marjial gelir e marjial kâr oksiyolarıı blz Gi '0, Ge'0, K'0 eğerlerii blz e yormlayıız Bir ürü üzerie çalışa bir irma, aet ürü üretip b ürüleri tamamıı satacağıı arsayarsa iyat talep oksiyo p 000 0 e gier oksiyo Gi 000 00 olacağıı tespit eiyor a Marjial gier oksiyo blz b Gelir e marjial gelir oksiyolarıı blz, gelir oksiyo graiğii çiziiz c Kâr e marjial kâr oksiyolarıı blz, kâr oksiyo graiğii çiziiz ç Maksimm gelir, maksimm kâr agi üretim seiyelerie ortaya çıkar? 0 ici ürüe sağlaacak geliri e kârı yaklaşık eğerlerii blz Bir irmaı bir aya taesi p YTL e tae ürü satılabileceğii arsayarak üretim yapması rma iyat talep oksiyo p 000, 0 < < 00 e tae ürüü üretimi içi toplam gier Gi 0 000 0 YTL olarak eriliyor a Marjial gier oksiyo blz b Gelir e marjial gelir oksiyolarıı blz, gelir oksiyo graiğii çiziiz c Kâr e marjial kâr oksiyolarıı blz, kâr oksiyo graiğii çiziiz ç Maksimm gelir, maksimm kâr agi üretim seiyelerie ortaya çıkar? Gi '90, Ge'90, K'90 eğerlerii blz e yormlayıız