ahit rf Matematik Güneri IV - 005 Hibert Mesafesi kinci Gün Soruar, 6 Nisan 005 ndrei Ratiu* / ratiu@bigi.edu.tr R Ökid düzeminde ayn do rusu veya ayn Ω çemberi üzerindeki oan dört fark,,, noktas aa m. Ω,,, noktaar n n çapraz oran, (, (,,, (, : (, d d d d (, oarak tan man r. u tan mda d(, Q, ie Q noktaar aras ndaki Ökid uzak n simgeemektedir, yani (a, b ve Q(c, d ise,. (,,, (,,, (,,, (,,, efitikerini kan tay n. Yan t: u çok koay, her ve Q noktas için d(, Q d(q, efiti inden kaynakan r..,, 3, 4 do ruar a do rusunu,, 3, 4 noktaar nda ve b do rusunu,, 3, 4 noktaar nda kessiner. a a b b 3 4 3 4 4 dq (, ( a c + ( b d. 3 3 3 4 4 4 a,, 3, 4 do ruar paraese (,, 3, 4 (,, 3, 4 efiti ini gösterin. Çözüm: u durumda, benzer üçgenerden doay, 3 4 3 4 3 4 3 4 efitikeri vard r; undan da (,, 3, 4 (,, 3, 4 efiti i ç kar. 3 b,, 3, 4 do ruar tek bir noktada kesifiyorarsa (,, 3, 4 (,, 3, 4 efiti ini gösterin. Çözüm: i noktas n n j do rusuna uzak n d( i, j ie göstereim. u durumda benzerikten 3 d (, 3 4 d (, 4 ve 3 d (, 3 4 d (, 4 efitikeri ç kar. i ve j do ruar aras ndaki aç y λ ij ie gösterirsek, yukardaki efitikerden, d (, 3 (,,, (, : d (, 4 3 4 d 3 d (, 4 sinλ3 : sin λ4. sinλ3 sinλ4 ç kar. yn efitik (,, 3, 4 için de geçeri odu undan, (,, 3, 4 (,, 3, 4 efiti i do rudur. 3. ir Ω çemberi üzerinde, Ω bir çap oufturmak üzere,,, ve noktaar a nm f osun. n n üzerindeki izdüfümü ve ninki ise osun. (,,, (,,, efiti ini gösterin. Çözüm: bir çap oufturdu u için fu efitikeri biiyoruz: uradan koay ka (,,, (,,, sonucunu ç karabiiriz. 4. ir Ω çemberi üzerinde,,, noktaar a nm f osun. t ve t do ruar (bu s raya ve noktaar ndan geçen iki te et osun. (ir sonraki sayfadaki feke bak n. u te eter noktas nda kesifsiner., ve do ruar n n, ise ve do ru parçaar n n kesifim noktaar osun. (,,, (,,, efiti ini gösterin. * stanbu igi Üniversitesi Matematik öümü.
Ω Çözüm: E er çemberin çevresi r ise, koayca, r sin( buunur. oay s ya, r sin( 4ran( r sin(. enzer biçimde, r sin( r sin( r sin( efitikeri geçeridir. u efitikeri göz önünde buundurarak hesapaya m: (,,, : : sin( sin( : sin( sin( sin( sin( : sin( (,,,. sin( R osun. E er sonu yar çap bir dairenin içindeyse ya s n r denir. E er her do rusu için, aç k (yani s n r noktaar n içermeyen bir do ru parças ysa (Not: S n r ve içbükey aanar ofküme de aç k bir do ru parças - d r ya içbükey aan denir. S n r ama içbükey omayan aanar undan böye, R nin s n r bir içbükey aan n simgeeyecek. Her do rusu için do ru parçaar n n s n r noktaar n n kümesi S( osun. S( kümesine aan n n s n r ad veriir. s n r noktaar t t s n r S(, iki de ifik nokta osun. S( {, } osun. (urada, ve noktaar ndan geçen do rudur. yr ca bu noktaar n fekide görüdü ü gibi,,, s ras ya s raand kar n varsaya m. fiimdi ρ (, say s n, ρ (, n(,,, oarak tan maya m. (Not: n fonksiyonunun yani ogaritman n tan m n ve tüm özeikerini bimeniz gerekmiyor. Logaritma fonksiyonu hakk nda bimeniz gereken özeiker en sonda özet oarak verimiftir. yr ca her için ρ (, 0 osun. irazdan ρ fonksiyonunun nun iki noktas aras nda bir çefit mesafe öçtü ünü kan tayaca z. Logaritma a n (ya da og sadece pozitif say ar için tan manm f bir fonksiyondur. b n 0, c Her pozitif x, y için, n xy n x + n y, d n artan bir fonksiyondur, yani 0 < x < y için n x < n y efitsizi i geçeridir. 5. fa daki önermeeri kan tay n. 5a. Her, için ρ (, 0 d r. 5b. ρ (,, ancak ve ancak ise 0 oabiir. 5c. Her, için, ρ (, ρ (,. 5d. E er noktas ve noktaar n n aras ndaysa, ρ (, ρ (, + ρ (,. Çözüm: (a, b. E er ve, da iki fark nokta ise d(, > d(, ve d(, > d(, d r. oay s ya d (, (,,, (, : d (, > d d (, ve ρ (, > 0 our. yr ca tan m gere i ρ (, 0. c irinci sorudan doay, ρ (, n(,,, n(,,, ρ (,. d noktas n n ve noktaar aras nda odu unu göz önünde buundurarak do rudan hesapaya m: ρ (, + ρ (, n(,,, + n(,,, n((,,, (,,,
d (, d d d n d (, : (, (, d (, d (, : (, d (, d (, d n d (, : (, d (, n(,,, ρ (,. 6. ve V iki s n r içbükey aan osun. E er V ise, her, için, ρ V (, ρ (, efitsizi ini gösterin. Çözüm: S( {, } ve S(V {, } yukardaki fekideki gibi osun. n artan bir fonksiyon odu undan, (,,, (,,, efitsizi ini göstermemiz yeteri. E er δ d(, 0 ve δ d(, 0 ise, d (, (,,, (, : d (, d (, d (, d d (, d (, d (, d (, + d (, d(, + d (, d (, + d (, d (, + d (, d (, + δ d (, + δ d (, + δ d (, + δ efitikeri ve d(, > d(, ve d(, > d(, efitsizikerinden doay, e er a b ve δ 0 ise, a + δ a b + δ b efitsizi ini kan tamak yeteridir. ma bu son efitsizi in do ru odu unu kan tamak çok koay. V nun noktaar kümesine V diyeim. ve do ruar n n kesifim noktas na diyeim., ve do ruar ya do rusunun kesifim noktaar na s ras ya, ve diyeim. u durumda, b den doay, ρ (, n(,,, n(,,, ρ V (, ve ρ (, n(,,, n(,,, ρ V (, efitikeri sa an r. oay s ya, 5d ve 6 dan doay, ρ (, + ρ (, ρ V (, + ρ V (, ρ V (, ρ (,. Hibert Mesafesi X bir küme osun. d : X x X R, fu özeikeri sa ayan bir fonksiyon osun: Her x, y, z X için, a d(x, y 0, b d(x, y, ancak ve ancak x y ise 0 d r, c d(x, y d(y, x, d d(x, y d(x, z + d(z, y. O zaman d ye X üzerine mesafe ad veriir. E er R içbükey ve s n r bir kümeyse, yukardaki soruardan, ρ fonksiyonun üzerine bir mesafe odu u ç kar. u mesafeye Hibert mesafesi ad veriir. 7., s n r bir içbükey aan ve,, osun. ρ (, ρ (, + ρ (, efitsizi ini kan tay n. Kan t: Önce s n r noktaar m z beireyeim: S( {, }, S( {, }, S( {, } yandaki fekideki gibi osun. V, ve do ruar aras nda kaan 3 8. [ ki o ru ras ndaki Mesafe.] ve, s - n r bir içbükey aan oan ya kesifen, parae omayan ama S( kümesinde kesifmeyen iki do ru osun. ve do ruar n n kesifim noktas - na diyeim. ve t, noktas ndan geçen ve S( kümesini kesen ama yu kesmeyen iki fark do ru osun (örne in ve t te et oabiirer ya S( ve Q t S( osun. Q do rusu ve do ruar n s ras ya ve nokta-
ar nda kessin. Her ve için ρ (, ρ (, efitsizi ini kan tay n. Kan t: fa daki fekiden kan t izeyin. ve, da herhangi iki nokta osun., t,, fekideki gibi osun. V, ve t do ruar taraf ndan s n ranan ve yu ve, noktaar n içeren herhangi bir s n r ve içbükey aan osun. 6 ve b den doay ρ (, ρ V (, ρ V (, ρ (, dir. Q n yukardaki fekideki gibi,,, noktaar nda kessin. b ye göre, ρ (, n(,,, n(,,, ρ (,. 9b. Γ, dairesinin s n r, yani çemberi osun., t noktas osun. do rusu ve t te eterini ve noktaar nda, Γ çemberini de ve noktaar nda kessin. t Γ t Q Q 9.,,, ve yukardaki gibi osun. ρ (, say s na ve do ruar n n (ρ ya göre mesafesi ad veriir. 9a. ve do ruar n n ve noktaar ndan bafka noktaar da ayn ρ (, mesafesini verebiirer. öye bir örnek verin. 9b. E er bir daireyse, ve nin ve noktaar ndan bafka noktaar n n ρ (, mesafesini veremeyece ini kan tay n, yani her, için, e er ya da ise ρ (, < ρ (, efitsizi ini kan tay n. Çözüm. 9a. ve do ruar n n de kesifti i bir dörtgeni aa m. bu dörtgenin içi osun. ve, den geçen ve yu kesen iki do ru osun., ve, osun. ve do ruar, ve do ruar - E er (, (, ise o zaman ya ya da. Çapraz oran n tan m ndan (,,, < (,,, ç kar ve bundan ve b den, ρ (, n(,,, > n(,,, n(,, Q, ρ (, ç kar. 0. Γ bir çember osun., Γ çemberiye s n ranan dairenin içi osun. ve Q, Γ n n d f nda kaan aandan seçimif iki nokta osun. ve do ruar den, m ve m do ruar da Q den geçen ve dan noktaar içeren dört do ru osun. do rusu m ie m aras ndaki ρ mesafesini (bkz. probem 8 ve 9b veren iki noktay içeren do ru osun. yn fekide, m do rusu ie aras ndaki ρ mesafesini veren iki noktay içeren do ru osun. E er do rusu, noktas ndan geçiyorsa, m do rusunun Q noktas ndan geçmesi gerekti ini kan tay n. 4
m m Γ m Q Çözüm: Farzedeim ki den Γ ya çizien iki te- et do rusu Γ üzerinde ve noktaar ndan, Q dan Γ ya çizien iki te et do rusu ise Γ üzerinde ve noktaar ndan geçsin. Varsay mdan, 8 inci sorudan ve 9b den doay do rusunun do rusuna efit odu unu, yani noktas ndan geçti ini biiyoruz. ve do ruar n n kesifim noktas - na E diyeim. u durumda inci ve 4 üncü soruyu kuanarak (,,, (,,, (E, E,, efiti ini buuruz. m Γ m m E Q fiimdi Q ie nin kesifim noktas na ve Q ie nin kesifim noktas na ise diyeim. u durumda yine 4 üncü soruyu kuanarak (,,, (,,, buunur ki bu demektir. unun sonucu oarak Q noktas n n üzerinde omas gerekti i ortaya ç kar.. Yukar daki probemeri çözerken budu- unuz fark çapraz oran formüerini isteeyiniz. Çözüm Önerisi.,, 3, 4 düzemin bir do rusunun dört noktas osun. u do ru üstünde omayan herhangi bir noktas için,,, 3, 4 do ruar n ee aa m. b yi çözerken, e er λ ij m( i j ise d (, 3 d (, 3 (,, 3, 4 d (, 4 d (, 4 sinλ3 : sin λ3. sinλ4 sinλ4 efitikerini görmüftük. yr ca, koayca görüece i üzere, an( i j j j sin λ ij odu undan, (,, (, 3 ( : ( 3 3 4 an an an (. 4 an 4 ahit rf Güneri S raamas Mehmet Murat Sevim stanbu tatürk Fen L. 85 Kerim Keskin TEV nanç Türkef Ö. L./Gebze 74 3 Öykü Çobano u zmir Ö. Fatih Fen L. 70 4HaenurKazaçefme Ö. fiehzade Mehmet L./Manisa 65 5 Türkü Çobano u zmir Ö. Fatih Fen L. 6 6 üfra car stanbu tatürk Fen L. 60 7 eniz Yörüko u stanbu tatürk Fen L. 60 8 Ezgi Kantarc Robert Koeji 53 9 Yunus fiafmaz TEV nanç Türkef Ö. L./Gebze 5 0 Hasan Hüseyin Erusu Ö. fiehzade Mehmet L./Manisa 45 0 fiükrü urç Ery maz zmir Ö. Fatih Fen L. 45 0 Onur Tidin zmir Ö. Fatih Fen Lisesi45 Ramazan kda stanbu tatürk Fen Lisesi Tanse t ne Ö. Sevgi Çiçe i nafen Fen Lisesi urak rkan Sak p Sabanc nadou L. Tayan yken Ö. Üsküdar merikan L. Fatih ac Ö. Gökkufa L. Emre emirkaya Gaatasaray L. i Efe Ö. Sevgi Çiçe i nafen Fen L. bdüsseam Genç stanbu tatürk Fen L. yas Göcükü Ö. Kas mogu Fen L. 5