T.C. NİĞDE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLER ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI

NİĞDE ÜNİVERSİTESİ YÜKSEK LİSANS TEZİ A M GEÇGEL, 03 FEN BİLİMLER ENSTİTÜSÜ TC NİĞDE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLER ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI SÜREKLİ GECİKMELİ YÜKSEK MERTEBEDEN NÖTRAL DİFERANSİYEL DENKLEM SİSTEMLERİ İÇİN SALINIM YAPMAYAN ÇÖZÜMLERİN VARLIĞI AHMET MUTLU GEÇGEL EYLÜL 03

TC NĐĞDE ÜNĐVERSĐTESĐ FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ MATEMATĐK ANABĐLĐM DALI SÜREKLĐ GECĐKMELĐ YÜKSEK MERTEBEDEN NÖTRAL DĐFERANSĐYEL DENKLEM SĐSTEMLERĐ ĐÇĐN SALINIM YAPMAYAN ÇÖZÜMLERĐN VARLIĞI AHMET MUTLU GEÇGEL Yüksek Lisns Tezi Dnışmn Doç Dr Tuncy CANDAN Eylül 03

TEZ BĐLDĐRĐMĐ Tez içindeki büün bilgilerin bilimsel ve kdemik kurllr çerçevesinde elde edilerek sunulduğunu, yrıc ez yzım kurllrın uygun olrk hzırlnn bu çlışmd bn i olmyn her ürlü ifde ve bilginin kynğın eksiksiz ıf ypıldığını bildiririm Ahme Mulu GEÇGEL iii

ÖZET SÜREKLĐ GECĐKMELĐ YÜKSEK MERTEBEDEN NÖTRAL DĐFERANSĐYEL DENKLEM SĐSTEMLERĐ ĐÇĐN SALINIM YAPMAYAN ÇÖZÜMLERĐN VARLIĞI GEÇGEL, Ahme Mulu Niğde Üniversiesi Fen Bilimleri Ensiüsü Memik Anbilim Dlı Dnışmn: Doç Dr Tuncy CANDAN Eylül 03, 69 syf Bu çlışmd, sürekli gecikmeli yüksek merebeden nörl difernsiyel denklem sisemleri için slınım ypmyn çözümlerin vrlığı rşırılmışır Schuder sbi nok eoremi ve drlm prensibi kullnılrk bu sisemin çözümlerinin vrlığı için yeerli şrlr verilmişir Anhr Sözcükler: Nörl denklemler, Sbi nok, Yüksek merebe, Slınım ypmyn çözüm iv

SUMMARY EXISTENCE OF NONOSCILLATORY SOLUTIONS FOR SYSTEM OF HIGHER ORDER NEUTRAL DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH DISTRIBUTED DEVIATING ARGUMENTS GEÇGEL, Ahme Mulu Nigde Universiy Grdue School of Nurl nd Applied Sciences Deprmen of Mhemics Supervisor: Associe Proffesor Dr Tuncy CANDAN Sepember 03, 69 pges In his hesis, we consider he eisence of nonoscillory soluions for sysem of higher order neurl differenil equions wih disribued deviing rgumens We use he Schuder's fied poin heorem nd conrcion principle o presen new sufficien condiions for he eisence of nonoscillory soluions of hese sysems Keywor: Neurl equion, Fied poin, Higher order, Nonoscillory soluion v

ÖN SÖZ Bu çlışmnın hzırlnmsınd bilgi ve deneyimi ile bn yrdımcı oln syın dnışmnım Doç Dr Tuncy CANDAN ve bu süreçe mnevi deseğini esirgemeyen ileme ve rkdşlrım eşekkür ederim Ahme Mulu GEÇGEL vi

ĐÇĐNDEKĐLER ÖZET iv SUMMARYv ÖN SÖZ vi ĐÇĐNDEKĐLER vii SĐMGE VE KISALTMALAR viii BÖLÜM I GĐRĐŞ BÖLÜM II Fonksiyonel difernsiyel denklemler Gecikmeli (Dely, Rerded fonksiyonel difernsiyel denklemler Đleri (Advnced fonksiyonel difernsiyel denklemler 3 Krm (Mied fonksiyonel difernsiyel denklemler 4 Nörl fonksiyonel difernsiyel denklemler3 Slınım (Oscillion3 3 Sınırlılık 3 4 Sbi Nok3 5 Merik Uzy 4 6 Drlm Dönüşümü 4 7 Ykınsm4 8 Açık ve Kplı Küme5 9 Cuchy Dizisi5 0 Tm Merik Uzy5 Kompklık 5 Lineer Uzy (Vekör Uzyı 5 3 Konveks Küme6 4 Normlu (Vekör Uzyı6 5 Süreklilik7 6 Bnch Uzyı 7 BÖLÜM III GECĐKMELĐ NÖTRAL DĐFERANSĐYEL DENKLEM SĐSTEMLERĐ ĐÇĐN SALINIM YAPMAYAN ÇÖZÜMLERĐN VARLIĞI 9 vii

BÖLÜM IV YÜKSEK MERTEBEDEN NÖTRAL DĐFERANSĐYEL DENKLEM SĐSTEMLERĐ ĐÇĐN SALINIM YAPMAYAN ÇÖZÜMLERĐN VARLIĞI5 BÖLÜM V SÜREKLĐ GECĐKMELĐ YÜKSEK MERTEBEDEN NÖTRAL DĐFERANSĐYEL DENKLEM SĐSTEMLERĐ ĐÇĐN SALINIM YAPMAYAN ÇÖZÜMLERĐN VARLIĞI38 BÖLÜM VI SONUÇLAR 66 KAYNAKLAR 67 ÖZ GEÇMĐŞ 69 viii

SĐMGE VE KISALTMALAR R + R N : Reel syılr kümesi : Poziif reel syılr kümesi : Doğl syılr kümesi C : Kompleks syılr kümesi C( [, b ],R : [, b ] kplı rlığındn R ye sürekli fonksiyonlrın kümesi T σ ξ : Drlm dönüşümü : Gecikme prmeresi : Gecikme prmeresi : Gecikme prmeresi i

BÖLÜM I GĐRĐŞ Adi difernsiyel denklemler fizik, kimy, mühendislik, biyoloji ve ekonomi gibi lnlrd önemli rol oynyrk geleceğin rşırılmsınd vzgeçilmez rçlr olrk kullnılmkdır Anck, gelecek hkkınd bilgi edinebilmek için geçmişin dinmik ypısı d iyi bir şekilde bilinmeli ve kullnılmlıdır Geleceğin rşırılmsınd, geçmişin göz rdı edilmesi, gerçekliğin de göz rdı edilmesine neden olmkdır Bu bğlmd modele zmn gecikmelerinin dâhil edilmesi oldukç önem rz emekedir Bu ezin ikinci bölümünde ezle ilgili emel kvrmlr verilmiş, üçüncü bölümde ypıln ez çlışmmız emel eşkil edecek oln El-Mewlly vd nin (003 gecikmeli nörl difernsiyel denklem sisemleri için slınım ypmyn çözümlerin vrlığı üzerine ypmış olduklrı çlışm incelenmişir Tezin dördüncü bölümünde Cndn ın (03 yüksek merebeden nörl difernsiyel denklem sisemleri için slınım ypmyn çözümlerin vrlığı üzerine ypmış olduğu çlışm incelenmişir Tezin beşinci bölümünde ise Cndn ın (03 yüksek merebeden nörl difernsiyel denklem sisemleri için slınım ypmyn çözümlerin vrlığı dlı mklesi genişleilerek gecikmeler sürekli gecikmeli hle geirilmiş ve slınım ypmyn çözümlerin vrlığı incelenmişir

Fonksiyonel difernsiyel denklemler BÖLÜM II TEMEL KAVRAMLAR Adi difernsiyel denklemlerde bilinmeyen fonksiyon ve ürevleri sdece nınd hesplnır Gerçek hy bzı olylr sdece şun ki zmn değil geçmiş ve gelecek zmn d bğlı olbilir Bu ür difernsiyel denklemlerde sdece değil de bilinmeyen fonksiyon ve ürevleri vey +, > 0 nınd hesplnır Bu ür difernsiyel denklemlere fonksiyonel difernsiyel denklemler denir Gecikmeli (Dely, Rerded fonksiyonel difernsiyel denklemler '( = f (, (, ( (, ( 0 şeklindeki difernsiyel denklemlerdir Burd en yüksek dereceden ürev nınd, diğerleri ise vey den dh önceki zmnlrd hesplnır Örnek '( = ( 7 + (3 + 3 denklemi gecikmeli fonksiyonel difernsiyel denkleme örnekir Đleri (Advnced fonksiyonel difernsiyel denklemler '( = f (, (, ( + (, ( 0 şeklindeki difernsiyel denklemlerdir Burd en yüksek dereceden ürev nınd, diğerleri vey den dh ileriki zmnlrd hesplnır Örnek 3 '( = ( + 9 + ( + 5 + 3 denklemi ileri fonksiyonel difernsiyel denklemlere bir örnekir 3 Krm (Mied fonksiyonel difernsiyel denklemler Mied fonksiyonel difernsiyel denklemler hem gecikmeli hem de ileri erimlerin bulunduğu denklemlerdir Örnek 3 '( = 3 ( 8 ( + + ve '( = ( ( ( + denklemleri krm fonksiyonel difernsiyel denklemlere birer örnekir

4 Nörl fonksiyonel difernsiyel denklemler Burd en yüksek dereceden ürev sdece ye bğlı değil de hem gecikmeli hem de ileri erimlere bğlı olbilir Örnek 4 '( = '( 4 + ( + 3cos + fonksiyonel difernsiyel denklemlere birer örnekir denklemi nörl ipli denklemi Slınım (Oscillion (, keyfi T > 0 için ( T, rlığınd işre değişiriyors ( şikâr olmyn çözümüne slınımlıdır denir π Örnek 5 '( + ( = 0 ve '( ( π = 0 denklemlerinin çözümleri ( = sin ve ( = cos slınımlıdır 3 Sınırlılık f : X Y ve X için f ( M olck şekilde bir M reel syısı vrs f fonksiyonun üsen sınırlıdır denir M syısın d bu fonksiyonun bir üs sınırı dı verilir X için f ( L olck şekilde bir L reel syısı vrs bu fonksiyon ln sınırlıdır denir, L syısın d bu fonksiyonun bir l sınırı dı verilir X için f ( K olck şekilde bir K poziif reel syısı vrs f fonksiyonun sınırlı fonksiyon denir 4 Sbi Nok Bir M kümesinin yine M kümesi içine bir dönüşümüne M nin kendi içine bir dönüşümü denir f fonksiyonu M nin kendi içine bir dönüsümü olsun M nin f ( = koşulunu sğlyn bir elemnın f nin bir sbi noksı denir Örnek 6 f : R R f ( = + fonksiyonunun ile olmk üzere iki sbi noksı vrdır 3

5 Merik Uzy X boşn frklı bir küme olsun d: X X R fonksiyonu şğıdki şrlrı sğlr ise d ye X üzerinde bir merik vey uzklık fonksiyonu ve (X,d ikilisine de bir merik uzy denir (M y X için d(,y 0 (M y X için d(,y=0 =y (M3,y X için d(,y= d(y, (M4,y,z X için d(,z d(,z+d(y,z Örnek 7 d: R R R + (,y d(,y:= y fonksiyonu R üzerinde bir merikir 6 Drlm Dönüşümü ( M, d bir merik uzy ve f fonksiyonu M nin kendi içine bir dönüşümü olsun M deki her,y için ( (, ( (, d f f y k d y ve 0 k < koşulunu sğlyn bir k syısı vrs f ye bir drlm dönüşümü denir 7 Ykınsm ( X, d bir merik uzy, ( n bu uzyd lınn bir dizi ve 0 n n 0 X olsun Eğer; lim d(, = 0 ise, bşk bir deyişle ε > 0 için n > N( ε olduğund d( n, 0 < ε olck şekilde bir N( ε doğl syısı bulunbiliyors ykınsıyor denir ve y d lim n = 0 n 0 n ( n dizisi 0 noksın olrk ifde edilir 4

8 Açık ve Kplı Küme (X,d bir merik uzy, 0 X ve r > 0 bir reel syı olsun B( 0,r ={ X: d(, 0 < r } kümesine 0 merkezli ve r yrıçplı çık yuvr vey çık op, B( 0, r ={ X: d(, 0 r } kümesine 0 merkezli ve r yrıçplı kplı yuvr vey kplı op denir X bir merik uzy ve A X olsun Her A için B(, r A olck şekilde bir r poziif syısı vrs A y X e çık küme denir X in B lkümesinin X eki ümleyeni yni B = X B, X de çıks B ye X e kplı küme denir 9 Cuchy Dizisi (X,d bir merik uzy ve ( n bu uzyd lınn bir dizi olsun ε > 0 için m, n > N(ε olduğund d( n, m < ε olck şekilde bir N(ε N bulunbiliyors ( n dizisine bir Cuchy dizisi denir Bu nımı dh kıs olrk şöyle yzbiliriz ε > 0 için N(ε N m, n > N(ε için d( n, m < ε ( n dizisi Cuchy dizisidir 0 Tm Merik Uzy (X,d bir merik uzy olsun X e lınn her ykınsıyors (X,d merik uzyın m merik uzy denir ( n Cuchy dizisi bu uzyd bir limie Kompklık X bir merik uzy olsun X eki her bir dizi X e ykınsk oln en z bir l diziye shipse X e kompk denir Lineer Uzy (Vekör Uzyı X boş olmyn bir küme ve F cismi R vey C olsun ve oplm ve sklerle çrpm işlemleri + : X X X (,y +y 5

i : F X X (, şeklinde nımlnsın Aşğıdki şrlr sğlnıyors X e F üzerinde lineer uzy (vey vekör uzyı denir A X, + işlemine göre değişmeli bir grupur Yni, G, y X için + y F dir G, y, z X için +(y+z=(+y+z dir G3 X için + θ = θ + = olck şekilde θ X vrdır G4 X için + ( = ( + = θ olck şekilde X vrdır G5, y X için + y = y + dir B, y X ve α,β Fiçin L α X dir L α( + y = α + αy dir L3 (α + β = α + β dir L4 (αβ = α(β dir L5 F = dir (Burd F, F nin birim elemnıdır 3 Konveks Küme L bir lineer uzy, A L ve, y A keyfi olmk üzere { : α ( α, 0 α } B = z L z = + y A ise A kümesine konveks küme denir 4 Normlu (Vekör Uzyı X, F cismi üzerinde bir vekör uzyı olsun i : X R + dönüşümü, y X ve α F için (N 0 (N = 0 = θ 6

(N3 α = α (N4 + y + y özelliklerini sğlıyors X üzerinde norm dını lır ve bu durumd (X,i ikilisine bir normlu (vekör uzyı dı verilir Teorem Her normlu uzy bir merik uzydır Örnek 8 C( [ ] ([ ], b,r sürekli fonksiyonlrın kümesini llım f,g C, b, R ve α R için ( f + g ( = f( + g( ( αf ( = αf ( olrk nımlnırs; ( C( [ ], b,r sürekli fonksiyonlr kümesi R üzerinde bir lineer uzydır (b f C( [, b ], R için f : = sup{ f ( : [, b] } olrk nımlnırs i ([ ] : C, b, R R fonksiyonu bir normdur 5 Süreklilik X ve Y normlu uzylr T : X Y bir dönüşüm olsun 0 X olmk üzere ε > 0 için bir δ > 0 vrdır öyle ki 0 < δ oln X için T( T( X 0 < ε ise T ye Y 0 noksınd süreklidir denir T, X in her noksınd sürekli ise T ye X e süreklidir denir Teorem X sonlu boyulu bir normlu uzy ve A, X in bir l kümesi olsun A nın kompk olmsı için gerek ve yeer şr A nın kplı ve sınırlı olmsıdır 6 Bnch Uzyı Bir ( X,i normlu uzydki her Cuchy dizisi bu uzyd ykınsk ise, ( X,i normlu uzyın m normlu uzy vey Bnch uzyı dı verilir 7

Örnek 9 n R uzyı n i normun göre bir reel Bnch uzyıdır i= : = Teorem 3 (Schuder Sbi Nok Teoremi X bir Bnch uzyı, A, X in boş olmyn herhngi bir kompk, konveks l kümesi ve f : A A sürekli bir dönüşüm olsun Bu durumd, f en z bir sbi noky shipir 8

BÖLÜM III GECĐKMELĐ NÖTRAL DĐFERANSĐYEL DENKLEM SĐSTEMLERĐ ĐÇĐN SALINIM YAPMAYAN ÇÖZÜMLERĐN VARLIĞI Bu bölümde, ypıln ez çlışmsın emel eşkil edecek oln El-Mewlly vd nin (003 gecikmeli nörl difernsiyel denklem sisemleri için slınım ypmyn çözümlerin vrlığı üzerine ypmış olduklrı çlışmlr incelenmişir Burd p R,, σ (0, ve Q sürekli bir mris olmk üzere n R, (0, gecikmeli nörl difernsiyel denklem sisemi d d ( ( + p( + Q( ( σ = 0 (3 ve B bir nonsinguler n n mris, R n, (0,, σ (0, ve Q, [ 0, rlığınd n n boyuund sürekli bir mris olmk üzere gecikmeli nörl difernsiyel denklem sisemi d d ( ( + B( + Q( ( σ = 0 (3 ele lınmışır { σ} m = m, olsun (3 ve (3 denklemlerinin 0 olmk üzere n y C([ m,, R, çözümü denilince [ rlığınd y + py ( ve y + By ( sürekli difernsiyellenebilir ve için sırsıyl (3 ve (3 denklemlerinin sğlnmsı nlşılmkdır, Teorem 3 Kbul edelim ki p ve, Q( s < n R de herhngi bir norm olmk üzere olsun Bu kirde (3 denkleminin slınım ypmyn çözümü vrdır (El-Mewlly vd, 003 Đsp e, e = olck şekilde bir vekör olsun ( p ( 0, durumu: 9

yeeri kdr büyük seçilebilir öyle ki 0 + σ, σ = m{, σ} ve M <, M > M poziif sbiler öyle ki M M + M M + < ve p < (33 M M olduğund p( + M M Q( s (34 M sğlnır X, [ 0, rlığınd nımlı üm sınırlı ve sürekli vekör fonksiyonlrının kümesi olsun A = { X : M ( M, } olsun 0 T : A X şğıdki gibi nımlnsın ( T ( p e p( + Q( s ( s, ( σ = ( T (, 0 T dönüşümünün sürekli olduğu şikrdır kullnılırs ( T( = ( p e p( + Q( s ( s σ ( p e + p( + Q( s ( s σ ( p + p ( + Q( s ( s σ p + pm + Q( s ( s σ p + pm + M Q( s M (34 en dolyı ( T ( = ( p e { p( Q( s ( s σ } A ve olmk üzere (33 ve (34 0

( p e p( Q( s ( s σ ( p e p( Q( s ( s σ ( p p ( Q( s ( s σ ( p pm Q( s ( s σ ( p pm M Q( s M Böylece TA A olduğu isplnır A, X in sınırlı, kplı ve konveks l kümesidir Drlm prensibini kullnbilmek için T nin A üzerinde drlm dönüşümü olduğu göserilmelidir, A ve olmk üzere ( ( T ( T ( = p[ ( ( ] + Q( s[ ( s σ ( s σ ] Yni, p[ ( ( ] + Q( s[ ( s σ ( s σ ] p ( ( + Q( s ( s σ ( s σ p + Q( s T T q q dir (33 ve (34 en q < olur Bu d T nin bir drlm dönüşümü olduğunu göserir Sonuç olrk > 0 olmk üzere, için T dönüşümünün sbi noksıdır Bu d ( nın ispını mmlr (b p (, durumu: yeeri kdr büyük seçilebilir öyle ki + + σ 0 ve

N <, N N N N > poziif sbiler öyle ki + N + < ve < p N N N olduğund p pn N (35 Q( s (36 N sğlnır X, [ 0, rlığınd nımlı üm sınırlı ve sürekli vekör fonksiyonlrının kümesi olsun A = { X : N ( N, } olsun 0 T : A X dönüşümü şğıdki gibi nımlnsın ( T e ( + + Q( s ( s σ, ( p p p + = ( T (, 0 T dönüşümünün sürekli olduğu şikrdır kullnılırs T ( = e ( + + Q( s ( s σ p p p + ( e + ( + + Q( s ( s σ p p p e + ( + + Q( s ( s σ p p p N + + Q( s ( s σ p p p A ve olmk üzere (35 ve (36 N N + + p p p Q( s N (36 dn dolyı T ( = e ( + + Q( s ( s σ p p p + ( e ( + Q( s ( s σ p p p

e ( + Q( s ( s σ p p p N Q( s ( s σ p p p N N p p p Q( s N Böylece TA A olduğu isplnır A, X in sınırlı, kplı ve konveks l kümesidir Drlm prensibini kullnbilmek için T nin A üzerinde drlm dönüşümü olduğu göserilmelidir, A ve olmk üzere T ( T ( [ ( ( ] Q( s[ ( s ( s ] p p σ σ = + + + + ( ( [ ( ( ] Q( s[ ( s ( s ] p p σ σ + + + + ( + ( + + Q( s ( s σ ( s σ p p + p p Q( s q Yni, T T q dir (35 ve (36 dn q < olur Bu d T nin bir drlm dönüşümü olduğunu göserir Sonuç olrk > 0 olmk üzere, için T dönüşümünün sbi noksıdır Bu d (b nin ispını mmlr (c p = durumu: yeeri kdr büyük seçilebilir öyle ki + + σ 0 ve P sıfır olmyn sbi vekör ve P < P poziif sbiler olmk üzere 3

P + P P < P (37 olduğund + i Q( s P P P + (i i= 0 sğlnır (38 X, [ 0, rlığınd nımlı üm sınırlı ve sürekli vekör fonksiyonlrının kümesi olsun A = { X : P ( P, } olsun 0 T : A X şğıdki gibi nımlnsın ( T + i P + Q( s ( s σ, + (i i= 0 ( = ( T (, 0 T dönüşümünün sürekli olduğu şikrdır kullnılırs ( i= 0 + i T ( = P + Q( s ( s σ i= 0 + (i + i P + Q( s ( s σ i= 0 + (i + i P + Q( s ( s σ i= 0 + (i + i P + Q( s ( s σ i= 0 + (i + i P + P Q( s P (38 den dolyı ( i= 0 + i + (i T ( = P + Q( s ( s σ i= 0 + (i + i P Q( s ( s σ i= 0 + (i + i P Q( s ( s σ + (i A ve olmk üzere (37 ve (38 4

i= 0 + i P Q( s ( s σ i= 0 + (i + i P P Q( s P + (i Böylece TA A olduğu isplnır A, X in sınırlı, kplı ve konveks l kümesidir Drlm prensibini kullnbilmek için T nin A üzerinde drlm dönüşümü olduğu göserilmelidir, A ve olmk üzere + i ( ( ( ( = ( [ ( σ ( σ ] T T Q s s s Yni, i= 0 + (i + i + (i i= 0 [ σ σ ] Q( s ( s ( s + i σ + (i i= 0 Q( s ( s ( s σ T T q 3 i= 0 q 3 + i + (i Q( s dir (37 ve (38 den q 3 < olur Bu d T nin bir drlm dönüşümü olduğunu göserir Sonuç olrk > 0 olmk üzere, için T dönüşümünün sbi noksıdır Bu d (c nin ispını mmlr (d p (,0 durumu: yeeri kdr büyük seçilebilir öyle ki 0 + m{, σ} ve L <, L L > poziif sbiler öyle ki L L + L ( + p < L + L < ve < p + L olduğund + p( + L L (39 Q( s (30 L 5

sğlnır X, [ 0, rlığınd nımlı üm sınırlı ve sürekli vekör fonksiyonlrının kümesi olsun A = { X : L ( L, } olsun 0 T : A X dönüşümü şğıdki gibi nımlnsın ( T ( + p e p( + Q( s ( s, ( σ = ( T (, 0 T dönüşümünün sürekli olduğu şikrdır kullnılırs ( T( = ( + p e p( + Q( s ( s σ ( + p e + p( + Q( s ( s σ ( + p p ( + Q( s ( s σ + p pl + Q( s ( s σ + p pl + L Q( s L (30 dn dolyı ( T ( = ( + p e { p( Q( s ( s σ } ( + p e p( Q( s ( s σ ( + p e p( Q( s ( s σ ( + p + p ( Q( s ( s σ ( + p + pl Q( s ( s σ ( + p + pl L Q( s L A ve olmk üzere (39 ve (30 6

Böylece TA A olduğu isplnır A, X in sınırlı, kplı ve konveks l kümesidir Drlm prensibini kullnbilmek için T nin A üzerinde drlm dönüşümü olduğu göserilmelidir, A ve olmk üzere ( ( T ( T ( = p[ ( ( ] + Q( s[ ( s σ ( s σ ] p[ ( ( ] + Q( s[ ( s σ ( s σ ] p ( ( + Q( s[ ( s σ ( s σ ] p + Q( s q 4 Yni, T T q 4 dir (39 ve (30 dn q 4 < olur Bu d T nin bir drlm dönüşümü olduğunu göserir Sonuç olrk > 0 olmk üzere, için T dönüşümünün sbi noksıdır Bu d (d nin ispını mmlr (e p (, durumu: yeeri kdr büyük seçilebilir öyle ki + + σ 0 ve H ve H poziif sbiler öyle ki H + H < <, H + H > ve < p < H + H H H olduğund ph p H (3 Q( s (3 H sğlnır X, [ 0, rlığınd nımlı üm sınırlı ve sürekli vekör fonksiyonlrının kümesi olsun A = { X : H ( H, } olsun 0 7

T : A X dönüşümü şğıdki gibi nımlnsın ( T + e ( + + Q( s ( s σ, ( p p p + = ( T (, 0 T dönüşümünün sürekli olduğu şikrdır (3 kullnılırs T ( = + e ( + + Q( s ( s σ p p p + ( + e + ( + + Q( s ( s σ p p p + + e ( + Q( s ( s σ p p p H + Q( s ( s σ p p p A ve olmk üzere (3 ve H H + p p p Q( s H (3 den dolyı T ( = + e ( + + Q( s ( s σ p p p + ( + e ( + Q( s ( s σ p p p e + ( + Q( s ( s σ p p p H + + Q( s ( s σ p p p H H + + + p p p Q( s H Böylece TA A olduğu isplnır A, X in sınırlı, kplı ve konveks l kümesidir Drlm prensibini kullnbilmek için T nin A üzerinde drlm dönüşümü olduğu göserilmelidir 8

, A ve olmk üzere T ( T ( [ ( ( ] Q( s[ ( s ( s ] p p σ σ = + + + ( ( [ ( + ( + ] Q( s[ ( s σ ( s σ ] p p ( + ( + Q( s ( s σ ( s σ p p p p Q( s q 5 Yni, T T q 5 dir (3 ve (3 den q 5 < olur Bu d T nin bir drlm dönüşümü olduğunu göserir Sonuç olrk > 0 olmk üzere, için T dönüşümünün sbi noksıdır Bu d (e nin ispını mmlr Örnek 3 olmk üzere d d Q( ( q ( q ( = q3( q4( ve 3 4 q ( + q ( = q ( + q ( = / ( e + e σ, ( R ( + e ( + Q( ( σ = 0 denklem siseminin [ 0, rlığınd + e ( = slınım ypmyn çözümü vrdır + e Teorem 3 Kbul edelim ki, Q( s < n R de herhngi bir norm olmk üzere olsun Bu kirde (3 denkleminin slınım ypmyn çözümü vrdır (El-Mewlly vd, 003 Đsp B = p ve e, e = olck şekilde bir vekör olsun 9

( p ( 0, durumu: yeeri kdr büyük olsun 0 + σ, σ = m{, σ} ve M <, M M > poziif sbiler öyle ki M + M M M < p < ve p M M olduğund p( + M M < + < (33 Q( S (34 M sğlnır X, [ 0, rlığınd nımlı üm sınırlı ve sürekli vekör fonksiyonlrının kümesi olsun A = { X : M ( M, } olsun 0 b bir vekör ve b = p olmk üzere T : A X dönüşümü şğıdki gibi nımlnsın ( T b B( + Q( s ( s, ( σ = ( T (, 0 T dönüşümünün sürekli olduğu şikrdır A ve olmk üzere (33 ve (34 kullnılırs ( T( = b B( + Q( s ( s σ b + B( + Q( s ( s σ p + B ( + Q( s ( s σ p + pm + Q( s ( s σ p + pm + M Q( s M (34 en dolyı 0

( T ( = b { B( Q( s ( s σ } b Β( Q( s ( s σ p B( Q( s ( s σ p B ( Q( s ( s σ p pm Q( s ( s σ p pm M Q( s M Böylece TA A olduğu isplnır A, X in sınırlı, kplı ve konveks l kümesidir Drlm prensibini kullnbilmek için T nin A üzerinde drlm dönüşümü olduğu göserilmelidir, A ve olmk üzere ( ( T ( T ( = B[ ( ( ] + Q( s[ ( s σ ( s σ ] Yni, B[ ( ( ] + Q( s[ ( s σ ( s σ ] B ( ( + Q( s ( s σ ( s σ p + Q( s T T r r dir (33 ve (34 en r < olur Bu d T nin bir drlm dönüşümü olduğunu göserir Sonuç olrk > 0 olmk üzere, için T dönüşümünün sbi noksıdır Bu d ( nın ispını mmlr (b p (, durumu: yeeri kdr büyük seçilebilir öyle ki

+ + σ 0 ve N <, N N N N > poziif sbiler öyle ki + N + ve < p < N N N olduğund p pn N (35 Q( S (36 N sğlnır X, [ 0, rlığınd nımlı üm sınırlı ve sürekli vekör fonksiyonlrının kümesi olsun A = { X : N ( N, } olsun 0 c bir vekör ve nımlnsın c = olmk üzere T : A X dönüşümü şğıdki gibi p ( T c B ( + + B Q( s ( s σ, + ( = ( T (, 0 T dönüşümünün sürekli olduğu şikrdır A ve olmk üzere (35 ve (36 kullnılırs ( T ( = c B ( + + B Q( s ( s σ + c + B + + B + ( Q( s ( s σ + B ( + + B Q( s ( s σ p N + + Q( s ( s σ p p p N N + + p p p Q( s N (36 dn dolyı

( T ( = c B ( + + B Q( s ( s σ + + + c B ( B Q( s( s σ B ( + B Q( s ( s σ p N Q( s ( s σ p p p N N p p p Q( s N Böylece TA A olduğu isplnır A, X in sınırlı, kplı ve konveks l kümesidir Drlm prensibini kullnbilmek için T nin A üzerinde drlm dönüşümü olduğu göserilmelidir, A ve olmk üzere ( ( T ( T ( = B [ ( + ( + ] + B Q( s[ ( s σ ( s σ ] + B + + + B [ ( ( ] Q( s[ ( s σ ( s σ ] B ( + ( + + Q( s ( s σ ( s σ p + p p Q( s r Yni, T T r dir (35 ve (36 dn r < olur Bu d T nin bir drlm dönüşümü olduğunu göserir Sonuç olrk > 0 olmk üzere, için T dönüşümünün sbi noksıdır Bu d (b nin ispını mmlr (c p = için isp Teorem 3 de (c durumun benzer şekilde ypılır 3

Örnek 3 α, β,b R ve > 0, σ 0 olmk üzere d α α ( b( σ + + ( + ( ( σ 0 d β β + = σ 0 ( b( σ + Denklem siseminin ( m{, σ } +, rlığınd + ( = slınım ypmyn çözümü vrdır + 4

BÖLÜM IV YÜKSEK MERTEBEDEN NÖTRAL DĐFERANSĐYEL DENKLEM SĐSTEMLERĐ ĐÇĐN SALINIM YAPMAYAN ÇÖZÜMLERĐN VARLIĞI Bu bölümde, Cndn ın (03 yüksek merebeden nörl difernsiyel denklem sisemleri için slınım ypmyn çözümlerin vrlığı üzerine ypmış olduğu çlışm incelenmişir n bir poziif msyı P C ([,, R, mris, i =,, (0, difernsiyel denklem sisemi d d n n, σ, σ [ 0, 0 n R, i rlığınd sürekli n n Q ;[ n ( P [ Q σ Q σ ] 0, olmk üzere yüksek merebeden nörl ( + ( ( + ( ( ( ( ( = 0 (4 ve n bir poziif msyı, B bir nonsinguler n n mris, Q ;[ i rlığınd sürekli n n mris, i =,, (0, 0,, σ, σ [ 0, üzere yüksek merebeden mris ksyılı nörl difernsiyel denklem sisemi d d n n n ( [ Q σ Q σ ] n R, olmk ( + B( + ( ( ( ( ( = 0 (4 ele lınmışır { σ σ } m = m,, olsun (4 ve (4 denklemlerinin 0 olmk üzere C([ m,, n R, çözümü denilince [ rlığınd + P( ( ve + B ( n def sürekli difernsiyellenebilir ve için sırsıyl (4 ve (4 denklemlerinin sğlnmsı nlşılmkdır, Teorem 4 Kbul edelim ki 0 P( p < ve n s Qi ( s 0 <, i =, (43 olsun Bu kirde (4 denkleminin slınım ypmyn sınırlı çözümü vrdır (Cndn, 03 Đsp 0 + m{, σ, σ } olmk üzere > 0 yeerince büyük seçebiliriz öyle ki 5

b sbi vekör, M ve M poziif sbiler öyle ki pm + M < b < b M + M (44 olduğund ( n! b pm M ( n ( s Q ( s + Q ( s, M sğlnır 0 (45 Λ, [, rlığınd nımlı üm sınırlı ve sürekli vekör fonksiyonlrının kümesi olsun A = { Λ : M ( M, } olsun 0 T : A Λ şğıdki gibi nımlnsın ( T n b P( ( + ( s ( Q ( s ( s σ Q ( s ( s σ, ( ( n! = ( T (, 0 T dönüşümünün sürekli olduğu şikrdır kullnılırs A ve olmk üzere (44 ve (45 T P s Q s s Q s s ( n! n ( ( = b ( ( + ( ( ( ( σ ( ( σ n b + p( + ( s ( Q ( s ( s σ Q ( s ( s σ ( n! n b + p( + ( s ( Q ( s ( s σ Q ( s ( s σ ( n! n b + p ( + ( s ( Q ( s ( s σ + Q ( s ( s σ ( n! M n b + pm + ( s ( Q ( s + Q ( s ( n! M (45 en dolyı T P s Q s s Q s s ( n! n ( ( = b ( ( + ( ( ( ( σ ( ( σ n b p( ( s ( Q ( s ( s σ Q ( s ( s σ ( n! 6

n b p ( ( s ( Q ( s ( s σ Q ( s ( s σ ( n! n b pm ( s ( Q ( s ( s σ + Q ( s ( s σ ( n! M n b pm ( s ( Q ( s + Q ( s ( n! M Böylece TA A olduğu isplnır A, Λ ' in sınırlı, kplı ve konveks l kümesidir Drlm prensibini kullnbilmek için T nin A üzerinde drlm dönüşümü olduğu göserilmelidir, A ve olmk üzere ( ( [ ] ( n! n T ( T ( = P( ( ( + ( s Yni, ( σ σ ( σ σ Q ( s ( s ( s Q ( s ( s ( s n P( ( ( + ( s ( n! ( ( ( σ ( σ ( ( σ ( σ Q s s s + Q s s s n p + ( s ( Q ( s + Q ( s ( n! T T q q dir (44 ve (45 en q < olur Bu d T nin bir drlm dönüşümü olduğunu göserir Sonuç olrk > 0 olmk üzere, için T dönüşümünün sbi noksıdır Bu d ispı mmlr Teorem 4 Kbul edelim ki < p P( p0 < ve (43 sğlnsın Bu kirde (4 denkleminin slınım ypmyn sınırlı çözümü vrdır (Cndn, 03 Đsp + 0 + m{ σ, σ } olmk üzere > 0 yeerince büyük seçebiliriz öyle ki b sbi vekör, M 3 ve M 4 poziif sbiler öyle ki 7

p M + M < b < b pm + p M (46 0 3 4 4 0 3 olduğund ( n! sğlnır 0 + b M p M s Q s + Q s n 4 0 3 ( ( ( (, M 4 (47 Λ, [, rlığınd nımlı üm sınırlı ve sürekli vekör fonksiyonlrının kümesi olsun A = { Λ : M ( M, } olsun 3 4 0 T : A Λ şğıdki gibi nımlnsın b + + ( P( + ( n! T ( = Q ( s ( s σ, ( T (, 0 ( T dönüşümünün sürekli olduğu şikrdır kullnılırs n ( ( s Q ( s ( s σ A ve olmk üzere (46 ve (47 T s Q s s Q s s p ( n! + n b + ( + + ( s ( Q ( s ( s σ Q ( s ( s σ p ( n! + n b + ( + + ( s ( Q ( s ( s σ Q ( s ( s σ p ( n! + n b + ( + + ( s ( Q ( s ( s σ + Q ( s ( s σ p ( n! + M 4 n b + M 4 + ( s ( Q ( s + Q ( s p ( n! + n ( ( b ( + + ( ( ( ( σ ( ( σ M 4 (47 den dolyı T s Q s s Q s s p0 ( n! + n b ( + ( s ( Q ( s ( s σ Q ( s ( s σ p0 ( n! + n ( ( b ( + + ( ( ( ( σ ( ( σ n b ( + ( s ( Q ( s ( s σ Q ( s ( s σ p0 ( n! + 8

n b ( + ( s ( Q ( s ( s σ + Q ( s ( s σ p0 ( n! + M 4 n b M 4 ( s ( Q ( s + Q ( s p0 ( n! + M 3 Böylece TA A olduğu isplnır A, Λ ' in sınırlı, kplı ve konveks l kümesidir Drlm prensibini kullnbilmek için T nin A üzerinde drlm dönüşümü olduğu göserilmelidir, A ve olmk üzere p ( n! ( ( [ ] n T ( T ( ( + ( + + ( s + ( σ σ ( σ σ Q ( s ( s ( s Q ( s ( s ( s + + + p ( n! n ( ( ( s + ( Q ( s ( s σ ( s σ Q ( s ( s σ ( s σ + n + ( s ( Q ( s + Q ( s p ( n! + q Yni, T T q dir (46 ve (47 den q < olur Bu d T nin bir drlm dönüşümü olduğunu göserir Sonuç olrk > 0 olmk üzere, için T dönüşümünün sbi noksıdır Bu d ispı mmlr Teorem 43 Kbul edelim ki p P( < 0 ve (43 sğlnsın Bu kirde (4 denkleminin slınım ypmyn çözümü vrdır (Cndn, 03 Đsp 0 + m{, σ, σ } olmk üzere > 0 yeerince büyük seçilebilir öyle ki b sbi vekör, M 5 ve M 6 poziif sbiler öyle ki p M + M < b < b M + M (48 olduğund 6 5 6 5 9

( n! sğlnır 0 b p M M ( 6 5 n ( s Q ( s + Q ( s, M 6 (49 Λ, [, rlığınd nımlı üm sınırlı ve sürekli vekör fonksiyonlrının kümesi olsun A = { Λ : M ( M, } olsun 5 6 0 T : A Λ şğıdki gibi nımlnsın n b P( ( + ( s ( Q ( s ( s σ Q ( s ( s σ, ( ( ( n! T = ( T (, 0 T dönüşümünün sürekli olduğu şikrdır A ve olmk üzere (48 ve (49 kullnılırs T P s Q s s Q s s ( n! n ( ( = b ( ( + ( ( ( ( σ ( ( σ (49 dn dolyı n b + p( + ( s ( Q ( s ( s σ Q ( s ( s σ ( n! n b + p( + ( s ( Q ( s ( s σ Q ( s ( s σ ( n! n b + p ( + ( s ( Q ( s ( s σ + Q ( s ( s σ ( n! M 6 n b + p M 6 + ( s ( Q ( s + Q ( s ( n! M 6 T P s Q s s Q s s ( n! n ( ( = b ( ( + ( ( ( ( σ ( ( σ n b p( ( s ( Q ( s ( s σ Q ( s ( s σ ( n! n b p( ( s ( Q ( s ( s σ Q ( s ( s σ ( n! n b p( ( s ( Q ( s ( s σ + Q ( s ( s σ ( n! M 6 n b p M 6 ( s ( Q ( s + Q ( s ( n! M 5 30

Böylece TA A olduğu isplnır A, Λ ' in sınırlı, kplı ve konveks l kümesidir Drlm prensibini kullnbilmek için T nin A üzerinde drlm dönüşümü olduğu göserilmelidir, A ve olmk üzere ( ( [ ] ( n! n T ( T ( = P( ( ( + ( s ( σ σ ( σ σ Q ( s ( s ( s Q ( s ( s ( s n P( ( ( + ( s ( n! ( ( ( σ ( σ ( ( σ ( σ Q s s s + Q s s s n p + ( s ( Q ( s + Q ( s ( n! q 3 Yni, T T q 3 dir (48 ve (49 en q 3 < olur Bu d T nin bir drlm dönüşümü olduğunu göserir Sonuç olrk > 0 olmk üzere, için T dönüşümünün sbi noksıdır Bu d ispı mmlr Teorem 44 Kbul edelim ki < p0 P( p < ve (43 sğlnsın Bu kirde (4 denkleminin slınım ypmyn sınırlı çözümü vrdır (Cndn, 03 Đsp + 0 + m{ σ, σ } olmk üzere > 0 yeerince büyük seçilebilir öyle ki b sbi vekör, M 7 ve M 8 poziif sbiler öyle ki p M + M < b < b p M + p M olduğund (40 0 7 8 8 0 7 ( n! p M ( 8 0 7 n ( s Q ( s + Q ( s, + M 8 sğlnır 0 b M (4 Λ, [, rlığınd nımlı üm sınırlı ve sürekli vekör fonksiyonlrının kümesi olsun A = { Λ : M ( M, } olsun 7 8 0 3

T : A Λ şğıdki gibi nımlnsın b + + ( P( + ( n! T ( = Q ( s ( s σ }, ( T (, 0 ( n ( ( s Q ( s ( s σ + T dönüşümünün sürekli olduğu şikrdır A ve olmk üzere (40 ve (4 kullnılırs T s Q s s Q s s p ( n! + n b + ( + + ( s ( Q ( s ( s σ Q ( s ( s σ p ( n! + n ( ( b ( + + ( ( ( ( σ ( ( σ n b + ( + + ( s ( Q ( s ( s σ Q ( s ( s σ p ( n! + n b + ( + + ( s ( Q ( s ( s σ + Q ( s ( s σ p ( n! + M 8 n b + M 8 + ( s ( Q ( s + Q ( s p ( n! + M 8 (4 den dolyı T s Q s s Q s s p0 ( n! + n b ( + ( s ( Q ( s ( s σ Q ( s ( s σ p0 ( n! + n b ( + ( s ( Q ( s ( s σ Q ( s ( s σ p0 ( n! + n ( ( b ( + + ( ( ( ( σ ( ( σ n b ( + ( s ( Q ( s ( s σ + Q ( s ( s σ p0 ( n! + M 8 n b M 8 ( s ( Q ( s + Q ( s p0 ( n! + M 7 Böylece TA A olduğu isplnır A, Λ ' in sınırlı, kplı ve konveks l kümesidir Drlm prensibini kullnbilmek için T nin A üzerinde drlm dönüşümü olduğu göserilmelidir 3

, A ve olmk üzere p ( n! ( ( [ ] n T ( T ( ( + ( + + ( s + ( σ σ ( σ σ Q ( s ( s ( s Q ( s ( s ( s + + + p ( n! n ( ( ( s + ( Q ( s ( s σ ( s σ Q ( s ( s σ ( s σ + n + ( s ( Q ( s + Q ( s p ( n! + q 4 Yni, T T q 4 dir (40 ve (4 den q 4 < olur Bu d T nin bir drlm dönüşümü olduğunu göserir Sonuç olrk > 0 olmk üzere, için T dönüşümünün sbi noksıdır Bu d ispı mmlr Teorem 45 Kbul edelim ki 0 < B < ve (43 sğlnsın Bu kirde (4 denkleminin slınım ypmyn sınırlı çözümü vrdır (Cndn, 0 Đsp 0 + m{, σ, σ } olmk üzere > 0 yeerince büyük seçilebilir öyle ki b sbi vekör, M ve M poziif sbiler öyle ki B N + N < b < b N + N (4 olduğund ( n! b B N N ( n ( s Q ( s + Q ( s, N sğlnır 0 (43 Λ, [, rlığınd nımlı üm sınırlı ve sürekli vekör fonksiyonlrının kümesi olsun A = { Λ : N ( N, } olsun 0 T : A Λ şğıdki gibi nımlnsın 33

( T n b B( + ( s ( Q ( s ( s σ Q ( s ( s σ, ( ( n! = ( T (, 0 T dönüşümünün sürekli olduğu şikrdır A ve olmk üzere (4 ve (43 kullnılırs T s Q s s Q s s ( n! n ( ( = b B( + ( ( ( ( σ ( ( σ n b + B( + ( s ( Q ( s ( s σ Q ( s ( s σ ( n! n b + B( + ( s ( Q ( s ( s σ Q ( s ( s σ ( n! n b + B ( + ( s ( Q ( s ( s σ + Q ( s ( s σ ( n! N n b + B N + ( s ( Q ( s + Q ( s ( n! N (43 en dolyı T s Q s s Q s s ( n! n ( ( = b B( + ( ( ( ( σ ( ( σ n b B( ( s ( Q ( s ( s σ Q ( s ( s σ ( n! n b B( ( s ( Q ( s ( s σ Q ( s ( s σ ( n! n b B ( ( s ( Q ( s ( s σ + Q ( s ( s σ ( n! N n b B N ( s ( Q ( s + Q ( s ( n! N Böylece TA A olduğu isplnır A, Λ ' in sınırlı, kplı ve konveks l kümesidir Drlm prensibini kullnbilmek için T nin A üzerinde drlm dönüşümü olduğu göserilmelidir, A ve olmk üzere 34

( ( B[ ] ( n! n T ( T ( = ( ( + ( s ( σ σ ( σ σ Q ( s ( s ( s Q ( s ( s ( s B + ( n! n ( ( ( s ( Q ( s ( s σ ( s σ Q ( s ( s σ ( s σ + n Β + ( s ( Q ( s + Q ( s ( n! q 5 Yni, T T q 5 dir (4 ve (43 en q 5 < olur Bu d T nin bir drlm dönüşümü olduğunu göserir Sonuç olrk > 0 olmk üzere, için T dönüşümünün sbi noksıdır Bu d ispı mmlr Teorem 46 Kbul edelim ki 0 < B < ve (43 sğlnsın Bu kirde (4 denkleminin slınım ypmyn çözümü vrdır (Cndn, 03 Đsp + 0 + m{ σ, σ } olmk üzere > 0 yeerince büyük seçilebilir öyle ki b sbi vekör, N 3 ve N 4 poziif sbiler öyle ki B N + N < B b < B b N + N (44 4 3 4 3 olduğund ( n! N n 3 4 ( s ( Q ( s + Q ( s, + N4 B B b N B (45 sğlnır Λ, [, rlığınd nımlı üm sınırlı ve sürekli vekör fonksiyonlrının kümesi olsun 0 A = { Λ : N ( N, } olsun 3 4 0 T : A Λ şğıdki gibi nımlnsın 35

( s n B b + + ( Q s s σ + ( ( ( ( ( n! T ( = Q ( s ( s σ }, ( T (, 0 T dönüşümünün sürekli olduğu şikrdır A ve olmk üzere (44 ve (45 kullnılırs T ( n! s Q s s Q s s + n ( ( = B b ( + + ( ( ( ( σ ( ( σ ( B n ( ( ( ( ( ( (! s B b + B + + n Q s s σ Q s s σ + N B n 4 ( ( ( 4 ( 4 (! s B b + B + n Q s N + Q s N + N 4 n B b + B N4 + ( s ( Q ( s + Q ( s ( n! + N 4 (45 en dolyı T s Q s s Q s s ( n! + n ( ( = B b ( + + ( ( ( ( σ ( ( σ B n B b B ( + ( s ( Q ( s ( s σ Q ( s ( s σ ( n! + N B n 4 ( ( ( 4 ( 4 (! s B b B n Q s N + Q s N + N 4 n B b B N4 + ( s ( Q ( s + Q ( s ( n! + N 3 Böylece TA A olduğu isplnır A, Λ ' in sınırlı, kplı ve konveks l kümesidir Drlm prensibini kullnbilmek için T nin A üzerinde drlm dönüşümü olduğu göserilmelidir, A ve olmk üzere T ( T ( ( n ( ( ( n! s = + + + + ( ( B [ ] ( σ σ ( σ σ Q ( s ( s ( s Q ( s ( s ( s 36

( ( n ( ( n! s B + + + + ( Q ( s ( s σ ( s σ Q ( s ( s σ ( s σ + n B + ( s ( Q ( s + Q ( s ( n! + q 6 Yni, T T q 6 dir (44 ve (45 en q 6 < olur Bu d T nin bir drlm dönüşümü olduğunu göserir Sonuç olrk > 0 olmk üzere, için T dönüşümünün sbi noksıdır Bu d ispı mmlr e Örnek 4 n=5, P( = 4 Q ( = σ σ 3 3 ( e + e + e olmk üzere, Q ( = σ σ 7 ( e + e + e ( P (5 Q σ Q σ ( + ( ( + ( ( ( ( = 0 denklemin siseminin (43 şrını sğldığı şikrdır ve slınım ypmyn α + e ( =, R α + e çözümü vrdır Örnek 4 n=3 e e B = e e, olmk üzere 5 Q ( = σ σ, ( e + e + e 4 Q ( = 7 ( e σ σ + e + e ( B (3 Q σ Q σ ( + ( + ( ( ( ( = 0 denklemin siseminin (43 şrını sğldığı şikrdır ve slınım ypmyn α + e ( =, R α + e çözümü vrdır 37

BÖLÜM V SÜREKLĐ GECĐKMELĐ YÜKSEK MERTEBEDEN NÖTRAL DĐFERANSĐYEL DENKLEM SĐSTEMLERĐ ĐÇĐN SALINIM YAPMAYAN ÇÖZÜMLERĐN VARLIĞI Bu bölümde, dördüncü bölümde verilen Cndn (03 rfındn çlışıln (4 ve (4 denklem sisemlerinden dh genel oln denklem çlışılmışır n bir poziif msyı P C ([,, R, 0, Q i ; [ 0, [ i, bi ], n R, (0, i =,, Q i ; [ 0, [ i, bi ], i =,, Q i ; [ 0, [ i, bi ], i =,, rlığınd sürekli mris, 0 i < bi, i =,, olmk üzere sürekli gecikmeli yüksek merebeden nörl difernsiyel denklem sisemi d d n b b n ( ( + P( ( + ( Q (, ξ ( ξ dξ Q (, ξ ( ξ dξ = 0 n (5 ve n bir poziif msyı, B n n nonsinguler sbi mris,, Q i ; n R, (0, [ 0, [ i, bi ], i =,, rlığınd sürekli mris, 0 i < bi, i =,, olmk üzere sürekli gecikmeli yüksek merebeden nörl difernsiyel denklem sisemi d d n b b n ( ( + ( + ( Q (, ξ ( ξ dξ Q (, ξ ( ξ dξ = 0 n B (5 ve ɶ, n bir poziif msyı p C ([,, R 0 n R, i Q ; [ 0, [ i, bi ], i =,, rlığınd sürekli mris, 0 i < bi, i =,,3, olmk üzere sürekli gecikmeli yüksek merebeden nörl difernsiyel denklem sisemi d d ( n b 3 b b n n 3 ( + pɶ (, ξ ( ξ d ξ + ( Q (, ξ ( ξ dξ Q (, ξ ( ξ dξ = 0 (53 ve n bir poziif msyı, B n n nonsinguler sbi mris, Q ; n R, i [ 0, [ i, bi ], i =,, rlığınd sürekli mris, 0 i < bi, i =,,3, olmk üzere sürekli gecikmeli yüksek merebeden nörl difernsiyel denklem sisemi d d ( n b 3 b b n n 3 ( + B ( ξ d ξ + ( Q (, ξ ( ξ dξ Q (, ξ ( ξ dξ = 0 (54 ele lınmış ve dördüncü bölümde incelenen durumlr sırsıyl (4 ve (4 denklemleri için genelleşirilmişir 38

m { b b } = m, olsun (5 ve (5 denklemlerinin 0 olmk üzere n C([ m,, R, çözümü denilince [ rlığınd + P( (, + B ( n def sürekli difernsiyellenebilir ve için sırsıyl (5 ve (5 denklemleri sğlnmsı nlşılmkdır Benzer şekilde m m { b, b, b } n üzere C([ m,, = 3 olsun (53 ve (54 denklemlerinin 0 R, çözümü denilince [,, olmk rlığınd b + p ɶ (, ξ ( ξ dξ ve b + B ( ξ dξ n def sürekli difernsiyellenebilir ve için sırsıyl (53 ve (54 denklemleri sğlnmsı nlşılmkdır Teorem 5 Kbul edelim ki 0 P( p < ve, üzere b n i s Qi ( s, ξ dξ i n R de herhngi bir norm olmk <, i =, (55 olsun Bu durumd (5 denkleminin slınım ypmyn sınırlı çözümü vrdır Đsp { } + m, b, b yeeri kdr büyük seçilebilir öyle ki 0 α sbi vekör, M ve M poziif sbiler olmk üzere pm + M < α < α M + M (56 olduğund ( n! b b ( ξ ξ ξ ξ α pm M s Q s d + Q s d M n ( (, (, sğlnır (57 X, [ 0, rlığınd nımlı üm sınırlı ve sürekli vekör fonksiyonlrının kümesi olsun A = { X : M ( M, } olsun 0 T : A X dönüşümü şğıdki gibi nımlnsın 39

n α P( ( + ( s ( n! b b T ( = Q ( s, ξ ( s ξ dξ Q ( s, ξ ( s ξ dξ, ( T (, 0 ( T dönüşümünün sürekli olduğu şikrdır kullnılırs T ( = α P( ( + ( s ( n! ( A ve olmk üzere (56 ve (57 n b b Q ( s, ξ ( s ξ dξ Q n α + p( + ( s ( n! b b Q ( s, ξ ( s ξ dξ Q n α + p ( + ( s ( n! b b Q ( s, ξ ( s ξ dξ Q n α + p ( + ( s ( n! b b Q ( s, ξ ( s ξ dξ + Q ( s, ξ ( s ξ dξ n α + pm + ( s ( n! b b Q ( s, ξ ( s ξ dξ + Q M b b n α + pm + ( s Q ( s, ξ dξ + Q ( s, ξ dξ ( n! M (56 dn dolyı T ( = α P( ( + ( s ( n! ( n b b Q ( s, ξ ( s ξ dξ Q n α p( ( s ( n! b b Q ( s, ξ ( s ξ dξ Q 40

α p ( ( s ( n! n b b Q ( s, ξ ( s ξ dξ + Q ( s, ξ ( s ξ dξ n α pm ( s ( n! b b Q ( s, ξ ( s ξ dξ + Q M b b n α pm ( s Q ( s, ξ dξ + Q ( s, ξ dξ ( n! M Böylece TA A olduğu isplnır A, X in sınırlı, kplı ve konveks l kümesidir Drlm prensibini kullnbilmek için T nin A üzerinde drlm dönüşümü olduğu göserilmelidir, A ve olmk üzere (57 den T ( T ( = P( [ ( ( ] + ( s ( n! ( ( Yni, T T r b Q ( s, ξ [ ( s ξ ( s ξ ] dξ b Q ( s, ξ [ ( s ξ ( s ξ ] dξ p ( ( + ( s ( n! b Q ( s, ξ ( s ξ ( s ξ dξ n b + Q ( s, ξ ( s ξ ( s ξ dξ n b b ( ξ ξ ξ ξ n p + ( s Q ( s, d + Q ( s, d ( n! α pm M p + M dir (56 ve (57 den r < dir Bu d T nin bir drlm dönüşümü olduğunu göserir Sonuç olrk > 0 olmk üzere, için T dönüşümünün sbi noksıdır Bu d ispı mmlr 4

Teorem 5 Kbul edelim ki < p P( p0 < ve (55 sğlnsın Bu durumd (5 denkleminin slınım ypmyn sınırlı çözümü vrdır Đsp { } + + m b, b yeeri kdr büyük şeçilebilir öyle ki 0 α sbi vekör, M 3 ve M 4 poziif sbiler olmk üzere p M + M < α < α pm + p M (58 0 3 4 4 0 3 olduğund ( n! b b ( n ( (, (, + s Q s ξ dξ + Q s ξ dξ sğlnır α M p M 4 0 3 M 4 (59 X, [ 0, rlığınd nımlı üm sınırlı ve sürekli vekör fonksiyonlrının kümesi olsun A = { X : M ( M, } olsun 3 4 0 T : A X dönüşümü şğıdki gibi nımlnsın α ( + + ( s P( + ( n! + b b ( ξ ξ ξ ξ ξ ξ } ( T (, T ( = Q ( s, ( s d Q ( s, ( s d, n 0 T dönüşümünün sürekli olduğu şikrdır kullnılırs ( A T ( = α ( + + ( s P( + ( n! + ve olmk üzere (58 ve (59 n b b Q ( s, ξ ( s ξ dξ Q α + ( + + ( s p ( n! + n b b Q ( s, ξ ( s ξ dξ Q } } 4

α + ( + + ( s p ( n! + n b b Q ( s, ξ ( s ξ dξ Q α + ( + + ( s p ( n! + n b b Q ( s, ξ ( s ξ dξ + Q ( s, ξ ( s ξ dξ α + ( + + ( s p ( n! + n b b Q ( s, ξ ( s ξ dξ + Q M b b 4 n M 4 ( s Q ( s, ξ dξ Q ( s, ξ dξ α + + + p ( n! + M 4 (59 dn dolyı T ( = α ( + + ( s P( + ( n! + ( n b b Q ( s, ξ ( s ξ dξ Q α ( + ( s P( + ( n! + n b b Q ( s, ξ ( s ξ dξ Q α ( + ( s P( + ( n! + n b b Q ( s, ξ ( s ξ dξ Q α ( + ( s P( + ( n! + n b b Q ( s, ξ ( s ξ dξ + Q ( s, ξ ( s ξ dξ } } } } } } } 43

α ( + ( s P( + ( n! + n b b Q ( s, ξ ( s ξ dξ + Q M b b 4 n M 4 ( s Q ( s, ξ dξ Q ( s, ξ dξ α + p 0 ( n! + M 3 Böylece TA A olduğu isplnır A, X in sınırlı, kplı ve konveks l kümesidir Drlm prensibini kullnbilmek için T nin A üzerinde drlm dönüşümü olduğu göserilmelidir, A ve olmk üzere (59 dn T ( T ( = [ ( + ( + ] + ( s P( + P( + ( n! + ( ( Yni, T T r b Q ( s, ξ [ ( s ξ ( s ξ ] dξ b Q ( s, ξ [ ( s ξ ( s ξ ] dξ ( + ( + + ( s p p ( n! + b Q ( s, ξ ( s ξ ( s ξ dξ b + Q ( s, µ ( s ξ ( s ξ dξ + ( s p ( n! + n b b ( Q ( s, ξ dξ (, Q s ξ dξ + α M 4 p0m 3 + p M 4 dir (58 ve (59 dn r < dir Bu d T nin bir drlm dönüşümü olduğunu göserir Sonuç olrk > 0 olmk üzere, için T dönüşümünün sbi noksıdır Bu d ispı mmlr } n n 44

Teorem 53 Kbul edelim ki < p P( < 0 ve (55 sğlnsın Bu durumd (5 denkleminin slınım ypmyn sınırlı çözümü vrdır Đsp { } + m, b, b yeeri kdr büyük seçilebilir öyle ki 0 α sbi vekör, M 5 ve M 6 poziif sbiler olmk üzere pm + M < α < α M + M (50 olduğund ( n! olsun 6 5 6 5 b b ( ξ ξ ξ ξ α + pm M s Q s d + Q s d M n ( (, (, 6 6 5 (5 X, [ 0, rlığınd nımlı üm sınırlı ve sürekli vekör fonksiyonlrının kümesi olsun A = { X : M ( M, } olsun 5 6 0 T : A X dönüşümü şğıdki gibi nımlnsın n α P( ( + ( s ( n! b b T ( = Q ( s, ξ ( s ξ dξ Q ( s, ξ ( s ξ dξ, ( T (, 0 ( T dönüşümünün sürekli olduğu şikrdır (5 kullnılırs T ( = α P( ( + ( s ( n! ( A ve olmk üzere (50 ve n b b Q ( s, ξ ( s ξ dξ Q n α + p( + ( s ( n! b b Q ( s, ξ ( s ξ dξ Q n α p ( + ( s ( n! b b Q ( s, ξ ( s ξ dξ Q 45

α p ( + ( s ( n! n b b Q ( s, ξ ( s ξ dξ + Q ( s, ξ ( s ξ dξ n α pm 6 + ( s ( n! b b Q ( s, ξ ( s ξ dξ + Q M b b 6 n α pm 6 + ( s Q ( s, ξ dξ + Q ( s, ξ dξ ( n! M 6 (50 dn dolyı ( ( n! n T ( = α P( ( + ( s b b Q ( s, ξ ( s ξ dξ Q n α p( ( s ( n! b b Q ( s, ξ ( s ξ dξ Q ( s, ξ ( s ξ dξ n α + p ( ( s ( n! b b Q ( s, ξ ( s ξ dξ Q n α + p ( ( s ( n! b b Q ( s, ξ ( s ξ dξ + Q ( s, ξ ( s ξ dξ n α + pm 6 ( s ( n! b d Q ( s, ξ ( s ξ dξ + Q c M b b 6 n α + pm 6 ( s Q ( s, ξ dξ + Q ( s, ξ dξ ( n! M 5 Böylece TA A olduğu isplnır A, X in sınırlı, kplı ve konveks l kümesidir Drlm prensibini kullnbilmek için T nin A üzerinde drlm dönüşümü olduğu göserilmelidir, A ve olmk üzere (5 den 46

T ( T ( = P( [ ( ( ] + ( s ( n! ( ( Yni, T T r 3 b Q ( s, ξ [ ( s ξ ( s ξ ] dξ b Q ( s, ξ [ ( s ξ ( s ξ ] dξ p ( ( + ( s ( n! b Q ( s, ξ ( s ξ ( s ξ dξ b + Q ( s, ξ ( s ξ ( s ξ dξ n p + ( s Q ( s, d + Q ( s, d ( n! α + pm 6 M 5 p + M 6 n n b b ( ξ ξ ξ ξ dir (50 ve (5 den r 3 < dir Bu d T nin bir drlm dönüşümü olduğunu göserir Sonuç olrk > 0 olmk üzere, için T dönüşümünün sbi noksıdır Bu d ispı mmlr Teorem 54 Kbul edelim ki < p0 P( p < ve (55 sğlnsın Bu durumd (5 denkleminin slınım ypmyn sınırlı çözümü vrdır Đsp { } + + m b, b yeeri kdr büyük seçilebilir öyle ki 0 α sbi vekör, M 7 ve M 8 poziif sbiler olmk üzere p M + M < α < α pm p M (5 0 7 8 8 0 7 olduğund ( n! b b ( n ( (, (, + s Q s ξ dξ + Q s ξ dξ sğlnır α M + p M 8 0 7 M 8 (53 X, [ 0, rlığınd nımlı üm sınırlı ve sürekli vekör fonksiyonlrının kümesi olsun 47

A = { X : M ( M, } olsun 7 8 0 T : A X dönüşümü şğıdki gibi nımlnsın α ( + + ( s P( + ( n! + b b ( ξ ξ ξ ξ ξ ξ } ( T (, T ( = Q ( s, ( s d Q ( s, ( s d, n 0 T dönüşümünün sürekli olduğu şikrdır (53 kullnılırs T ( = α ( + + ( s P( + ( n! + ( A ve olmk üzere (5 ve n b b Q ( s, ξ ( s ξ dξ Q α + ( + + ( s p ( n! + n b b Q ( s, ξ ( s ξ dξ Q α + ( + + ( s p ( n! + n b b Q ( s, ξ ( s ξ dξ Q α + ( + + ( s p ( n! + n b b Q ( s, ξ ( s ξ dξ + Q ( s, ξ ( s ξ dξ α + ( + + ( s p ( n! + n b b Q ( s, ξ ( s ξ dξ + Q M b b 8 n M 8 ( s Q ( s, ξ dξ Q ( s, ξ dξ α + + + p ( n! + M 8 (53 en dolyı } } } } 48

T ( = α ( + + ( s P( + ( n! + ( n b b Q ( s, ξ ( s ξ dξ Q α ( + ( s p0 ( n! + n b b Q ( s, ξ ( s ξ dξ Q α ( + ( s p0 ( n! + n b b Q ( s, ξ ( s ξ dξ Q α ( + ( s p0 ( n! + n b b Q ( s, ξ ( s ξ dξ + Q ( s, ξ ( s ξ dξ α ( + ( s p0 ( n! + n b b Q ( s, ξ ( s ξ dξ + Q M b b 8 n M 8 ( s Q ( s, ξ dξ Q ( s, ξ dξ α + p 0 ( n! + M 7 Böylece TA A olduğu isplnır A, X in sınırlı, kplı ve konveks l kümesidir Drlm prensibini kullnbilmek için T nin A üzerinde drlm dönüşümü olduğu göserilmelidir, A ve olmk üzere (53 en T ( T ( = [ ( + ( + ] + ( s P( + P( + ( n! + ( ( b Q ( s, ξ [ ( s ξ ( s ξ ] dξ b Q ( s, ξ [ ( s ξ ( s ξ ] dξ ( + ( + + ( s p p ( n! + b Q ( s, ξ ( s ξ ( s ξ dξ b + Q ( s, ξ ( s ξ ( s ξ dξ } } } } } n n 49

+ ( s p ( n! + b b ( Q ( s, ξ dξ (, Q s ξ dξ + α M 8 + p0m 7 + p M 8 Yni, T T r 4 dir (5 ve (53 en r 4 < dir Bu d T nin bir drlm dönüşümü olduğunu göserir Sonuç olrk > 0 olmk üzere, için T dönüşümünün sbi noksıdır Bu d ispı mmlr n 7 Örnek 5 n = 3, P( =, =, b =, =, ( 5 30 3 3 ( α ln( ξ ( ln 5 6 + 6ln + (ln ln( ξ = + 3 (, ξ 4 5 3 3 Q ( 6 + 6ln( + (ln( ln( ξ Q (, ξ = 4 ξ α ξ + 0 3 olmk üzere d d 3 3 ( ( ln( ( ( ln( n ( b b n ( + P( ( + ( Q (, ξ ( ξ dξ Q (, ξ ( ξ dξ = 0 n denklem siseminin ( m{, ξ } +, α + ln ( =, α R α + ln çözümü vrdır b = e 5 rlığınd slınım ypmyn Teorem 55 Kbul edelim ki 0 < B < ve (55 sğlnsın Bu durumd (5 denkleminin slınım ypmyn sınırlı çözümü vrdır Đsp { } + m, b, b yeeri kdr büyük seçilebilir öyle ki 0 α sbi vekör, N ve N poziif sbiler olmk üzere B N + N < α < α N + N (54 olduğund 50

( n! b b ( ξ ξ ξ ξ α B N N s Q s d + Q s d N n ( (, (, sğlnır (55 X, [ 0, rlığınd nımlı üm sınırlı ve sürekli vekör fonksiyonlrının kümesi olsun A = { X : N ( N, } olsun 0 T : A X dönüşümü şğıdki gibi nımlnsın n α B( + ( s ( n! b b ( T ( = Q ( s, ξ ( s ξ dξ Q ( s, ξ ( s ξ dξ, ( T (, 0 T dönüşümünün sürekli olduğu şikrdır A ve olmk üzere (54 ve (55 kullnılırs T ( = α B( + ( s ( n! ( n b b Q ( s, ξ ( s ξ dξ Q n α + B( + ( s ( n! b b Q ( s, ξ ( s ξ dξ Q n α + B ( + ( s ( n! b b Q ( s, ξ ( s ξ dξ Q n α + B ( + ( s ( n! b b Q ( s, ξ ( s ξ dξ + Q ( s, ξ ( s ξ dξ n α + B N + ( s ( n! b b Q ( s, ξ ( s ξ dξ + Q N b b n α + B N + ( s Q ( s, ξ dξ + Q ( s, ξ dξ ( n! N (54 en dolyı 5

T ( = α B( + ( s ( n! ( n b b Q ( s, ξ ( s ξ dξ Q n α B( ( s ( n! b b Q ( s, ξ ( s ξ dξ Q n α B ( ( s ( n! b b Q ( s, ξ ( s ξ dξ Q n α B N ( s ( n! b b Q ( s, ξ ( s ξ dξ + Q ( s, ξ ( s ξ dξ n α B N ( s ( n! b b Q ( s, ξ ( s ξ dξ + Q N b b n α B N ( s Q ( s, ξ dξ + Q ( s, ξ dξ ( n! N Böylece TA A olduğu isplnır A, X in sınırlı, kplı ve konveks l kümesidir Drlm prensibini kullnbilmek için T nin A üzerinde drlm dönüşümü olduğu göserilmelidir, A ve olmk üzere (55 en T ( T ( = B[ ( ( ] + ( s ( n! ( ( b Q ( s, ξ [ ( s ξ ( s ξ ] dξ b Q ( s, ξ [ ( s ξ ( s ξ ] dξ n B ( ( + ( s ( n! b b Q ( s, ξ ( s ξ ( s ξ dξ Q ( s, ξ ( s ξ ( s ξ dξ n 5

Yni, T T r 5 b b ( ξ ξ ξ ξ n B + ( s Q ( s, d + Q ( s, d ( n! + α B N N B N dir (54 ve (55 en r 5 < dir Bu d T nin bir drlm dönüşümü olduğunu göserir Sonuç olrk > 0 olmk üzere, için T dönüşümünün sbi noksıdır Bu d ispı mmlr Teorem 56 Kbul edelim ki 0 < B < ve (55 sğlnsın Bu durumd (5 denkleminin slınım ypmyn sınırlı çözümü vrdır Đsp { } + + m b, b yeeri kdr büyük seçilebilir öyle ki 0 α sbi vekör, N 3 ve N 4 poziif sbiler olmk üzere B N + N < B α < B α N + N (56 4 3 4 3 olduğund ( n! b b ( N n 3 4 ( s Q ( s, ξ dξ + Q ( s, ξ dξ + N4 B B α N B (57 sğlnır X, [ 0, rlığınd nımlı üm sınırlı ve sürekli vekör fonksiyonlrının kümesi olsun A = { X : N ( N, } olsun 3 4 0 T : A X dönüşümü şğıdki gibi nımlnsın B α ( + + ( s ( n! + n b b ( ξ ξ ξ ξ ξ ξ } ( T (, T ( = Q ( s, ( s d Q ( s, ( s d, 53

T dönüşümünün sürekli olduğu şikrdır A ve olmk üzere (56 ve (57 kullnılrk T ( = B α ( + + ( s ( n! + ( n b b Q ( s, ξ ( s ξ dξ Q B α + ( + + ( s ( n! + n b b Q ( s, ξ ( s ξ dξ Q B α + ( + + ( s ( n! + n b b Q ( s, ξ ( s ξ dξ Q B α + ( + + ( s ( n! + n b b Q ( s, ξ ( s ξ dξ + Q ( s, ξ ( s ξ dξ B α + ( + + ( s ( n! + n b b Q ( s, ξ ( s ξ dξ + Q N B + + ( n! 4 n α N4 ( s + b b Q ( s, ξ dξ + Q ( s, ξ dξ N 4 (57 den dolyı ( T ( = B α ( + + ( s ( n! + n b b Q ( s, ξ ( s ξ dξ Q B α ( + ( s ( n! + n b b Q ( s, ξ ( s ξ dξ Q } } } } } } } } 54

B α ( + ( s ( n! + n b b Q ( s, ξ ( s ξ dξ Q B α ( + ( s ( n! + n b b Q ( s, ξ ( s ξ dξ + Q ( s, ξ ( s ξ dξ B α ( + ( s ( n! + n b b Q ( s, ξ ( s ξ dξ + Q N b b 4 n B N4 ( s Q ( s, ξ dξ Q ( s, ξ dξ α + ( n! + N 3 Böylece TA A olduğu isplnır A, X in sınırlı, kplı ve konveks l kümesidir Drlm prensibini kullnbilmek için T nin A üzerinde drlm dönüşümü olduğu göserilmelidir, A ve olmk üzere (57 den T T B B s ( n! ( ( n ( ( = [ ( + ( + ] + ( + b Q ( s, ξ [ ( s ξ ( s ξ ] dξ b Q ( s, ξ [ ( s ξ ( s ξ ] dξ B ( + ( + + ( s p ( n! + n b Q ( s, ξ ( s ξ ( s ξ dξ b + Q ( s, ξ ( s ξ ( s ξ dξ n B + ( s ( n! + b b ( Q ( s, ξ dξ (, Q s ξ dξ + B + B α N 3 4 N 4 N B B } } } 55

Yni, T T r 6 dir (56 ve (57 en r 6 < dir Bu d T nin bir drlm dönüşümü olduğunu göserir Sonuç olrk > 0 olmk üzere, için T dönüşümünün sbi noksıdır Bu d ispı mmlr 3 9 Örnek 5 n = 7, =, b = 4, =, b = e e 5 5 B = e 4e 5 5 3 5 5 (, ξ αe e ξ 3 3 Q ξ =, + 4 6 9 45 (, ξ 8 αe e ξ 65 3 Q ξ = + olmk üzere d d n b b n ( ( + B( + ( Q (, ξ ( ξ dξ Q (, ξ ( ξ dξ = 0 n denklem siseminin [ 0, rlığınd slınım ypmyn α + e ( =, α R α + e çözümü vrdır Teorem 57 Kbul edelim ki b3 0 pɶ (, ξ dξ p < ve (55 sğlnsın Bu durumd 3 (53 denkleminin slınım ypmyn sınırlı çözümü vrdır Đsp { } + m b, b, b yeeri kdr büyük seçilebilir öyle ki 0 3 α sbi vekör, K ve K poziif sbiler olmk üzere pk + K < α < α K + K (58 olduğund ( n! b b ( ξ ξ ξ ξ α pk K s Q s d + Q s d K n ( (, (, sğlnır (59 X, [ 0, rlığınd nımlı üm sınırlı ve sürekli vekör fonksiyonlrının kümesi olsun 56

A = { X : K ( K, } olsun 0 T : A X dönüşümü şğıdki gibi nımlnsın b3 n α pɶ (, ξ ( ξ d ξ + ( s 3 ( n! b b T ( = Q ( s, ξ ( s ξ dξ Q ( s, ξ ( s ξ dξ, ( T (, ( T dönüşümünün sürekli olduğu şikrdır (59 kullnılırs T α p s ( n! ( b3 n ( = ɶ(, ξ ( ξ d ξ + ( 3 b b Q ( s, ξ ( s ξ dξ Q b3 α + pɶ (, ξ ( ξ d ξ + ( s 3 ( n! 0 A ve olmk üzere (58 ve n b b Q ( s, ξ ( s ξ dξ Q b3 α + pɶ (, ξ ( ξ d ξ + ( s 3 ( n! n b b Q ( s, ξ ( s ξ dξ Q b3 α + K pɶ (, ξ d ξ + ( s 3 ( n! n b b Q ( s, ξ ( s ξ dξ + Q ( s, ξ ( s ξ dξ α + pk + ( s ( n! n b b Q ( s, ξ ( s ξ dξ + Q α + pk + ( s ( n! n b b Q ( s, ξ ( s ξ dξ + Q K b b n α + pk + ( s Q ( s, ξ dξ + Q ( s, ξ dξ ( n! K 57

(58 den dolyı ( T α p ( n! s b3 n ( = ɶ(, ξ ( ξ d ξ + ( 3 b b Q ( s, ξ ( s ξ dξ Q b3 n α pɶ (, ξ ( ξ d ξ ( s 3 ( n! b b Q ( s, ξ ( s ξ dξ Q b3 n α pɶ (, ξ ( ξ d ξ ( s 3 ( n! b b Q ( s, ξ ( s ξ dξ + Q ( s, ξ ( s ξ dξ b3 α K pɶ (, ξ d ξ ( s 3 ( n! n b b Q ( s, ξ ( s ξ dξ + Q α pk ( s ( n! n b b Q ( s, ξ ( s ξ dξ + Q K b b n α pk ( s Q ( s, ξ dξ + Q ( s, ξ dξ ( n! K Böylece TA A olduğu isplnır A, X in sınırlı, kplı ve konveks l kümesidir Drlm prensibini kullnbilmek için T nin A üzerinde drlm dönüşümü olduğu göserilmelidir, A ve olmk üzere (59 den T T p s ( n! ( ( b3 n ( ( = ɶ (, ξ [ ( ξ ( ξ ]d ξ + ( 3 b Q ( s, ξ [ ( s ξ ( s ξ ] dξ b Q ( s, ξ [ ( s ξ ( s ξ ] dξ b3 pɶ (, ξ [ ( ξ ( ξ ]d ξ ( s + 3 ( n! b Q ( s, ξ [ ( s ξ ( s ξ ] dξ b Q ( s, ξ [ ( s ξ ( s ξ ] dξ n 58

Yni, T T r 7 b3 pɶ (, ξ [ ( ξ ( ξ ] d ξ ( s + 3 ( n! b Q ( s, ξ [ ( s ξ ( s ξ ] dξ b Q s ξ + (, [ p + ( s ( n! ( s ξ ( s ξ ] dξ n b b Q ( s, ξ dξ Q ( s, ξ dξ + b b n p ( s Q ( s, ξ dξ Q ( s, ξ dξ + + ( n! α pm M p + M dir (58 ve (59 dn r 7 < dir Bu d T nin bir drlm dönüşümü olduğunu göserir Sonuç olrk > 0 olmk üzere, için T dönüşümünün sbi noksıdır Bu d ispı mmlr n Teorem 58 Kbul edelim ki b 3 < p p(, ξ dξ < 0 3 ɶ ve (55 sğlnsın Bu durumd (53 denkleminin slınım ypmyn sınırlı çözümü vrdır Đsp { } + m b, b, b yeeri kdr büyük seçilebilir öyle ki 0 3 α sbi vekör, K 3 ve K 4 poziif sbiler olmk üzere pk + K < α < α K + K (50 4 3 4 3 olduğund ( n! b b ( ξ ξ ξ ξ α + pk K s Q s d + Q s d K n ( (, (, sğlnır 4 4 3 (5 X, [ 0, rlığınd nımlı üm sınırlı ve sürekli vekör fonksiyonlrının kümesi olsun A = { X : K ( K, } olsun 3 4 0 59

T : A X dönüşümü şğıdki gibi nımlnsın b3 n α pɶ (, ξ ( ξ d ξ + ( s 3 ( n! b b ( T ( = Q ( s, ξ ( s ξ dξ Q ( s, ξ ( s ξ dξ, ( T (, 0 T dönüşümünün sürekli olduğu şikrdır A ve olmk üzere (50 ve (5 kullnılırs T α p s ( n! ( b3 n ( = ɶ(, ξ ( ξ d ξ + ( 3 b b Q ( s, ξ ( s ξ dξ Q b3 α + pɶ (, ξ ( ξ d ξ + ( s 3 ( n! n b b Q ( s, ξ ( s ξ dξ Q b α + pɶ (, ξ ( ξ d ξ + ( s ( n! n b b Q ( s, ξ ( s ξ dξ Q b3 α + K4 pɶ (, ξ d ξ + ( s 3 ( n! n b b Q ( s, ξ ( s ξ dξ + Q ( s, ξ ( s ξ dξ α pk4 + ( s ( n! n b b Q ( s, ξ ( s ξ dξ + Q K b b 4 n α pk4 + ( s Q ( s, ξ dξ + Q ( s, ξ dξ ( n! K 4 (50 den dolyı b3 n ( T ( = α pɶ (, ξ ( ξ d ξ + ( s 3 ( n! b b Q ( s, ξ ( s ξ dξ Q 60

b3 α pɶ (, ξ ( ξ d ξ ( s 3 ( n! n b b Q ( s, ξ ( s ξ dξ Q ( s, ξ ( s ξ dξ b3 n α pɶ (, ξ ( ξ d ξ ( s 3 ( n! b b Q ( s, ξ ( s ξ dξ Q b3 n α K4 pɶ (, ξ d ξ ( s 3 ( n! b b Q ( s, ξ ( s ξ dξ + Q ( s, ξ ( s ξ dξ n α + pk4 ( s ( n! b b Q ( s, ξ ( s ξ dξ + Q K b b 4 n α + pk4 ( s Q ( s, ξ dξ + Q ( s, ξ dξ ( n! K 3 Böylece TA A olduğu isplnır A, X in sınırlı, kplı ve konveks l kümesidir Drlm prensibini kullnbilmek için T nin A üzerinde drlm dönüşümü olduğu göserilmelidir, A ve olmk üzere (5 den T T p s ( n! ( ( b3 n ( ( = ɶ (, ξ [ ( ξ ( ξ ]d ξ + ( 3 b Q ( s, ξ [ ( s ξ ( s ξ ] dξ b Q ( s, ξ [ ( s ξ ( s ξ ] dξ b3 pɶ (, ξ [ ( ξ ( ξ ]d ξ ( s + 3 ( n! b Q ( s, ξ [ ( s ξ ( s ξ ] dξ b Q ( s, ξ [ ( s ξ ( s ξ ] dξ b3 pɶ (, ξ [ ( ξ ( ξ ] d ξ ( s + 3 ( n! b Q ( s, ξ [ ( s ξ ( s ξ ] dξ b Q s µ s + (, [ ( ξ ( s ξ ] dξ n n 6

Yni, T T r 8 b3 pɶ (, ξ dξ + ( s 3 ( n! b b p + ( s ( n! n Q ( s, ξ dξ + Q ( s, ξ dξ n b b Q ( s, ξ dξ + Q ( s, ξ dξ + α + pk K 4 3 p K4 dir (50 ve (5 den r 8 < dir Bu d T nin bir drlm dönüşümü olduğunu göserir Sonuç olrk > 0 olmk üzere, için T dönüşümünün sbi noksıdır Bu d ispı mmlr 7 Örnek 53 n =, pɶ (, ξ =, = 4, b = 0, =, b = 5, 3 = 0, b 3 = ( ξ (ln + 3 =, + ln 6 6 8 4 (, ξ 4 3 3 α α ξ ln( ξ 3 6 Q ( ln( ( ξ ( α αξ ln( ξ ( 0 = + 9 (, ξ 8 9 Q olmk üzere d d ( ɶ 6 n b 3 b b n n 3 ( + p(, ξ ( ξ d ξ + ( Q (, ξ ( ξ dξ Q (, ξ ( ξ dξ = 0 m{ ξ, } +, rlığınd slınım ypmyn denklem siseminin ( ln α + ( =, α R ln α + çözümü vrdır Teorem 59 Kbul edelim ki 0 < B ( b < ve (55 sğlnsın Bu durumd (54 3 3 denkleminin slınım ypmyn sınırlı çözümü vrdır 6