ANAHTARLANMI DO RUSAL S STEMLERE G R

ANAHTARLANMI DO RUSAL S STEMLERE G R Ça da³ TOPÇU Ocak 2009 Proje Dan³man: Yrd.Doç.Dr. brahim Beklan KÜÇÜKDEM RAL YILDIZ TEKN K ÜN VERS TES ELEKTR K - ELEKTRON K FAKÜLTESi ELEKTR K MÜHEND SL BÖLÜMÜ PROJE I 1

Contents 1 Giri³ 3 2 Matematiksel Önbilgiler 4 2.1 Supremum ve nmum........................ 4 2.2 Norm................................. 4 2.3 Hurwitz ve Schur Matris....................... 4 2.4 Kararllk ve Lyapunov Teoremi................... 5 3 Anahtarlanm³ Sistemler 7 3.1 Kararllk Problemleri........................ 9 3.1.1 Key Anahtarlama Problemi................ 10 3.1.2 Uygun Anahtarlama ³aretleri Kümesini Bulma Problemi 10 3.1.3 Kararlla³trma Problemi.................. 10 3.2 Kararlla³trma Problemi....................... 10 3.2.1 Periyodik ve Senkron Anahtarlama ³areti......... 14 3.3 Dayankllk.............................. 15 2

1 Giri³ Anahtarlanm³ do rusal sistemler birden fazla do rusal altsistemden olu³mu³ ve bu altsistemlerden hangisinin aktif hale gelece inin bir anahtarlama i³areti ile belirlendi i sistemlerdir. Uzun yllar boyunca üzerinde durulmasna ra - men 1990'l yllardan itibaren çal³malarn hzland bir alandr. Bunun sebebi ise anahtarlanm³ do rusal sistemlerin do rusal sistemlerle karma³k sistemler 1 arasnda geçi³ olarak kullanlmalardr. Çok karma³k sistemler sanki do rusal sistemlerin birle³tirilmi³ haliymi³çesine tasarlanabilmektedir. Bu da kontrolcü tasarmnda do rusal sistem analizlerinden çok daha güçlü yöntemler elde edebilmemizi sa lamaktadr. Bu yöntemle oldukça zor olan lineer olmayan sistem analizini görece basit hale getirebiliriz. Bütün bunlarn d³nda geli³en bilgisayar sistemleri ve güç elektroni i elemanlar sayesinde elektrik mühendisli inin güç sistemleri ve güç elektroni i, uçak ve hava trak kontrolü ve haberle³me a lar gibi bir çok uygulamasnda kullanlmaktadr. Anahtarlanm³ do rusal sistemler, dayankl analiz ve kontrolü, adaptif kontrol, akll kontrol problemlerine farkl yakla³mlar getirilmesini sa lam³tr. Bu belgede ilk olarak matematiksel kavramlar açklanmaya çal³lm³tr. Ardndan ksaca anahtarlanm³ do rusal sistemler tantlm³, temel kararllk problemleri ve dayankllk üzerinde durulmu³tur. 1 uncertain systems olarak da geçmektedir 3

2 Matematiksel Önbilgiler Bu bölümde belgede kullanca mz temel tanmlar ve matematiksel altyap verilmeyi çal³lacaktr. Sistemlerin tanmlanmas ve sistemlerin kararll konularna yeni olanlar için ve belgenin bilgi bütünlü ünü korumas amaçlanm³tr. 2.1 Supremum ve nmum X ksmi sral bir küme ve A X olsun. A nn X deki alt snrlarnn kümesinin en büyük elemanna A nn en büyük alt snr veya inmumu denir ve infa ile gösterilir. E er infa A ise infa ya A nn minimum eleman denir ve mina ile gösterilir. A nn X deki üst snrlarnn kümesinin en küçük elemanna A nn en küçük üst snr veya supremumu denir ve supa ile gösterilir. E er supa A ise supa ya A nn maksimum eleman denir ve maxa ile gösterilir. Supremum ve inmum kavramlarn ilerde anahtarlama i³aretinin seçilimi srasnda i³aretin devreye girdi i an elde ederken kullanaca z. 2.2 Norm Normu kafamzda vektörlerin uzunlu u olarak canlandrabiliriz. Matematiksel olarak tanmlarsak: F bir komplex cisim, V de F de tanmlanm³ bir vektör uzay olsun. Norm V de tanml bir fonksiyon olsun öyle ki : V R ve a³a daki özellikleri sa lasn: (i) v 0 bütün v V için ve v = 0 ancak ve ancak v = 0 oldu unda (ii) λ v = λ v bütün v V ve λ F için (iii) v + w v bütün v, w V için Biz bu belgede ile öklit normunu kastedece iz. x, n boyutlu X vektör uzaynn eleman olsun, x in öklit normu x = x 1 + x 2 +... + x n olur. 2.3 Hurwitz ve Schur Matris Hurwiz matris bütün özde erlerinin reel ksm negatif olan komleks matristir yani Re[λ i ] < 0 olur. Yaknsak Hurwitz matris ise bütün özde erlerinin boyu 1 den küçük olan matristir. Sürekli dinamik sistemlerin jakobiyeni Hurwitz ise sistem asimptotik kararldr. Schur matris ise yaknsak matris anlamna gelmektedir. 4

2.4 Kararllk ve Lyapunov Teoremi En genel anlamda a³a daki vektörel diferansiyel denklemi ele alalm ẋ = f(x, t) x(0) = x 0 (1) burada x(t) R n, ve t 0 dr. Sistemin ba³langç ko³ulunda sabit kald noktalara dinamik sistemin denge noktalar denir. Bizim inceledi imiz zamanla de i³meyen do rusal sistemlerin e er varsa bir denge noktas olaca ndan bu denge noktasn orijin yani sfr noktasn seçebiliriz. Dinamik sistemleri bu denge noktasna yakn bir ba³langç durumunda ba³latrsak ve e er sistem dengeye oturmaya çal³rsa yani durumlar orijine yakla³maya çal³rsa sisteme kararl deriz. E er sistemin durumlar denge noktasndan uzakla³rsa kararszdr deriz. Sistem (1) in x(t 0 ) = x 0 ba³langç ko³ulu için çözümünü φ(t; t 0, x 0 ) olsun. Tanım 2.1 Denge noktas için a³a dakileri söyleyebiliriz: kararldr, her bir ɛ > 0 ve t 0 0 için bir δ = δ(ɛ, t 0 ) vardr öyle ki x 0 < δ(ɛ, t 0 ) = φ(t; t 0, x 0 ) < ɛ t t 0 düzenli kararldr, her bir ɛ > 0 için bir δ = δ(ɛ) vardr öyle ki x 0 < δ(ɛ) t 0 0 = φ(t; t 0, x 0 ) < ɛ t t 0 çekicidir, her bir t 0 0 için bir δ = δ(t 0 ) vardr öyle ki x 0 < δ(ɛ, t 0 ) = φ(t; t 0, x 0 ) 0, t düzenli çekicidir, bir δ > 0 vardr öyle ki x 0 < δ, t 0 0 = φ(t 0 + t; t 0, x 0 ) 0, t kararl ve çekici ise asimptotik kararldr düzenli kararl ve düzenli çekici ise asimptotik kararldr üstel kararldr, r, α, β > 0 gerçel sabitlerdir öyle ki φ(t 0 + t; t 0, x 0 ) βe αt x 0 t, t 0 0 x 0 < r. Karall sistem durumlarnn hareketiyle kafamzda canlandrmaya devam edersek, asimptotik kararllk durumlarn denge durumuna yani sfra gelmesidir. Sradan kararllk veya Lyapunov kararll ise sfr noktasna ula³amasa bile durumlarn belirli bir alann içinde snrlanmasdr. Üstel kararllkta durumlar sfr noktasna üstel hzla yakla³rlar. Teorem 2.1(1) sisteminin x = 0 denge noktasn içeren bir O R n açk kümesi olsun. V : O R, V C ³eklinde bir fonksiyon V (0) = 0 ve V (x) > 0, x O {0} (2) 5

V (x) 0, x O (3) ko³ullarn sa lyorsa x = 0 denge noktasnda sistem kararldr. E er V (x) 0, x O {0} (4) ko³ulunu da sa lyorsa x = 0 denge noktasnda sistem asimptotoik kararldr. Buradaki V (x) fonksiyonu Lyapunov fonksiyonu olarak bilinir. Bu teoremin düzenli ve üstel kararl sistemler için geni³letilmi³ halleri bulunmaktadr. Ancak burada vermiyoruz. 6

3 Anahtarlanm³ Sistemler Anahtarlanm³ sistemler hibrit sistemlerin özel bir halidir. Hibrit sistemler sürekli ve ayrk dinamiklerin birle³imi olan sistemlerdir. Sürekli dinamiklerden kastmz diferansiyel denklemlerle modellenebilen sürekli zamanl dinamik sistemler olabilece i gibi zamann parçalara ayrlp fark denklemleriyle yazlabilen ayrk zamanl dinamik sistemler de olabilir. Ayrk dinamikler ise bir biri ile ba msz durumlarn ardarda geli³ti i olaylar dizisi olarak dü³ünülebilinir. Bu yüzden hibrit sistem kavram çok geni³ bir kavramdr. Anahtarlanm³ sistemlerde anahtarlama sürekli dinamiklerin bir anahtarlama kuralyla yani ayrk bir dinamikle kontrol edilmesi, seçilmesi anlamna gelir. Hibrit sistemlerden farkl olarak anahtarlanm³ sistemlerde önemli olan bütün anahtarlama i³aretlerinin tarad kontrol edilebilir uzayn kararll nn belirlenmesidir ve sürekli dinamiklerin kararll ön plandadr. ekil 3.1 de genel bir anahtarlanm³ kontrol sistemi ³emas verilmi³tir. Şekil 3.1 Anahtarlanmış sistem şeması Örnek 3.1. A³a da anahtarlama i³aretinin rastgele yapld ve seçici ile do rusal zamanla de i³meyen sistemlerden olu³mu³ bir anahtarlanm³ zamanla de i³meyen do rusal sistem örne i verilmi³tir. 7

Şekil 3.2 Keyf i anahtarlanmış bir sistemin Simulink modeli Örnek 3.2. Di er bir basit örnek de iki do rusal zamanla de i³meyen sistemle olu³turulan örnektir. Zamanla de i³meyen do rusal sistemleri diferansiyel denklem sistemleriyle tanmlayabiliriz. Bizim örne imizdeki sistemleri tanmlayalm. ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) (5) y(t) = Cx(t) + Du(t) (6) A 1 = A 2 = [ 2 2 1 0 [ 2 1 1 0 ] [ 1, B 1 = 0 ] [ 2, B 2 = 0 ], C 1 = [ 0 1 ], D 1 = 0 ], C 2 = [ 0 1 ], D 2 = 0 Sistemin x 0 = [1 3] T ba³langç durumu ve belirli bir t annda 1. sistemden 2. sisteme geçi³i kar³snda durum yörüngesi Şekil 3.3 deki gibi olur. Burada kesikli çizgiyle gösterilen t annda 2. sistemin devreye girmesiyle olu³an yörüngedir. 8

Şekil 3.3 Iki sistemin anahtarlanmasıyla elde edilen durum yörüngesi Burada iki kararl do rusal sistem anahtarlanm³tr ve sonuç yine kararldr. Kararsz iki sistemden kararlla³trc bir anahtarlama kuralyla kararl bir anahtarlanm³ sistem elde edilebilece i gibi kararl iki sistemden kararsz bir sistem olu³turulabir. Herhangi bir anahtanm³ sistem ³u ³ekilde gösterilebilir: δ(x) = f σ (7) burada f σ : R n R n ve f p : p P olan bir fonksiyon ailesidir. P herhangi bir indeks kümesi ve σ : [0, ) P i³aretleme sinyalidir. P kümesi sonlu boyutlu do rusal vektör uzaynn yo un alt kümesidir. Anahtarlanm³ do rusal otonom (giri³ i³aretinden ve gürültülerden arndrlm³) sistemi ³u ³ekilde tanmlayabiliriz: δx(t) = A σ x(t) (8) burada x(t) R n durum, σ M := {1,..., m} tasarlanan sabit i³aretleme sinyali, A k R n n, k M gerçel sabit matrisler ve δ sürekli zamanda türev, ayrk zamanda ise ileri kaydrma oparatörüdür. 3.1 Kararllk Problemleri Sistemlerin kararll onlarn kullanlabilirli i açsndan oldukça önemlidir. Endüstrideki uygulamalarda ve haberle³me ³ebekelerindeki veri güvenli inin sa lanmas açsndan üzerinde oldukça durulan bir konudur. Burada Liberzon ve Mors'un 1999 ylndaki yaynladklar baz temel kararllk problemlemlerine de inelim. 9

3.1.1 Key Anahtarlama Problemi Sistem (7) nin herhangi bir anahtarlama sinyali için asimptotik karall n garantileyecek ³artn ara³trlmas problemidir. Bilgisayar kontrollü sistemlerinin geli³mesi ve çok hzl anahtarlamann yaplabilmesiyle key anahtarlanan sistemler için kararllk testlerine ihtiyaç duyulmu³tur. Bütün anahtarlama sinyallerini gözönünde bulunduraca mz için bu problemin hemen görülebilir basit bir çözümü yoktur. Sistemimizdeki alt sistemlerin denge noktalar ortak ve orijin olsun, f p (0) = 0, p P. Key anahtarlanm³ sistemin kararl olabilmesi için anahtarlanan altsistemlerin herbirinin kararl olmas gerekti i a³ikardr. E er kararsz bir sistem varsa anahtarlama i³aretinin kararsz sistemi seçmesi ile sistem kararszla³abilir. Ancak bu da yeterli ko³ul de ildir çünkü altsistemleri kararl olan iki sistem anahtarlama i³aretiyle kararsz hale gelebilmektedir. 3.1.2 Uygun Anahtarlama ³aretleri Kümesini Bulma Problemi Bu problemde key anahtarlamadan farkl olarak sistemi asipmtotik kararl hale getirebilecek anahtarlama kümelerinin bulunmas amaçlanmaktadr. Önceki problemde oldu u gibi bu problemde de altsistemlerin kararl oldu u kabul edilir. 3.1.3 Kararlla³trma Problemi Bu problem ise yava³ anahtarlama yaplrken sistemi kararl hale getiren tek elemanl anahtarlama i³areti kümesinin bulunmasnn ara³trlmasdr. Biz bu problemi anahtarlanm³ do rusal otonom sistem (8) için inceleyece iz. 3.2 Kararlla³trma Problemi Tanım 3.1. Sistem (8) i iyi oturmu³ ve düzenli (asimptotik, üstel) kararl klan bir σ anahtarlama i³areti varsa sistem kararlla³trlabilir deriz. Anahtarlama sinyalini ba³langç de erlerine ba l olarak σ(t) = ϕ(t; t 0, x 0 ) ³eklinde gösterebiliriz. E er anahtarlama i³areti ba³langç durumundan ba mszsa yani σ(t) = ϕ(t; t 0, x 1 ) = ϕ(t; t 0, x 2 ) t t 0 x 1, x 2 R n ise anahtarlama i³aretimiz ba³langç durumuna göre turarldr. Tanım 3.2. E er sistem (8) i iyi oturmu³ ve düzenli kararl hale getirebilen bir tutatl i³aretleme sinyalimiz varsa sistemimiz tutarl kararlla³trlabilirdir. Tanım 3.3. Sistem (8) bütün ba³langç ko³ullarnda (x 0 R n ) sistem çözümünü sfra yaknsayan bir ba³langç anahtarlama i³aretimiz, σ x0, varsa anahtarlanm³ yaknsaktr. lim t φ(t; 0, x 0, σ x0 ) = 0. Teorem 3.1. Anahtarlanm³ do rusal sistem (A i ) M tutarl kararlysa, k M olsun, öyle ki 10

n λ i 0 i=1 burada λ i (A), 1 i n A matrisinin özde erleridir. Dahas sistem tutarl asimptotik kararl ise e³itsizlik do rudur. İspat. σ tutarl anahtarlama i³areti anahtarlama sistemini kararlla³trsn. Anahtarlama i³aretinin süreç dizisi DS σ = {(i 0, h 0 ), (i 1, h 1 ),...} olsun. E er dizi sonlu ise son aktienen sistem kararl olmaldr böylece teorem sa lanr. E er dizi sonlu de ilse l i=1 h i, l olur. Tanm 3.2 e göre ε = 1 seçelim ve bir δ > 0 says vardr öyle ki Yani, x 0 δ = φ(t; 0, x 0, σ) 1 t t 0. e Ais hs,..., e Ai 1 h1, e Ai 0 h0 x 0 1 x 0 B δ s = 0, 1,.... Sonuçta dizinin bütün elemanlar 1 δ e Ai 0 h0, e Ai 1 h1 e Ai 0 h0,..., e Ais hs..., e Ai 1 h1 e Ai 0 h0,... (9) ile snrlanmak zorundadr. Varsayalm ki { n } ϱ = min λ i (A k ) > 0. k M Ardndan, a³a daki durumu elde ederiz ( ) n det e Akh = exp h λ i (A k ) > e ϱh k M h > 0. Sonuç olarak, i=1 det e Ais hs... e Ai 1 h1 e Ai 0 h0 i=1 e ϱ s j=0 hj, s. Bu da matrisin elemanlarnn snrlandrlm³ olmasyla çeli³mektedir. Teoremin öbür parçasnn ispat da benzer ³ekilde yaplabilir. Teorem 3.2. A³a daki önermeler denktir: (i) anahtarlanm³ sistem asipmtotik kararlla³trlabilirdir; (ii) anahtarlanm³ sistem üstel kararlla³trlabilirdir; (iii) anahtarlanm³ sistem anahtarlanm³ yaknsaktr. 11

İspat. (ii) = (i) = (iii) oldu u a³ikardr. (iii) = (ii) oldu unu göstermemiz yeterlidir. Anahtarlanm³ yaknsakl ele alalm. Her x durumu birim yuvar yüzeyinde (S 1 ) yer almaktadr. Bir t x zaman ve anahtarlama yolu σ x = [0, t x ] M vardr, öyle ki sistemin çözümü 1/4 yarçapl yuvarn içinde yer alr φ(t x ; 0, x, σ x ) B 1 4. (10) σ x in zaman dizisi t 1,..., t k a³a daki gibi olsun t 0 = 0 < t 1 <... < t k < t k+1 := t x. x(t) = Φx(0) e³itli indeki ta³ma matrisi Φ(t, 0, σ x ) = e ij(t tj) e ij 1(tj tj 1)... e i0(t1 t0) t [t j, t j+1 ] ta³ma matrisini (9) denklemine koyarsak j = 0, 1,..., k Φ(t x ; 0, x, σ x )x B 1 4. Sonuç olarak, x in bir N x kom³ulu u olsun, öyle ki Φ(t x ; 0, x, σ x )y B 1 y N 2 x. x birim yuvar yüzeyi boyunca de i³sin, a³ikardr ki x S1 Nx S 1. Birim yuvar yüzeyi R n de yo un kümedir (snrl ve kapal), Finite Covering Teoremine göre belirli bir say l, ve birim yuvar yüzeyi üzerindeki durumlarn kümesi x 1,..., x n vardr, öyle ki ki l i=1nx S 1. Böylece birim yuvar yüzeyi l ayr parçaya, R 1,..., R l olarak ayrabiriz, öyle (a) l i=1 = S, R i R j = for i j; ve (b) her bir i için 1 i l, böylece a³a daki durumu elde ederiz. Φ(t x ; 0, x, σ x )y B 1 y R 2 i. Durum (b) ye göre her bir i = 1,..., l ve x R i için t x ve σ x i yeniden tanmlayalm t x = t xi ve σ x = σ xi. 12

T = max l i=1 t x, ve η = max i M A i. A³ikardr ki Φ(t, 0, σ x ) e ηt x S 1 t t x. Ardndan x 0 0 d³nda bir durum için bir θ x0 : [0, ) M anahtarlama yolu düzenleyelim. Durum dizisini özyinemeli olarak tanmlayalm z 0 = x 0 z k+1 = φ(t z k ; 0, z k, σ z k ) k = 0, 1,.... z k z k Bu ³ekilde her σ z k (t) belirli bir zaman aral yla e³le³tirilebilinir. Yani z k her duruma kar³lk gelen i³aret belirli bir zaman aral nda tanmlanmaktadr. Buna göre x 0 = 0 için herhangi bir θ x0 : [0, ) M anahtarlama yolu genel olarak a³a daki gibi gösterilebilir. θ x0 (t) = σ z k (t k 1 Z k i=0 t z i ) t [ k 1 z i i=0 t z i, k z i i=0 t z i ). z i Sonunda her durum yörüngesinin anahtarlama yoluyla üstel yaknsak oldu unu gösterebiliriz. α = ln 2/T ve β = 2e ηt olsun. α ve β de erlerine göre sistem üstel yaknsaksa a³a daki e³itsizli i elde ederiz. z k+1 z k k = 0, 1,.... 2 Di er taraftan, bütün x S 1 ler için t x T dir ve buradan a³a daki e³itsizli i elde ederiz. φ(t; 0, x 0, θ x0 ) e ηt φ( k 1 i=0 t z i ; 0, x 0, θ x0 ) z i t [ k 1 i=0 t z i, k z i i=0 t z i ) k = 0, 1,.... z i Yukardaki sonuçlardan a³a daki e³itsizli i elde ederiz φ(t; 0, x 0, θ x0 ) β exp( αt) x 0 x 0 R n t 0. (11) α ve β sabitleri x 0 ve θ x0 dan ba mszdr. E³itsizlik (10) anahtarlanm³ sistemin üstel kararlla³trlabilir oldu unu gösterir. Bu teorem esasen do rusal sistemlerdeki denklik teoreminin anahtarlanm³ sistemlere uygulamasdr. Oldukça önemli olan teoremin ispatnda kullanlan yöntemler ve teoremin sonuçlar ilerde kullanlacaktr. 13

3.2.1 Periyodik ve Senkron Anahtarlama ³areti Pozitif bir T zaman olsun. Anahtarlama yolu θ [0, ) a³a daki ³art sa lyorsa periyodiktir. θ(t + T ) = θ(t) t 0. Anahtarlama zamanlar dizisi, {0, µ 1, µ 2,...} do al saylaryla a³a daki gibi yazlabiliyorsa anahtarlama yolu σ senkrondur. {0, µ 1 ω, µ 2 ω,...} Teorem 3.3. E er anahtarlama sistemi tutarl asimptotik kararlla³trlabilirse bu sistemi asimptotik kararl klabilecek bir periyodik ve senkron anahtarlama i³areti vardr. İspat. E er altsistemlerden biri A k asimptotik kararlysa sabit anahtarlama i³aretini σ = k seçebiliriz. Onun d³nda σ y bir süreç dizisi olarak dü³ünelim DS σ = {(i 0, h 0 ), (i 1, h 1 ),...} sistemi asimptotik kararl klsn. A³ikardr ki bu anahtarlama i³areti sonsuz anahtarlamay içermelidir. Teorem 3.1 e göre (9) dizisi sfr matrisine yaknsar. N sonlu bir say olsun öyle ki e Ai N h N... e Ai 1 h1, e Ai 0 h0 1. (12) bir g : R N+1 R + fonksiyonu tanmlayalm g(s 0, s 1,... s N ) = e Ai N s N... e Ai 1 s1, e Ai 0 s0. g fonksiyonunun sürekli oldu u görülmektedir. g(h 0, h 1,... h N ) < 1 ise (h 0, h 1,... h n ) T un R N+1 deki kom³ulu u Λ vardr öyle ki g(z) < 1 z Λ. Λ de bir z 0 = (r 0, r 1,..., r N ) T seçelim, burada her j = 0, 1,..., N için r j rasyonel saydr. Böylece periyodik ve senkron anahtarlama yolu θ nn süreç dizisinin DS θ = {(i 0, r 1 ),..., (i N, r N ), (i 0, r 0 ),..., (i N, r N ),...} (13) sistemi asimptotik kararl kld do rulanr. (12) e³itsizli i sistemlerin yaknsakl n incelerken i³imize yaramaktadr. 3.1. Bir anahtarlanm³ do rusal sistem için a³a daki yaplar denk- Sonuç tir: (i) sistem tutarl asimptotik kararlla³trlabilir; 14

(ii) sistem tutarl üstel kararlla³trlabilirdir; (iii) sistem periyodik ve senkron asimptotik kararlla³trlabilirdir; (iv) bir l do al says, i 1,..., i l indeks dizise ve pozitif reel say dizisi h 1,..., h l vardr, öyle ki e Ai l h l... e Ai 1 h1 matrisi Schur dur; (v) s (0, 1) gerçel says için, bir l = l(s) do al says ve pozitif reel say dizisi h 1,..., h l vardr öyle ki e Ai l h l... e Ai 1 h1 s. (14) İspat. Teorem 3.3 ün ispatna göre (i) bize gösterir ki, bir N do al says vardr ve öyle ki l = kn olsun, buna göre Görülebilir ki e Ai N h N... e Ai 1 h1, e Ai 0 h0 γ < 1 i j+µn = i j ve h j+µn = h j j = 1,..., N µ = 1,..., k 1. e Ai l h l... e Ai 1 h1 e Ai 1 h1 = ( e Ai N h N... e Ai 1 h1 e Ai 1 h1 ) k = γ k. Herhangi bir s (0, 1) için k ln s ln γ oldu undan (14) e³itsizli i korunur. Yani (i) = (v) olur. Ayn mantkla (iv) = (v) ispatlanabilir. Teorem 3.2 de (iv) = (iii) elde edilmi³ti. Di erleri de a³ikardr. 3.3 Dayankllk Sistemlerde dayankllk sistemin d³ etkilere direnç gösterebilmesidir. Sistem (8) küçük gürültülerle ³u ³ekilde gösterilebilir: ẋ(t) = (A σ + ɛ σ B σ ) (15) burada B k R n n, k M sabit olarak verilmi³tir ve ε k (k M) reel saylardr. Teorem 3.4. Sistem (8) asimptotik kararlla³trlabilir olsun. κ 1,..., κ m reel saylar olsun öyle ki gürültülü sistem (15) a³a daki ³art sa lyorsa kararlla³trlabilirdir: ε k κ k k M. İspat. Teorem 3.2 nin ispatnda birim yuvar yüzeyini sonlu sayda R 1,... R l kümelerine bölebilmi³tik, öyle ki (a) l i=1 = S, R i R j = for i j; 15

(b) her bir i için 1 i l, bir t x zaman ve σ x anahtarlama yolu elde etmi³tik, öyle ki Φ(t x ; 0, x, σ x )y B 1 2 y R i (c) bütün i = 1,..., l ler için t xi T olan bir T zamanmz vardr. [0, t xi ) aral nda σ xi için bir anahtarlama süreç dizisi olsun: {(j i1, h i1 ),..., (j iki, h iki )} Ardndan a³a daki e³itsizli i elde ederiz e Aj ik i h iki... e Aj i1 hi1 y 1 2 Bir g i fonksiyonunu tanmlayalm, y R i. g i (ε 1,..., ε m ) = sup y R i e (Ajik i +ε jik i B jik i )h iki... e (Aj i1 +εj i1 Bj i1 )hi1 y. g i fonksiyonunun sürekli oldu u açktr. Madem g i (0,..., 0) 1 2 κ i1,..., κ im pozitif saylardr ve öyle ki i yi dönü³türelim, g i (ε 1,..., ε m ) 2 3 ε i κ ij j M. κ k = min {κ 11,..., κ lm k M}. Gürültülü sistem (15) i a³a daki e³itsizlikle inceleyelim, ε k κ k k M. Φ sistem (15) in ta³ma matrisi olsun açktr ki, Φ (t xi, 0, σ xi )y B 2 y R 3 i i = 1,..., l. Bu Teorem 3.2 nin ispatyla beraber gürültülü sistemin asimptotik kararl oldu unu gösterir. 16

Kaynaklar Karabacak, Ö., 2006. Anahtarlanm³ do rusal sistemlerin kararll nn incelenmesi, TÜ Fen Bilimleri Enstitüsü, stanbul. Bayraktar, M., 1998. Fonksiyonel Analiz, Gazi Kitabevi, Ankara. Liberzon, D. and Morse, S., 1999. Basic problems in stability analysis of switched systems, IEEE Control Systems Magezine. Sun, Z., and Ge S.S., 2005. Switched Linear Systems: Control and Design, Springer-Verlag London, USA. Khalil, H.K., 2000. Nonlinear Systems 3. ed., Prentice Hall, New Jersey. 17