ELEKTROMANYETİK ALAN TEORİSİ

ELEKTROMANYETİK ALAN TEORİSİ Hafta Konu 1 Vektör Analizi 2 Koordinat Sistemleri ve Dönüşümler 3 Elektrik Yükleri ve Alanlar 4 Elektriksel Akı ve Gauss Yasası 5 Diverjansın Fiziksel Anlamı ve Uygulamaları 6 Statik Elektriksel Alanın Endüstriyel Uygulamaları 7 Elektriksel Potansiyel 8 Enerji 9 Akım ve Akım Yoğunluğu 10 İletkenler ve Sınır Şartları 11 Dielektrikler ve Sınır Şartları 12 Kapasitör ve Uygulamaları 13 Laplace ve Poisson Denklemlerinin Çözüm Tahminleri 14 Görüntü Metodu

Vektör Analizi Alan uzay ve zamanda gözlenebilir bir niceliğin veya büyüklüğün süreklilik gösteren dağılımı olarak tanımlanabilir. Skaler ve vektörel alanlar

Vektör Analizi Elektrik alan şiddeti (E) boş uzaydaki elektrostatik alanların açıklanabilmesi için gereken tek vektör olup birim test yüküne etkiyen elektrik kuvveti olarak tanımlanır. Elektrik akı yoğunluğu (D) malzeme ortamında elektrik alan çalışmasında kullanışlıdır. Manyetik akı yoğunluğu (B) boş uzayda manyeto statik (kararlı elektrik akımlarının etkisi) tartışmasında gereken tek vektördür ve belirli bir hızla hareket eden yük üzerine etkiyen manyetik kuvvet ile ilişkilidir. Manyetik alan şiddeti (H) malzeme ortamında manyetik alan çalışmasında kullanışlıdır.

Vektörel Gösterim

Vektörel Gösterim Vektörel gösterim Skaler gösterimi Vektörel çarpımın üç adet skaler eşleniğine göre vektörel eşitliği daha iyi ifade ettiği görülmektedir.

Vektörlerde Toplama Çıkarma

İki vektörün nokta (skaler) çarpımı

İki vektörün nokta (skaler) çarpımı Nokta çarpımının bazı temel özellikleri

İki vektörün vektörel çarpımı Sağ El Kuralı

Vektörel çarpım

Karma çarpım

Sorular

Koordinat Sistemleri ve Dönüşümler

Koordinat Sistemleri Uzayda bir noktayı göstermek ve vektörleri görselleştirerek daha kolay anlaşılmasını sağlamak için koordinat sisteminden faydalanılır. Verilen bir vektör matematiksel olarak seçilen koordinat sistemi üzerinde bileşenlerine ayrılarak ifade edilir. Uzayda çok sayıda dikgen (orthogonal) koordinat sistemi mevcuttur. Burada dikgen terimi koordinat sistemi içinde her bir noktanın birbirlerine dik üç yüzeyin kesişimi ile tanımlanabileceğini anlatmaktadır. Elektromanyetik teoride alanları ve dalgaları ifade etmek için Kartezyen (Cartesian), silindirik (cylindrical) ve küresel (spherical) koordinat sistemlerinden faydalanılır. Verilen bir vektör ifadesi için koordinat sistemleri arasında dönüşüm yapmak mümkündür.

Koordinat Sistemleri

Kartezyen Koordinat Sistemi Koordinat eksenlerinin (çizgilerinin) DOĞRU şeklinde olduğu ortogonal (dikey) sistemlerdir. P(x,y,z) noktasını, eksenlere düşen kenar uzunlukları belirlemektedir.

Kartezyen Koordinat Sistemi

Silindirik Koordinat Sistemi

Küresel Koordinat Sistemi Küre üzerindeki bir nokta bu sistemde üç tane bileşenle ifade edilir, bunlar r, θ ve ф' dir. Koordinatların tanımlı oldukları aralıklar ve tanımları şu şekilde verilir. r: Yarıçap P ve (0,0,0) noktası arasındaki uzaklıktır. θ: Enlem, z-ekseni ve çap arasındaki açıdır. ф: Boylam, x-ekseni ile çapın xy-düzlemine izdüşümü (ρ) arasındaki açıdır. Bu sistem, dünya üzerinde coğrafi konum belirlerken kullanılan sistemdir. Dünya' nın yüzeyi üzerinde her noktada yarıçap aynı olduğundan, sadece enlem ve boylam ile bir yer belirlenebilir.

Küresel Koordinat Sistemi

Sorular (1)

Sorular (2)

Sorular (3)

Sorular(4)

Elektrik Yükleri ve Alanlar

Bu bölümde durgun yüklerden dolayı oluşan statik elektrik alanları (elektrostatik) işlenecektir. Statik elektrik alanları === Yük zamanla sabit Coulomb deneyleri sonucu yüklü iki parçacık arasındaki elektrik kuvvetinin Yüklerin çarpımı ile doğru orantılı, Yüklerin aralarındaki uzaklığın karesi ile ters orantılı, Yüklerin birbirini birleştiren hat boyunca yönlenmiş ve Aynı yükler için itici ve zıt yükler için çekici

ELEKTRİK ALAN ŞİDDETİ Eğer bir yük diğerine doğru hareket ettirilirse Coulomb kanununa göre yükler tarafından etkiyen kuvvetin de ani olarak değişmesi gerekir. Bunun tersine görecelik teorisi bir yükün hareketi hakkındaki bilginin diğer yüke ulaşması için belli bir zaman alması gerektiğini zorunlu kılmaktadır. Bundan dolayı yükler üzerine etkiyen kuvvetlerin artışı ani olamaz böylece yük sistemleri ile ilgili enerji ve momentin geçici olarak denge dışı olacağı gösterilir. Cisimlerden kaçan (kaybolan) moment ve enerjinin hesaba katılması için etkileşen cisimlerin bulunduğu ortamda, alanın biçimini bozucu etki gösteren ekstra bir şeyin var olması gerekir. Bu yüzden, bir yük üzerine başka bir yükün varlığında etkiyen kuvvetin bir alan olarak tanımlanması oldukça kullanışlı olmaktadır.

ELEKTRİK ALAN ŞİDDETİ Yükü çevreleyen uzayda her yerde bir elektrik alanı veya elektrik alan şiddetinin var olduğu söylenebilir. E uzayda bir noktadaki elektrik alan şiddeti ise bu noktada q yüküne etkiyen kuvvet: q nokta yükünden dolayı P noktasındaki elektrik alan şiddetinin ifadesi:

ELEKTRİK ALAN ŞİDDETİ Elektrik alan çizgileri Bir pozitif yükten çıkıp bir negatif yükte son bulurlar Bir pozitif yükten ayrılan veya bir negatif yüke ulaşan alan çizgilerinin sayısı yük miktarıyla orantılıdır. Asla birbirlerini kesmezler

İki Levha Arasındaki Elektrik Alan Şiddeti

Elektrik Alan ile Manyetik Alan Arasındaki Farklar Manyetik alan hareket eden elektrik yükleri tarafından, zamanla değişen elektrik alanlardan veya temel parçacıklar tarafından içsel olarak üretilir. Zamana göre değişen bir elektrik alan (mesela hareketli bir yüklü parçacık nedeniyle) yerel manyetik alana sebep olur.

Elektrik Alan ile Manyetik Alan Arasındaki Farklar Manyetik alan çizgileri kapalı eğrilerdir. Bir başka deyişle manyetik alan çizgilerinin başlangıcı ve sonu yoktur. Oysa elektriksel alan çizgileri artı işaretli yüklerden çıkıp eksi işaretli yüklerde son bulmaktadır. Elektrik kuvveti, her zaman elektrik alanına paralel, buna karşın manyetik kuvvet manyetik alana dik olarak etkir.

Örnek: 24 μc yük değerine sahip bir cisim düzgün 610 N/C elektrik alanın içerisinde havada asılı durmaktadır. Cismin kütlesini hesaplayınız.

Elektriksel Akı ve Gauss Yasası

Elektriksel Akı Statik Elektrik, tabiatta birbirinden farklı veya aynı, iletken veya yalıtkan iki maddenin temas etmesi ve sonra ayrılması veya sürtünme işlemi sonucunda, bu iki cisim arasında pozitif ve negatif elektronların serbest bırakılması ve işaretlerinin değişmesi sonucunda oluşur. Statik yükün voltajı çok fazla olmasına karşın, akımı çok zayıftır. Maddeler birbirleriyle temas halinde olduğu sürece aralarında temas yüzeyi boyunca elektron transferi olur. İki maddenin temasının kesilmesi durumunda aralarındaki sınır tabakası ortadan kalkar ve maddelerden birinde negatif yük fazlalığı (negatif yüklenme) diğerinde ise elektron azlığı (pozitif yüklenme) meydana gelir. Oluşan bu iki ayrı yük birbirlerini çeker ve arada bulunan hava gibi yalıtkan olan bir ortam boyunca ark (kıvılcım) yaparak boşalır ve yük farklarını dengelerler.

Elektriksel Akı Yük veya yükler kapalı bir hacim içerisine alındıklarında, bu kapalı alandan dışarı veya içeri doğru elektrik alan çizgileri düşünülebilir.

Elektriksel Akı Alan çizgileri birbirine yakın olduğunda E büyük, uzak olduğunda küçüktür. Alan çizgileri bir artı yükten çıkıp bir eksi yükte son bulmalıdır. Alan çizgilerinin sayısı yük miktarıyla orantılıdır. İki alan çizgisi birbirini kesmez.

Elektriksel Akı Elektrik akısı, bir yüzeyden geçen elektrik alan çizgilerinin sayısıyla doğru orantılıdır. Çok küçük bir da alanındaki elektrik akısı şu şekilde hesaplanır: Burada E yüzeye dik olan elektrik alanıdır. Bir S yüzeyinden geçen elektrik akısı da alanlarının toplanmasıyla elde edilir: Elektrik alanı vektörüyle, da vektörü arasında skaler çarpım olduğundan manyetik akının büyüklüğü şu şekilde yazılır:

Elektriksel Akı

Elektriksel Akı- Soru

Gauss Kanunu

Noktasal Yükte Gauss Kanunu

Küresel Yükte Elektrik Alanı

Yük Dağılımları Noktasal, çizgisel, alana yayılan (düzlemsel), hacim içerisine yayılan yükler

Gauss Yasası Kullanılarak Hesaplanan Bazı Örneksel Elektrik Alanları

Sorular (1)

Sorular (2)

Sorular (3)

Sorular (4)

Sorular (5)

Diverjansın Fiziksel Anlamı ve Uygulamaları

Diverjans Nedir Isındıkça genişleyen havanın hızını gösteren bir vektör alanının uzaksaması pozitif olacaktır, çünkü hava genişlemektedir. Eğer hava soğuyup daralıyorsa uzaksama negatif olacaktır. Bu örnekte uzaksama yoğunluğun değişiminin ölçüsü olarak düşünülebilir. Vektör hesaplamada, diverjans (ıraksama, uzaksama, uzaklaşma) bir vektör alanının kaynak ya da batma noktasından uzaktaki bir noktada genliğini ölçen işleçtir; yani bir vektör alanının uzaksaması işaretli (artı ya da eksi) bir sayıdır. Uzaksaması her yerde 0 olan vektör alanına selenoidal denir.

Diverjans Nedir

Soru (1)

Soru (2)

Hatırlatma

Hatırlatma Hacmin Türevi Alanın Türevi Vektörün Türevi Alan Vektör Nokta Diverjans bulurken bir vektör alanının kısmi türevini alarak vektör buluyoruz

Diverjans İşareti

Selenoidal Diverjans

Diverjans Uygulamaları-1

6-Statik Elektriksel Alanın Endüstriyel Uygulamaları

Yüklü Parçacığın Sapması Elektrostatik alanların en yaygın uygulamalarından biri elektron veya proton gibi yüklü bir parçacığın yörüngesinin kontrol edilmesi için saptırılmasıdır. Katot ışınlı osiloskop, mürekkepli-jet yazıcı ve hız seçici gibi aygıtlar bu prensibe dayanmaktadır. Yüklü parçacığın sapması bir çift paralel plaka arasındaki potansiyel fark korunarak yapılır. u x hızı ile x yönünde hareket eden m kütleli ve q yükü ile yüklü bir parçacığı dikkate alalım. t=0 zamanında yüklü parçacık V o potansiyel farkında tutulan paralel levha çifti arasındaki bölgeye girer.

Yüklü Parçacığın Sapması Hız=İlk hız + ivme zaman V = V0 + a t

Yüklü Parçacığın Sapması

Yüklü Parçacığın Sapması- Örnek

KATOT IŞINLI OSİLOSKOP Katot ışınlı osiloskop un temel özellikleri; tüp camdan yapılmış ve içi tamamen boşaltılmıştır. Isıtıcı bir flaman ile ısıtıldığında katot elektron yayar. Bu elektronlar daha sonra katota göre birkaç yüz voltluk bir potansiyelde tutulan anoda doğru hızlandırılır. Küçük bir deliğe sahip olan anot, içinden ince bir elektron ışınının geçmesine izin verir. Hızlanmış elektronlar bundan önceki kısımda tartışılana benzer bir davranışla hem yatay ve hem de dikey boyutlarda saptırılabilecekleri bir bölgeye girerler. Son olarak elektron ışını bir cisim (fosfor) ile kaplanmış görünür ışık yayan ekranın iç yüzeyine bombardıman edilir.

KATOT IŞINLI OSİLOSKOP

MÜREKKEPLİ YAZICI

MİNERALLERİN AYRIŞTIRILMASI

7- Elektrik Potansiyeli

Elektrik Potansiyeli

Elektrik Alanda Yapılan İş

Nokta Yükün Elektrik Potansiyeli

Soru-1

Soru-2

Soru-3

Soru-4

Soru-5

Soru-6

Soru-7

Soru-8

Hatırlatma---- Sınavda verilecek formül ve değerler

8-Enerji

Enerji

Soru-1

Soru-2

Soru-3

Soru-4

Enerji

9- Akım ve Akım Yoğunluğu

Akım ve Akım Yoğunluğu

İletkenlik

Direnç

Akım Tabakası Yoğunluğu

Soru-1

Soru-2

Soru-3

Soru-4

Soru-5

Sorular

10-İletkenler, Yalıtkanlar ve Sınır Şartları

İletkenler ve Sınır Şartları

Soru-1

Soru-2

Kutuplanma (P) ve Bağıl Geçirgenlik (εr)

Dielektriğin Ayırma Yüzeyinde Sınır Koşulları

11- Kapasitör ve Uygulamaları

Kapasitör ve Uygulamaları

Çok Katmanlı Dielektrikli Kondansatörler

Kondansatörlerde Biriken Enerji

Sabit Gerilim Durumunda D ve E

Soru-1

Soru-2

Sorular

12-Laplace ve Poisson Denklemlerinin Çözüm Tahminleri

Laplace ve Poisson Denklemleri

Soru-1

Soru-2

Soru-3

Soru-5 Eş merkezli tam dairesel iki silindir arasındaki bölgede, r = 1 mm'de V = 0 ve r = 20 mm'de V = 150 V olmak üzere, potansiyel fonksiyonunu ve elektrik alan şiddetini bulunuz.

Soru-5

Soru-6

Soru-7

Soru-8

Soru-9