Tüm Matematik Lise 1--3 Konu Anlatımlı Referans Kitabı Fetiye Özlem Onbaşıoğlu Ağustos 015
Kitabın Kapsamı Ve Amacı Bu kitap Lise 1, ve 3 Matematik müfredatının konu anlatımı yolu ile öğrencinin kendi kendine Matematik öğretebilmesi amacı ile yazılmıştır. Kitap, üniversiteye hazırlıkta kullanılabileceği gibi günlük lise ders müfredatının hazırlanmasında öğretmenlere bir referans kitabı görevi de görebilir. Kitaptaki konular, ortaokuldan zayıf Matematik temeli ile gelen tüm öğrencilerin konuları takip edip öğrenebileceği düzeyde anlatılmıştır. Bu kitabın İngilizce versiyonu da mevcuttur. Bu yüzden kolej ve özel okullardaki Matematik öğretmenleri tarafından yardımcı kitap olarak kullanılabilir. Ayrıca, üniversitede matematik derslerini ilk defa İngilizce olarak alması gereken öğrenciler için de yararlı olabilir. Tavsiye edilen çalışma yöntemi, müsvedde kağıdına yazarak çalışmaktır. Lütfen bu kitabı çocuklarınız ve torunlarınız için saklayın. Fetiye Özlem Onbaşıoğlu / Tüm Matematik Lise 1--3, Konu Anlatımlı Referans Kitabı / ISBN 978-605-65945-0- Her hakkı saklıdır. Bu eserin aynen ya da özet olarak hiçbir bölümü, hak sahibi Fetiye Özlem Onbaşıoğlu nun yazılı izni alınmadan çoğaltılamaz. ii
İÇİNDEKİLER Kitabın Kapsamı Ve Amacı 1. Kümeler 1 Küme Tanımı.................................... 1 Kümelerde Kullanılan Semboller.......................... 1 Kümelerde Temel İşlemler............................. Altkümeler..................................... 5. Sayılar 8 Sayı Sistemleri................................... 8 Doğal Sayılar, N.................................. 8 Tam Sayılar, Z................................... 9 Sayılarda Tanım Aralıkları............................. 10 Tam Sayıların Alt Kümeleri......................... 11 Rasyonel (Q) ve İrrasyonel Sayılar (I)....................... 1 Reel (Gerçel) Sayılar, R.............................. 13 Karmaşık (Kompleks) Sayılar, C......................... 14 Sanal i Sayısı ile İşlemler........................... 14 Karmaşık Sayıların Eşleniği (Konjugat)................... 15 3. Koordinat Sistemleri 17 Tanımı........................................ 17 Kartezyen Koordinat Sisteminde Bölgeler..................... 17 Kartezyen Koordinat Sisteminde Noktanın Tanımı................ 18 Eksenler Üzerindeki Noktalar........................ 18 3 Boyutlu x-y-z Uzayı............................... 19 İki Noktanın Orta Noktası.......................... 19 İki Nokta Arasındaki Uzaklık........................ 19 ii 4. İşlemler ve Denklemler I 1 Temel İşlemler................................... 1 İşlemlerde Öncelik Sırası.............................. 1 Üslü ve Köklü İşlemler............................... 1 Üslü ve Köklü İfadelerde Temel Kurallar.................. 10 Tabanın Kuvvetleri............................ Tabanı Negatif Olan Üslü İfadeler..................... Üssü Logaritma Olan İfadeler, blog b a..................... Üssü Karmaşık Sayı Olan İfadeler, eix.................... Tabanı Karmaşık Sayı, Üssü Reel Sayı Olan İfadeler............ 3 iii
iv İÇİNDEKİLER Köklü İfadeler.................................... 3 Denklemler (Eşitlikler)............................... 5 Kartezyen Sisteminde Doğrusal (Lineer) Denklemlerin Grafikleri..... 6 Kartezyen Sisteminde Birbirine Dik Olan Doğrular............ 30 Kartezyen Sisteminde Doğrusal Olmayan Denklemler........... 31 Eşitsizlikler ve Tanım Aralıkları (Değer Kümeleri)................ 31 Eşitsizliklerin Genel Özellikleri........................ 31 Çoklu (Zincir) Eşitsizlikler.......................... 33 Mutlak Değer.................................... 37 Mutlak Değerde Genel Özellikler...................... 39 Mutlak Değer Fonksiyonlarının Türevi ve İntegrali............. 41 Mutlak Değer Uygulamaları......................... 41 5. Fonksiyonlar I 45 Fonksiyonların Gösterimi.............................. 45 Fonksiyon Türleri.................................. 45 Tek ve Çift Fonksiyonlar........................... 45 Sabit Fonksiyon................................ 46 Bire Bir Fonksiyon.............................. 46 Örten Fonksiyon............................... 47 İçine Fonksiyon................................ 47 Birim (Etkisiz) Fonksiyon.......................... 48 Ters Fonksiyon................................ 48 Bileşke Fonksiyonlar................................ 50 Bileşke Fonksiyonlarda Temel Özellikler................... 51 6. Sayı Tabanları ve Modulo 53 Tabanlar....................................... 53 10 luk Tabanda Sayıların Açılımı...................... 53 lik Taban.................................. 54 3 lük Taban.................................. 54 16 lık (Heksadesimal) Taban......................... 54 Herhangi Bir Tabanda Verilen Sayının 10 luk Tabanda Yazılması..... 54 10 luk Tabanda Verilen Bir Sayının Farklı Bir Tabanda Yazılması.... 55 Herhangi Bir Tabanda Verilen Sayının 10 Tabanından Farklı Bir Tabanda Yazılması............................... 56 Modulo (Mod)................................... 57 Tam Olarak (Kalansız) Bölünebilme Kuralları (kalan 0)........ 58 7. Polinomlar ve Grafikleri 61 Polinomun Tanımı................................. 61 Polinomun Derecesi.............................. 61 Polinomlarla İşlemler................................ 6 Toplama ve Çıkarma............................. 6 Polinomların Çarpımı............................. 6 Polinomlarda Bölme İşlemi.......................... 63 Polinomların Çarpanlara Ayrılması..................... 63 Polinom Fonksiyonları............................... 65
İÇİNDEKİLER v Rasyonel, Kesirli Fonksiyonlar, P (x).................... 65 Q(x) Polinom Denklemleri................................ 68 Polinom Denklemlerinin Kökleri....................... 68 İkinci Dereceden (Kuadratik) Denklemlerin Çözümü............ 69 Polinom Fonksiyonlarının Grafikleri..................... 71 8. Permütasyon ve Kombinasyon 76 Permütasyon.................................... 76 n Faktoryel, n!................................. 76 Kombinasyon.................................... 77 9. Olasılık 79 Olasılığın Tanımı.................................. 79 P1 Durumları................................ 79 P0 Durumları................................ 79 Olasılık Hesaplarında Mantık İfadelerinin Kullanılması............. 79 Olasılıkta Kategoriler................................ 80 Bağımsız (Ayrık) Olaylarda Olasılık..................... 80 Birbirini Dışlayan, Bağlantısız Olaylarda Olasılık............. 80 Birbirini Dışlayan, Bağlantılı Olaylarda Olasılık.............. 81 Koşullu Olaylarda Olasılık.......................... 8 Tersi Olasılık................................. 83 10. Logaritma 85 Logaritmanın Tanımı................................ 85 Logaritmanın Uygulamaları......................... 85 Doğal Logaritma.................................. 85 Logaritma Fonksiyonun Özellikleri........................ 85 Üssü Logaritma Olan İfadeler........................... 86 Logaritma Grafikleri................................ 87 11. Geometri 89 Düzlemde Doğrular................................. 89 Işın....................................... 90 Geometride Nesneler................................ 90 Üçgen..................................... 91 Poligonlar................................... 105 3 Boyutlu Geometrik Şekiller........................ 1 Koninin Kesitleri: Daire, Elips, Parabol, Hiperbol................ 133 Dairenin ve Elipsin Grafiği.......................... 133 Parabolün Grafiği............................... 133 Hiperbolün Grafiği.............................. 134 1. Vektörler (Yöneyler) 136 Vektörün Tanımı.................................. 136 Vektörün Gösterimleri............................ 136 Vektörün Normu (Uzunluğu, Büyüklüğü)..................... 137 Birim Vektör................................. 137
vi İÇİNDEKİLER Vektörün Bileşke Vektörleri: i, j, k...................... 138 Vektörlerde Temel İşlemler............................. 139 Vektörlerde Toplama ve Çıkarma İşlemleri................. 139 Vektörlerde Çarpım İşlemi.......................... 140 Sağ El Kuralı................................. 14 Vektörlerin Fizikteki Uygulaması......................... 143 13. Matrisler ve Determinantlar 145 Matris Türleri.................................... 145 Kare Matris.................................. 145 Birim (Etkisiz) Matris............................ 146 Boş Matris................................... 146 Simetrik (Köşegen) Matris.......................... 146 Alt Matris................................... 147 Satır ve Sütun Matrisleri (Vektörleri).................... 147 Determinantlar................................... 147 Matrislerde Temel İşlemler............................. 149 Matrislerde Toplama Ve Çıkarma...................... 149 Matrisin Sabit Sayı İle Çarpımı....................... 150 Matrislerin Birbiri İle Çarpımı........................ 150 Matrisin Devriği (Transpozu)........................ 151 Matrisin Kofaktör Matrisi.......................... 15 Matrisin Tersi................................. 154 Denklem Sistemi.................................. 155 Denklem Sisteminin Matrislerle İfade Edilmesi............... 155 14. Trigonometri ve Grafikler 158 Trigonometrinin Tanımı.............................. 158 Üçgende Temel Terminoloji............................ 158 Üçgende Açılar................................ 158 Üçgenin Kenar Uzunlukları......................... 159 Dik Açılı Üçgenler................................. 159 Pisagor Teoremi................................ 159 Trigonometrik Fonksiyonlar............................ 159 Trigonometrik Fonksiyonlar Arasındaki İlişkiler.............. 160 Trigonometrik Fonksiyonlarla Temel İşlemler................ 160 Trigonometrik Fonksiyonlarda Açılar ve Değerler.............. 161 Trigonometrik Fonksiyonların Periyodu ve Frekansı............ 164 Trigonometrik Fonksiyonlarda Genlik.................... 165 Trigonometrik Fonksiyonlarda Faz Farkı.................. 166 90 den Büyük ve Negatif Açılar....................... 167 Trigonometrik Fonksiyonların Çarpmaya Göre Terslerinin Grafikleri... 168 Ters Trigonometrik Fonksiyonlar....................... 169 Üçgende Alan Hesabı................................ 170 Üçgende Kurallar.................................. 170 Sinüs Kuralı.................................. 170 Kosinüs Kuralı................................ 171 Trigonometrik Fonksiyonların Karmaşık e ix Fonksiyonu İle Gösterimi..... 171
İÇİNDEKİLER vii Euler Formülü................................. 171 15. Limit 17 Limitin Tanımı................................... 17 Limitin Genel Özellikleri.............................. 17 İle İşlemler.................................... 173 Sağdan ve Soldan Limitler............................. 173 Logaritmik ve Üslü Fonksiyonların Limitleri................... 174 a Yaklaşırken Limit............................... 175 Limiti Olmayan Fonksiyonlar........................... 176 Limitte Belirsizlikler: [ [ 0 0], [0 ], ], [ ], [0 0 ].............. 177 [ 0 ] [ 0 ve ] Belirsizliklerinin Sadeleştirme İle Giderilmesi......... 178 Limitte Belirsizliğin Giderilmesi, L Hopital Kuralı............. 179 Çeşitli Limit Örnekleri............................... 184 Fonksiyon Sürekliliğinin Limit ile Olan İlişkisi.................. 185 16. Diziler ve Seriler 188 Diziler........................................ 188 Dizinin Tanımı................................ 188 Dizinin Gösterimi............................... 188 Dizide Kuralın Belirlenmesi......................... 189 Dizi Türleri.................................. 189 Seriler........................................ 190 Serinin Tanımı ve Gösterimi......................... 190 Sonsuz Seri ve Kısmi Toplamlar Serisi.................... 191 Seri Türleri ve Yakınsaklık.......................... 193 İç İçe Geçmiş Sonsuz Seriler ve Çarpımlar................. 195 17. Türev 197 Türevin Tanımı................................... 197 Türevin Gösterimi.............................. 197 Türevin Genel Özellikleri.............................. 198 Temel Fonksiyonların Türevleri.......................... 198 Polinom Fonksiyonların Türevi....................... 198 Üslü Fonksiyonların Türevi.......................... 199 Trigonometrik Fonksiyonların Türevi.................... 199 Logaritmik Fonksiyonların Türevi...................... 00 Bileşke Fonksiyonların Türevi........................ 00 Türevin Uygulamaları............................... 03 Türevin Limitte Belirsizliğin Giderilmesinde Kullanılması, L Hopital Kuralı 03 Teğet Eğimlerinin Hesaplanması....................... 03 Düzlemdeki Bir Noktadan Fonksiyon Grafiğine En Yakın (Minimum) Mesafenin Hesaplanması............................. 04 Türevin Fonksiyonlardaki Uygulaması.................... 05 Türevin Fizikteki Uygulamaları....................... 05
viii İÇİNDEKİLER 18. Fonksiyonlar II 07 Fonksiyonların Dönüştürülmesi.......................... 07 Fonksiyonlarda Tanım Aralıkları.......................... 07 Fonksiyonlarda Süreklilik.............................. 08 Fonksiyonların Ekstrem Noktaları......................... 10 Fonksiyonların Ekstrem Noktalarının Hesaplanması............ 11 Artan, Azalan Fonksiyonlar............................ 14 19. İntegral 16 İntegralin Tanımı.................................. 16 Σ, Limit ve İntegral İlişkisi.......................... 17 Belirsiz İntegral, Belirsizlik Sabiti C..................... 17 İntegralin Genel Özellikleri............................. 18 Temel Fonksiyonların İntegrali........................... 18 Polinom Fonksiyonların İntegrali....................... 18 Üslü Fonksiyonların İntegrali......................... 18 Trigonometrik Fonksiyonların İntegrali................... 19 Logaritmik Fonksiyonların İntegrali..................... 1 Çarpım ve Bölüm Fonksiyonlarının İntegrali................ 3 İntegral Hesaplamada Ek Yöntemler....................... 7 Yer Değiştirme Yöntemi........................... 7 Trigonometrik Yer Değiştirme Yöntemi................... 8 İkili ve Üçlü İntegraller............................... 3 İntegral İle Alan ve Hacim Hesabı......................... 35 Tekli İntegral İle x-y Düzleminde Alan Hesabı............... 35 Tekli İntegral İle Hacim Hesabı....................... 46 Tekli İntegral İle 3 Boyutlu Cismin Yüzey Alanının Hesabı........ 53 Çift İntegral İle Alan ve Hacim Hesabı................... 54 Üçlü İntegral İle Hacim Hesabı....................... 58
1. Kümeler Küme Tanımı Bir grup elemanın ait olduğu topluluğa küme denir. Örneğin, Temel Renkler kümesi aşağıdaki şekillerde ifade edilebilir: Temel Renkler {mavi, kırmızı, yeşil} ya da, Temel Renkler kırmızı yeşil mavi Bir kümenin elemanları değişik şekillerde sıralanabilir. Temel Renkler kümesi aşağıda üç değişik şekilde sıralanmıştır. Temel Renkler {mavi, yeşil, kırmızı} {yeşil, mavi, kırmızı} {kırmızı, mavi, yeşil} Kümelerde Kullanılan Semboller : Elemanıdır (öğesidir). / : Elemanı değildir. { }, : Boş küme. ya da E : Evrensel ( Üniversal) küme. {a, b, c} : Elemanları a, b ve c olan küme. : Kümelerde YA DA işlemi, kümelerin elemanlarının birleşimi. : Kümelerde VE işlemi, kümelerin elemanlarının kesişimi. \ : Eksi, fark işlemi, ilk kümeden ikinci küme çıkarılınca kalan. 1
1. KÜMELER (..) : Değildir, tersi işlemi. : Altkümesidir. : Altkümesi ya da eşittir. Kümelerde Temel İşlemler Verilen A, B ve C kümeleri için aşağıdaki işlemler geçerlidir: A B B A (Değişme Özelliği) A (B C) (A B) C (Birleşme Özelliği) A B B A A (B C) (A B) C (Birleşme Özelliği) A \ B B \ A A B ve B A ise A B ya da A B {} olur. (A B) B A (A B) B A A A A B A + B (A B) Örnek: Temel küme işlemlerini aşağıda verilen Sürüngenler ve Kuşlar kümeleri üzerinde uygulayalım. Hayvanlar Kümesi Sürüngenler Kümesi Yılan Kertenkele Timsah Kuşlar Kümesi Papağan Akbaba Serçe Kartal Burada Hayvanlar kümesi Sürüngeler ve Kuşlar kümelerini içeren Evrensel Kümedir. O halde aşağıdaki ifadeler doğrudur:
KÜMELERDE TEMEL İŞLEMLER 3 Sürüngenler Hayvanlar ve Kuşlar Hayvanlar Sürüngenler Kuşlar Hayvanlar Kuşlar ve Sürüngenler kümelerinin ortak elemanı yoktur yani hem kuş hem de sürüngen olan bir hayvan verilen şemada mevcut değildir. O halde Kuşlar ve Sürüngenler kümelerinin kesişimi boş kümedir ve aşağıdaki gibi ifade edilir: Kuşlar Sürüngenler Yılan, Sürüngenler kümesinin bir elemanıdır, Akbaba Sürüngenler kümesinin bir elemanı değildir. O halde aşağıdaki ifadeler doğru olur: Yılan Sürüngenler, Akbaba / Sürüngenler Kuşlar ve Sürüngenler kümelerinin birleşimi küme şemasına bakarak bulabiliriz: Kuşlar Sürüngenler {Papağan, Serçe, Kartal, Akbaba, Kertenkele, Yılan, Timsah} Örnek: Aşağıda verilen A ve B sayı kümelerinin kesişim, birleşim ve farklarını küme şemalarının yardımı ile hesaplayalım. A {1, 3, 4, 9, 11} B {3, 7, 9, 1, 13} A ve B kümelerinin ortak elemanlarının olduğu görülmektedir. Küme şemaları aşağıdaki gibi çizilebilir: Taralı alan A ve B kümelerinin ortak elemanlarını göstermektedir ve A ve B kümelerinin kesişimidir. A B {3, 9}
4 1. KÜMELER A ve B kümelerinin birleşimi aşağıdaki şemada görülen taralı alandır. A B {1, 3, 4, 11, 7, 9, 13, 1} A kümesinde olupda B kümesinde olmayan elemanlar A \ B ile ifade edilir. Yukarıdaki şemada taralı alan bu elemanları göstermektedir. A \ B {1, 4, 11} B \ A {1, 7, 13} B \ A yukarıdaki şemada taralı alan ile ifade edilir. Burada B \ A A \ B olduğu görülür.
KÜMELERDE TEMEL İŞLEMLER 5 Altkümeler Bütün kümeleri kapsayan kümeye evrensel küme denir. E ya da sembolü ile gösterilir. Boş küme de dahil tüm kümeler evrensel kümenin altkümesidir. Verilen bir A kümesi için, A E \ A (ya da \ A) olarak ifade edilir. Örnek: Aşağıda verilen harf kümelerini şema üzerinde gösterelim ve altküme ilişkilerini inceleyelim. A {a, b, d, f, g, i, k, m, z} B {a, f, g} C {c, g, i, z} D {a, e, f, g} F {d, u, v, z} E A B C D F {t, x} Burada B ve C kümelerinin A kümesinin altkümesi olduğu görülür: C A ve B A
6 1. KÜMELER Şimdi de kümelerdeki fark işlemlerine gözatalım. A E \ A olur. Evrensel küme E {a, b, c, d, e, f, g, i, k, m, u, v, z, t, x} A {a, b, c, d, e, f, g, i, k, m, u, v, z, t, x} \ {a, b, d, f, g, i, k, m, z} A {e, u, v, x, t} elde edilir. A aşağıdaki şemada taralı alan ile gösterilir: A E \ A
KÜMELERDE TEMEL İŞLEMLER 7 Aşağıdaki şemada (B D) \ (C F ) ifadesini hesaplayalım. Şemadan B D {a, f, g, e} dir. (B D) E \ (B D) olduğundan, (B D) {a, b, c, d, e, f, g, i, k, m, u, v, z, t, x} \ {a, f, g, e} dir. Buradan, (B D) {b, c, d, i, k, m, u, v, z, x, t} olur. Şemadan C F {z} dir. (B D) \ (C F ) {b, c, d, i, k, m, u, v, z, x, t} \ {z} olur. (B D) \ (C F ) {b, c, d, i, k, m, u, v, x, t}
. Sayılar Sayılar, saymak, ölçmek, etiketlemek ve kodlamak gibi amaçlar için kullanılır. Sayı Sistemleri Sayılar türlerine göre aşağıda verilen tablodaki gibi sınıflandırılır: Sembolü Türü Tanımı N Doğal Sayılar 0,1,,3,... Z Tam Sayılar..,-4,-3,-,-1,0,1,,3,.. Rasyonel Sayılar b 0 şartıyla a Q b şeklinde ifade edilebilen sayılar R Reel(Gerçel) Sayılar Rasyonel ve irrasyonel tüm sayılar. C Karmaşık(Kompleks) Sayılar Reel ve sanal kısımları bulunan kompleks sayılar. z a + ib, i 1 N Z: Tam sayılar kümesi (Z), Doğal sayılar (N) kümesini kapsar. Z Q: Rasyonel Sayılar (Q), Tam Sayılar (Z) kümesini kapsar. Q R: Reel Sayılar (R), Rasyonel ve İrrasyonel Sayılar kümesini kapsar. R C: Karmaşık Sayılar (C), Reel Sayılar kümesini kapsar. Sayı Sistemleri arasındaki ilişki aşağıda özetlenmiştir: N Z Q R C Doğal Sayılar, N Doğal sayılar sayma sayılarıdır. 0 dan başlayarak sonsuza kadar giden pozitif sayılardır. N {0, 1,, 3, 4,...} 8
TAM SAYILAR, Z 9 Doğal sayılar pozitif tam sayılar ve 0 dan ibarettir. N Z + {0} Tam Sayılar, Z Z {..., 4, 3,, 1, 0, 1,, 3, 4,...} Z + {1,, 3, 4,...} Z {..., 4, 3,, 1} Z Z {0} Z + Negatif tam sayılar önünde -, eksi işareti olan sayılardır ve sayı ekseninde 0 ın solunda yer alırlar. Pozitif tamsayılar sayı ekseninde 0 ın sağında yer alırlar. Örnek: Eksi 4 ile artı 5 i toplayalım. Örnek: -1 den -3 ü çıkaralım. 1 }{{} 3 1 + 3 eksi bir artı yapar. Örnek: 6 dan -4 ü çıkaralım. 6 4 6 + 4 10-4 + 5 1 Sayı Ekseni Örnek: 6 ile -4 ü toplayalım. 6 + 4 Örnek: -7 ile 5 i toplayalım. 7 + 5 Örnek: -4 ten 6 yı çıkaralım. 4 6 10 a Örnek: b 4 1 eşitliği verilsin. a, b Z ise, b nin alamayacağı değerler nelerdir?
10. SAYILAR Çözüm: a b 4 1 eşitliğinde sol tarafın tanımlı olabilmasi için payda sıfır olamaz. Bu yüzden, b 4. Sayılarda Tanım Aralıkları Yukarıdaki b sayısı örneğinde gördüğümüz gibi sayılar, sayı kümelerindeki tüm değerler için tanımlı olmayabilir. Böyle durumlarda sayılar için tanım aralıkları tanımlamak gerekir. Aşağıda verilen sayı doğrusu (ekseni) üzerinde tanımlanan bir x sayısının tanım aralığını bulalım. x sayısının alabileceği değerler 3 ile (sonsuz) arasındaki sayılardır. Burada 3 değeri dahil değildir, bu yüzden 3 sayısının solunda açık parantez, ( kullanılır. tarafında herzaman açık parantez, ) kullanılır. x (3, ) Şimdi de aşağıdaki sayı doğrusu üzerinde tanımlanan bir x sayısının tanım aralığını bulalım. x sayısının alabileceği değerler - ile 5 arasındaki sayılardır. Burada - değeri dahildir, 5 değeri dahil değildir. Tanım aralığı ifade edilirken sırasıyla kapalı ve açık parantezler kullanılır. x [, 5)
SAYILARDA TANIM ARALIKLARI 11 Örnek: 3a 5b-7 eşitliği verilsin. a Z + ve b [-1, 7) aralığında tanımlı bir tamsayı ise, a nın alabileceği değerler nelerdir? Çözüm: b tamsayısının [-1, 7) aralığında alabileceği değerler -1, 0, 1,, 3, 4, 5, 6 olur. b -1 için, 3a 5 1 7 5 7 1, a 4 pozitif değil. b 0 için, 3a 5 0 7 0 7 7, a 7 3 b 1 için, 3a 5 1 7 5 7, a 3 tamsayı değil. tamsayı değil. b için, 3a 5 7 10 7 3, a 1 geçerli yanıt. b 3 için, 3a 5 3 7 15 7 8, a 8 3 b 4 için, 3a 5 4 7 0 7 13, a 13 3 tamsayı değil. tamsayı değil. b 5 için, 3a 5 5 7 5 7 18, a 6 geçerli yanıt. b 6 için, 3a 5 6 7 30 7 3, a 3 3 a nın alabileceği değerler 1 ve 6 dır yani a {1, 6}. Tam Sayıların Alt Kümeleri Asal Sayılar tamsayı değil. 1 den büyük olup, kendisinden ve 1 den başka hiçbir sayıya tam olarak bölünemeyen sayılardır., 3, 5, 7, 11,13, 17, 19, 3,... sayı dizisi asal sayıları gösterir. Tek ve Çift Sayılar ye tam olarak kalansız bölünebilen sayılar çift sayılardır. sayılar denir. Çift olmayan sayılara tek..-6, -4, - 0,, 4, 6,... bir çift sayı dizisidir...-5, -3, -1, 1, 3, 5,... bir tek sayı dizisidir. k bir tamsayı iken, çift sayılar n k ile ifade edilebilir. k bir tamsayı iken, tek sayılar n k+1 ile ifade edilebilir. Örnek: n, [ 4, 4) sayı aralığında bir çift sayı ise m 3n + 7 eşitliğini sağlayan m değerleri nelerdir? Çözüm: n çift sayısının [ 4, 4) aralığında alabileceği değerler -4, -, 0, sayılarıdır.
1. SAYILAR m 3n + 7 eşitliğinde, m nin alabileceği değerleri hesaplayalım: n 4 için, m 3 4 + 7 1 + 7 5 n için, m 3 + 7 6 + 7 1 n 0 için, m 3 0 + 7 7 n için, m 3 + 7 6 + 7 13 Rasyonel (Q) ve İrrasyonel Sayılar (I) İki tamsayının kesiri (oranı) olarak ifade edilebilen sayılara rasyonel sayılar denir. Örnek: 1.5 sayısı rasyoneldir çünkü 3 6 rasyoneldir çünkü 6 1 0.33333... rasyoneldir çünkü 1 3 olarak ifade edilebilir. olarak yazılabilir. kesirli sayısı olarak ifade edilebilir. İki tamsayının kesiri (oranı) olarak ifade edilemeyen sayılara irrasyonel sayılar denir. Örnek: π (Pi) sayısı irrasyoneldir; π 3.14151965358979... 1.414135637309... sayısı irrasyoneldir. e, euler sayısı irrasyoneldir; e.718818845... 3 9 rasyoneldir çünkü 9 3 1 3 7 1.9193118773891... sayısı irrasyoneldir. Örnek: 3.666666... sayısının rasyonel olduğu verilmiştir. Bu sayının kesirli ifadesi nedir? Çözüm: x 3.666666... olsun. x i 10 ile çarpınca: 10x 3.6.666666... - x 3..666666... 9x 9.4.000000...
REEL (GERÇEL) SAYILAR, R 13 9x 9.4 olur. 9x 94 10 x 94 90 Pay ve paydayı 6 ya bölerek sadeleştirelim: x 49 15 Sonsuz tekrarlayan 3.66666... sayısını 10 ile çarpmamızın nedeni sadece tek bir basamakta (6 sayısı) tekrar olmasıdır. Örnek: 4.967676767... sayısının rasyonel olduğu verilmiştir. Bu sayının kesirli ifadesi nedir? Çözüm: x 4.967676767... olsun. Burada iki basamak (67) tekrarlandığı için x i 100 ile çarpalım: 100x 496.7.67676767... -x 4.9.67676767... 99x 491.8.00000000... 99x 491.8 olur. 99x 4918 10 x 4918 990 Pay ve paydayı ye bölerek sadeleştirelim: x 459 495 Reel (Gerçel) Sayılar, R Reel sayılar kümesi, doğal sayılar, tam sayılar, rasyonel sayılar ve irrasyonel sayılar kümelerinin tamamını kapsar.
14. SAYILAR Karmaşık (Kompleks) Sayılar, C Karmaşık sayılar reel ve sanal olmak üzere iki kısımdan oluşurlar. Karmaşık sayılar kümesi, Reel sayılar kümesini kapsar. Karmaşık bir z sayısı aşağıdaki gibi ifade edilir: z a + ib, burada i 1 ve a, b R Örnek: Aşağıda verilen sayıların tamamı karmaşık sayılardır. z 3 7 i z i z π + 3i z 9 z z 0 z e 3i 5 + e 6i 3 + 7 + i cos π 10 i sin π 10 Karmaşık sayılar için verilen örneklerden görüldüğü gibi karmaşık sayılar tüm sayı türlerini kapsar. Sanal i Sayısı ile İşlemler i 1 olduğunu hatırlayalım. i i i 1 1 1 olur. i 3 i i 1 i i i 8 (i ) 4 ( 1) 4 1 1 i 1 i i i i i i 1 i
KARMAŞIK (KOMPLEKS) SAYILAR, C 15 Karmaşık Sayıların Eşleniği (Konjugat) z nin eşleniği z olarak ifade edilir. z a + ib ise z a ib olur. Örnek: 3 + i karmaşık sayısının eşleniği ile çarpımı ne olur? Çözüm: z 3 + i ise z 3 i olur. z z (3 + i) (3 i) 3 3 + 3 i + i 3 + i i 9 3i + 3i i 9 + 1 10 reel bir sayıdır. Örnek: i karmaşık sayısının eşleniği ile toplamı ne olur? Çözüm: z i ise z + i olur. z + z i + + i reel bir sayıdır. Örnek: 5 i karmaşık sayısının eşleniğine bölünmesinden elde edilen sayıyı bulalım. Çözüm: z z 5 i 5 + i Hem payı hem de paydayı, paydanın eşleniği olan 5 i ile çarpalım. z z (5 i)(5 i) (5 + i)(5 i) 5 5 + 5 i + i 5 + i i 5 5 + 5 i + i 5 + i i 5 10i 10i + 4i 5 10i + 10i 4i 5 0i 4 5 + 4 1 0i 9 1 9 0i 9 Örnek: z + 4i ise 1 nin reel kısmı nedir? z Çözüm: 1 z 1 + 4i olur.
16. SAYILAR 1 ifadesinin paydasını sanal bileşenden kurtarmak için eşleniği olan 4i ile + 4i çarpalım. 1 z 4i ( + 4i)( 4i) 4i + 4i + 4i + 4i 4i Eşitliğin bozulmaması için hem payı hem de paydayı 4i ile çarpalım: 4i 4 8i + 8i 16i 4i 4 + 16 4i 1 0 10 i 5 Reel kısım 1 10, sanal kısım 1 5 dir.
3. Koordinat Sistemleri Tanımı Koordinat sistemi, bir noktayı, doğruyu, eğriyi, düzlemi, bölgeyi ve cismi uzayda belli bir yere yerleştiren standartları tanımlar. Mevcut koordinat sistemleri kartezyen, polar ve silindirik koordinat sistemleridir. Bu kitapta yalnızca kartezyen koordinat sistemi işlenmektedir. boyutlu kartezyen koordinat sistemi, birbirine dik eksenin (çizginin) kesişimi ile elde edilir ve kısaca x-y düzlemi olarak da isimlendirilebilir. Bu eksenlere x ve y eksenleri denir. Eksenlerin kesişim noktası orijin yani sıfır noktasıdır. Kartezyen Koordinat Sisteminde Bölgeler x-y düzlemi 4 bölgeye ayrılmıştır. Bu bölgeler ile bu bölgelerde tanımlanan noktaların x ve y bileşenlerinin tanım aralıkları aşağıdaki şekilde görülmektedir.. Bölge x < 0, y > 0 y 1. Bölge x > 0, y > 0 x 3. Bölge x < 0, y < 0 4. Bölge x > 0, y < 0 17
18 3. KOORDİNAT SİSTEMLERİ Kartezyen Koordinat Sisteminde Noktanın Tanımı Kartezyen koordinat sisteminde bir A noktası A(x 1, y 1 ) olarak tanımlanır. x 1, A noktasının x bileşeni, y 1 de y bileşenidir. x 1 ve y 1, sıfır yani O(0, 0) noktası referans alınarak, x-y düzlemine yerleştirilir. Şekildeki x-y düzleminde M(,1) ve N(-3,-1) noktaları görülmektedir. y 3 N( 3, 1) 1 O(0, 0) 1 M(, 1) Eksenler Üzerindeki Noktalar x Aşağıda verilen x-y-z koordinat sisteminde görülen A, B, ve C noktaları sırasıyla x, y ve z eksenleri üzerinde bulunmaktadır. z C(0, 0, 1) A(1, 0, 0) O B(0, 1, 0) x y Şekilden görüldüğü gibi, x ekseni üzerindeki A(1, 0, 0) noktasının y ve z bileşenleri sıfırdır. y ekseni üzerindeki B(0, 1, 0) noktasının x ve z bileşenleri sıfırdır. z ekseni üzerindeki C(0, 0, 1) noktasının x ve y bileşenleri sıfırdır.
3 BOYUTLU X-Y-Z UZAYI 19 3 Boyutlu x-y-z Uzayı 3 boyutlu kartezyen koordinat sistemi birbirine dik 3 eksenden oluşur ve x-y-z uzayı olarak isimlendirilebilir. Aşağıdaki şekilde, A(1, 3, ) noktasının, O(0,0,0) noktası referans alınarak, x-y-z uzayına nasıl yerleştirildiği oklar yardımı ile gösterilmektedir. z 1 (, 3, 1) O x 3 (, 3, 0) İki Noktanın Orta Noktası A(x a, y a, z a ) ve B(x b, y b, z b ) noktalarının orta noktası, C(x c, y c, z c ) ise, aşağıdaki formül ile ifade edilir: ( ) xa + x b y a + y b z a + z b C(x c, y c, z c ),, Örnek: A( 1, 4) ve B(5, ) noktalarının orta noktasının koordinatlarını bulalım. Çözüm: A ve B noktalarının orta noktası C(x c, y c ) olsun. ( 1 + 5 C(x c, y c ), 4 ) + (, 1) bulunur. y İki Nokta Arasındaki Uzaklık x-y-z düzlemindeki A(a 1, a, a 3 ) ve B(b 1, b, b 3 ) noktaları arasındaki uzaklık, AB aşağıdaki formül ile ifade edilir. AB (a 1 b 1 ) + (a b ) + (a 3 b 3 ) (b 1 a 1 ) + (b a ) + (b 3 a 3 )
0 3. KOORDİNAT SİSTEMLERİ Örnek: (-1, 3, 5) ve (, -, -6) noktaları arasındaki uzaklığı hesaplayalım. Çözüm: İki nokta arasındaki uzaklık d olsun. d ( 1 ) + (3 ) + (5 6) 9 + 5 + 11 155 birim bulunur. Not: Özel fonksiyonların, kartezyen koordinat sisteminde grafiklerinin çizimi ilerleyen bölümlerde anlatılmaktadır.
4. İşlemler ve Denklemler I Temel İşlemler Cebirde temel işlemler toplama(+), çıkarma( ), çarpma( ya da ), ve bölme( ya da /) dir. İşlemlerde Öncelik Sırası İşlemlerde öncelik parantez içerisindeki işleme aittir. Bunu sırasıyla üslü ve köklü işlemler, bölme, çarpma, toplama ve çıkarma takip eder: Örnek: 7 (3 + ) 6 işleminin sonucu nedir? Çözüm: Verilen ifadedeki işlemleri sıralayalım: }{{} 7 (3 + ) }{{}}{{} 6 }{{ } 3. 1. 4.. 1) 7 5 6 ) 7 5 3 3) 35 3 4) 3 Yukarıdaki işlemin sonucunu parantezi kaldırarak tekrar hesaplayalım: 7 }{{ 3 }}{{} + }{{} 6 }{{ }. 3. 4. 1. 1) 7 3 + 3 ) 1 + 3 3) 3 3 4) 0 sonucun farklı olduğu görülür. Üslü ve Köklü İşlemler a, b R ve n Q olsun. b n b b b b...... b }{{} n tane Burada b tabandır, n de üs (kuvvet, derece) tür. 1
4. İŞLEMLER VE DENKLEMLER I Üslü ve Köklü İfadelerde Temel Kurallar b n b m b n+m b n b m bn m b 1 n n b b 0 1 b n 1 b n (b n ) m (b m ) n b mn m bn b n m (a b) n a n b n ( a b ) n a n b n 0 n 0, n 0 10 Tabanın Kuvvetleri 10 3 1000 10 1 0.1 10 4 0.0001 Tabanı Negatif Olan Üslü İfadeler Örnek: ( 3) 4 ifadesini hesaplayalım. ( 1 3) 4 ( 1) 4 (3) 4 ( 1 1 1 1) (3 3 3 3) }{{}}{{} 1 81 81 Örnek: ( 1 6 ) 3 ( 1)3 (6 6 ) 3 1 6 6 6 1 16 Üssü Logaritma Olan İfadeler, b log ba Kitabın Logaritma bölümünde anlatılmıştır. Üssü Karmaşık Sayı Olan İfadeler, e ix Kitabın Trigonometri bölümünde Euler Formülü konu başlığı altında anlatılmıştır.
KÖKLÜ İFADELER 3 Tabanı Karmaşık Sayı, Üssü Reel Sayı Olan İfadeler i ( 1) (( 1) 1 ) ( 1) 1 1 i 3 i i i 1 i i 4 i i 1 1 1 (3i) 3 3 3 i 3 7 i i 7 1 i 7i Köklü İfadeler n a ifadesi a 1 n ile aynıdır. Örnek: 4 sayısının karekökünü bulalım. 4 4 1 1 1+1 olur. Aynı zamanda: 4 4 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1+1 ( ) ( ) olur. O halde 4 ün farklı çözümü vardır. 4 olarak ifade edilebilir. Örnek: Örnek: 3 8 3 3 3 3 3 1 4 16 sayısının dördüncü kökünü bulalım. 4 16 4 4 16 4 4 4 4 ( ) 4 ya da Sonuç: 4 16 ± olur.
4 4. İŞLEMLER VE DENKLEMLER I Örnek: Şimdi de 4 3 sayısının dördüncü kökünü bulalım. 4 3 4 ya da 4 3 4 } {{ } 4 4 4 ( ) 4 4 4 Sonuç: 4 3 ± 4 olur. Görüldüğü gibi kökü çift sayı olan ifadelerin ± olmak üzere iki farklı çözümü vardır. Örnek: 3 50 5 3 4 Örnek: 3 50 5 3 4 sayısını sadeleştirelim. 3 5 5 5 5 3 3 53 5 3 3 53 3 5 3 5 1 3 5 3 1 3 3 1 4x 3 7 y x 14 3 x7 18 y 3 7 ifadesini sadeleştirelim. 4x 3 7 y x 14 3 x7 18 y 3 7 4x 3 y 7 x 14 7 3 x6 x 8 y 3 7 4x 3 y 7 x x 3 x 8 y 3 7 x 5 y 7 x x 1 3 y 3 7
DENKLEMLER (EŞİTLİKLER) 5 x3 y 1 7 x 1 3 x3 1 3 y 1 7 x 8 3 y 1 7 Hem payı hem de x x 3 y 1 7 3 x x 7 y paydayı ile çarpalım. x 3 x 7 y x 3 x 4 7 y Denklemler (Eşitlikler) x 3 5 ifadesi bir denklemdir çünkü ifadede eşittir sembolü, bilinmeyen değişken ve eşitliğin sağ tarafında sabit bir değer vardır. f(x) x 3 ise bir fonksiyondur. Örnek: x 6 4 tek bilinmeyenli denkleminde x in değerini bulalım. Çözüm: x 6 4 Eşitliğin her iki tarafına 6 ekleyelim. x 6 + 6 4 + 6 x 10 Eşitliğin her iki tarafını ye bölelim. x 10 x 5 Yukarıdaki denklemde eşitliği bozmamak için eşitliğin her iki tarafına da aynı işlem uygulanmıştır. Örnek: 3x + 5 9x + 11 denkleminde x in değerini bulalım.
6 4. İŞLEMLER VE DENKLEMLER I Çözüm: x li ifadeleri eşitliğin aynı tarafına taşıyalım. 3x + 5 9x + 11 Eşitliğin her iki tarafına 3x ekleyelim. -3x + 3x + 5-3x + 9x }{{} +11 5 6x + 11 Sabit sayıları eşitliğin diğer tarafına taşıyalım. Eşitliğin her iki tarafına 11 ekleyelim. -11 + 5 6x + 11 + -11 6 6x x 1 Kartezyen Sisteminde Doğrusal (Lineer) Denklemlerin Grafikleri x-y kartezyen koordinat sisteminde düz bir çizgi (doğru), doğrusal bir denklem ile tanımlanır. Yukarıdaki grafikte verilen doğrunun denklemi aşağıdaki genel formül ile tanımlanır: y mx + a doğrunun eğimi y-eksenini kesim noktası Doğrunun eğimi, doğru üzerindeki herhangi iki A(x 1, y 1 ) ve B(x, y ) noktası kullanılarak hesaplanabilir. m y x y y 1 x x 1 y 1 y x 1 x y : y-ekseni boyunca değişim
DENKLEMLER (EŞİTLİKLER) 7 x : x-ekseni boyunca değişim Doğrunun y-eksenini kestiği noktada x 0 olur. Doğrunun x-eksenini kestiği noktada y 0 olur. Yukarıda grafiği verilen y x ve y x doğruları O(0, 0) noktasından (orijinden) geçmektedir. Kartezyen Sisteminde Kesişen Doğrular x-y kartezyen sisteminde paralel olmayan doğrular kesişirler. İki doğrunun kesişim noktası bu doğruları tanımlayan iki doğrusal denklemin ortak çözümüdür. Örnek: Aşağıda denklemleri verilen kesişen iki doğrunun kesişim noktasını bulalım. Doğru 1: 4y 3x + 5 Doğru : y x + 1
8 4. İŞLEMLER VE DENKLEMLER I Çözüm:. denklemin her iki tarafını y x + 1. denklem 4 ile çarpalım. Elde edilen denklemden 4y 4x + 4 4 (. denklem) 1. denklemi çıkaralım. - 4y 3x + 5 1. denklem 0 x 1 x 1. denkleme x 1 değerini yerleştirelim. y 1 + 1 Kartezyen Sisteminde Paralel Doğrular Paralel doğruların eğimleri eşittir. Örnek: A( 5, 1) ve B(4, 4) noktalarından geçen ve şekilde grafiği verilen doğrunun denklemi nedir?
DENKLEMLER (EŞİTLİKLER) 9 Çözüm 1: Grafiği tekrar çizerek doğrunun eğimini hesaplayalım. Doğrunun denklemi: y mx + a Doğrunun eğimi: m y x 1 4 5 4 5 9 5 9 ya da, m 4 1 4 5 5 9 m nin değerini denklemde yerine koyalım: y 5 9 x + a a nın değerini hesaplamak için A ya da B noktasının koordinatlarını yukarıdaki denklemde yerine koyalım: A(-5, 1) noktasını kullanarak a yı yalnız bırakalım. 1 5 9 5 + a 1 5 9 +a x 16 9 Çözüm : İkinci çözümde grafiği çizmeden A ve B noktalarının koordinatlarını y mx + a denklemine yerleştirerek m ve a bilinmeyenlerinin değerleri hesaplanır: A( 5, 1) noktasının koordinatlarını denkleme yerleştirelim. B(4, 4) noktasının koordinatlarını denkleme yerleştirelim. 1 m 5 + a 1 5m + a 4 m 4 + a 4 4m + a
30 4. İŞLEMLER VE DENKLEMLER I Böylece bilinmeyen (m ve a) ve denklem elde ederiz. Bu iki denkleme çıkarma 1 5m + a (1. denklem) işlemi uygulayalım. 4 4m + a (. denklem) 5 9m + 0 9m 5 m 5 9 m 5 9 değerini 1. denkleme yerleştirelim: 1 5m + a 1 5 9 5 + a 1 5 9 +a x 16 9 Kartezyen Sisteminde Birbirine Dik Olan Doğrular Aynı düzlemde birbirine dik olan doğruların eğimlerinin çarpımı -1 e eşittir. y f(x) y 3x 1 m 1 3 x y 1 3 x m 1 3 Yukarıdaki şekilde y 1 x ve y 3x 1 doğruları birbirine diktir ve eğimleri 3 sırasıyla, 1 ve 3 tür. Eğimlerin çarpımının -1 olduğu görülür. 3
EŞİTSİZLİKLER VE TANIM ARALIKLARI (DEĞER KÜMELERİ) 31 y f(x) x 1 m ± y m 1 0 Yukarıdaki grafikte doğrular birbirine diktir ve eğimleri m 1 0 ve m ± dir. Kartezyen Sisteminde Doğrusal Olmayan Denklemler y x, xy 5, x y 3, y x + x + 1 denklemleri doğrusal değildir. x-y kartezyen koordinatlarında çizilen grafikleri eğridir. Eşitsizlikler ve Tanım Aralıkları (Değer Kümeleri) Eşitsizliklerde eşittir, sembolü yerine aşağıdaki semboller kullanılır: > : büyüktür < : küçüktür ya da : büyüktür ya da eşittir ya da : küçüktür ya da eşittir x Örnek: 3 > ifadesi bir eşitsizliktir. Eşitsizliklerin Genel Özellikleri 1) Geçişlilik Özelliği a, b, c R olsun. Eğer a b ve b c ise, a c doğrudur. Eğer a b ve b c ise, a c doğrudur. Eğer a b ve b > c ise, a > c doğrudur.
3 4. İŞLEMLER VE DENKLEMLER I Eğer a b ve b > c ise, a > c doğrudur. ) Zıtlık Özelliği ile birbirinin zıttıdır. a, b R olsun. Eğer a b ise, b a doğrudur. Eğer a b ise, b a doğrudur. 3) Toplama ve Çıkarma Özelliği a, b, c R olsun. Eğer a b ise, a + c b + c ve a c b c olur. Eğer a b ise, a + c b + c ve a c b c olur. 4) Çarpılma ve Bölünme Özelliği a, b, c R olsun. Eğer a b ve c > 0 ise, ac bc ve a c b c Eğer a b ve c < 0 ise, ac bc ve a c b c doğru olur. doğru olur. Eğer c < 0 ise, eşitsizliğin heriki tarafını c ile çarpmak ya da c ye bölmek eşitsizliğin yönünü değiştirir! Eğer a b ve c < 0 ise, ac bc ve a c b c Eğer a b ve c < 0 ise, ac bc ve a c b c doğru olur. doğru olur. Örnek: 5x 7 > 3 eşitsizliğinde x in tanımlı olduğu aralığı bulalım. Çözüm: x i eşitsizliğin tek bir tarafında yalnız bırakalım. 5x 7 > 3 Eşitsizliğin her iki tarafına 7 ekleyelim. 5x 7 + 7 > 3 + 7 Eşitsizliğin her iki tarafını 5 ile bölelim. 5x > 10 x >
EŞİTSİZLİKLER VE TANIM ARALIKLARI (DEĞER KÜMELERİ) 33 Sayı doğrusu üzerinde x aşağıdaki gibi tanımlanır: x (, ) x in tanımlı olduğu aralıktır. x, değerini kapsamamaktadır. x in değer kümesi ayrıca x R (, ] olarak da ifade edilebilir. Örnek: a ve b reel sayıları 1 > a > b > 0 eşitsizliğini sağlıyorsa, 1 a, 1 b, a, b sayılarını büyükten küçüğe sıralayalım: Çözüm: a ve b sayıları pozitif, 1 den küçük kesirli sayılardır. 1 > a > b olduğundan 1 b > 1 a > 1 olur. Ayrıca eşitsizliğin her tarafını ab ye bölebiliriz. 1 ab > a ab > b ab 1 ab > 1 b > 1 a 1 > a > b olduğundan 1 > a > b olur. İki sonucu birleştirdiğimizde: 1 b > 1 a > 1 > a > b Sadeleştirirsek: 1 b > 1 a > a > b elde ederiz. Örnek: 4x 1 ise, x in tanım aralığı nedir? Çözüm: x i yalnız bırakalım: Eşitsizliğin her iki tarafını 4 ile bölelim. 4x 4 1 4 Bölen ( 4) negatif olduğu için eşitsizlik yön değiştirdi. x 3 Çoklu (Zincir) Eşitsizlikler x in tanım aralığı: x (, 3] Bir değişken birden fazla eşitsizlikle ifade edilebilir. Bu durumda değişkenin tanım aralığı tüm eşitsizlikler çözüldükten sonra tespit edilebilir.
34 4. İŞLEMLER VE DENKLEMLER I Örnek: 1 < 3x 7 eşitsizliğini çözelim ve x değişkeninin tanım aralığını bulalım. Çözüm: Eşitsizlikte x i yalnız 1 < 3x 7 bırakalım. Eşitsizlikte her 3 ifadeye de 1 + < 3x + 7 + ekleyelim. Eşitlikte her 3 ifadeyi de 3 ile bölelim. x in tanım aralığı: 3 < 3x 9 3 3 < 3x 3 9 3 1 < x 3 x (1, 3] Örnek: x değişkeni bir reel sayı ve 6x + 1 5 ve x 3x + 14 eşitsizliğini sağlıyorsa, tanım aralığı nedir? Çözüm: İki eşitsizliği teker teker çözüp tanım aralıklarının kesişimini sayı doğruları üzerinden tespit etmeliyiz. x i eşitliğin tek bir tarafında 6x + 1 5 yalnız bırakalım. 6x + 1 1 5 1 Her iki tarafı 6 ya bölelim. 6x 4 6x 6 4 6 x 4 x in karesinin 4 ten büyük olabilmesi için x in + den büyük (3, 4, 5 gibi), - den küçük (-3, -4, -5 gibi) olması gerekir.
EŞİTSİZLİKLER VE TANIM ARALIKLARI (DEĞER KÜMELERİ) 35 x 4 x ya da x olmak üzere sonuç bulunur. Çözümü sayı doğrusu üzerinde gösterelim: x ya da x için tanım aralığı: (, ] [, ) Şimdi de x < 3x + 14 eşitsizliğini çözelim. x i eşitsizliğin tek bir tarafında yalnız bırakalım: Eşitsizliğin her iki tarafına -x ekleyelim. x + x < 3x + 14 + x 0 x + 14 Eşitsizliğin her iki tarafına -14 ekleyelim. 14 + 0 < x + 14 + 14 14 < x x > 14 x > 14 x > 7 x > 7 için tanım aralığı: ( 7, ) Her iki çözümüm sayı doğrularının kesişimi aşağıdaki gibidir: Doğruların kesişimden elde edilen tanım aralığı: ( 7, ] [, )
36 4. İŞLEMLER VE DENKLEMLER I Eşitsizlikte Yön Değişimi x > a ise, eşitsizliğin her iki tarafını negatif bir sayı ile çarparsak ya da bölersek, eşitsizlik yön değiştirir. Örneğin -3 ile çarparsak 3x < 3a olur. Örnek: x < 4x + 15 eşitsizliğinde x in tanım aralığını (değer kümesini) bulalım. Çözüm: x i eşitsizliğin tek bir tarafında yalnız bırakalım. Eşitsizliğin her iki tarafına 4x + x < 4x + 4x + 15-4x ekleyelim. 3x < 15 Eşitsizliğin her iki tarafını -3 e 3x bölünce eşitsizlik yön değiştirir. 3 > 15 3 Çözümün değer kümesi: x ( 5, ) x > 5 Örnek: 4x < x + 4 3x + 3 eşitsizliğini sağlayan x tanım aralığını bulalım. Çözüm: 4x < x + 4 3x + 3 eşitsizliğinde x değişkenini eşitsizliğin tek bir tarafında yalnız bırakmak mümkün değildir. Bu yüzden eşitsizliği iki parçaya ayırıp tek tek çözmemiz gerekir. Daha sonra da elde edilen farklı tanım aralığının kesişimi bulunur. 4x < x + 4 3x + 3 4x < x + 4 x + 4 3x + 3 x + 4x < x + x + 4 x + x + 4 x + 3x + 3 x < 4 4 x + 3 x < 1 x x 1 x < ve ( ) x 1
MUTLAK DEĞER 37 Yukarıdaki iki çözüme ait sayı doğrularının kesişimi aşağıda verilmektedir: Tanım Aralığı: x [1, ) Mutlak Değer Reel bir x sayısının mutlak değeri x ile ifade edilir. x in değeri x in pozitif ya da negatif olmasına bakmaksızın pozitif bir sayıdır. Örnek: 3 3, 3 3 x sayısının değeri herzaman pozitiftir. O halde x pozitifken x x ifadesi doğru olur. x negatifken de x x doğru olur çünkü -x pozitif bir değere eşittir. Örnek: f(x) x fonksiyonun x-y kartezyen koordinat sisteminde grafiğini çizelim ve f(x) x fonksiyonunun grafiği ile karşılaştıralım: { x, x 0; f(x) x x, x < 0. Örnek: f(x) 3x + mutlak değer fonksiyonunun grafiğini çizelim. Çözüm: Önce f(x) 3x + fonksiyonunu sıfıra eşit yapan x 0 değerini bulalım: 3x 0 + 0 denkleminin çözümü x 0 3 olur.
38 4. İŞLEMLER VE DENKLEMLER I 3x +, x 3 ; y f(x) 3x + 3x, x < 3. x e değerler vererek, bu değerlere denk düşen y değerlerini bulalım. Bu noktaları kullanarak grafiği çizelim. x < 3 için: x için y 3x 3 4 (-, 4) noktası x 1 için y 3x 3 1 1 (-1, 1) noktası x 3 için: x 3 için y 3x + 3 3 + 0 ( 3 x 0 için y 3x + 3 0 + (0, ) noktası x 1 için y 3x + 3 1 + 5 (1, 5) noktası Şimdi noktaları grafiğe yerleştirelim. y 3x f(x) 3x + 5 4 y 3x +, 0) noktası 1 1 1 3 x
MUTLAK DEĞER 39 Mutlak Değerde Genel Özellikler 1) a a ) a 0 3) Eğer a 0 ise, a 0 4) 0 0 5) ab a b 6) a + b a + b 7) a a, mutlak değerin mutlak değeri, mutlak değere eşittir. 8) a a 9) Eğer a b 0 ise, a b 10) a b ise, b a b 11) a b ise, a b ya da a b (a b) 1) Eğer b 0 ise, a b a b 13) a b b a Örnek: x 4 7 mutlak değer eşitsizliğinde x in tanım aralığını bulalım. Çözüm 1: 10. genel özellikten: 7 x 4 7 olur. Eşitsizliğin üç tarafına da 7 + 4 x 4 + 4 7 + 4 4 ekleyelim. 3 x 11 x in Tanım Aralığı (Çözüm Kümesi): x [ 3, 11] Çözüm : Eğer 10. genel özelliği kullanmasaydık, x 4 7 x 4 7 (x 4) 7 x 11 (x 4) 1 7 1 Her iki tarafı -1 e bölelim. x 4 7 Eşitsizlik yön değiştirdi. x 3
40 4. İŞLEMLER VE DENKLEMLER I x 11 ve x 3 çözümlerinin kesişimi tekrar 3 x 11 olur. Tanım aralığını sayı doğrusu üzerinde gösterelim: x [ 3, 11] Örnek: x 4 7 eşitsizliğinde x in tanım aralığını bulalım. Çözüm: x 4 7 x 4 7 (x 4) 7 x 11 (x 4) 1 7 1 x 4 7 x 3 Her iki tarafı -1 e bölelim. Eşitsizlik yön değiştirdi. Tanım aralığı: x (, 3] [11, ) Örnek: 4x+1 x 3 3 eşitsizliğini sağlayan x sayısının tanım aralığını bulalım.
MUTLAK DEĞER 41 4x + 1 x 3 3 4x + 1 x 3 3 x 3 Payda sıfır olamaz. 4x + 1 x 3 3 ( ) 4x + 1 3 x 3 4x + 1 3(x 3) 4x + 1 6x 9 1 ( ) 4x + 1 3 1 x 3 4x+1 x 3 3 10 x 4x + 1 3(x 3) 5 x 4x + 1 6x + 9 x 5 10x 8 x 5 çözümünün tanım aralığı (, 5] dir. x 0.8 çözümünün tanım aralığı (, 0.8] dir. x 0.8 Her iki tarafı -1 ile çarpalım. Eşitsizlik yön değiştirdi. (, 0.8] (, 5] ve x 3 olduğundan eşitsizliğin çözüm kümesi (, 5] {3 } olur. Mutlak Değer Fonksiyonlarının Türevi ve İntegrali Bu konu türev ve integral konu başlıkları altında anlatılmaktadır. Mutlak Değer Uygulamaları Mutlak değer, x-y ve x-y-z kartezyen koordinat sisteminde iki nokta arasındaki mesafenin hesaplanmasında kullanılır.
4 4. İŞLEMLER VE DENKLEMLER I Örnek: Şekilde A ve B noktaları arasındaki mesafeyi hesaplayalım. Çözüm: A ve B arası uzaklık AB dir. A(x 0, y 0 ) (, 3) B(x 1, y 1 ) (3, 1) AB (x 0 x 1 ) + (y 0 y 1 ) ( x 0 x 1 ) + ( y 0 y 1 ) ( x 1 x 0 ) + ( y 1 y 0 ) 3 + 1 3 5 + 4 5 + 4 5 + 16 41 AB 41 birim uzunluk
MUTLAK DEĞER 43 Örnek: x-y-z kartezyen koordinat sisteminde B noktası, x-y düzlemindeki y 3 x + 3 doğrusunun x ve y eksenlerini kesim noktalarının orta noktasıdır. 4 A( 1, 3, ) noktası ile B noktası arasındaki mesafe ne kadardır? Çözüm: Önce B noktasının koordinatlarını bulmamız gerekir. Grafiği tekrar çizelim. y 3 x + 3 doğrusunun y eksenini kestiği nokta C olsun, x eksenini 4 kestiği nokta D olsun. x-y düzleminde z nin aldığı değer 0 dır. C(x 0, y 0, z 0 ) (0, 3, 0), D(x 1, y 1, z 1 ) (4, 0, 0) olur.
44 4. İŞLEMLER VE DENKLEMLER I C ve D nin orta noktası: B ( x 0+x 1, y 0+y 1, z 0+z 1 ) B ( 0+4, 3+0, 0+0 ) B (, 3, 0) A ve B arasındaki mesafe: AB 1 + 3 3 3 + 3 + 9 + 9 + 4 4 61 4 61 + 0
5. Fonksiyonlar I Bir sistemin girdileri ve çıktıları arasındaki ilişkiyi tanımlayan kurallara fonksiyon denir. Örnek: f(x) 4x bir fonksiyondur. Burada girdi x değişkenidir, çıktı da 4x ifadesidir. Fonksiyonların Gösterimi f(x) y fonksiyonunun gösterimi, f : A B olarak verildiğinde, x değişkeni A kümesinin elemanı, y de B kümesinin elemanıdır. f fonksiyonu A kümesinden B kümesine gönderme yapmaktadır. A ya değer kümesi, B ye de tanım kümesi denir. Örnek: g : Z Z + x x + 1 verilsin. Yukarıdaki ifade ile g(x) x fonksiyonu tanımlanmıştır. x girdisi tam sayılar kümesi Z nin elemanıdır. x çıktısı da sıfırdan büyük tam sayılar kümesi Z + nin elemanıdır. g fonksiyonu Z kümesinden Z + kümesine gönderme yapmaktadır. Fonksiyon Türleri Tek ve Çift Fonksiyonlar f : R R f( x) f(x) ise, f fonksiyonu çift fonksiyondur. 45
46 5. FONKSİYONLAR I f( x) f(x) ise, f fonksiyonu tek fonksiyondur. Çift fonksiyonların grafikleri y eksenine göre simetriktir. Tek fonksiyonların grafikleri x eksenine göre simetriktir. y y x x Çift fonksiyon Sabit Fonksiyon f : R R, c R y y x 3 Tek fonksiyon x f(x) c ise f sabit bir fonksiyondur. Bire Bir Fonksiyon f : A B, x 1, x A verilsin. Eğer f(x 1 ) f(x ) ise x 1 x olur. B kümesinde birbirine eşit olmayan her eleman için, A kümesinde bu elemanlara denk düşen elemanlar da farklıysa f fonksiyonu bire birdir.
FONKSİYON TÜRLERİ 47 Örten Fonksiyon Bire bir fonksiyon f : A B verilsin. B kümesindeki her eleman için A kümesinde eleman varsa, f fonksiyonu örtendir. İçine Fonksiyon Örten fonksiyon f : A B verilsin. f fonksiyonu hem bire bir hem de örten ise, f fonksiyonu içine bir fonksiyondur. İçine fonksiyon
48 5. FONKSİYONLAR I Birim (Etkisiz) Fonksiyon f : R R, f(x) x ise f birim (etkisiz) fonksiyondur. Birim fonksiyon genellikle I ile gösterilir. Ters Fonksiyon f : A B ise f 1 : B A olur. Burada f 1, f nin tersidir. y f(x) ise x f 1 (y) olur. Koşul: Bir f fonksiyonun tersinin olabilmesi için içine fonksiyon (hem bire bir hem de örten) olması gerekir. Ters fonksiyon Örnek: f : R R, f(x) x ise f 1 (x) nedir? Çözüm: f(x) x fonksiyonu içine değildir çünkü bire bir değildir. Bu yüzden f(x) x fonksiyonunun tersi yoktur. Yukarıda görüldüğü gibi f(x) x fonksiyonu içine değildir çünkü bire bir değildir.
FONKSİYON TÜRLERİ 49 Örnek: f(x) 3x + 5 ise f 1 (x) nedir? Çözüm: f(x) y dir. f fonksiyonunda x yerine y, y yerine x koyalım, sonra da denklemi y için çözelim: 3y + 5 x 3y x 5 y x 5 3 f 1 (x) x 5 3 Örnek: f(x) x 7 6x+5 ise f 1 (x) nedir? Çözüm: f(x) y dir. f fonksiyonunda, x yerine y, y yerine x koyup denklemi y için çözelim: x yerine y, y yerine x koyalım. içler dışlar çarpımı yapalım. x y 7 6y+5 x 1 y 7 6y+5 x(6y + 5) 1 (y 7) 6xy + 5x y 7 6xy y 7 5x y yi parantez dışına çıkartalım. Her iki tarafı (6x-)ile bölelim. y(6x ) 7 5x y 7 5x 6x f 1 (x) 5x 7 6x olur.
50 5. FONKSİYONLAR I Ters Fonksiyonların Grafikleri f(x) x + 3 ise f 1 (x) x 3 olur. f nin ve f 1 in grafiklerini çizelim. f(x) fonksiyonun grafiği ile f 1 (x) fonksiyonunun grafiği y f(x) x doğrusuna göre birbirinin simetriğidir. Bileşke Fonksiyonlar f : A B ve g : B C fonksiyonları tanımlansın. f g : A B fonksiyonuna f ile g fonksiyonlarının bileşke fonksiyonu denir. f ile g nin arasındaki operasyon kelimesinin kısaltılmışıdır. (g f)(x) g[f(x)], (f g)(x) f[g(x)]
BİLEŞKE FONKSİYONLAR 51 Bileşke Fonksiyonlarda Temel Özellikler 1) f I f, I f f I birim fonksiyondur. ) f g g f Değişme özelliği yoktur ancak eğer f g ya da g I ya da f 1 g ise f g g f olur. 3) f 1 f f f 1 I 4) (f g) h f (g h) Birleşme özelliği vardır. 5) f f f f f f 6) f g h ise f 1 f g f 1 h I g f 1 h g f 1 h f g h ise f g g 1 h g 1 f I h g 1 f h g 1 Örnek: f : R R, g : R R tanımlansın. f(x) 6x 7 g(x) 1 x ise (f g)(3) in değeri nedir? Çözüm: (f g)(x) f[g(x)] (6x 7) ( 1 x ) 6( 1 x ) 7 Paydaları 6 x 7(x ) x eşitleyelim. 6 7(x ) x 6 7x+14 x 0 7x x x 3 değerini 0 7 3 3 yerine koyalım. 0 1 1 1
5 5. FONKSİYONLAR I Örnek: f, g : R R (f g)(x) x 4 ve f(x) x 5 x+1 tanımlansın. g(x) nedir? Çözüm: f 1 f g g olduğunu biliyoruz. O halde, f 1 i hesaplayalım: f(x) x yerine y, y yerine x yerleştirerek denklemi y için çözelim. İçler dışlar çarpımı yapalım. y x 5 x+1 x y 5 y+1 x 1 y 5 y+1 x(y + 1) 1 (y 5) xy + x y 5 y değişkenini eşitliğin xy y x 5 aynı tarafına toplayalım. y yi parantez dışına y(x ) x 5 çıkartalım. Eşitliğin her iki tarafını (x-) ye bölelim. Buradan, f 1 (f g) de g(x) y x 5 x f 1 (x) x 5 x yerine yerleştirelim: f 1 (f g)(x) ( x 5 x ) (x 4) (x 4) 5 (x 4) x+4 5 x 4 g(x) x 1 x 6
6. Sayı Tabanları ve Modulo Tabanlar Sayı tabanları sayı düzenleri (sistemleri)dir. Günlük yaşamda kullandığımız sayılar daha çok onluk düzendedir (10 tabanındadır). Bilgisayar ve telekomünikasyon teknolojisinde lik, 8 lik(oktal) ve 16 lık (heksadesimal) tabanlar, bilgi akışında ve saklanmasında kullanılan sayı düzenleridir (tabanlardır). Örnek: 10 luk düzende, 15 (15) 10 10 luk tabanda, sayıların basamaklarının alabileceği değerler 0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ve 9 dur. 10 luk Tabanda Sayıların Açılımı 10 tabanında verilen bir abcd sayısının açılımı aşağıdaki gibi verilir: (abcd) 10 a 3 b c 1 d 0 abcd (a 10 3 ) + (b 10 ) + (c 10 1 ) + (d 10 0 ) abcd (a 1000) + (b 100) + (c 10) + (d 1) Örnek: 57 ( 100) + (5 10) + (7 1) Örnek: 10 luk tabanda verilen (aa7) 10 ve (3a9) 10 sayıları arasındaki ilişki aşağıda verilmiştir. a nın tamsayı değeri nedir? (aa7) 10 (3a9) 10 + 98 Çözüm: Verilen eşitlik: (aa7) 10 (3a9) 10 + 98 Eşitliğin her iki tarafındaki a 100 + a 10 + 7 (3 100 + a 10 + 9) + 98 sayıların açılım değerini yazalım. 110a + 7 309 + 10a + 98 53 110a + 7 10a + 407 100a 400 a 4
54 6. SAYI TABANLARI VE MODULO lik Taban tabanındaki sayıların basamakları 0 ve 1 değerini alabilir. 101001 sayısı tabanında bir sayıdır. Buradaki 0 ve 1 sayılarına bit denir. 3 lük Taban 3 lük tabanda sayıların basamaklarının alabileceği değerler 0, 1 ve dir. 16 lık (Heksadesimal) Taban Heksadesimal tabanda, sayıların basamaklarının alabileceği değerler 0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E ve F dir. Burada A-F aralığındaki sayıların onluk düzendeki değerleri şöyledir: A 10 D 13 B 11 E 14 C 1 F 15 16 tabanındaki sayılara kısaca heksli sayılar da denir ve sayının önüne 0 getirilerek ifade edilir. Örnek: 0xB3, 0xa, 0xc6, 0xEF sayıları heksli sayılardır. Herhangi Bir Tabanda Verilen Sayının 10 luk Tabanda Yazılması Herhangi bir m tabanında verilen xyz sayısını 10 tabanında yazmak için açılımı yapılır: (xyz) m (x y 1 z 0 ) m (x m ) + (y m 1 ) + (z m 0 ) (xm + ym + z) 10 Örnek: (101001) sayısını 10 tabanına çevirelim. Çözüm: (101001) sayısının açılımı yapıldığında 10 tabanında yazılmış olur. (101001) 1 5 0 4 1 3 0 0 1 1 0 (101001) 1 5 + 0 4 + 1 3 + 0 + 0 1 + 1 0 3 + 0 + 8 + 0 + 0 + 1 (101001) (41) 10 Örnek: 0 A3 heks sayısını 10 tabanında yazalım. Çözüm: 0 A3 sayısının açılımı yapıldığında 10 tabanında yazılmış olur.
TABANLAR 55 0 A3 0 A 1 3 0 0 A3 10 16 1 + 3 16 0 Burada A 10 ve heks tabanı 16 160 + 3 0 A3 (163) 10 10 luk Tabanda Verilen Bir Sayının Farklı Bir Tabanda Yazılması 10 tabanındaki bir sayıyı farklı bir m tabanında yazmak için, 10 tabanındaki sayıyı m den küçük kalanlar elde edinceye kadar m ye bölmemiz gerekir. Bu aşağıdaki örneklerde açıklanmıştır. Örnek: 10 tabanındaki 41 10 sayısını ikilik düzene çevirelim. 41 10 (101001)
56 6. SAYI TABANLARI VE MODULO Örnek: 10 tabanındaki 41 10 sayısını 3 tabanına çevirelim. 41 10 (111) 3 Örnek: 10 tabanındaki 479 10 sayısını heksadesimal olarak yazalım. 479 10 0 1DF Herhangi Bir Tabanda Verilen Sayının 10 Tabanından Farklı Bir Tabanda Yazılması 10 tabanından farklı bir m tabanındaki sayıyı, n tabanındaki bir sayıya direkt olarak çeviremeyiz. m tabanındaki sayı önce 10 tabanına çevrilir, daha sonra da 10 tabanından n tabanına çevrilir. Örnek: 0 4C heks sayısını oktal (8lik taban) düzende yazalım.
MODULO (MOD) 57 Çözüm: 0 4C sayısını önce 10 luk düzene çevirelim. Bunun için 0 4C nin açılımını yazalım. 0 4C 0 4 1 C 0 0 4C 4 16 1 + 1 16 0 Burada C 1 ve heks tabanı 16 64 + 1 0 4C (76) 10 Şimdi de 10 tabanındaki 76 sayısını 8 tabanında yazalım. Modulo (Mod) 0 4C (76) 10 (114) 8 Bir pozitif tamsayının başka bir pozitif tam sayı ile bölünmesi ile arta kalan tamsayının hesaplanması işlemine modulo işlemi denir. Örnek modulo işlemleri: 5 mod 3 ya da 5 (mod 3) olarak ifade edilir. Burada denktir sembolüdür. 16 1 (mod 5) 10 0 (mod 5) Örnek: a Z + ve a < 7 için a 3 (mod 5) ise a nın alabileceği değerleri hesaplayalım. a sayısının a < 7 pozitif tamsayıları için alabileceği değerler:
58 6. SAYI TABANLARI VE MODULO 0 1 4 16 1 5 3 4 6 64 3 8 olur. Bunlardan sadece 8 in mod 5 teki değeri 3 olur. O halde, a 3 sonucu elde edilir. Tam Olarak (Kalansız) Bölünebilme Kuralları (kalan 0) Kalanı sıfır olan modulo işlemlerinde, ye, 3 e, 5 e ve 6 ya tam olarak bölünebilme kuralları vardır. ye Tam Olarak Bölünebilme abcd, onluk düzende 4 basamaklı bir tamsayı olsun. abcd 0 (mod ) koşulunun sağlanabilmesi için en düşük basamak olan d nin, nin katları olan 0,, 4, 6 ve 8 olması gerekir. Örnek: 139674869 sayısı ye tam olarak bölünemez çünkü 9 sayısı ye tam olarak bölünemez. Burada, 139674869 1 (mod ) olur çünkü 9 1 (mod ) Örnek: 739654 0 mod() çünkü 4 0 (mod ) 3 e Tam Olarak Bölünebilme abcdef, onluk düzende 6 basamaklı bir tamsayı olsun. abcdef 0 (mod 3) koşulunun sağlanabilmesi için basamakların toplamı olan a + b + c + d + e + f sayısının 3 e tam olarak bölünebilmesi gerekir. Bunun için bu toplamın 3 ün katları olan 0, 3, 6, 9, 1, 15,..., 3n olması gerekir. Burada n bir tamsayıdır (n Z). Örnek: 973691 0 (mod 3) yani 3 e tam olarak bölünebilir çünkü: + 9 + 7 + 3 + 6 + 9 + 1 + 39 39 0 (mod 3) 39 3 + 9 1 1 1 + 3 olduğu görülür. Örnek: 7691 sayısının 3 e tam olarak bölünüp bölünmediğini bulalım. Çözüm: 7691 sayısı 3 e tam olarak bölünemez. 7 + + 6 + 9 + 1 5 5 1 (mod 3) olur.
MODULO (MOD) 59 Örnek: 6a54 tamsayısı 3 e tam olarak bölünebiliyorsa, a sayısının alabileceği pozitif tamsayı değerleri bulalım. Çözüm: 10 tabanında a sayısının alabileceği değerler 0 a 9 aralığındadır. 6 + + a + 5 + 4 17 + a olur. 3 ün katları: 3, 6, 9, 1, 15, 18, 1, 4, 7, 30,... Burada, 17+a 18 ise a 1 geçerli yanıttır. 17+a 1 ise a4 geçerli yanıttır. 17+a 4 ise a7 geçerli yanıttır. 17+a 7 ise a 10 geçersiz yanıttır. 0 a 9 aralığında a nın alabileceği değerler 1, 4 ve 7 olur. Bu sonuç a {1, 4, 7} olarak da ifade edilebilir. 5 e Tam Olarak Bölünebilme abcde, on tabanında bir tamsayı olsun. abcde tamsayısının 5 e tam olarak bölünebilmesi için birler basamağı olan e nin değerinin 5 ya da 0 olması gerekir. Örnek: 3b6a sayısının 5 e tam olarak bölünebilmesi için a ve b tamsayılarının değer kümesini bulalım. Çözüm: b ve a tamsayılarının alabileceği sayılar [0, 9] tanım aralığındadır. 5 e bölünebilme kuralından, a 0 ya da a 5 olmak zorundadır. Burada b nin değeri [0, 9] aralığında herhangi bir tamsayı olabilir. O halde yanıt: a {0, 5} ve b {0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} olur. 6 ya Tam Olarak Bölünebilme Bir tamsayının 6 ya tam olarak bölünebilmesi için hem ye hem de 3 e tam olarak bölünebilmesi gerekir. Örnek: 43796a tamsayısının 6 ya tam olarak bölünebilmesi için a nın alması gereken değerleri bulalım. Çözüm: Koşul 1) 43796a sayısının ye kalansız bölünebilmesi için a {0,, 4, 6, 8} koşulu sağlanmalıdır. Koşul ) 43796a sayısının 3 e kalansız bölünebilmesi için 4 + 3 + 7 + 9 + 6 + + a 31 + a 3 + 1 + a 4 + a sonucunun 3 e kalansız bölünebilmesi gerekir.
60 6. SAYI TABANLARI VE MODULO Koşul 1 de verilen a değerlerini kullanarak, koşul nin sağlanıp sağlanmadığını görelim: a 0 için, 4 + a 4 + 0 4 4 1 mod(3) a 0 geçersiz yanıt a için, 4 + a 4 + 6 6 0 (mod 3) a geçerli yanıt a 4 için, 4 + a 4 + 4 8 8 (mod 3) a 4 geçersiz yanıt a 6 için, 4 + a 4 + 6 10 10 1 (mod 3) a 6 geçersiz yanıt a 8 için, 4 + a 4 + 8 1 1 0 (mod 3) a 8 geçerli yanıt O halde, a nın alabileceği değerler: a {, 8}
7. Polinomlar ve Grafikleri Polinomun Tanımı Polinom, değişkenlerden ve katsayılardan oluşan ve sadece toplama, çıkarma, çarpma ve pozitif tamsayı üs-alma işlemlerini içeren ifadeye denir. Örnek: P (x) 6x + x 5 polinomunda değişken x, katsayılar da 6, ve -5 tir. Örnek: x 3 4x + 1 5 bir polinomdur. x 5 + 4 x + 3x7 / bir polinom değildir çünkü. terimde 4x nin üssü negatiftir ve 3. terimdeki 3x 7 / de x in üssü 7 bir tamsayı değildir. Q(x, y) x + 3xy 5x y 3 + 7y bir polinomdur, değişkenleri x ve y dir. Polinomun Derecesi Polinomun derecesini üssü en büyük olan değişken belirler. P (x) x 3 + 5x 4 polinomunun derecesi 3 tür. Bir polinomun derecesi grafiğinden de belirlenebilir. P (x) P (x) ax 5 + bx 4 + cx + dx + e 3 1 x 4 Şekildeki polinom grafiğinde toplam tepe ve çukur sayısı 4 tür. Bu yüzden, P(x) polinomunun derecesi 4+1 5 olur. 61
6 7. POLİNOMLAR VE GRAFİKLERİ Polinomlarla İşlemler Toplama ve Çıkarma Polinomlar toplanırken dereceleri aynı olan değişkenlerin katsayıları toplanır. Çıkarırken de dereceleri aynı olan değişkenlerin katsayıları birbirinden çıkarılır. Verilen iki P ve Q polinomu için, P + Q Q + P (Değişme Özelliği) Örnek: P 3x 4 6x 3 x + 7xy + 9 ve Q x 4 + 5x xy + 0 polinomları tanımlansın. P + Q ve P Q nedir? Çözüm: Değişkenleri aynı olan terimleri benzer şekilde işaretleyelim. P + Q 3x 4 6x 3 x }{{} +7xy + 9 x 4 6x 3 + 3x + 6xy + 9 P Q 3x 4 6x 3 x }{{} +7xy + 9 5x 4 6x 3 7x + 8xy 11 Polinomların Çarpımı + x 4 + }{{} 5x xy + 0 ( x 4 + }{{} 5x xy + 0) Polinomların çarpımında dağılma kuralı kullanılır, daha sonra da dereceleri aynı olan değişkenlerin katsayıları toplanır. Örnek: P 5x + y ve Q x 4xy olsun. P Q ifadesini hesaplayalım. Çözüm: P Q (5x + y)(x 4xy) 5x x 5x 4xy + y x y 4xy 5x 3 0x y + yx 8xy 5x 3 18x y 8xy Örnek: P x + 4 ve Q x 3 olsun. P Q ifadesini hesaplayalım. Çözüm:
POLİNOMLARLA İŞLEMLER 63 P Q (x + 4)(x 3) x x x 3 + 4 x 4 3 x + x 1 Polinomlarda Bölme İşlemi Bölünen polinomun derecesi bölen polinomun derecesine eşit ya da daha büyükse, aradaki derece kadar büyüklüğe sahip değişken bölüm kabul edilerek, aradaki derece farkı küçülünceye kadar bölme işlemine devam edilir. P polinomu Q polinomuna kalanlı olarak bölündüğünde, tam bölüm polinomu D ile kalan polinomu R arasındaki ilişki aşağıdaki gibi ifade edilir. P (x) Q(x) R(x) D(x) + Q(x) Örnek: P (x) x 3 6x + 7, polinomu bulalım. Çözüm: Bölme işlemi aşağıdaki gibi yapılır. x 3 6x + 7 x 3 x x 6x + 7 x x 5x + 7 5x + 5 P (x) Q(x) x 1 x + x 5 Kalan x3 6x + 7 x 1 Q(x) x 1 olsun. P polinomunu Q ya bölelim, kalan x + x 5 + x 1 Kalan polinom R(x) bulunur. Polinomların Çarpanlara Ayrılması Bazı polinomlar, birden fazla derecesi düşük polinomun çarpımı olabilir. Derecesi düşük olan bu polinomlara polinomun çarpanları denir. Bu ilişki aşağıdaki denklemle ifade edilir. P (x) P 1 (x) P (x) P n (x)
64 7. POLİNOMLAR VE GRAFİKLERİ Örnek: Çarpanları x + 5 ve x 3 olan P polinomunu hesaplayalım. Çözüm: Dağılma kuralını uygulayarak P(x) i hesaplayalım. P (x + 4)(x 7) x x x 7 + 4 x 4 7 x 3 }{{} x 8 }{{} 7 + 4 7 4 Çarpanlarına Ayrılabilen Standart Polinomlar n Z + bir pozitif tamsayı olsun. n herzaman bir çift sayı, n + 1 de herzaman tek bir sayı olur. a, b R için aşağıdaki standart polinomlar çarpanlarına ayrılabilir. x n a n (x n a n )(x n + a n ) x n+1 a n+1 (x a)(x n + ax n 1 + a x n + + a n 1 x + a n ) x n+1 + a n+1 (x + a)(x n ax n 1 + a x n a n 1 x + a n ) x + (a + b)x + ab (x + a)(x + b) x + ax + a (x + a) Örnekler: Aşağıdaki polinomları çarpanlarına ayıralım. 1) x 9 x 3 (x 3)(x + 3) ) x 1 (x + 1)(x 1) 3) x 4 16 (x 4)(x + 4) (x )(x + )(x + 4) 4) x 3 1 (x 1)(x + x + 1) 5) x 5 + 3 x 5 + 5 (x + )(x 4 x 3 + 4x 8x + 16) 6) x 3 + 1 (x + 1)(x x + 1) 7) x 3 8 x 3 3 (x )(x + x + 4) 8) x 3 + 7 x 3 + 3 3 (x + 3)(x 3x + 9)
POLİNOM FONKSİYONLARI 65 9) x 3x + (x 1)(x ) 10) x + 6x 7 (x + 7)(x 1) 11) 3x x 5 (3x 5)(x + 1) Polinom Fonksiyonları f(x) a n x n + a n 1 x n 1 + + a x + a 1 x + a 0 şeklinde ifade edilebilen fonksiyonlara polinom fonksiyonları denir. Polinom fonksiyonlarının birden fazla değişkeni olabilir. Örnek: f(x, y) 4x 3 x y + 7y + 3 polinom fonksiyonunun x ve y olmak üzere değişkeni vardır. Rasyonel, Kesirli Fonksiyonlar, P (x) Q(x) f(x) P (x) şeklinde ifade edilebilen fonksiyonlara rasyonel (kesirli) fonksiyonlar denir. Q(x) P(x) ve Q(x), x in tüm değerleri (R) için tanımlı iken, f(x) yalnızca, Q(x) in sıfır olmadığı değer aralığında tanımlıdır. Örnek: f(x) x3 7x fonksiyonu, x ± noktalarında tanımlı değildir, x 4 çünkü payda bu noktalarda sıfır olur. Örnek: f(x) x + 5 x + 1 fonksiyonunda x + 1 (payda) herzaman sıfırdan farklıdır. Bu yüzden f(x), tüm reel (gerçel) x sayıları için tanımlıdır. Kesirli Polinom Fonksiyonlarında Sadeleştirme Kesirli bir polinom fonksiyonunda sadeleştirmede, hem pay hem de payda çarpanlarına ayırılır, benzer olan çarpanlar birbirlerini sadeleştirir. Örnekler: Aşağıdaki kesirli polinom fonksiyonlarını sadeleştirelim. 1) f(x) x3 + 64 x 3 16x Pay ve paydayı çarpan- larına ayıralım. (x + 4)(x 4x + 16) x(x 16) (x + 4)(x 4x + 16) x (x + 4)(x 4) x 4x + 16 x(x 4)
66 7. POLİNOMLAR VE GRAFİKLERİ Payı payda ile bölelim. x 4x + 16 x 4x 1 + 16 x 4x ) f(x) x x + 1 x 3 1 (x 1) (x 1)(x + x + 1) (x Sadeleştirelim. 1) (x 1)(x + x + 1) 3) f(x, y) y parantez dışına çıkartılsın. x 1 x + x + 1 4x y y 3 x y 3 + xy 3 xy 4 y 4 y(4x y ) y 3 (x + x xy y) y(4x y ) Pay ve paydayı çar- y 3 (x + x xy y) panlarına ayıralım. y (x y)(x + y) y3 (x y)(x + 1) x + y y (x + 1) x + y xy + y 4) f(x, y) x 4 x 3 + 8 (x + )(x ) (x + )(x x + 4) (x + )(x ) (x + )(x x + 4) (x Sadeleştirelim. + )(x ) (x + )(x x + 4) x x x + 4
POLİNOM FONKSİYONLARI 67 5) f(x, y) x x 6 x 9 Sadeleştirelim. (x 3)(x + ) (x 3)(x + 3) x + x + 3 6) f(x, y) 3x + 5x 9x 6x + 1 (3x 1)(x + ) Pay ve paydayı çar- (3x 1) panlarına ayıralım. Sadeleştirelim. (3x 1)(x + ) (3x 1) 7) f(x, y) Sadeleştirelim. 8) f(x, y) x + 3x 1 4x 9 10x + 13x 3 (x 3)(x + 3) (x + 3)(5x 1) (x 3) (x + 3) (x + 3)(5x 1) x 3 5x 1 x 5 + 1 x 3x 5 (x + 1)(x 4 x 3 + x x + 1) (x 5) (x + 1) x4 x 3 + x x + 1 x 5 9) f(x, y) x 7 + 1 x 7 x 6 + x 5 x 4 + x 3 x + x
68 7. POLİNOMLAR VE GRAFİKLERİ (x + 1) (x 6 x 5 + x 4 x 3 + x x + 1) x(x 6 x 5 + x 4 x 3 + x x + 1) x + 1 x 1 + 1 x Polinom Denklemleri Aşağıdaki gibi ifade edilen denklemlere polinom denklemi denir: a n x n + a n 1 x n 1 + + a x + a 1 x + a 0 0 Örneğin, 3x + 4x 7 0 bir polinom denklemidir. Burada x, denklemin değişkeni ve bilinmeyenidir. Denklemin x e göre çözümüne denklemin kökleri denir. Polinom Denklemlerinin Kökleri Bir polinom denklemini sağlayan değişkenin aldığı değerlere polinomun kökleri denir. Köklerin sayısı polinom denkleminin derecesine eşit ya da daha azdır.. dereceden bir denklemin en fazla kökü olabilir. Örneğin, (x a)(x b)(x c) 0 polinom denkleminin kökleri a, b ve c olur. Bu kökler aşağıdaki eşitliklerin ayrı ayrı çözümünden elde edilir: x a 0 x 1 a x b 0 x b x c 0 x 3 c Örnek: x x + 1 0 polinom denkleminin köklerini bulalım. Çözüm: x x + 1 0 ifadesi çarpanlarına ayrılabilir. x x + 1 (x 1) (x 1)(x 1) 0 denkleminin birbirine eşit iki kökü vardır: x 1 0 Denklemin kökleri: x 1 x 1 bulunur.
POLİNOM DENKLEMLERİ 69 Örnek: x 3 + 7x + x 10 0 polinom denkleminin 3 farklı gerçel sayı kökünün (çözümünün) olduğu bilinmektedir. Bu köklerden bir tanesi -4 ise, x in diğer çözümünü bulalım. Çözüm: x 3 + 7x + x 10 polinomunun 3 tane gerçel sayı çözümü olduğu verildiği halde çarpanlarına ayırmak kolay değildir. Polinom denklemin 3 gerçel sayı kökü olduğu için aşağıdaki gibi çarpanlarına ayırılabilir: 1. kök x 1 4. ve 3. kökler x a ve x 3 b olsun. (x + 4)(x a)(x b) x 3 + 7x + x 10 0 Eşitliğin her iki tarafını (x a)(x b) x3 + 7x + x 10 x + 4 x + 4 ile bölelim. Polinomun bölüm işlemi aşağıdaki gibi yapılır. x 3 + 7x + x 40 x + 4 x 3 + 4x x + 3x 10 3x + x 40 3x + 1x 10x 40 10x 40 Bölüm işleminden, 0 Kalansız bölüm (x a)(x b) x + 3x 10 olduğu görülür. Polinomu çarpanlarına ayıralım. (x a)(x b) (x + 5)(x ) Polinomun kökleri: x + 5 0 x 5 ve x 0 x 3 İkinci Dereceden (Kuadratik) Denklemlerin Çözümü İkinci dereceden bir polinom denklemi aşağıdaki genel ifade ile gösterilebilir: ax + bx + c 0 İkinci dereceden denkleme kuadratik denklem de denir. Denklemin çözümü olan x 1 ve x kökleri aşağıdaki formül ile hesaplanır. x 1, b ± b 4ac a Yukarıdaki formül,. dereceden polinom denkleminin çarpanlara ayrılmasının güç olduğu durumlarda, örneğin köklerin irrasyonel ya da sanal sayılar olması durumunda gereklidir.
70 7. POLİNOMLAR VE GRAFİKLERİ Formüldeki b 4ac ifadesine Diskriminant ya da Delta ( ) denir. b 4ac x 1 ve x kökleri aşağıdaki gibi de ifade edilebilir. x 1 b + a ve x b a Örnek: x + x + 1 0 denkleminin köklerini bulalım. Çözüm:. dereceden denklem çözüm formülünde: a 1, b 1 ve c 1 olduğu görülür. Bu değerleri formüle yerleştirelim. x 1, Kökler: b ± b 4ac a 1 ± (1) 4 1 1 1 1 ± 3 1 ± i 3 1 ± i 3 x 1 1 3 + i i 1 olduğunu hatırlayalım. ve x 1 3 i Denklemin köklerinin (çözümünün) sanal ve irrasyonel sayılar olduğu görülür. Köklerin sanal olmasının nedeni diskriminantın ( ) negatif olmasıdır. Örnek: x + bx + 9 0 denkleminin çözümünün gerçel sayılar olması için b nin tanım aralığı ne olmalıdır? Çözüm: x 1, b ± b 4ac çözüm formülünde, x 1 ve x köklerinin sanal olmaması a için karekök içindeki b 4ac diskriminant ifadesinin sıfıra eşit ya da sıfırdan büyük olması gerekir. b 4ac 0 x + bx + 9 0 denkleminden a 1 ve c 9 olduğu görülür. Bu değerleri yukarıdaki diskriminant eşitsizliğine yerleştirelim.
POLİNOM DENKLEMLERİ 71 b 4 1 9 0 b 36 b 6 ya da b 6 b nin tanım aralığı: b (, 6] [6, ) olur. Polinom Fonksiyonlarının Grafikleri Polinom denklemlerinin köklerini hesaplamayı öğrendiğimiz için artık polinom fonksiyonlarının grafiklerini çizmek daha kolay olacaktır. Bir polinomun kökleri, fonksiyonunun, x-y düzlemindeki grafiğinin x eksenini kesim noktalarıdır. Not: Bir polinom fonksiyonunun grafiği x eksenini kesmiyorsa, polinomun kökleri sanal sayılardır. f(x) f(x) x + x + 1 x + x + 1 polinom fonksiyonun köklerinin sanal olduğunu önceki örnekten biliyoruz. Bu yüzden, grafik x eksenini kesmemektedir. x Tek değişkenli,. dereceden bir polinom fonksiyonunun x-y düzleminde oluşturduğu eğriye parabol denir. Yukarıdaki şekilde görülen eğri bir paraboldür. Örnek: x + 3x + 4 ve x 3x 4 parabollerinin köklerini bulalım ve x-y düzleminde grafiklerini çizelim. Çözüm: f(x) x + 3x + 4 ve g(x) x 3x 4 parabol fonksiyonlarının çarpanlarına ayrılabildiği görülmektedir. f(x) g(x) olduğuna dikkat edelim. f(x) x + 3x + 4 (x 4)(x + 1) ve g(x) x 3x 4 (x 4)(x + 1) fonksiyonlarının çarpanlarından köklerinin aynı olduğu görülür. Şimdi tek bir fonksiyonu kullanarak köklerini bulalım.
7 7. POLİNOMLAR VE GRAFİKLERİ (x 4)(x + 1) 0 x 4 0 x + 1 0 x 1 4 x 1 kökleri bulunur. (4, 0) ve (-1,0) noktaları, her iki polinom fonksiyonunun x eksenini kestiği noktalardır. f(x) parabolünün y eksenini kestiği noktada x bileşeni 0 dır. O halde, f(0) 0 + 3 0 + 4 4 (0, 4) noktası bulunur. Aynı zamanda, g(x) parabolünün y eksenini kestiği nokta g(0) dır. g(0) 0 3 4 4 (0, 4) noktası bulunur. (4, 0), ( 1, 0), (0, 4) ve (0, 4) noktalarını kullanarak parabolleri çizebiliriz. y 6.5 4 1 1.5 4 x + 3x + 4 ve x 3x 4 polinom fonksiyonlarının kökleri olan 4 ve -1, x eksenini kestikleri noktalardır. g(x) x 3x 4 x f(x) x + 3x + 4 4 V 1 6.5 V Şekildeki parabollerin her ikisi de tepe (V 1 ) ve çukur (V ) noktaları arasında çizilen kesik gri çizgiye göre simetriktirler. Bu çizginin x eksenini kestiği nokta polinomların köklerinin orta noktasıdır.
POLİNOM DENKLEMLERİ 73 (-1, 0) ve (4, 0) noktalarının orta noktası ( 1 + 4, ) 0 + 0 (1.5, 0) olur. f(x) fonksiyonunun V 1 tepe noktasının koordinatlarını hesaplayalım. V 1 : f(1.5) (1.5) + 3 1.5 + 4.5 + 4.5 + 4 6.5 V 1 (1.5, 6.5) V 1 noktasına fonksiyonun maksimum noktası denir. g(x) fonksiyonunun V çukur noktasının koordinatlarını hesaplayalım. V : g(1.5) (1.5) 3 1.5 4.5 4.5 4 6.5 V (1.5, 6.5) noktasına fonksiyonun minimum noktası denir. V Örnek: f(x) 1 /(x + )(x 1)(x 3) fonksiyonun x-y düzleminde çizelim ve fonksiyonun maksimum ve minimum noktalarını grafikte işaretliyelim. Çözüm: f(x) 1 /(x + )(x 1)(x 3) fonksiyonunun kökleri -, 1 ve 3 tür, grafiğin x eksenini kestiği noktalar da (-, 0), (1, 0) ve (3, 0) olur. Fonksiyon grafiğinin y eksenini kestiği nokta: f(0) 1 /(0+)(0 1)(0 3) 3 bulunur. 3. ve daha yüksek dereceden polinomlarda, parabollerde varolan simetri yoktur. Bu yüzden, köklerin orta noktaları polinomun maksimum ve minimum noktalarına denk gelmez. y Maksimum 3 1 3 f(x) 1 /(x + )(x 1)(x 3) x Minimum f(x) 1 /(x + )(x 1)(x 3) polinom fonksiyonunun kökleri olan -, 1 ve 3, x eksenini kestiği noktalardır. Fonksiyonun derecesi 3, toplam tepe ve çukur sayısı dir. 3. ve daha yüksek dereceden polinomlarda maksimum ve minimum noktalarının hesaplanmasında türev kullanılır. Bu konu, kitabın Fonksiyonlar II ve Türev bölüm başlıkları altında anlatılmıştır.
74 7. POLİNOMLAR VE GRAFİKLERİ Örnekler: Aşağıda çeşitli derecelerden polinomlar ve grafikleri verilmiştir. y f(x) 1 /10(x + 3)(x + 1)x(x 3) 4. dereceden polinom y f(x) 1 /30(x + 5)(x + )(x + 1)(x 1)(x 3) x x 5. dereceden polinom
POLİNOM DENKLEMLERİ 75 y f(x) 1 /50(x + 3)(x + )(x + 1)(x 1)(x 3)(x 4) y 6. dereceden polinom f(x) 1 /00(x + 4) (x + 1) (x 1)(x 3)(x 4) x x 7. dereceden polinom
8. Permütasyon ve Kombinasyon Permütasyon Permütasyon bir küme elemanlarının değişik şekillerde, elemanların sıralamasını gözetmek suretiyle dizilmesidir. Örnek: A {, 7, 6} bir sayılar kümesi olsun. Sayılar üçlü gruplar halinde 76, 67, 67, 67, 76, 76 olmak üzere 6 değişik şekilde dizilebilir. n Faktoryel, n!!, faktoryel sembolüdür. Yukarıdaki A kümesi örneğinde permütasyon 3! 3 1 6 olarak hesaplanır. n adet elemanı olan bir küme, n elemanlı gruplar halinde n! farklı şekilde dizilebilir: n! n(n 1)(n )...3 1 n! P (n, n) n! (n n)! n! 0! n! 1 n! Not: 0! 1 olduğu görülür. n r olmak şartıyla, n elemanlı bir kümeden seçilen r elemanlı permütasyonların toplamı aşağıdaki formül ile gösterilir: ( ) n n! P (n, r) n (n 1) (n )... (n r + 1) n r (n r)! }{{} (n r) tane Örnek: A {x, y, z, u, v} kümesi verilsin. 5 elemanlı A kümesinin elemanı seçilerek yapılan bir dizimin sonucu, P (5, ) 5! (5 )! 5! 3! 5 4 3 1 3 1 tane {}}{ 5 4 0 değişik dizim (permütasyon) bulunur. 76
KOMBİNASYON 77 Şimdi 0 adet değişik dizim olduğunu permütasyon kullanmadan kontrol edelim. A {x, y, z, u, v} kümesi için elemanlı olası dizimler: xy yx zx ux vx xz yz zy uy vy xu yu zu uz vz xv yv zv uv vu 4 + 4 + 4 + 4 + 4 0 Diziliş sayısının permütasyon kullanarak çok daha kolay elde edildiği görülmektedir. Kombinasyon Kombinasyon bir kümenin elemanlarının sıralama gözetmeksizin sıralanmasıdır. n adet elemanı olan bir kümeden seçilen r adet eleman kullanılarak oluşturulan farklı grupların sayısı aşağıdaki formül ile hesaplanır: C(n, r) n (n 1) (n )... (n r+1) r (r 1) (r )... 1 Formülün payında r adet çarpan vardır ve paydasındaki r (r 1) (r )... 1 r! olur. Ayrıca, C(n, r) C(n, n r) olur. Örnek: m Z + Çözüm: C(n, r) C(n, n r) C(m, 9) C(m, m 9) C(m, m 9) C(m, 114) için C(m, 9) C(m, 114) ise m nin değeri nedir? formülünden: elde edilir. Buradan, olur. Demek ki, m 9 114 m 9 + 114 13 Örnek: Permütasyon örneğini kombinasyon için tekrarlayım ve aradaki farkı görelim. A {x, y, z, u, v} kümesi verisin. 5 elemanlı A kümesinin elemanlı seçilerek yapılan bir gruplamanın sonucunda, C(5, ) 5 4 1 0 10 adet grup elde edilir. Şimdi 10 adet grup olduğunu kombinasyon kullanmadan kontrol edelim. elemanlı olası gruplar:
78 8. PERMÜTASYON VE KOMBINASYON xy yz zu uv xz yu zv xu yv xv 4 + 3 + + 1 10 grup elde edilir. Kombinasyonun permütasyondan farkı sıralamanın önemli olmamasıdır. Bu yüzden 0 değil, 10 grup oluştuğu görülmektedir. Örnek: Bir lokantanın fiks menüsü çeşit sıcak yemek ve 1 çeşit salatadan oluşmaktadır. Lokantada 6 çeşit sıcak yemek ve 4 çeşit salata vardır. Buna göre fiks menüde kaç çeşit yemek seçeneği vardır? Çözüm: Fiks menüde hem sıcak hem de salata vardır. Burada sıcak yemeği ya da salatayı seçme sırası önemli olmadığı için bu bir kombinasyon problemidir. Fiks menüdeki sıcak yemek seçenekleri C(6, ) 6 5 1 15 Fiks menüdeki salata seçenekleri C(4, 1) 4 1 4 Fiks menüdeki yemek seçenekleri Sıcak VE Salata Sıcak Salata 15 4 60 seçenek
9. Olasılık Olasılığın Tanımı Olasılık, bir olayın ya da birbirleri ile bağlantılı ya da bağlantısız birkaç olayın meydana gelebilme oranı ya da yüzdesidir. Bu oran P ile ifade edilirse değeri, 0 P 1 aralığındadır. Örnek: 5 kartlık bir iskambil destesinden 1 adet kart çekilecektir. Bu kartın bir sinekli olma olasılığı nedir? Çözüm: İskambil destesinde 13 adet sinekli kart vardır. O halde çekilen kartın sinekli olma olasılığı: P sinekli kart sayısı toplam kart sayısı 13 5 1 4 %5 P1 Durumları Meydana gelme olasılığı kesin olan olaylarda olasılık, P1 olur. P0 Durumları Meydana gelmesi olasılığı hiç bulunmayan olaylarda olasılık, P0 olur. Olasılık Hesaplarında Mantık İfadelerinin Kullanılması Eğer A bir olay ise P(A), bu A olayının meydana gelme olasılığını ifade eder. Olasılık hesaplamalarında ya da, + anlamına, de ve, anlamına gelmektedir. P(A): A olayının olasılığı P(B): B olayının olasılığı P(A B): A ya da B olayının meydana gelme olasılığı P(A B): A ve B (hem A hem de B) olaylarının meydana gelme olasılığı P (A B) P (A) P (B) P (A) P (B) 79
80 9. OLASILIK Olasılıkta Kategoriler Olasılık problemleri aşağıdaki başlıklar altında incelenebilir: Bağımsız (Ayrık) Olaylarda Olasılık Birbirini Dışlayan, Bağlantısız Olaylarda Olasılık Birbirini Dışlayan, Bağlantılı Olaylarda Olasılık Koşullu Olaylarda Olasılık Tersi Olasılık Bağımsız (Ayrık) Olaylarda Olasılık A ve B olayları birbirinden bağımsız iki olay ise, bu her iki olayın meydana gelme olasılığı, P (A ve B) P (A B) P (A) P (B) P (A) P (B) olur. Birbirinden bağımsız olaylarda, bu olayların meydana gelme olasılıklarının çarpımına eşittir. Örnek: adet tavla zarı atıldığında iki zarın da 3 gelme olasılığı nedir? Çözüm: Zarın {1,, 3, 4, 5, 6} sayılarını gösteren toplam 6 yüzü vardır. Bu yüzden 6 yüzden sadece bir tanesi 3 sayısını gösterir. Bu iki zarın da 3 gelme olasılığı birbirinden bağımsızdır. P (A) Aynı şekilde ikinci zarın 3 gelme olasılığı da, zarın 3 olan yüzlerinin sayısı zarın toplam yüzlerinin sayısı 1 6 olur. P (B) 1 6 olur. Bu iki olayın meydana gelme olasılığı birbirinden bağımsız olduğu için, P (A ve B) P (A B) P (A) P (B) formülünden 1 6 1 6 1 36 Birbirini Dışlayan, Bağlantısız Olaylarda Olasılık Birbiri ile hiçbir ortak yanı olmayan A ve B olayları verilsin. Tek bir seferde ya A olayı ya da B olayı meydana gelebiliyorsa yani A ve B olayları aynı anda meydana gelemiyorsa, tek seferde A ya da B olayının meydana gelme olasılığı: P(A ya da B) P(A B) P(A) + P(B), burada A B Örnek: Bir zar atıldığında, bu zarın 4 ya da 5 gelme olasılığı nedir? Çözüm: Zar atıldığında 4 gelmesi ile 5 gelmesi olayları birbirinden bağımsızdır ve aralarında hiçbir ilişki yoktur.
OLASILIKTA KATEGORİLER 81 Zarın 4 gelme olasılığı P 4 1 6 olur. Zarın 5 gelme olasılığı P 5 1 6 olur. Zarın 4 ya da 5 gelme olasılığı: P 4 ya da P 5 P 4 P 5 P 4 + P 5 çünkü (P 4 P 5 ) 1 6 + 1 6 1 3 Hatırlatma: Kümeler konusundan hatırlarsak, iki kümenin (A ve B kümeleri) birleşimi hesaplanırken kesişim alanı (taralı alan) iki defa sayılmaz. Bu yüzden, iki kümenin ortak elemanı olmadığı zaman, birleşimleri aşağıdaki formülle hesaplanır: A B A + B olur. Burada A B Birbirini Dışlayan, Bağlantılı Olaylarda Olasılık Birbiri ile ortak elemanlar taşıyan iki kümeden (A ve B olayları) sadece birisi ya da diğeri meydana gelebiliyorsa, P(A ya da B) P(A B) P(A) P(B) P(A B) olur. Örnek: 5 kartlık bir iskambil destesinden tek kart bir çekilecektir. Bu kartın maça ya da bir 3 lü olma olasılığı nedir? Çözüm: 1) Destede 13 adet maça kartı vardır. Çekilen kartın maça olma olasılığı P 1 olsun. P 1 13 5 1 4 ) Destede 4 adet 3 lü kart vardır. Çekilen kartın 3 lü olma olasılığı P olsun. P 4 5 1 13 3) Destede 1 kart hem 3 lü hem de maçadır. Bu maça 3 lüsü kartın çekilme olasılığı: O halde, P 1 P 1 5 P P 1 P P 1 + P (P 1 P ) 13 5 + 4 5 1 5 16 5 4 13
8 9. OLASILIK Koşullu Olaylarda Olasılık Ardarda oluşan olaylar birbiri ile bağlantılı ise, ilk olayın meydana gelmesi bunu takip eden olayların olasılığını etkiler. Örnek: Bir torbada 5 adet kırmızı bilye, 4 adet sarı bilye vardır. Torbadan ardarda bilye çekilecektir. İki bilyenin de kırmızı olma olasılığı nedir? Çözüm: 1) P 1 : Çekilen birinci bilyenin kırmızı olma olasılığı 5 9 ) P : Birinci bilye çekildikten sonra toplam 8 bilye kalmış, bunların 4 ü kırmızıdır. İkinci çekilen bilyenin kırmızı olma olasılığı 4 8 İki bilyenin de kırmızı olma olasılığı P 1 P ve 5 4 9 8 5 18 Örnek: 5 kartlık bir iskambil destesinden kart çekilecektir. Çekilen kartlardan birisinin maça ası, diğerinin de bir sinek kartı olma olasılığı nedir? Çözüm: Durum 1 (P 1 ): Çekilen ilk kartın maça ası gelme olasılığı 1 5 P as,1 İlk kart çekildikten sonra 51 kart kalmıştır. olasılığı 13 51 P sinek, P 1 P as,1 P sinek, Çekilen ikinci kartın sinek kartı gelme P as,1 P sinek, 1 5 13 51 1 04 Durum (P ): Durum 1 in aksine, çekilen ilk kart sinek, ikinci kart maça ası olabilir. Bu durumda, P sinek,1 13 5 ve P as, 1 51 olur.
OLASILIKTA KATEGORİLER 83 P P sinek,1 P as, 13 5 1 51 1 04 Durum 1 ya da Durum (P): O halde, bu iki kartın çekilmesinde ya Durum 1 ya da (, +) Durum deki olay gerçekleşir. P P 1 P ya da P 1 + P 1 04 1 10 + Tersi Olasılık 1 04 Bir olayın meydana gelmeme olasılığı, başka bir olayın meydana gelme olasılığına bağlı olabilir. Bu olasılık aşağıdaki formül ile ifade edilir: P (A ) 1 P (A) Örnek: Bir torbada 5 mavi, 7 sarı bilye vardır. Torbadan 3 bilye çekilecektir. Çekilen bilyelerin en fazla tanesinin aynı renkten olma olasılığı nedir? Çözüm: En fazla bilyenin aynı renkten olma olayının tersi, çekilen 3 bilyenin de aynı renkte olmasıdır. Çekilen 3 bilyenin de aynı renkten olma olasılığını hesaplayıp, 1 den çıkarırsak sonucu buluruz. Çekilen 3 bilyenin de aynı renkte olma olasılığı P olsun. Torbada toplam 1 bilye vardır. Durum 1: Ardarda çekilen 3 bilyenin de mavi olma olasılığı P 1 olsun. P 1 5 1 4 11 3 10 1 Durum : Ardarda çekilen 3 bilyenin de sarı olma olasılığı P olsun. P 7 1 6 11 5 10 7 44
84 9. OLASILIK P P 1 ya da P P 1 P P 1 + P 1 + 7 44 9 44 En fazla bilyenin aynı renkten olma olasılığı 1 P 1 9 44 35 44
10. Logaritma Logaritmanın Tanımı Logaritma sayıları farklı bir biçimde ifade etmekte kullanılan özel bir fonksiyondur. Logaritmanın Uygulamaları Logaritma, müzik (nota aralıkları), kimya (ph, çözelti molaritesi), fizik (spektroskopla frekans ölçümleri), elektrik mühendisliği (Nyquist şemaları) uygulamalarında çok büyük ya da çok küçük sayılarla ifade edilen ölçümlerdeki hassasiyeti arttırmak amacı ile kullanılır. Örnek: 3 14 sayısının 10 tabanına göre logaritması aşağıdaki gibi ifade edilir: log 10 3 14 ya da log 3 14 Not: Taban 10 olduğunda yazılması gerekmez. Örnek: 5.73 sayısının 3 tabanına göre logaritması log 3 5.73 olarak ifade edilir. Doğal Logaritma Doğal logaritma, Euler sabiti olan e tabanına göre logaritmadır ve ln ile ifade edilir. Euler sabiti e irrasyonel bir sayı olup, yaklaşık değeri.71 dir. Sıfırdan büyük pozitif bir x gerçel sayısının doğal logaritması aşağıdaki gibi ifade edilir. log e x ln x ln, Elen diye okunur. Logaritma Fonksiyonun Özellikleri 1) b R + olsun. log b 0 yani sıfırın logaritması eksi sonsuza yaklaşır. ) b R + ve a R olsun. a sayısı negatif olduğu için log b a tanımsızdır. 3) a, b, c R + olsun. log b a log a log b log c a log c b 4) a, b, c R + olsun. log c a + log c b log c (a b) 85
86 10. LOGARİTMA 5) a, b, c R + olsun. log c a log c b log c a b 6) a, b R + ve n R olsun. log b a n n log b a 7) a, b R + ve n R olsun. log b n a (log b a) n 8) x, y, b R + ve n R olsun. log b ( x y )n n log b x y n[log b x log b y] 9) log 10 log 10 10 1 ve ln e ln e e 1 10) b R + olsun. log b 1 0 Örnekler: 1) log 4 16 log 4 4 log 4 4 ) log 4 0.5 log 4 1 4 log 4 4 1 1 log 0.5 3) log 4 0.5 log 4 4) log sin x tan x sin x log ( log sin x log log log log cos x ) 5) log 7 81 log 3 3 3 4 4 3 log 3 3 4 3 1 log sin x log cos x log sin x log sin x log cos x log sin x log sin x 1 log sin x cos x 6) log x 1 x log x 1 log x x 0 log x x 1 7) log x 1 x log x x log x x 1 Üssü Logaritma Olan İfadeler 1) b log b a a formülünün doğru olduğunu ispatlayalım. Eşitliğin her iki tarafının da log b (b log b a ) log b a b tabanına göre logaritmasını log b b log b a log b a alırsak eşitlik bozulmaz. (log b a) log b b log b a (log b a) log b b }{{} log b a (log b a) 1 log b a log b a log b a İspatlanmış olur.
LOGARİTMA GRAFİKLERİ 87 ) e ln a a 3) b n log b a b log b an a n Örnek: 8 log 7 ifadesini hesaplayalım. Çözüm: 8 log 7 ( 3 ) log 7 3 log 7 log 73 7 3 7 7 7 343 Örnek: 3 log 7 5 ifadesini hesaplayım. Çözüm: 3 log 7 5 3 log (3 3 ) 5 3 1 3 log 3 5 3 log 3 5 1 3 5 1 3 3 5 Logaritma Grafikleri y ln x fonksiyonunu x-y kartezyen koordinat sisteminde çizelim. Grafiği çizmek için birkaç nokta belirleyelim. x 1 için, y ln x ln 1 0 (1, 0) noktası x e(.71) için, y ln e 1 (e, 1) noktası x 1 e 3 ( 0.05) için, y ln e 3 3 (e 3, 3) noktası x 0 için, y ln 0 (0, ) noktası
88 10. LOGARİTMA Benzer şekilde y log x fonksiyonunun grafiğini çizmek için grafik üzerinde birkaç tane nokta belirleyelim. x 1 için, y log x log 1 0 (1, 0) noktası x 10 için, y log 10 1 (10, 1) noktası x 0.001 için, y log 0.001 3 (0.001, -3) noktası x 0 için, y log 0 (0, ) noktası y ln x fonksiyonunun grafiği y log x fonksiyonunun grafiği
11. Geometri Lise geometrisi, belli bir uzunluğu olan şekilsel objelerin alan, hacim, açı, çevre hesabı, simetri, benzerlik, paralellik, boyut, konum gibi özelliklerini tanımlar. Düzlemde Doğrular 1. Aynı düzlemde kesişen iki doğrunun oluşturduğu açıların karşılıklı olanları eşittir. Düzlemde kesişen doğrular. Aynı düzlemde bulunan ve birbirine paralel olan doğrular kesişmezler. Paralel iki doğru, 3. bir doğru ile kesiştiğinde oluşan iç açıların toplamı 180 (derece) dir. doğru 1 doğru 3 doğru doğru 3 doğru 1 // doğru 89
90 11. GEOMETRİ 3. Aynı düzlemdeki iki doğruyu üçüncü bir doğru kestiğinde oluşan iki iç açının toplamı 180 den küçükse, bu iki doğru uzatıldığında kesişerek üçüncü bir iç açı oluştururlar. 4. Üçgenin iç açılarının toplamı 180 dir. Bu yukarıdaki 3 numaralı tanımla ispatlanmıştır. Işın Işın bir ucu sınırlı olan doğruya denir. Diğer uç sonsuza doğru uzanan noktalar kümesidir. Geometride Nesneler Geometri konu başlığı altında aşağıdaki -boyutlu ve 3-boyutlu nesneler anlatılacaktır. -Boyutlu Uzayda Geometrik Nesneler: Üçgenler Dörtgenler ve diğer çokgenler Paralelkenar
GEOMETRİDE NESNELER 91 Yamuk Çemberler Elips 3-Boyutlu Uzayda Geometrik Nesneler: Silindir Piramid Küre Elipsoid Dikdörtgenler Prizması Koni Üçgen boyutlu Öklid düzleminde 3 kenarı, 3 iç açısı olan geometrik şekildir. Köşeleri A, B ve C olan bir üçgen ABC olarak ifade edilir. ABC üçgeninin iç açılarının toplamı 180 dir. n tane kenarı olan bir çokgenin iç açılarının toplamı aşağıdaki genel formül ile hesaplanır: 180(n ) ABC üçgeninin bir dış açısı olan BCD, A ve B açılarının toplamına eşittir. Üçgenle ile ilgili tanımlar AB: A ve B noktaları arasına çizilen doğruyu ifade eder. ABC: ABC üçgeni AB : A ve B noktaları arasındaki mesafe, uzunluk ABC: ABC iç açısı ya da β ya da B açısı ya da AB kenarının karşısındaki açı.
9 11. GEOMETRİ Üçgende İç Açılar ve Kenarlar Arasındaki İlişki Şekildeki ABC üçgeninin kenarları arasındaki ilişki aşağıdaki eşitsizlikle verilir: AB < BC < AC Şimdi de bu kenarların karşısındaki açıların arasındaki ilişkiye bakalım: C < A < B Kenar uzunlukları ile bu kenarların karşısındaki iç açı büyüklükleri arasında doğrudan bir ilişki olduğu görülür. İç Açılarına Göre Üçgen Çeşitleri Yukarıdaki üçgenlerde en geniş açının karşısındaki kenar c ise, üçgenin çeşidine göre, diğer a ve b kenarları arasındaki ilişki yukarıda verildiği gibidir.
GEOMETRİDE NESNELER 93 İkizkenar ve Eşkenar Üçgenler İkizkenar üçgende iki kenar ve karşılarındaki açılar eşittir. Dik Açılı Üçgenler ve Pisagor Teoremi AB AC C B (ya da ACB ABC) Eşkenar üçgende 3 kenar eşittir. İç açılar da eşit ve 60 dir. AB AC BC A B C 60 Dik açılı üçgende Pisagor Teoremi aşağıdaki formülle ifade edilir: a + b c Burada c kenarı, dik açının karşısında bulunan, hipotenüs denilen kenardır. Hipotenüs dik açılı üçgenlerde en uzun kenardır, dik açı da en büyük açıdır. Tamsayı kenarları olan en yaygın dik üçgenlerde kenar uzunlukları aşağıda verilmiştir:
94 11. GEOMETRİ 3-4-5 üçgeni ve katları: 6-8-10, 9-1-15,... 5-1-13 üçgeni ve katları: 10-4-6, 15-36-39,... Üçgenin Çevresi ve Alanı Şekildeki ABC üçgeninin çevresi, P üç kenar uzunluğunun toplamına eşittir. Üçgenin P AB + AC + BC alanı, tabanının ve yüksekliğinin çarpımının yarısına eşittir. Alan h AC Şekildeki XY Z üçgeninin alanı aşağıdaki formül ile ifade edilir. Alan 1 XY Z taban yükseklik 1 XY h 1 üçgeninin alanı aynı zamanda farklı taban ve yükseklikler de kullanılarak hesaplanabilir: Alan 1 XZ h 1 Y Z h 3
GEOMETRİDE NESNELER 95 Üçgenin Alanının Trigonometri Kullanılarak Hesaplanması Alan 1 cb sin α 1 ac sin β Üçgenlerde Kosinüs ve Sinüs Kuralları Trigonometri konu başlığı altında anlatılmaktadır. Üçgende Açıortay ve Kenarortaylar 1 ab sin γ Bir üçgenin köşesinden çizilen ve iç açılarını iki eşit parçaya bölen çizgiye açıortay denir. Şekildeki ABC üçgenindeki A açısının açıortayı AX, B açısının açıortayı BY, C açısının açıortayı CZ olur. Üçgenin üç açıortayının kesiştiği görülmektedir. Bir üçgende açıortayların kesişim noktası, üçgenin içine teğet çizilen dairenin merkezidir.
96 11. GEOMETRİ Bir üçgenin köşelerinden kenarlarına çizilen ve kenarlarını iki eşit parçaya bölen çizgiye kenarortay denir. Kenarortaylar birbirini 1 oranında keser. Yukarıdaki ABC üçgeninde bu oran yandaki gibidir: Üçgende Yükseklikler Kenarortayların kesiştiği nokta üçgenin ağırlık merkezidir. OX OA OY OB OZ OC 1 Bir üçgenin üç köşesinden geçen bir dairenin merkezi, üçgenin kenarlarını iki eşit parçaya bölen dik çizgilerin kesişim noktasıdır.
GEOMETRİDE NESNELER 97 Bir üçgenin herbir kenarına çizilen yükseklikler kesişir. Yukarıdaki ABC üçgeni geniş açılı olduğu için, 3 köşesinden çizilen yükseklikleri üçgenin dışında kesişir. XY Z üçgeni dar açılı olduğu için, 3 köşesinden çizilen yükseklikler üçgenin içinde kesişir. Eşkenar Üçgende Açıortay ve Kenarortaylar ABC eşkenar üçgeninde açıortaylar aynı zamanda kenarortaylardır ve tabanlar ile dik açı yaparlar. Burada AO ve OD uzunluklarını a cinsinden hesaplayalım. Çözüm: Dik açılı ADC üçgenine Pisagor teoremini uygulayalım. AD + DC AC AD + ( a ) a AD + a 4 AD a a a 4 AD 3 4 a AD ADC üçgeninden: 3 a AD AO + OD Kenarortay tanımından AO OD olduğundan, AD OD + OD AD 3 OD 3 AD a yı eşitliğe yerleştirelim. 3 a 3 OD OD 3 6 a
98 11. GEOMETRİ AO OD olduğundan, AO 3 3 a Üçgenlerde Benzerlik ve Eşitlik (Denklik) Üçgenlerde Benzerlik ( ) İki üçgenin benzer olabilmesi için, üçgenlerden birinin iç açılarının diğer üçgenin iç açılarına eşit olması gerekir. Benzer üçgenlerde birbirine eşit olan açıların karşılarındaki kenarların uzunlukları orantılıdır. Şekilde verilen ABC ve XY Z üçgenleri benzerdir çünkü karşılıklı açıları eşittir. Bu benzerlik aşağıdaki gibi ifade edilir:, benzerlik sembolüdür. ABC XY Z (Açı-Açı-Açı Koşulu) A X, B Y, C Z Benzer üçgenlerde kenarlar orantısından: a x b y c z İki üçgenin benzer olabilmesi için aşağıdaki koşullardan sadece bir tanesinin sağlanması yeterlidir. AAA: Açı-Açı-Açı; iki üçgenin karşılıklı iç açılarının eşit olması gerekir. KAK: Kenar-Açı-Kenar; iki üçgenin iki kenarının orantılı olması ve iki kenar arasında kalan iç açının eşit olması gerekir. KKK: Kenar-Kenar-Kenar; iki üçgenin karşılıklı 3 kenarının orantılı olması gerekir.
GEOMETRİDE NESNELER 99 Örnek: Şekilde AD 1 birim DC 3 birim ve ABD ACB verilmiştir. AB? Çözüm: Üçgenlerin benzerliğini kullanarak AB yi hesaplayalım. Şekilde görülen taralı ABD ve ACB üçgenlerinin AAA şartını sağladığı için benzer olduğunu ispatlayalım. Benzerlikte eşit olan açılar: 1. ABD ACB verilmiştir.. BAD BAC ortak açıdır. 3. ADB ABC üçgenin iç açılarının toplamı 180 olduğundan, iki açısı eşit olan iki üçgenin üçüncü iç açılarının da eşit olması gerekir. ABD üçgeni, ACB üçgenine benzer olduğundan karşılıklı kenarları orantılıdır:
100 11. GEOMETRİ AB AC AD AB BD CB ABD ACB ABD ACB ABD ACB Yukarıda verilen AB AC AD AB AD 1 ve AC değerlerini denkleme yerleştirelim. Örnek: orantısından AB yi hesaplayalım: AB 1 + 3 1 AB AB 1 4 AB AB 4 AB birim AD DC 35 cm AE 8 cm EC 4 cm BD 5 cm BC? Çözüm: AD DC olduğundan, ADC ikizkenar üçgeninde DAC ve DCA açılarının eşit olduğu görülür. BC uzunluğunu hesaplamak için üçgenlerde benzerlik özelliğini kullanalım. Şekli tekrar çizelim:
GEOMETRİDE NESNELER 101 AB EC 35 + 5 4 10 7 AC DC 8 + 4 35 10 7 Burada AB EC AC DC olduğundan, kenarlar arasında orantı olduğu görülür. Kenar-Açı-Kenar (KAK) şartı sağlanmıştır. Bu yüzden BAC ve ECD üçgenleri benzerdir. Bu iki üçgenin benzerliğinden: AB EC AC DC BC DE 10 7 DE 8 değerini denkleme yerleştirelim. BC DE 10 7 BC 8 10 7 BC 8 10 7 BC 40 cm Şekildeki ADE üçgeni ile ABC üçgeni, AAA koşulundan benzerdir. İki üçgenin kenar orantıları aşağıdaki gibidir: AD AB AE AC DE BC
10 11. GEOMETRİ Örnek: EF // BC AC 10 cm Çözüm: AF 5 cm BC 10 cm EG cm DC? 1) AAA benzerlik şartı sağlandığı için AEF ABC olur. Kenar oranlarından: AF AC EF BC 5 10 EF 10 EF 5 GF EF EG GF 5 3 cm ) AAA benzerlik şartı sağlandığı için AGF ADC olur. Kenar oranlarından: AF AC GF DC 5 10 3 DC DC 6 cm Üçgenlerde Eşitlik ( ) İki üçgende birbirine karşılıklı gelen kenarlar ve açılar eşitse, bu üçgenler eşittir. İki üçgenin eşit olabilmesi için aşağıdaki koşullardan yalnızca bir tanesinin sağlanması yeterlidir. KAK : Kenar-Açı-Kenar; iki üçgende birbirine karşılıklı gelen iki kenarın eşit olması ve bu iki kenar arasında kalan iç açıların iki üçgende eşit olması koşuludur.
GEOMETRİDE NESNELER 103 AKA : Açı-Kenar-Açı; iki üçgende birbirine karşılıklı gelen iki açının eşit olması ve bu iki açının arasında kalan kenarın eşit olması koşuludur. KKK : Kenar-Kenar-Kenar; İki üçgende birbirine karşılıklı gelen 3 kenarın da eşit olması koşuludur. AAK : Açı-Açı-Kenar; iki üçgende birbirine karşılıklı gelen iki açının eşit olması ve bu açılar arasında kalmayan bir kenarın eşit olması koşuludur. Dik Açılı Üçgenlerde Eşitlik Koşulları Hipotenüs-Kenar : İki dik açılı üçgende, hipotenüs kenarlarının eşit olması ve komşu kenarlardan birer tanesinin eşit olması koşuludur. Hipotenüs-Açı : İki dik açılı üçgende, hipotenüs kenarlarının eşit olması ve 90 den küçük açılarından bir tanesinin eşit olması koşuludur. DİKKAT! KKA (Kenar-Kenar-Açı) eşitliği iki üçgende eşitlik için yeterli koşul değildir. Örnek: AB // DE ve CE // GF AB CG cm BC 1 cm, CE 4.5 cm DF? Çözüm: Şekildeki kenar uzunluklarını ve eşit açıları belirleyelim: 1) AB // DE olduğundan, ABC GDF olur. GF 1.5 cm ) AE doğrusu BD doğrusunu kestiğinden, ACB ve DCE karşılıklı açıları eşit olur. CE // GF olduğundan, DCE DGF olur. ACB DGF 3) DGF üçgeni DCE üçgenine benzerdir çünkü AAA koşulu sağlanmıştır. O halde, kenar orantılarından: DG DC GF CE DG DG + 1.5 4.5 DG 1
104 11. GEOMETRİ Şekli tekrar çizelim: ABC F DG (AKA koşulu) 1) Açı: ABC GDF ) Kenar: BC DG 3) Açı: ACB F GD Örnek: Çözüm: ABC üçgeni, F DG üçgenine eşit olduğundan karşılıklı gelen tüm kenarları da eşittir O halde, DF BA cm olur. ABCD poligonunda, BC // AD BE CD BD, EBC açısının açı ortayıdır. AB, BF 1 BC? Üçgenlerde eşitlik özelliğini kullanarak BC yi hesaplayalım. BE BC olduğundan: DBC EBD 60 30 BC // AD olduğundan: EBC F EB 60 ABF dik üçgeninde: sin α 1 Şekli tekrar çizelim. α 30
GEOMETRİDE NESNELER 105 ABE ve BDC açılarının dik açı olduğu görülür. ABE ve BDC üçgenlerinde: Kenar: BE DC Açı: BAE DBC 30 Açı: BEA BCD 60 ABE BDC (AAK) ABE ve BDC üçgenleri eşit olduğundan, BC AE olur. BDC üçgeninde: ABE üçgeninde: BC AE cos 30 AB AE AE 3 AE AE 4 4 3 3 3 BC AE olduğundan: BC 4 3 3 Poligonlar Düz çizgilerin uç uca eklenerek kapalı bir halka oluşturması ile elde edilen şekile poligon denir. Bir poligonun kenarları ve köşeleri vardır. Örnek Poligonlar: Poligonun iç açılarının toplamı 180 (n ) formülü ile ifade edilir. Burada n poligonun kenar sayısıdır.
106 11. GEOMETRİ En çok bilinen poligonlar üçgenler, yamuklar, dörtgenler ve paralelkenarlardır. Dikdörtgen Dikdörtgenin Çevresi Dikdörtgenin çevresi P, kenar uzunluklarının toplamdır. P h + a (h + a) birim Dikdörtgenin Alanı Karşılıklı kenarları eşit uzunlukta ve 4 iç açısı dik olan dörtgendir. Dikdörtgende karşılıklı kenarlar birbirine paraleldir. İç açılarının toplamı: 180 (n ) 180(4 ) 360 Dikdörtgenin alanı birbirine eşit olmayan kenarlarının çarpımına eşittir. Alan h a birim kare ha birim Dikdörtgende Köşegen Dikdörtgende karşılıklı köşeler arasına çizilen çizgiye köşegen denir. Dikdörtgende eşit uzunlukta iki köşegen vardır. Köşegenlerin kesiştikleri nokta dikdörtgenin merkezidir. d 1 d h + a (Pisagor Teoremi)
GEOMETRİDE NESNELER 107 Kare Dört kenarı da eşit uzunlukta ve 4 iç açısı dik olan dörtgendir. Karede karşılıklı kenarlar birbirine paraleldir. Karenin Çevresi Karenin çevresi, P kenar uzunluklarının toplamıdır. P 4a birim Karenin Alanı Karenin alanı iki kenar uzunluğunun çarpımına eşittir. Alan a a a birim Karenin Köşegenleri İç açılarının toplamı 180 (n ) formülünden, 360 dir. Karede köşegenlerin uzunluğu eşittir ve kesişim noktaları karenin merkezidir. Köşegenler aynı zamanda karenin iç açılarının açı ortayıdır. Köşegenler: d 1 d a + a a (Pisagor Teoremi)
108 11. GEOMETRİ Paralelkenar Karşılıklı kenarları eşit uzunlukta ve birbirine paralel olan dörtgendir. Paralelkenarda karşılıklı köşelerin iç açıları birbirine eşittir. Şekilden: α + α + β + β 360 (α + β) 360 α + β 180 Paralelkenarın Çevresi Paralelkenarın çevresi, P kenar uzunluklarının toplamına eşittir. P a + b + a + b (a + b) birim Paralelkenarın Alanı Paralelkenarın 4 kenarı olduğu için iç açılarının toplamı 180 (n ) formülünden, 360 dir. Paralelkenarın alanı taban uzunluğu ile yüksekliğinin çarpımaına eşittir. Alan a h 1 b h Paralelkenarın alanının, üçgenin alanının iki katı olduğuna dikkat edelim. Paralelkenarın alanı trigonometri kullanarak da hesaplanabilir. Alan ab sin α ab sin β
GEOMETRİDE NESNELER 109 Yamuk(Trapezoid) Karşılıklı iki kenarı birbirine paralel olan dörtgendir. Yamuğun Çevresi Yamuğun çevresi, P kenar uzunluklarının toplamına eşittir. P a + b + c + d Yamuğun Alanı Yamuğun alanının aşağıdaki formül ile verildiğini ispatlayalım. Alan (a + b) h Yamuğun 4 kenarı olduğu için iç açılarının toplamı 180 (n ) formülünden, 360 dir. AB//CD olduğundan: α + γ 180 ve β + θ 180 ABDC yamuğunu tekrar çizelim ve ve ABC ve BCD üçgenlerine ayıralım. ABC ve BCD üçgenlerinin alanlarını ayrı ayrı hesaplayıp toplayalım. Alan( ABC) a h Alan( BCD) b h Alan(ABDC) Alan( ABC) + Alan( BCD) a h + b h (a + b) h ispatlanmış olur.
110 11. GEOMETRİ İkizkenar Yamuk İkizkenar ABDC yamuğunda AC ve BD kenar uzunlukları eşittir. AB // CD ve AC BD olduğundan, Yamuklarda Kenar Orantısı Örnek: ACD BDC α BAC ABD β α + β 180 Şekilde verilen yamuklarda kenar orantıları aşağıdaki gibidir. AE EC BF EF AB F D CD EF Yamuklarda İçler dışlar ça Yukarıdaki şekilde verilen yamuklarda AE 1 cm, ED 3 cm, AB 5 cm ve DC 13 cm ise, EF uzunluğu nedir?
GEOMETRİDE NESNELER 111 Beşgen Düzgün (Eşkenar) beşgenin 5 eşit kenarı ve 5 eşit iç açısı vardır. Beşgende iç açıların toplamı 180 (n ) formülünden, 180 (5 ) 540 dir. İç açıların herbiri α ise, α 540 108 olur. 5 Örnek: Şekildeki ABCDE eşkenar beşgeninin kenar uzunluğu cm ise, beşgenin köşelerinden geçen dairenin yarıçapı, r uzunluğunu ve AOB açısını hesaplayalım. Çözüm: ABCDE düzgün beşgeninde iç açıların herbiri 108 dir. AOB üçgeninde BAO ve ABO açıları, beşgenin iç açısının yarısı kadardır. O halde, BAO ABO 54 olur. AOB üçgeninde iç açıların toplamı 180 olduğundan: BAO + ABO + AOB 180 54 + 54 + AOB 180 AOB 7
11 11. GEOMETRİ AOB üçgenin yarısı olan OBX dik üçgeninde: cos 54 1 r Beşgenin Çevresi Beşgenin Alanı r 1 cos 54 Şekildeki eşkenar ABCDE beşgeninin çevresi, P: P AB + BC + CD + DE + EA P 5a birim olur. Düzgün bir beşgenin alanı, iç açı ortaylarının kesişimi ile oluşan 5 eşit üçgenin alanlarının toplamıdır. Beş eşit üçgen eşkenar üçgen değildir. Bu üçgenlerden AOB üçgeninin alanını hesaplayalım.
GEOMETRİDE NESNELER 113 AOB üçgeninde h yüksekliğini trigonometri kullanarak hesaplayalım: h yi yalnız bırakalım: Alan( AOB) a h tan 54 h a h a tan 54 h nin değerini kullanalım: Beşgenin alanı: Alan( AOB) 1 a h a 4 tan 54 Alan(ABCDE) 5 Alan( AOB) Alan(ABCDE) 5a tan 54 4 Örnek: Düzgün bir altıgenin kenar uzunluğu 4 cm dir. Bu altıgenin içine teğet çizilen dairenin yarıçap uzunluğu nedir? Çözüm: Düzgün bir altıgenin iç açılar toplamı 180 (n ) formülünden, 180(6 ) 70 dir. İç açıların herbiri: 70 AOX üçgeninde: tan 60 r Buradan, OAX 10 6 10 60 3 r r 3 cm Daire Belli bir merkezden eşit uzaklıkta çizilen kapalı eğriye çember ya da daire denir. Bu eşit uzaklık dairenin yarıçapıdır, r ile gösterilir.
114 11. GEOMETRİ Şekildeki dairenin merkezi O, yarıçapı da r ile ifade edilmiştir. Dairenin çapı d, yarıçapının iki katı uzunluğundadır. d r Pi Sayısı, π π sayısı, matematikte sabit ve irrasyonel bir sayıdır. π 3.141... Ayrıca π, trigonometride 180 ye eşittir. Dairenin Çevresi Dairenin çevresi P, aşağıdaki formül ile ifade edilir: P πr Dairenin etrafında bir tur 360 de tamamlanır. π 180 360 Dairenin Alanı Dairenin alanı aşağıdaki formülle ifade edilir. Alan πr
GEOMETRİDE NESNELER 115 Daire Yayı Dairenin belli bir kesitine yay denir. Şekildeki AB yayı, AB olarak ifade edilir. Şekildeki yay, bir tam dairenin 60 360 1 sına denk gelir. 6 Dairenin Teğetleri Dairede İç Açılar Bu kesitin alanı: Alan 1 6 (πr ) πr 6 1 πr Kesitin çevresi (yayın uzunluğu): P (AB ) (πr) 6 3 Dairenin üzerindeki herhangi bir noktadan geçerek daireninin dışında çizilen doğruya teğet denir. Bu noktadan dairenin merkezine çizilen doğru, teğet ile arasında dik açı oluşturur. Çemberin üzerindeki iç açılar, aynı yaya bakan merkezi açının yarısına eşittir. Ayrıca, iç açıların kirişlerinin daire yayına dokunduğu noktalar arasına çizilen kiriş, bu noktalara çizilen teğetlerle aynı açıyı yapar.
116 11. GEOMETRİ Dairede Dış Açılar Dış açı, kendisini oluşturan doğruların çemberden kestiği yayların farkının yarısına eşittir. Örnek: Çözüm: α θ β BD doğrusunun uzunluğu, çemberin çapına eşitse, BAD ve BCD açılarının ölçüsü nedir? BD doğrusu dairenin merkezinden geçtiği için, baktığı yay 180 lik bir açıdır. BAD ve BCD iç açıları, 180 lik yaya baktığı için bu açının yarısına eşittirler. BAD BCD 180 90
GEOMETRİDE NESNELER 117 Dairede Kirişler BD ve CE kirişleri, dairenin dışında bir A noktasında kesişirlerse, AD AB AE AC İspatı: Açı-Açı-Açı benzerliğinden: ABE ve ACD üçgenleri benzerdir. İki üçgendeki kenar orantısından: AB AC AE AD İçler dışlar çarpımından: AB AD AC AE AP daireye teğetse, AP AB AC
118 11. GEOMETRİ İspatı: 1. AP B ve ACP açıları ortak BP yayına baktıkları için eşittirler.. A açısı AP B ve ACP üçgenlerinin ortak açısıdır. AP Benzer üçgenlerin kenar orantısından: AC AB AP İçler dışlar çarpımından: AP AB AC Açı-Açı-Açı benzerliğinden, AP B ve ACP üçgenleri benzerdir. AP B ACP AB ve CD kirişleri dairenin içinde bir E, noktasında kesişirlerse, AE EB DE EC İspatı: 1. CAE ve BDE açıları ortak CB yayına baktıkları için eşittirler. EC Benzer üçgenlerin kenar orantısından: EB EA ED İçler dışlar çarpımından: EC ED EB EA. ECA ve EBD açıları ortak AD yayına baktıkları için eşittirler. Açı-Açı-Açı benzerliğinden, ECA ve EBD üçgenleri benzerdir. ECA EBD
GEOMETRİDE NESNELER 119 Kartezyen Koordinat Sisteminde Dairenin Denklemi x-y kartezyen koordinat sisteminde daire, aşağıdaki formül ile ifade edilir: (x a) + (y b) r Örnek: Burada (a, b), dairenin merkezinin koordinatları, r de yarıçap uzunluğudu Eğer dairenin merkezi O(0, 0) orijin noktasında ise, dairenin formülü: x + y r Şekilde verilen T (, 3 ) noktası daireye teğetse, bu dairenin formülü nedir?
10 11. GEOMETRİ Çözüm: Merkezi (-1, -1) noktası olan dairenin formülü: (x 1) + (y 1) r (x + 1) + (y + 1) r Elips T (, 3 ) noktasından dairenin merkezine çizilen doğru teğete diktir ve mesafe yarıçaptır. Yarıçap: r T O r T O T O ( 1) + ( 3 1) 9 4 (x + 1) + (y + 1) 9 4 Elips bir koninin eğik kesitinden elde edilir. Elipste F 1 ve F olmak üzere iki odak vardır. Odaklar, uzun olan asal eksenin üzerinde bulunurlar.
GEOMETRİDE NESNELER 11 Kartezyen Koordinat Sisteminde Elipsin Denklemi a > b iken a, yarı asal eksen, b de yarı yedek eksen olur. Dairenin denklemini hatırlarsak: Daire: (x x 0 ) + (y y 0 ) r (x x 0) r + (y y 0) r 1 Elipsi farklı yarıçapı olan (a ve b) bir daire gibi düşünebiliriz. Elipsin Odağı Elipsin Denklemi: x a + y b 1 Merkezi (x 0, y 0 ) noktasında bulunan elipsin denklemi: (x x 0 ) + (y y 0) 1 a b Elipste Odak: f a b Elipste Dış Merkezlik, ɛ, odak uzunluğunun asal eksene olan oranıdır. ɛ a b a Elipste Basıklık, g, asal eksen ile yedek eksen uzunluğu arasındaki farkın asal eksen uzunluğuna olan oranıdır.
1 11. GEOMETRİ g a b a 1 b a Elipsin Alanı Alan πab Burada a asal eksenin yarısı, b de yedek eksenin yarısıdır. 3 Boyutlu Geometrik Şekiller Küre Kürenin Alanı Bir kürenin dış yüzeyinin alanı aşağıdaki formülle ifade edilir. 3 boyutlu uzayda, belli bir merkezden eşit r yarıçapı uzaklığında bulunan noktalar kümesine küre denir. Alan 4πr Kürenin Hacmi Kürenin hacmi, V aşağıdaki formül ile ifade edilir. V 4 3 πr3
GEOMETRİDE NESNELER 13 Kürenin Kartezyen Koordinat Sisteminde Formülü Merkezi O(a, b, c) ve yarıçapı r olan bir kürenin denklemi aşağıdaki gibi ifade edilir: (x a) + (y b) + (z c) r Örnek: Formülü aşağıda verilen kürenin yarıçapı 13 cm ise, kürenin merkezinin koordinatları nedir? x dx + y + 4y 18 z z Çözüm: Kürenin denklemini aşağıdaki şekle sokmak için denklemi x, y ve z cinsinden çarpanlarına ayıralım: (x a) + (y b) + (z c) 13 x ax + a + y by + b + z cz + c 169 Verilen küre denklemine dönelim ve yukarıda olduğu gibi çarpanlarına ayıralım. x dx + y + 4y + z + z 18 x dx + d + y + 4y + 4 + z + z + 1 18 + d + 4 + 1 (x d) + (y + ) + (z + 1) } 133 {{ + d } 169 133 + d 169 d 36 d ±6 d nin değerini yerine koyalım: (x 6) + (y + ) + (z + 1) 13 ya da (x + 6) + (y + ) + (z + 1) 13 Kürenin Merkezi: O(6, -, -1) ya da O(-6, -, -1) olarak hesaplanır.
14 11. GEOMETRİ Koni (Huni) Dik Koninin Alanı Koninin Alanı Dairesel Tabanın Alanı + Yan Yüzeyin Alanı πr + πrl h: yükseklik r: dairenin yarıçapı l: yan yüzeyin uzunluğu l r + h (dik koni) Dik koninin yan yüzeyin alanının πrl olduğunu ispatlayalım. Bunun için yandaki şekilde görülen koninin açılımını kullanalım. Koninin tabanı r yarıçapında bir daire olduğu için, dairenin çevresi πr olur. Şekilden görüldüğü gibi bu uzunluk aynı zamanda AC yayının da uzunluğudur: P (AC) πr ABC daire kesiti, yarıçapı l olan bir dairenin α açılık bir bölümüdür. O halde AC yayının uzunluğu aynı zamanda aşağıdaki ifade ile de hesaplanabilir: P (AC) α 360 (πl)
GEOMETRİDE NESNELER 15 Yukarıdaki iki eşitlikten: Demek ki, α (πl) πr 360 α 360 r l Koninin yan yüzeyinin alanı, ABC daire kesitinin alanına Alan(ABC kesiti) α 360 (πl ) eşittir. α in değerini, kesitin alan 360 denklemine yerleştirsek: Alan(ABC kesiti) r l (πl ) Dik Koninin Hacmi Hacim 1 3 πr h Silindir Alan(ABC kesiti) πrl ispatlanmış olur. Silindir alt ve üst yüzeyleri daire olan 3 boyutlu cisimdir. Dik Silindirin Alanı Yandaki şekilde, dik bir silindirin, açıldığında bir dikdörtgen ve eşit daireden oluştuğu görülmektedir.
16 11. GEOMETRİ Alan Dairesel Taban Alanı + Dikdörtgen Yan Yüzeyinin Alanı πr + πr h Dikdörtgenin Dikdörtgenin taban uzunluğu yüksekliği Alan πr(r + h) Eğik Silindirin Alanı Alan Dairesel Taban Alanı + Paralelkenar Yan Yüzeyinin Alanı Paralelkenarın tabanı Alan πr + πr h πr, yüksekliği h dir. h lsin α yukarıdaki eşitliğe yerleştirildiğinde: Silindirin Hacmi Hacim Taban Alanı Yükseklik πr h Alan πr + πrlsin α Alan πr(r + l sin α) Yandaki şekilde, eğik bir silindirin, açıldığında bir paralelkenar ve eşit daireden oluştuğu görülmektedir. Silindirin hacminin koninin hacminin 3 katı olduğu görülür.
GEOMETRİDE NESNELER 17 Küp Kübün 6 adet kare yan yüzeyi vardır. Komşu kareler birbirine diktir. Kübün Alanı Alan 6 (Kare Yüzeyin Alanı) 6a Kübün Hacmi Hacim Taban Alanı Yükseklik a a a 3 Kübün Köşegeni Kübün 4 tane birbirine eşit uzunlukta köşegeni vardır. Bu köşegenler, yandaki şekilde AF, BE, DG ve CH uzunluklarıdır. Şekilde AF köşegeninin uzunluğunu hesaplamak istersek, ABGH karesinin köşegenini olan AG uzunluğunu ve FG kenarını kullanmamız gerekir. Burada AF G bir dik üçgendir. Pisagor teoreminden: AF F G + AG AF a + (a ) 3a AF a 3
18 11. GEOMETRİ Dikdörtgenler Prizması Dikdörtgenler prizmasının 8 köşesi ve 1 kenarı vardır. Prizmanın karşılıklı dikdörtgenleri eşittir. Komşu dikdörtgen yüzeyler birbirlerine diktir. Dikdörtgenler Prizmasının Alanı Dikdörtgenler prizmasının alanı dikdörtgen yüzeylerinin alanlarının toplamına eşittir. Alan (ab) + (bc) + (ac) (ab + bc + ac) Dikdörtgenler Prizmasının Hacmi Dikdörtgenler prizmasında hacim, herhangi bir dikdörtgen yüzeyinin alanı ile bu yüzeye dik olan kenar uzunluğunun çarpıma eşittir. Yukarıdaki şekilde, dikdörtgen taban yüzeyin alanı ab ve bu tabana dik olan kenar c uzunluğu olur. O halde, Hacim abc Dikdörtgenler Prizmasının Köşegeni Dikdörtgenler prizmasının 4 tane birbirine eşit uzunlukta köşegeni vardır. Bu köşegenler, yandaki şekilde AF, BE, DG ve CH uzunluklarıdır. Şekilde AF köşegeninin uzunluğunu hesaplamak istersek, ABGH dikdörtgeninin köşegenini olan AG uzunluğunu ve FG kenarını kullanmamız gerekir. Burada AF G bir dik üçgendir. Pisagor teoreminden: AF AG + F G AF (a + b ) + c a + b + c AF a + b + c
GEOMETRİDE NESNELER 19 Piramid Düzgün Üçgen Piramidin Alanı Düzgün üçgen piramidin 4 tane eşkenar üçgen yüzeyi vardır. O halde, düzgün üçgen piramidin alanı, tek bir eşkenar üçgenin alanının 4 ile çarpımına eşittir. Yandaki şekilde görülen h p yüksekliği piramidin yüksekliğidir. Önce tek bir eşkenar üçgenin alanını hesaplamamız gerekir. Düzgün üçgen piramidin 4 eşkenar üçgen yüzeylerinden biri yandaki şekilde görülmektedir. Eşkenar üçgenin alanını hesaplamak için üçgenin yüksekliğini bulmamız gerekir. Pisagor Teoreminden: h + ( a ) a h a a 4 3 h a
130 11. GEOMETRİ Üçgenin alanı: Alan 1 a h 1 3 a a 3 4 a Piramidin alanı: Alan p 4 Alan 4 3 a 3 4 a Düzgün Üçgen Piramidin Hacmi Düzgün (eşkenar) üçgen piramidin hacmi, eşkenar üçgen olan taban alanının piramidin yüksekliği ile çarpımının üçte biridir. Eşkenar üçgenin alanını yukarıda hesaplamıştık. O halde, piramidin yüksekliği bulmamız gerekmektedir. Yukarıdaki şekilde eşkenar üçgen piramid ve piramidin tabanı olan eşkenar ABC üçgeni görülmektedir. AOP dik üçgeninde Pisagor Teoremini kullanarak h p hesaplanabilir. Bunun için AO uzunluğunun bilinmesi gerekir. AO uzunluğunun hesaplanması: ABC üçgeni eşkenar olduğu için AQ, BR ve CS doğruları hem açıortay, hem kenar ortay hem de üçgeninin kenarlarına diktir (yükseklik). Kenarortaylar üçgende birbirlerini 1: oranında kestiklerinden: AO OQ x olur.
GEOMETRİDE NESNELER 131 ABQ dik üçgeninde, Pisagor Teoremini uygularsak: AQ + BQ AB (3x) + ( a ) a 9x + a 4 a h p yüksekliğinin hesaplanması: x 3a 4 9 x a 3 6 AO x a 3 3 AOP dik üçgeninde, Pisagor Teoremini uygularsak: AP AO + P O Kenarların değerlerini a ( a 3 3 ) + h p denkleme yerleştirirsek: a a 3 + h p Düzgün Üçgen Piramidin Hacmi: 1 3 h p 3 a Hacim 1 3 3 4 a 6 3 a Taban Alanı Piramidin Yüksekliği 6 3 a 1 a3
13 11. GEOMETRİ Örnek: Şekildeki kare piramidin h p yüksekliğini, l ve a cinsinden hesaplayalım. Çözüm: Piramidin kare tabanının köşegen uzunluğu Pisagor Teoreminden: ABC üçgeni diktir. AC AB + BC AC a + a AC köşegeni: AC a ABCD karesinde köşegenler birbirlerini ortadan keser. AO AC a AOP dik üçgeninde Pisagor Teoremini uygularsak: AO + P O AP h p yi yalnız bırakırsak: h p ( a ) + h p l l a Kare Piramidin Hacmi Kare piramidin hacmi kare tabanın alanı ile piramid yüksekliğinin çarpımının üçte birine eşittir. Önceki örnekte kare piramidin yüksekliği h p l a olarak hesaplanmıştır. O halde, Hacim a h p 3 a 3 l a
KONİNİN KESİTLERİ: DAİRE, ELİPS, PARABOL, HİPERBOL 133 Koninin Kesitleri: Daire, Elips, Parabol, Hiperbol Dairenin ve Elipsin Grafiği Daire ve elipsin denklemleri ve kartezyen koordinat sisteminde grafiksel gösterimleri geometri bölümünde daha önceki konu başlıkları altında anlatılmıştır. Parabolün Grafiği Parabol, y x türünden. dereceden polinom fonksiyonların grafiğidir. Parabolün denklemi aşağıdaki fonksiyonlarla ifade edilir. y x y x 5 y 4x x y x 1 y x y x + x + 1
134 11. GEOMETRİ Aşağıdaki şekilde çeşitli parabollerin grafikleri görülmektedir. y y x + y x 4 y x y x 5 Hiperbolün Grafiği 4 y x 4 6 Hiperbol, y 1 türünden denklemlerle tanımlanır. Aşağıda verilen fonksiyonlar x hiperbole örnektir. y (x 4)(x 6) x y 1 3x y 1 x + 1 xy 4 y x 1 y 1 x y 1 x 3
KONİNİN KESİTLERİ: DAİRE, ELİPS, PARABOL, HİPERBOL 135 y 1 x y + y 1 x ve y 1 x hiperbolleri y 1 x y 0 y 1 y 1 x x + y 1 x y 1 x + x + x 0
1. Vektörler (Yöneyler) Vektörün Tanımı Hem büyüklüğü hem de yönü olan fiziksel varlıklara vektör denir. Hız, elektromanyetik alan ve momentum birer vektördür ancak kütle bir skalerdir çünkü yönü yoktur. AB ve BA vektörleri aşağıdaki şekildeki gibi ifade edilir. AB nin başlangıç noktası A, bitim noktası B dir. BA nın başlangıç noktası B, bitim noktası A dır. A AB B A Vektörün Gösterimleri BA Vektörün Simgesel Gösterimi Bir a vektörü 3 değişik simge ile gösterilebilir: 1) a: Koyu renk a harfi, a vektörünü ifade eder. ) a : Üzerinde ok işareti olan a harfidir. B AB BA 3) â: Şapka daha çok bileşke vektörlerinde (î, ĵ, ˆk) kullanılır. Vektörün İçerik Gösterimi n boyutlu uzayda, bir A vektörünün içeriği (bileşenleri) aşağıdaki gibi gösterilebilir: 1) Parantez içinde: A (a 1, a,... a n 1, a n ) ) Birim vektörlerin toplamı cinsinden: A a 1 î 1 + a î + + a n 1 î n 1 + a n î n 3) Satır ya da sütun vektörü olarak: A [ a1 a... a n 1 a n ] 1 n bir satır vektörüdür. 136
VEKTÖRÜN NORMU (UZUNLUĞU, BÜYÜKLÜĞÜ) 137 B b 1 b. b n 1 b n n 1 bir sütun vektörüdür. Örnek: A(1,, 5) ve B(, 3, 4) noktaları arasına çizilen AB vektörünü birim vektörler cinsinden gösterelim. Çözüm: AB vektörünün başlangıç noktası A, bitiş noktası da B dir. Bu yüzden, B noktasının x, y ve z bileşenlerinden A noktasının benzer bileşenleri çıkarılır. AB (b x a x )i + (b y a y )j + (b z a z )k ( 1)i + (3 )j + (4 5)k i + 5j k Vektörün Normu (Uzunluğu, Büyüklüğü) A aî + bĵ + cˆk vektörünün normu, A, aşağıdaki formül ile ifade edilir: A a + b + c Birim Vektör Normu (uzunluğu) 1 birim olan vektöre birim vektör denir. Normu 1 den farklı olan bir vektörün birim vektörünü elde etmek için, vektörün bütün bileşenleri vektörün büyüklüğüne bölünür: Verilen bir A vektörünün birim vektörü I A olsun. O halde, I A A formülü ile elde edilir. A Örnek: A ( 3, 4, 0) vektörünün birim vektörünü bulalım. Çözüm: Birim Vektör: ( ) A A 1 3 ( 3) + 4 + 0 ( 3, 4, 0) 5, 4 5, 0
138 1. VEKTÖRLER (YÖNEYLER) Vektörün Bileşke Vektörleri: i, j, k 3 boyutlu kartezyen sisteminde bir A vektörünün x, y ve z eksenleri üzerindeki bileşenleri sırası ile i, j, k birim vektörleri ile ifade edilir. A (a x, a y, a z ) a x i + a y j + a z k olur. i, j, k birim vektörleri sırasıyla î, ĵ, ˆk olarak da gösterilebilir. x-y-z koordinat sisteminde eksen birim vektörleri: i î (1, 0, 0) j ĵ (0, 1, 0) k ˆk (0, 0, 1) Örnek: G î + 4ĵ vektörünü, boyutlu kartezyen sisteminde birim vektör bileşenlerini göstererek çizelim. G vektörünün uzunluğunu hesaplayalım. Çözüm: G vektörünün x bileşeni -, y bileşeni 4 dür. G vektörünü, x-y düzleminde bileşke birim vektörlerini kullanarak çizelim. G y x î O 4ĵ G i + 4j G ( ) + 4 0 5 birim Örnek: F î + 3ĵ + ˆk vektörünü 3 boyutlu kartezyen sisteminde çizerek birim vektör bileşenleri yardımı ile gösterelim. Çözüm: F vektörünün x bileşeni, y bileşeni 3 ve z bileşeni 1 dir. F vektörünü x-y-z düzleminde çizelim.
VEKTÖRLERDE TEMEL İŞLEMLER 139 z 1 ˆk F (, 3, 1) x î O 3ĵ (, 3, 0) Vektörlerde Temel İşlemler 3 Vektörlerde Toplama ve Çıkarma İşlemleri A (a1, a,..., a n 1, a n ) ve B (b 1, b,..., b n 1, b n ) vektörleri toplanırken benzer bileşkeleri toplanır. Çıkarma işlemi de vektörlerin benzer bileşkelerine uygulanır. A + B (a1 + b 1, a + b,..., a n 1 + b n 1, a n + b n ) (a 1 + b 1 )i 1 + (a + b )i + + (a n 1 + b n 1 )i n 1 + (a n + b n )i n A B (a1 b 1, a b,..., a n 1 b n 1, a n b n ) (a 1 b 1 )i 1 + (a b )i + + (a n 1 b n 1 )i n 1 + (a n b n )i n Aşağıdaki şekilde g ve h vektörlerinin toplamı görülmektedir. h y g + h Toplam vektörünün, g nin başlangıç noktası ile h nin bitim noktası arasına çizildiğine dikkat edelim. g Vektörlerde Eşitlik İki vektörün eşit olabilmesi için benzer bileşkelerinin eşit olması gerekir.
140 1. VEKTÖRLER (YÖNEYLER) Örnek: A (a b, 5) ve B (1, a + b) vektörleri eşitse, a nın değeri nedir? Çözüm: A ve B vektörlerinin eşit olması için karşılıklı x ve y bileşkelerinin eşit olması gerekir. x bileşkeleri: a b 1 y bileşkeleri: 5 a + b bilinmeyenli iki denklem elde edilir. a b 1 + a + b 5 3a 6 a bulunur. Vektörlerde Çarpım İşlemi Vektörün Skaler (Sabit Sayı) İle Çarpımı Bir vektörün skaler (sabit sayı) ile çarpımından yine bir vektör elde edilir. Vektörün bileşkelerinin herbiri skaler ile çarpılır. A (a1, a, a 3 ), c R ise, c A c (a 1, a, a 3 ) (ca 1, ca, ca 3 ) ca 1 î + ca ĵ + ca 3ˆk Paralel Vektörler Paralel vektörlerin karşılıklı bileşenleri arasında sabit bir oran vardır. A (3,, 4), B (6, 4, 8), C ( 9, 6, 1) vektörleri birbirlerine paraleldir. Vektörlerin Birbiri İle İç (.) Çarpımı İki vektörün iç çarpımı, benzer bileşkelerinin çarpımlarının toplamına eşittir. A (a, b, c) ve D (x, y, z) ise, A ve D vektörlerinin iç çarpımı aşağıdaki gibi ifade edilir. A D (a, b, c) (x, y, z) ax + by + cz A D D A (Değişme Özelliği) İki vektörün iç çarpımından bir skaler elde edilir bu yüzden vektörlerin iç çarpım işlemine skaler çarpım da denir.
VEKTÖRLERDE TEMEL İŞLEMLER 141 Birim Vektörlerin İç Çarpımı Bir vektörün x, y ve z eksenlerindeki bileşkelerini ifade etmekte kullanılan i, j ve k birim vektörlerinin birbirleri ile iç çarpımları sıfıra eşittir. i j (1, 0, 0) (0, 1, 0) 1 0 + 0 1 + 0 0 0 i k (1, 0, 0) (0, 0, 1) 1 0 + 0 0 + 0 1 0 j k (0, 1, 0) (0, 0, 1) 0 0 + 1 0 + 0 1 0 İki Vektör Arasındaki Açı İki vektörün arasındaki açı, vektörlerin iç çarpımı ve normu yardımı ile hesaplanır. A (a, b, c) ve D (x, y, z) ise, A ve D vektörlerinin arasındaki θ açısı aşağıdaki formül ile ifade edilir: cos θ A D A D Dik Vektörler A D A D cos θ Yukarıdaki birim vektörlerin iç çarpımı örneğinde görüldüğü gibi, birbirine dik olan vektörlerin iç çarpımı sıfırdır. cos 90 0 olduğunu hatırlayalım. Örnek: A (3a, 6) ve B (1, 1) vektörleri birbirine dik ise, a nın değeri nedir? Çözüm: A ve B vektörleri birbirlerine dik olduğu için aralarındaki açı 90 dir. Bu yüzden, vektörlerin iç çarpımı sıfırdır. (3a, 6) (1, 1) 3a 1 + 6 1 0 3a 6 0 a bulunur. Vektörlerin Birbiri İle Çapraz ( ) Çarpımı A (a, b, c) ve D (x, y, z) ise, A ve D vektörlerinin çapraz çarpımı aşağıdaki determinant ile hesaplanır. Determinantlar bir sonraki bölümde anlatılmaktadır. i j k A D a b c x y z i b c y z j a c x z + k a b x y i(bz cy) j(az cx) + k(ay bx) İki vektörün çapraz çarpımından yine bir vektör elde edilir. A D D A
14 1. VEKTÖRLER (YÖNEYLER) Sağ El Kuralı İki vektörün çapraz çarpımı yine bir vektördür ve bir yönü vardır. İki vektörün çapraz çarpımından elde edilen vektörün yönünü bulmak için Sağ El Kuralı kullanılır. Aşağıdaki şekilde A ve B vektörlerinin çapraz çarpımı ile elde edilen C vektörü görülmektedir. C A B vektörünün hem A vektörüne hem de B vektörüne dik olduğuna dikkat ediniz. Sağ el kuralını kullanarak C A B vektörünün yönünü bulmak için, aşağıdaki adımları sırasıyla izlemeliyiz: 1) İşaret parmağımızla A vektörünün yönünü gösterelim. ) Orta parmağımızı B vektörünün yönünde uzatalım. 3) Yukarıdaki iki adımı izlersek, baş parmağımız, A ve B vektörlerinin çapraz çarpım vektörü olan C vektörünün yönünü gösterecektir.
VEKTÖRLERİN FİZİKTEKİ UYGULAMASI 143 Birim Vektörlerin Çapraz Çarpımları i, j ve k eksen birim vektörleri birbirlerine diktir. Aşağıdaki x-y-z 3 boyutlu düzlemi ve sağ el kuralını kullanarak, birim vektörlerin birbirleri ile çapraz çarpımlarını hesaplayalım: z ˆk ĵ î x ˆk Vektörlerin Fizikteki Uygulaması î ĵ y i j k i k j j k i j i k k i j Kinematikteki Uygulaması: Atış Hareketi Yerden belli bir açı ve ilk hız ile atılan bir cismin, hızının x ve y bileşenlerini bulmakta vektörler kullanılabilir. Örnek: Yerden 4 m /s ilk hız ve 60 açı ile atılan bir taşın yatay ve dikey bileşenleri nedir? Çözüm: Atış hız vektörünü ve açısını x-y düzleminde çizelim.
144 1. VEKTÖRLER (YÖNEYLER) y V y V sin θ V V V x i + V y j O İlk hız: V 4 m /s ise, θ 60 V x V cos θ Yatay Bileşen: V x V cos θ V x V cos 60 V m /s 3 V Dikey Bileşen: V y V sin θ V sin 60 3 m /s olur. Elektrik: Akım, Manyetik Alan, Manyetik Kuvvet İlişkisi x Sağ el kuralını kullanırsak, bir manyetik alanda ( B ) hareket eden yüklü parçacık (elektrik akımı), q v üzerinde uygulanan manyetik kuvvet, F ise aşağıdaki çapraz çarpım formülüne ulaşırız: F q v B