. Aşağıdaki diferansiyel denklemleri sınıflandırınız. a) d y d d + y = 0 b) 5 d dt + 4d + 9 = cos 3t dt Diferansiyel denklemler uygulama soruları 0.0.3 c) u + u [ ) ] d) y + = c d. y + 3 = 0 denkleminin, 3) aralığında d = y e) y 3) = d 3y) denklemi için kapalı bir çözüm olğunu gösteriniz. 3. φ) = denkleminin 0, ) aralığında d y = y denkleminin açık bir çözümü olğunu gösteriniz. d 4. d y = sin, yπ) = 5 başlangıç değer probleminin tek bir çözümü olğunu gösteriniz. d = y + sin. f, y) = y + sin fonksiyonu }{{} 0 = π, y 0 = 5 civarında süreklidir, ayrıca f y, y) = f,y) fonksiyonu da 0 = π, y 0 = 5 civarında süreklidir. Dolayısıyla Varlık ve Teklik teoremi gereğince verilen başlangıç değer probleminin tek bir çözümü vardır. 5. Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin ayrılabilir olup olmadığını belirleyiniz. a) sin + y) = 0 d b) d = 4y 3y 6. Aşağıdaki denklemleri çözünüz a) d dt = 3t c) ds dt = t lnst ) + 8t d) d = ye+y + b) d = y + e) y + 3y ) d = 0 f) s + ds dt = s + st c) d dt = t e t+ a) = ce t3 b) y 3 = + ) 3/ 6 + ) / + c c) 4) e = t )e t + c 7. d = denklemini çözünüz. y ) / y ) / d = 0. Her terimin ayrı ayrı integrali alınırsa, y + ) / = c 0 veya y + ) / = c bulunur. 8. d = 3 y + ), y0) = başlangıç değer problemini çözünüz. y + = 3 d olarak yazılabildiği için denklem ayrılabilirdir. Her iki tarafın integralini alırsak y) = tan 3 + c ) çözümünü elde ederiz. Başlangıç koşulunu uygulayıp y) = tan 3 + π ) çözümünü elde ederiz. 4 9. 3 + 8)y + 4)d 4y + 5 + 6) = 0 denklemini çözünüz. ) 3+8 y +5+6d y +4 = 0 veya 3+8 y +)+3) d y +4 = 0 veya + + +3 y y +4 = 0. Her terimin ayrı ayrı integrali alınırsa, ln + ) + ln + 3) lny + 4) = ln c veya + ) + 3) = cy + 4) bulunur. 0. 3 y )d y = 0 denklemini çözünüz.
Diferansiyel denklemler uygulama soruları 0.0.3 d = 3 y y = 3 y y. y = v alınırsa, v + d = 3 v v veya d = 3 v v) veya ln 3 + lnv ) = ln c elde edilir. Burada v değeri yerine yazılırsa, y ) = c bulunur.. d = y + y diferansiyel denklemini çözünüz. Verilen diferansiyel denklem, d = y y ) + şeklinde yazılabilir. Burada y = v alınırsa, v + d = v + v olup v = sin ln + c) olarak bulunur. v = y yerine yazılırsa, y = sin ln + c) çözümü elde edilir.. d = y + y denklemini çözünüz. d = y ) + y ), v + d = v + v, d = v + v olur. Buradan da çözüm v+ v = c0 değeri konulursa, y = c c olur. 3. y + 3)d + ) = 0 denklemini çözünüz. olarak elde edilir. v yerine = ve N = olğu için verilen diferansiyel denklem bir tam diferansiyel denklemdir. u, y) = y + 3)d = y + 3 + hy) u = + h y) = h y) = hy) = y + c. Buna göre çözüm u, y) = y + 3 y + c olur. 4. + sin y)d + cos y y) = 0 diferansiyel denklemini çözünüz. M y, y) = cos y ve N, y) = cos y olğuna göre, tam diferansiyellik koşulu sağlanır. u, y) = + sin y)d = + sin y + fy) çözümü bulunur. u y, y) = cos y + f y) = cos y y olğundan fy) = y + c olarak bulunur. Sonuç olarak u, y) = + sin y y + c = 0 çözümü elde edilir. 5. y + e y )d + y + e y ) = 0 diferansiyel denklemini çözünüz. M, y) = y + e y ve N, y) = y + e y olğuna göre, = N = + ey tam diferansiyellik koşulu sağlanır. F = Md + φy) = y + e y + φy) çözümü bulunur. = N = + e y + φ y) olğundan φ y) = y ve buradan da φy) = y çözüm yerine yazılırsa olur. F, y) = y + e y + y + c = 0 çözümü elde edilir. Bu 6. 3y )d + 3 + y) = 0 diferansiyel denkleminin genel çözümünü bulunuz. Page
Diferansiyel denklemler uygulama soruları 0.0.3 = 3 ve N = 3 olğundan, verilen diferansiyel denklem bir tam diferansiyel denklemdir. = 3y )d + φy) = 3 y 3 + φy). Bu F fonksiyonunun y ye göre kısmi türevini alalım. = 3 y 3 + φy) ) = 3 + dφ. Diğer taraftan, = N, y) olğundan 3 + y = 3 + dφ φy) = y + c 0 olur, buradan bulunur. φ yi yerine yazarsak elde edilir. 3 y 3 + y = c 7. y)d = 0 denklemini çözünüz. Burada M = y ve N = dir ve dolayısıyla denklem bir tam diferansiyel değildir. Bu rumda eğer varsa, diferansiyel denklemin integral çarpanının bulunması gerekir. Önce λ integral çarpanının yalnız in bir fonksiyonu olğunu kabul edelim, bu rumda, N N ) = bulunur. Bu rumda λ integral çarpanının yalnızca in bir fonksiyonu olarak düşünebiliriz. λ) = e d = e bulunur. Denklemin bütün terimlerini integrasyon çarpanı λ) = e ile çarparsak, elde edilir. Bu denklem bir tam diferansiyel denklemdir. e y)d e = 0 8. d = y 3 + 3 y denklemini çözünüz. N N ) = 3 + 3 y elde edilir. Bu ifade yalnızca in bir fonksiyonu değildir. Bu rumda diğer ifadeyi kontrol edelim. N M ) = y elde edilir. Yani ifade yalnız y nin bir fonksiyonur. Buna göre, bulunur. Verilen denklemin terimleri y ile çarpılırsa, λy) = y y 3 d + y 3 + 3 y) = 0 denklemi elde edilir. Bu denklem bir tam diferansiyel denklemdir ve genel çözümü y 3 + y 3 y4 4 = c. 9. y = denkleminin genel çözümünü bulunuz. d Page 3
Diferansiyel denklemler uygulama soruları 0.0.3 Bu denkleme ait integral çarpanı λ) = e d = e dır. Buradan dye ) = e olur. Bu ifadenin her iki tarafının integralini alırsak çözümü elde edilir. 0. y + y = sin denklemini çözünüz. İntegral çarpanı λ) = olarak elde edilir. Buradan y = + ce dy) = sin.. olur, her iki tarafın integralini alırsak çözümü elde edilir. d y = sin + y = e, y0) = başlangıç değer problemini çözünüz. cos + c ) Burada integral çarpanı λ) = e olarak bulunur. d ye = e + ce olur. Başlangıç değer koşulunu da uygularsak, y) = ) e + e d + y = y3 denklemini çözünüz. Burada u = y değişken dönüşümü yapılarak 3 y d + y = e e d integralleri hesaplanırsa y) = d 4 u = bulunur. Bu denklemin integral çarpanı λ) = 4 dir. Buradan olur. u = y yerine yazılarak çözümü elde edilir. 3. d + y = 6 y 4 denklemini çözünüz u = u = 5 5 + c 4 ) 5 5 + c 4 4 y d + y 3 = 5 Burada y 3 = u dönüşümü yapılarak denklem lineer denkleme dönüştürülür. d 3 u = 65 Elde edilen bu lineer denklem için integral çarpanı λ) = 3 olğundan olur, u = y 3 değerini yerine yazarsak çözümmü elde edilir. y = u = + c 3 3 + c ) /3 Page 4
4. d y = 4 denklemini çözünüz Denklemin her iki tarafını ile bölerek Diferansiyel denklemler uygulama soruları 0.0.3 4 d y 3 = şeklinde bir Bernoulli denklemi ende ederiz. Bu denklemde v = 3 dönüşümü yaparak + 6 y v = 3 lineer diferansiyel denklemini elde ederiz. Bu denklem için integral çarpanı λy) = y 6 olup genel çözüm olur. v = 3 değerini yerine yazarsak çözümü elde edilir. v = 3 7 y + cy 6 3 = 3 7 y + cy 6 5. d + 6y = 3y4/3 diferansiyel denkleminin genel çözümünü bulunuz. Denklemimizi d + 6 y = 3y4/3 şeklinde yazarsak P ) = 6, Q) = 3 ve n = 4/3 olğundan bir Bernoulli denklemidir. n = 4/3 olğu için n = /3 olacak ve v = y /3 dönüşümü yapacağız. Lineer denklemi elde ettik. İntegral çarpanımız d 3 6 )v = 3 3 d v = µ) = e P )d = e d = dır.denklemimizin her iki tarafınıda integral çarpanımızla çarparsak Her iki tarafın integralini alalım d d [ v)] = ) v) = d + C = + C v) = + C v = y /3 idi, olarak çözümümüzü buluruz. y /3 = + C 6. + y + d + y + tan ) = 0 diferansiyel denkleminin çözümünü bulunuz. Denklemimizde dir. Tam lık kriterine bakıldığında M, y) = + y + ve N, y) = y + tan = + ve N = + Page 5
Diferansiyel denklemler uygulama soruları 0.0.3 kısmi türevler eşit olğu için denklemimiz tamdır.denklemimiz TAM olğu için, çözümümüz olan F, y) = C fonsiyonu için ve = M, y) = + y + = N, y) = y + tan olğunu söyleyebiliriz. Bu denklemlere bakıldığında ikincisini integrallemek daha kolaydır. = y + tan ) + Φ) Şimdi Φ) yi bulmalıyız.bulğumuz F, y) = y + y.tan + Φ) F, y) = y + y.tan + Φ) fonksiyonun ye göre kısmi türevi M, y) olmali ki çözümümüz olsun. ye göre kısmi türev alalım = y. + + d d Φ) = + y + }{{ } M,y) y. + + d d Φ) = y. + + + d d Φ) = + d d Φ) = + Φ) yi bulmak için integral alırsak Φ) = ln + ) + A olarak bulunur. A keyfi sabit). Sonuç olarak F, y) = y + y.tan + ln + ) + A = C F, y) = y + y.tan + ln + ) = K K = C A, keyfi sabit) 7. + 3 3 sin y)d + 4 cos y) = 0 diferansiyel denkleminin çözümünü bulunuz. Denklemimiz ayrılabilir ve lineer değildir. Denklemimizde dir. Tam lık kriterine bakıldığında M, y) = + 3 3 sin y ve N, y) = 4 cos y = 33 cos y ve N = 43 cos y eşit olmadığı için TAM DEĞİLDİR.Tam yapmak için integral çarpanımızı bulalım; eğer N N ) ifadesi sadece e bağlıysa integral sabitimiz e bağlı çıkacak. Görüldüğü gibi sadece e bağlı. İntegral çarpanımız: N N ) = 4 cos y 33 cos y 4 3 cos y) = α) = e N N ) α) = e = Page 6
Diferansiyel denklemler uygulama soruları 0.0.3 Denklemimizi integral çarpanımız α) = ile çarpalım, Bu denklemin tam olup olmadığını kontrol edersek TAM dır. Yukarıdaki TAM diferansiyel denklemin çözümü dir. + 33 sin y)d + 4 cos y) = 0 + 3 sin y)d + 3 cos y) = 0 = 3 cos y = N + 3 sin y)d + 3 cos y) = 0 F, y) = + 3 sin y = C 8. y + )y = + y diferansiyel denkleminin çözümünü bulunuz. Homojen mi diye bir bakalım. Mλ, λy) = λ) + λy) = λ + y ) Öyleyse diferansiyel denklem homojendir. Denklemimizi y z = y dönüşümü yapalım. y Denklemimiz, e dönüşür. Nλ, λy) = λ)λy) + λ) = λ y + ) in cinsinden yazmaya çalışalım d = + y y + = + y ) y + ) = + y ) ) y + ) = z d = dz d + z dz d + z = + z z + dz d = z z + değişkenlerine ayrılabilir diferansiyel denklemi elde etmiş oluruz. Bu diferansiyel denklemin çözümü dür. 9. y 4 y + ) = 0 denklemini çözünüz. y 3ln y/ = ln + C v = 4 y dönüşümü uygulanırsa, v = 4 v + ) ayrılabilir denklemi elde edilir. v + v 3 = d v v + 3 = ce 4 4 y 4 y + 3 = ce 4 30. y = e 9y denklemini çözünüz. v = 9y dönüşümü uygulanırsa, v = 9e v ayrılabilir denklemi elde edilir. 9e v = d v = ln9 ce ) 9y = ln9 ce ) Page 7
Diferansiyel denklemler uygulama soruları 0.0.3 3. 3. d = )y + )y denkleminin bir çözümü y = ise denklemin genel çözümünü bulunuz. y çözümü verildiğine göre y = y + dönüşümü, verilen diferansiyel denklemi lineer diferansiyel denkleme u dönüştürecektir. y = + u d = u d u = ) + + ) + d u) ) u d = u + Bu elde edilen lineer diferansiyel denklemin çözümü için integral çarpanı µ) = e dir. Dolayısıyla lineer denklemin çözümü u = + ce olarak elde edilir. u = ters dönüşümünü uygularsak, verilen diferansiyel denklemin genel y çözümünü y = + olarak buluruz. + ce d + y + ) = denkleminin bir çözümü y = ise denklemin genel çözümünü bulunuz. y çözümü verildiğine göre y = y + dönüşümü, verilen diferansiyel denklemi lineer diferansiyel denkleme u dönüştürecektir. y = + u d = u d u d + + u + ) = d u = Bu elde edilen lineer diferansiyel denklemin çözümü için integral çarpanı λ) = e dir. Dolayısıyla lineer denklemin çözümü u = + ce olarak elde edilir. u = ters dönüşümünü uygularsak, verilen diferansiyel denklemin genel y çözümünü y = + ce olarak buluruz. 33. y 3)d + + y ) = 0 denklemini uygun dönüşümü yaparak çözünüz. Denklemi a + b y + c )d + a + b y + c ) = 0 şeklinde düşünerek a ve b a b a b olğuna göre = X + h ve y = Y + k dönüşümlerini uygulayabiliriz. Buna göre a b olup buradan 0 dy dx = Y X {}}{ h + k + 3 X + Y +h + k }{{} 0 oranlarını kontrol edelim. h k 3 = 0 h + k = 0 denklem sistemini çözerek h = ve k = sayılarına ulaşabiliriz, yani yaptığımız dönüşümler = X + ve y = Y olmalıdır. Buradan da dy dx = Y X X + Y homojen diferansiyel denklemini elde ederiz. Bu homojen diferansiyel denklemi çözmek için Y = V X dönüşümünü uygulayalım. + V + V dv = X dx arctan V + ln + V ) = ln X + c V = Y, X = ve Y = y + ters dönüşümlerini uygularsak X arctan y + + ln + Page 8 ) ) y + = ln ) + c
Diferansiyel denklemler uygulama soruları 0.0.3 genel çözümünü elde ederiz. 34. 3y + 4)d + 3 y + ) = 0 denklemini uygun dönüşümü yaparak çözünüz. Denklemi a + b y + c )d + a + b y + c ) = 0 şeklinde düşünerek a ve b a b 3 3 olğuna göre = u + h ve y = v + k dönüşümlerini uygulayabiliriz. Buna göre u 3v +h 3k + 4) + 3u v +3h k + ) = 0 }{{}}{{} 0 0 oranlarını kontrol edelim. olup buradan h 3k + 4 = 0 3h k + = 0 denklem sistemini çözerek h = ve k = sayılarına ulaşabiliriz, yani yaptığımız dönüşümler = u + ve y = v + olmalıdır. Buradan da 3v = u 3u v homojen diferansiyel denklemini elde ederiz. Bu homojen diferansiyel denklemi çözmek için v = zu dönüşümünü uygulayalım. z 3 z dz = u u4 z + ) 5 = cu ) z = v, u = ve v = y ters dönüşümlerini uygularsak u genel çözümünü elde ederiz. + y 3) 5 = cy ) 35. 3 y + )d 6 y 3) = 0 denklemini uygun dönüşümü yaparak çözünüz. Denklemi a + b y + c )d + a + b y + c ) = 0 şeklinde düşünerek a ve b oranlarını kontrol edelim. a a = b olğuna göre z = 3 y dönüşümünü uygulayabiliriz. Buradan dz = 3d olur, bu ifadeleri denklemde a b yerine yazarsak, z 3 5z 0 dz = d 5 z + lnz ) = + c 5 elde edilir. z = 3 y dönüşümünü tekrar yerine yazarak genel çözümü elde edilir. 3 y) + ln3 y ) = 5 + c 36. + y 3)d + + y + 4) = 0 denklemini uygun dönüşümü yaparak çözünüz. b Denklemi a + b y + c )d + a + b y + c ) = 0 şeklinde düşünerek a ve b oranlarını kontrol edelim. a b = olğuna göre z = + y dönüşümünü uygulayabiliriz. Buradan dz = d + olur, bu ifadeleri denklemde yerine yazarsak, 7d + z + 4)dz = 0 7 + z + 4z = c elde edilir. z = + y dönüşümünü tekrar yerine yazarak 7 + + y) + 4 + y) = c genel çözümü elde edilir. Page 9