İşaret ve Sistemler Ders 11: Laplace Dönüşümleri
Laplace Dönüşüm Tanımı Bir f(t) fonksiyonunun Laplace alındığında oluşan fonksiyon F(s) yada L[f(t)] olarak gösterilir. Burada tanımlanan s: İşaret ve Sistemler 2
Laplace Dönüşümü ÖRNEK: Aşağıdaki fonksiyonların Laplace dönüşümlerini alınız. u(t) e at (t ) u(t) İşaret ve Sistemler 3
Laplace Dönüşümü u(t) İşaret ve Sistemler 4
Laplace Dönüşümü u( t). e at İşaret ve Sistemler 5
Laplace Dönüşümü (t) İşaret ve Sistemler 6
Laplace Dönüşümü İşaret ve Sistemler 7
Laplace Dönüşüm Özellikleri Doğrusallık f 1( t) ile f 2 ( t) fonksiyonunun Laplace dönüşümleri sırası ile F ( ) ve 1 s F 2 ( s) olsun; Bilindiğine göre; İşaret ve Sistemler 8
Laplace Dönüşüm Özellikleri Ölçeklendirme f (t) fonksiyonunun Laplace dönüşümü F 1 ( s) ise İşaret ve Sistemler 9
Laplace Dönüşüm Özellikleri Ölçeklendirme İşaret ve Sistemler 10
Laplace Dönüşüm Özellikleri Zamanda Öteleme f (t) fonksiyonunun Laplace dönüşümü F(s) ise İşaret ve Sistemler 11
Laplace Dönüşüm Özellikleri Zamanda Öteleme Eğer x = t - a olarak tanımlanırsa, dx = dt ve t = x + a olur. İşaret ve Sistemler 12
Laplace Dönüşüm Özellikleri Zamanda Öteleme Örneğin; olduğu biliniyor ise,? Özelliği kullanılarak; İşaret ve Sistemler 13
Laplace Dönüşüm Özellikleri Frekansta Kaydırma f (t) fonksiyonunun Laplace dönüşümü F(s) ise İşaret ve Sistemler 14
Laplace Dönüşüm Özellikleri Türev Almak İşaret ve Sistemler 15
Laplace Dönüşüm Özellikleri Türev Almak Örneğin; ise İşaret ve Sistemler 16
Laplace Dönüşüm Özellikleri İntegral Almak İşaret ve Sistemler 17
Laplace Dönüşüm Özellikleri İntegral Almak Örneğin; f(t)=u(t) iken Laplace dönüşümü alınırsa F[s]=1/s olur. İşaret ve Sistemler 18
Laplace Dönüşüm Özellikleri Frekans Düzleminde Türev Almak f(t) fonksiyonunun Laplace dönüşümü F[s] ise s- düzleminde türevi alınırsa; İşaret ve Sistemler 19
Laplace Dönüşüm Özellikleri Frekans Düzleminde Türev Almak Örneğin; bilindiğine göre; İşaret ve Sistemler 20
Laplace Dönüşüm Özellikleri Zamanda Periyodiklik İşaret ve Sistemler 21
Laplace Dönüşüm Özellikleri Zamanda Periyodiklik Her bir terimin Laplace Dönüşümü alınırsa; İşaret ve Sistemler 22
Başlangıç Değer Teoremi f(t) fonksiyonun t değeri 0 a giderken alacağı değer: Örnek : İşaret ve Sistemler 23
Son Değer Teoremi f(t) fonksiyonun t değeri a giderken alacağı değer: Örnek : İşaret ve Sistemler 24
Başlangıç ve Son Değer Teoremi Fonksiyonun Laplace dönüşümü aşağıdaki gibi olsun: Son değer teoreminin uygulanması Başlangıç değer teoreminin uygulanması İşaret ve Sistemler 25
Laplace Dönüşüm Örnekleri İşaret ve Sistemler 26
Laplace Dönüşüm Örnekleri Frekansta türevini alma özelliği kullanılır olduğu biliniyor ise; İşaret ve Sistemler 27
Laplace Dönüşüm Örnekleri İşaret ve Sistemler 28
Laplace Dönüşüm Örnekleri İşaret ve Sistemler 29
Laplace Dönüşüm Örnekleri Özelliği kullanılarak; İşaret ve Sistemler 30
Ters Laplace Dönüşümleri S-düzlemindeki fonksiyon pay ve payda olarak ifade edilebilir. Ters Laplace dönüşümünü elde edebilmek için; Fonksiyonun pay ve paydası çarpanlara ayrılır. Her bir terimin Ters-Laplace dönüşümü bulunur. İşaret ve Sistemler 31
Basit Kutuplar Denklemin kutupları Denklemde N(s) in derecesinin D(s)den az olduğu kabul edilerek; 1. Kutuptaki sabiti bulmak için İşaret ve Sistemler 32
Basit Kutuplar k1 değeri için Herhangi bir değeri için k i Sonuç itibarı ile F(s) fonksiyonunun ters laplace dönüşümü; İşaret ve Sistemler 33
Tekrarlanan Kutuplar F(s) fonksiyonunun n- tane tekrarlanan kutbunun olduğunu varsayalım: kn kn 1 değeri için değeri için kn m değeri için İşaret ve Sistemler 34
Tekrarlanan Kutuplar İşaret ve Sistemler 35
Kompleks Kutuplar Kompleks kutbu olmayan kısmı için basit veya tekrarlanan kutuplardaki gibi işlem yapılır. Kompleks kutbu olanlar için ise kendi kutup değeri haricinde özel değerler verilerek bulunur. İşaret ve Sistemler 36
Ters Laplace Dönüşümü Örnek: Aşağıdaki fonksiyonun ters laplace ifadesini bulunuz. Çözüm: Ters Laplace ifadesi her bir terimin ayrı ayrı dönüşümü alınarak bulunabilir. İşaret ve Sistemler 37
Ters Laplace Dönüşümü Örnek: Aşağıdaki fonksiyonun ters laplace ifadesini bulunuz. Çözüm: Öncelikli olarak çarpanlara ayırarak fonksiyon ayrıştırılır. Bu fonksiyon basit kutup ifadelerine sahiptir. İşaret ve Sistemler 38
Ters Laplace Dönüşümü 1. Yol İşaret ve Sistemler 39
Ters Laplace Dönüşümü 2. Yol s in kuvvetlerine göre denklem katsayılarını eşitlersek; İşaret ve Sistemler 40
Ters Laplace Dönüşümü İşaret ve Sistemler 41
Ters Laplace Dönüşümü İşaret ve Sistemler 42
Ters Laplace Dönüşümü 1.Yol İşaret ve Sistemler 43
Ters Laplace Dönüşümü 2.Yol: Denklemin her iki tarafı ile çarpılır. İşaret ve Sistemler 44
Kısa Sınav Aşağıdaki fonksiyonların laplace dönüşümlerini bulunuz. İşaret ve Sistemler 45
Kısa Sınav Cevapları Aşağıdaki fonksiyonların laplace dönüşümlerini bulunuz. İşaret ve Sistemler 46