Öğrenci Yerleştirme Sınavı (Öys) / 6 Haziran 99 Matematik Soruları Ve Çözümleri. 0,80+ (0,+ ).0, işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) D) E) Çözüm I. Yol 0,80+ (0,+ ).0, 80 00 + ( 0 + ). 80 + ( + ). 00 0 80 +. 00 0 0 80 + 00 0 00 0 0 00 00 II. Yol 0,80+ (0,+ ).0, 0,80 + (0, + 0,).0, 0,80 + 0,.0, 0,80 + 0,0
. a, b, c birer pozitif gerçel sayı ve a b, b c olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) a < b < c B) a < c < b C) c < b < a D) c < a < b E) b < a < c Çözüm a b a b. k a. k. k b. k b.k olduğuna göre, bc c.. k c k Buna göre, k < k < k b < a < c elde edilir.. a b c ve a b+ c 8 olduğuna göre, c kaçtır? 6 A) B) C) D) E) Çözüm a b c 6 k a. k b. k c 6. k a b+ c 8.. k. k+ 6. k 8 6. k 8 k c 6.k olduğuna göre, c 6. c elde edilir.
bc ca., a b ab, c olduğuna göre, a ² + b² + c² kaçtır? A) 7 B) 8 C) 9 D) 0 E) Çözüm Eşitlikler taraf tarafa çarpılırsa, bc ca ab.... a b c a. b. c 6 olur. bc a b. c a a. b. c 6 olduğuna göre, a. a 6 a ² 6 ca b c. a. b a. b. c 6 olduğuna göre,. b. b 6 b ² ab c a. b. c a. b. c 6 olduğuna göre,. c. c 6. c ² 6 c ² Buna göre, a ² + b² + c² 6 + + a ² + b² + c² elde edilir.
. x, y birer gerçel sayı ve xy² + x³ 9 x²y + y³ 8 olduğuna göre, x + y kaçtır? A) 9 B) C) D) E) Çözüm xy² + x³ 9 x²y + y³ 8 xy² + x³ + x²y + y³ 9 + 8 x³ + x²y + xy² + y³ 7 (x + y)³ ³ x + y elde edilir.
6. x ² y² 7 + x+ y x y 9 olduğuna göre, y aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) B) C) D) 7 E) 8 Çözüm 6 + x+ y x y 9 + x+ y x y x y x+ y 9 x y+ x+ y ( x+ y).( x y) 9 x x² y² 9 x ² y² 7 olduğuna göre, x 7 9 x 6 x ² y² 7 6 ² y ² 7 6 y ² 7 y elde edilir. 7. Rakamları sıfırdan ve birbirinden farklı, üç basamaklı en büyük sayı ile rakamları sıfırdan ve birbirinden farklı, üç basamaklı en küçük sayının farkı kaçtır? A) B) C) 7 D) 86 E) 987 Çözüm 7 Rakamları sıfırdan ve birbirinden farklı, üç basamaklı en büyük sayı 987 Rakamları sıfırdan ve birbirinden farklı, üç basamaklı en küçük sayı Buna göre, 987 86 elde edilir.
8. Birbirinden hızı öbürünün hızının katı olan iki koşucu, bir çembersel pistin başlangıç noktasından, aynı anda koşmaya başlıyorlar. Bu iki koşucu, ilk kez, aynı anda pistin başlangıç noktasına geldiklerinde hızı daha fazla olan koşucu kaç tur yapmış olur? A) B) C) 6 D) 8 E) Çözüm 8 I. Yol Çembersel pistin çevresi x olsun. Aynı zamanda koşmaya başladıklarına göre, x v. t t x v x v X X x v II. Yol Hızı v olan koşucu tekrar başlangıç noktasına gelinceye kadar, hızı v olan koşucu tur atmış olacaktır.
9. Parasının 7 sini harcadıktan sonra, kalanın ünü kardeşine veren Ali nin geriye 6 000 lirası kalmıştır. Buna göre, Ali nin başlangıçtaki parası kaç liradır? A) 000 B) 6 000 C) 8 000 D) 0 000 E) 000 Çözüm 9 Ali nin başlangıçtaki parası x olsun. x x x Parasının sini harcadıktan sonra, kalan parası x 7 7 7 x x Kardeşine verdiği miktar. 7 x x x x Ali de kalan miktar 7 8x 8x 6 000 x 000
0. Yağ dolu bir şişenin ağırlığı 7 gramdır. Yağın ü boşaltıldığında şişe 6 gram gelmektedir. Buna göre, şişe kaç gram almaktadır? A) 78 B) 76 C) 7 D) 7 E) 70 Çözüm 0 Şişenin boş ağırlığı x Sadece yağın ağırlığı y olsun. x + y 7 y y Yağın ü boşaltıldığında kalan miktar : y x + y 6 x + y 7 olduğuna göre, y y 7 6 y 9 y 76 gram
. Bir sepetteki güller er er demetlenince gül, 7 şer 7 şer demetlenince de gül artmaktadır. Buna göre, sepette en az kaç gül vardır? A) 7 B) C) 7 D) 7 E) 8 Çözüm I. Yol Gül sayısı G olsun. G.k + 7.t + Eşitliğin her üç tarafına 8 eklenirse, G + 8.k + + 8 7.t + + 8 G + 8.k + 0 7.t + G + 8.(k + ) 7.(t + ) G + 8.m 7.n G + 8 okek(, 7).s ( s Z + ) okek(, 7) Gül sayısının en az olması için : k ise G + 8 G 7 elde edilir. II. Yol Gül sayısı G olsun. G.k + 7.t + ile bölündüğü zaman kalanını veren sayılar :, 7,, 7,,... 7 ile bölündüğü zaman kalanını veren sayılar :, 0, 7,,,... Ortak olan ilk sayı 7 dir.
. Bir malın etiket fiyatı, maliyeti üzerinden % 0 karla hesaplanmıştır. Bu mal, etiket fiyatı üzerinden % indirimle satılırsa, elde edilen kar yüzde kaç olur? A) 0 B) 7 C) D) E) 9 Çözüm Maliyet fiyatı x olsun. Etiket fiyatı x + x.% 0 x x+ 7x Đndirimli fiyatı 7x 7x 7x x 9x.% x+ x.% 9 00 00 Buna göre, elde edilen kar yüzde 9 olur.. Hızları farkı 8 km / saat olan iki bisikletli, aynı noktadan, aynı anda, zıt yönde hareket ediyorlar. Hareketinden saat sonra aralarındaki uzaklık 0 km olduğuna göre, daha yavaş giden bisikletlinin hızı kaç km/saat tir? A) 8 B) 0 C) D) 6 E) 0 Çözüm x v. t x v. x v x ( v 8). x v 8 + + x + x 0 olduğuna göre, v + ( v+ 8) 0 v 6 elde edilir.
. Hacmi 60 litre olan bir depo, 0 ve 7 litrelik iki bidonla su taşınarak doldurulmuştur. Toplam 0 bidon su taşınınca depo tam doldurulduğuna göre, 7 litrelik bidon ile kaç bidon su taşınmıştır? A) 0 B) 60 C) 70 D) 80 E) 90 Çözüm 7 litrelik bidonun kullanılma sayısı x olsun. 0 litrelik bidonun kullanılma sayısı 0 x 7.x + 0.(0 x) 60 x 0 x 80. Ahmet parasının ünü yıllık % 0 tan, geri kalanını ise yıllık % 60 tan 6 aylığına faize veriliyor. Eğer tersini yapsaydı, yani; parasının ünü yıllık % 60 tan, geri kalanını ise yıllık % 0 tan 6 aylığına faize verilseydi 00000 lira daha az faiz alacaktı. Buna göre, Ahmet in faize verdiği toplam para kaç liradır? A) 70000 B) 00000 C) 000000 D) 00000 E) 000 Çözüm Ahmet in parası x olsun. x x.0.6.60. 6 + 00 00 x x.60.6.0. 6 + 00 00 00000 80x+ 0x 0x 60x 00.00000 0 x 00.00000 x 000000
6. M ve N kümeleri M {a, b, {, }, } N {a,,, { }} olduğuna göre, M N fark kümesinin elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? A) B) C) D) E) 6 Çözüm 6 M N {b, {, }, } s(m N) M N fark kümesinin elemanlı alt kümelerinin sayısı {b, {, }} {b, } {, {, }}
7. A ve B kümeleri A {(x, y) y x² 0 ; x, y R} B {(x, y) x² + y² 0 ; x, y R} olduğuna göre, A B kümesi aşağıdaki taralı bölgelerden hangisidir? A) B) C) D) E)
Çözüm 7 A {(x, y) y x² ; x, y R} y x² parabolü çizilir. y x² ise parabol ve dış bölgesi olduğuna göre, B {(x, y) x² + y² < 0 ; x, y R} x² + y² 0 x² + y² Başlangıç noktası : O(0, 0), yarıçapı : birim olan çember ve iç bölgesi olduğuna göre,
Buna göre, A B kümesi elde edilir. 8. Tamsayılar kümesi üzerinde her a, b için a b a b b işlemi tanımlanmıştır. Buna göre, ( ) işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) 6 D) 7 E) 8 Çözüm 8 ( )? a b a b 7 ( ) 7 7 7 7 6 bulunur.
9. 99 6 x (mod 7) olduğuna göre, x aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) D) E) Çözüm 9 I. Yol 6 (mod 7) 99 6 x (mod 7) 99 x (mod 7) (mod 7) (mod 7) (mod 7) 99 66 + 99 x (mod 7) 66.. (mod 7) ( ) II. Yol 6 (mod 7) 6 (mod 7) 6 (mod 7) 6 (mod 7) 99 97 + 99 6 x (mod 7) 97 6.6. (mod 7) ( )
0. x. 0, olduğuna göre, x kaçtır? A) B) C) D) E) 6 Çözüm 0 I. Yol x. 0, x. 0 x. x. x. x x elde edilir. II. Yol x. 0, x. 0 x. x x. x elde edilir.
. x + x + x x olduğuna göre, x kaçtır? A) B) C) D) E) Çözüm x + x + x x Eşitliğin her iki tarafının karesi alınırsa, x + x + x x x + x +. x + x. x x + x x x + x+. ( x+ x).( x x) + x x x + x² x x + x² x x² x x Eşitliğin her iki tarafının karesi alınırsa, ( x² x) ( x) x ² x x+ x² x x bulunur.
. e doğal logaritmanın tabanı ve f x) [ x ] [ x] f ( e) değeri kaçtır? A) B) C) 0 D) E) Çözüm e,7 olduğuna göre, f [ ] ( olduğuna göre, ( x) [ x ] [ x ] f ( e) [ e ] [ e] [ ] f ( e) [,7 ] [,7] f ( e) [,7 ] f ( e) f ( e) [ ] Not : Tam değer fonksiyonu [ x ] a a x < a +. f (x) : R R, f ( x) x. f ( x+ ), f ( ) olduğuna göre, f () değeri kaçtır? A) B) C) 0 D) 8 E) 6 Çözüm f ( x) x. f ( x+ ) x için : f ( ). f (+ ) f ( ). f () f ( ) olduğuna göre, f ( ). f ( ) x için : f ( ). f (+ ) f ( ). f () f ( ) olduğuna göre, f ( ). f ( ) 8 elde edilir.
. log a olduğuna göre, log 9 in değeri kaçtır? A) a B) a C) a² D) a E) a Çözüm log 9 log 9 log log.log log log a olduğuna göre, log 9 log a bulunur.. i ² olduğuna göre, 7 (+ i ).(+ i ).(+ i ).(+ i ) çarpımı aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) B) C) + i D) i E) i Çözüm 7 6 (+ i ).(+ i ).(+ i ).(+ i ) (+ i ).(+ i. i).(+ i. i).(+ i. i) i ² olduğuna göre, (+ i ).(+ i. i).(+ ( i ). i).(+ ( i ). i) (+ i).(+ ( ). i).(+ ( ). i).(+ ( ). i) ( + i).( i).(+ i).( i) ( i ).( i ) ( i ).( i ) ( i ) ( ( ))
6. Karmaşık düzlemde A( + 6i), B( i), C( + i) noktaları veriliyor. A nın [BC] nin ortasına olan uzaklığı kaç birimdir? A) B) C) D) E) Çözüm 6 A( + 6i) B( i) C( + i) A(,6) B(, ) C(, ) + + [BC] nin orta noktası D, D (, ) A(,6) ve D(, ) ise AD ( )² + (6 )² AD 9+ 6 AD Not : Karmaşık Düzlem z a+ b. i karmaşık sayısı için Re ( z ) a sayısını x ekseninde, Đm ( z ) b sayısını y ekseninde alarak oluşan ( a, b) noktası, a + b. i karmaşık sayısını gösterir. x : Reel Eksen y : Sanal Eksen Böylece karmaşık sayılarla bire bir eşlenmiş düzleme karmaşık düzlem denir.
7. f ( x) x x+ fonksiyonunun en geniş tanım aralığı aşağıdakilerden hangisidir? A) R [, 0] B) R C) (, ) D) (0, ) E) (0, ) Çözüm 7 f ( x) x x+ f ( x) x x+ x+ x f ( x) x+ x x.( x+ ) f ( x) x.( x+ ) x.( x+ ) x.( x+ ) > 0 olmalıdır. fonksiyonu paydanın sıfır olduğu yerde tanımsızdır. x.( x+ ) 0 x 0 x En geniş tanım aralığı R [, 0] olur.
8. ( x + t)² + b.( x+ t) + c 0, t R denkleminde köklerin gerçel olmaması için b ile c arasındaki bağıntı ne olmalıdır? A) b² + c > B) b² + c < C) b² > c D) b² < c E) b² c Çözüm 8 I. Yol Denkleminin gerçel köklerinin olmaması için < 0 olmalıdır. Ayrıca her t için yanıt değişmeyeceğinden t için uygun bir sayı seçilir. t olsun. ( x + t)² + b.( x+ t) + c 0 ( x + )² + b.( x+ ) + c 0 x ² + x+ + b. x+ b+ c 0 x ² + ( b+ ). x+ b+ c+ 0 < 0 ( ( b + ))²..(b+ c+ ) < 0.( b ² + b+ ).(b+ c+ ) < 0 b ² + b+ b c < 0 b² c < 0 b ² < c elde edilir. II. Yol ( x + t)² + b.( x+ t) + c 0 x + t u olsun. u ² + b. u+ c 0 denkleminin köklerinin gerçel olmaması için < 0 olmalıdır. < 0 ( b )².. c < 0. b ². c < 0 b² c < 0 b ² < c elde edilir.
9. P ( x ) + P( x+ ) x² x + 0 olduğuna göre, P (x) polinomu aşağıdakilerden hangisidir? A) x ² x B) x ² + x C) x ² x+ D) x ² + x E) x ² x+ Çözüm 9 P ( x) ax² + bx+ c olsun. P ( x ) a.( x )² + b.( x ) + c P ( x ) ax² + ( b a). x+ a b+ c P ( x+ ) a.( x+ )² + b.( x+ ) + c P ( x+ ) ax² + ( b+ a). x+ a+ b+ c Eşitlik taraf tarafa toplanırsa, P ( x ) + P( x+ ) a. x² + b. x+ ( a+ c) P ( x ) + P( x+ ) x² x + 0 olduğuna göre, a. x² + b. x+ ( a+ c) x² x + 0 a a b b P ( x) ax² + bx+ c P ( x) x² x+ bulunur. ( a + c) 0 c 0. Denklemi x² 6x + y² 7 olan çemberin çapının uzunluğu kaç birimdir? A) B) D) 6 D) 7 E) 8 Çözüm 0 x² 6x + y² 7 (x )² 9 + y² 7 (x )² + (y 0)² 6 (x )² + (y 0)² ² Buna göre, çemberin merkezi (, 0) noktası ve yarıçapı birim bulunur. Çemberin çapının uzunluğu ise : 8 birim olur.
. Kenar uzunlukları şekilde verilen dik yamuk, bir doğru parçasıyla, çevreleri eşit bir üçgen ile bir dikdörtgene ayrılmıştır. Buna göre, x kaç birimdir? A) B), C) D), E) Çözüm çevre(dea) çevre(debc) + + ( x) x + + x+ x 6 x
. ABCD bir yamuk F, [DC] üzerinde E, [AB] üzerinde [EF] [DC] AE EB AB birim BC birim AD birim Yukarıdaki verilere göre, EF kaç birimdir? A),8 B) C), D),6 E)
Çözüm DH çizilirse, CH AB DH CHD dik üçgeninde pisagor teoremine göre, CD ² ² + ² CD DE ve CH çizilirse, Alan(ABCD) Alan(ADE) + Alan(DEC) + Alan(EBC) ( + ).. + EF. +. + EF. + EF,8 olur.
. [AB] çaplı yarım çember AT birim TB birim Şekildeki O merkezli çember [AB] ye T de, Buna göre, bu çemberin yarıçapı kaç birimdir? A),0 B), C), D),6 E),8 AB ye S de teğettir.
Çözüm Yarıçap teğete değme noktasında dik olduğuna göre, O merkezli çember [AB] ye T de, AB ye S de teğet olduğundan, MS S ve OS S M, O, S noktaları aynı doğru üzerinde olur. ve OT AB olur. OT OS r AB MA MB MS MO r MTO dik üçgeninde pisagor teoremine göre, r r + 6 r r + r² r² + r, elde edilir.
. Kenar uzunlukları a ve b olan bir ABCD dikdörtgeninde bir çember [BC] ye B de, [AC] ye E de teğettir. AD AE olduğuna göre, b a oranı kaçtır? A) B) C) D) E) Çözüm Bir çembere dışındaki bir noktadan çizilen teğet parçalarının uzunlukları eşit olduğuna göre, ABCD dikdörtgeninde bir çember [BC] ye B de, [AC] ye E de teğet olduğundan, AD AE CE CB b ADC dik üçgeninde pisagor teoremine göre, ( b )² b² + a² b ² a² a² b² a b
sin x cosx. + sin x cos x olduğuna göre, cos ² x aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) 8 B) C) D) E) Çözüm sin x cosx + sin x cos x sin x cosx + sin x cos x cos x sin x sin x.cos x+ cosx.sin x sin x.cos x Đki açının toplamının trigonometrik değerinden, sin(a + B) sina.cosb + cosa.sinb olduğuna göre, sin(x+ x) sin x.cos x sin x sin x. cos x Eşitliğin her iki tarafını ile genişletelim..sin x.sin x. cos x sin x.sin x. cos x olduğuna göre,.(.sin x.cos x) sin x.cos x cos x cos x cos ² olduğuna göre, cos ² x cos ² x 8
6. ABC bir üçgen D, [AB] üzerinde CD açıortay BC birim DB k birim Yukarıdaki verilere göre, AC x in k türünden değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) + k B) + k² C) + k k + k D) k + k E) k Çözüm 6 I. Yol ABC üçgeninde iç açıortay teoremine göre, x AD k AD k. x ABC dik üçgeninde pisagor teoremine göre, x ² ( k. x+ k)² + ² ( x ).( x+ ) k².( x+ )² x k². x+ k² x.( k²) k² + + k² x k²
II. Yol ABC üçgeninde iç açıortay teoremine göre, k AD x AD x k. Yarım açı formüllerinden, a a a tan ² tan tan ise.. + k k k x k ² k k k kx + ² k x + ² k x ² ² k k x + ² ² k k x +
7. Yukarıdaki verilere göre, sin θ nın değeri kaçtır? ABC bir üçgen D, [BC] üzerinde BD DC AB birim AC birim m(bad) m(dac) θ A) B) C) D) E) Çözüm 7 Taban uzunlukları ve yükseklikleri eşit olan üçgenlerin alanları eşit olacağından, BD DC alan(abd) alan(adc). AB. AD.sin. AD. AC.sinθ.. AD.. AD..sinθ sin θ Not : Đki kenarı ve aradaki açısı verilen üçgenin alanı Alan (ABC).b.c.sin(A) Alan (ABC).a.c.sin(B) Alan (ABC).a.b.sin(C)
8. Yukarıdaki şekilde denklemi x + y 6 olan doğru x eksenini K de, y eksenini L de kesmektedir. KA AB BL olduğuna göre, OA ve OB vektörlerinin OA. OB skaler (iç) çarpımı kaçtır? A) 6 B) 8 C) 0 D) E) 6
Çözüm 8 x + y 6 x 0 için : y 6 L(0, 6) y 0 için : x K(, 0) KOL dik üçgeninde pisagor teoremine göre, LK ² 6² + ² LK KA AB BL
A( a, b ) ve B( c, d ) ise benzerlikten, 6 d 6 d 6 b 6 b a a c c O(0, 0) ve A(, ) OA ( 0, 0) OA (, ) O(0, 0) ve B(, ) OB ( 0, 0) OB (, ) Buna göre, OA. OB. +. 0 elde edilir.
veya OA ² ² + ² OA OB ² ² + ² OB 7 OA ve OB vektörleri arasındaki açı α olsun. OA. OB OA. OB. cos α Kosinüs teoremine göre, ( ) ( 7) + ( ). 7..cosα 7 + 8. 7.. cos α cos α OA. OB. 7. OA. OB 0 olur.
Not : A x, ), B x, ) vektörleri için ( y ( y AB vektörünü bulmak için, bitim noktasının koordinatlarından başlangıç noktasının koordinatları çıkarılır. Buna göre, AB ( x x, y y ) olur. Not : Vektörlerin skaler (iç) çarpımı Öklid iç çarpımı denilen bu iç çarpım A x, ), B x, ) vektörleri için ( y ( y A. B x. x + y. y biçiminde tanımlanır. Sonuç bir skaler (sayı) çıktığından bu çarpıma skaler çarpım da denir. Not : Đç (skaler) Çarpım Sıfırdan farklı A x, ), B x, ) vektörleri arasındaki açı θ ise ( y ( y A. B.cosθ gerçel sayısına A ve B vektörlerinin iç (skaler) çarpımı denir ve A. B ya da < A, B > biçiminde gösterilir. A. B A. B.cosθ Not : Kosinüs teoremi Bir ABC üçgeninde, a² b² + c².b.c.cos(a) b² a² + c².a.c.cos(b) c² b² + a².a.b.cos(c)
9. Yukarıdaki şekilde denklemi y x² olan parabolün birinci dördüldeki verilmiştir. B den geçen bir doğru yayı P de, x eksenini Q da kesmektedir. BP PQ olduğuna göre, BQ doğrusunun eğimi kaçtır? A) B) C) D) E) AB yayı
Çözüm 9 y x² x 0 için : y B(0, ) y 0 için : x A(, 0) P( a, b ) P( a, a² ) Q( c, 0) olsun. BP PQ olduğuna göre, P noktası orta noktadır. a c+0 c a + 0 a ² a bulunur. P(, ) Q(, 0) B(0, ) olduğuna göre, iki noktası bilinen doğrunun eğiminden, BQ doğrusunun eğimi 0 0 elde edilir. Not : Đki noktası bilinen doğrunun eğimi A( x, y ) ve B( x, y ) m AB y x y x
0. Denklemi x y 0 ve x y + 0 olan doğrular arasındaki uzaklık kaç birimdir? A) B) C) D) E) Çözüm 0 I. Yol Paralel iki doğru arası uzaklık : x y 0 x y + 0 d c c olduğuna göre, a² + b² 0 d ² + ² d d elde edilir.
II. Yol Paralel doğrulardan birine ait bir noktanın diğer doğruya olan uzaklığına göre, x y 0 doğrusu üzerinden bir nokta seçilirse, x 0 için : y 0 (0, 0) noktasının x y + 0 doğrusuna uzaklığı, bir noktanın bir doğruya uzaklığından, d 0 0.+ ² + ² d d bulunur. Not : Bir noktanın bir doğruya uzaklığı P( x, y ) noktasının ax + by + c 0 doğrusuna uzaklığı, PH d ax + by a² + b² + c dir.
. Şekildeki AB Hata! Yer işareti tanımlanmamış., O merkezli dörtte bir çember yayı, [BC] de B(0, ), C(, 0) noktalarını birleştiren doğru parçasıdır. Buna göre, aşağıdaki integrallerden hangisi taralı alanı verir? A) ( x (+ x) ) dx y B) + ( y ) dy 0 C) ( x + ( x) ) + dx 0 D) ( x (+ x) ) dx y E) dy+ 0 0 y dy
Çözüm Taralı kısmın bulunduğu bölgedeki dörtte bir çemberin denklemi : Merkezi O(0, 0) ve yarıçapı olduğundan ve taralı alan II. bölgede bulunduğundan, x ² + y² ² x ² + y² y x² x y² B(0, ) ve C(, 0) noktalarının oluşturduğu doğru denklemi : y x 0 0 0 ( ) y x+ x y Taralı alan y fonksiyonuna göre yazılırsa, yukarıdakinden aşağıdaki çıkarılır. Taralı alan 0 x ² dx ( x + ) dx 0 Taralı alan x fonksiyonuna göre yazılırsa, sağdakinden soldaki fonksiyon çıkarılır. y Taralı alan ( 0 y²) dy y + y² dy elde edilir. 0
. ( x )( x x+ ) dx aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) 0 B) C) 0 D) E) Çözüm Değişken değiştirme yöntemine göre, x x+ u ( x ) dx du du dx x integralin alt sınırı : x 0 için : 0².0 + u u integralin üst sınırı : x için : ². + u u 0 du ( x )( x x+ ) dx (x )( u) (x ) 0 0 0 u du + u + 0 u 0 0 bulunur.
d( x ). x + 0 aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) π B) π C) ln D) ln E) Çözüm x u olsun. integralin alt sınırı : x 0 için : 0² u u 0 integralin üst sınırı : x için : ² u u d( x ) x + 0 du u+ 0 ln u + 0 ln + ln 0+ ln ln ln
//. f ( x) ( x )².(x t) ve f (0) 0 olduğuna göre, t kaçtır? A) B) C) 0 D) E) Çözüm I. Yol f ( x) ( x )².(x t) / f ( x).( x ).(x t) +.( x )² // f ( x).[(x t) +.( x )] +..( x ) // f ( x).(x t) + 8.( x ) // f (0) 0 olduğuna göre, // f (0).(.0 t) + 8.(0 ) 0. t 8 t II. Yol f ( x) ( x )².(x t) f ( x) ( x² x+ ).(x t) f ( x) x³ x² + x t. x² + tx t f ( x) x³ (+ t). x² + (+ t) x t / f ( x) 6x².(+ t). x+ (+ t) // f ( x) x.(+ t) // f (0) 0 olduğuna göre, // f (0).0.(+ t) 0.(+ t) t
. Köşesi A(6, ) olan şekildeki dik açının kenarları koordinat eksenlerini E ve F de kesmektedir. Buna göre, EF nin en küçük değeri kaçtır? A) B) C) D) E) Çözüm I. Yol EF en küçük değerini, AE ile AF en küçük değerini aldığında olur. AF Oy AF 6 AE Ox AE AF 6 ve AE ise pisagor bağıntısına göre, EF ² 6² + ² EF
II. Yol FOE dik üçgeninde pisagor bağıntısına göre, EF ² x ² + y² EF x ² + y² A(6, ) ve E(x, 0) ise eğim : 0 m AE 6 x m AE 6 x A(6, ) ve F(0, y) ise eğim : y m AF 6 0 m AF y 6 AE AF m. olduğuna göre, AE m AF y. 6 x 6 y x y x+ / EF nin en küçük değeri alması için : ( EF ) 0 olmalıdır. EF x ² + y² EF x ² + ( x+ )² ( / / / EF ( EF ) ( x² + ( x+ )² ) 0 ) 0 x+ ( x+ ).( ). x² + ( x+ )² 0 x + x 0 0 x 6 y x+ olduğuna göre, y.6+ y bulunur. EF x ² + y² olduğuna göre, EF 6 ² + ² EF EF elde edilir.
III. Yol Đki nokta arası uzaklığa göre, AF ² (0 6)² + (y )² AE ² (x 6)² + (0 )² EAF dik üçgeninde pisagor bağıntısına göre, EF ² AF ² + AE ² EF ² [(0 6)² + (y )²] + [(x 6)² + (0 )²] EF ² 6 + (y )² + (x 6)² + 9 EF ² (y )² + (x 6)² + EF nin en küçük değeri için, tam kareli terimler sıfıra eşit olacağına göre, x 6 ve y olur. Buna göre, EF ² 0 + 0 + EF ² EF bulunur.
IV. Yol a + b 90 x tan a 6 y x y elde edilir. FOE dik üçgeninde pisagor bağıntısına göre, EF ² x ² + (6+ y)² EF x ² + (6+ y)² / EF nin en küçük değeri alması için : ( EF ) 0 olmalıdır. EF x ² + (6+ y)² EF ( y )² + (6+ y)² ( / / / EF ( EF ) ( ( y)² + (6+ y)² ) 0 ) 0 ( )..( y) +.( y+ 6). ( y)² + ( y+ 6)² 0 y 6+ 6 0 y 0 x y olduğuna göre, x. 0 x bulunur. EF x ² + (6+ y)² olduğuna göre, EF ² + (6+ 0)² EF EF elde edilir.
a a olduğuna göre, a kaçtır? 6. [ ]. [0] A) 6 B) C) D) E) Çözüm 6 a [ a ]. [0] [. a +.+ a.+.] [0] a + 0 a 6
7. Bir geometrik dizinin ilk terimi, ikinci terimi olduğuna göre, altıncı terimi kaçtır? A) 8 B) 0 C) D) 9 E) 8 Çözüm 7 a a a 6? a a. r Geometrik dizinin ortak çarpanı : r a a r r a 6 a.r a 6. a 6 8 elde edilir. veya a a. r a. a 6 a a. r a 6. a a a. r a. a a 6 a. r a 6. a 6 8 elde edilir.
8. n elemanlı bir kümenin r - li bütün kombinasyonlarının (kombinazonlarının) sayısı C(n, r) ile gösterildiğine göre, C ( n, ) + C( n,). C( n,) eşitliğinde n kaç olmalıdır? A) B) C) D) 6 E) 7 Çözüm 8 C ( n, ) + C( n,). C( n,) n! n! n! +. ( n )!.! ( n )!.! ( n )!.! n.( n ) n.( n ).( n ) +.. n. n.( n ) + n.( n ).( n ) 6. n n.( n ).[+ ( n )]. n ( n ).( n+ ) n ² n ² n
9. k0 k ifadesinin değeri kaçtır? A) 8 9 B) 8 C) D) E) Çözüm 9 k0 k k 0 9 + + + + 9 9¹ 9² 9³... k + + + +... 9¹ 9² 9³ 9 8 9 8 9
ln x 0. lim x x değeri kaçtır? A) B) C) 0 D) E) Çözüm 0 ln x lim x x ln ² 0 belirsizliği vardır. 0 L Hospital kuralı uygulanırsa, lim x ( (ln x) x / ) / lim x x x x² lim. x x lim x x ² ² x ² x x 0 0 Not : L Hospital Kuralı f ( x) lim x x0 g( x) / 0 f ( x) f ( x) limitinde veya belirsizliği varsa, lim lim olur. 0 x x / 0 g( x) x x0 g ( x)
sin x+ cos x. lim π x π 6 x değeri kaçtır? A) 0 B) C) ( ) D) (+ ) π E) π Çözüm sin x+ cos x lim π x π 6 x π π sin + cos 6 6 π π 6 + π 6 + π 6 (+ ) π
. n elemanlı bir kümenin r - li bütün kombinasyonlarının (kombinazonlarının) sayısı C(n, r) ile gösterildiğine göre, C( n,). C( n, ) lim n C( n,). C( n,) değeri kaçtır? A) B) C) D) E) Çözüm C( n,). C( n, ) lim n C( n,). C( n,) n! n. ( n )!.! lim n n! n!. ( n )!.! ( n )!.! n.( n ).( n ).( n ) n. lim... n n.( n ) n.( n ).( n ).... ( n ) lim n ( n ) n lim n n Adnan ÇAPRAZ adnancapraz@yahoo.com AMASYA