R (UVVE MME ) - DEE ES -... evhalar dengede oldu una göre, desteklerin oldu u noktalara göre moment al n rsa,...... oldu u görülür. CEVA B d d d d. ucuna göre moment cambaz den ye giderken momenti azald ndan gerilmesi azal r. y x.cosθ oldu undan de azal r. y + c oldu undan, y azald nda artar. I. ve III. yarg lar do rudur. II. yarg yanl flt r. x θ c CEVA E M d d d d d d Destekler ayr ayr levhay dengede tuttu undan ye göre momentleri eflittir. Bu durumda; d. d. d. d. I. yarg do rudur. Sistem dengedeyken moment al n rsa kuvvetinin de eri, d. d. + d. ESE YAYIARI Her bölmenin a rl na diyelim.,, M noktalar na göre moment Σ M Σ M Σ M M...... Buna göre, > > CEVA C II. yarg yanl fl, III. yarg do rudur. CEVA D 6.. evhan n a rl olsun. a rl n n + noktas na göre momenti ( ) yöndedir. evhan n dengede kalabilmesi için (+) yön- de bir moment olmas gerekir. kuvvetinin momenti (+) yöndedir. ve kuvvetlerinin momenti s f r, ve kuvvetlerinin momentleri ( ) yöndedir. CEVA E 6 6 evha birim kareden olufltu undan ve her bir levhan n a rl oldu undan levhan n a rl dir. ütle merkezi ise noktas d r. noktas na göre moment.... 9 CEVA A
ork (uvvet Momenti) - Denge 7. kuvvetinin yönüne göre çubuk Y noktas etraf nda döner. Dengeyi bozmayacak flekilde en büyük kuvveti Y yer 0. kuvvetinin noktas na göre momentinin yönü nin noktas - na göre momentinin yönü ile ayn d r. Bu kuvvet küreyi basama a ç kartamaz. kuvvetinin noktas na göre momenti s f rd r. Bu kuv- için, Y noktas na göre moment alal m... kuvvetinin yönüne göre çubuk noktas etraf nda döner. Dengeyi bozmayacak flekilde en büyük kuvveti için, noktas na göre moment alal m... vet de küreyi basama a ç kartamaz. kuvveti de küreyi basama a ç kartamaz. Çünkü ortam sürtünmesizdir. Ancak sürtünmeli ortamlarda cisimler dönerek ilerler. Asl nda hiç birine bakmaya gerek yok. E er ortam sürtünmeli ise yaln zca kuvveti küreyi basamaktan ç kartabilir. CEVA E 8. Buna göre, 8 (+) ( ) CEVA D kuvvetinin noktas ndan geçen eksene göre momenti, M.d M. br dir. ESE YAYIARI. üre, flekildeki min luk kuvvetle basama ç kabildi- cm ine göre a rl, cm cm r cm 9cm ΣM.. cm 6cm.. 60 üreyi basama a ç karabilecek en küçük kuvvet, min.0. min.0 60. min CEVA D Σ M. d +. d +. d.... br M dir. CEVA A 9. kuvvetinin noktas na göre momenti, M. br kuvvetinin noktas na göre momenti, M. +. br kuvvetinin noktas na göre momenti, M. br Buna göre; M M > M 6 dir. CEVA C uvvetlerin dan geçen eksene göre momentleri eflit oldu undan, M M M... Bu durumda, > > CEVA B
R (UVVE MME ) - DEE ES -. I I f I I f f. f f (+) ( ) a I I f ΣM a a f. a + f. f. a + f. + f. a + f. 0 ΣM + f a, (+) yönde CEVA C f a a a I I f d d d d d > d uvvetlerin noktas na göre momentleri eflittir..d.d.d Buna göre, > CEVA C. (+) ( ) f f I I f. 0 0 0 0 M fiekil - I fiekil - II fiekil - III fiekil - I de noktas na göre moment alal m... fiekil - II de noktas na göre moment alal m... fiekil - III te M noktas na göre moment alal m. ESE YAYIARI. 0 I If f r r r I If Σ M f. r + f. r. r + f. r f 7 7 r CEVA A 60 noktas na göre moment alal m... 0 60..sin60..sin60 Bu durumda, > M CEVA D noktas ndaki kuvvetlerin bileflkesi s f rd r.. sin7. cos7 Buna göre, > 7 CEVA C 7
ork (uvvet Momenti) - Denge 6. Sistem dengede oldu- una göre, Σ y + + 6 Σ x 9. d br d br d br.d.d.d... 0 d d 0 d noktas na göre moment ΣM.. +. Buna göre, > CEVA B Buna göre, > CEVA B 7. 0. α M. Çubu un her bir parças n n a rl na dersek, çubuk 9 çubuk Alev noktas na geldi inde çubu un a rl k merkezi in uzant s nda Alev M noktas na gelince,. 7., denge ok yönünde bozulmufl M Alev - M aras na gelince denge ok 7 yönünde bozulur. CEVA A çubuk ESE YAYIARI. α α. cosα. cosα pteki gerilme kuvveti, n tepki α kuvvetine eflittir. Üç kuvvet birbirine eflit Aralar ndaki aç ise 0 dir. α I., II. ve III. yarg lar do rudur. ( ) (+) α CEVA E 8. cambaz çubuk I II III fiekil - I de kuvvetini dengeleyen kuvvet yoktur. Cisim dengede kalamaz. fiekil - II de a rl ile kuvvetleri taraf ndan dengelenebilir. fiekil - III te kuvvetini dengeleyen kuvvet yoktur. Cisim dengede kalamaz. CEVA E Cambaz (+) yönde hareket ederse, kütle merkezi e do ru yaklafl r ve artar, azal r. I. yarg do rudur. Cambaz ( ) yönde hareket ederken, kütle merkezi deste e yaklafl r ve artar, azal r. II. yarg yanl flt r. Cambaz n hareketi süresince ( + ) de eri sabittir. Bu de er cambaz n a rl ile çubu un a rl klar toplam na eflittir. III. yarg do rudur. CEVA D 8
R (UVVE MME ) - DEE ES -.. cismi için; M Sistem dengede oldu una göre, ucuna göre moment.. +. + noktas na göre moment alal m.. r +. r. r r r CEVA A ucuna göre moment M çubu unun a rl,. +.. CEVA D. x 0 0 y ESE YAYIARI. noktas na göre moment alal m. x nin ya göre momenti s f rd r. y. sin 0 0 y.. 0... Sistem dengede oldu una göre, noktas na göre moment ΣM... 0 7 br br br 7 CEVA E br CEVA C çubuk x a rl kl cisme etkiyen kuvvetler; + + noktas na göre moment alal m.. + y.. + çubuk. +. + çubuk +. + çubuk çubuk çubuk CEVA B 0 y.sin0 9
ork (uvvet Momenti) - Denge 6. 8. Y Z. d Çubuklar noktas etraf nda dönebilir. Her bir çubuk a rl olsun., Y, Z ve çubuklar için, noktas na göre moment alal m.. d +. d. d +. d Üst üste toplam adet çubuk b rakabiliriz. CEVA C I. destek Çubuklar dokunduklar noktada birbirlerine eflit ve z t yönde kuvvet uygularlar. I. deste e göre moment.. ➊ II. deste e göre moment Y.. ➋ ➊ ve ➋ eflitlikleri taraf tarafa oranlan rsa,.. ( bulunur.. Y Y. Y II. destek CEVA E Y 7. ESE YAYIARI 9. y 7 x I II yer I. destek II. destek 7 7 y Her bir tu lan n a rl olsun. I + II + + + 0 noktas na göre moment alal m. 7. +. +. +. 0 I.. I I 0 0 + II 0 II 0 II 0 CEVA A Sistem dengede oldu una göre, noktas na göre moment ΣM y. y. y. sin 7.. cos 7.... CEVA B 0
ork (uvvet Momenti) - Denge 0. Önce çubu un a rl k merkezinin I noktas - na olan uzakl - I x II n bulal m. Çocuk noktas na geldi in- yer masa de; I noktas na göre momenti yazal m... x ➊ Çocuk noktas na geldi inde; II noktas na göre momenti yazal m...( x) ➋ ➊ ve ➋ den. x...( - x) I noktas na göre moment.. x ( 6- x x 6 x ( x br x CEVA D. çubuk cismini noktas nda afla yönlü bir kuvvet olarak gösterirsek, cisminin çubu a ba land di er iki i dikkate almaya gerek yoktur. noktas na göre moment alal m... + çubuk + + + Buna göre, çubuk CEVA C ESE YAYIARI. x f y f noktas na göre moment alal m.. +. +.. +. + f. + f. 7 9 - f f (f) + f f CEVA B
R (UVVE MME ) - DEE ES -.. alev 0 0 M Alev noktas na geldi inde deste e göre moment eflitli ine bakal m.. +.?. 8, > 6 oldu undan ok yönünde dönme hareketi olmaz. Alev M ye geldi inde ise,. +.?. < 6 oldu undan çubuk ok yönünde dönme hareketi yapar. Öyleyse alev - M aras nda iken çubuk ok yönünde döner. CEVA C 0 60 0 0 60 Sistem dengede oldu una göre, noktas na göre moment ΣM. sin 0. + 0. sin 0. 6... + 0.. 6 0 60 0 CEVA E 0 ESE YAYIARI. Y r r r. I II III ve Y levhay ayr ayr dengede tuttu una göre, noktas na göre moment. r r. + r. + r. I. eflitlik do rudur.. r r. + r. + r. 6 Y Y II. eflitlik do rudur. I I + I I +. 6 Y I. çubu un a rl k merkezi de II. çubu un a rl k merkezi de III. çubu un a rl k merkezi dedir. üm çubuklar n a rl k merkezi de dedir. Bu noktaya göre moment al n rsa,.. CEVA D III. eflitlik yanl flt r. CEVA D
ork (uvvet Momenti) - Denge. 7. y M R S U V x y 0 0 x y k olsun. x y m olsun. noktas na göre moment alal m.. k. + k. k 7 noktas na göre moment alal m.. + m. m. m x M noktas na göre moment alarak 0 luk cismin as laca en son noktay hesaplayal m. Bu durumda noktas ndan deste in yapt tepki kuvveti s f r 0. 0.x x 6 br Bu nokta U noktas d r. 0 luk cisim - U aras nda hareket ettirilirse çubu un dengesi bozulmaz. CEVA A k. 7 7. m CEVA B 8. (+) ( ) 6. 7 br br 8 br ESE YAYIARI Moment, kuvvetin dik bileflenlerinin noktas na olan uzakl klar n n çarp m ile bulunur. Buna göre, M. 8 M 8. 8 M 8.( ) 8 M 6.( ) M 6. Moment vektörel bir büyüklük oldu undan yaln z I. eflitlik do rudur. M M dir. II. ve III. eflitlikler yanl flt r. CEVA A br Sistem dengede oldu una göre, noktas na göre moment ΣM. +. 8. CEVA B 9. Sistem dengede oldu undan, noktas na göre moment ΣM. +.. su CEVA C
ork (uvvet Momenti) - Denge 0. 7 7 br br 0 br Sistem dengede oldu una göre, noktas na göre moment al rsak teki gerilme kuvveti, Σ M... +.. 0.. + 0.. 8 + 0 CEVA C. 0 0 ESE YAYIARI Sistem dengede oldu undan noktas na göre moment al rsak kuvveti, ΣM. +.. +. CEVA E. Sistem dengede oldu una göre, noktas na göre moment ΣM.,8 r. 0,8 r 8 8 9 r 7 r 0,8r r CEVA B
R (UVVE MME ) - DEE ES -. 8 7 x br 7 br y br. br br 7 br br Sistem dengede oldu una göre, noktas na göre moment ΣM br. Sistem dengede oldu una göre, noktas na göre moment Σ M x. y. +. +.. sin.. cos. + + 8..... + + 60 tavan CEVA C ESE YAYIARI. +... are levha dengede oldu- una göre, noktas na göre moment al n rsa,..a a.a 00 a x 0 a x av a/ 00 7 a CEVA C CEVA D Y makara y y noktas na göre moment al rsak indeki gerilme kuvveti,.... I. yarg do rudur. indeki gerilme kuvveti denge flart ndan, + + + + 6 II. yarg do rudur. Y cisminin a rl, Y + makara Y + makara. Y makara III. yarg için kesin birfley söylenemez. CEVA D Y x + y x + y y f noktas na göre moment alal m.. + y. x.. + f. f. f noktas na göre moment alal m. Y. + y. x. Y. + f. f. f Y Buna göre, f Y f Y CEVA D
ork (uvvet Momenti) - Denge 6. 8. 7 Y br Y destek br Sistem dengede oldu una göre âmi teoremini yazarsak, sin sin 90 sin 7 inin ba land noktaya göre moment.. I. yarg do rudur. Sistem dengede oldu undan, + + bulunur. Σ M II. yarg do rudur... +.. + 8 CEVA E ESE YAYIARI Deste e göre moment 7.. Y 7 7. Y Y bulunur. III. yarg yanl flt r. CEVA C 7. M 9. y I. destek II. destek alaslar özdefl oldu undan, sistemin a rl k merkezi M noktas d r. Bu durumda I. deste in tepki kuvveti ile II. deste in tepki kuvveti aras ndaki iliflki M ye göre moment I. destek ya II. destek ye getirilirse, I. yarg yanl flt r. d 7 br uvvetlerin momentleri birbirine eflit M M üçgeninde br d 60 7 x 7 br br br dir. I. destek ye II. destek ye getirilirse, II. yarg do rudur. I. destek M ye getirilirse tepki kuvveti, olur ve bulunur. III. yarg do rudur. CEVA E br olsun. in ya göre momentinin büyüklü ü : M M.. sin7... 6
ork (uvvet Momenti) - Denge nin ya göre momentinin büyüklü ü : M M y.. cos + x.. sin c. m.. + c... m. M M.. CEVA A. 7 Sistem dengede oldu una göre, noktas na göre moment Σ M 7 y 7 7 0. V V. y.. 7. sin 7. 7. m I Desteklerin tepki kuvvetleri de iflmedi ine göre, ve cisimlerinin a rl klar n n uygulama yeri de iflmemifltir. cismi t sürede V h z yla br ilerlerse; cismi ayn sürede V h z yla br ilerler. II m Buna göre;. cos 7. 0,8 CEVA B. m. m. m m y CEVA C ESE YAYIARI 7 D x A C x 7 y B 8 7 Sistem dengede oldu undan B noktas na göre moment ΣM B x. + y. + x. y..cos7. +.sin7. +.sin7....... + 8 +.cos7... 8 8 6 68 7 CEVA A 7
R (UVVE MME ) - DEE ES - 6. y 7 6 7. y 0 x 7 br br br 8 Sistem dengede oldu undan, noktas na göre moment ΣM br Sistem dengede oldu una göre, noktas na göre moment Σ M 7 y 00 y. x. +.. sin.. cos. +..... + 8. 7 6 0 CEVA B.. sin 7. +. sin. 00. 0,6. + 0. 0,8. 80 + 80 60 6 CEVA B. ESE YAYIARI. noktas na göre moment kuvvetinin büyüklü ü; ΣM.0.0.0 00.0 80 r 0cm 7 0cm 7 0cm 0cm Sistem dengede oldu una göre, noktas na göre moment al rsak teki gerilme kuvveti, ΣM y.. +.. sin 7.. + 0.. 0,6. 0 0 kuvvetinin büyüklü ü, gerilme kuvvetinin bileflenine eflittir. x. cos 7 x 7 y. 7 br 0br Çubuk boyu 0 br olsun. 0 x. cos7. 0 8br y. sin7. x 00 7 y 6br CEVA A 7 x 0. 0,8 x 0 x 0 CEVA C noktas na göre moment alal m.. x.6 + y.8. 0. 6 + 0. 8. 80 0 CEVA D 8
ork (uvvet Momenti) - Denge 6. 8. 7 0br Çubuklar özdefl oldu undan a rl klar, uzunluklar 0 br olsun. noktas na göre moment.. +. (6 + ) CEVA D 8 0br 7 Y 6 9. i Y Y Y çubu una etki eden kuvvetler, + Y dir. i Y noktas na çekilince; artar, azal r. akat bu kuvvetlerin çubu undaki etki kuvvetinin yeri ve fliddeti de iflmez. Buna göre, ve gerilme kuvvetleri de iflmez. CEVA E 7. i Y i ESE YAYIARI Çubuk a rl : ç üre a rl : olsun. x ç + + ç + ve + ç ve olsun. + + + + noktas na göre moment alal m.. +.. +.. +. +. noktas na göre moment. +. x + ç.. ç.x + üre ok yönünde ilerledikçe x mesafesi artar ve teki gerilme kuvveti artar. akat de eri de iflmez. + ç dir. CEVA B. () + I. yarg do rudur. i noktal çizginin oldu u yere tafl n nca azal r artar. II. yarg yanl flt r. cismi sistemden ç kar l nca, çubu un dengesi bozulmaz. III. yarg yanl flt r. CEVA A 0. Bu tür sorularda a rl n n uzant s n noktas nda gösterirsek di- er leri dikkate almaya gerek yoktur. noktas na göre moment. (. sin )... 0,8.., 0 6 tavan 7.. CEVA C 9
R (UVVE MME ) - DEE ES - 7. Sistem dengede oldu- undan, noktas na göre moment Σ M 0 noktas na göre moment alal m.. +.. +.6 + 0 art nca de artar. y. y. noktas na göre moment alal m..sin0..cos0..... 60 y x 0 0 y. +. +.. +. + art nca de artar. CEVA D CEVA A. I II. x I II III IV y x I. destek II. destek I + II + pteki gerilme kuvvetinin bilefleninin büyüklü ü, yönü ise z t yönde Buna göre, I numaral olabilir. p IV numaral yerde olamaz. Çünkü bu durumda tepki kuvveti afla daki flekildeki gibi y ESE YAYIARI Cismin hareketi süresince I + II de eri sabit kal r. Bu yüzden II de erindeki kuvvet art fl miktar kadar, I de erinde azalma Bafllang çta sistemin a rl k merkezi II α α I. deste e daha yak n oldu- I undan I > II Bu durumda grafik flekildeki gibi zaman CEVA E x x y. Sistem dengede oldu una göre,. Çubuk a rl olsun. + + + + + CEVA A Σ y 0 0 7 f s Σ br br f s br noktas na göre moment ΣM... 0. 00 f s 00 br CEVA C 0
6. 8. ork (uvvet Momenti) - Denge tavan yay M M 7. yer Cismin a rl : Çubuk a rl : olsun. noktas na göre moment alal m.. +. yay ve + + yay p noktas na tafl n nca, ye göre moment alal m.. +. yay. yay < yay Buna göre, ve yay kuvvetleri azal r. CEVA B + + + M dir. noktas na göre moment alal m.. +. M. dir. cismi al n rsa, artar, azal r. I. yarg yanl flt r. cismi sistemden ç kart l rsa; noktas na göre moment alal m.. +. M. gerilme kuvveti de iflmez. azal r. II. yarg do rudur. ve M sistemden ç kar l rsa, ve azal r. III. yarg yanl flt r. CEVA B x fiekil-i x Y ESE YAYIARI Y 0, ( 0,) I II 9. fiekil-ii l fiekil - I de Y çubu unu yukar yönde çeken kuvvetler ve dir. Çubu un a rl k merkezinin Y den uzakl,.x.( x) x x x x br Y çubu u fiekil - II de ters kondu undan çubu un a rl k merkezinin Y ucundan br uzakl kta, I deste inden br, br uzakta noktas na göre moment al n rsa,..( ) CEVA E.l. d dir. d Çubuk ok yönünde hareket ederken d mesafesi azal r ve nin noktas na göre momenti M azal r. ninde ya göre momenti azalm fl daki tepki kuvveti de artar. CEVA D
R (UVVE MME ) - DEE ES - 8. y. y 7 x 0 y x 0 0 y 8 0 Sistem dengede oldu una göre, noktas na göre moment al rsak teki gerilme kuvveti, ΣM. +. sin 0. 8 0. + 8. +.. 8 0 + 7 76 CEVA B 60 Sistem dengede oldu una göre, noktas na göre moment ΣM y. y. + y.. sin 7.. sin 0. +. sin 0..... +.. CEVA C. kuvvetinin bile- y ESE YAYIARI flenleri x ve y olsun. y f ve x f olsun. x y x ( ) x. 7 7 7 Sistem dengede oldu undan, Yatay kuvvetlerin dengesinden,. cos 7 +. cos 7. 0,8 +. 0,6 7, 7 in noktas - na göre momentinin büyüklü ü, M y. d x. d f. d f. d 6fd in ya göre momentinin büyüklü ü : M f M. d f. d 6fd nin ya göre momentinin büyüklü ü : M M x. d + y.d f. d f. d fd ün ya göre momentinin büyüklü ü : M M x. d + y.d y (+) d noktas na göre moment ΣM. +.. +. 8 6 CEVA A f. d f. d 6fd M M M ile kuvvetleri levhay dengede tutabilir. CEVA E
ork (uvvet Momenti) - Denge. Metal çubu un s cakl art nca, çubu un ucu yükselmeye bafllar. pteki gerilme kuvveti artar, nin ya göre momenti artar. noktas na göre; nin momenti, nin momentine eflittir. Buna göre nin momenti artar. CEVA E 6. Sistem dengede oldu una göre, noktas na göre moment al rsak tepki kuvveti, x y 8. Sistem dengede oldu una göre âmi teoremini yazarsak, sin 90 sin sin 7, ΣM.... 8 ( 8 6 7 CEVA B ΣM.8.. 8 60. 60 Σ x oldu undan, 6m sür sür 60 7. evha noktas etraf nda ( ) yönde sabit h zla döndü üne göre toplam moment s f rd r.. + x.. +. f. f f ve kuvvetlerini ayn noktada gösterdi imizde aralar ndaki aç 60 oldu undan, + f sür x br 0 f 60 br m 0 0 y br 60 60 CEVA A + 8m döfleme br 0 60 vf f CEVA C ESE YAYIARI 9. A a a a B x a 7 7 Sistem dengede oldu una göre, B noktas na göre moment al rsak kuvveti, ΣM B 0 y. a + x. a x. a + y.a.sin.a +.sin 7. a.cos.a +.cos7.a.... +.. +.. 7 y x D y 7 a C CEVA C
ork (uvvet Momenti) - Denge 0. M Sistem dengede oldu una göre, noktas na göre moment ΣM. +.. 6 7 CEVA D. Çubuk üzerine etkiyen kuvvetler flekildeki gibidir. Bu kuvvetlerin büyüklükleri,, f s, olsun. f s ve noktas na göre moment alal m. Çubuk boyu l olsun. l II I f s III IV V l d d 7.d. d. ( ) d (+) x y + ESE YAYIARI,. l. sin7.. cos7,. l... noktas na etkiyen kuvvetlerin bileflkesi, tan7 tanα α > 7 Buna göre bileflke kuvvetin yönü III yönünde olabilir. CEVA C α f s + Y, f ve Y f olsun. noktas na göre, kuvvetinin momenti, M. d Y. d f. d f. d 6fd Çubu un di er ucuna etkiyen ve kuvvetlerinin bileflkesi flekildeki gibi + f dir. M ( + ).6d f. 6d CEVA D