Bölüm #2 Laplace Dönüşümü F (s) = f(t)e st dt s > şeklinde tanımlanan dönüşüme LAPLACE dönüşümü adı verilir ve kısaca L{f(t)} ile sembolize edilir. Diferansiyel denklemlerin Çözümünde Laplace dönüşümü Diferansiyel Denklem t - tanım bölgesi L Cebirsel denklem s- tanım bölgesi Cebirsel denklemin Çözümü t-tanım bölgesinde çözüm L s-tanım bölgesinde çözüm Unutulmamalıdır ki, farklı türden tanım ve değer uzayları arasında tanımlanan fonksiyonlara Dönüşüm ; aynı türden tanım ve değer uzayları arasında tanımlanan fonksiyonellere ise Operatör adı verilir. O halde, Laplace fonksiyoneli R C şeklinde tanımlanan bir fonksiyonel olduğu için bir dönüşümdür! Teorem: Laplace dönüşümü lineer bir dönüşümdür. İspat: Bu dönüşümün lineer olması için ve L(f + g)? = L(f) + L(g) L(cf) = cl(f) özelliklerinin aynı anda sağlanması gerekir. (f(t)+g(t))e st dt = olduğundan ve cf(t)e st dt = c f(t)e st dt+ g(t)e st dt = F (s)+g(s) f(t)e st dt = cl(f(t)) olduğundan Laplace dönüşümü lineer bir dönüşümdür.
Bölüm #2 Bazı önemli fonksiyonların Laplace Dönüşümü f(t) = olsun F (s) =? e st dt = lim R R Üstel Öteleme :L(e at f(t)) =? L(e at f(t)) = e at f(t)e st dt = e st e sr dt = lim R s Şayet s := s a sabit dönüşümü yapılırsa = f(t)e (a s)t dt = f(t)e (s )t dt = F (s ) = F (s a) = s f(t)e (s a)t dt Yani L(e at f(t)) hesabını yapmak için f(t) nin Laplace dönüşümü alınır ve s := s a dönüşümü yapılır. Örnek: L(e at ) = L(e at ) = L() s:=s a = s a Örnek: L(e (a+jb)t ) = L(e (a+jb)t ) = L() s:=s (a+jb) = s (a + jb) Örnek: L(cos at) =? Euler dönüşümünden biliyoruz ki geçerlidir. Bu durumda L(cos at) = L ( L(cos at) = 2 cos at = ejat + e jat e jat + e jat [ 2 ) 2 = 2 s ja + s + ja ] [ L(e jat ) + L(e jat ) ] = s s 2 + a 2 s > 2
Adi diferansiyel denklemlerin Laplace dönüşümü ile çözümü y + Ay + By = u(t) şeklinde sabit katsayılı, adi diferansiyel denklemlerin y() = y ve y () = y ilk koşulları altında çözümleri Laplace dönüşümü L ile kolaylıkla yapılabilir. Bunun için öncelikle y(t) Y (s) ile Y (s) = p(s) şeklinde hesaplanır. Daha sonrada q(s) Y (s) L y(t) bulunur. Burada y(t) nin türevleri mevcut olduğundan türev ve integral işlemlerinin Laplace dönüşümlerini öncelikle irdelemeliyiz. L{f (t)} = e st f (t)dt = e st f(t) se st f(t)dt = f() + s f(t)e st dt = sf (s) f(). } {{ } F (s) Burada şu iyi bilinen önemli özellikten faydalandık: Kıs. türev. ayırma=(türev alma,integral al) (Her ikisini de yap) 3
Örnek: L { s 2 4s + 5 } = L { (s 2) 2 + Burada şu özellik kullanıldı: Hatırlanacağı gibi L { s 2 + } = sin t = F (s) } = e 2t sin t dir. Bizim örneğimizde ise s değişkeninin yerini s 2 almaktadır. O halde örneğimizde ele alınan fonksiyon F (s 2) dir. Biliyoruzki L(e at f(t)) = F (s a) idi. Bu durumda bizim örneğimizde a = 2 dir. Ötelenmiş bir fonksiyon ilgili fonksiyonun zaman ekseni üzerinde kaydırılması ile elde edilir. Ancak aşağıdaki şekilden de görülebileceği gibi, biz f(t) fonksiyonunun negatif zaman bölgesindeki değişimini bilmiyoruz. Bu durumda ilgili f(t) fonksiyonunu pozitif zaman ekseni üzerinde c kadar kaydırdığımızda normal olarak f(t) nin negatif zaman ekseni üzerinde c kadar davranışına ihtiyaç duyarız. Bu kısmı bilmediğimiz için kaydırılmış fonksiyonun ilk c birim sürelik kısmı sıfıra eşit olmalıdır. Bunu yapabilmek içinde ilgili ötelenmiş fonksiyon c kadar ötelenmiş basamak fonksiyonu ile çarpılmalıdır. İlgili durum Şekilde gösterilmiştir. y(t) y(t) f() f() u c (t) y(t) = f(t) t c y(t) = u c (t)f(t c) t 4
Teorem: L{u c (t)f(t c)} = e cs L{f(t)} = e cs F (s) İspat: L{u c (t)f(t c)} = e st u c (t)f(t c)dt = c e st f(t c)dt Burada ζ := t c dönüşümünü yaparsak işlemlerimiz kolaylaşacaktır, şöyle ki: c e st f(t c)dt = Örnek: L { F (s) = e 2s s 2 } =? e s(ζ+c) f(ζ)dζ = e sc e ζs f(ζ)dζ = e sc F (s) L { } F (s) = { } { e 2s = L L s 2 s 2 e 2s s 2 } = t u 2 (t)(t 2) Aslında f(t) şu şekilde bir fonksiyondur: f(t) = { t t < 2 2 t 2 Örnek: f(t) = { sin t t π/4 sin t + cos(t π/4) t π/4 fonksiyonunun Laplace dönüşümünü bulmaya çalışalım: Çözüm: L{f(t)} = L{sin t} + L{u π/4 (t) cos(t π/4)} = s 2 + + s e π/4s s 2 + = + se π/4s s 2 + 5
Sıçramalı fonksiyonların Laplace dönüşümü y(t) u c (t) = { t < c t c c t y(t) y(t) = u c (t) c t t şeklinde tanımlanmış fonksiy- Örnek: h(t) = u π (t) u 2π (t) onu çiziniz? h(t) π 2π t Örnek: L{u c (t)} =? Çözüm: L{u c (t)} = e st u c (t)dt = c e st dt = e cs s, s >. 6
Çok önemli bir not (Fonksiyonların zamanda kaydırılması) Örneğin bir arasında tanımlanmış sin t fonksiyonunu ele alalım. Bu fonksiyonu π/2 kadar zaman ekseninde sağa doğru ötelersek, bunun Laplace eşdeğeri L{sin t} L{sin(t π/2)} Aksine geçerlidir. L{sin t} L{u π/2 sin(t π/2)} 7
Örnek:L{t n } =? Çözüm: t n e st dt = t ne st s nt n e st s dt = + n t n e st dt = n s s L{tn } burada şu önemli özellikten faydalandık: t n e st lim t s = tn e st s = Dikkat edilirse t iken son kesirli ifadenin payı ve paydası sonsuza gitmektedir. Bu durumda sıralı L hopital kuralı kullanılırsa kesirli ifadenin payı n adımda sıfıra, giderken payda sabit kalmaktadır. Sonuç sıfır olur. Diğer taraftan L{t n } = n s L{tn } = n(n ) s 2 L{t n 2 } = = n(n ) s n L{t } = n! s (n+) L{t n } = n! s n+ 8
Ters Laplace Dönüşümü Genellikle L (F (s)) = f(t) şeklinde sembolize edilir. Hesaplanması esnasında çoğunlukla kısmi kesirlere ayıştırma tekniği kullanılır ve karmaşık ifadeler daha sade, çoğu zaman ters Laplace dönüşümü bilinen terimlere getirilir. { Örnek: L s(s+3)} =? Çözüm: s(s + 3) = /3 s + /3 s + 3 Her bir terimin ters Laplace { dönüşümü } alınırsa: L = s(s + 3) 3 3 e 3t olarak elde edilir. Örnek: { } L s 2 + s + =? (s + ) 2 (s ) Çözüm: s 2 + s + (s + ) 2 (s ) = /2 (s + ) + A 2 (s + ) + 3/4 (s ) eşitliğin her iki tarafı s in tüm değerleri için eşit ise s = içinde bu durum sağlanır. = 2 + A 3 4 Bu durumda açıktırki s 2 + s + A = /4 (s + ) 2 (s ) = /2 (s + ) + /4 2 (s + ) + 3/4 (s ) yazılabilir. Buradan L { s 2 + s + (s + ) 2 (s ) şeklinde elde edilir. } =.5te t +.25e t +.75e t 9
Örnek: { } 3s + 2 L =? s 2 + 4s + 2 F (s) = 3s + 2 (s + 2) 2 + 4 = 3 s + 2 2 (s + 2) 2 + 4 4 2 (s + 2) 2 + 4 2 = 3e 2t cos 4t 4e 2t sin 4t Aşağıdaki özellik kullanılırsa a cos rθ + b sin rθ = c cos(rθ φ) c b φ a f(t) = e 2t [3 cos 4t 4 sin 4t] = e 2t 5 cos(4t + tan (4/3)) elde edilir.
Yüksek mertebeden türevlerin hesaplanması Örnek: L{f (t)} =? Burada küçük bir hile uygulayacağız. Bu hile daha yüksek merteden türevli terimlerin Laplace dönüşümlerinin hesaplanmasında da kolaylıkla kullanılabilir: şeklinde yazılabilir. Bu durumda f (t) = [ f (t) ] L{f (t)} = sl{f (t)} f () = s [sf (s) f()] f () = s 2 F (s) sf() f () kolaylıkla hesaplanır. Darbe (Impulse) Fonksiyonu Bazı sistemlerin analizinde darbe şeklinde yanıtlar önemli bir yer tutar. Zira, darbe yanıtları çoğu zaman sistemin tüm davranışı hakkında fikir edinmemize olanak sağlar. Darbe şeklinde fonksiyonlar kuvvetin, gerilimin veya benzer fonksiyonların sisteme çok çok kısa süre içinde çok büyük değerler alacak şekilde uygulanması ile elde edilir. Örneğin bir futbolcunun kensine yapılan ortayı kafa veya vole vuruşu ile yönlerdirmesi, ilk değerleri sıfır olmayan bir sistemin darbe yanıtına örnek teşkil ederken; bir bilardo oyuncusunun topa ıstaka ile vurması sonucu topun dinamik davranışı, ilk değerleri sıfır kabul edilen bir sistemin darbe yanıtı şeklinde ele alınabilir.
Bu türden problemler genellikle ay + by + cy = u(t) formunda diferansiyel denklemler doğurur. İşte burada u(t) darbe şeklinde bir fonksiyondur ve t τ < t < t +τ aralığında çok büyük değerler alan ama diğer tüm zaman diliminde sıfır değerini alan bir fonksiyondur. Şimdi I(τ) t +τ t o τ u(t)dt şeklinde birintegral tanımlayalım. Açıktır ki t τ < t < t + τ aralığının dışında u(t) = olduğundan I(τ) u(t)dt yazılabilir. Bu integral aslında darbenin büyüklüğü hakkında bir metrik tanımlar. Örneğin mekanik bir sistemde u(t) bir kuvvet fonksiyonu ise, I(τ), t τ < t < t + τ aralığında toplam kuvvet darbesi olarak adlandırılır. Şimdi özel bir durum olarak t = kabul edelim ve u(t) işaretini şu şekilde tanımlayalım: { τ < t < τ 2τ u(t) = d τ (t) = t τ veya t τ, Burada τ çok küçük pozitif bir sabit olsun. İlgili durum Şekilde gösterilmektedir. y = d τ (t) 2τ τ τ y = d τ (t) grafigi t y = d τ (t) y = d τ (t) grafigi τ t 2
Açıktır ki bu durumda τ nun değeri sıfırdan farklı olacak şekilde ne olursa olsun, I(τ) = olur. Şimdi τ yu giderek küçültelim. Bu durumda açıktır ki lim I(τ) = τ olur. İşte bu bizi ideal duruma götürür. O da tam t = da genliği bire eşit olan ama diğer tüm zaman diliminde değeri sıfıra eşit olan bir fonksiyondur. İşte bu fonksiyona birim darbe fonksiyonu (unit impulse response) adı verilir. Biz özel olarak birim darbe fonksiyonunu δ(t) ile sembolize edeceğiz. O halde δ(t) için şu özellikler yazılabilir: δ(t) =, t ; δ(t)dt =. Bu delta fonksiyonuna Dirac fonksionu da adı verilir. δ(t), t = için tanımlanmış bir fonskiyondur. Ancak herhangi bir t noktası içinde ötelenmiş olarak δ(t t ) şeklinde de tanımlanabilir. Bu durumda özellikleri δ(t t ) =, t t ; δ(t t )dt =. Şimdi δ(t) fonksiyonunun Laplace dönüşümünü bulmaya çalışalım: Açıktırki yazılabilir. L{δ(t t )} = lim L{d τ (t t )}, τ Paul A.M. Dirac (92-984), İngiliz matematikçi ve fizikçisi, 933 senesinde Nobel ödülü aldı.(kuantum mekaniği üzerindeki çalışmaları nedeniyle.) 3
L{δ(t t )} = lim L{d τ (t t )} = lim τ = lim τ = lim τ = lim τ = lim τ τ t +τ e st d τ (t t )dt t τ t +τ 2τ t τ e st d τ (t t )dt 2sτ e st (e sτ e sτ ) sinh sτ sτ e st e st dt = 2sτ e st t=t+τ t=t τ Ancak τ, (sinh sτ/sτ) tanımsızdır. Bu durumda limit ancak L Hospital kuralı ile bulunabilir. Bu durumda Bu duruda açıktırki sinh sτ lim e st s cosh sτ = lim τ sτ τ s Özel olarak t = kabul edilirse elde edilir. L{δ(t t )} = e st L{δ(t)} = = 4
Örnek: y (t) + 5y (t) + 4y(t) = u(t) şeklide yanımlanmış bir sistem için u(t) = 2e 2t t şeklinde bir giriş olsun. Şayet y() = ve y () = ise sistem yanıtı y(t) ne olur? Çözüm: s 2 Y (s) + 5sY (s) + 4Y (s) = 2 s + 2 yazılıabilir. Buradan Y (s) çözülürse Y (s) = 2 (s + 2)(s + )(s + 4) = (s + 2) + 2/3 (s + ) + /3 (s + 4) elde edilir. Bu durumda y(t) = e 2t + 2/3e t + /3e 4t t şeklide hesaplanır. 5
Periodik fonksiyonların Laplace dönüşümü Tanım (Periodik Fonksiyon:) Bir f(t) fonksiyonu f(t + T ) = f(t) t için ise bu f(t) fonksiyonu T > periodiktir denir. Periodik bir fonksiyonu tanımlamak için genellikle pencereleme tektiği kullanılır, şöyleki: { f(t), t T, f T (t) = f(t)[ u T (t)] =, aksi durumlarda. Burada f T (t) pencerelenmiş fonksiyonu göstermektedir. f T (t) nin Laplace dönüşümü ise şeklindedir. F T (s) = e st f T (t)dt = T e st f(t)dt Pencerelenmiş yukarıdaki fonksiyon ilk T süre için tanmlanmıştır. Bu fonksiyonun k periyot kadar sağa ötelenmesi durumunda pencerelenmiş fonksiyon { f(t kt ), kt t (k + )T f T (t kt )u kt (t) =, aksi durumlarda. şeklinde tanımlanabilir. Bu durumda [, nt ] süresi içinde ötelenmiş fonksiyonların toplanması f nt şeklinde gösterilebilir: y f nt (t) = f T (t) n k= f T (t kt )u kt (t). T 2T (n )T nt t 6
Bu durumda fonksiyonun tümü şeklinde gösteriebilir. f(t) = n= f T (t nt )u nt (t) Teorem f, [, T ] aralığında parçalı sürekli, T periyodik bir fonksiyon olsun. Bu durumda T L{f(t)} = F T (s) e = e st f(t)dt. st e st İspat: Biliyoruz ki L{f T (t kt )u kt (t)} = e kt s L{f T (t)} = e kt s F T (s) şeklinde yazılabilir. oluşundan dolayı, nt F nt (s) = e st f(t)dt = = n Diğer taraftan Laplace dönüşümünün lineer n k= e kt s F T (s) = F T (s) k= k= L{f T (t kt )u kt (t)} n ( ) e st k = FT (s) (e st ) n e st Burada st > olduğu düşünülürse e st < olur. Bu durumda F (s) = lim n nt e st f(t)dt = lim F T (s) (e st ) n = F T (s) n e st e st 7
Örnek: Şekildeki periyodik fonksiyonun Laplace dönüşümünü bulmaya çalışalım: y 2 3 4 5 t Açıktırki ilgili fonksiyon { t, < t <, f(t) =, < t < 2 şeklinde tanımlanabilir. İlgili fonksiyonun periyodu ise T = 2 dir. Bu durumda F T (s) = 2 e st f(t)dt = şeklinde hesaplanır. Buradan da kolaylıkla e st tdt = e s s 2 e s s şeklinde bulunur. F (s) = e s s 2 ( e 2s ) e s s( e 2s ) 8
Örnek: F (s) = e s s( e 2s ) fonksiyonunun ters Laplace dönüşümünü hesaplayalım. Çözüm: Açıktırki paydada bulunan ( e 2s ) şeklindeki terim bu ifadenin periyodik, hatta periyodununda T = 2 olduğunu ortaya koymaktadır. Bu durumda F T (s) = e s s = s }{{} F (s) e s s }{{} F 2 (s) şeklinde olur. Biliyoruzki, L { s } = ve olduğundan L { e s s } = u (t) {, t <, şeklinde bulunur. f(t) =, t < 2 Son değer teoremi Bu teorem bir fonksiyonun kararlı hal değerinin s-tanım bölgesinde hesaplanmasında kullanılır. Şayet sy (s) in tüm kutupları s-düzleminin solunda ise lim y(t) = lim sy (s) t s 9