11. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ Okt. Yasin ORTAKCI yasinortakci@karabuk.edu.tr Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi
2 İNTERPOLASYON Deney sonuçları veya benzer çalışmalar için doğru bilinen değerleri kullanarak aralarda bilinmeyen noktalardaki değerleri yaklaşık olarak belirleme işlemine interpolasyon denir. İnterpolasyon, bilinmeyen değerler bilinen değerlerin arasında bir noktada ise bilinen noktalar kullanarak bilinmeyen değerler bulunabilir. Eğer değeri bulunmak istenen nokta bilinen noktaların dışında bir yerde ise eğri uydurma (ekstrapolasyon) işlemleri ile bilinmeyen değerler bulunabilir. İnterpolasyon çok yaygın olarak kullanılan noktalara polinom uydurarak sonuca gitmektir. Eğer bilinen nokta sayısı iki ise bunları bir doğru ile birleştirerek ara değerleri aramak gerekir. Bilinen nokta sayısı arttıkça polinomun derecesi artacaktır. n adet nokta için n-1. dereceden bir polinom uydurmak bütün mevcut noktaları sağlayacaktır. İnterpolasyon yöntemi olarak kullanabileceğimiz literatürde bir çok yöntem vardır. Öncelikle Lagrange interpolasyon yöntemini inceleyelim.
3 LAGRANGE İNTERPOLASYON YÖNTEMİ Weierstrass Yaklaşım Teoremi n. dereceden bir polinomu (a n 0); P n (x) a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0 şeklinde gösterelim. Burada a 0, a 1,..., a n değerleri polinomun reel katsayılarıdır. n negatif olmayan bir tamsayıdır. (n 0) f x in, a, b aralığında tanımlı ve sürekli bir fonksiyon olduğunu varsayalım. Her ɛ > 0 için öyle bir P(x) polinomu vardır ki, f x P(x) < ɛ ifadesi a, b aralığındaki her x için geçerlidir. Yaklaşım teorisinde kullanılan bir çok polinom türü vardır. (Lagrange, Hermit, Chebische, Lagurre vb.) Lagrange Polinomu Lagrange interpolasyon ifadeleri aslında bir interpolasyon işleminden ziyade eğri uydurma işlemi olarak kullanılması daha anlamlı olabilir. Elde var olan noktalar ile bir doğru ya da eğri uydurulur. Daha sonra bu eşitlik üzerinden istenilen noktaların değerleri hesaplanır. Bu yöntemde nokta sayısına bağlı olarak polinomun derecesi değişir. Örneğin n adet nokta için uydurulacak polinomun derecesi n 1 olur. Aşağıdaki şekilde iki noktadan uydurulmuş doğru görülmektedir.
4 Aşağıdaki şekilde ise üç noktadan uydurulmuş eğri görülmektedir. ax + b gibi birinci dereceden bir polinomu belirlemek için x 0, y 0 ve x 1, y 1 noktalarını bildiğimizi kabul edelim. Aslında bu veri y 0 f(x 0 ) ve y 1 f(x 1 ) şeklinde bir f x fonksiyonunun x 0 ve x 1 noktalarında aldığı değerler olarak düşünülürse; L 0 x x x 1 x 0 x 1 L 1 x x x 0 x 1 x 0 şeklinde tanımlı olmak üzere (x 0, y 0 ) ve (x 1, y 1 )noktalarından geçen birinci dereceden (Lineer) Lagrange Interpolasyon polinomu; P x L 0 x f x 0 + L 1 x f x 1 şeklinde hesaplanır. Aşağıda hesaplandığı gibi, P x 0 f x 0 ve P x 1 f x 1 olur.
5 L 0 (x 0 ) 1, L 0 (x 1 ) 0, L 1 (x 0 ) 0, and L 1 (x 1 ) 1, Buna göre P(x 0 ) 1 f (x 0 ) + 0 f (x 1 ) f (x 0 ) y 0 ve P(x 1 ) 0 f (x 0 ) + 1 f (x 1 ) f (x 1 ) y 1 Teorem: x 0, x 1,, x n (n + 1) farklı sayı ve f(x) fonksiyonu bu (n + 1) noktada değeri bilinen bir fonksiyon ise, n. dereceden P x polinomu mevcuttur ve f x k P x k dır. k 0,1,2,, n olmak üzere Özetle P x polinomu şu şekildedir: Örnek: 2,4 ve (5,1) noktalarından geçen lineer Lagrange polinomunu bulunuz. Çözüm: L 0 x 5 5 x 2 5 3 ve L 1 x 2 3 bulunur. Bu sonuçlara göre:
6 P x 5 x 4 + x 2 1 6 x bulunur. 3 3 Şimdi de yaklaşım polinomunun n. dereceden olduğunu düşünürsek (n + 1) tane detaya ihtiyacımız vardır. Yani y f x fonksiyonu için; f x 0 y 0, f x 1 y 1,., f x n y n n. dereceden Lagrange polinomu verilen detay ile şu şekilde ifade edilir: 0 k n olmak üzere; L n,k x x 0 x x 1.. x x k 1 x x k+1.. (x x n ) x k x 0 x k x 1.. x k x k 1 x k x k+1.. (x k x n ) Özetle; L n,k (x) n i0 i k x x i x k x i olmak üzere L n,k polinomlarını kullanarak yaklaşım polinomu: P x L n,0 f x 0 + L n,1 f x 1 + + L n,n f(x n ) n P x L n,k f x k k0
7 Örnek: x 0 2, x 1 2,75, x 2 4 noktalarında tanımlı ikinci dereceden Lagrange polinomunu bulunuz. (f x 1 x ) Çözüm: L 0 x x 1 x x 2 x 0 x 1 x 0 x 2 x 2.75 x 4 2 2.75 2 4 2 3 (x 2.75)(x 4) L 1 x x 0 x x 2 x 1 x 0 x 1 x x 2 x 4 2 2.75 2 2.75 4 16 15 (x 2)(x 4) L 2 x x 0 x x 1 x 2 x 0 x 2 x 1 x 2 x 2.75 4 2 4 2.75 2 5 (x 2)(x 2.75) f x 1 x olduğuna göre f x 0 1 2, f x 1 1 2.75 ve f x 2 1 4 P x 2 3 x 2.75 x 4 1 2 16 15 x 2 x 4 1 2.75 + 2 5 x 2 (x 2.75) 1 4 P x 1 3 x 2.75 x 4 64 55 x 2 x 4 + 1 10 x 2 (x 2.75) f 3 değerini esaplayalım. Yaklaşık değeri P 3 29 88 0.32954 Gerçek değeri f 3 1 3 0.33333 f 3 P 3 'dir.
8 Örnek: Aşağıda verilen noktalara Lagrange enterpolasyon yöntemi ile eğri uydurarak polinom katsayılarını belirleyiniz. Bulunan eğrinin x 5.5 ve x 2 için (y) değerlerini hesaplayınız. x 0 1 3 5 y -16-3 -17 41 Çözüm: Verilen nokta sayısı dört olduğuna göre polinomun derecesi 3 olacaktır. Lagrange katsayılarını sayısı ise yine dört olacaktır. Bulunacak polinomu genel olarak şu şekilde yazabiliriz: P x L 0 (x). y 0 + L 1 (x). y 1 + L 2 (x). y 2 + L 3 (x). y 3 L 0 x x 1 x x 2 x x 3 x 0 x 1 x 0 x 2 x 0 x 3 x 1 x 3 x 5 0 1 0 3 0 5 x3 9x 2 + 23x 15 ( 15) L 1 x x 0 x x 2 x x 3 x 1 x 0 x 1 x 2 x 1 x 3 x 0 x 3 x 5 1 0 1 3 1 5 x3 8x 2 + 15 8 L 2 x x 0 x x 1 x x 3 x 2 x 0 x 2 x 1 x 2 x 3 x 0 x 1 x 5 3 0 3 1 3 5 x3 + 6x 2 5 12
9 L 3 x x 0 x x 1 x x 2 x 3 x 0 x 3 x 1 x 3 x 2 x 0 x 1 x 3 5 0 5 1 5 3 x3 4x 2 + 3x 40 P x 16L 0 3L 1 17L 2 + 41L 3 P x 376x3 2304x 2 + 3313x + 1595 120 bulunur. Bu polinomda bazı x değerleri hesaplanarak aşağıdaki tablo elde edilmiştir. x -2 0 1 3 5 5.5 y -176-16 -3-17 41 84.375 Bulunan yeni fonksiyonun grafiği bu noktalardan faydalanılarak çizilirse aşağıdaki şekil elde edilir.
10 Algoritması INPUT te number of knowns points (n + 1), te entries x k, f x k 0 k n, x value to interpolate OUTPUT te approximate solution y P(x) of given x value. Step 1 For k 0,..., n Step 2 L n,k (x) P x n i0 i k k0 Step 3 OUTPUT (P(x)); STOP. n x x i x k x i L n,k f x k Kaynakça Richard L. Burden, Richard L. Burden (2009). Numerical Analysis Brooks/Cole Cengage Learning, Boston. Doç. Dr. İbrahim UZUN, (2004), "Numarik Analiz Beta Yayıncılık.