TEMEL ELEKTROT SİSTEMLERİ Eş Merkezli Küresel Elektrot Sistemi Merkezleri aynı, aralarında dielektrik madde bulunan iki küreden oluşur. Elektrik Alanı ve Potansiyel Yarıçapları ve ve elektrotlarına uygulanan gerilimi U olan eş merkezli küresel elektrot sisteminde V potansiyeli yalnız r'ye bağlı olarak değiştiğinden, küresel koordinat sisteminde, Laplace denklemi d 2 V + 2 dv = 0 d r dr Denklemin genel çözümü V = A + B r koşullarından r = için V = V = U r = için V = V 2 = 0 A = U B = U. Potansiyel ifadesi V = U ( r ) E = dv dr bağıntısından Elektrik Alan olduğundan A ve B sabitleri sınır E = U. Küresel Elektrot Sistemi EEM344 YÜKSEK GERİLİM TEKNİĞİ
TEMEL ELEKTROT SİSTEMLERİ Eş Merkezli Küresel Elektrot Sistemi Elektrik yüklerinden yola çıkılarak elektrik alanı ve potansiyeli şu şekilde de hesaplanabilir. yarıçaplı küreyi kuşatan r yarıçaplı ( r ) küre yüzeyinde, küresel simetriden dolayı, D deplasmanı her noktada aynı olduğundan, D ds = Q denklemi D. 4π = Q şeklini alır. D = ε. E olduğu bilindiğine göre D = Q 4π Elektrik alanı E = Q 4πε yerine konularak U Gerilimi E = Q 4πε U = r E dr (Gerilim, Elektrik alanın r den r2 ye belirli integralidir.) U = Q dr Q 4πε r2 = 4πε U = Q 4πε.. denkleminde Q 4πε = U. yazılarak elektrik alanı bulunabilir.. Küresel Elektrot Sistemi Elektrik alanı E = U. EEM344 YÜKSEK GERİLİM TEKNİĞİ 2
TEMEL ELEKTROT SİSTEMLERİ Eş Merkezli Küresel Elektrot Sistemi Potansiyel ifadesi V = E. dr + K denkleminden elde edilir. V = U.. r + K K integral sabiti sınır koşulundan elde edilir: r = için V = V 2 = 0 olduğundan, K = Potansiyel U olur. V = U.. ( r ) Küresel Elektrot Sistemi r = için elektrik alanın maksimum değeri E = E max = U.. r = için elektrik alanın minimum değeri E = E min = U.. EEM344 YÜKSEK GERİLİM TEKNİĞİ 3
TEMEL ELEKTROT SİSTEMLERİ Eş Merkezli Küresel Elektrot Sistemi Ortalama elektrik alanı, elektrotlara uygulanan gerilimin elektrotlar arası açıklığa oranı ile bulunur ve E ort ile gösterilir. Ortalama elektrik alanı E ort = U E = E ort = U... 2 = U r ort denkleminden E nin E ort ya eşit olduğu r ort yarıçapı, r ort =. Küresel elektrot sisteminde elektrik alanının ve potansiyelin r ye göre değişimi Şekillerde E = f r eğrisi, E max, E min ve E ort değerleri ve V = f(r) eğrisi gösterilmiştir. EEM344 YÜKSEK GERİLİM TEKNİĞİ 4
TEMEL ELEKTROT SİSTEMLERİ Eş Merkezli Küresel Elektrot Sistemi Sistemin Kapasitesi Sistemin kapasitesi C = Q/U bağıntısından hesaplanır. Gerilim U = Q 4πε. olduğuna göre; Sistemin kapasitesi C = Q U = 4πε. Burada, r (m) ve ε = ε 0. ε r de ε 0 = 8, 854. 0 2 F/m cinsinden yerine konursa, C (F) cinsinden bulunur. EEM344 YÜKSEK GERİLİM TEKNİĞİ 5
TEMEL ELEKTROT SİSTEMLERİ Eş Merkezli Küresel Elektrot Sistemi Bazı Tanımlar Gerçek açıklık: a ile gösterilir. Eş merkezli küresel elektrot sisteminde a = Eşdeğer açıklık: α ile gösterilir ve bir elektrot sistemi için α = U E max Eş merkezli küresel elektrot sisteminde, E max = U α değeri α = ( ) olduğundan Küresel Elektrot Sistemi U E max = ( ) Buna göre eşdeğer açıklık, gerçek açıklıktan kadar daha küçüktür. V = f(r) eğrisinin r'ye göre türevi alınıp r = için teğet altı hesaplanırsa, bunun eşdeğer açıklığa eşit olduğu görülür. tanθ = dv dr r=r = U = U NP NP = = α EEM344 YÜKSEK GERİLİM TEKNİĞİ 6
TEMEL ELEKTROT SİSTEMLERİ Eş Merkezli Küresel Elektrot Sistemi Geometrik karakteristik: Genel olarak, basit küresel ve silindirsel elektrot sistemlerinde sistemin geometrik durumunu karakterize etmek ve aynı cins elektrot sistemleri arasında benzerlik koşulunu belirtmek amacı ile sistemin geometrik boyutları arasında oluşturulan orana Geometrik Karakteristik denir. Eş merkezli küresel sistem ile eş eksenli silindirsel sistemlerde sistemlerin geometrik bakımdan benzerlikleri için bir tek koşula gereksinim olduğu halde, yan yana veya iç içe küresel ve silindirsel sistemlerde, geometrik benzerlik için iki koşula, daha doğrusu iki geometrik karakteristiğe gereksinim vardır, p ve q ile gösterilen geometrik karakteristikler; p = +a q = şeklinde tanımlanırlar. Eş merkezli küresel elektrot sisteminde a = olduğundan p geometrik karakteristiği q karakteristiğine eşit olur. p ve q geometrik karakteristikleri p = +( ) = = q EEM344 YÜKSEK GERİLİM TEKNİĞİ 7
TEMEL ELEKTROT SİSTEMLERİ Eş Merkezli Küresel Elektrot Sistemi Faydalanma faktörü: η ile gösterilir. Eş merkezli küresel elektrot sisteminde η = α a = E ort E max denklemiyle tanımlanır. α =. = a p olduğundan μ faydalanma faktörü Faydalanma faktörü η = p dir. Genel olarak bir elektrot sisteminin η faydalanma faktörü, a elektrotlar arası açıklığı ve U gerilimi bilinirse, U = E max. α = E max. a. η bağıntısı yardımıyla E max elektrik alanı kolayca hesaplanır. EEM344 YÜKSEK GERİLİM TEKNİĞİ 8
Örnek: Bir eş merkezli küresel elektrot sisteminde; a) Delinme bakımından en iyi düzendeki geometrik karakteristik (yarıçaplar arasındaki oran p = ) bağıntısını çıkarınız. b) = 20mm alarak delinme dayanımı E d = 50kV/cm ve bağıl dielektrik sabiti ε r = 3 olan bir yalıtkanın kullanılması durumunda uygulanabilecek maksimum gerilimi ve sistemin kapasitesini hesaplayınız. a) Elektrik alan ifadesi E = U. Maksimum elektrik alanı E max = U Yazılan denkleminden en uygun düzende maksimum elektrik alanı için iç çapına göre türevi alınarak sıfıra eşitlenir. Çünkü delinme yada boşalma eğrilik yarıçapı küçük olan elektrik üzerindeki elektrik alanına bağlıdır. de max d = 0 U. 2 = 0 r. r 2 2 2 = 2 p = p d = = 2 En elverişli düzen için gerekli dış ve iç yarıçap oranları EEM344 YÜKSEK GERİLİM TEKNİĞİ 9
b) Delinme bakımından en elverişli durumda yarıçaplar arasındaki p = p d = = 2 = 2 20 = 2 = 40mm olarak hesaplanır. oranından Maksimum elektrik alanı E max = U formülünden, Delinme geriliminin değeri E max yerine E d ve U yerine U d konularak Maksimum elektrik alanı formülünden E max = E d = U d U d = E d r = 50 2 4 2 = 50kV 2 4 Sistemin kapasitesi C = Q U = 4πε. = 4πε 0 ε r. = 4π. 8, 854. 0 2. 3 0,02.0.04 0,04 0,02 C = 3, 352. 0 2 F = 3, 352pF EEM344 YÜKSEK GERİLİM TEKNİĞİ 0
Örnek: Delinme bakımından en iyi düzene sahip dış yarıçapı = 50cm ve havanın delinme dayanımı E d = 30kV/cm olan eş merkezli küresel elektrot sisteminde a) Delinme dayanımı bakımdan en elverişli düzenin geometrik karakteristiğini çıkararak, iç yarıçapını bulunuz. b) Delinme gerilimini hesaplayınız. c) U = 300kV luk gerilim için boşalma olaylarının hangi geometrik karakteristiklerde meydana geleceğini bulunuz. Delinme eğrisi üzerinde gösteriniz. a) Maksimum elektrik alanı E = E max = U. de max d = 0 olur. Bu durum en elverişli düzen değildir. de max d = 0 U.. 2. 2 2 = 0 denkleminden en uygun düzen için = 2 = 2 = = 50 = 25cm 2 2 En elverişli düzen için gerekli dış ve iç yarıçap oranları p d = = 50 25 = 2 EEM344 YÜKSEK GERİLİM TEKNİĞİ
b) Delinme geriliminin değeri maksimum elektrik alanı formülünden E max = E d = U d U d = E d = 30 25 50 25 = 375kV 50 c) E max = E d = U 30 = 300 2 50 + 500 = 0 Denklemin çözümünden = 3, 82cm ve 2 = 36, 8cm dir. = 3,82 50 = 0, 276 2 = 36,8 50 = 0, 723 Delinme eğrisi U = 300kV ve = 50cm sabit alınarak çizilebilir. = 25cm ve = 50cm için dönüm noktası bulunur. U=300kV Sabit r2=50cm Sabit r cm 5cm 0cm 3,82cm 25cm 36,8cm 40cm 45cm 49cm Emax 306,22kV/cm 66,667kV/cm 37,5kV/cm 30kV/cm 24kV/cm 30kV/cm 37,5kV/cm 66,667kV/cm 306,22kV/cm EEM344 YÜKSEK GERİLİM TEKNİĞİ 2
Örnek: İç küre yarıçapları = 50cm, = 20cm ve dış küre yarıçapı = 200cm olan iki eş merkezli küresel sistemde havanın delinme dayanımı E d = 30kV/cm = sabit olduğuna göre, sistemlerin delinme başlangıç gerilimlerini hesaplayınız ve bu düzenlerde boşalmaların ne şekilde meydana geleceğini açıklayınız. Delinme başlangıç gerilimleri U d = E d Birinci düzen için = 50cm ve = 200cm U d = E d ( ) = 30. 50 200. 200 50 = 25kV denkleminden hesaplanır. İkinci düzen için r = 20cm ve = 200cm U d2 = E d r = 30. 20. 200 20 = U 2 200 d2 = 440kV EEM344 YÜKSEK GERİLİM TEKNİĞİ 3
Birinci düzenin geometrik karakteristiği p = = 200 50 = 4 İkinci düzenin geometrik karakteristiği p = = 200 20 =, 667 Delinme bakımından en uygun düzende geometrik karakteristik p d = 2 dir. Bu durumda birinci düzende p > p d olduğundan sadece ön boşalmalar ve ikinci düzende ise p < p d olduğundan tam delinmeler meydana gelir. EEM344 YÜKSEK GERİLİM TEKNİĞİ 4
Örnek: Yarıçapları farklı ve fakat geometrik karakteristikleri aynı olan (p = p = p =, 2) benzer iki eş merkezli küresel sistemin delinme başlangıç gerilimleri U d = 240kV ve U d = 600kV olduğuna göre bu iki sistemin iç ve dış yarıçaplarını hesaplayınız. E d = 30kV/cm = sabit Delinme başlangıç gerilimi ifadesi geometrik karakteristik U d = E d.. r = E d.. = E 2 r d.. 2 değerleri yerine konulursa, U d = E d.. p p 240 = 30.,2,2 p p p = yazılıp sırasıyla U d = 48cm ifadesinden = 240kV ve U d = 600kV U d = E d.. p p 600 = 30.,2,2 = 20cm p = / olduğundan = p. =, 2. 48 = 57, 6cm p = / olduğundan = p. =, 2. 20 = 44cm EEM344 YÜKSEK GERİLİM TEKNİĞİ 5
Örnek: Havadaki yarıçapı = 9cm olan iletken bir küre üzerindeki Q = μc değerindeki yükün a) Küre üzerinde oluşturacağı elektrik alan şiddetini ve potansiyeli, b) Küreyi, dış elektrodunun yarıçapı sonsuz olan bir eş merkezli küresel elektrot sisteminin iç küre elektrodu olarak düşünerek kapasitesini, c) Kürenin eş merkezli olarak = 8cm yarıçaplı topraklı bir dış küre elektrot içinde bulunması durumundaki maksimum alan şiddetini ve kapasitesini hesaplayınız. a) yarıçaplı küreyi kuşatan, küresel simetriden dolayı r yarıçaplı küre yüzeyinde D deplasmanı her noktada aynı olduğundan toplam elektriksel akı D. 4π ye eşit olur. Gauss yasasına bu akı küre içindeki Q yüküne eşit olur. D. 4π = Q D = ε. E olduğu bilindiğine göre D = Q 4π yerine konularak Elektrik alanı E = Q 4πε =.0 6 4π..8,854.0 2. 0,09 2 = 09597 V/m, 095kV/cm EEM344 YÜKSEK GERİLİM TEKNİĞİ 6
Kürenin potansiyeli V = r E dr (Potansiyel, Elektrik alanın r ye göre belirli integralidir.) V = Q r dr 4πε = Q 4πε.r V = Q 4πε.r = V = 99, 864kV.0 6 4π..8,854.0 2.0,09 = 99863, 805 V b) Küre ile potansiyeli sıfır kabul edilen sonsuz arasındaki gerilim U = V 0 = 99, 864kV Küre ile sonsuz arasındaki elektrik alanının bulunduğu ortamın kapasitesi Sistemin kapasitesi C = Q U = Q V =.0 6 99863,305 =, 0036. 0 F = 0, 04pF II.Yol C = Q U = Q V = 4πε. = 4π.. 8, 854. 0 2. 0, 09 =, 0036. 0 F = 0, 04pF EEM344 YÜKSEK GERİLİM TEKNİĞİ 7
c) = 9cm, = 8cm ve U = 99, 864kV için Maksimum Elektrik Alanı, E = E max = U.. = 99, 864. 8. 9 8 9 = 22, 92kV/cm Kürenin kapasitesi C = Q U = 4πε. = 4π.. 8, 854. 0 2. 0,8.0,09 0,8 0,09 = 20, 027. 0 F = 20, 027pF EEM344 YÜKSEK GERİLİM TEKNİĞİ 8
KAYNAKLAR Prof.Dr. Muzaffer Özkaya, Yüksek Gerilim Tekniği Cilt ve Cilt 2, Birsen Yayınevi Özcan KALENDERLİ, Celal KOCATEPE, Oktay ARIKAN; Çözümlü Problemlerle Yüksek Gerilim Tekniği Cilt, Birsen Yayınevi, 205 Yrd.Doç.Dr. C.V. BAYSAL Yüksek Gerilim Tekniği Ders Notları EEM344 YÜKSEK GERİLİM TEKNİĞİ 9