Harita Projeksiyonları Bölüm : Azimutal Projeksiyonlar Prof.Dr. İ. Öztuğ BİLDİRİCİ
Azimutal Projeksiyonlar Projeksiyon yüzeyi düzlemdir. Normal, transversal ve eğik konumlu olarak uygulanan azimutal projeksiyonlar, yaklaşık daire biçiminde olan bölgeler için uygundurlar. Konunun kolayca anlaşılabilmesi için ele alınacak olan projeksiyon türleri normal konumda incelenecektir.
Meridyenlerin izdüşümleri bir noktadan (kutup noktasından) dağılan ışın demetleri, paralellerin izdüşümleri ise bu noktayı merkez alan daireler biçimindedir. Kutup noktasında meridyenler arasında oluşan açılar (α) küre üzerindeki açılarla (λ) aynıdır. Paralel dairelerin yarıçapları (m) projeksiyonun özelliğine göre kutup uzaklığının (90-ϕ) fonksiyonu olarak belirlenir.
x α m P y m,α : kutupsal koordinatlar x,y : dik koordinatlar
α λ m f ( ) Meridyen yönündeki uzunluk deformasyonu h, projeksiyon düzleminde m yarıçapının dm kadar artışını, yay uzunluğunun d kadar artışına oranlayarak bulunur. Paraleller yönündeki uzunluk deformasyonu k ise herhangi bir paralel dairenin projeksiyondaki çevresini, küredeki çevresine bölerek elde edilir. h dm d, k m sin
Meridyen Uzunluğu Koruyan Projeksiyon m Projeksiyon Düzlemi K P sin P Ekvator M 1
Meridyen uzunluğu koruma şartı, tüm meridyenlerin boylarının projeksiyonda korunması ile sağlanır. ) ) α λ, m h 1 k sin k>1, h1 olduğundan k>h olur. Bu durumda ak, bh1 şeklinde endikatrisin elemanları bulunur. Alan deformasyonu ) ise b1 olduğundan a ya eşittir. Φ a sin Maksimum yön deformasyonu: ) sin sin ω ) + sin
Meridyen Uzunluğu Koruyan Projeksiyon, Kuzey Yarımküre, 1:400 Milyon
MERİDYEN UZUNLUĞU KORUYAN PROJEKSİYON ϕ h k Φ w 15 75 1.000000 1.355173 1.355173 8.673616 30 60 1.000000 1.0900 1.0900 5.433750 45 45 1.000000 1.11071 1.11071 3.006908 60 30 1.000000 1.047198 1.047198 1.31055 75 15 1.000000 1.011515 1.011515 0.37998 89 1 1.000000 1.000051 1.000051 0.001454
Alan Koruyan Projeksiyon Alan koruma şartının sağlanması için paralel dairelerin izdüşümlerinin yarıçapı, bir paralel dairenin kapladığı harita alanı, bu paralel daire tarafından sınırlanan küre kapağının alanına eşit olacak şekilde seçilmelidir. m yarıçap ifadesini bulabilmek için, P noktasından geçen paralel dairenin düzlemde sınırladığı daire alanı ile, kürede sınırladığı küre kapağının alanı birbirine eşitlenir.
F F' π m F π ( 1 cos) F' 4πsin 4πsin Deformasyonlar: h k π m dm cos d m sin sin sin cos 1 cos α λ, m sin Yön deformasyonu: sin ω sin sin h<1, k>1 olduğundan ka, hb
Alan Koruyan Projeksiyon, Kuzey Yarımküre, 1:400 Milyon
ALAN KORUYAN PROJEKSİYON ϕ h k Φ w 15 75 0.793353 1.6047 1.000000 13.146313 30 60 0.86605 1.154701 1.000000 8.1311 45 45 0.93880 1.0839 1.000000 4.531581 60 30 0.96596 1.03576 1.000000 1.985946 75 15 0.991445 1.00869 1.000000 0.4976 89 1 0.99996 1.000038 1.000000 0.0018
Konform Projeksiyon Açı koruyan (konform) azimutal projeksiyon streografik projeksiyon olarak da adlandırılır. Açı koruma şartı ab ya da hk dır. h ve k nın azimutal projeksiyonlar için genel ifadeleri yazılırsa: h k dm d m sin 1 m dm 1 d sin 1 1 dm d ln m + c1 ln tan + m sin ln m ln tan + lnc m c tan c
c entegral sabitini belirlemek için küreyle projeksiyon düzleminin kutupta teğet olması ve burada deformasyon ortaya çıkamayacağı göz önüne alınır. O halde 0 için k1 dir. m c tan c k sin sin cos 0 c α λ, m tan 1 Endikatrisin elemanları h k dm d m sin 1 cos 1 cos h k a b ω 0 Φ a. b 1 4 cos
Projeksiyon Düzlemi K m tan / P sin P Ekvator 1 M / G Projeksiyon aslında gerçek bir perspektiftir ve projeksiyon merkezi güney kutbudur!
Özellikler Stereografik projeksiyonda sadece deformasyon elipsi daireye dönüşmez aynı zamanda küre üzerinde tüm dairelerin izdüşümleri de dairedir. Kutuptan uzaklaştıkça alanların çok hızlı büyümesi nedeniyle projeksiyon atlas haritalarında tercih edilmez. Konform olma özelliği ve dairelerin şekillerinin korunması nedenleriyle astronomik amaçlar için tercih edilir. Referans yüzeyi elipsoit alınarak kutup bölgelerinin 1: 1 000 000 ölçekli topografik haritaları için de kullanılmaktadır. UPS (Universal Polar Stereographic) olarak da adlandırılır.
Konform Projeksiyon, Kuzey Yarımküre, 1:400 Milyon
STREOGRAFİK PROJEKSİYON ϕ h k Φ w 15 75 1.588791 1.588791.5456 0.000000 30 60 1.333333 1.333333 1.777778 0.000000 45 45 1.171573 1.171573 1.37583 0.000000 60 30 1.071797 1.071797 1.148748 0.000000 75 15 1.01733 1.01733 1.034965 0.000000 90 0 1.000000 1.000000 1.000000 0.000000
Gnomonik Projeksiyon Merkezi projeksiyon da denen Gnomonik projeksiyon gerçek perspektif özelliğinde olup, projeksiyon merkezi referans küresinin merkezidir. Projeksiyonun bu özelliğinden dolayı küre üzerindeki büyük daire yaylarının izdüşümleri doğru şeklindedir. Başka bir ifadeyle gnomonik projeksiyonda ortodromların izdüşümleri doğru şeklindedir. Alan, açı ya da uzunluk koruma özelliği yoktur.
Projeksiyon Düzlemi K m tan P sin P Ekvator M 1 α λ, m tan 1 Φ ab 3 cos h dm d 1 cos, k tan sin 1 cos sin ω a a + b b tan
Gnomonik Projeksiyon, Kuzey Yar Projeksiyon, Kuzey Yarımk mküre, 1:600 Milyon re, 1:600 Milyon
GNOMONİK PROJEKSİYON ϕ h k Φ w 15 75 14.9803 3.863703 57.678148 36.07140 30 60 4.000000.000000 8.000000 19.4711 45 45.000000 1.41414.8847 9.8798 60 30 1.333333 1.154701 1.539601 4.117194 75 15 1.071797 1.03576 1.109606 0.9931 90 0 1.000000 1.000000 1.000000 0.000000
Ortografik Projeksiyon Gerçek perspektif özelliği taşıyan projeksiyonlar içerisinde projeksiyon merkezinin sonsuzda olmasından dolayı ekstrem durumdur. Paralel projeksiyon da denilir.
Projeksiyon Düzlemi K m sin P sin P Ekvator 1 M α λ, m sin Φ a.b cos h cos, k 1 sin ω a a + b b 1 1+ cos cos tan
Ortografik Projeksiyon, Kuzey Yarımküre, 1:400 Milyon
ORTOGRAFİK PROJEKSİYON ϕ h k Φ w 15 75 0.58819 1.000000 0.58819 36.07140 30 60 0.500000 1.000000 0.500000 19.4711 45 45 0.707107 1.000000 0.707107 9.8798 60 30 0.86605 1.000000 0.86605 4.117194 75 15 0.96596 1.000000 0.96596 0.9931 90 0 1.000000 1.000000 1.000000 0.000000
Düzlem Koordinat Sistemi X ekseni bir meridyen ile çakışık alınır. (Orta meridyen) Y ekseni seçilen bir orijin noktasına göre belirlenir. Genellikle kutup noktası alınır. Negatif değerlerden kaçınmak için itibari x ve y değerleri koordinatlara eklenebilir. Deformasyonları azaltmak için koordinatlar bir küçültme faktörü ile çarpılabilir.
x α m P y m,α : kutupsal koordinatlar x,y : dik koordinatlar m f ( ϕ) α λ λ 0 x mcosα y msinα
. Bölümün sonu