MAK 305 MAKİNE ELEMANLARI-1

MAK 305 MAKİNE ELEMANLARI-1 BÖLÜM 1- MAKİNE ELEMANLARINDA MUKAVEMET HESABI Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1

BU DERS SUNUMDAN EDİNİLMESİ BEKLENEN BİLGİLER Makine Elemanlarında mukavemet hesabına neden ihtiyaç duyulduğunun öğrenilmesi Temel gerilme tiplerinin bilinmesi ve nasıl hesaplandıklarının öğrenilmesi Bileşik gerilme durumunun ne anlam ifade ettiğinin anlaşılması Kırılma Hipotezlerinin neden kullanıldıklarını anlamak Kırılma Hipotezlerinin neler olduklarını ve Makine Elemanlarına nasıl tatbik edildiklerinin örnekler üzerinde anlaşılması

Genel Hesap Yöntemleri Makine elemanları için gerekli hesaplamalar yapılırken genel mukavemet bilgisi kullanılır. Makine elemanlarında mukavemet hesaplarının iki amacı vardır. Bunlar; 1) Bir konstrüksiyonda öngörülen elemanın taşıması, iletmesi gereken kuvveti veya momenti, istenen süre boyunca emniyetli bir şekilde taşıyabilmesi için hangi malzemeden ve hangi boyutlarda imal edilmesi gerektiğinin belirlenmesi. ) İmal edilmiş bir elemanın düşünülen işletme şartları altında hangi kuvvet veya momenti emniyet sınırlarını aşmadan, ne kadar süre taşıyabileceğinin belirlenmesi (maksimum zorlanmanın belirlenmesi) dir. 3

Genel Hesap Yöntemleri Bir elemanın mukavemet değerleri, malzemenin mekanik özelliklerine, şekline ve boyutlarına bağlıdır. Emniyetli bir çalışma için bu değerler dış zorlamaların oluşturduğu gerilmelerden belli bir emniyet sağlayacak kadar büyük olmalıdır. Boyutlandırma yapılırken genelde aşağıdaki hususlara dikkat edilir. Sistemin, yükler altında taşıyıcı özelliği bozulmamalı Boyutlandırma ekonomik olmalı Estetik veya güzellik kavramı değerlendirilmeli Emniyetli şekilde boyutlandırma yapılmalı 4

Genel Hesap Yöntemleri Gerilme(Stress) Tanımı ve Gerilme Çeşitleri Herhangi bir makine, mekanizma veya makine elemanına diğer cisimlerin veya elemanların yapmış olduğu etki kuvvet olarak tanımlanabilir. Genelde cisimler arasında bulunduğu kabul edilen etkiler veya tepkiler ya doğrudan belirli dış kuvvetler veya bağ kuvvetleri şeklinde ortaya çıkar. Dış kuvvetler veya momentler, bilinen kuvvetler (ağırlık kuvvetleri gibi) olup diğer kuvvetler, cisimler arasındaki bağdan doğar. 5

Genel Hesap Yöntemleri Gerilme(Stress) Tanımı ve Gerilme Çeşitleri Dış kuvvetler tahrik ve faydalı kuvvetler gibi doğrudan doğruya verilen kuvvetlerdir. Bağ ve mafsal kuvvetleri ise doğrudan bilinmemektedir. İç kuvvetler ise incelenen cisim veya elemanın parçaları arasındaki etki ve tepkiden doğar. Bu kuvvetin esas özelliği veya karakteri sürekliliği arz edecek şekilde kesit yüzeyi boyunca dağılmış olmasıdır. Yüzeye dağılmış iç kuvvetlerin herhangi bir noktada dağılma veya yayılma şiddeti, birim alana düşen iç kuvvet olup gerilme olarak adlandırılır. 6

Genel Hesap Yöntemleri Gerilme(Stress) Tanımı ve Gerilme Çeşitleri Başka bir ifade ile Gerilme dış yükler etkisinde malzemenin iç yapısında meydana gelen kuvvet yoğunluğu olarak tanımlanır. Elemana gelen yük çeşitli şekillerde olabileceğinden oluşturduğu gerilmelerde farklı karakterde olacaktır. Gerilme analizi yapılırken tüm bu gerilmelerin temel gerilmeler diyebileceğimiz çeki, bası, eğilme, kesme, kayma veya burulma şeklinde oluştuğu görülür. 7

Genel Hesap Yöntemleri Gerilme(Stress) Tanımı ve Gerilme Çeşitleri Makine elemanının incelenen kesitinde bu gerilmelerden biri tek başına karşımıza çıkabileceği gibi, bir kaçına birlikte de rastlanabilir. Makine elemanının kendisine etkiyen dış kuvvet ve momentlere dayanıp dayanamayacağını, deformasyona izin verilen sınırları aşıp aşmayacağını tespit edebilmek için elemanda oluşan gerilmelerin doğru olarak bilinmesi ve hesaplanması gerekmektedir. 8

1.Çeki Gerilmesi (Çekme Normal Gerilmesi) Bir elemana aynı eksen doğrultusunda ve ters yönde kuvvet etkimesi sonucunda elemanın kritik kesitinde meydana gelen normal gerilmedir. σ ç = F A σ ç : Çeki Gerilmesi (N/mm ) F: Çeki Kuvveti (N) A: Kesit Alanı (mm ) 9

1.Çeki Gerilmesi (Çekme Normal Gerilmesi) 10

.Bası Gerilmesi (Basma Normal Gerilmesi) Bir elemana aynı eksen doğrultusunda ve aynı yönde kuvvet etkimesi halinde elemanın kritik kesitinde meydana gelen normal gerilmedir. σ b = F A σ b : Basma Gerilmesi (N/mm ) F: Bası Kuvveti (N) A: Kesit Alanı (mm ) 11

.Bası Gerilmesi (Basma Normal Gerilmesi) 1

3. Eğilme Gerilmesi Kiriş, aks, mil vb. elemanlarda kesme kuvvetleri eğilme momentlerini oluşturur. Eğilme momenti, tarafsız eksende sıfır, eksenin üst ve alt yarısında eksenden uzaklıkla doğru orantılı olarak değişen çeki ve bası gerilmelerine neden olur. σ e (y) = ± M e I e y M e : Eğilme Momenti(Nmm) I e : : Eksenel Atalet Momenti(mm 4 ) y: Tarafsız Eksene olan uzaklık (mm) 13

3. Eğilme Gerilmesi Eğilme Testi(Video) 14

3. Eğilme Gerilmesi Eğilme Gerilmesine Zorlanan Ankastre Kiriş (Video) 15

4. Burulma Gerilmesi Bir kiriş, çubuk veya mil iki ucundan karşı yönlere doğru birer kuvvet çifti ile zorlanıyorsa kuvvet çiftlerinin oluşturduğu momente dik kesitler burulmaya zorlanır. Burulma gerilmesi dairesel kesitlerde lineer bir değişim gösterir; değeri tarafsız bölgede sıfır, dış cidarlarda maksimumdur. τ = M b I p y M b : F.d Burulma momenti (Nmm) I p : Polar atalet momenti (mm 4 ) y: Tarafsız Eksene olan uzaklık (mm) 16

4. Burulma Gerilmesi 17

4. Burkulma Gerilmesi Burkulma gerilmesi, flambaj neredeyse bütün elemanlarda oluşan bir normal gerilme şeklidir. Ancak basma kuvveti altında yüklenen ince uzun çubuklarda, kritik yükün üzerinde görülmektedir. 18

5. Kayma(Kesme) Gerilmesi Kesme kuvvetleri etkidikleri noktada kesme gerilmesine neden olurlar. Gerçekte kesme gerilmesi non-lineer bir dağılıma sahip ise de makine elemanı hesaplarında çoğu zaman bu dağılım sabit gibi kabul edilir. τ = F A F: Kesme Kuvveti (N) A: Kesilmeye zorlanan kesit (mm ) 19

5. Kayma(Kesme) Gerilmesi BURSA TECHNICAL UNIVERSITY (BTU) 0

Gerilmelerin Karşılaştırılması (Video) 1

6. Özel Gerilmeler Birbirleri ile temas halinde çalışan elemanlar, temas yüzeyleri boyunca birbirlerine basınç uygulayarak birbirlerini plastik deformasyona zorlamaktadır. Malzemesi zayıf olan eleman kuvvet altında daha çabuk tahrip olmaktadır. Temas yüzeylerinde izafi hareket yok ise EZİLME, var ise AŞINMA oluşur. p = F A F: Uygulanan Kuvvet(N) A: Yüzey basıncı alanı veya izdüşüm alanı (mm ) A = s. d 1

7. Bileşik Gerilme Makine elemanlarında basit zorlama halleri veya gerilmelerden birkaçı aynı anda oluşabilir. Genellikle iki veya üç eksenli gerilme hallerinin söz konusu olduğu bu tür zorlanma şekillerine bileşik gerilme hali denir. En Fazla Rastlanan Bileşik Gerilme Halleri; σ eş = σ max = σ ç +σ e = F A + M e W e (Çekme Eğilme) σ eş = σ max = σ ç σ e = F A M e W e Eğilme-burulma 3

KIRILMAHİPOTEZLERİ - FAILURE THEORY Makine elemanları çeki, bası, eğilme, burulma, kesme gibi temel zorlanma şekillerinden biriyle karşı karşıya kalabileceği gibi bunlardan ikisine veya daha fazlasına birden de maruz kalabilir. Böyle durumlarda hem elemanın gerilme hali çok eksenli, karmaşık bir gerilmeye dönüşür hem de bu karmaşık gerilmeye elemanın hangi değere kadar dayanacağını kestirmek zordur. Böyle hallerde, makine mühendisliğinde yer etmiş bazı hipotezler yardımıyla çok eksenli gerilme zorlamasına eş değer olduğu varsayılan bir gerilme hesaplanır. Bu gerilmeye mukayese gerilmesi adı verilir ve σ eş ile gösterilir. 4

KIRILMA HİPOTEZLERİ Belli Başlı Kırılma Hipotezleri Maksimum Uzama(veya Kısalma) Hipotezi Maksimum Normal Gerilme Hipotezi Maksimum Kayma Gerilmesi Hipotezi Maksimum Şekil Değiştirme Enerjisi Hipotezi 5

HATIRLATMA!!! SORU: Asal Gerilme Nedir? Mühendislikte ve Tasarımdaki önemi nedir? Nasıl Hesaplanır? Asal gerilmeler, kayma gerilmelerinin sıfır olduğu düzlemlerdeki en büyük ve en küçük normal gerilmelerdir. Mukavemet hesaplarında kayma gerilmelerinin sıfır olduğu düzlemlerdeki normal gerilmeler Mohr Çemberi yardımıyla bulunur. Mühendislikteki Önemi: Üç asal gerilmeden herhangi birinin malzeme dayanımını aştığında hasarın (kırılma veya kopmanın) meydana geldiği varsayılır. Bu sebepten dolayı tasarım aşamasında asal gerilmeler büyük bir öneme sahiptir. Hesaplanması Üç eksenli gerilme durumu için, gerilme tensörünün öz değerleri asal gerilmeleri, öz vektörleri ise asal gerilme doğrultularını verir. 6

Asal Gerilmelerin Hesaplanması Bu gerilme tensörünün özdeğerleri asal gerilmeleri, öz vektörleri asal gerilme doğrultularını verir. 7

KIRILMA(Akma) HİPOTEZLERİ BURSA TECHNICAL UNIVERSITY (BTU) 1. Maksimum Uzama(veya Kısalma) Hipotezi Deneylerle kanıtlanamamış, dolayısıyla da bugün artık pek kullanılmayan bu hipoteze göre, makine elemanının yük altında boy değiştirmesi malzemeye bağlı belirli bir sınırı geçtiğinde hasar meydana gelir. 8

KIRILMA HİPOTEZLERİ. Maksimum Normal Gerilme Hipotezi Bu hipoteze göre, çok eksenli zorlama halinde en büyük normal gerilme malzemenin sınır değerini, örneğin akma sınırını aştığında eleman hasara uğrar. Plastik deformasyon göstermeden kırılan dökme demir, sertleştirilmiş çelik gibi malzemelerin mukavemet hesabında kullanılması önerilir. Üç eksenli zorlamada gerilmelerin asal gerilme olması halinde eşdeğer gerilme değeri en büyük olan normal gerilmeye eşit olacaktır. Üç asal gerilmeden herhangi birinin malzeme dayanımını aştığında hasarın (kırılma veya kopmanın) meydana geldiği varsayılır. 9

Maksimum Normal Gerilme Hipotezi(Devam) Genel hal için σ x, σ y, σ z ve τ xy, τ xz, τ yz gerilmelerinden yararlanılarak asal gerilmeler hesaplanır, içlerinden en büyük asal gerilme eşdeğer gerilme olarak alınır. σ eş = σ 1 σ 1 > σ ve σ 1 > σ 3 Genel hal için; σ eş = σ maks HATIRLATMA: İki eksenli yüklemede asal gerilmeler; σ 1, = σ x+σ y hesaplanır. ± 1 σ x σ y + 4. τxy bağıntısı ile 30

. Maksimum Kayma Gerilmesi Hipotezi (Tresca) Bu hipoteze göre incelenen makine parçasında hasar, karşılaşılan en büyük kayma gerilmesi malzemenin belirli bir mukavemet sınır değerini aşmasıyla meydana gelir. Tek eksenli yükleme için hasar, elemandaki maksimum kayma gerilmesi çekme numunesindeki maksimum kayma gerilmesine eşit olduğunda meydana gelir. En genel halde, üç eksenli yükleme durumu için Mohr dairesi çizilirse. Hasarın belirleneceği düzlem en büyük Mohr dairesi ile ifade edilen düzlemdir. Bu dairede σ ve τ değerleri en büyük değer sahiptir. Bu hipoteze göre ortadaki asal gerilmenin kırılmada rolü yoktur. Öyleyse hasara neden olacak kayma gerilmesi; τ maks = σ maks σ min 31

Maksimum Kayma Gerilmesi Hipotezi (Devam) τ maks = σ maks σ min Ve buradan tek eksenli olarak düşündüğümüz eşdeğer gerilme; σ eş = σ 1 σ = τ maks olarak ifade edilir. 3

4. Maksimum Şekil Değiştirme Enerjisi Hipotezi (Von Mises) Özellikle inşaat çeliği, ıslah çeliği gibi sünek malzemelerde deney sonuçlarıyla çok iyi uyum sağlayan bu hipoteze göre kırılma(veya yorulma kopması) birim hacme düşen şekil değiştirme enerjisi belirli bir değeri aşınca meydana gelir. Başka bir ifade ile hasar, elemanın birim hacmindeki şekil değiştirme enerjisi, tek eksenli çekme numunesinin akma dayanımına kadar yüklendiğinde oluşan şekil değiştirme enerjisine eşit olduğundan meydana gelir. 33

Maksimum Şekil Değiştirme Enerjisi Hipotezi (Devam) Bu hipoteze göre eşdeğer gerilme üç eksenli zorlanmada, asal gerilmeler cinsinden; σ eş = 1 σ 1 σ + σ σ 3 + σ 3 σ 1 Genel halde ise; 3 eksenli yükleme σ eş = σ x + σ y + σ z σ x σ y σ x σ z σ y σ z + 3(τ xy + τ xz + τ yz ) İki eksenli yükleme halinde ise (Asal gerilmeler cinsinden) (σ 3 =0) σ eş = 1 σ 1 σ + σ + σ 1 34

KIRILMA HİPOTEZLERİNİN SEÇİMİ Gevrek Malzemeler İçin Maksimum Normal Gerilme Hipotezi Sünek Malzemeler İçin Maksimum Kayma Gerilmesi Hipotezi(Tresca) Maksimum Şekil Değiştirme Enerjisi Hipotezi (Von Mises) Kırılma hipotezlerinin uygulanması tercih edilir. 35

KIRILMA HİPOTEZLERİNİN MAKİNE ELEMANLARINA UYGULANMASI Önceki slaytlarda bahsedilen kırılma hipotezleri bir milin boyutlandırılmasına uygulanırsa; Mil F kuvvet çiftinden dolayı eğilmeye ve M b burulma momentinden dolayı da burulmaya zorlanmaktadır. Bu iki eksenli gerilme durumudur ve makine elemanlarında sık rastlanır. 36

KIRILMA HİPOTEZLERİNİN MAKİNE ELEMANLARINA UYGULANMASI İki eksenli yüklemede asal gerilmeler; σ 1, = σ x + σ y + 1 σ x σ y + 4. τxy τ max = σ x σ y + τ xy x yönünde normal gerilme, eğilme gerilmesi σ e dir. y yönünde ise normal gerilme sıfırdır. Buna göre; σ 1, = σ e + σ e + τ τ max = σ e + τ 37

KIRILMA HİPOTEZLERİNİN MAKİNE ELEMANLARINA UYGULANMASI Bu asal gerilmeler ve maksimum kayma gerilmesi elde edildikten sonra, kırılma hipotezlerinde yerine konulursa; Maksimum normal gerilme hipotezi; σ eş = σ 1 = σ e + σ e + τ Maksimum Kayma gerilmesi hipotezi; σ eş = σ 1 σ = τ maks σ eş = σ e + τ 38

KIRILMA HİPOTEZLERİNİN MAKİNE ELEMANLARINA UYGULANMASI Maksimum Şekil Değiştirme Enerjisi Hipotezi; σ eş = σ 1 σ 1 σ + σ ifadesinden σ 1 = σ e + σ e + τ σ = σ e σ e + τ σ eş = σ e + 3τ olarak elde edilir. 39

ÖRNEK SORU-1 Şekildeki 40 mm çaplı şaft 0 kn eksenel çekme kuvveti ve 450 Nm burulma momentine maruzdur. Ayrıca milin her iki ucunda 360 Nm lik eğilme momenti etki etmektedir. Mil malzemesi için σ k =780 Mpa ve σ Ak =600 Mpa olduğuna göre; a) Maksimum şekil değiştirme enerjisi kullanarak b) Maksimum kayma gerilmesi hipotezi kullanarak emniyet katsayısını belirleyiniz. M b A F F B M b M e 40

ÇÖZÜM F kuvveti etkisinde A ve B bölgelerinde çekme gerilmesi, M b etkisinde kayma gerilmesi, M e etkisinde eğilme gerilmesi oluşacaktır. M e eğilme gerilmesi A bölgesinde pozitif yönde B bölgesinde ise negatif yönde olacaktır. Bu sebepten dolayı maksimum normal gerilmeler üst elemanda oluşmakta olup tasarım için hesaplar bu gerilmeler esas alınarak yapılacaktır. M b A F F B M b M e 41

ÇÖZÜM M b A F F σ ç = F A = F πd /4 = 4(0000) π40 = 15,9 MPa σ e = M e W = 3M e πd 3 = 3(360)(1000) π40 3 = 57,9 MPa τ xy = M b W = 16M b πd 3 = 16(450)(1000) π40 3 = 35,8 MPa B M b M e Aynı cinsten olan gerilmeler toplanarak σ x ve τ xy hesaplanır. σ x = σ ç + σ e = 15, 9 + 57, 9 = 73, 19 MPa 4

ÇÖZÜM a) Maksimum şekil değiştirme enerjisi kullanarak σ eş = σ x + 3τ xy σ eş = 73,19 + 3. (35,8) = 95,93 MPa Emniyet katsayısı; S = σ Ak σ eş = 600 95,93 = 6,5 43

ÇÖZÜM b) Maksimum kayma gerilmesi teorisine göre S; S = σ Ak τ max = σ Ak σ 1 σ Asal gerilmeler hesaplanırsa; σ 1, = σ x + σ y ± σ x σ y + τ xy σ 1 = 87,78 MPa σ = 14,95 MPa S = σ Ak τ max = σ Ak σ 1 σ S = 600 87,78 ( 14.595) 44

d BURSA TECHNICAL UNIVERSITY (BTU) ÖRNEK SORU- Şekildeki yükleme durumunda 1 ve noktalarındaki eşdeğer gerilmeleri bulunuz. Hesap boyutlandırma amaçlı olursa hangi nokta esas alınır? F 1 F L M b d = 0mm L = 100mm F 1 = 700N M b = 500Nmm F = 3500N 45

Kesit Alanı, A = πd 4 = π0 4 Eğilme mukavemet momenti; ÇÖZÜM = 314,16 mm W e = πd3 3 = π03 3 = 785,4 mm3 Burulma mukavemet momenti; Eğilme Momenti; W b = πd3 16 = π03 16 = 1570,8 mm3 M e = F 1. L = 700.100 = 70000 Nmm 1. Noktasındaki Gerilmeler; σ ç = F A = 3500 314,6 σ e = M e W = 70000 785,4 = 11,14 N/mm = 89,13 N/mm τ b = M b W b = 500/1570,8 = 1,59 N/mm 46

1. Noktasındaki Gerilmeler; ÇÖZÜM Maksimum kayma gerilmesi hipotezi uygulanırsa; σ eş = σ x + 4τ xy σ eş = 89,13 + 11,14 + 4 1,59 = 100,3 N/mm. Noktasındaki Gerilmeler; σ e = M e W = 70000 785,4 σ ç = F A = 3500 314,6 = 89,13 MPa basma gerilmesi = 11,14 N/mm τ b = M b W b = 500/1570,8 = 1,59 N/mm σ eş = σ x + 4τ xy σ eş = 89,13 + 11,14 + 4 1,59 = 78,05 N/mm 47

1. Noktasındaki Gerilmeler; ÇÖZÜM Maksimum kayma gerilmesi hipotezi uygulanırsa; σ eş = σ x + 4τ xy σ eş = 89,13 + 11,14 + 4 1,59 = 100,3 N/mm. Noktasındaki Gerilmeler; σ e = M e W = 70000 785,4 σ ç = F A = 3500 314,6 = 89,13 MPa basma gerilmesi = 11,14 N/mm τ b = M b W b = 500/1570,8 = 1,59 N/mm σ eş = σ x + 4τ xy σ eş = 89,13 + 11,14 + 4 1,59 = 78,05 N/mm 48

d BURSA TECHNICAL UNIVERSITY (BTU) ÇÖZÜM 1 noktasındaki eş değer gerilme noktasındaki eş değer gerilmeden daha büyük olduğundan boyutlandırma 1 noktasındaki eşdeğer gerilme esas alınarak yapılmalıdır. F L 49

ÖDEV-1 Tek eksenli normal ve kayma gerilmelerine maruz kalan bir elemanda, Maksimum Kayma Gerilmesi Hipotezine (Tresca) göre eşdeğer gerilmeyi veren, σ eş = σ + 4. τ eşitliğini elde ediniz. ÖDEV- Tek eksenli normal ve kayma gerilmelerine maruz kalan bir elemanda, Maksimum şekil değiştirme Enerjisi Hipotezine( Von Mises) göre eşdeğer gerilmeyi veren, σ eş = σ + 3. τ eşitliğini elde ediniz. 50

ÖDEV-3 Aşağıda şekli verilen makine elemanının kritik noktadaki gerilmelerini belirleyiniz. (Maksimum şekil değiştirme enerjisi akma hipotezini kullanınız.) σ AK = 600 MPa, F v = 10kN, F a = 0 kn, M b = 450Nm 51