SİSTEM MODELLEME VE OTOMATİK KONTROL FİNAL/BÜTÜNLEME SORU ÖRNEKLERİ.Gup: Vize sou önekleindeki son gup (Routh-Huwitz testi) soula dahildi. Bunla PID soulaıyla bilikte de soulabili..) Tansfe fonksiyonu s + 4s + olan bi sistemin çıkışını, istenen değeine getimek için geeken u değeini PI kontol ile uygulamak için geeken düzenlemeyi blok şema ile gösteiniz. PI kazançlaı KP ve KI hangi şatlaı sağlamalıdı? Bu şatlaı sağlayan keyfi bi takım KP ve KI kazanç değelei atayınız. Çözüm: PI kontolöün (denetleyicinin) tansfe fonksiyonu + tansfe fonksiyonu: olup bütün sistemin + + 4 + + + + 4 + + + 4 + ( + ) + Hatanın (e) sıfıa gitmesi ancak ve eğe ( ) tüm sistem kaalı ise olu. Bütün sistemin tansfe fonksiyonunun paydasına Routh-Huwitz testi uygulayaak kaalılık şatlaını bulalım: s 3 (KP + ) s 4 KI s KP + (KI /4) s KI Kaalılık için ilk sütunda işaet değişikliği olmamalıdı. Yani KI > ve KP + (KI /4) > olmalıdı. Diğe bi ifadeyle < KI < 4KP + 4 olmalıdı. Meselâ, KP, KI 3 olabili..) Tansfe fonksiyonu s 9 olan bi sistemin çıkışını, istenen değeine getimek için geeken u sinyalini PID kontol ile hesaplayıp uygulamak için geeken düzenlemeyi blok şema ile gösteiniz. PID kazançlaı KP, KI ve KD hangi şatlaı sağlamalıdı? Bu şatlaı sağlayan keyfi bi takım KP, KI ve KD kazanç değelei atayınız. Çözüm:
PID denetleyicinin tansfe fonksiyonu + + tansfe fonksiyonu: olup bütün sistemin + + 9 + + + 9 + + + + ( 9) + Bunun paydasına Routh-Huwitz testi uygulayaak kaalılık şatlaını bulalım: s 3 (KP 9) s KI s KP 9 (KI /KD) s Kaalılık için ilk sütunda işaet değişikliği olmamalıdı. Yani KI >, KD > ve KP 9 (KI /KD) > olmalıdı. Diğe bi ifadeyle KI KD > ve < KI < (KDKP 9KD) olmalıdı. Meselâ, KD, KP, KI olabili.. Gup:.) Bi sistemin kapalı döngü tansfe fonksiyonunun paydasını sıfı yapan köklein, K nın [,+ ) aalığındaki değişimine göe yeleini gösteen kök-ye eğisi Şekil. de veilmişti. Buna göe, Root Locus.974.945.9.8.66.4.5.99 Şekil. Imaginay Axis.5 -.5.997.997 8 7 6 5 4 3 -.99 -.5.974.945.9.8.66.4 - -9-8 -7-6 -5-4 -3 - - Real Axis a) Sistem K nın negatif olmayan hangi değe aalığında kaalıdı? b) Sönüm oanı ξ,9 isteniyosa kökle ne olu?
Çözüm: a) Kök ye eğisinin bi noktası haiç hepsi sol yaı bölgededi. Haiç olan nokta, ile gösteilen açık döngü kutup olup, buada K dı. Bunu haiç tutaak K > için sistemin kaalı olduğu anlaşılı. b) ξ cosϕ olup, ϕ, kamaşık köklein negatif eel eksenle yapılan açıdı. ξ,9 için, ϕ cos -,9 du. Şekil. deki açısal bölmele eşit olmayıp, gösteilen cos değeleini (sönüm oanlaını) veen açıladı. Şekil. de gösteildiği gibi bu açıya kaşılık gelen ve oijinden geçen çizginin kök-ye eğisini kestiği nokta(la) bulunu. Buada iki ayı çözüm vadı. He bii için kök değeinin eşleniği de vadı.. çözümde kutupla yaklaşık p,,4 ± j,685 olu.. çözümde ise kutupla yaklaşık p, 3,45 ± j,67 olu. Dikkat: Buada sönüm oanının küçük bazı değelei (büyük açıla) için kesişme olmayacağından çözüm yoktu. Imaginay Axis.5.5 9 -.5.99.997.997.974 8 7 6.945 Root Locus.9 System: g Gain: 4.89 Pole: -3.45 +.67i Damping:.9 Oveshoot (%):.55 Fequency (ad/sec): 3.83 5 4 3.8.66.4 System: g Gain:.8 Pole: -.4 +.685i Damping:.9 Oveshoot (%):.5 Fequency (ad/sec):.57 Şekil. -.99 -.5.974.945.9.8.66.4 - -9-8 -7-6 -5-4 -3 - - Real Axis Dikkat: Buada açık döngü veya kapalı döngü tansfe fonksiyon veilmediği için K değei istenemez. Gafikte göülen K değei, matlab pogamında tansfe fonksiyon bilindiği için göülmektedi. Öğenciden K değei istenecekse tansfe fonksiyon veilidi. O zaman he bi çözümdeki eşlenik kökleden yalnız biisi s yeine yazılaak, ya açık döngü tansfe fonksiyon - e eşitleneek, ya da kapalı döngü tansfe fonksiyonun paydası sıfıa eşitleneek K bulunudu. Sıadaki soudaki gibi..) Açık döngü tansfe fonksiyonu () olan sistemin kapalı döngü kutuplaının, K nın [,+ ) aalığındaki değişimine göe yeleini gösteen kök-ye eğisini çiziniz. K nın negatif olmayan hangi değelei için sistem kaalıdı? Sönüm oanı ξ,5 isteniyosa kökle ne olu? Bu kökle için K ne olu? Çözüm: s ve s -4 te bie kutup va. Sıfı yok. Reel eksen üzeinde sağ taafındaki kutup ve sıfı sayısı toplamı tek sayıda olan kısımla kök-ye eğisindendi. Buada ile -4 aası.
Dolayısıyla iki kutup aasında bi ayılma noktası va. GH - den 4 4 System: g Gain: 6 Pole: - + 3.46i Root Locus Damping:.5 Oveshoot (%): 6.3 Fequency (ad/sec): 4 + 4 +, 4 3 Yani ayılma noktasında K 4 ve s - ve K > 4 için köklein eel kısmı hep -. Böylece Şekil.3 çizili. Kök ye eğisinin bi noktası haiç hepsi sol yaı bölgededi. Haiç olan nokta, ile gösteilen açık döngü kutup olup, buada K dı. Bunu haiç tutaak K > için sistemin kaalı olduğu anlaşılı. Imaginay Axis - Sönüm oanı ξ,5 cosϕ olduğundan, ϕ 6. Negatif eel eksenle 6 yapan ve oijinden geçen doğunun kök-ye eğisini kesiştiği s noktası ve eşleniğinden s - ± j3,46 bulunu. Reel kısım hep - olduğu için sanal kısım ±tan6 ±3,46 - -3-4 -5-4 -3 - - Real Axis diye de bulunabilidi. Yani 4 3,46 ve K 6 bulunu. Şekil.3 Kökleden biini GH - de yeine yazaak da K bulunabilidi..3) 5 Root Locus 5 K 3 K K Imaginay Axis Şekil.4-5 K K 3 K - -5 - -5 - -5 5 Real Axis
Bi sistemin kapalı döngü tansfe fonksiyonunun paydasını sıfı yapan köklein, K nın [,+ ) aalığındaki değişimine göe yeleini gösteen kök-ye eğisi Şekil.4 te veilmişti (Üç adet açık döngü kutup va, açık döngü sıfı yok). Özel bazı noktalada K değelei yaklaşık olaak veilmişti. K nın negatif olmayan hangi değelei için sistem kaalıdı? Ayıca K ve K + noktalaını gösteiniz (Şekildeki mo yazıla souda veilmiyo, cevabın paçası). Çözüm: veya daha küçük K değelei için kökleden biisi, ve 3 veya daha büyük K değelei için ise kökleden ikisi sanal eksen üzeinde ya da sağ yaı bölgede olmaktadı. Yani K veya K 3 için sistem kaasızdı. Diğe bi ifadeyle { K K > } { K K < 3 } kümesindeki hehangi bi K için sistem kaalıdı. Kısaca < K <3 için sistem kaalıdı..4) 3. Sounun aynısını Şekil.5 için yapınız. Çözüm: Köklein eşleniklei için de K la aynıdı. Reel kökleden biisi K 3. için kaasız bölgededi (sağ yaı bölgede veya sanal eksende). Kamaşık iki kök ise K 3,95 ve K 45, için kaasız bölgededi. Buna göe { K 3,95 < K < 45, } { K < K < 3, } kümesindeki hehangi bi K için sistem kaalıdı. Kısaca 3,95 < K <3, için sistem kaalıdı. 5 Root Locus Şekil.5 K 45, 4 3 K K 3,95 K 3, Imaginay Axis - K K K+ - K -3-4 -5-6 -5-4 -3 - - Real Axis
3. Gup: 3.) Giiş(u) çıkış(y) ilişkisi + + 5 + 4 6 3 ile veilen sistem için uygun duum değişkenlei tanımlayaak bi duum uzayı modeli elde ediniz. Çözüm: Tansfe fonksiyon:. Yol: Denetleyici kanonik biçimi için duum değişkenleini uzayında şöyle tanımlayalım: (), (), Buna göe + + 5 + 4. Düzenlenise () + + 5 + 4 (). Ayıca çıkış şöyle olu: () 6 3 Yıldızla gösteilen satıladaki denklemlei sıasıyla zaman uzayında yazasak:,, + + 5 + 4, 6 3 Bunlaı matis biçiminde yazaak denetleyici kanonik biçimli duum uzayı modelini elde edeiz: x& x x& x + u x& 4 5 x 3 3 { 44 443 { A x B y [ 3 6 ]x ( D ) 443. yol: Gözleyici kanonik biçim: + + 5 + 4 6 3, + +, + 5 6 + + 5 6 + 4 + 3 He bi denklemin soldaki eşitliğinden çekileek (k,,3) ve yazılaak,
4 3 5 + 6 + gözleyici kanonik biçimi bulunu. Buadaki x, diğe yoldakinden faklı tanımlanmıştı. 3.) Tansfe fonksiyonu () () tanımlayaak bi duum uzayı modeli elde ediniz. Çözüm: + 5 + 6 4 + 5 + 6 4 ile veilen sistem için uygun duum değişkenlei nun tüevi yoksa tam olaak kanonik biçim kullanmadan duum değişkenlei basitçe şöyle tanımlanabili:,. Ana denklemde yeine yazılısa 5 6 + 4 6 5 + 4 + 3.3) Giiş(u) çıkış(y) ilişkisi + 3 + 4 ile veilen sistem için uygun duum değişkenlei tanımlayaak bi duum uzayı modeli elde ediniz. Çözüm: Tansfe fonksiyon:. Yol: Denetleyici kanonik biçimi için duum değişkenleini uzayında şöyle tanımlayalım: (), () Buna göe + 3. Düzenlenise () + 3 (). Ayıca çıkış şöyle olu: () + 4
Yıldızla gösteilen satıladaki denklemlei sıasıyla zaman uzayında yazasak:, + 3, + 4 Bunlaı matis biçiminde yazaak denetleyici kanonik biçimli duum uzayı modelini elde edeiz: x& x + u x x & 3 { 443 { A x B y [ ]x 4 3 ( D ). yol: Gözleyici kanonik biçim: + 3 + 4, + 3 + 3, 4 He bi denklemin soldaki eşitliğinden çekileek (k,) ve yazılaak, 3 + 4 + gözleyici kanonik biçimi bulunu. Buadaki x, diğe yoldakinden faklı tanımlanmıştı. 3.4) 4 için matisini bulunuz. Çözüm:. Yol: + 4 + + 4, 4. + + ( 4) ve bulunu. + + 4 4 4
Sağlaması, t için.,5 +,5,5,5,5 +,5. yol: L + 4 + + 4 ( + 4) ( + 4) + 4 + He bi eleman basit kesilee ayılı. (Bildiğiniz için buada atlandı),5,5 + 4,5,5 + 4 + 4,5,5 + 4 Tes Laplace dönüşümü alınınca önceki yönteminkiyle aynı sonuç bulunu:,5 +,5,5,5,5 +,5 3.5) 8 5 için matisini bulunuz. Çözüm:. Yol: 8 + 5 + 4 + 3, 3. + ( ) + ( 3) ve bulunu. + 3 + 8 5 Sağlaması, t için.,5,5 4 + 4 +. yol: L 8 + 5 + 4 + 3 + ( + 3) + ( + 3) + 5 8
He bi eleman basit kesilee ayılı. (Bildiğiniz için buada atlandı) + + 3 4 + + 4 + 3 + + 3 + + + 3 Tes Laplace dönüşümü alınınca önceki yönteminkiyle aynı sonuç bulunu:,5,5 4 + 4 + 3.6) 8 6 için matisini bulunuz. (Çakışık köklü sousu Güz 5-6 da soulmayacak) Çözüm:. Yol: 8 + 6 + 4 + 4. + ( ) + Yani doğudan bulunu. bulunu ve ilk denklemde yeine yazılaak + + + + 8 6 + 4 8 4 Sağlaması, t için.. yol: L 8 + 6 + 4 + 4 + + 6 + 8 He bi eleman basit kesilee ayılı. (Bildiğiniz için buada atlandı) + + 4 + 8 + + + 4 +
Tes Laplace dönüşümü alınınca önceki yönteminkiyle aynı sonuç bulunu: + 4 8 4 4. Gup: 4.) 5 x x + u 3 443 { A B &, y [ ] { x ile veilen sistemde y çıkışının, y sabit efeans (talep) değeine, - ve - özdeğeleiyle yakınsaması, duum geibeslemeli kontol uygulanaak isteniyo. Bunun için u ne olmalıdı? Yadımcı fomül: K ( Ac B ) Çözüm: u [ k k ] x + K 443 y K duum denkleminde yeine yazılısa, x& Ax + B ( Kx + K y ) Ac x + BK y 5 5 A c A BK k k matisinin kaakteistik 3 k 3 k Buada [ ] λ 5 polinomu det( λi Ac ) λ + (k 4) λ + (3 k + + k), + k λ 3 + k istenen özdeğelee kaşılık gelen ( λ + )( λ + ) λ + λ + polinomuna eşitlenmelidi. Yani k 4 k 3 k + k 3 + k + k k, Buna göe 5 5 A c A c Adj( Ac ), 3 4, det( Ac ) 5,,5 det( A c) + 5 4, A c 4,,4, A c K B,,4,5,,, [ ] [ ], 8 Ac B) A B,8 ( K, 5 c Sonuç: u Kx + K y u, x x +, y olmalıdı. 5
4.) x& x + u, y [ 7 5 9]x 443 3 8 6 44 443 { A B ile veilen sistemde y çıkışının, y sabit efeans (talep) değeine, -, - ve - özdeğeleiyle yakınsaması, duum geibeslemeli kontol uygulanaak isteniyo. Bunun için u ne olmalıdı? Yadımcı fomül: Tek giişli tek çıkışlı denetleyici kanonik biçimli sistem için şatıyla, α K ( α istenen kaakteistik polinomun sabit teimi) Çözüm: Sistem denetleyici kanonik biçimde veilmişti. İstenen özdeğele için kaakteistik 3 3 polinom: ( λ + )( λ + )( λ + ) λ + α λ + α λ + α λ + 33λ + 36λ + 3 k 3 3 k 37 k 36 8 k 354 k 33 6 k 7 3 3 Yani K [ 37 354 7] α 3 α K 3 K 7 3 Sonuç: u Kx + K y u 37x 354x 7x3 + y olmalıdı. 7 4.3) x& x + u, y 4 7 [ ]x 443 { 3 A B ile veilen sistemde y çıkışının, y sabit efeans (talep) değeine, -5 ve -6 özdeğeleiyle yakınsaması, duum geibeslemeli kontol uygulanaak isteniyo. Bunun için u ne olmalıdı? Yadımcı fomül: Tek giişli tek çıkışlı denetleyici kanonik biçimli sistem için şatıyla, α K ( α istenen kaakteistik polinomun sabit teimi) Çözüm: Sistem denetleyici kanonik biçimde veilmişti. İstenen özdeğele için kaakteistik polinom: ( λ + 5)( λ + 6) λ + λ + 3
k 3 4 k 6 k + 7 k 8 4 7 4 6 7 8 3 Sağlaması: A BK [ 6 8] Ac λ det( λi Ac ) λ + λ + 3 3 λ + (Sağlamasını yapmak zounda değilsiniz, ama sayılaın sıasını kaıştııp testen kullanmak çok muhtemel olduğu için sağlama yapmanız tavsiye edili.) α 3 α 3 K K 5 Sonuç: u Kx + K y u 6x 8x + 5y olmalıdı. 4.4) x& x + u, y 5 [ ]x 443 { 4 3 A B ile veilen sistemde y çıkışının, y sabit efeans (talep) değeine, -3 ve -3 özdeğeleiyle yakınsaması, duum geibeslemeli kontol uygulanaak isteniyo. Bunun için u ne olmalıdı? Yadımcı fomül: Tek giişli tek çıkışlı denetleyici kanonik biçimli sistem için şatıyla, α K ( α istenen kaakteistik polinomun sabit teimi) Çözüm: Sistem denetleyici kanonik biçimde veilmişti. İstenen özdeğele için kaakteistik polinom: ( λ + 3) λ + 6λ + 9 k 9 5 k 4 k 6 + k 6 5 5 4 6 9 6 Sağlaması: A BK [ 4 6] Ac λ det( λi Ac ) λ + 6λ + 9 9 λ + 6
α 9 α K 9 K 4 9 Sonuç: u Kx + K y u 4x 6x + y olmalıdı. 4 4.5) x& x + u, y 3 [ ]x 443 { 3 5 A B ile veilen sistemde y çıkışının, y sabit efeans (talep) değeine, -8 ve -9 özdeğeleiyle yakınsaması, duum geibeslemeli kontol uygulanaak isteniyo. Bunun için u ne olmalıdı? Yadımcı fomül: Tek giişli tek çıkışlı denetleyici kanonik biçimli sistem için şatıyla, α K ( α istenen kaakteistik polinomun sabit teimi) Çözüm: Sistem denetleyici kanonik biçimde veilmişti. İstenen özdeğele için kaakteistik polinom: ( λ + 8)( λ + 9) λ + 7λ + 7 k 7 k 7 k 7 3 k 4 A BK 7 4 A 3 7 3 4 7 7 Sağlaması: [ ] c α α 7 K λ det( λi Ac ) λ + 7λ + 7 7 λ + 7 7 K 5 7 Sonuç: u Kx + K y u 7x 4x y olmalıdı. 5