Artan-Azalan Fonksiyonlar Ekstremumlar Yard. Doç. Dr. Mustaa Akkol
Artan ve Azalan Fonksiyonlar Tanım: a,b aralığında tanımlı bir onksiyonu verilsin., a,b ve için, ise onksiyonu a,b aralığında artan, ise onksiyonu a,b aralığında azalandır. a a a a4 a, a için artan, a, a için azalan, a, a4 için artan, için azalandır. a 4 Yard. Doç. Dr. Mustaa Akkol
y t a t o a 0 t 90 tan t 0 0 a t 0 tan t 0 0 o o a 90 t 80 tan t 0 0 Yard. Doç. Dr. Mustaa Akkol
a a a a4 a,a için artandır a,a için azalandır 4 a,a için artandır a 4 için azalandır 0 0 0 0 ve a 0, a 0, a 0, a4 0 Yard. Doç. Dr. Mustaa Akkol 4
Örnek:. y onksiyonunun artan ve azalan olduğu aralıkları bulunuz. Çözüm: in işaretini inceleyelim. 0 0, aralığında azalan,, aralığında Yard. Doç. Dr. Mustaa Akkol artandır. 5
y, 4 azalan 4 artan Yard. Doç. Dr. Mustaa Akkol 6
. y 0 5 onksiyonunun artan ve azalan olduğu aralıkları bulunuz. Çözüm : 0 0 ve 5 tir. 5 0 0 0 artan azalan artan Yard. Doç. Dr. Mustaa Akkol 7
5 artan azalan artan Yard. Doç. Dr. Mustaa Akkol 8
Kritik Noktalar: y onksiyonu verilsin. in sıır veya tanımısz olduğu noktalara kritik noktalar denir. Yerel minimum ve yerel maksimum ekstremum: y onksiyonu verilsin. c a, b a, b için c ise c değerine olmak üzere onksiyonunun yerel minimumu, c ise c değerine yerel maksimumu denir. yerel minimum Yard. Doç. Dr. Mustaa Akkol yerel maksimum 9
Örnek : y onksiyonun yerel ekstremum değerlerini bulunuz ve graiğini çiziniz. Çözüm : 6 6 0 0 0, 6 0 6 6 0 0 Yard. Doç. Dr. Mustaa Akkol 0
0 6 6 0 0 0 yerel maksimum 0,, yerel minimum Yard. Doç. Dr. Mustaa Akkol
Örnek: onksiyonunun yerel ekstremum. değerlerini bulunuz ve graiğini çiziniz. Çözüm: 0 0 0 Yard. Doç. Dr. Mustaa Akkol
Mutlak Minimum ve Mutlak Maksimum :[ a, b] R onksiyonu verilsin ab. için m olacak şekilde bir m a, b varsa m, m bir mutlak bir mutlak maksimum, ab. için n olacak şekilde bir n a, b varsa n, n bir mutlak minimum noktasıdır. Örnek: [, ] aralığında eğrisinin mutlak maksimum ve mutlak minimumu ile yerel maksimum ve yerel minimum değerlerini bulunuz. Yard. Doç. Dr. Mustaa Akkol
Çözüm: 0 8 8 [a,b] aralığının uç noktaları olan = - te mutlak maksimum, = te mutlak minimum vardır. Mutlak maksimum değeri - = 8, mutlak minimum değeri = -8 dir. = - noktasında yerel minimum ve = noktasında yerel maksimum vardır. Yard. Doç. Dr. Mustaa Akkol 4
8 8 Yard. Doç. Dr. Mustaa Akkol 5
Ortalama Değer Teoremi: :[ a, b] R onksiyonu, [ a, b] kapalı aralığında sürekli ve a, b c açık aralığında türevlenebilir ise bu durumda b a olacak şekilde en az bir c a, b vardır. b a Ortalama Değer Teoreminin Geometrik Yorumu: B m AB b a c b a c A a c a c b b b a AB doğrusunun eğimi ile c ve c noktalarındaki teğetlerin eğimleri eşittir. 6 Yard. Doç. Dr. Mustaa Akkol
Örnek: :[, ] R, onksiyonuna Ortalama Değer Teoremini uygulayarak uygun c sayısını bulunuz. Çözüm: Örnek: c 6c 9 6c 9 c c 6 0 :[, 7] R, 4 onksiyonuna Ortalama Değer Teoremini uygulayarak uygun c sayısını bulunuz. 8 Çözüm: c 7 7 c 66 6 0 c 4 Yard. Doç. Dr. Mustaa Akkol 7
Graik Çizimleri Graik çizimi için aşağıdaki adımları izlemek uygun olur.. a Verilen onksiyonun tanım kümesini bulunuz. b Eksenleri kestiği noktaları araştırınız. c Asimptotları ve kritik noktalardaki limitleri araştırınız.. a Türevini sııra eşitleyerek ekstremum noktalarını araştırınız. b Tablo yaparak artan ve azalan olduğu aralıkları ve ekstremum değerlerini araştırınız.. Graiğini çiziniz.. Yard. Doç. Dr. Mustaa Akkol 8
Örnek: onksiyonunun graiğini çiziniz. Çözüm: Tanım kümesi R dir. Yatay ve düşey asimptot yoktur. lim 4 0, 0, dır. 0 4 0 4 0 0 Yard. Doç. Dr. Mustaa Akkol 9
Yard. Doç. Dr. Mustaa Akkol 0
Örnek: 4 onksiyonunun graiğini çiziniz. Çözüm: Tanım kümesi R dir. Yatay ve düşey asimptot yoktur. lim dır. 4 6 4 0, 0 y 6, y 0 4 ve 0 4 0 Yard. Doç. Dr. Mustaa Akkol
6 4 Yard. Doç. Dr. Mustaa Akkol
Örnek: Çözüm: yoktur. e onksiyonunun graiğini çiziniz. Tanım kümesi R dir. düşey asimptot lim e dur. e lim e lim lim 0 e e e ekseni yatay asimptottur. e e e 0 0 y, y 0 e e 0 e Yard. Doç. Dr. Mustaa Akkol
e Yard. Doç. Dr. Mustaa Akkol 4
Yard. Doç. Dr. Mustaa Akkol 5 Ödev: a Aşağıda verilen onksiyonların graiklerini çiziniz. b c d ln e ln e g ln h e ı ln e j ve k cos sin ] [0, π e ve l sin ] [0, π m n