ATALET MOMENTİ Amaçlar 1. Rijit bir cismin veya rijit cisim sistemlerinin kütle atalet momentinin bulunması.
UYGULAMALAR Şekilde gösterilen çark büyük bir kesiciye bağlıdır. Çarkın kütlesi, kesici bıçağa uniform hareket yaptırmak için yardım etmektedir. Çarkın hangi özelliği bu amaç için en önemlidir. Bu özelliğin sayısal değeri nasıl bulunur. Çarkın kütlesinin büyük bir bölümü neden çeperlere yakın konulmuştur?
UYGULAMALAR (devam) AB krank mili kütle merkezinin dışında bir yerde sabit bir eksen etrafında dönmektedir. Mil, kütle atalet momentiyle orantılı olarak kinetik enerji oluşturmaktadır. Mil döndükçe, kinetik enerji potansiyel enerjiye, potansiyel enerji de kinetiğe dönüşmektedir. Krank milinin dönme eksenine göre atalet momenti, kütle merkezinden geçen eksene göre atalet momentinden büyük müdür, küçük müdür?
KÜTLE ATALET MOMENTİ Kütle merkezi G de olan rijitcismi ele alalım. Bu cisim G den geçen z-ekseni etrafında serbestçe dönebilmektedir. Z- ekseni etrafında T torku(momenti) uygulandığında, cisim αaçısalivmesi ile dönecektir. T ve αşu şekilde ilişkilidir: T = I α. Bu denklemde I,z-eksenine göre kütle atalet momentidir(f = ma). Kütle atalet momenti, cismin açısalivmeye direncinin bir ölçüsüdür. Kütle atalet momenti, dönme hareketinin analizinde sıkça kullanılır.
KÜTLE ATALET MOMENTİ (devam) P gibi herhangi bir ekseni ve rijit cismi ele alalım: Bu eksene göre kütle atalet momenti I = m r 2 dm(üç katlı integral) şeklinde tanımlıdır. Burada, r: herhangi bir dmkütlesinden, eksene olan dik mesafedir (moment kolu). Kütle atalet momenti her zaman pozitif bir büyüklüktür ve birimi kg m 2, slug ft 2 v.s. formundadır.
KÜTLE ATALET MOMENTİ (devam) Aşağıdaki şekiller, üç boyutlu cisimlerin dinamiğinde sıklıkla kullanılan iki yassı plakaya ait kütle atalet momenti ifadeleridir. Bu şekiller sıklıkla herhangi bir genel hacmin kütle atalet momentinin hesabında temel elemanlar/hacimler olarak da kullanılır.
ANALİZ YÖNTEMİ Direkt integrasyonile hesap sadecebir eksen etrafında dönen eğrilerin oluşturduğu simetrik cisimlerin analizinde kullanılacaktır. Kabuk Eleman: Eğer, yüksekliği z, yarı çapı r = y ve kalınlığı da dy olan bir diferansiyel eleman seçilirse, bu elamanın hacmi dv = (2πy)(z)dy, integrasyon için kullanılabilir. Bu eleman, tüm cismin kütle atalet momenti I z yi bulmak için kullanılabilir; çünkü elemanın inceliğinden dolayı tüm eleman z ekseninden y mesafesindedir. Disk Eleman: İntegrasyon için yyarıçaplı ve dzkalınlıklı bir disk eleman seçilirse, hacim dv = (πy 2 )dzolur. Bu disk elamanın kütle atalet momentinden, tüm cismin kütle atalet momenti hesaplanabilir.
ÖRNEK 1 1 cm Verilen:Şekilde gösterilen hacmin yoğunluğu ρ= 5 kg/cm 3 verilmiştir. Aranan:Cismin y-eksenine göre kütle atalet momenti nedir? 1 cm Yöntem: Disk elemanın y- eksenine göre momementi di y kullanılacak ve integrasyonla tüm hacmin kütle atalet momenti bulunacak.
Çözüm: y 2 =x 1 cm 1 cm ÖRNEK 1 (devam) Bir diskin düzlemine dik bir eksene göre kütle atalet momenti I = 1/2m r 2 olduğuna göre, şekilde verilen diskin y- eksenine göre kütle atalet momenti di y = 1/2(dm) x 2 Burada, diferansiyel kütle dm = ρdv= ρπx 2 dyolarak bulunur. Dikkat edilirse, üç katlı integral tek katlı integrale dönüştü. Bu durumda tüm cismin y- eksenine göre kütle atalet momenti: 1 1 I y = 0 ρπx 4 dy 2 ρπ 2 = 0 y 8 dy = π(5) 18 = 0.873kg cm 2
PARALEL EKSENLER TEOREMİ Eğer bir cismin kütle merkezinden geçen eksenlere göre kütle atalet momenti biliniyorsa, bu eksene paralel herhangi bir eksene göre atalet momenti paralel eksenler teoremi ile bulunur: I = I G + md 2 BuradaI G = Kütle merkezinden geçen eksene göre atalet momenti m = Cismin kütlesi, d = paralel eksenler arasındaki dik mesafedir.
ATALET YARIÇAPI VE KOMPOZIT CISIMLER Atalet Yarıçapı Atalet yarıçapı k, cismin toplam kütlesinin, kütle atalet momentinin hesaplandığı eksen takımına göre nasıl dağıldığının bir ölçüsüdür. Birimi uzunluk birimindedir. I = m k 2 or k = (I/m) Kompozit Cisimler Eğer bir cisim birden fazla temel/basit şekilden meydana gelmişse:örneğin diskler, küreler veya çubuklar gibi, bu durumda, tüm cismin herhangi bir eksene göre kütle atalet momenti, cismi oluşturan parçaların o eksene göre kütle atalet momentinin cebrik toplamına eşittir. Bu toplamı yapabilmek için paralel eksenler teoremi kullanılmalıdır.
ÖRNEK 2 q r Verilen:Şekildeki sarkaç 10 kg lık narin çubuktanve 15 kg lık bir küreden oluşmaktadır. Aranan: Sarkacın O dan geçen (sayfa düzlemine dik) eksene göre kütle atalet momentini bulunuz. Yöntem:Kompozitalanların atalet momentinin hesabında kullanılan yöntemin adımlarını izleyin. Sarkaç rnarin çubuğuna ve s küresine ayrılabilir. Çubuk: I Gr = 1/2ml 2 Küre: I Gs = 2/5mr 2
Çözüm: Is = 2/5mr 2 ÖRNEK 2 (devam) 1. Çubuğun kütle merkezi G r nin O dan uzaklığı 0.225m dir. Silindirin kütle merkezi G s ise O dan 0.55 m uzaklıktadır. 2. Çubuğun ve kürenin kütle atalet momentleri tablolardan biliniyor. Paralel eksenler teoremini kullanarak O noktasına göre toplam atalet momenti bulunur: I O = I G + (m)(d) 2 I Or = (1/12) (10)(0.45) 2 +10 (0.225) 2 = 0.675 kg m 2 I Os = (2/5) (15) (0.1) 2 + 15 (0.55) 2 = 4.598 kg m 2 3. Bu iki değer toplanırsa (aynı eksene göre): I O = I Or + I Os = 5.27 kg m 2
ÖRNEK 3 Verilen:Sarkaç 3 kg lık bir çubuktan ve 5 kg lık bir bloktan oluşmaktadır. Aranan:Sarkacın G noktasından (kütle merkezinden) geçen ve sayfa düzlemine dik eksene göre atalet yarıçapını bulunuz. Yöntem: Sarkacın kütle atalet momentini kompozit cisimler için geliştirilen yöntemle bulunuz. Sonra kütle değerini ve atalet momentini kullanarak atalet yarıçapını hesaplayınız.
ÖRNEK 3 (devam) Çözüm: 1. Sarkacın, bir P plakasından (5 kg) ve R çubuğundan (3 kg) oluştuğunu düşünelim: Ref. Eks. 2. Plakanın kütle merkezi O dan 2.25m, çubuğun ise 1 m mesafededir. Bu durumda: y = (Σy m) /(Σm) = {(1) 3 + (2.25) 5} / (3+5) = 1.781 m
ÖRNEK 3 (devam) 3. Plakalar ve çubuklar için kütle atalet momenti formüllerinden yararlanarak ve paralel eksenler teoremini kullanarak hesap yapılır: I P = (1/12) 5 (0.5 2 + 1 2 ) + 5 (2.25 1.781) 2 = 1.621 kg m 2 I R = (1/12) 3 (2) 2 + 3 (1.781 1) 2 = 2.830 kg m 2 4. I G = I P + I R = 1.621 + 2.830 = 4.45 kg m 2 5. Toplam kütle 8 kg olduğuna göre: Kütle atalet yarıçapı k G = I G / m = 0.746 mbulunur.
DİKKAT QUIZ İ 1. Bir cismin kütle atalet momenti, kütle merkezine göre her zaman. A) maksimumdur B) minimumdur C) sıfırdır D) hiçbiri 2. Eğer A ve B cisimlerinin kütleleri aynı fakat atalet yarıçapları k A = 2k B, ise. A) I A = 2I B B)I A = (1/2)I B C) I A = 4I B D)I A = (1/4)I B