MAT3 AYRIK MATEMATİK DERSİ DÖNEM SONU SINAVI 4.0.0 Numarası :..................................... Adı Soyadı :..................................... SORULAR. Prüfer kodu ( 3 3 ) olan ağacı çiziniz.. Noktaları adlandırılmamış 6 noktalı kaç ağaç vardır? Çizerek cevaplayınız. 3. Aşağıda verilen iki çizgenin izomorf olup olmadığını inceleyiniz. 4. 30 basamaklı bir sayının 00 den fazla asal çarpanı olabilir mi? Açıklayınız. 5. Euclid Algoritmasını kullanarak 3x + 4y = 0 olacak şekilde x ve y tamsayılarını belirleyiniz. 6. F n n. Fibonacci sayısını göstermek üzere her n doğal sayısı için F 3n Fibonacci sayısının çift sayı olduğunu kanıtlayınız. 7. 7 n 4 n n =... olduğunu kanıtlayınız. 8. n+ tane tamsayının bulunduğu bir kümede farkları ya da toplamları n ile bölünen iki tamsayı her zaman vardır. Kanıtlayınız. 9. ile 000000 arasında basamakları toplamı 5 olan kaç tamsayı vardır? 0. S = {... 00} kümesinin bir X alt kümesi rastgele seçildiğinde (a) X kümesinin en büyük elemanının 00 olma olasılığı (b) Xolma olasılığı nedir? Arka sayfayı çeviriniz 00-0 Güz Dönemi
MAT3 AYRIK MATEMATİK DERSİ DÖNEM SONU SINAVI 4.0.0. Noktaları adlandırılmış K n tam çizgesinin tam olarak k noktalı (0 k n) kaç tane alt çizgesi vardır?. Yandaki şekilde verilen şehirleri birbirine bağlayacak bir su şebekesi döşenmek isteniyor. Verilen şekilde mümkün olan hatların maliyetleri rakamlar ile gösterilmiştir. Buna göre greedy algoritmasıyla bulunan ve tüm şehirler arasında bağlantı sağlayan hattın en düşük maliyeti ne olur? Optimal çizgeyi çizerek bulunuz. (Tüm şehirlerin doğrudan birbirlerine bağlanmasına gerek yok. İki şehir başka şehirler üzerinden de bağlanabilir.) 4 Mardin Artvin Ardahan 9 Bayburt 8 8 5 6 Kars Erzurum 7 6 4 Iğdır Muş 3 Ağrı 4 Batman 7 7 Bitlis 3 Siirt 9 0 5 Şırnak 8 Van 5 Hakkari 6 3 0 Tüm sorular 5 puandır. Sadece 7 soru cevaplayınız. Sınavda ders notlarının kullanımı serbest ancak alış verişi yasaktır. Sınav süresi saattir. Başarılar dilerim. Doç.Dr. Emrah AKYAR 00-0 Güz Dönemi
MAT3 AYRIK MATEMATİK DERSİ DÖNEM SONU SINAVI 4.0.0. ÇÖZÜMLER 6 3 7 4 5 6 7 3 3 3 0 5 0 4. 3. Verilen çizgeler izomorft değildir. İlk çizgede derecesi olan noktalar komşu değilken ikinci çizgede derecesi olan noktalar komşudur. Tanımı gereği izomorfizm komşuluk bağıntısını korur (komşu noktalar komşu noktalarla eşlenmelidir). 4. 30 basamaklı bir sayının 00 tane asal çarpanı ve asal çarpanların hepsinin olduğunu kabul etsek o zaman sayı 00 Derslerimizde 00 sayısının 3 basamaklı olduğunu defalarca kullandık (+ 00 log = 3). O halde 30 basamaklı bir sayının 00 tane asal çarpanının olması mümkün değildir. 5. 4 3 8 3 8 5 8 5 3 3 olduğundan Euclid Bölme Algoritmasına göre 5 3 3 gcd(3 4) = gcd(8 3) = gcd(5 8) = gcd(3 5) = gcd( 3) = gcd( ) = Tersten gidecek olursak = 3 = 3 (5 3) = 3 5 = (8 3 5) 5 = 8 7 5 = 8 7(3 8) = 9 8 7 3 = 9(4 3) 7 3 = 6 3+9 4 00-0 Güz Dönemi
MAT3 AYRIK MATEMATİK DERSİ DÖNEM SONU SINAVI 4.0.0 sonucuna ulaşılır. Eşitliğin her iki tarafını 0 ile çarparsak buluruz. 60 } {{ } x 3+}{{} 90 y 4 = 0 6. Fibonacci sayıları 3 5 8 3.... Kanıtı tümevarım yöntemiyle yapabiliriz. n = için F 3n = F 3 = çift sayı n için F 3n çift sayı olsun. Şimdi F 3(n+) sayısının da çift sayı olduğunu gösterelim. F 3n+3 = F 3n+ + F 3n+ = (F 3n + F 3n )+(F 3n + F 3n+ ) = F 3n + F 3n + F 3n+ = F 3n + F 3n +(F 3n + F 3n ) = F 3n + 3F 3n }{{} çift İki çift sayının toplamı çift olduğundan F 3(n+) sayısı da çift sayı Tümevarım yöntemi gereği her n doğal sayısı için F 3n Fibonacci sayısı çift sayı 7. Kanıtı tümevarım yöntemi ile yapabiliriz: n = ise 4 = 7 olur ve 7 7 n için önerme doğru olsun. Yani 7 n 4 n olsun. Bu durumda n 4 n = m 7 olacak şekilde bir m tamsayısı vardır. Şimdi 7 n+ 4 n+ olduğunu gösterelim. n+ 4 n+ = n 4 4 n = n 4 n + 4 n 4 4 n = ( n 4 n )+4 n ( 4) = m 7+4 n 7 = 7 ( m+4 n ) O halde 7 n+ 4 n+. Tümevarım gereği her n doğal sayısı için önerme doğru 8. Verilen n+ tane sayının n ile bölümünden kalanları {0} { n } { n }...{n} şeklinde n + parçaya ayıralım. Sayılar n + tane olduğuna göre güvercin yuvası ilkesine göre en az iki sayının kalanı aynı küme içerisine düşecektir. Eğer kalanlar aynı ise farkları farklı ise toplamları n ile bölünür. 00-0 Güz Dönemi
MAT3 AYRIK MATEMATİK DERSİ DÖNEM SONU SINAVI 4.0.0 9. 000000 sayısının basamaklarının toplamı 5 olmadığına göre soruyu ile 999999 arasında basamakları toplamı 5 olan kaç sayı vardır şeklinde değiştirebiliriz. Basamakları x x x 3 x 4 x 5 x 6 ile gösterirsek x + x + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 = 5 denkleminin negatif olmayan tamsayılarda kaç farklı çözümü vardır diye sorabiliriz. Dağılım problemlerinden bu sayının ( 5+6 6 ) = (0 5 ) olduğunu biliyoruz. Ancak x i 0 olduğunda x i bir basamağı temsil etmez. Bu nedenle x i 0 olan çözümleri çıkartmalıyız. Aynı anda iki basamağın da 9 dan büyük olması mümkün olmadığına göre örneğin sadece x in 9 dan büyük olduğu çözümlerin sayısını bulup 6 ile çarpabiliriz. Böylece cevap ( ) ( ) 0 0 6 [= 399] 5 5 0. (a) İstenen alt kümeler{?? 3?... 99? 00} biçimindeki alt kümelerdir. Seçilen X alt kümesinin bu şekilde olma olasılığı P(En büyük elemanı 00) = 99 tane { }} { 00 = (b) Yine istenen alt kümeler{? 3? 4?... 99? 00?} biçimindedir. Buna göre elde edilir. P( X) = 99 tane { }} { 00 =. n nokta içerisinden k nokta ( n k ) farklı şekilde seçilebilir. Alt çizgenin kenarlarını k elemanlı kümenin elemanlı alt kümeleri gibi düşünürsek toplamda ( k ) kenar elde ederiz. Her bir kenar için iki durum söz konusudur: Kenar alt çizgeye ait ya da ait değil. O halde cevap ( ) n (k ) k. Greedy algoritmasına göre optimal ağaç aşağıdaki gibi 00-0 Güz Dönemi
MAT3 AYRIK MATEMATİK DERSİ DÖNEM SONU SINAVI 4.0.0 Artvin Bayburt 5 6 Erzurum 6 Ardahan 8 Kars 7 Iğdır Muş Ağrı 4 Batman 7 Mardin Bitlis Siirt 9 0 Şırnak Van Hakkari 6 0 Buradan en düşük maliyet ++4+5+6+7+8+9+0++6+7+0+6 = 4 bulunur. 00-0 Güz Dönemi