PID KONTROLÖR İLE TASARIM

Transkript

1 ONTROLÖR İLE TASARM Öet:Bu konuda,,, kontrolörleri ile tasarım, hem aman tanım aralığında hem de frekans tanım aralığında ele alınarak incelenmiştir. Ayrıca ek olarak ise matematik modeli olmayan sistemlerde kontrolörünün nasıl gerçekleştirilebileceği öetlenmiştir. 1.Giriş Tasarım aşamasına geçmeden önce baı tanımlamaların ele alınması gerekmektedir. ontrol sistem tasarımı üç adımdan oluşur: 1. Sistemin ne yapması ve nasıl yapması gerektiğinin belirlenmesi tasarım kriterleri.. ontrolör yapısının kontrol edilen sisteme nasıl bağlanacağının belirlenmesi. 3. ontrolör parametrelerinin tasarım hedeflerine göre belirlenmesi. 1. Tasarım riterleri Tasarım kriterleri her uygulamaya göre farklılık gösterir ve genellikle göreli kararlılık, kararlı hal hatası, geçici yanıt ve frekans yanıtı ile ilgili kısımlardan oluşur. Lineer kontrol sistemlerinin tasarımı aman yada frekans tanım bölgelerinde gerçekleştirilebilir. Örneğin kararlı hal hatası genellikle birim basamak, rampa yada parabolik giriş için tanımlanır. Belirli tasarım kriterleri aman tanım aralığında çok kolay değerlendirilebilir. En büyük aşım, yükselme amanı ve yerleşme amanı gibi birim basmak giriş için tanımlanan kriterler genellikle aman tanım bölgesi tasarımında kullanılır. Göreli kararlılık kaanç payı, fa payı ve reonans tepesi gibi büyüklüklerle ölçülür. Bu tip frekans tanım bölge kriterleri Bode diyagramı, kutupsal yer eğrisi, genlik fa eğrisi ve Nichols abağı ile birlikte kullanılırlar. Lineer sistemlerin tasarımında Bode, Nyquist, genlik-fa eğrisi ve Nichols abağı gibi yöntemler yaklaşık çiimlerde ayrıntıya gerek duymalar. Böylece kaanç payı, fa payı, reonans tepesi gibi frekans tanım bölgesi kriterlerinden yararlanılarak yüksek mertebeden sistemler bile tasarlanabilir. iğer taraftan, aman tanım bölgesinde yükselme amanı, gecikme amanı, yerleşme amanı, aşım vs. gibi davranış kriterleri sadece ikinci mertebeden sistemlerde anlitik tasarlanabilir, yada ikinci mertebeden sistemler cinsinden yaklaşık ifade edilebilir.. ontrolör yapıları Ut ontrol eğişkeni ontrol Edilen Sistem G p s yt Çıktı Şekil-1. ontrol sistem dinamiği ontrol edilen bir sistemin dinamiği genelde şekil-1 de verilen blok diyagramı ile ifade edilir. Tasarımın amacı yt ile gösterilen kontrol edilen çıkış değişkeninin istenilen şekilde 1

2 davranmasıdır. Sorun temelde tasarım amaçlarının tümü gerçekleşecek biçimde ut kontrol işaretini belirli bir aman aralığında belirtmektedir. Tasarım yönteminde, tasarımcı kontrolörünü kontrol edilen prosese göre nereye yerleştirmesi gerektiğini genellikle önceden belirler ve sisteme sabit yapıda bir tasarım uygular. Bu durumda sorun kontrolör elemanlarını belirlemeye dönüşür. Yaygın olarak kullanılan kontrol yapıları: Seri kompanasyon Geribeslemeli kompanasyon urum geribeslemeli kompanasyon Seri-geribeslemeli kompanasyon İleri beslemeli kompanasyon Bu kontrol yapılarının içerisinde en yaygın kullanılanı seri kompanasyon olup yapısı şekil- de gösterilmiştir. rt et ONTROLÖR ONTROL yt G c s EİLEN SİSTEM G p s Şekil-. Seri kompanasyon Yukarıdaki kompanasyon yapıları içinde kontrolörü yaygın uygulama alanı bulan ve etkin işaretin oransal, integral ve türevsel bir bileşimini sisteme uygulayan bir kontroldür. Bu işaret bileşenleri aman tanım bölgesinde kolaylıkla gerçekleştirilip görüntülenebildiğinden, kontrolü genellikle aman tanım bölgesi yöntemleri ile tasarlanır. 3. Tasarım ilkeleri Belirli bir kontrolör yapısı seçildikten sonra, tasarımcı tüm tasarım koşullarını gerçekleyen bir kontrolör türünü, eleman değerleri ile birlikte belirlenmelidir. Mühendislik uygulamaları gereği tüm tasarım koşullarını sağlayan en basit yapılı kontrolörün seçimi tercih edilir. Genellikle kontrolörün karmaşıklığı artıkça fiyatı artar, güvenirliği aalır ve tasarımı güçleşir. Bir kontrolde karar kıldıktan sonra ikinci adım kontrolör parametre değerlerini belirlemektir. Bu parametre değerleri kontrolörü oluşturan bir yada daha fala transfer fonksiyona ilişkin katsayılardır. Tasarım, aman yada frekans, hangi tanım bölgesinde sürdürülürse sürdürülsün, baı yöntem yada tasarım kurallarını ilemelidir. Zaman tanım bölgesi tasarımın öellikle s-dülemine ve kök eğrilerine dayandığını gö önünde bulundurulmalıdır. Frekans tanım bölgesi tasarımında ise, çevrim transfer fonksiyonu genlik ve fa etkilenerek, kriterler sağlatmaya çalışılır. Tasarımda kullanılmak amacıyla aman ve frekans tanım bölgesi öelliklerini öetlemekte yarar vardır:

3 1. apalı çevrim transfer fonksiyonunda karmaşık eşlenik kutuplar a sönümlü basamak yanıtlarına neden olur. Tüm kutupların gerçek olması durumunda birim basamak yanıtı aşırı sönümlüdür. Ancak, kapalı çevrim transfer fonksiyonundaki sıfırlar, sistem aşırı sönümlü olsa bile, aşıma neden olabilir.. Sistem yanıtı, s-düleminde koordinat merkeine en yakın kutuplar tarafından belirlenir. Sola doğru uaklaşan kutuplar geçici yanıtta daha hılı söner. 3. Baskın sistem kutupları s-düleminde sola doğru uaklaştıkça, sistem yanıtı hılanır ve bandgenişliği artar. 4. Baskın sistem kutupları s-düleminde sola doğru uaklaştıkça, iç işaret genlikleri büyür ve sistemin işletim masrafı artar. Bu her ne kadar analitik doğrulansa da, bir çiviye çekiçle daha sert vurulduğunda, çivinin daha fala ötelendiği ve her darbede daha fala enerjiye ihtiyaç duyulduğu gerçeğinden kaynaklanır. Bener şekilde bir spor arabasının ivmesi faladır, ancak normal bir arabaya göre daha fala yakıt harcar. 5. Sistem transfer fonksiyonunda bir sıfır bir kutbun yanında yer alması halinde, kutup sistem yanıtını çok küçük bir genlikle etkiler sıfır-kutup silmesi. 6. Zaman ve frekans tanım bölgesi kriterleri kendi aralarında ilişkilidir. Yükselme amanı ve bandgenişliği ters orantılıdır. Fa payı, kaanç payı, reonans tepesi ve sönüm oranı ters orantılıdır.. Zaman ve Frekans Tanım Bölgesi riterleri Anali problemlerinde sistemlere referans giriş işaretleri uygulanır ve bu işaretlere verilen yanıtlar incelenerek sistemlerin davranışı değerlendirilmeye çalışılır. Bir kontrol sisteminde eğer çıkış işareti giriş işaretini belirli koşullar altında takip etmesi isteniyorsa, giriş ve çıkış işaretleri aman fonksiyonu olarak karşılaştırılır. Bu nedenle kontrol sistemlerinde sistem davranışının son değerlendirilmesi genellikle hep aman alanında yapılır. Bir kontrol sisteminin aman yanıtı genellikle iki kısımdan oluşur: geçici hal yanıtı ve sürekli hal yanıtı. Eğer yt bir sürekli sistem yanıtını ifade ediyorsa, y t t geçici yanıtı ve y ss t sürekli yanıtı ifade etmek üere, genelde yt y t t y ss t yaılabilir. ontrol sistemlerinde geçici hal yanıtı, aman yanıtının, aman ilerledikçe sıfıra doğru giden kısmı olarak tanımlanır. buna göre y t t öelliklidir. lim y t t 0 t Sürekli hal yanıtı ise, geçici hal yanıtı söndükten sonra, aman yanıtının geriye kalan kısmıdır..1. Birim Basamak Yanıtı ve Zaman Tanım Bölgesi riterleri 3

4 Geçici hal, daha önce belirtildiği gibi, sistem yanıtının aman ilerledikçe sıfıra giden kısmı olarak tanımlanır. Bir kontrol sisteminde geçici hal yanıtının genliği ve süresi katlanabilir bir sınırın altında tutulmalıdır. oğrusal kontrol sistemlerinde geçici hal yanıtının değerlendirilmesi genellikle u s t birim basamak yanıtından yararlanılarak yapılır. ontrol sisteminin birim basamak girişe cevabı birim basamak yanıtı olarak adlandırılır. Şekil-3 de doğrusal bir kontrol sisteminin örneksel birim basamak yanıtı görülmektedir. Şekil-3. Birim basamak Yanıtı. Şekil-4 te gösterildiği gibi, ikinci mertebeden bir sistem ele alındığında, birim basmak yanıtı ile ilgili olarak kontrol sistemlerinin aman tanım bölgesi öellikleri, formüllerle aşağıdaki davranış kriterleri ile değerlendirilir. rt et wn yt - s s ζwn Şekil-4. İkinci mertebeden sistem dinamiği 1. En büyük aşım. Yt birim basamak yanıtı olmak üere, yt nin en büyük değeri y max ve sürekli hal değeri y ss ile belirlenmiş olsun. Buna göre en büyük aşımy max -y ss olarak tanımlanır ve denklem-.1 ile gösterilir. Y max -1 πζ 1 ζ e.1. Gecikme amanı. Gecikme amanı t d basamak yanıtının son değerinin yüde 50 değerine ulaşma amanı olarak tanımlanır ve denklem-. ile gösterilir. 4

5 1 0.7ζ t d, 0< ζ < 1.0. w n 3. Yükselme amanı. Yükselme amanı t r, basmak yanıtının son değerin yüde 10 değerinden yüde 90 değerine ulaşma amanı olarak tanımlanır ve denklem-.3 ile gösterilir ζ t r, 0< ζ < wn 4. Yerleşme amanı. Yerleşme amanı t s, basmak yanıtı son değerinin belirli bir yüdesine kadar aalması ve bu değerin altında kalması için geçmesi gereken aman olarak tanımlanır ve denklem-.4 ile gösterilir. Yüde 5 çok kullanılan bir değerdir ζ t s, 0< ζ < 0.69 t s, ζ > ζw w n.. Frekans Tanım Bölgesi riterleri Uygulamada bir kontrol sisteminin davranışı, en gerçekçi ve doğru olarak ancak aman tanım bölgesi kriterleri ile belirlenir. Bunun nedeni, kontrol sistemlerinde davranışların genellikle sisteme uygulanan test işaretleri etkisinde sistem yanıtlarına göre değerlendirilir. Fakat yüksek mertebeden kontrol sistemlerinde aman tanım bölgesi yanıtlarına ilişkin analitik ifadelerin çok or elde edilmektedir. iğer taraftan frekans tanım bölgesinde düşük mertebeden sistemlerle sınırlı kalmayan çok sayıda grafiksel yöntem bulunmaktadır. ontrol sistemlerinin anali ve tasarımların frekans bölgesinde yapılmasının nedenlerin başında kolaylık ve uygun analitik yöntemlerinin olmasıdır. apalı çevrimli bir sistemin frekans yanıtını tanımlayacak olursak, bilindiği gibi tek çevrimli bir kontrol sisteminin kapalı çevrim fonksiyonu Ys Gs Ms şeklindedir. Rs 1GsHs Sinüsoidal sürekli halde s jω yaıldığında sinüsoidal sürekli hal Mjω transfer fonksiyonu Mjω Mjω Mjω şeklinde genlik ve fa olarak tanımlanır. Ms bir elektrik filtresinin giriş-çıkış transfer fonksiyonu ifade etmesi halinde, Mjω nın genlik ve faı filtrenin giriş işaretini filtreleme öelliğini belirler. Şekilde ω c frekansında keskin kesme öelliği olan ideal bir alçak geçiren bir filtrenin genlik ve fa karakteristiği görülmektedir. ontrol sistemlerinin tasarımı pek çok yönden filtre tasarımına bener ve kontrol sistemi bir işaret işlemcisi gibi değerlendirilebilir. 0 ω Mjω n 0 ω c ω φ M jω 5

6 Frekans tanım bölgesi yöntemleri kullanılarak tasarlanan doğrusal kontrol sistemlerinde sistemlerin davranışlarını belirlemek için bir dii kriter tanımlamak gerekir. En büyük aşım sönüm oranı gibi aman bölgesinde tanımlanmış kriterler frekans tanım bölgesinde doğrydan kullanılama. Fakat frekans tanım bölgesinde kullanılan kriterler aşağıda verilmiştir. Reonans Tepesi M r M r reonans tepesi Mjω nin maksimum değeridir. Genelde M r genliği bie göreli kararlılığı hakkında bilgi verir. Genellikle büyük bir M r sistem basamak yanıtında büyük bir aşıma karşı düşer. Uygulamada kontrol sistemlerinde reonans tepesi 1.1 ile 1.5 arasında bulunması istenir. İkinci mertebeden sistemlerde reonans tepesi ζ nin fonksiyonu olarak denklem-.6 ile ifade edilir. 1 M r ζ ζ 1 ζ Mjω Bandgenişliği BG φ M jω Şekil-5 Reonans Tepesi. BG bandgenişliği Mjω nın sıfır frekansına göre yüde 70.7 ya da 3 db düştüğü frekanstır. Genelde bandgenişliği kontrol sisteminin aman tanım bölgesinde geçici hal yanıtı hakkında bilgi verir. Büyük bandgenişliği yüksek frekanslı işaretlerin sistemden iletilmesini olanak kıldığından, kısa yükselme amanına düşer. Bandgenişliğinin küçük olması sistemden sadece göreli düşük frekanslar aktarılabilir ve sistemin aman yanıtı ağırlaşır. Buna göre ikinci mertebeden bir sistemin bandgenişliği denklem-.7 ile ifade edilir. 4 [ 1 ζ 4ζ 4 ] 1/ BG ζ.7 buna göre ikinci mertebeden sistemlerde terimler arasındaki ilişkiyi öetleyecek olursak: Bandgenişliği ve yükselme amanı ters orantılıdır. Bandgenişliği arttıkça sistem yanıtı hılanır. ω n arttıkça bandgenişliği artar yükselme amanı aalır. ζ arttıkça bandgenişliği aalır ve yükselme amanı artar. 6

7 Göreli ararlılık: aanç ayı ve Fa ayı Tasarımcı sistemin mutlak kararlılığı kadar ne kadar kararlı olduğu ile de ilgilidir. Bu kavram genellikle göreli kararlılık olarak bilinir. Zaman tanım bölgesinde göreli kararlılık aşım ve sönüm oranı gibi parametrelerle ölçülür. Frekans tanım bölgesinde ise M r reonans tepesi ile ifade edilir. aanç payı ve fa payının bode diyagramı üerinde gösterilişi şekil-6 da verilmiştir. 3. ontrolörüyle Tasarım Şekil-6. Bode diyagramı kriterleri. Bir kontrol işleminde, kontrol işareti kontrolör çıkışına sabit bir oranla aktarıldığında, oransal kontrol olarak adlandırılır. Segisel olarak, oransal işleve ilave olarak, giriş işaretinin türevinden veya integralinden de yararlanılabilir. Uygulamada çok sık kullanılan kontrolörü, oransal roportional, integral ntegral vr türevsel erivative işlevleri ifade eden kelimelerin baş harfleriyle adlandırılır. Bu kontrolörleri öümseyebilmek için önce kontrolörünü gö önüne alalım. Şekil 3-1 deki geribeslemeli bir kontrol sistemine ait blok diyagramında, kontrol edilen sistemin transfer fonksiyonu G p s w n s s ζw n 3.1 İkinci mertebeden bir örnek sistem olarak verilmiş olsun. Seri kontrolör transfer fonksiyonu G c s p s Şeklinde oransal-türevsel türdendir. Buna göre sisteme uygulanan kontrol işareti, p ve orantı ve türev katsayıları olmak üere, 7

8 şeklindedir. de t u t pe t 3. dt Rs Es Us Ys p w n s s ζw n s Şekil-3.1. ontrol sistemi blok diyagramı Uygun tasarlanmış bir kontrolörü kontrol sistem davranışını şu şekilde etkiler: sönümü arttırır ve en büyük aşımı aaltır. Yükselme amanı ve yerleşme amanı aaltır. Bandgenişliğini arttırır. aanç payı, fa payı ve reonans tepesini düeltir. Yüksek frekans gürültüsünü arttırabilir. A sönümlü ya da kararsı sistemlerde etkili olma. evrenin tasarımında göreli büyük kapasitelere ihtiyaç duyabilir. Aşağıdaki örnekte ikinci mertebeden bir sistemin kontrolörüyle aman ve frekans tanım bölgesinde nasıl etkilendiği tartışılacaktır. Örnek: Transfer fonksiyonu 4500 G s 3.3 s s 361. olarak verilen ikinci mertebeden bir kontrol sisteminin davranış kriterleri aşağıdaki şekilde seçildiğini varsayalım: Birim basamak girişe karşı kararlı hal hatası Aşım %5 Yükselme amanı t r saniye Yerleşme amanı t s saniye ararlı hal hataları ile ilgili kriterleri sağlamak için kaancı: V lim s. G s olmalıdır. Ancak bu değeri için s sistemin sönüm oranı 0. ve aşım %5.7 dir. Birim basamak yanıtında kararlı hal hatası kalacak, sistemin sönüm oranı ve en büyük aşım düelecek şekilde sisteme bir seri kontrolörü uygulayalım. 8

9 Zaman Tanım Bölgesi Tasarımı kontrolörü ve için sistem ileri yol transfer fonksiyonu p s G s G s GC s 3.4 s s 361. olarak elde edilir. Bu durumda kapalı çevrim transfer fonksiyonu: y s p s 3.5 r s s s p ve hı katsayısı p v lim sg s s p 3.6 şeklindedir. Birim basamak rampa girişi için kararlı hal hatası e ss 1/ v / p olarak hesaplanır. apalı çevrim transfer fonksiyonunda görüldüğü gibi kontrolörü sistemi iki şekilde etkiler: 1. apalı çevrimli sisteme s- p / de bir sıfır ekler.. s teriminin çarpanı 361. den arttırarak sönüm oranını etkiler. arakteristik denklem s s81565 p şeklinde yaılır. ararlı hal hatası ile ilgili koşul sağlandığına göre p 1 olarak seçilebilir. Bu durumda, sistemin sönüm oranı ζ ilişkisinde görüldüğü gibi, sönümü davranışı olumlu yönde etkiler. Eğer ζ1 ya da sönüm oranının kritik olması istenirse olması gerektiği görülür. Ancak denklem-3.4 artık ikinci mertebeden bir sistemi ifade etmediğini belirtmek gerekir. Geçici yanıt transfer fonksiyonunun s- p / sıfırıyla da etkilenir. Bu ikinci mertebeden sistemde arttıkça sıfır koordinatına doğru yaklaşır ve neticede Gs in s0 daki kutbunu siler. Buna göre arttıkça denklem-3.4 teki transfer fonksiyonu, kutbu s-361. de bulunan, birinci mertebeden bir sisteme dönüşür ve aşım oluşma. Yüksek mertebeden sistemlerde s- p / sıfırı arttıkça genellikle aşımın artmasına neden olur. enklem-3.7 deki karakteristik denkleminde p ve değişiminin etkisini incelemek için kök çevreleri yöntemi uygulanabilir. arakteristik denklemde sıfıra eşitlenirse s 361.s81565 p elde edilir. p 0 ile arasında değiştirilirse şekil-3. de görülen kök yer eğrisi elde edilir. 9

10 Şekil-3.. kontolör için kök eğrisi 0 için 3.7 nolu karakteristik denklemeden Geş s 361.s p s eşdeğer denklemi yaılabilir. p sabit değişken kök çevreleri G eş s in kutup sıfır yerleşimine göre oluşturulur. Şekil-3.3 de 0.5 ve 1 için çiimler verilmiştir. 1 ve 0 için karakteristik denklemin köklerinin 180.6j ve j ve kapalı çevrim sönüm oranının 0. olduğu görülür. değeri arttıkça karakteristik denklemin kökleri bir daire yayını ileyerek gerçek eksene doğru yaklaşır. nin değeri ye ulaşınca kritik sönüme karşı düşen 90.9 değerine eşit gerçek kökler elde edilir. değişkeni nin ötesinde arttırılırsa, karakteristik denklemin farklı gerçek kökleri için sistem aşırı sönümlüdür. Şekil-3.4 te kontrolsü ve 1, için birim basamak yanıtı görülmektedir. Tablo-3.1 deki yükselme ve yerleşme amanı kriterlerinin tümü

11 için sağlanır. Öet olarak kontrolörü genellikle en büyük aşımı, yükselme amanı ve yerleşme amanını aaltır. Şekil-3.3 d nin iki farklı değeri için kök eğrisi Tablol-3.1. kontrolör örneğine ilişkin parametre değerleri t r [saniye] t s [saniye] Aşım [%] 11

12 Şekil-3.4. kontrolör sistem cevabı Frekans Tanım Bölgesi Tasarımı Aşağıdaki davranış kriterlerinin verildiğini varsayalım: Birim rampa girişe karşı kararlı hal hatası Fa payı 80 0 Reonans Tepesi Mr 1.05 BG 000 rad/sn 1, 0, 0.005, ve için Gs ye ilişkin Bode diyagramları Şekil-3.5 de gösterilmiştir. 1

13 Şekil-3.5. kontrolörünün Bode diyagramı 13

14 Sistemin davranış kriter ölçüleri karşılaştırmak amacıyla aman tanım bölgesi kriter değerleri ile birlikte çeşitli kontrolör parametreleri için tablo-3. de listelenmiştir. Tablo-3. kontrolörünün frekans tanım bölgesi kriterleri F GF BG M r t r t s Aşım ritik çöüme karşı düşen için fa payı F8.9 0 ve reonans tepesi M r 1.05 ve bandgenişliği BG1669 rad/sn dir. Bu durumda frekans tanım bölgesi kriterlerinin tümü sağlanır. 4. ontrolörüyle Tasarım kontrolörünün sistemin sönümünü ve yükselme amanını, daha büyük band genişliği ve reonans frekansı uğruna düelttiği ve birim basamak girişinde görüldüğü gibi amanla değişmeyen girişlerde kontrolörün kararlı hal hatalarını etkilemediği görülmüştü. Buna göre kontrolü öngörülen hedefleri sağlamayabilir. kontrolörünün integral kısmı kontrolör giriş işaretinin aman integrali ile orantılı bir işaret üretir. Şekil-4.1 de seri kontrolörü ikinci mertebeden örnek bir kontrol sistemi görülmektedir. kontrolörünün transfer fonksiyonu şeklindedir. Gc s 4.1 s Rs Es Us Ys p w n s s ζw n s Şekil 4.1. kontrolör blok diyagramı Uygun tasarlanmış bir kontrolörü kontrol sistem davranışını şu şekilde etkiler: sönümü düeltir ve aşımı aaltır. Yükselme amanını artırır. Bandgenişliğini aaltır. aanç payı, fa payı ve reonans tepesini iyileştirir. Yüksek frekans gürültülerini süer. ontrolör devresindeki kapasite değerinin çok büyük olmaması için uygun seçilmesi gereken ve değerleri kontrolünde daha sınırlıdır. 14

15 Aşağıdaki örnekte ikinci mertebeden bir sistemin kontrolörüyle aman ve frekans tanım bölgesinde nasıl etkilendiği tartışılacaktır. Örnek: Transfer fonksiyonu 4500 G s 4. s s 361. olarak verilen bir sisteme, kontrolörü uygulanırsa sistemin ileri yol transfer fonksiyonu: 4500 s / G s Gc s Gp s 4.3 s s 361. olarak elde edilir. Zaman Tanım Bölgesi Tasarımı Zaman tanım bölgesi kriterleri şu şekilde belirlenmiş olsun: arabolik giriş işareti t u s t/ için kararlı hal hatası 0. Aşım %5 Yükselme amanı t r 0.01 saniye Yerleşme amanı t s 0.0 saniye Bu sistemi anlamlı tasarlayabilmek için yükselme ve yerleşme amanlarını gevşetmemi gerekir. İvme hata katsayısı 4500 a lim s G s s Olarak elde edilir. arabolik giriş için kararlı hal hatası e ss a şeklindedir. kontrolöründe kullanılmış olan değerini seçelim. arabolik giriş için belirli bir kararlı hal hatasını sağlamak için büyük tutuldukça küçülebilir. Eğer 4.5 nolu ilişkide 0. en küçük kararlı hal hatası koşulu ve için çöülürse, nın alabileceği en küçük değer olarak elde edilir. Gerekirse değerinde ileride ayarlama yapılabilir için kapalı çevrim sisteminin karakteristik denklemi 3 s 361.s s p bulunur. Routh testi uygulanırsa sistemin 0 / 361. için karalı olduğu görülür. Buna göre Gs in sıfırı s- /, s-düleminde çok fala sola yerleştirileme. Aksi halde sistem kararsı hale gelir. Bu nedenle - / sıfırı koordinat merkeine yakın yerleştirilir. Buna göre / oranı 15

16 << koşulu sağlanacak şekilde seçilmelidir. / 10 için kök eğrisi şekilde görülmektedir. 4.7 nolu denklem şartı sağlandığında 4.3 nolu denklem G s 4.8 s s 361. yaklaşık ifade edilebilir. Göreli sönüm oranının olmasını istediğimii varsayalım. Bu sönüm oranı için nin 4.8 ilişkisinde 0.08 olması gerektiği hesaplanır. Şu halde 0.08, 0.8 için şekil-4. deki kök eğrisi iki karmaşık kökün göreli sönüm oranını yaklaşık olarak verilir. Bu durumda karakteristik denklemin üç kutbu s s j175.4 s j175.4 olarak elde edilir ve değeri 4.7 nolu koşulu sağladığı sürece karmaşık kutupların göreli sönüm oranı ye yakın kalır. Şekil-4.. kontrolöre ilişkin kök eğrisi Tablo-4.1 de sönüm oranı, 0.707, 0.08 ve çeşitli / değerlerine karşı gelen kontrolörlü sistemin birim basamak yanıtına ilişkin değerler verilmiştir. Tablodaki sonuçlar, 16

17 kontrolünün en büyük aşım yükselme amanı uğruna aalttığı görülmüştür. Tabloda 1 için yerleşme amanında ani bir aalma görülür. yi 0.08 den küçük seçerek aşım aaltılabilir fakat yükselme ve yerleşme amanları artar. Tablo-4.1. kontrolör örneğine ilişkin parametre değerleri / Aşım % t r s t s s Şekil-4.3 de 0.08 ve çeşitli değerleri için kontrolörlü sistemin birim basamak yanıtı verilmiştir. arşılaştırılmak için kontrolörüde eklenmiştir. Frekans Tanım Bölgesi Tasarımı Şekil-4.3. kontrolörü sistem yanıtı Ögün sistemin Gs ileri yol transfer fonksiyonu 4.9 ilişkisinde 1 ve 0 alınarak elde edilir s / G s Gc s G p s 4.9 s s

18 Şekil-4.4 de görülen Bode diyagramına göre ögün sistemin fa payı.68 0 ve kaanç geçiş frekansı 868 rad/s dir. Ön görülen fa payının en a 65 0 olacağını kabul ederek kontrolörünü tasarlayalım. kontrolöründe aşağıdaki adımlar atılmalıdır fa payının gerçekleştiği yeni kaanç geçiş frekansı ω g belirlenir. Şekil-4.4 te bu değerin 170 rad/s olduğu görülür. Bu frekansta Gjω nın modülü 1.5 db dir. Buna göre kontrolörü ω g 170 rad/s de 1.5 db lik ayıflama getirmelidir. Bunun elde edilmesi için: 10 g G jω db / / elde edilir. aha önceki aman tanım bölgesinde değerinin 0.08 olarak seçildiği hatırlanırsa, karmaşık karakteristik denklemin köklerine ilişkin göreli sönüm oranının yaklaşık olacağı görülür.. Frekans tanım bölgesi sonuçlarını daha önceki aman tanım bölgesi sonuçları ile karşılaştırabilmek için 0.08 seçilir. seçildiğinde nın seçilmesi gerektiğini belirler. Buna göre ω g * alınmalıdır. aha önce belirtildiği gibi / oranı Gs nin 361. deki kutbun genliğinden yeterli derecede küçük olduğu sürece değeri değiştirilebilir. Şekil-4.4 te 0.08 ve 0.008, 0.08 ve 1.6 için ileri yol transfer fonksiyonuna ilişkin Bode diyagramları ve tablo-4. de ilgili frekans tanım bölgesi kriterleri görülmektedir. Yeterli derecede küçük / oranları için fa payı, M r, BG ve kaanç geçiş frekansı gibi değerlerin çok a değiştiği görülmektedir. Tablo-4.. kontrolörünün frekans tanım bölgesi kriterleri / db F derece M r BG rad/s GF rad/s FGF rad/s

19 Şekil-4.4. kontrolörüne ilişkin Bode diyagramı 19

20 5. ontrolörüyle Tasarım Önceki tartışmalarda kontrolünün sisteme ayıflama getirdiği ancak sistemin kararlı hal davranışını etkilemediği görülmüştü. kontrolörünün ise, göreli kararlılığı ve aynı amanda kararlı hal hatalarını düelttiği, ancak yükselme amanının arttığı belirtilmişti. Bu sonuçlar bii, ve kontrolörlerinin iyi yönlerinden yararlanmayı sağlayan, kontrolünü kullanmaya yöneltir. kontrolörünün tasarımı için aşağıdaki yol ilenebilir. 1. kontrolörü seri bağlı ve kısımlarından oluşur. kontrolörünün transfer fonksiyonu G 1 s s 1 1s 5.1 s s C şeklinde yaılabilir. kontrolünde sadece üç parametreye ihtiyaç olduğundan kısmının orantı katsayısı birim alınır. enklem-5.1 in iki tarafı eşitlenirse Elde edilir.. Sadece kısmının etkin olduğunu varsayalım. 1 değerini göreli kararlılığın bir kısmı yerine gelecek şekilde seçilir. Zaman tanım bölgesinde bu göreli kararlılık en büyük aşım ve frekans tanım bölgesinde fa payı ile değerlendirilir ve parametreleri tüm göreli kararlılık koşulları sağlanacak şekilde seçilir. Örnek: Transfer fonksiyonu *10 G s 5. s s s olarak verilen üçüncü mertebeden bir sistemi gö önüne alalım için transfer fonksiyonu Şeklindedir *10 G s 5.3 s s s

21 Zaman Tanım Bölgesi Tasarımı Zaman tanım bölgesi kriterleri şu şekilde verilmiş olsun: arabolik t u s t/ girişi için kararlı hal hatası 0., Aşım %5, Yükselme amanı t r saniye, Yerleşme amanı t s saniye. İlk olarak transfer fonksiyonu 1 1 s olan kontrolörünün uygulandığını varsayalım. Bu durumda ileri yol transfer fonksiyonu *10 1! s G s G s GC s 5.4 s s s 3008 şekline gelir. apalı çevrim sisteminin karakteristik denklemi s s *10 s.718 * Şeklinde yaılabilir. Eşdeğer transfer fonksiyonu elde edilirse G eş *10 s s s s j906.6 s j elde edilir. arakteristik denklemin G eş s in kutup-sıfırına göre şekil-5.1 deki gibi elde edilir. Buna göre için % lik en küçük aşım, yükselme amanı ve yerleşme amanı olarak elde edilir. Böylece yükselme ve yerleşme amanı kriterleri sağlanmış olur. İkinci olarak sisteme kontrolörü eklenirse ileri yol transfer fonksiyonu *10 s 500 s 1 / G s G s GC s 5.7 s s s 3008 şekline gelir. Tasarım yöntemine uygun göreli küçük bir / belirlemek için / 15 seçelim. Bu durumda 5.7 nolu ilişki *10 s 500 s 15 G s s s s şekline dönüşür. Tablo-5.1 de değerleri verilmiştir. çeşitli değerleri için aman tanım bölgesi kriter ve 1

22 Şekil-5.1. kontrolörüne ilişkin kök eğrisi

23 Tablo-5.1. kontrolörüne ilişkin aman tanım bölgesi kriterleri Aşım % t r s t s s Görüldüğü gibi optimal değerler 0. ve 0.4 civarında yer alır. 0.3 seçilirse * * Olarak elde edilir. Şekil-5. de, kontrolörlü sistemin birim basamak yanıtı ve kontrolörlü sistem yanıtları ile beraber verilmiştir. Şekil-5.. kontrolörü sistem yanıtı 3

24 Frekans Tanım Bölgesi Tasarımı kontrolörünün başarabileceği 0.00 için en iyi aşım %11.37 olarak elde edilmiş idi. Bundan yararlanılarak ileri yol transfer fonksiyonu * s G s G s GC s 5.9 s s s 3008 olarak elde edilir. Buna ilişkin bode diyagramı şekil-5.3 de verilmiştir. Bu problemde, aman tanım bölgesi kriterlerine karşı düşen, aşağıdaki frekans tanım bölgesi kriterlerinin verilmiş olduğunu varsayalım: Fa payı 70 0, BG 1000 rad/s, M r 1.1. Bode diyagramında 70 0 lik fa payını gerçeklemek için yeni fa geçiş frekansının ω g 811 rad/s olması gerektiği ve bu frekansta Gjω genliğinin 7 db olduğu görülür. Buna göre katsayısı g G jω / 0 db 7 / olarak hesaplanır. Zaman tanım bölgesi tasarımında geçerli aralığı 1 / 15 ilişkisinde 0. ile 0.4 arasında bulunmuştu nolu ilişkide elde edilen sonuç bu bölgenin a dışına düşer. Tablo-5. de frekans tanım bölgesi kriterlerinden 0.00 için, 1 / aaldıkça fa payının sürekli aaldığını, ancak 0. nin altında aşımın ilginç olarak arttığını kaydedelim. Şekil-5.3. kontrolörü Bode diyaframı. 4

25 Tablo-5.. kontrolörü frekans tanım bölgesi kriterleri db F derece M r BG rad/s t r s t s s Aşım % ijital ontrolörü Tasarımı ijital kontrol sistemlerin tasarımı sürekli kontrol sistemlerin tasarımına eşdeğerdir. Buradaki hedef de sistem kriterlerine uygun bir şekilde davranmaya yönelten, bir kontrolör tasarlamaktır. Gerçekte kontrol edilecek sistem aynıdır, tek fark dijital sistemlerde örneklenmiş veriyi işleyebilecek yetenekte olmasıdır. Sürekli kontrolörünün transfer fonksiyonu GC s s s 6.1 olarak ifade edilmişti. Ayrıca sayısal türev alıcının -transformu, orantı katsayısı olmak üere, G 1 6. T şeklindedir. Bir fonksiyon alanını sayısal yaklaşık olarak elde etmenin temel üç yöntemi vardır; yamuk integrasyon, ileri dikdörtgen integrasyon ve geri dikdörtgen integrasyon. Buna göre yamuk integrasyonda, orantı katsayısı olmak üere, sayısal integratörün transfer fonksiyonu T 1 G olarak elde edilir. İleri dikdörtgen integrasyonda ise katsayı olmak üere, transfer fonksiyonu, T G olarak bulunur. Geri dikdörtgen integrasyonda ise katsayı olmak üere, transfer fonksiyonu, 5

26 6 1 T G 6.5 olarak elde edilir. Yukarıdaki açıklanan oran, türev ve integral alma işlemleri birleştirilirse, bir sayısal kontrolörünün aşağıdaki farklı transfer fonksiyonları ile modellenebileceği görülür: Yamuk integrasyon 1 / / / / / T T T T T G C 6.6 İleri dikdörtgen integrasyon 1 / / / T T T T G C 6.7 Geri dikdörtgen integrasyon 1 / / / T T T T G C 6.8 Bilinear-önüşüm integrasyonu 1 4 T T T T T G c 6.9 olarak yaılabilirler. ijital ontrolör Tasarımı denklemlerinde 0 yaıldığında dijital kontrolörü T T G C 6.10 transfer fonksiyonu ile ifade edilir. G c nin sistem kararlı hal hatasını etkilememesi yada G c 11 koşulunu sağlanması için p 1 olarak seçilir. Örnek Örnekleme periyodu 0.01 saniye olarak verilen sistemin transfer fonksiyonu s s s G 6.11 olarak verilen sistemde Zero order hold ile beraber -dönüşümü: s s G G ho ζ 6.1

27 olarak bulunur. Sistemin ileri yol transfer fonksiyonu G etkisini incelemek için kök çevreleri yönteminden yararlanılabilir. apalı çevrimli sistemin karakteristik denklemi şeklindedir. arakteristik denklemden faydalanılarak eşdeğer ileri yol transfer fonksiyonu Geş olarak bulunur. Şekil-6.1 de > 0 için sistemin kök çevreleri verilmiştir. Bu kök çevrelerinde görüldüğü gibi kontrolörünün sisteme etkisi eğri gerçek eksene fala yaklaştığından çok sımırlıdır. Aşım yönünden en uygun değerinin %8 aşım ile 0.0 olduğu gösterilebilir. Şekil-6.1 ijital kontrolörüne ilişkin kök eğrisi 7

28 ijital ontrolör Tasarımı Buradaki tasarımda kontrolörünün, geri dikdöretgen entegrasyon yöntemi ile gerçekleştireceği. Buna göre 0 için dijital kontrolörünün transfer fonksiyonu T GC olarak elde edilir. kontrolörü daha önceden de ifade edildiği gibi kararlı-hal hatasını düeltmek için kullanılır. Örnek ontrol edilecek sistemin transfer fonksiyonu 10 G s 6.17 s 1 s olarak verilmiş ve örnekleme periyodu T0.1s olarak verilmiştir. ompane edilmemiş sistemin açık çevrim transfer fonksiyonu Gho G olarak elde edilir. Verilen performans kriterleri: Rampa-hata sabiti v 5, Maksimum aşım %5, Maksimum açım amanı t max 1s. kontrolörlü açık çevrim transfer fonksiyonu [ T ] G olarak yaılır ve rampa-hata sabiti 1 v lim 1 G T 1 olarak yaılarak 1 seçilebilir. bulunduktan sonra nin etkisi kök yer eğrisi ile incelenebilir. 1 iken kompane edilmiş sistemin karakteristik denklemini son denklemi içermeyen terime bölersek Geş

29 G eş denkleminde çarpıcı faktör sadece olduğuna göre kök eğrisi gerçekleştirilebilir ve şekil-6. de verilmiştir. Şekil-6.. ijital kontrolörüne ilişkin kök eğrisi Aşağıdaki tabloda 1 için, Aşım ve t max değerleri verilmiştir. Bu sonuçlara göre kontrolörü kararlı hal hatasını elimine ederken aşım ve t max kriterleri üerine fala etkili değildir. ijital ontrolör Tasarımı Örnek Tablo-6.1. ijital kontrolöre ilişkin baı parametreleri Aşım T max s Bu örneğimide kontrol edilecek sistemin transfer fonksiyonu 10 G s 6. s 1 s 9

30 olarak verilmiş ve örnekleme periyodu T0.1s olarak verilmiştir. ompane edilmemiş sistemin açık çevrim transfer fonksiyonu Gho G olarak elde edilir. Verilen performans kriterleri: Rampa-hata sabiti v 5, Maksimum aşım %5, Maksimum açım amanı t max 1s. ijital kontrolöründe bilinmeyen,, parametrelerinin bulunması gerekmektedir. Rampa-hata sabitini bulmak için kontrolörü uygulanırsa [ T ] G olarak yaılır ve rampa-hata sabiti v 1 lim 1 G T 1 5 yaılarak 1 seçilebilir. G ho G in ve daki kutupları G c e iki sıfır eklenerek yok edilebilir. Bu işlem T T T T 4 Gc 6.5 T 1 Bilinear transfer fonksiyonunu aşagıdaki gibi düenleyerek kullanırsak T T T T T T 6.6 yaılabilir. T0.1s ve 1 ise ve değerleri son denklemden ve olarak bulunur. Bu değerler denklm-6.5 de yaılırsa G c olarak yaılır ve kontrolörlü sistemin açık çevrim transfer fonksiyonu G Gc GhoG p

31 olarak yaılır. Şekil-6.3 de birim basamak cevabı verilmiş olup maksimum aşım%3.8 ve t max 0.6 saniye olarak elde edilir. Şekil-6.3. ijital kontrolör sistem yanıtı. 7. ontrolör Sistemlerinde Ziegler-Nichols uralları ile Ayarlama Transfer fonksiyonu 1 Gc s 1 Td s 7.1 Tİ s olan bir kontrolör sisteminde, Zeigler ve Nichols oransal kaanç, integral amanı T i, ve diferansiyel amanı T d değerlerinin hesaplamasında basit kurallar sunmuşlardır. Bu kurallarda maksimum aşım %5 olarak hedeflenmektedir. Birinci Metot Birinci metotta deneysel olarak sisteme birim basamak uygulanır şekil-7.1 de gösterildiği gibi bir yanıt alınır. Şayet sistem integratör yada baskın kompleks eşlenik kutup içeriyorsa bu kural uygulanama. Birim basamak yanıtı şekil-7. dekine beneterek T ve L değerleri ölçülür ve, T i ve T d parametreleri aşağıdaki tabloya göre hesaplanır. 31

32 Tablo-7.1. arametre seçim tablosu. ontrolör T i T d tipi T/L 0 0.9T/L L/ T/L L 0.5L İkinci Metot İkinci metotta ilk olarak T i ve T d 0 set edilerek sadece oransal kontrol yapılır. Şekil-7.3 Şekil-7.3. kontrolör blok diyagramı. 3

33 Bu kuralda değeri 0 dan kritik değer olan cr değerine kadar arttırılır ve bu değerde sistem çıkışı sürekli salınıma girer. Böylelikle cr ve buna karşı düşen cr periyodu not edilir şekil Şekil-7.4. ritik salınımın bulunması. Bu işlem gerçekleştikten sonra, T i ve T d parametreleri aşağıdaki tabloya göre hesaplanır. Örnek Tablo-7.. arametre seçim tablosu. ontrolör T i T d tipi 0.5 cr cr 0.83 cr cr 0.5 cr 0.15 cr Transfer fonksiyonu 1 G s 7. s s 1 s 5 olan bir sisteme kontrolörü uygulandığında, T i ve T d parametrelerini bulunu. Sistem integratör içerdiğine göre Zeigler ve Nichols un ikinci metedu kullanılacaktır. T i ve T d 0 değerlerini ayarlayarak kapalı çevrim sisteminin transfer fonksiyonu G s 7.3 s s 1 s 5 olarak yaılır. Sistemin salınımı, Routh kararlılık kriteri kullanılarak bulunabilir. apalı çevrim sisteminin karakteristik denklemi s 3 6s 5s olarak yaılır. Buradan Routh diisi s s 6 s 1 s

34 olarak elde edilir. Burada 30 değerinde sistem salınıma geçer kritik kaanç cr 30 olur. 30 da karakteristik denklem s 3 6s 5s olarak yaılır. Salınım frekansını bulmak için sjω yaılırsa karakteristik denklem 3 j ω 6 jω 5 jω veya 65 ω j ω5 ω yaılır ve salınım frekansı ω 5 olur ve salınım periyodu ise π π cr ω 5 olarak bulunur ve tablo-7. ye göre diğer parametreler p 0.6 cr 18 T i 0.5 cr T d 0.15 cr Olarak bulunur. Sistemin birim basamak yanıtı şekil-7.5 te verilmiş olup sistemin aşımı %6 olup bu parametrelerin tekrardan bilgisayarda veya kök eğri yöntemi kullanılarak hassas olarak düeltilmesi gerekmektedir. Şekil-7.5. kontrolöre ilişkin Sistem yanıtı. kontrolörün transfer fonksiyonunu aşağıdaki formda tekrar yaarsak i Gc s s 7.9 s p oransal kaanç ntegral kaanç d diferansiyel kaanç 34

35 Olarak yaılır ve öetlersek, p yükselme amanını ve kararlı hal hatasını aaltır fakat tamamen ortadan kaldırma. İntegral kontrol i kararlı hal hatasını yok eder fakat geçici durum yanıtını kötüleştirir. iferansiyel kontrol d sistemin kararlılığını arttırır aşımı aaltır. apalı çevrimli bir sistemin p, d, ve i katsayılarının etkileri aşağıdaki tabloya göre öetlenebilir. Tablo-7.3. kontrolörde parametrelerin etkileri CL RESONSE RSE TME OVERSHOOT SETTLNG TME S-S ERROR p ecrease ncrease Small Change ecrease i ecrease ncrease ncrease Eliminate d Small Change ecrease ecrease Small Change p, i ve d kaanç sabitleri, T i ve T d sabitleri cinsinden ifade edilebilir p i 1/T i d T d Bağıntıları yaılarak p39.4, Ti3.077, Td0.769 değerlerinde sistemin aşımı ve yerleşme amanı düeltilmiş olur. Şekil-7.6. kontrolöre ilişkin düeltilmiş sistem yanıtı 8. Matematik Modeli Bilinmeyen Sistemlerde ontrolör Tasarımı Ziegler-Nichols, kontrolünde p, Ti, ve Td parametrelerinin belirlenmesi için iki metoddan oluşan ve deneysel basmaklarla gerçekleştirilen yöntemler sunmaktadır. Bu yöntemler sistemin matematik modeli bilinmiyorsa parametrelerinin belirlenmesinde iyi bir yöntem olmaktadır. İşletme mühendisi sistem üerinde deneyler yaparak en uygun parametrelerinin belirlenmesinden sonra bir daha gerekmedikçe bu değerler değiştirilme. Şekil-7 de öetlenen algoritma Zeigler-Nichols yönteminin ikinci basamağından yola çıkarak geliştirilmiş olup en pratik ve en çok kullanılanıdır. 35

36 Şekil-7 parametrelerinin ayarlanması algoritması Bu yöntemde ilk olarak şekil-8 de gösterildiği gibi Ti yi sonsua Td yi sıfıra getirerek sadece oransal kontrol gerçekleştirilir. aha sonra set değerini küçük bir değere ayarlayıp sistemin salınımı işletmeye arar vermeyecek şekle getirilir. Sistem bu değere geldiğinde set değeri tekrar orjinal değerine getirilir ve sistemin salınımı gölenir. Şayet sistem salınımı daralarak set değerine yaklaşıyorsa p aaltılır, tam tersi durumda ise p yi çoğaltarak sabit salınımı elde edene kadar p ile oynanır. Sabit salınım elde edildiği anda bu p kritik değeri cr olarak not edilir, aynı anda salınımın iki tepe arasındaki kritik amanı Tc olarak not edilir. Bu değerler alındıktan sonra kullanılacak kontrol sistemine göre p, Ti ve Td tabloya göre hesaplanır. Bu hesaplamalar sisteminii optimum performansla çalışmasını sağlayacaktır. Bu şekilde ayarlanan sistemlerin kararlı duruma oturması şekil-9 da gösterildiği gibi gerçekleşir ve oturma amanı Ts değişik şartlara göre 1-5 saat arasında değişmektedir[]. 36