MKM 308 Eşdeğer Noktasal Kütleler Teorisi
Eşdeğer Noktasal Kütleler Teorisi Maddesel Nokta (Noktasal Kütleler) : Mekanikte her cisim zihnen maddesel noktalara ayrılabilir yani noktasal kütlelerden meydana gelmiştir. Böyle noktasal kütlelerden oluşan topluluğa maddesel noktalar sistemi veya kısaca maddesel sistem veya mekanik sistem adı verilir.
Eşdeğer Noktasal Kütleler Teorisi Denge problemlerinin çözümünde bir katı cismin ağırlığı, ağırlık merkezinde bir tek kuvvet ile temsil edilir ve dış tepkiler yönünden mesnetlerdeki geometrik şeklini koruduğu düşünülür. Bunun statik bakımdan katı cisme eşdeğer olduğu bilinir.
Eşdeğer Noktasal Kütleler Teorisi Bir katı cismin keyfi seçilen noktalarına, toplamları cismin kütlesine eşit ve cisimle aynı ağırlık merkezine sahip olacak şekilde noktasal kütleler konursa, birbirlerine göre konumları değişmeyen, dolayısıyla yine katı cismi oluşturan bu noktasal kütleler sistemi gerçek katı cisme eşdeğerdir.
Eşdeğer Noktasal Kütleler Teorisi Gerçek katı cisim yerine noktasal kütleler konulması işlemine katı cismin kütlesinin statik bakımdan eşdeğer olarak noktasal kütlelere indirgenmesi denir.
Eşdeğer Noktasal Kütleler Teorisi Orijini ağırlık merkezinde bulunan eksen takımına göre maddesel noktaların koordinatları; x i, y i, z i Maddesel noktaların kütleleri; m i n maddesel nokta sayısı olmak üzere, Cismin Kütlesi; Statik eşdeğerlik için şart denklemleri;
Eşdeğer Noktasal Kütleler Teorisi Bir noktasal kütlenin belirlenmesi için 3 konum koordinatı ve 1 kütle olmak üzere 4 büyüklük bulunur. Statik eşdeğerlik şartlarını belirleyen 4 denklem vardır. O halde noktasal kütleleri belirleyen büyüklüklerden s = 4*n-4 tanesi serbest seçilir.
Eşdeğer Noktasal Kütleler Teorisi Noktasal kütleleri belirleyen büyüklüklerden s = 4*n-4 tanesi serbest seçilir. n=1 için s=0 olup, tek noktaya indirgeme halinde hiçbir serbestlik bulunmamaktadır. Yani tüm kütle ağırlık merkezinde toplanmıştır. n=2 için s=4 olur. Noktalardan birinin konumu seçilirse, diğer noktanın sadece bir koordinatı seçilebilir. Yani ikinci nokta ilk seçilen nokta ile ağırlık merkezini birleştiren bir çizgi üzerinde olmak zorundadır.. n=3 için s=8 olur. Noktalardan ikisinin konumu seçilirse, geriye serbest seçilecek iki büyüklük kalır. Üçüncü nokta bir yüzey üzerinde olmak zorundadır. Bu yüzey ilk iki nokta ile ağırlık merkezinin belirlediği düzlemdir.
Eşdeğer Noktasal Kütleler Teorisi Dinamik Eşdeğer Noktasal Kütleler Düzlemsel hareket yapan düzlemsel katı cisim ile bu cismin belirli noktalarına konmuş, bu noktalar dışında kütlesiz olan ve diğer cisimlerle bağlantı özelliklerini koruyan noktasal kütleler sisteminin dinamik bakımdan eşdeğer olması halidir. Bir rijit cismin bütün noktalarının yörüngeleri birbirine paralel düzlemler içinde kalacak şekilde hareket ediyorsa bu cismin düzlemsel hareket yaptığı söylenir.
Eşdeğer Noktasal Kütleler Teorisi Dinamik Eşdeğer Noktasal Kütleler Dinamik eşdeğerlik için gerek ve yeter şart; 1. Gerçek cismin kütlesinin noktasal kütlelerin toplamına eşit olması 2. Gerçek cismin ağırlık merkezinin noktasal kütleler sisteminin ağırlık merkezi ile aynı olması 3. S ağırlık merkezinden geçen ve hareket düzlemine dik olan eksene göre gerçek cismin ve noktasal kütleler sisteminin kütlesel atalet momentlerinin birbirine eşit olması i s : Atalet Yarıçapı I s : Kütlesel Atalet Momenti
Eşdeğer Noktasal Kütleler Teorisi Dinamik Eşdeğer Noktasal Kütleler Dinamik bakımdan eşdeğerliğe sahip, gerçek katı cisim ile noktasal kütleler sistemi, aynı hareket durumunda; aynı kinetik enerji, aynı atalet kuvveti ve aynı atalet momentlerine sahiptir. 2 E k = 1 2 m V + 1 s 2 2 m i sω2 T = ma s 2 M s = mi sα
Eşdeğer Noktasal Kütleler Teorisi Dinamik Eşdeğer Noktasal Kütleler Katı cisim dinamik eşdeğer noktasal kütlelere indirgenecekse; herbir noktasal kütlenin belirlenmesi için 2 konum koordinatı (x i, y i ) ve 1 kütle (m i ) olmak üzere 3 büyüklük bulunur. Statik eşdeğerlik şartlarını belirleyen 4 denklem vardır. O halde noktasal kütleleri belirleyen büyüklüklerden s = 3*n-4 tanesi serbest seçilir.
Dinamik Eşdeğer Noktasal Kütlelerin Tayini İki Noktasal Kütleye İndirgeme n=2 ise s=3*2-4=2 olur.
Dinamik Eşdeğer Noktasal Kütlelerin Tayini İki Noktasal Kütleye İndirgeme Eşdeğerlik şartları yazılırsa; 2 nolu denklemden m B çekilip 1 nolu denklemde yerine yazılırsa; m A 2 nolu denklemde yerine yazılırsa; m A ve m B 4 nolu denklemde yerine yazılırsa;
Dinamik Eşdeğer Noktasal Kütlelerin Tayini Üç Noktasal Kütleye İndirgeme n=3 ise s=3*3-4=5 olur. İki noktanın koordinatları seçilirse (x 1,y 1,x 2,y 2 ) diğer noktanın sadece bir koordinatı (x 3 ) seçilebilir. Diğer koordinat (y 3 ) ve üç kütle (m 1,m 2, m 3 ) eşdeğerlik şartlarından elde edilir.
Dinamik Eşdeğer Noktasal Kütlelerin Tayini Bir Doğru Üzerindeki Üç Noktasal Kütleye İndirgeme
Dinamik Eşdeğer Noktasal Kütlelerin Tayini Bir Doğru Üzerindeki Üç Noktasal Kütleye İndirgeme Eşdeğerlik şartları yazılırsa; 2 nolu denklemden m B L B 2 çekilip 4 nolu denklemde yerine yazılırsa m A bulunur. m A 2 nolu denklemde yerine yazılırsa m B bulunur. 1 nolu denklemde m A ve m B yerine yazılırsa m S bulunur.
Dinamik Eşdeğer Noktasal Kütlelerin Tayini Bir Doğru Üzerindeki Üç Noktasal Kütleye İndirgeme
Dinamik Eşdeğer Noktasal Kütlelerin Tayini UYGULAMA Şekildeki üç çubuk mekanizmasının uzuvlarının kütlelerini dinamik eşdeğer olarak A 0, A, S 3, B, S 4, B 0 noktalarına indirgeyiniz.
Dinamik Eşdeğer Noktasal Kütlelerin Tayini UYGULAMA 2 nolu uzvu inceleyelim.
Dinamik Eşdeğer Noktasal Kütlelerin Tayini UYGULAMA 3 nolu uzvu inceleyelim.
Dinamik Eşdeğer Noktasal Kütlelerin Tayini UYGULAMA 4 nolu uzvu inceleyelim. Aynı denklemler kullanılarak;
Dinamik Eşdeğer Noktasal Kütlelerin Tayini UYGULAMA Belirtilen noktalara gelen toplam kütleler;
Dinamik Eşdeğer Noktasal Kütlelerin Tayini UYGULAMA