Sayıal Kontrol Sitmlri Bölüm Ayrı Zaman inyallr v Sitmlr. Kapalı çvrim ayıal ontrol itmi. Ayrı aman inyallr.3 Ayrı aman itmlr.4 Sürli aman itmlrin ayrılaştırılmaı Sayıal türv v uygulama örnlri Sayıal intgral v uygulama örnlri.5 Far dnlmlri, çöümlri v uygulama örnlri F.Ü. noloji Faülti EEM M. GÖKBULU
. Kapalı Çvrim Sayıal Kontrol Sitmi Sayıal ontrol itmlrind gnllil dntlnn itm analog ürli aman bir itm in dntlyici ayıal ayrı aman bir birimdir. utma Rfran giriş r + - Hata Sayıal Dntlyici DAC Dntim inyali vt Yültici Sitm girişi ut Sitm Sitm çıışı yt ADC Algılayıcı Örnlm Sitm? Algılayıcı? Yültici/Dönüştürücü?
. Ayrı Zaman Sinyallr Sürli Zaman v Ayrı Zaman Sinyallr Analog ya da diğr bir ifad il ürli aman inyal, amanın hr anında dğri blli olan yani, amanın ürli bir foniyonu olara tanımlanan inyallrdir. Örnğin f t t Bilgiayar gibi ayıal ortamlarda, analog inyallr yrin bunların ayıal arşılığı olan ayrı aman inyallr ullanılır. Ayrı aman ya da ayıal inyallr, amanın ayrı anlarında bir dğr ahip olan inyallrdir v ayıal bir birim tarafından doğrudan ürtilbilir ya da analog inyallrin örnlnmiyl ld dilbilir. Örn: Birim baama dğri hr aman olan inyalini bilgiayarda bir dii olara naıl tanımlarını. 3
Sürli Zaman v Ayrı Zaman Sinyallr örnlm priyodu il götrilm ür analog bir inyald t =. dğişn dğiştirmi yapılıra analog inyalin örnlnmişi v dolayııyla ayrılaştırılmışı ld dilir. Analog inyal ft i örnlnmiş inyal f il götrilir. Sinyal adındai örnlm pryodu aldırılara f şlind d götrilir. Burada =,,,3,4. tam ayıları olma ür ayrı aman indidir. Örnğin yuarıdai ütl inyalin =. aniy aralılarla örnlndiğini abul dr aşağıdai ayrı aman inyal ld dilir. f. yada f. 4
Sürli Zaman v Ayrı Zaman Ütl Sinyallr.9.8 f t t.9.8 f..7.7.6.6.5.5.4.4.3.3.....5.5 3 Zaman t Örn ayıı Ayrı aman ütl inyallrin gnl ifadi: a< i? a> i? f a 5
=.5 örnlm pryodu il önümlü inüoidal inyalin ayrılaştırılmışı f t t Sin 5t f. Sin.5 6 6 5 5 4 4 3 f t t Sin 5t 3 - - -.5.5 Zaman t - 4 6 Örn ayıı 6
Ayrı aman ml tt inyallri Ayrı birim baama foniyonu Örnlnmiş birim baama foniyonu u Ayrı birim impul foniyonu d Ayrı birim rampa foniyonu r r 7
.3 Sayıal Ayrı aman Sitmlr Hatırlatma: ut Analog Sürli aman itmlr: Sitm Stati / Dinami itm? Doğrual /doğrual olmayan itm? Zamanla dğişn / amanla dğişmyn itm? yt Zaman bölgi dnlmlri y t dt... v. dy t.u t 5 y t 3u t Matmatil Modllri Doğrual-Zamanla dğişmyn Sitmin ranfr Foniyonu Doğrual-Zamanla dğişmyn Sitmin Durum Dnlmi d xt Ax t Bu t dt yt Cxt Du t 8
Sayıal Ayrı aman Sitmlr Ayrı aman itm, ayrı aman giriş inyalini alara ayrı amanda tanımlı dinami ya da tati bir giriş-çıış ilişii vrir. u Sayıal Sitm y y=f{ y,u }??? Ayrı aman itmlr v matmatil ifadlri Stati / Dinami itm ya da bllli /blli itm anımı v matmatil ifadlri??? y. u y.8 y u Doğrual / doğrual olmayan itm anımı v matmatil ifadlri??? y u, y.8 y u, Zamanla dğişn / amanla dğişmyn itm anımı v matmatil ifadlri??? y? y-? y+? 9
Ayrı aman Sitmlrin Cvabını Bulma v Kararlılı a- Vriln itmlrin bllli, doğrual v amanla dğişmyn olup olmadılarını blirlyini. b- birim baama, birim impul v birim rampa cvaplarını =,, örn için itratif çör bulunu. c- Sitmlrin ararlı olup olmadılarını blirlyini. d- Sitmlrin aman bölgi blo şmaını çiini. Kararlılı: Sınırlı giriş arşı ınırlı çıış vrn itmlr SGSÇ ararlıdır. Diğr ararlılı tanımları???? y. u y u.5u y.8 y u
.4 Sürli aman itmlrin ayrılaştırılmaı Sayıal ürv Sayıal ürv: Bir inyalin hrhangi bir notadai türvi inyalin o notadai ğimidir. Bir ft inyalinin türvi yt il götrilir bu inyalin hrhangi bir t yada, notaındai ğimi, inyalin aman ni il yaptığı açı ullanılara aşağıdai gibi yaılabilir. f ft d y t f t dt tan t Foniyonun ğimi farlı yalaşımlarla bulunabilir. Bunlardan ilri far, gri far v mri far yöntmlr yaygın olara ullanılmatadır. olara bilinn
İlri Far Yöntmi İlri far yöntmind foniyonun bir glcti örnlnmiş dğri ullanılara foniyonun o andai ğimi yalaşı olara haplanabilir. f+ f ft + t İlri far yöntmin gör ayıal türv, f f y
Gri Far Yöntmi Gri far yöntmind foniyonun bir önci örnlnmiş dğri ullanılara foniyonun o andai ğimi yalaşı olara haplanabilir. ft f f- - Gri far yöntmin gör ayıal türv, t y f f 3
Mri Far Yöntmi Bilinr Dönüşüm-utin Algoritmaı Mri far yöntmind i foniyonun bir önci v bir glcti örnlnmiş dğrlri ullanılara foniyonun o andai ğimi yalaşı olara haplanabilir. ft f+ f f- - + t Mri far yöntmi il ayıal türv, f f y 4
Sayıal İntgral Bir inyalin hrhangi bir andai intgrali blirli-ınırlı intgrali bu inyalin o ana adar taradığı alanın toplamıdır. Bir ft foniyonun intgrali yt il götrilir t anındai intgral, yt t f t dt yt t Bir foniyonun hrhangi bir t anındai taradığı alanı bulma için çşitli yöntmlr gliştirilmiştir. Burada n ço ullanılan ol nar, ağ nar v yamu yöntmlri vrilmiştir. 5
ft f f- - t y y Alan y- = yt Alan Sol Knar Kuralı: Sağ Knar Kuralı: Yamu Kuralı: Alan. f Alan Alan.f. f f 6
Örnlr - Vriln foniyonların dğişi yöntmlrl ayıal türvini / intgralini aldıran bir program yaını. y t 4 d dt t, y t 4 d dt Sin t, y t 5 t dt, y t 5 Co 5t dt - Bir bobinin, ondanatörün ya da mani bir lmanın çşitli giriş inyallri için çıışını ayıal türv ya da intgral işlmlrinin ullanara bilgiayar ortamında çöünü. Örnğin ondanatör birim rampa grilim uygulanıra aımı naıl dğişir. i t C d dt v t 7
.5 Far Dnlmlri Doğrual v amanla dğişmyn ürli aman itmlrd durumlar, çıışlar v giriş foniyonları t amanın ürli foniyonları olduğu hald, Ayrı aman itmlrd bu büyülülr, ürli t amanının anca gibi ayrı anlarında tanımlıdırlar. Burada =,,,... Sürli aman itmlrin matmatil modllri difraniyl dnlmlrl tanımlanırn ayrı aman itmlrin modllri i far dnlmlri il tanımlanır. Far dnlmlri griy farlar ya da ilriy farlar şlind yaılabilir. Önci unularda bait örnlri vriln n. drcdn bir far dnlminin griy farlar biçimind yaılışı gnl olara : y... a y an y n u... bu bmu m Burada, = için y-, y-, y-n başlangıç oşullarıdır. 8
n. drcdn bir far dnlminin ilriy farlar biçimind yaılışı gnl olara : y n... a y a y u m... bu bu Burada, = için yn-, yn-,,y, y başlangıç oşullarıdır. Dolayııyla far dnlmlri, başlangıç oşulları haplanma oşuluyla ilri ya da gri yönd ötlnbilir. Örnlr: y y Balangic y u 3u oullari : y 4, y =+ il ötlyini. y.5 y Balangic oulu : u y =- il ötlyini. 9
Far dnlmlri, difraniyl dnlmlrin ayrılaştırılmaı il ld dilbilir. Örn: dy t dt y t 4 du t dt 3u t Gri far yöntmi ullanılara ayrılaştırılıra, y y 4 3 u 4 u Eğr =. aniy çilir aşağıdai far dnlmi ld dilir. y.833y 3.583u 3.333u
Dolayııyla dinami itmlrin analog modllri bir intgrodifraniyl dnlm in dinami itmlrin ayıal modllri giriş v çıışın gcimişlri il ifad diln bir far dnlmi şlinddir. Burada örnlm pryodunu götrn bloğu, bir örnli gcimyi ifad dr. Örnlr: Çşitli yöntmlrl ayrılaştırara blo şmalarını çiini. =. dy t d dt y t dt y t dy t dt u t 4 y t d y t dt u t y t 4 du t dt
Far Dnlmlrinin Çöümü Sabit atayılı difraniyl dnlmlrin çöümünd olduğu gibi far dnlmlri d homojn çöüm v öl çöümün toplamından mydana glir. Örn: Karatriti dnlm n n n a r... anr ya da r ar an r Homojn çöüm yh: KD in ölri rl v ayrı i r,r,... rn KD in ölr rl v atlı i r... rn y KD in ölri ompl i ay... any n yh yh r Ar... Anrn A r a jb, r a n Ar... An r A r jb u yh A Co A Sin, a b, tan b / a
Far dnlmlrinin öl çöümü Difraniyl dnlmlrd olduğu gibi ayna foniyonunun türün bağlı olan, bir d öl çöüm vardır. K. a n Kayna Sin ya da Co öl çöüm yö C. yö C. a n yö C. yö C Sin C Co Öl çöümün aynıı, homojn çöümd d vara hr dfaında öl çöüm il çarpılmalıdır. 3
Örn: Vriln far dnlmini çöünü. y.3 y.y u Burada u, y, y olun Çöüm: Karatriti dnlmin ölri r.5, r. Olduğundan homojn Çöüm: yh A.5 A. Kaynağa gör öl çöüm, yö C Sçilcğindn öl çöüm yrin yaılara C atayıı bulunabilir. C.3C.C Buradan C.667 4
oplam çöüm y yh yö A.5 A..667 Eld dilir. Başlangıç oşulları uygulanara A v A atayıları bulunabilir. icin y A.5 A..667 icin y A.5 A..667 A A 5
Far Dnlmlrinin Ardışıl ya da Bilgiayarla Çöümü Far dnlminin hrhangi bir = için bulunaca çıışı y olduğuna gör önci çıışları yani y-,y- gibi başlangıç oşuludur. Yuarıdai far dnlminin girişin birim baama olduğunu diat alıra, y Burada.833 y y v 3.583u 3.333u u için y.833 y 3.583u 3.333u buradan y 3.583 için y.833 y 3.583u 3.333u buradan y 3.34 için....... 6
Amplitud Şild, analog itmin birim baama cvabı il =. aniy örnlm pryodu il ayrılaştırılan ayrı aman itmin birim baama cvabı vrilmiştir 4 3.5 3 Stp Rpon 3.5 4 3.5.5.5.5.5.5 3 im c 3 4 7
Örnlr Bir RL, RC, RLC ri ya da parall dvrinin birim impul, birim baama v birim rampa cvaplarını, itmin difraniyl dnlminin çıarıp ayrılaştırdıtan onra a- Klai yöntml çöünü b- bilgiayar programı il çödürünü. Diğr baı itmlri mani, ltromani, ıvı viy v aış gibi bilgiayar programları yaara inclyini. 8
Bölüm Ayrı Zaman Kontrol Sitmlrinin Matmatil mllri. Z- Dönüşümü. r Z dönüşümü.3 Far Dnlmlrinin Dönüşümü il Çöümü.4 ranfr Foniyonu.5 Blo Şmalar.6 Sinyal aış şmaları.7 Durum Diyagramları F.Ü. noloji Faülti EEM M. GÖKBULU 9
Z. -Dönüşümü Doğrual difraniyl dnlmlrin çöümünd Laplac dönüşümündn yararlanıldığı gibi, doğrual far dnlmlrinin çöümünd d dönüşümündn yararlanılır. Z dönüşümü far dnlmlrini cbirl hal gtirir. yönlü Z Dönüşümü aşağıdai gibi tanımlanır. y Y y oplam ınırları onlu dğrlr alabildiği gibi -, + aralığında da alınabilir v bu dönüşüm ii yönlü dönüşümü dnir. Örnlnmiş bir inyalin Z dönüşümü d aşağıdai gibi alınabilir. Z y Y y 3
Z-dönüşümün diat dilir onua gidn bir ridir v rilr blirli oşullarda blirli bir dğr yaınar. Bu ndnl - dönüşümü bulunurn rilrin yaınalığını da blirlm grir. Çoğu rilr, aşağıdai açılıma uygundur v bu rilrin in yaınalığı aşağıdai ifad il blirlnbilir. n n 3 n n n 3 n...q q q q q q...q q q q q q, q...q q q q q n n 3 n Srilrin Yaınalığı n n n q q q Hr ii taraftan çıarma yapılıra, 3
Örn: Birim baama foniyonunun Z dönüşümü f f f Çöüm 3 4. Ayrı birim baama foniyonu t= 3 4. Örnlnmiş birim baama foniyonu F F f. f. Bu onu rinin yaınalığı, f. 3 f. f 3.... F 3... Koşulu il 3
Örn: Ayrı aman ütl foniyonun dönüşümünü alını. f f b ya da Gnl olara ütl foniyonlar f a.... 3... Çöüm: -dönüşüm riinin açılımından, F. b b b f a olura F a. a 33
Örn: Birim rampa foniyonunun dönüşümü f f Çöüm 3 4. F f. 3 3... Önci ridn farlıdır v yaınalığı v dolayııyla -dönüşümü aşağıdai gibi bulunur. F 34
Baı Ayrı Foniyonların - Dönüşümlri Foniyon f d u a Sin w Co w Z Dönüşümü F 3 a Sin w Co Co w Cowa w 35
Baı Örnlnmiş Foniyonların - Dönüşümlri Analog Foniyon ft Örnlnmiş Foniyon f - Dönüşümü F t bt b b Sin wt Sin w Sin w Co w Co wt Co w Co Co w w 36
Baı Önmli Dönüşüm ormlri - oplama-çıarma v abit çarpan by ay by ay Gcitirm: n y n Y y n 3 Öngörm: n Y n y İi yönlü dönüşüm Bir yönlü dönüşüm n y n Y İi yönlü dönüşüm y n n Y n y Bir yönlü dönüşüm 37
4 İl Dğr ormi y Lim y LimY 5 Son Dğr ormi y Lim y Lim Y 6 Karmaşı Dönüşüm ütl il çarpma f a f F F 7 Rampa il çarpma f n f F a d d n F 38
Uygulamalar Örn: İl v on dğrlrini bulunu. F / f, f Örn: Vriln foniyonun dönüşümünü bulunu. f f 5 Sin4 Örn:Vriln foniyonun dönüşümünü bulunu. Gnl hali f a F i F F 5 a a Sin4 Co4 4 39
Far dnlmlrinin -dönüşümünün alma Örn: Vriln far dnlminin -dönüşümünü ullanara çöümünü inclyini. Çöüm y.6y.64y y,y v u u.5 a- İi yönlü -dönüşümü başlangıç oşullarını diat almadığına gör, Y.6 Y.64 Y U v U Buradan.5 çöüm dir. Y 3.5.8 4
b- yönlü -dönüşümünd başlangıç oşulları da diat alınmalıdır. Y.6[ Buradan çöüm Y y ].64[ Y y y ].5 Y 3.5.8.6.64.8 Çöümdi il trimin aynağın, iinci trimin i başlangıç oşullarının ortaya çıardığı çöüm bilşnlri olduğu görülmtdir. 4
Far dnlmlrinin Ötlnmi Far dnlmlri ilri ya da gri yönd ötlm yapılabilir. Anca vara başlangıç oşullarının haplanmaına diat dilmlidir. c- Önci örnt vriln far dnlmi =+ yaılara ötlnbilir v ld diln dnlm t ya da ii yönlü - dönüşümü uygulanabilir. =+ yaılara y.6y.64y u NO: Bu dnlmin ii yönlü -dönüşümü il çöümünün a şıında bulunan çöüm il aynı olduğu görülmtdir. Anca bu dnlmd =- durumu önci dnlmin = durumuna arşılı glir. Bu ndnl bu dnlmi =,, için yani t yönlü -dönüşümü il çöm grtiğindn y v y 4 gibi yni başlangıç oşullarını da blirlm grir.
için y.6y.64 y buradan için y.6y.64 y.5 buradan y.6 y 4. Yni başlangıç oşulları il ötlnmiş far dnlmi, y y.6y.6, y.64y 4. u Olduğundan t yönlü -dönüşümü uygulanıra, Y U y y.6[ Y u u y].64y Eld dilir. Vriln u ullanılara u= v u=.5 bulunur. Bu dnlm dünlnir, bu dnlmin çöümünün b şıında ld diln çöüm il aynı olduğu görülür. 43
. r Dönüşümü r -dönüşümünd gnllil güç riin açma yöntmi ya da ımi irlr ayırma yöntmi ullanılır. r dönüşüm bağıntıından yararlanara çıarılan ridü yöntmi d bait irlr ayırma yöntmin bnr bir anlayışla uygulanabilir. Kuvvt Srii Yöntmi: Bölm işlmi yapılara ngatif uvvtlrindn oluşan bir ri ld dilir. Örn F F a a a a 3 Foniyonunun tr -dönüşümünü bulma için bölm işlmi yapılıra, 3... F f Buradan f a ld dilir. 44
Örn F 3 Foniyonunun tr -dönüşümünü bulma için bölm işlmi yapılıra, F 3 7 3 5 4... F f f 45
Kımi Kirlr Ayırma Yöntmi: Vriln armaşı ifad bait irlrin ayrılara hr bir bait rin tr -dönüşümü bulunur. Anca -dönüşüm tablouna diat dilir bait trimlrin -dönüşümlrinin payında hr aman çarpanı vardır. Bu ndnl, Z bölgind vriln bir F ifadi, önclil F/ halin gtirilr bait irlrin ayrılmalıdır. Örn F a. a Payda ölri rl v ayrı olduğundan bait irlri, F a Olduğuna gör f a,,,,... 46
. E E. E u d Payda ölri rl v ayrı olduğundan bait irlri, Örn E Olduğuna gör 47
. 3 X... C B A X X 3.. A 9.. B...! d d C 9 3 9 3 X X 3u 9 x Örn Payda ölri rl v çaışı olduğundan bait irlri, 48
Karmaşı Kö Durumu Karmaşı ö durumunda da bait irlr ayırma yöntm ullanılabilir. Anca -dönüşüm tablouna diat dilir armaşı ölr inüoidal foniyonlarda ortaya çımatadır. Bu ndnl, armaşı öü olan -bölgindi foniyonlar af inüoidal ya da önümlü inüoidal foniyonlara bntilbilir. Bu amaçla aşağıdai -dönüşümlri trar hatırlanabilir. f f f f Sin w Co w a a i i Sin w Co w i i F F F F Co Sin Co Co w w asin aco aco aco w w 49 NO: wp/ için payda ölrinin af anal olduğu görülmtdir. w w w w a a
Örnlr F i f in p F i 3F i Sinüoidal dir v w p / p f co f? 3 olur. F Buradan Co w Co w Co p / 3 Co p / 3 f p Co 3.577 p Sin 3 5
4F f Co 4 f? Ütl v inüoidal çarpımıdır v a=, wp/3 olur. Bu durumda örn 3 bnr şild dünlnir, p 3 3 Sin p 3 5
Örn: Başlangıç oşulu y olan aşağıdai far dnlmini dönüşümü il çöünü. Çöüm:.3 Far Dnlmlrinin Dönüşümü il Çöümü y Y y Y y y r -dönüşümü il y y y,,,,... 5
Örn: Başlangıç oşulları vriln aşağıdai far dnlmini dönüşümü il çöünü. Çöüm: X X x x 3 3x x,x x 3X 3x x X Zamanda aydırara =- ötlmi yapılıra x 3. x. x x.5, x.75,x Far dnlmi ld dilir v bu dnlm = v = için ya da il vriln dnlm =- v =- için çöülr yni başlangıç oşulları bulunur. Griy ötlnmiş bu far dnlmi d -dönüşümü il çöülür aynı onuç ld dilir. 53
x, x x x Örn: Başlangıç oşulları vriln aşağıdai fardnlmini dönüşümü il çöünü. Çöüm: X X X 5. X 5 5 5 5.... X,...,, Sin Co x 4 4 p p 4 p Co w, a İinci trim, ütl il inüoidal çarpımıdır v 54
.4 ranfr Foniyonu Başlangıç oşulları ıfır alınma aydıyla -bölgind çıışın giriş oranı tranfr foniyonunu blirlr. y a y a n y n b u.. b m u m Y a Y... a n n Y b U... b m m U G Y U b a b...... b a n m m n U G Y 55
Örn: Far dnlmi vriln itmin tranfr foniyonunu bulunu. y 4y 3y u u G? Örn: ranfr foniyonu vriln itmin far dnlmini çıarını. Y 3 G U 4 5 56
.4. ranfr Foniyonu Vriln Sitmin vriln bir giriş için Cvabını Bulma G Y U Olduğuna gör Y GU Olur v itmin tranfr foniyonu il itm uygulanan giriş vrilmiş tr dönüşümü alınara çıış bulunur. Örn:F vriln itmin birim baama cvabını bulunu. 5 Y 3 Y 5 3 A 5 y 4, B -, C 5 4 3 5 5 G A B C 3 U G 3 Y 57
.4. ranfr Foniyonunun utupları, ıfırları, -dülmi, birim çmbr v ararlılı Sürli aman itmlrdi tanımlar ayrı amanda da gçrli olduğundan burada adc örnlr vrilctir. Örnlr G a G.3 G.5.5.5 58
.5 Blo Şmalar Sürli aman ontrol itmlrinin analiind gçrli olan blo şma uralları, inyallri v itmlri ayrı amanda tanımlama oşuluyla ayrı amanda da gçrlidir. Örnlr: H R + - G + - G G 3 Y H 59
.6 Sinyal Aış Şmaları Sürli aman ontrol itmlrinin analiind gçrli olan inyal aış şmaı uralları, inyallri v itmlri ayrı amanda tanımlama oşuluyla ayrı amanda da gçrlidir. Örnlr: R G G Y o o o o Y o -H -H -H R G G G 3 G 4 Y o o o o o o X X X 3 X 4 -H -H 3 6
.7 Durum Diyagramları Sürli aman ontrol itmlrinin analiind gçrli olan Durum diyagramı uralları, inyallri v itmlri ayrı amanda tanımlama oşuluyla ayrı amanda da gçrlidir. NO: Başlangıç oşulları da durum diyagramlarında götrilbilir anca burada başlangıç oşulları ıfır alınacatır. Örnlr: Durum diyagramlarını a- aman bölgind b- - dönüşümünü alara bölgind v ayrıca inyal aış şmaı/blo şma götrimi il çiini. y y u y 4 y 3 y 5u 6
X I X.7. Ayrı Zaman Durum Dnlmlri v - Dönüşümü il Çöümü A x X x y Ax Cx AX x I A x BU BU Bu Du -dönüşümü il çöümü: Durum dğişnlrinin başlangıç dğri x vtörü olun. I A BU 6
u 5 x x 3 x x x u 5 5 X 5 3 3 X 3 A I 3 A I Örn: Vriln durum dnlmini -dönüşümü yardımıyla çöünü. Çöüm 63
x x.7. Durum Dnlmlrinin itratif ya da bilgiayarlı Çöümü Örn: Vriln durum dnlmini itratif olara çöünü. Çöüm: için x 8 x.n,x u x x. x x.5.5,x 5,u x.. x 8. x. u x.4.85..7 için x x. x x.5.7.57 x.. x 8. x. u x.5.8.7..6 64
x y.7.3 Durum Dnlmindn ranfr Foniyonuna Dönüşüm giriş v t çıışlı ayrı aman bir itmin durum dnlmi, Ax Cx Bu Du Başlangıç oşulları ıfır alınara dönüşümü alınır, X X I AX BU A BU Y CX DU v çıış/giriş oranı oluşturulura, Y Y C I A B DU G C I A B D U 65
4u x x 3 y u x x 4 3 x x 4 3 3 4 4 3 4 3 G 8 3 5 9 4 G 4 8 3 37 7 4 37 7 4 3 3 4 G Çöüm: Örn G=? 8 3 Burada 3 4 A I Buradan 66
.7.4 Far Dnlmindn Durum Dnlmin Dönüşüm Aşağıdai far dnlmi vrilmiş olun. NO: Çıış adc u olura 3y 3 y y 5y u Üçüncü drcdn bir itm olduğundan 3 tan durum dğişni vardır v aşağıdai gibi atamalar yapılabilir. x x x x 3 3 y x x y 3 y y Buna gör Kanoni formda durum dnlmi Vriln far dnlmind atanan dğrlr yrlrin yaılıra; 3 x3 x3 x 5x u x x x 3 5 3 3 3 x x x 3 u 3 y x x x 3 67
Örn: y y 3y 4u Çöüm: Durum dğişni atamaları yapılıra, x x x y x y y x x 3x 4u Buradan x 4u 3x x Buna gör durum dnlmi x x 3 x x u, 4 y x x 68
.7.5 ranfr Foniyonundan Durum Dnlmlrini Eld Etm Sürli aman ontrol itmlrind inclndiği gibi ayrı aman ontrol itmlrind d vriln bir tranfr foniyonundan durum dnlmi, a- Kanoni b- Sri c- Parall yöntmlrl ld dilbilir. Yöntmlr öncdn bilindiğindn burada örnlr vrilctir. 69
.5 3 G..5...5 3 3 3 3 3 E E E E U Y 3 E E E Y.5 3 E E E E U E.5 E E U E Buradan 3 Kanoni Yöntm Örn: vriln tranfr foniyonuna ait işart aış diyagramını çiini v durum dnlmlrini çıarını. Çöüm 7
x U E - - x x 3 - - x x x 3 - -,5 x u x x.5x3 x x x3 x y x x x3 Y Sinyal aış şmaı ullanılara durum dğişnlri v çıış x x x 3.5x x x 3 u, y x x x 3 7
Sri Yöntm Örn: vriln tranfr foniyonuna ait işart aış diyagramını çiini v durum dnlmlrini çıarını. Çöüm G.5.8 7
Parall Yöntm Örn: vriln tranfr foniyonuna ait işart aış diyagramını çiini v durum dnlmlrini çıarını. Çöüm G.5.8 73
.7.6 Zamandai Blo Diyagramından Durum Dnlmi -6 5 3-4 x u x 6x, x u 3x x 3 x 3 u 4x 3, y x x x 3 74
- -3 - x x y x x x x x - 3x - x - u x 3 3 3 Örn 75
Bölüm 3 Ayrı Zaman Sayıal Kontrol Sitmlrinin Analii 3. Ayrılaştırma Yöntmlrinin Laplac Karşılığı v Kararlılığı 3. Sayıal Kontrol Sitmlrind Kararlılı Analii 3.3 Sayıal Kontrol Sitmlrinin ipi v Kalıcı Durum Hataları 3.4 Sayıal PID ontrolörlr 3.5 Ayrı Zaman Kontrol Sitmlrinin Analii F.Ü. noloji Faülti EEM M. GÖKBULU 76
3. Ayrılaştırma Yöntmlrinin Laplac Karşılığı v Kararlılığı İlri Far Yöntmi ya da Sol Knar Kuralı x t x x olduğuna gör arşılılı laplac v dönüşümlri alınıra, X X X X X Buradan ilri far yöntmind ii dülm araındai ilişinin aşağıdai gibi olduğu görülür. Ya da 77
İlri far yöntmi il bir itmin ayrılaştırılmaı nticind ararlılığın naıl dğiştiği aşağıdai gibi blirlnbilir. Laplac bölgind ararlılı, R Olduğuna gör İlri far yöntmin gör yrin ayrı arşılığı yaılıra -dülmindi ararlı bölg R Burada armaşı dğişni x jy İl götrilir ararlı bölg R x jy x R x j y x Kararlı bölg Im R Kararlı bölg Im R 78
Örn: Vriln itmlri ilri far yöntmi il ayrılaştırara, a- v dülmlrindi utup-ıfır yrlrini v ararlılılarını dğrlndirini. b- hm analog hm d ayrılaştırdığını ayıal itmin birim baama cvabını bulunu. NO: Uygun örnlm pryodunu çini. G G 4 79
Gri Far Yöntmi ya da Sağ Knar Kuralı x t x x arşılılı laplac v dünüşümlri alınıra, Buradan gri far yöntmind v dülmi araındai ilişi, Gri far yöntmi il ayrılaştırılan itmlrin ararlılığı için, R Bu ifad dünlnir, X R. X x jy x jy X X Im X Im x y R 8 R Kararlı bölg
Mri Far Yöntmi ya da Yamu Kuralı Bilinr Dönüşüm y t x t dt y y x x Olduğundan arşılılı laplac v dünüşümlri alınıra, Y X v Y Y X X Olur v yamu uralı il X ayrılaştırmada v dülmi araındai ilişi; Y Yamu uralı bilinr dönüşüm il ayrılaştırmanın ararlılığı; R R.. x x jy jy 8 x y Kararlı bölg Im R Im R
Örn: Vriln itmlri farlı yöntmlrl ayrılaştırara, a- v dülmlrindi utup-ıfır yrlrini v ararlılılarını dğrlndirini. b- hm analog hm d ayrılaştırdığını ayıal itmin birim baama cvabını bulunu. NO: Uygun örnlm pryodunu çini. G 4 G 8
3. Ayrı Zaman Kontrol Sitmlrind Kararlılı Analii Ayrı aman itmlrin ararlı olabilmi için aratriti dnlminin ölrinin birim çmbr içind olmaı grtiği bilinmtdir. Birim çmbr dışında bulunan hrhangi bir utup itmi ararı yapar. Yü drcdn itmlrin ölrini bulma orluğu ndniyl bunun yrin Routh-Hurwit ya da Jury ritri il ayrı aman itmlrin ararlılığı blirlnbilir. Routh-Hurwit ritri ayrı aman itmlrin ararlılı analiin doğrudan uygulanama. Anca, bilinr dönüşüm ullanılara vriln ayrı aman itmin ürli aman arşılığı yalaşı olara bulunabilir v bulunan analog itm Routh-Hurwit ritri uygulanabilir. 83 Burada Jury ritrini açılama ytrli olacatır.
JURY Kritri il Kararlılı Analii... n n n n a a a a P Jury ritri il yü drcdn itmlrin doğrudan - bölgind ararlılı analii yapılabilir. Sitmin aratriti dnlmi P ld dilir aşağıdai Jury tablou oluşturulabilir. Jury tabloundai atayılar, aşağıdai dtrminantlarla bulunur.,,,...,, n a a a a b n n,,,...,, n b b b b c n n 84
JURY Kararlılı Kritri a> olma oşuluyla bir n. drcdn bir itmin ararlı olabilmi için aşağıdailrdn ıra il n+ adt oşulun ağlanmaı grir. NO: Şartlardan biri ağlanmaa itm ararıdır. P-= ya da P= olduğunda diğr şartlar ağlanıyora marjinal 85 ararlıdır yani = d utbu vardır, ai hald ararıdır.
Örn: Karatriti dnlmi vriln itmin ararlılığını JURY ritri il inclyini. P Çöüm: 4. 3.7.3.8 86 itm ararlıdır.
Örn: Karatriti dnlmi vriln itmin ararlılığını JURY ritri il inclyini. 3 P... Çöüm: 87 Sitm marjinal ararlıdır.
Örn: Kapalı çvrim ontrol itminin ararlı olabilmi için K nın alabilcği dğr aralığını JURY ritri il blirlyini R + E U Y G p - K K.3679.64 G p.3679.3679 Çöüm: Karatriti dnlm, P.3679 K.3679.3679.64 K a a,.3679.64 K.395 K 5.77 P.3679 K.3679.3679.64 K.63 K P.63 K K 3 P.7558.73 K 6.383 K Sonuç:.395 K 88
3.3 Ayrı Zaman Kontrol Sitmlrinin ipi v Kalıcı Durum Hataları Sayıal ontrol itmlrindi alıcı durum hataları da analog ontrol itmlrindi İnclmlr bnr şild yapılabilir. R + - G Y Şildi birim gri blmli ontrol itmind ilri blm tranfr foniyonu G, utup v ıfırları cinindn aşağıdai gibi yaılabilir. G K r j p Burada, j- açı çvrim itmin ıfırları, pi-açı çvrim itmin utuplarıdır v r i itmin tipini götrir. Analog itmlrd olduğu gibi ayıal ontrol itmlrind d alıcı durum hataları, 89 itmin tipin gör dğrlndirilbilir. i
Şild Hata foniyonu, E R Y G R Birim baama giriş için R=/- olduğundan Kalıcı durum hataı, on dğr tormindn, lim E G lim G lim G K R Bu ifaddn yararlanara baama v rampa girişlr için onum v hı hata atayıları aşağıdai gibi haplanabilir. p Burada K P lim G Birim rampa giriş için R / olduğundan lim Burada K v lim G G lim G K Buna gör, ip itmlrd onlu baama hataı ip itmlrd i onlu rampa hataı ortaya çıar. v 9
Örn: Vriln apalı çvrim ontrol itmind hr bir G için itmin tipini v ilgili alıcı durum hatalarını bulunu. G.5 G...9 9
3.4 Sayıal PID Kontrolörlr Sayıal ontrolörlrin taarımında ii yalaşım ilnbilir. Kontrolör, önc analog olara taarlanır v onra ayrılaştırılır. Önc itm ayrılaştırılır v onra ontrolör ayrı amanda taarlanabilir. bu yöntm onrai bölümlrd açılanacatır 9
Kontrolörü, önc analog taarlayıp onra ayrılaştırma, aşağıdai ayrı aman algoritmaını bulma dmtir. Bu yöntm için bu bölümd vriln ilri, gri, mri farın, gr aman gr Laplac bölgindi dönüşümlrindn yararlanılabilir. Ya da onrai bölümlrd açılanaca olan örnlm-tutma yöntmi ullanılabilir ADC+Algoritma+DAC =Analog ontrolör 93
Laplac bölgind analog ontrolörlrin ayrı amana dönüştürülmi matmatil olara, F c c G G şlind ifad dilbilir. Burada F ayrılaştırma foniyonu olara adlandırılır. Önci bölümlrd ilri far, gri far v mri far bilinr dönüşüm yöntmi için F foniyonları blirlnmişti. G c 334 5 4 4 4 4. G c Örn: Vriln analog PI ontrolörün bilinr dönüşüm yöntmiyl ayrı aman şdğrini bulunu, =.5. 94
PI Kontrolör: PI ontrolörlrin, gnl olara itmin tipini artırara alıcı durum hatalarını iyilştirdiği bilinmtdir. Sayıal bir PI ontrolörün tranfr foniyonu, yuarıda bilinr dönüşüml ld dildiği gibi gnl olara aşağıdai gibi yaılabilir. G c K a Bu ifaddn d ayıal PI ontrolörün, itmin ipini bir artırara alıcı durum hataını İyilştircği ayrıca, itm bir ıfır lycği v itmin aancını ayarlayacağı görülmtdir. Örnlr: Gr aman bölgindn gr Laplac bölgindn PI ontrolörü ayrılaştırını. Yuarıdai gibi bir tranfr foniyonu ld dini. 95
PD Kontrolör: Kontrol itminin gçici rjim ritrlrini aşmayrlşm-yülm amanı dültir. Sayıal bir PD ontrolörün tranfr foniyonu ilri far yöntmi il ayrılaştırılıra, G c K a Gri far il K G c a Örnlr: Gr aman bölgindn gr Laplac bölgindn yuarıdai ifadnin çıarılışını yapını. Diğr ayrılaştırma yöntmlri il d ayıal PD ontrolörün tranfr foniyonunu bulunu. 96
PID Kontrolör: Kontrol itminin gçici+alıcı rjim ritrlrini aşma-yrlşm-yülm amanı + alıcı durum hataı dültir. Sayıal bir PID ontrolörün tranfr foniyonu gri far yöntmi il ayrılaştırılıra, G c a b c Örnlr: Gr aman bölgindn gr Laplac bölgindn Yuarıdai ifadnin çıarılışını yapını. Diğr ayrılaştırma yöntmlri il d ayıal PID ontrolörün tranfr foniyonunu bulunu. 97
Sayıal ontrolörlrin bilgiayar programlama dili il programlanmaı Önclil tranfr foniyonundan far dnlmi ld dilir. Örnğin önci unularda ld ayıal PI ontrolörün far dnlmi aşağıdai gibi çıarılabilir. G c U E 5.334 5 5 U 5 5 u E 5 5 İçlr dışlar çarpımı yapılara ayıal ontrolörlrin far dnlmi, u 5 5 % MALAB programı aşağıdai gibi yaılabilir t=:.:; =xp-*t u= 5*; for =:, u=u-+5*-5*-; nd % inyali ölçülmüş olun 98
Örn: Şild vriln ayıal ontrol itmind önüm oranı.8 v önümü doğal franı olaca şild PI ontrolörü taarlayını. rad / n,. 8 w n Çöüm: Kontrolör ürli amanda taarlanara ayrılaştırılabilir. Analog itm için analog bölgd PI ontrollü itmin aratriti dnlmi, tandart. drcdn rfran itmin aratriti dnlmin şdğr yapılara ontrolör olayca taarlanabilir. Sürli amanda PI ontrollü itmin AÇF, R Gc Gp Y G c G p K b 99
PI ontrollü itmin apalı çvrim F, tandart. drcdn itm şitlnir, n n n p c p c w w w Kb K b K G G G G. G Buradan c 4 4 7 aarlanan ürli aman ontrolör bilinr dönüşüml =. il ayrılaştırılıra ayıal PI ontrolör aşağıdai gibi bulunur..474 9 7.4 4 G c
Sonuç olara, itnn ontrol talplrinin arşılayan v analog itm bağlanmaı grn ayıal ontrolör aşağıdai gibi grçlnmlidir. R Gc D/A Gp Y G c 9.474 A/D Gc Gh D / A R + - K a Y A / D =. NO: Bulunan PI ontrolörün programını yaını. Örn: Vriln analog itm için analog G p ontrolör taarlayara ayıala dönüştürünü.
3.5 Ayrı Zaman Kontrol Sitmlrinin Analii Ayrı aman tranfr foniyonu vriln ya da ld diln bir itm ayıal PI, PD ya da PID bağlanara çşitli rfran girişlr için cvapları analog ontrol itmlrdin bnr şild bulunabilir. Örnlr: - Ayrı amanda tranfr foniyonu vriln çşitli itmlr ayıal ontrolörlr lyr birim impul v baama cvaplarını bulara grafilrini çiini. NO: Ayrı amanda vriln bir tranfr foniyonunun önüm oranı v doğal franı blirlnbilir mi???
.7.7 Sürli Zaman Durum Dnlmlrinin Ayrılaştırılmaı Sürli aman itmin durum dnlmlri, ẋt yt Axt But Cxt Dut olun. Bu itmin analog durum dnlmi ayrılaştırılıra ayrı aman durum dnlmlri, x y A d Cx x B d Du u olur. Buna gör analog itmdi C v D matrilri ayrı aman arşılığında aynn orunurn A v B matrilri dğişir. NO: Burada açılanaca olan yöntmdn başa ilri, gri 3 v mri far yöntmlri d ullanılabilir.
Burada Ad v B d matrilri aşağıdai gibi haplanır. A d At t Burada At L [ I A] B d A A Bd Örn: Vriln durum dnlminin ayrı aman arşılığını bulunu. x x t t x x t t ut yt xt Çöüm At [I A] 4
t t t t At A] [I L A d A d Bd B A A d B d u x x x x r Laplac dönüşümü alınıra durum gçiş matrii Buradan Ad matrii: Durum dnlminin Bd matrii i aşağıdai intgral il bulunur. Buradan Bd matrii: Sonuç olara Ayrı far dnlmi 5
Bölüm 4 Örnlnmiş Vrili Açı Çvrim Kontrol Sitmlri 4. Örnlm v tutma 4. Laplac Bölgindn Yıldılanmış Dönüşüm 4.3 v - Dülmlri Araındai İlişi 4.4 Açı çvrim ayrı aman ontrol itmlri F.Ü. noloji Faülti EEM M. GÖKBULU 6
4. Örnlm v utma Bölüm d blo şmaı vriln aşağıdai apalı çvrim ayıal ontrol itmlrinin anali v taarımında Örnlm v utma işlmlri önmli bir yr tutar. utma Rfran giriş r + - Hata Sayıal Dntlyici DAC Dntim inyali vt Yültici Sitm girişi ut Sitm Sitm çıışı yt ADC Algılayıcı Örnlm 7
Örnlm v utma Şildi gibi ürli aman bir inyalin örnlm pryodu il örnlndiğini v ıfırıncı drcdn bir tutma dvri il ürli amana gri dönüştürüldüğünü yani orijinal analog inyalin gri ld dilmy çalışıldığını abul dlim. utma dvrlri yü drcdn olabilir anca burada adc ıfırıncı drcdn tutma l alınacatır. 8
Sıfırıncı drcdn tutulmuş inyalin Dnlmi aşağıdai darb incirlri il tanımlanabilir. x t x [ u t u t ] x[ u t u t ]... LD alınıra X X x x x x x...... X x Burada ii trimdn birincii tutma, iincii örnlm işlminin arşılığıdır. 9
Buna gör iinci trim ayrılıra örnlm işlminin matmatil ifadi, X * x Olara ld dilir. Örnlnmiş inyallrin Z-dönüşüm ifadi hatırlanıra, X x X x Olduğundan yıldılanmış inyal il -dönüşümü alınmış inyal araındai ilişinin olduğu görülür. Dolayııyla örnlm işlmi, analog bir inyali ayrılaştırma işlmidir v buradan -dönüşümün olayca gçilbilir. Diğr bir ifad il bu bağıntı yardımıyla v dülmi araında da bir ilişi urulabilir.
Diğr taraftan birinci trim ayrılıra tutma dvrinin tranfr foniyonu ld dilir. X X * G h X x Sonuç olara örnlm v ıfırıncı drcdn tutma dvrini aşağıdai blo şma il götrilbilir.
Örn: Zaman bölgi ifadi vriln inyalin yıldılı dönüşümünü v dönüşümünü bulunu. Çöüm f t t f F F F F * f... NO: Hatırlanıra örnlnmiş inyalin doğrudan dönüşümünün bu ifad olduğu blirlnmişti.
Örn: Şildi gibi bir analog itmini girişin ADC v DAC bağlanıra itmin blo şmaı naıl çiilbilir? 3
4. Laplac Bölgindn Yıldılı Dönüşüm Yuarıda, aman bölgindi ifadi bilinn ürli aman bir inyalin örnlnmişinin Laplac dönüşümü yıldılı dönüşümü alınabilmt v yıldılı dönüşümdn d dönüşümün gçilbilmtdir. Laplac dönüşümü vriln bir ürli aman inyalin, yıldılı dönüşümü ridü tormi ullanılara aşağıdai gibi alınabilir. Ridü E E Sonuç olara buradai Ridü atayıı, bait irlr ayırma işlmindi atayılara arşılı glmtdir. 4 E 4 E 4 E Örn: Laplac dönüşümü vriln inyalin Çöüm? E v? E 4
E E E E E Örn:Laplac dönüşümü vriln inyalin yıldılı dönüşümünü v dönüşümünü bulunu. Çöüm 5
4.3 v - Dülmlri Araındai İlişi -dülmind, -dülmindi yri,, r. j jw olduğundan, r olara vriln armaşı bir notanın jw,. jw Bu notalar gnli v fa bilgilri il utupal olara götrilir, Olur. Burada r w Im dülmi Im dülmi = -α + jω -α = -α - jω jω -jω R b - b r θ θ a R 6
-dülmind a jb -dülmindi yri d yani, r a jb w ln r olara vriln armaşı bir notanın Burada, v r r w n a dğrlri d bulunabilir. b v tan olur. Bu şitlilrdn yararlanara -dülmindi bir armaşı utbun, önüm oranı v doğal franı da haplanabilir. w w w w n n ln r tan b a Eşitlilri oranlanara dünlnir w ln r ln r Inr b a olur 7
Örn: a- j notaının -dülmindi yrini bulunu. =. b-.5 j.5 notaının -dülmindi yrini bulunu. =. 8
Örn: vriln itmlrin ζ, w n v τ dğrlrini arşılaştırını. Sayıal itm, analog itmin = aniy il örnlnmiş arşılığıdır. Bu arşılığın bulunuşu ilrid açılanacatır..368.64 G, G.63 Çöüm: G w w n n w n w n,.5, Ayrı aman itmin aratriti dnlmi,.63,.5 j.68,.795.89 Rad dülmindn dülmin dönüşümlr ullanılara 9
In In.795.795.89.5 W n In.795.89.99 In.795 4.36 n NO: Örnlm pryodu daha üçü çilr ayrı aman arşılığı bulunaydı ayrı aman itmin ritrlri, analog itmin ritrlrin olduça yaın olacatı.
Şild -dülmindi çşitli notaların -dülmindi arşılıları vrilmiştir. Buradan, -dülmindi anal nin yani riti ararlılı ınırının, -dülmind birim çmbr arşılı gldiği görülmtdir. Dolayııyla dülmind birim çmbrin içi ararlılı bölgidir. S-dülmind utuplar ola doğru ualaştıça bağıl ararlılı artarn -dülmind utuplar mr orjin yalaştıça ararlılı artar. bağıntıından bu durum olayca görülbilir. r 4 5 5 6 6 7 7 3 8 8 9 9 α Jw/ -Jw/ 4 5 5 6 6 7 3 8 8 9 9 7 a jb
Örnlr : vriln itmlrin utup v ıfırlarını bulara v dülmind götrini. Sitmlrin önüm oranı v doğal franlarını blirlyini. =.. G 4 G.4.6.5.89
4.4 Açı çvrim ayrı aman ontrol itmlri Ayrı aman ontrol itmlrinin aman bölgi analii, ürli aman itmlri ayrı amana dönüştürm yöntmlri gri, ilri ya da mri far yöntmi il örnlm-tutma yöntmi gibi ullanılara yapılabilir. Örnlm-tutma yöntmi il ayrılaştırma yapılırn örnlnmiş vri ontrol itmlri d dnir önci bölümd inclnn örnlm v tutma dvrlrinin modllrin diat tm grir. Bu amaçla, yıldılı dönüşüm alınırn diat dilmi grn baı öllilri aşağıda vrilmiştir. A* * A* A.B** A*.B* A.B.C * * * AB *. C 4 3 * A.B * AB A*.B* A.B*.C * * A*.B*.C * 5 3
Örn: Şild vriln açı çvrim ürli aman itmin, a- Sürli amanda, b- Gri far yöntmi il ayrılaştırara, =. c- Örnlm v tutma yöntmi il ayrılaştırara, =. birim baama cvabını bulunu. U G p Y Çöüm: a Y yt t b G p..9 Y..9.9 y.9 4
c- Örnlm v tutma bloları lnr örnlnmiş vri itmi ld dilir. U U* G h U G p Y Bu itmi inclybilm için önclil G* v buradan da G bulunmalıdır. G G h G p A* B Burada G A * B G * A * B * A * B B * 5
.B A G U G Y U Y y olduğundan tr dönüşümü alınara, G bulundutan onra birim baama cvabı olayca bulunabili B A G * * * olduğundan * G Cvap ğrilri? 6
Çşitli Açı Çvrim Kontrol Sitmlrinin Analii Önci örnt bir analog itmin örnlm tutma yöntmi il ayrılaştırma şli vrilmiştir. Çşitli açı çvrim itmlrin ayrılaştırma aları i aşağıdai örnlrd inclnmiştir. Örn: Şild ri bağlı ii analog itmin hr iii d girişlrind örnlm-tutma dvrlri??? il ayrılaştırılmıştır. Vara şdğr G ini bulunu. Y G A* U U* G A A* G G? G? Y A G U * A* G * U * Y G G G U Sonuç:??? Y * Y G G * G G * U * U 7
Örn: Önci örnti vriln ri bağlı ii analog itm aşağıdai gibi örnlnir, U U* G G Y G.G.U * Y Y * GG *.U * Y GG Örn: Önci örnti vriln ri bağlı ii analog itm aşağıdai gibi örnlnir, G? G? A U.G A* G U * U G? G? G A Y A* Y * G G.G U G * *.G U *.U Y G G G U Y Y G A* Y G.GU Görüldüğü gibi bu itmin tranfr foniyonu ld dilm. Anca, çıışa ait bir ifad ld dilbilir v itmin hrhangi bir giriş 8 için cvabı bulunabilir.
Örn: Önci örnt açılanan itmlrin giriştn örnlndiğini diat alara vriln tranfr foniyonları için birim baama cvabını bulunu. =. Gp, Gp 4 U U* G G Y Y G G G U 9
Örn Şild vriln açı çvrim itmin birim baama cvabını bulunu. Dntlyicinin modli aşağıdai far dnlmi il tanımlanmatadır. Sayıal E E* U* A / D t ontrolör u D / A Eşdğri u U ut Gp Y yt G p E t E Gc U u Gh - U ut Gp Y yt Y* U * G Y G Y * h * c G.E p * burada G U * Y A* G* U * c U E A* G U * A* G* G c burada * E * G 3
Gc G A E Y G, olara Sonuc 3 K K K Y Y,...,,, u y 3 d 3
Bölüm 5 Kapalı Çvrim Sayıal Kontrol Sitmlrinin Analii v Kölrin Yr Eğrii 5. Kapalı Çvrim Ayrı Zaman Kontrol Sitmlrinin Analii için Kurallar v anali örnlri 5. Örnlnmiş Vrili Kontrol Sitmlrin ipi v Kalıcı Durum Hataları 5.3 Ayrı Zaman Kontrol Sitmlrind KYE F.Ü. noloji Faülti EEM M. GÖKBULU 3
5. Kapalı Çvrim Ayrı Zaman Kontrol Sitmlrinin Analii için Kurallar Kapalı çvrim ayrı aman ontrol itmlri inclnirn baı urallara diat dilr vara tranfr foniyonları, tranfr foniyonları yoa çıış ifadlri ld dilbilir. Ai hald bu itmlrin analiind orlularla arşılaşılabilir. - Hr bir örnlyicinin giriş v çıışına inyal iimlri vrilir. Örnğin giriş u i çıışı u* olur. Hr bir örnlyicinin girişi v itmin çıışı örnlyici çıışları v itm girişi cinindn yaılır. 3- Bu dnlmlrdn * lı dönüşümü alınara tranfr foniyonu ya da çıış ifadi ld dilbilir. 33
Örn: Vriln apalı çvrim ontrol itmind hata örnlnmiştir. Vara şdğr tranfr foniyonunu yoa çıış ifadini bulunu. Bu itmin Analog hali? utma? R + - E Sonuç olara, E* R* E * GH * * H G Y * R* Y E G* GH * Kurallara gör dnlmlr Y E* G E* R G H.E* Yıldılı dönüşümlri alınıra, Y * G* E* R* GH * E* Y R GH NO: Eğr E R H Y yaılara yıldılı dönüşüm 34 gçilydi tranfr foniyonunu bulma or olacatı?? G
Örn: Vriln apalı çvrim itmin birim baama cvabını? R + - E =.n Gh Gp 4 Y R + - Gp 4 C Çöüm: Açı çvrim tranfr foniyonu, G G. 365 G. 456.365 Y.456.667 Y 4. 36. G. 8 Kapalı çvrim tranfr foniyonu, Olur v birim baama cvabı..667.456 G p G.667.639.58.363 y t yt p 4 6. 667 Ayrı aman itm cvabı Y 6t 4 6 Örnlm pryodunun önmi?? Sürli aman itm cvabı y.667 [.456 ]...4.6.8 35 tn
Örn: Vriln apalı çvrim ontrol itmini inclyini.vara apalı çvrim tranfr foniyonunu bulunu. R + - A / D Dijital Dntlyici D / A Dntlnn itm Y Algılayıcı Bu itmin Analog hali? G = Gh.Gp R + - E E* E Gc* Gc U Gh Gp Y H Y G G Y * G* G c * * E * Yıldılı dönüşümlr alınıra, Buradan, c Y * R* * E * E E* c G* Gc * GH * G * R G H G R* GH * G c Y R c * E * * E* G G c 36 GH * G c
Örn: Vriln apalı çvrim ontrol itmini inclyini.vara apalı çvrim tranfr foniyonunu bulunu. R + - E E * G + - E E * G H Y Bu itmin Analog hali? utmalar? Y G E * E R G E * Yıldılı dönüşümlri alınıra, E G. E * G. H. E * Y * G * E * E * R * G *. E * E * G *. E * G H *. E * Bu dnlmlrdn E v E yo dilr * Y * R* G *.G * G *.G * G H * Y R G.G G.G G H 37
Örnlr: Aşağıdai apalı çvrim ontrol itmlrinin vara tranfr foniyonlarını yoa çıış ifadlrini bulunu. R Gc D/A Gp Y A/D H R Gc A/D D/A Gp Y H R D/A Gp Y Bu itmin birim baama cvabını bulunu. A/D Gp 4 38
5. Örnlnmiş Vrili Kontrol Sitmlrin ipi v Kalıcı Durum Hataları Bölüm 3 d doğrudan ayrı aman arşılığı vriln itmlr ürind bu onu anlatılmıştı. Burada örnlnmiş vrili itmlrdi farlılı vurgulanacatır. Şildi gibi hatanın örnlndiği apalı çvrim bir itm için önclil örnlmi tutma yöntmi il AÇF bulunmalıdır. Daha onra Bölüm 3 di gibi alıcı durum hata atayıları v hata bulunabilir. R + E - E* G Y G AÇF G G G bulundutan onra bölüm 3 dn yararlanara birim baama giriş için, K P lim G K p G h p bulunur Birim rampa giriş için, K v lim G K v 39
R + - Y E Örn: Vriln apalı çvrim ontrol itminin alıcı durum hatalarını bulunu. Analog itm ip olduğundan analog işlmlrl, p h..g G G 5. K Buradan, Lim G K p p p Ayrı aman ontrol itminin açı çvrim tranfr foniyonu, Olduğuna gör yin tip itmdir v onlu baama hataı vardır. 5 u. K radan B, lim G K p P 4
Örn: Vriln apalı çvrim ontrol itmlrinin ilgili alıcı durum hatalarını bulunu. R A/D Gc H D/A Gp Y Gp Gc H.5 R Gc H A/D D/A Gp Y Gp H Gc 4 4
5.3 Ayrı Zaman Kontrol Sitmlrind KYE Ayrı aman ontrol itmlrin ölrin yr ğriinin çiimind, analog itmlrdi urallar gçrlidir. Bunlar trarlanıra, Bilindiği gibi KYE, ontrol itminin AÇF undan yararlanara çiilir. R K G Y H Bir itmin KYE nin dal ayıı, AÇF nun utuplarının ayıı adardır v KYE, K= için AÇF nun utuplarında başlar K- onu için ıfırlarında ona rr. K> için; çiln x tt notaının ağ tarafında grç n ürind t ayıda utup v ıfır vara o nota KYE ürinddir. 4
KYE dallarının yalaştığı aimptotların açıları v aimptotların grç ni tiği notalar, n Grç ndn ayrılış v grç n varış notaları aşağıdai dnlmin ölri araındadır. K p m G H KYE nin birim çmbri m notaları Jury ya da Routh ritrindn bulunabilir. NO: Açı v gnli oşulu aşağıda vrilmiştir v analog itmlrdin bnr şild uygulanır. i n dk / R pj j i d n m m R i G c G H p K G c G H 43
Örn: a- =.5 notaı, vriln itmin KYE ürind midir? Ürind i KYE ni bu notadan gçirc olan K aanç dğri ndir? b- =.5+j.5 notaı, vriln itmin KYE ürind midir? Ürind i KYE ni bu notadan gçirc olan K aanç dğri ndir? c- Vriln apalı çvrim ontrol itminin KYE çiini AÇF : KG H. 5K. 7 Örnlr: KYE lrinin çiini.. 4 KG H K.5 KG H K 4.5 44
Bölüm 6 Sayıal Kontrol Sitmlrinin aarımı 6. aarım Yalaşımları 6. Kölrin Yr Eğrii KYE il Sayıal Kontrolör aarımı F.Ü. noloji Faülti EEM M. GÖKBULU 45
6. aarım Yalaşımları Önci bölümlrd ayıal ontrol itmlrinin taarımında aşağıdai ii yalaşımın ilnbilcği blirtilmiş v il yalaşımla taarım açılanmıştı. - Analog bölgd analog olara ontrolör taarlanır v onra da ontrolör ayrı amana çvrilr ayıal ortamda programlanır. - Kontrolör, ayrı amanda taarlanır. Yani ontrol dilc itm v ontrol talplri ayrı amana dönüştürülür. Ayrı aman ontrolörün paramtrlri ayrı amanda haplanır. Burada il yalaşıma bir örn vrilditn onra iinci yalaşımla taarım açılanara bait itmlr ürind örnlr vrilc, ayrıca KYE il taarım örnlri vrilctir. 46
Örn: Vriln analog itm analog bölgd önüm oranı.8 v önümü doğal franı olaca şild PI ontrolörü taarlayara bu ontrolörün yrin ullanılabilc ayıal ontrolörü blirlyini. rad / n,. 8 R Gc w n Gp Y G p Analog taarımda yapıldığı gibi PI ontrollü itmin apalı çvrim F, tandart. drcdn itm şitlnir, G c G G c p G p K b K Kb w n w n w n Buradan G c 4 7.4 47
aarlanan ürli aman ontrolör bilinr dönüşüml =. il ayrılaştırılıra ayıal PI ontrolör aşağıdai gibi bulunur. 4 7. 4 G c 4 7. 4 8 9. 474 Sonuç olara, itnn ontrol talplrinin arşılayan v analog itm bağlanmaı grn ayıal ontrolör aşağıdai gibi olmalıdır. R + - R Gc K a Gc A/D D/A Gh Gp D / A Y Y Daha fala örn için Bölüm 3 baını. A / D =. 48
Doğrudan Ayrı Zamanda Kontrolör aarımı Kontrol dilc itm ayrılaştırılır. Sitm bağlanaca ayıal ontrolörün tranfr foniyonu blirlnir. Ayrı amandai ontrol itminin aratriti dnlmi bulunur. Laplac bölgind vriln ontrol ritrlri önüm oranıdoğal fran bölgin dönüştürülür. Kontrol ritrlrini arşılayaca şild ontrolör paramtrlri haplanır. Sonuç olara aşağıdai itm dilr ayıal bölgd taarım yapılmalıdır. R + - Gc G Y 49
Önci örnt vriln itm için doğrudan ayıal bölgd aşağıdai gibi PI taarımı yapılır. rad / n,. 8 R Gc Gp Y w n G p Önc Kontrol dilc itm ayrılaştırılır. =? G. 5. 9. 887 Sitm bağlanaca ayıal ontrolörün tranfr foniyonu: G c K a Sonuç Kontrol Sitmi R + - Gc G Y 5
Sayıal ontrol itminin aratriti dnlmi G c. G. 887. 9 K. 887. 9 Ka Laplac bölgind vriln ontrol ritrlri önüm oranı-doğal fran bölgin dönüştürülür., wn jwn 8 j6 v buradan.74.994 il,. 37 j. 54 Dolayııyla aru diln aratriti dnlm: Karatriti dnlmlr şitlnir,. 887. 9K. 74 v. 887. 9Ka. 994 Sonuç olara, K=8 v a=.775 v ayıal PI ontrolör, G c 8. 775 NO: İi yöntml taarlanan ontrolörlr 5 araındai farın ndni?
Örn: Vriln itm hr ii yöntml d PD ontrolör taarlayara arşılaştırını. G p 4 5
6. Kölrin Yr Eğrii KYE il Sayıal Kontrolör aarımı Kontrol itminin gçici rjim ritrlrini iyilştirm için KYE il tandart bir taarım yalaşımı olara aşağıdai urallar uygulanabilir. - Analog itm ayrılaştırılır. - Ayrı aman ontrolörün tranfr foniyonu il birlit ontrol itminin AÇF bulunur. 3- Vriln ontrol itlrindn n büyü aşma, yülm, yrlşm amanı ya da önüm atayıı v doğal fran gibi yararlanara aru diln baın utupların - dülmindi yri blirlnir. 4- Kontrolörlü itmin KYE nin, aru diln baın utuplardan gçmi için açı oşulu ullanılara dntlyicinin itm lmi grn fa açıı blirlnir. Açı oşulu K> için G c G H p 53
5- Bu fa açıını arşılayaca şild ontrolör ıfırının dğri haplanır. 6- Kontrollü itmin KYE nin aru diln baın utuplardan gçmini ağlayaca şild gnli oşulundan yararlanara açı çvrim aanç dğri v dntlyici aancı blirlnir. Gnli oşulu: K G G H c 54
Örn: Vriln itmd yrlşm ürini.5 aniydn üçü v maimum aşmayı % dan üçü yapaca şild KYE il PD ontrolörü taarlayını. Gh R + - Gc Y =.n 55
Örn: Vriln itmd önüm oranı.8 v önümü doğal fran olaca şild KYE il PI ontrolörü taarlayını. Uygun örnlm franını çini. Uygun örnlm franı, itmin önümlü doğal franının atından a olura itnn prforman ld dilmybilir. w w Dntlyici Gh R + K a - Y =? 56