Hacimler ve C ift Katlı Integraller
Hacimler ve Çift Katlı İntegraller Kapalı bir R = [a, b] [c, d] = {(x, y) R 2 a x b, c y d} dikdörtgeninde tanımlı iki değişkenli bir f fonksiyonunu göz önüne alalım ve önce f(x, y) varsayalım. f nin grafiği, denklemi z = f(x, y) olan bir yüzeydir.
Hacimler ve Çift Katlı İntegraller
Hacimler ve Çift Katlı İntegraller S, R nin üstünde ve f nin grafiğinin altında kalan katı cisim, başka bir deyişle, S = {(x, y, z) R 3 z f(x, y), (x, y) R} olsun. S nin hacmini bulmayı amaçlıyoruz.
Hacimler ve Çift Katlı İntegraller İlk adım R dikdörtgenini alt dikdörtgenlere bölmektir.
Hacimler ve Çift Katlı İntegraller S nin R ij nin üstünde kalan parçasını, Şekil de görüldüğü gibi tabanı R ij ve yüksekliği f(x ij, y ij ) olan ince bir dikdörtgenler prizması(ya da sütun ) ile yaklaştırabiliriz. Bu kutunun hacmi taban dikdörtgeninin alanı ( A = x y) ile yüksekliğinin çarpımıdır: f(x ij, y ij) A
Hacimler ve Çift Katlı İntegraller Bu yöntemi tüm dikdörtgenler için uygular ve prizmaların hacimlerini toplarsak S nin toplam hacmine V m n f(x ij, yij) A (1) i=1 j=1 yaklaştırımını elde ederiz.
Hacimler ve Çift Katlı İntegraller Sezgimiz bize (??) de verilen yaklaştırımın m ve n arttıkça daha iyi olacağını söyler ve bu nedenle V = lim m,n m i=1 j=1 n f(x ij, yij) A (2) olmasını bekleriz. Denklem (??) teki ifadeyi, f nin grafiği altında ve R dikdörtgeni üstünde kalan S cisminin hacmini tanımlamak için kullanırız.
Hacimler ve Çift Katlı İntegraller Denklem(??) teki türden limitler, yalnızca hacim bulurken değil pek çok başka durumda da f nin pozitif bir fonksiyon olmadığı durumlarda bile sıkça ortaya çıkar. Bu nedenle aşağıdaki tanımı veririz. Tanım : f nin R dikdörtgeni üzerindeki çift katlı integrali, eğer bu limit varsa m n f(x, y)da = f(x ij, yij) A dır. R lim m,n i=1 j=1
Hacimler ve Çift Katlı İntegraller Eğer f(x, y) ise R dikdörtgeninin üstünde ve z = f(x, y) yüzeyinin altında kalan katı cismin V hacmi V = f(x, y)da olur. R
Örnek Örnek : R = [, 2] [, 2] karesinin üstünde ve z = 16 x 2 2y 2 eliptik paraboloidinin altında kalan cismin hacmini yaklaşık olarak bulmak için R bölgesini şekillerdeki gibi 16, 64 ve 256 kare kullanıldığında sütunların gerçek cisme nasıl benzemeye başladığını ve karşı gelen yaklaştırımların nasıl daha iyi olduğunu görebiliriz.
Örnek...
Örnek...
Örnek...
Ardışık İntegraller Bu bölümde çift katlı bir integralin iki tane tek katlı integralin hesaplamasıyla bulunabilen bir ardışık integral olarak nasıl ifade edilebileceğini göreceğiz.
Ardışık İntegraller f nin R = [a, b] [c, d] dikdörtgeninde sürekli, iki değişkenli bir fonksiyon olduğunu varsayalım. d c f(x, y)dy gösterimini, x sabit tutulurken, f(x, y) nin y = c den y = d ye kadar y ye göre integrali anlamında kullanırız. Bu işleme, y ye göre kısmi integral adı verilir. (Kısmi türev almaya benzerliğine dikkat ediniz.)
Ardışık İntegraller Şimdi d f(x, y)dy, x in değerine bağlı bir fonksiyondur, bu nedenle c x in bir fonksiyonunu tanımlar: d A(x) = f(x, y)dy c
Ardışık İntegraller A fonksiyonunun x = a dan x = b ye kadar x e göre integralini alırsak elde ederiz. b A(x)dx = b d a a c f(x, y)dy dx (3)
Ardışık İntegraller Denklem (??) in sağ yanındaki integral ardışık integral olarak adlandırılır. Genellikle köşeli parantezler yazılmaz. Böylece b d a c f(x, y)dydx = b a d c f(x, y)dy dx (4) ifadesi önce y ye göre c den d ye ve daha sonra x e göre a dan b ye integralin alınması anlamına gelir.
Ardışık İntegraller Benzer şekilde, d b c a f(x, y)dxdy = d c b a f(x, y)dx dy (5) ardışık integrali, önce x e göre(y yi sabit tutarak) a dan b ye integral alacağımız ve daha sonra da bulunan y nin fonksiyonunun y ye göre y = c den y = d ye kadar integralini alacağımız anlamına gelir. Denklem (??) ve (??) ün her ikisinde de içeriden dışarıya doğru hesapladığımıza dikkat ediniz.
Örnek Örnek : Ardışık integralleri hesaplayınız. 3 (a) 2 1 x 2 y dydx 2 (b) 1 3 x 2 y dxdy Çözüm : (a) x i sabit varsayarak 2 1 x 2 y dy = x 2 y2 2 ] y=2 y=1 ( ) ( ) 2 = x 2 2 1 x 2 2 = 3 2 2 2 x2 elde ederiz. Böylece bir önceki tartışmadaki A fonksiyonu, bu örnekte A(x) = 3 2 x2 olmaktadır.
Örnek... Şimdi x in bu fonksiyonunun dan 3 e integralini alırız. 3 2 1 x 2 y dydx = = 3 3 [ 2 1 ] x 2 y dy dx 3 2 x2 dx = x3 2 ] 3 = 27 2
Örnek... (b) Burada önce x e göre integral alırız: 2 3 1 x 2 y dxdy = 2 1 [ 3 ] 2 x 2 y dx dy = 1 [ ] x 3 x=3 3 y dy x= = 2 1 9ydy = 9 y2 2 ] 2 1 = 27 2 Örnekte önce x e göre ya da önce y ye göre integral alsakta aynı yanıtı bulduk. Genel olarak denklem?? ve?? deki ardışık integraller eşit olurlar; başka bir deyişle integral alma sırası önemsizdir.
Fubini Teoremi Teorem : Eğer f, R = {(x, y) a x b, c y d} dikdörtgeninde sürekli ise R b d d b f(x, y)da = f(x, y) dydx = f(x, y) dxdy (6) a c c a olur. Daha genel olarak f, R de sınırlı ve yalnızca sonlu sayıda düzgün eğri üzerinde süreksiz ise ve ardışık integraller varsa eşitlik yine doğrudur.
Örnek Örnek : R = {(x, y) x 2, 1 y 2} olmak üzere (x 3y 2 )da integralini hesaplayınız. R Çözüm 1 : Fubini Teoremi R (x 3y 2 ) da = = 2 2 2 1 (x 3y 2 ) dydx [xy y 3] y=2 y=1 dx verir. = 2 ] 2 (x 7)dx = x2 2 7x = 12
Örnek... Çözüm 2: Yine Fubini Teoremi ni uygulayarak, ama bu kez önce x e göre integral alarak R 2 2 (x 3y 2 )da = (x 3y 2 ) dxdy = 1 2 1 [ x 2 2 3xy2 ] x=2 x= dy = 2 1 (2 6y 2 )dy = 2y 2y 3] 2 = 12 1 elde ederiz.
Örnek Örnek : R = [1, 2] [, π] olmak üzere integralini hesaplayınız. R y sin(xy)da Çözüm 1: Önce x e göre integral alırsak R y sin(xy)da = = = π 2 1 π π y sin(xy) dxdy [ cos(xy) ] x=2 dy x=1 ( cos 2y + cos y)dy = 1 ] π 2 sin 2y + sin y = elde ederiz.
Örnek... Çözüm 2: İntegral sırasını terse çevirirsek R y sin(xy)da = 2 π elde ederiz bu integrali hesaplamak için 1 y sin(xy)dydx u = y dv = sin(xy)dy du = dy v = cos(xy) x alarak kısmi integral alma yöntemini kullanırız
Örnek... ve böylece π y sin(xy)dy = y cos(xy) ] y=π + 1 π cos(xy)dy x y= x π cos πx = + 1 [ ] y=π x x 2 sin(xy) y= elde ederiz. π cos πx sin πx = + x x 2
Örnek... Şimdi u = 1/x ve dv = π cos πx dx alırsak du = dx/x 2, v = sin πx olur ve kısmi integral alma yöntemi ile ilk terimin integralini alarak ( π cos πx x elde ederiz. Bu nedenle ve 2 π 1 y sin(xy)dydx = ) sin πx dx = x ( π cos πx + x sin πx dx sin πx x 2 [ ] sin πx 2 x 1 x 2 ) sin πx dx = x sin 2π = + sin π = olur. 2
Örnek Örnek : x 2 + 2y 2 + z = 16 eliptik parabolidi, x = 2 ve y = 2 düzlemleri ve üç koordinat düzlemi ile sınırlanmış S katı cisminin hacmini bulunuz. Çözüm : Önce, S nin z = 16 x 2 2y 2 yüzeyi altında ve R = [, 2] [, 2] karesinin üstünde kalan katı cisim olduğunu gözlemleriz.
Örnek... Şimdi Fubini teoremini kullanarak çift katlı integrali hesaplayabilecek durumdayız: V = R 2 2 (16 x 2 2y 2 )da = (16 x 2 2y 2 ) dxdy = = 2 2 elde ederiz. [ 16x 1 ] x=2 3 x3 2y 2 x dy x= ( ) [ 88 88 3 4y2 dy = 3 y 4 ] 2 3 y3 = 48
NOT f(x, y) nin yalnızca x in bir fonksiyonu ile yalnızca y nin bir fonksiyonu olarak çarpanlara ayrılabilmesi özel durumunda, f nin çift katlı integrali daha basit bir şekilde yazılabilir. Daha açık bir deyişle,f(x, y) = g(x)h(y) ve R = [a, b] [c, d] olmak üzere R g(x)h(y)da = b a d g(x)dx c h(y)dy dir.
Örnek Örnek : R = [, π/2] [, π/2] ise, π/2 sin x cos y da = sin x dx R = ( cos x ] π/2 ) π/2 ( sin y cos y dy ] π/2 ) = 1 1 = 1 olur.
Örnek... Örnekteki f(x, y) = sin x cos y fonksiyonu R de pozitiftir, bu nedenle integral şekildeki R nin üstünde ve f nin grafiğinin altında kalan katı cismin hacmini temsil eder.
Örnek Örnek : ln 2 ln 5 e 2x y dxdy = ln 2 ln 5 e 2x e y dxdy = ln 5 ( e 2x = 2 e 2x dx ] ln 5 ln 2 e y dy ) ( e y] ) ln 2 = ( 25 2 1 ) ( 2 1 2 + 1) = 12 1 2 = 6 olur.
Genel Bölgeler Üzerinde Çift Katlı İntegraller Tek katlı integraller için üzerinde integral aldığımız bölge her zaman bir aralıktır. Ancak çift katlı integraller için bir fonksiyonun, yalnızca dikdörtgenler değil, örneğin Şekil?? deki gibi daha genel bölgeler üzerinde integralini almak istiyoruz. Şekil 1: Şekil 2:
Genel Bölgeler Üzerinde Çift Katlı İntegraller Bir D düzlemsel bölgesi, iki sürekli fonksiyonun grafiği arasında, başka bir deyişle g 1 ve g 2, [a, b] de sürekli olmak üzere D = {(x, y) a x b, g 1 (x) y g 2 (x)} ise I. tip olarak adlandırılır.
Genel Bölgeler Üzerinde Çift Katlı İntegraller
Genel Bölgeler Üzerinde Çift Katlı İntegraller
Genel Bölgeler Üzerinde Çift Katlı İntegraller
Genel Bölgeler Üzerinde Çift Katlı İntegraller f fonksiyonu D = {(x, y) a x b, g 1 (x) y g 2 (x)} şeklinde I. tip D bölgesinde sürekli ise D b g 2 (x) f(x, y)da = f(x, y) dydx (7) a g 1 (x) olur.
Genel Bölgeler Üzerinde Çift Katlı İntegraller h 1 ve h 2 sürekli olmak üzere D = {(x, y) c y d, h 1 (y) x h 2 (y)} (8) şeklindeki II. tip düzlemsel bölgeleri de göz önünde alırız.
Genel Bölgeler Üzerinde Çift Katlı İntegraller
Genel Bölgeler Üzerinde Çift Katlı İntegraller
Genel Bölgeler Üzerinde Çift Katlı İntegraller D, Denklem?? de verilen II. tip bir bölge olmak üzere D d h 2 (y) f(x, y)da = f(x, y) dxdy (9) c h 1 (y) olur.
Örnek Örnek : D, y = 2x 2 ve y = 1 + x 2 parabolleri tarafından sınırlanan bölge olmak üzere (x + 2y)dA integralini hesaplayınız. D Çözüm : Paraboller 2x 2 = 1 + x 2, başka bir deyişle, x 2 = 1 iken kesişir, bu nedenle x = ±1 olur.
Örnek... Şekil 3:
Örnek... Şekil?? de çizilen D bölgesinin I. tip bölge olduğuna ancak II. tip bölge olmadığına dikkat eder ve yazabiliriz. D = {(x, y) 1 x 1, 2x 2 y 1 + x 2 }
Örnek... Alt sınır y = 2x 2 ve üst sınır y = 1 + x 2 olduğundan, Denklem?? (x + 2y)dA = = = = 1 1 1 1 1 1 1 1 1+x 2 2x 2 (x + 2y) dydx [xy + y 2] y=1+x 2 dx y=2x 2 [ x(1 + x 2 ) + (1 + x 2 ) 2 x(2x 2 ) (2x 2 ) 2] dx ( 3x 4 x 3 + 2x 2 + x + 1)dx ]
NOT Örnekteki gibi bir çift katlı integral hesaplanırken, bir şekil çizmek gereklidir. Çoğu zaman Şekil?? deki gibi bir düşey ok çizmek yararlı olur. Bu durumda, içteki integralin sınırları şekilden aşağıdaki gibi bulunabilir: Ok, alt sınır y = g 1 (x) de başlar, bu integralin alt sınırını verir, ve ok üst sınır y = g 2 (x) de biter, bu da integralin üst sınırını verir. II. tip bölgelerde ok, yatay olarak sol sınırdan sağ sınıra çizilir.
Örnek Örnek : z = x 2 + y 2 paraboloidinin altında ve xy-düzlemindeki y = 2x doğrusu ve y = x 2 parabolü ile sınırlı D bölgesinin üstünde kalan katı cismin hacmini bulunuz. Çözüm 1: Şekil?? dan D nin I. tip bölge ve olduğunu görürüz. D = {(x, y) x 2, x 2 y 2x} Şekil 4:
Örnek... Bu nedenle, z = x 2 + y 2 nin altında ve D nin üstünde kalan hacim V = D 2 2x (x 2 + y 2 )da = (x 2 + y 2 ) dydx x 2 = 2 (x 2 y + y3 3 ] y=2x y=x 2 ) dx = 2 (x 2 (2x) + (2x)3 3 x 2 x 2 (x2 ) 3 3 ) dx = 2 ) ] 2 ( x6 3 x4 + 14x3 dx = x7 3 21 x5 5 + 7x4 = 216 6 35 olur.
Örnek... Çözüm 2: Şekil?? dan D nin II. tip bir bölge olarak da yazılabileceğini görüyoruz: D = {(x, y) y 4, 1 2 y x y} Şekil 5:
Örnek... Bu nedenle, V için başka bir ifade de V = (x 2 + y 2 )da = = D 4 ( x 3 3 + y2 x ] x= y x= 1 2 y 4 y (x 2 + y 2 ) dxdy 1 2 y ) 4 dy = ( y 3/2 = 2 15 y5/2 + 2 7 y7/2 13 ] 4 96 y4 = 216 35 olur. 3 + y5/2 y3 24 y3 2 ) dy
Örnek... Şekil?? hacmi hesaplanan katı cismi göstermektedir. Cisim, xy-düzleminin üstünde z = x 2 + y 2 paraboloidinin altında ve y = 2x düzlemi ile y = x 2 parabolik silindiri arasındadır. Şekil 6:
Örnek Örnek : D, y = x 1 ve y 2 = 2x + 6 ile sınırlı bölge olmak üzere xyda integralini hesaplayınız. D Çözüm : D bölgesi Şekilde gösterilmiştir.
Örnek... D yine hem I. hem de II. tipdir, ancak D nin I. tip olarak betimlenmesi daha karmaşıktır çünkü sınırın alt kenarı iki parçadan oluşmuştur.
Örnek... Bu nedenle D yi II. tip bir bölge olarak ifade etmeyi yeğleriz: D = {(x, y) 2 y 4, 1 2 y2 3 x y + 1}
Örnek... Bu nedenle (??) D xyda = 4 2 y+1 1 2 y2 3 xy dxdy = 4 2 [ ] x 2 x=y+1 2 y dy x= 1 2 y2 3 = 1 2 = 1 2 4 2 4 2 y [(y + 1) 2 ( 12 ] y2 3) 2 dy ) ( y5 4 + 4y3 + 2y 2 8y dy verir. = 1 2 ] 4 [ y6 24 + y4 + 2 y3 3 4y2 = 36 2
Örnek... D yi I. tip bir bölge olarak ifade etseydik D xyda = 1 2x+6 3 2x+6 5 xy dydx + 1 2x+6 x 1 xy dydx elde ederdik. Ancak bu, diğer yönteme göre daha fazla iş gerektirirdi.
Örnek Örnek : x + 2y + z = 2, x = 2y, x = ve z = düzlemleri ile sınırlı düzgün dörtyüzlünün hacmini hesaplayınız. Çözüm : Böyle bir soruda, biri üç boyutlu katı cismin ve diğeri cismin üzerinde bulunduğu D bölgesinin şekli olmak üzere iki şekil çizmek uygun olur.
Örnek... Şekil?? x =, z = koordinat düzlemleri, x = 2y düşey düzlemi ve x + 2y + z = 2 düzlemi ile sınırlanan T düzgün dörtyüzlüsünü göstermektedir. Şekil 7:
Örnek... x + 2y + z = 2 düzlemi (denklemi z = olan) xy-düzlemini x + 2y = 2 doğrusu boyunca kestiği için, T nin, xy-düzleminde x = 2y, x + 2y = 2 ve x = doğruları ile sınırlı D bölgesinin üstünde kaldığını görürüz.
Örnek... x + 2y + z = 2 düzlemi z = 2 x 2y olarak yazılabilir, bu nedenle istenen hacim, z = 2 x 2y fonksiyonunun grafiği altında ve D = {(x, y) x 1, x/2 y 1 x/2} bölgesinin üstünde kalır.
Örnek... Böylece V = D (2 x 2y)dA = 1 1 x/2 x/2 (2 x 2y)dydx = = = 1 1 1 [ 2y xy y 2 ] y=1 x/2 dx y=x/2 [ ( 2 x x 1 x ) ( 1 x ) 2 x 2 ] x + 2 2 2 + x2 dx 4 ] 1 (x 2 2x + 1)dx = x3 3 x2 + x = 1 3 olur.
Örnek Örnek : 1 1 x sin(y 2 ) dydx integralini hesaplayınız. Çözüm: Eğer integrali verdiği gibi hesaplamaya çalışırsak, sin(y 2 )dy integralini hesaplama sorunu ile karşılaşırız. Ancak sin(y 2 )dy bilinen bir fonksiyon olmadığından, bunun, sonlu sayıda işlemle yapılması olanaksızdır. Bu nedenle integral alma sırasını değiştirmeliyiz.
Örnek... Bu, verilen ardışık integrali önce çift katlı bir integral olarak ifade ederek yapılır. (??) ü tersine kullanarak, olmak üzere elde ederiz. D = {(x, y) x 1, x y 1} 1 1 x sin(y 2 ) dydx = D sin(y 2 ) da
Örnek... Bu D bölgesi Şekil?? de çizilmiştir. Şekil 8:
şeklinde de betimlenebildiğini görürüz. Bu da, (??) i kullanarak çift katlı integrali, tek sırada bir ardışık integral olarak ifade edebilmemize olanak verir: Örnek... Şekil 9: Şekil?? dan D nin D = {(x, y) y 1, x y}
Örnek... 1 1 x sin(y 2 ) dydx = = = D 1 y 1 sin(y 2 ) da sin(y 2 ) dxdy = 1 y sin(y 2 ) dy = 1 ] 1 2 cos(y2 ) = 1 (1 cos 1) 2 [ ] x=y x sin(y 2 ) dy x=
Çift Katlı integrallerin Özellikleri Aşağıda integrallerin tümünün var olduğunu varsayıyoruz. [ ] f(x, y) + g(x, y) da = f(x, y)da + g(x, y)da D D D D (1) cf(x, y)da = c f(x, y)da (11) D Eğer D deki her (x, y) için f(x, y) g(x, y) ise, D f(x, y)da D g(x, y)da olur. (12)
Çift Katlı integrallerin Özellikleri Şekil 1: Eğer D 1 ve D 2 sınırları dışında üst üste gelmiyor ve D = D 1 D2 ise (bkz. Şekil??), o zaman f(x, y)da = f(x, y)da + f(x, y)da olur. (13) D D 1 D 2
Çift Katlı integrallerin Özellikleri Özellik??, I. tip ya da II. tip bölgelerin birleşimi olarak ifade edilebilen bölgeler üzerindeki integrallerin hesaplanmasında kullanılabilir. Bu, Şekil?? de açıklanmaktadır. Şekil 11:
Çift Katlı integrallerin Özellikleri İntegralin aşağıdaki özelliği, bir D bölgesi üzerinde f(x, y) = 1 sabit fonksiyonunun integralini alırsak, D nin alanını elde edeceğimizi söyler: 1 da = A(D) (14) Eğer D deki her (x, y) için m f(x, y) M ise D ma(d) D f(x, y) da MA(D) olur. (15)
Kutupsal Koordinatlarda Çift Kattlı İntegraller Şekil?? de gösterilen R bölgelerinden biri üzerinde integralini hesaplamak istediğimizi varsayalım. R f(x, y) da Şekil 12:
Kutupsal Koordinatlarda Çift Kattlı İntegraller Her iki durumda da, R bölgesinin Kartezyen koordinatlar kullanılarak tanımlanması oldukça karmaşıktır, ancak R bölgesi kutupsal koordinatlar kullanılarak kolayca tanımlanabilir.
Kutupsal Koordinatlarda Çift Kattlı İntegraller Şekil?? deki bölgeler, Şekil?? de gösterilen R = {(r, θ) a r b, α θ β} kutupsal dikdörtgeninin özel halleridir. Şekil 13:
Kutupsal Koordinatlarda Çift Kattlı İntegraller Çift Katlı İntegralde Kutupsal Koordinatlara Çevirme f fonksiyonu, β α 2π ve a olmak üzere, R = {(r, θ) a r b, α θ β} olarak verilen R kutupsal dikdörtgeni üzerinde sürekli ise R β b f(x, y) da = f(r cos θ, r sin θ) r dr dθ α a dır.
Örnek Örnek : R, üst yarı düzlemin x 2 + y 2 = 1 ve x 2 + y 2 = 4 çemberiyle sınırlanan bölgesini göstermek üzere, (3x + 4y 2 ) da integralini hesaplayınız. Çözüm : R bölgesini R = {(x, y) y, 1 x 2 + y 2 4} biçiminde gösterebiliriz. R
Örnek... R = {(x, y) y, 1 x 2 + y 2 4} Bu, Şekil??(b) de gösterilen yarım halka şeklindeki bölgedir ve kutupsal koordinatlarda 1 r 2, θ π olarak verilir.
Örnek... Dolayısıyla formülden, R (3x + 4y 2 ) da = π 2 1 ( 3r cos θ + 4(r sin θ) 2 ) r dr dθ = = π 2 π 1 (3r 2 cos θ + 4r 3 sin 2 θ) dr dθ ( r 3 cos θ + r 4 sin 2 θ ] r=2 r=1 ) dθ olur. π = (7 cos θ + 15 sin 2 θ) dθ
Örnek... π (7 cos θ + 15 sin 2 θ) dθ = π ( ) (1 cos 2θ) cos θ + 15 2 = 7 sin θ + 15 θ 2 15 sin 2θ 4 ] π dθ = 15π 2
Örnek Örnek : z = düzlemi ve z = 1 x 2 y 2 paraboloidi tarafından sınırlanan cismin hacmini bulunuz. Çözüm : Paraboloid denkleminde z = alarak x 2 + y 2 = 1 buluruz. Bu, düzlem ile paraboloidin kesişiminin x 2 + y 2 = 1 çemberi olduğu anlamına gelir.
Örnek... Dolayısıyla cisim, paraboloidin altında ve x 2 + y 2 1 olarak verilen D dairesinin üstünde yer alır [bkz. Şekil?? ve??(a)]. D bölgesi, kutupsal koordinatlarda r 1, θ 2π olarak verilir. Şekil 14:
Örnek... 1 x 2 y 2 = 1 (r cos θ) 2 (r sin θ) 2 = 1 r 2 olduğundan, hacim V = (1 x 2 y 2 ) da = D = 2π olarak bulunur. dθ 1 2π 1 (1 r 2 ) r dr dθ ( ) (r r 3 ) dr r 2 = 2π 2 r4 = π 4 2
Örnek... Kutupsal koordinatlar yerine Kartezyen koordinatlar kullanmış olsaydık, V = D (1 x 2 y 2 ) da = 1 1 1 x 2 (1 x 2 y 2 ) dy dx 1 x 2 elde ederdik. Bu iafdenin hesaplanması 1 x 2 dx x 2 1 x 2 dx (1 x 2 ) 3/2 dx integrallerinin bulunmasını içerdiğinden kolay olmayacaktı.
Kutupsal Koordinatlarda Çift Kattlı İntegraller Yukarıda yapılanlar Şekil?? de gösterilen daha karmaşık bölgelerde de uygulanabilir. Şekil 15: D = {(r, θ) α θ β, h1 (θ) r h 2 (θ)}
Kutupsal Koordinatlarda Çift Kattlı İntegraller Bunlar II. tipteki bölgelere benzerler. Bu yüzden formülleri bilerştirerek aşağıdaki formülü elde ederiz: f fonksiyonu bölgesinde sürekli ise D = {(r, θ) α θ β, h 1 (θ) r h 2 (θ)} D β h 2 (θ) f(x, y) da = f(r cos θ, r sin θ) r dr dθ α h 1 (θ) olur.
Kutupsal Koordinatlarda Çift Kattlı İntegraller Bu formülde özel olarak f(x, y) = 1, h 1 (θ) =, ve h 2 (θ) = h(θ) alırsak θ = α, θ = β, ve r = h(θ) tarafından belirlenen D bölgesinin alanının A(D) = D 1 da = β α h(θ) r dr dθ olduğunu görürüz. = β α [ r 2 2 ] h(θ) dθ = β α 1 2 [h(θ)]2 dθ
Örnek Örnek : z = x 2 + y 2 paraboloidinin altında, xy-düzleminin üstünde ve x 2 + y 2 = 2x silindirinin içinde kalan cismin hacminin bulunuz. Çözüm : Şekil 16:
Örnek... Cisim, sınır çemberi x 2 + y 2 = 2x, ya da kareye tamamladıktan sonra, (x 1) 2 + y 2 = 1 (bkz. Şekil?? ve??) olan D dairesinin üstünde yer alır. Şekil 17:
Örnek... Dolayısıyla D diski D = {(r, θ) π/2 θ π/2, r 2 cos θ} olarak verilir ve yukarıdaki formülden V = D (x 2 + y 2 ) da = π/2 π/2 2 cos θ r 2 r dr dθ = π/2 π/2 [ r 4 4 ] 2 cos θ = 4 π/2 π/2 cos 4 θ dθ bulunur. = 8 π/2 cos 4 θ dθ
Örnek... V = 8 π/2 cos 4 θ dθ = 8 1 4 cos3 θ sin θ ] π/2 + 3 4 π/2 cos 2 θ dθ = 6 buluruz. π/2 cos 2 θ dθ [ 1 = 6 2 θ + 1 ] π/2 sin 2θ 4 = 6 1 2 π 2 = 3π 2
Çift Katlı İntegrallerin Uygulamaları Çift katlı integrallerin uygulamalarından birini hacim hesapları olarak daha önce gördük. Diğer bir geometrik uygulama olan yüzeylerin alanının hesaplanmasını bir sonraki bölümde göreceğiz. Bu bölümde, kütle, kütle merkezi gibi fiziksel uygulamaları keşfedeceğiz.
Yoğunluk ve Kütle Değişken yoğunlukta bir tabakanın xy-düzleminde bir D bölgesinde olduğunu ve D deki bir (x, y) noktasındaki (birim alandaki kütle birimi cinsinden) yoğunluğunun, ρ fonksiyonu D üzerinde sürekli olmak üzere ρ(x, y) olarak verildiğini varsayalım. Tabakanın m toplam kütlesini bulmak için m = ρ(x, y) da formülü kullanılır. D
Yoğunluk ve Kütle Fizikçiler benzer şekilde hesaplanabilen farklı yoğunluklarla da ilgilenirler. Örneğin, bir D bölgesi üzerinde dağılmış elektrik yüküknün D deki bir (x, y) noktasındaki (birim alandaki elektrik yükü cinsinden) yük yoğunluğu σ(x, y) ise, Q toplam yükü Q = σ(x, y) da (16) olarak verilir. D
Örnek Örnek : Şekil?? deki üçgen biçimindeki D bölgesinde dağılmış olan elektrik yükünün (x, y) noktasındaki yük yoğunluğu, metrekarede coulomb (C/m 2 ) cinsinden σ(x, y) = xy olarak verilmektedir. Toplam yükü bulunuz. Şekil 18:
Örnek... Çözüm : Denklem (??) ve Şekil?? den Q = D σ(x, y) da = 1 1 1 x xy dy dx = 2 = 1 2 ] y=1 [x 1 y2 x dx = 2 y=1 x 2 [12 (1 x) 2 ] dx 1 (2x 2 x 3 )dx = 1 [ 2x 3 2 3 x4 4 olur. Dolayısıyla toplam yük 5 24 C dir. ] 1 = 5 24
Momentler ve Kütle Merkezi Değişken yoğunlukta bir tabakanın D bölgesini kapladığını ve yoğunluk fonksiyonunun ρ(x, y) olduğunu varsayalım. Tabakanın x-eksenine göre momenti M x = y ρ(x, y) da dır. Benzer şekilde y-bölgesine göre momenti de M y = x ρ(x, y) da olur. D D
Momentler ve Kütle Merkezi D bölgesini kaplayan ve yoğunluk fonksiyonu ρ(x, y) olan bir tabakanın kütle merkezinin ( x, ȳ) koordinatları, m kütlesi m = ρ(x, y) da D olmak üzere x = M y m = 1 m olarak verilir. D x ρ(x, y) da ȳ = M x m = 1 m D y ρ(x, y) da (17)
Örnek Örnek : Köşeleri (, ), (1, ), (, 2) olan üçgen biçiminde bir tabakanın yoğunluk fonksiyonu ρ(x, y) = 1 + 3x + y dir. Bu tabakanın kütlesi ile kütle merkezini bulunuz. Çözüm : Üçgen Şekil?? de gösterilmiştir. (Üstteki sınır doğrusunun denkleminin y = 2 2x olduğuna dikkat ediniz.) Şekil 19:
Örnek... tabakanın kütlesi m = D ρ(x, y) da = 1 2 2x (1 + 3x + y) dy dx = 1 = 4 1 ] y=2 2x [y + 3xy + y2 dx 2 y= (1 x 2 ) dx = 4 ] 1 [x x3 = 8 3 3 elde ederiz.
Örnek... Denklem (??) deki formülden x = 1 m x ρ(x, y) da = 3 8 1 2 2x (x + 3x 2 + xy) dx dy D = 3 8 1 ] y=2 2x [xy + 3x 2 y + x y2 dx 2 y= ve = 3 2 1 [ x (x x 3 2 ) dx = 2 x4 4 ] 1 = 3 8
Örnek... ȳ = 1 m y ρ(x, y) da = 3 8 1 2 2x (y + 3xy + y 2 ) dy dx D = 3 8 1 [ y 2 2 + 3xy2 2 + y3 3 ] y=2 2x y= dx = 1 4 = 1 ] 1 [7x 9 x2 4 2 x3 + 5 x4 = 11 4 16 ( 3 bulunur. Kütle merkezi 8, 11 ) noktasındadır. 16 1 (7 9x 3x 2 + 5x 3 ) dx
Örnek Örnek : Yarım daire şeklindeki bir tabakanın herhangi bir noktasındaki yoğunluğu, noktanın çemberin merkezine olan uzaklığıyla doğru orantılıdır. Tabakanın kütle merkezini bulunuz. Çözüm : Tabakayı (Şekil?? deki gibi) x 2 + y 2 = a 2 çemberinin üst yarısına yerleştirelim. Bu durumda bir (x, y) noktasının çemberin merkezine (başlangıç noktasına) olan uzaklığı x 2 + y 2 olur. Şekil 2:
Örnek... Dolayısıyla yoğunluk fonksiyonu, bir K sabiti için dir. ρ(x, y) = K x 2 + y 2 Yoğunluk fonksiyonu ve tabakanın biçiminin her ikisi de kutupsal koordinatları kullanmamızın daha uygun olacağını gösteriyor.
Örnek... x 2 + y 2 = r ve D bölgesi r a, θ π olduğundan, tabakanın kütlesi m = ρ(x, y) da = = D π a olarak bulunur. D (Kr) r dr dθ = K ] a = Kπ r3 = Kπa3 3 3 K x 2 + y 2 da π dθ a r 2 dr
Örnek... Tabaka ile yoğunluk fonksiyonunun her ikisi de y-eksenine göre simetrik olduğundan, kütle merkezi y-ekseni üzerinde olmalıdır, dolayısıyla x = dır. y-koordinatı ȳ = 1 m D y ρ(x, y) da = 3 π a Kπa 3 r sin θ(kr) r dr dθ = 3 π a πa 3 sin θ dθ r 3 dr = 3 πa 3 [ cos θ]π = 3 πa 3 2a 4 4 = 3a 2π [ r 4 olarak bulunur. Dolayısıyla kütle merkezi (, 3a/(2π)) noktasındadır. 4 ] a
Yüzey Alanı Parametrik S yüzeyinin iki parametreli, vektör değerli bir r(u, v) = x(u, v) i + y(u, v) j + z(u, v) k (18) fonksiyonu, ya da eşdeğer olarak, (u, v) noktası uv-düzlemindeki D bölgesi içinde değişmek üzere, x = x(u, v) y = y(u, v) z = z(u, v) parametrik denklemleri ile tanımlandığını anımsayalım.
Yüzey Alanı S yüzeyinin alanını, S yi parçalara ayırıp, her parçanın alanını, teğet düzlemin bir parçasının alanı alarak, yaklaşık olarak bulacağız. Dolayısıyla, öncelikle parametrik yüzeylere teğet düzlemin nasıl çizildiğini anımsayalım.
Yüzey Alanı S yüzeyi üzerinde konum vektörü r(u, v) olan bir P noktası alalım. u = u olarak sabit tutarsak, r(u, v) yalnızca v parametresine bağlı vektör değerli bir fonksiyon olur ve S üzerinde bir C 1 eğrisi tanımlar. (Bkz. Şekil??.) Şekil 21:
Yüzey Alanı C 1 eğrisine P noktasında çizilen teğet vektörünü r nin v ye göre kısmi türevini alarak buluruz: r v = x v (u, v ) i + y v (u, v ) j + z v (u, v ) k. (19)
Yüzey Alanı Benzer şekilde, v = v alarak v yi sabit tutarsak, S üzerinde r(u, v ) ile verilen bir C 2 eğrisi buluruz. Bu eğrinin P daki teğet vektörü r u = x u (u, v ) i + y u (u, v ) j + z u (u, v ) k (2) ile verilir. r u r v normal vektörü değilse, S yüzeyine düzgün denir. ( Köşeleri yoktur.) Bu durumda S yüzeyinin P noktasında teğet düzlemi vardır ve normal vektörü kullanarak bulunabilir.
Yüzey Alanı Şimdi Denklem (??) de verilen genel bir parametrik yüzeyin alanını tanımlayacağız. Basit olması için D parametre bölgesi dikdörtgen olan bir yüzeyi ele alarak başlayalım ve bu bölgeyi daha küçük R ij dikdörtgenlerine ayıralım.
Yüzey Alanı (u i, v j ) noktasını R ij nin sol alt köşesi olarak seçelim. (Bkz. Şekil??.) S yüzeyinin R ij ye karşıgelen parçasına yüzey parçası denir ve köşelerinden biri, konum vektörü r(u i, v j ) olan P ij noktasıdır. Şekil 22:
Yüzey Alanı Denklem (??) ve (??) de verildiği gibi, P ij deki teğet vektörler olsun. r u = r u (u i, u j) ve r v = r v (u i, v j ) Şekil 23: Şekil??, P ij de kesişen iki kenara vektörlerle yaklaştırımı gösteriyor.
Yüzey Alanı Öte yandan bu vektörler de, kısmi türevler yaklaşık olarak farkların oranı olduğundan, yaklaşık olarak u r u ve v r v alınabilir. Dolayısıyla, S ij parçası yaklaşık olarak u r u ve v r v vektörlerinin belirlediği paralelkenardır diyebiliriz.
Yüzey Alanı Bu paralelkenar, Şekil?? de gösterilmiştir ve S ye P da çizilen teğet düzleminin üzerinde yer alır. Şekil 24:
Yüzey Alanı Paralelkenarın alanı ( u r u) ( v r v) = r u r v u v olarak verildiğinden, S nin alanı yaklaşık olarak m n r u r v u v i=1 j=1 dir. Küçük dikdörtgenlerin sayısı arttırıldığında, yaklaştırımın iyileştiğine ve yukarıdaki çift toplamın, çift katlı r u r v dv du integrali için bir Riemann toplamı olduğuna dikkat ediniz. D
Yüzey Alanı Bu gözlemden hareketle, aşağıdaki tanımı yaparız: Tanım : r(u, v) = x(u, v) i + y(u, v) j + z(u, v) k, (u, v) D denklemiyle verilen ve (u, v) noktası D parametrik bölgesinde değişirken yalnızca bir kez taranan düzgün bir S parametrik yüzeyinin yüzey alanı olmak üzere, r u = x u i + y u j + z u k olarak tanımlanır. A(S) = D r v = x v i + y v j + z v k r u r v da
Örnek Örnek : a yarıçaplı bir kürenin yüzey alanını bulunuz. Çözüm : Daha önce parametrik bölge olmak üzere, D = {(φ, θ) φ π, θ 2π} x = a sin φ cos θ y = a sin φ sin θ z = a cos φ parametrik gösterimini bulmuştuk. Önce teğet vektörlerinin vektörel çarpımını hesaplarız: i j k x y z r φ r θ = φ φ φ x θ y θ z θ
Örnek... r φ r θ = i j k a cos φ cos θ a cos φ sin θ a sin φ a sin φ sin θ a sin φ cos θ = a 2 sin 2 φ cos θ i + a 2 sin 2 φ sin θ j + a 2 sin φ cos φ k
Örnek... r φ r θ = = a 4 sin 4 φ cos 2 θ + a 4 sin 4 φ sin 2 θ + a 4 sin 2 φ cos 2 φ a 4 sin 4 φ + a 4 sin 2 φ cos 2 φ = a 2 sin 2 φ = a 2 sin φ ve dolayısıyla, tanımdan, kürenin alanı A = D 2π π r φ r θ da = a 2 sin φ dφ dθ olarak bulunur. 2π π = dθ sin φ dφ = a 2 (2π)2 = 4πa 2
Grafiğin Yüzey Alanı (x, y) noktasının bir D bölgesinde değiştiği, f nin sürekli kısmi türvlerinin olduğu, denklemi z = f(x, y) olan bir özel yüzey için x ve y yi parametre olarak alırsak, yüzeyin parametrik denklemi x = x y = y z = f(x, y) olur. Dolayısıyla, ve ( f r x = i + x ( f r y = j + y ) k ) k
Grafiğin Yüzey Alanı i j k f r x r y = 1 x f 1 y D = f x i f y j + k (21) olduğundan tanımdaki yüzey alanı formülü ( ) z 2 ( ) z 2 A(S) = 1 + + da (22) x y biçini alır.
Örnek Örnek : z = x 2 + y 2 paraboloidinin z = 9 düzleminin altında kalan kısmının alanını bulunuz. Çözüm : Düzlem, paraboloidi x 2 + y 2 = 9, z = 9 çemberinde keser. Dolayısıyla, verilen yüzey, başlangıç noktası merkezli ve 3 yarıçaplı D dairesinin üzerinde yer alır.
Örnek... Formülü kullanarak A = D = D = D 1 + ( ) z 2 + x ( ) z 2 da y 1 + (2x) 2 + (2y) 2 da 1 + 4(x 2 + y 2 ) da
Örnek... ve kutupsal koordinatlara çevirerek 2π 3 A = 1 + 4r 2 r dr dθ = = 2π elde ederiz. 2π dθ 3 ( ) ] 1 2 3 8 3 (1 + 4r3 ) 3/2 = π 6 (37 37 1) r 1 + 4r 2 dr
Yüzey Alanı Sık rastlanan bir yüzey türü de, f(x) ve f sürekli olmak üzere, y = f(x), a x b eğrisini x-ekseni çevresinde döndürerek elde edilen S dönel yüzeyidir. Bir dönel yüzeyin alanı dir. b A = 2π a f(x) 1 + [f (x)] 2 dx
Üç Katlı İntegraller f(x, y, z) fonksiyonunun B = {(x, y, z) a x b, c y d, r z s} dikdörtgenler prizması üzerinde tanımlandığı basit durumu ele alalım.
Üç Katlı İntegraller için Fubini Teoremi B = [a, b] [c, d] [r, s] dikdörtgenler prizması üzerinde sürekli olan bir f fonksiyonu için B s d b f(x, y, z) dv = f(x, y, z) dx dy dz (23) r c a dir.
Örnek Örnek : B = {(x, y, z) x 1, 1 y 2, z 3} dikdörtgenler prizması olmak üzere xyz 2 dv üç katlı integralini hesaplayınız. Çözüm : Altı integral sıralamasından herhangi birini seçebilirz. Önce x, sonra y, en sonunda da z ye göre integral almayı seçersek, B B 3 2 1 xyz 2 dv = xyz 2 dx dy dz 1
Örnek... B xyz 2 dv = = 3 2 1 1 3 2 1 xyz 2 dx dy dz [ x 2 yz 2 2 ] x=1 x= dy dz = = 3 2 3 1 3z 2 4 yz 2 dy dz = 2 3 dz = z3 4 ] 3 = 27 4 [ y 2 z 2 4 ] y=2 y= 1 dz
Şimdi f nin sürekli ve bölgenin basit tipte olduğu durumu ele alacağız. Şekil 25: Bir cismin oluşturduğu E bölgesine, x ve y nin iki sürekli fonksiyonu arasında kalıyorsa, 1.tipte bölge denir.
Bunu Şekil?? de gösterildiği gibi D bölgesi E nin xy-düzlemi üzerine izdüşümü olmak üzere, E = {(x, y, z) (x, y) D, u 1 (x, y) z u 2 (x, y)} (24) olarak ifade edebiliriz. E cisminin üst sınırının denklemi z = u 2 (x, y), alt sınırının ise denklemi z = u 1 (x, y) olan yüzeylerden oluştuğuna dikkat ediniz.
Denklem?? de verilen 1. tipte bir E bölgesi için u 2 (x,y) f(x, y, z) dv = f(x, y, z) dz da (25) E olduğu gösterilebilir. D u 1 (x,y)
E f(x, y, z) dv = D u 2 (x,y) u 1 (x,y) f(x, y, z) dz da Yukarıdaki denklemin sağ yanında içteki integralin anlamı, x ve y nin sabit tutulduğu, dolayısıyla u 1 (x, y) ve u 2 (x, y) nin sabit olarak algılandığı, f(x, y, z) nin integralinin z ye göre alındığıdır.
Özel olarak E bölgesinin xy-düzlemi üzerine izdüşümü olan D bölgesi I. tipte ise E = {(x, y, z) a x b, g 1 (x) y g 2 (x), u 1 (x, y) z u 2 (x, y)} olur ve Denklem?? E f(x, y, z) dv = b a g 2 (x) u 2 (x,y) g 1 (x) u 1 (x,y) f(x, y, z) dz dy dx (26) biçimini alır.
Diğer yandan D düzlemsel bölgesi II. tipte ise E = {(x, y, z) c y d, h 1 (y) x h 2 (y), u 1 (x, y) z u 2 (x, y)} olur ve Denklem?? E f(x, y, z) dv = d c h 2 (y) u 2 (x,y) h 1 (y) u 1 (x,y) f(x, y, z) dz dx dy (27) biçimini alır.
Örnek Örnek : E bölgesi x =, y =, z = ve x + y + z = 1 olarak verilen dört düzlem tarafından sınırlanan düzgün dörtyüzlü olmak üzere, z dv integralini hesaplayınız. E
Örnek... Çözüm : Üç katlı bir integrali oluştururken biri E cismi (Şekil??), diğeri E nin xy-düzlemi üzerine D izdüşümü (Şekil??) olan iki şekil çizmek yararlıdır. Şekil 26: Şekil 27:
Örnek... Düzgün dörtyüzlünün alt sınırı z = düzlemi, üst sınırı x + y + z = 1 (ya da z = 1 x y) düzlemi olduğundan, Formül?? de u 1 (x, y) = ve u 2 (x, y) = 1 x y alırız. x + y + z = 1 ve z = düzlemlerinin xy-düzlemindeki x + y = 1 (ya da y = 1 x) doğrusunda kesiştiklerine dikkat ediniz.
Örnek... Dolayısıyla E nin izdüşümü üçgensel bir bölge olur ve E = {(x, y, z) x 1, y 1 x, z 1 x y} (28) elde edilir.
Örnek... E nin 1. tipte bir bölge olarak gösterimi, integrali E zdv = 1 1 x 1 x y z dz dy dx olarak hesaplamamızı olanaklı kılar.
Örnek... E zdv = = 1 1 = 1 2 1 x 1 x 1 1 x y [ z 2 1 x 2 z dz dy dx ] z=1 x y z= dy dx (1 x y) 2 dy dx
Örnek... E zdv = 1 2 = 1 2 = 1 6 1 1 1 1 x [ (1 x y) 2 dy dx ] y=1 x (1 x y)3 dx 3 y= (1 x) 3 dx = 1 6 [ ] 1 (1 x)4 = 1 4 24
E = {(x, y, z) (y, z) D, u 1 (y, z) x u 2 (y, z)} şeklindeki E bölgesine 2.tipte bölge denir. Bu kez, D bölgesi E nin yz-düzlemi üzerine izdüşümüdür (Şekil??). Şekil 28:
Arka yüzey x = u 1 (y, z), ön yüzey x = u 2 (y, z) olduğundan, u 2 (y,z) f(x, y, z) dv = f(x, y, z) dx da (29) E elde ederiz. D u 1 (y,z)
Son olarak, E = {(x, y, z) (x, z) D, u 1 (x, z) y u 2 (x, z)} şeklinde verilen bir E bölgesine 3.tipte bölge denir. Burada D bölgesi E nin xz-düzlemi üzerine izdüşümü, y = u 1 (x, z) sol, y = u 2 (x, z) sağ yüzeydir (Şekil??). Şekil 29:
Bu tipteki bir bölge için f(x, y, z) dv = E D u 2 (x,z) u 1 (x,z) f(x, y, z) dy da (3) elde edilir.
Denklem?? ve?? in her ikisinde de D nin I. ya da II. tipte düzlemsel bir bölge olmasına (ve Denklem?? ve?? e) bağlı olarak iki farklı ifade olabilir.
Örnek Örnek : E bölgesi y = x 2 + z 2 paraboloidi ve y = 4 düzlemi tarafından sınırlanan bölge olmak üzere, x 2 + z 2 dv integralini hesaplayınız. Çözüm : E bölgesi Şekil?? da gösterilmiştir. E Şekil 3:
Örnek... Eğer E yi 1. tipte bölge olarak düşünürsek, onun, Şekil?? da gösterilen, xy-düzlemi üzerindeki izdüşümü olan parabolik D 1 bölgesini ele almamız gerekir. (y = x 2 + z 2 nin z = düzlemindeki izi y = x 2 parabölüdür.) Şekil 31:
Örnek... y = x 2 + z 2 den z = ± y x 2 elde edildiğinden E nin alt sınırı z = y x 2 yüzeyi, üst sınırı ise z = y x 2 yüzeyidir. Dolayısıyla, E nin 1. tipte bir bölge olarak ifadesi E = {(x, y, z) 2 x 2, x 2 y 4, y x 2 z y x 2 } olur ve
Örnek... x 2 + z 2 dv = 2 4 y x 2 x 2 + z 2 dz dy dx E elde ederiz. 2 x 2 y x 2
Örnek... Bu, doğru olmakla birlikte hesaplanması son derece zor bir ifadedir. Bunun yerine E yi, 3. tipte bir bölge olarak düşünelim. Bu durumda xz-düzlemi üzerindeki D 3 izdüşümü Şekil?? de gösterilen x 2 + z 2 4 dairesi olur. Şekil 32:
Örnek... E nin sol sınırı y = x 2 + z 2 paraboloidi, sağ sınırı y = 4 düzlemi olduğundan Denklem?? de, u 1 (x, z) = x 2 + z 2 ve u 2 (x, z) = 4 alarak E x 2 + z 2 dv = = D 3 4 x 2 +z 2 x 2 + z 2 dy da (4 x 2 z 2 ) x 2 + z 2 da D 3 şeklinde yazılabilirse de, integrali xz-düzleminde x = r cos θ, z = r sin θ kutupsal koordinatlarına çevirmek daha kolaydır.
Örnek... Bu bize E x 2 + z 2 dv = (4 x 2 z 2 ) x 2 + z 2 da D 3 verir. = = 2π 2 2π (4 r 2 )rr dr dθ dθ 2 [ 4r 3 = 2π 3 r5 5 (4r 2 r 4 ) dr ] 2 = 128π 15
Üç Katlı İntegrallerin Uygulamaları E nin yalnızca f fonksiyonunun tanım kümesi olduğunu ve f nin grafiğinin dört-boyutlu uzayda olduğunu anımsayınız. f(x, y, z) dv üç katlı integralini çeşitli fiziksel durumlarda, E x, y, z ve f(x, y, z) nin fiziksel yorumuna bağlı olarak, çeşitli şekillerde yorumlamak olanaklıdır.
Üç Katlı İntegrallerin Uygulamaları E deki her nokta için f(x, y, z) = 1 olan özel durumla başlayalım. Bu durumda üç katlı integral gerçekten de E nin hacmini verir: V (E) = dv (31) E
Üç Katlı İntegrallerin Uygulamaları Bunu, örneğin, 1. tipte bir bölge için Formül?? da f(x, y, z) = 1 alarak görebilirsiniz: u 2 (x,y) 1 dv = dz da = [u 2 (x, y) u 1 (x, y)] da E D u 1 (x,y) Bu ifadenin z = u 1 (x, y) ve z = u 2 (x, y) yüzeyleri arasında kalan bölgenin hacmini verdiğini biliyoruz. D
Örnek Örnek : x + 2y + z = 2, x = 2y, x = ve z = düzlemleri tarafından sınırlanan T düzgün dörtyüzlüsünün hacmini bir üç katlı integral kullanarak bulunuz. Çözüm :
Örnek... T düzgün dörtyüzlüsü ve onun xy-düzlemine izdüşümü Şekil?? de gösterilmiştir. Şekil 33:
Örnek... T nin alt sınırı z = düzlemi ve üst sınırı x + 2y + z = 2 ya da z = 2 x 2y düzlemi olduğundan V (T ) = = T 1 1 x/2 x/2 dv = 1 1 x/2 x/2 2 x 2y (2 x 2y) dy dx = 1 3 dz dy dx bulunur. (Hacim hesabı için üç katlı integralleri kullanmanın mutlaka gerekli olmadığına, bunun yalnızca farklı bir hesaplama olanağı sağladığına dikkat ediniz.)
Kütle Çift katlı integral uygulamaları, üç katlı integrallere doğrudan genişletebilir. Örneğin, bir E bölgesini kaplayan bir cismin yoğunluğu, herhangi bir (x, y, z) noktasında, birim hacimdeki kütle cinsinden ρ(x, y, z) ise, bu cismin kütlesi m = ρ(x, y, z) dv (32) E
Momentler ve üç koordinat düzlemine göre momentleri M yz = xρ(x, y, z) dv E M xz = yρ(x, y, z) dv E M xy = zρ(x, y, z) dv E (33) olarak verilir.
Kütle merkezi koordinatları x = M yz y = M xz z = M xy (34) m m m olarak verilen noktada bulunur. Yoğunluk sabit ise kütle merkezine kısaca merkez denir.
Örnek Örnek : x = y 2 parabolik silindiri ile x = z, z = ve x = 1 düzlemleri tarafından sınırlanan ve yoğunluğu sabit olan cismin kütle merkezini bulunuz. Çözüm : E cismi ile xy-düzleminin üzerine olan izdüşümü Şekil?? ve?? de gösterilmiştir. Şekil 34: Şekil 35:
Örnek... E nin alt ve üst sınırları, sırasıyla z = ve z = x düzlemleri olduğundan, E yi 1. tipte bir bölge olarak betimleriz: E = {(x, y, z) 1 y 1, y 2 x 1, z x}
Örnek... Buradan yoğunluk ρ(x, y, z) = ρ ise, kütle olur. m = E 1 = ρ = ρ 2 = ρ 1 y 2 1 1 1 ρ dv = 1 1 x 1 y 2 1 x dx dy = ρ 1 (1 y 4 ) dy = ρ [y y5 5 ] 1 = 4ρ 5 1 ρ dz dx dy [ x 2 2 ] x=1 x=y 2 (1 y 4 ) dy dy
Örnek... E ve ρ nun her ikisi de xz-düzlemine göre simetrik olduğundan, M xz =, dolayısıyla da y = olduğunu hemen söyleyebiliriz.
Örnek... Diğer momentler M yz = 1 1 x xρ dv = xρ dz dx dy E 1 = ρ = 2ρ 3 1 1 y 2 1 1 y 2 1 x 2 dx dy = ρ 1 (1 y 6 ) dy = 2ρ 3 [ x 3 3 ] x=1 x=y 2 dy [y y7 7 ] 1 = 4ρ 7
Örnek... M xy = 1 1 x zρ dv = zρ dz dx dy E 1 = ρ 1 1 y 2 1 [ z 2 2 ] z=x z= 1 y 2 dx dy = ρ 2 1 1 1 y 2 x 2 dx dy = ρ 3 (1 y 6 ) dy = 2ρ 7 olur.
Örnek... Buradan, kütle merkezi, ( Myz (x, y, z) = m, M xz m, M ) xy m olarak bulunur. = ( 5 7,, 5 14 )
Silindirik ve Küresel Koordinatlarda Üç Katlı İntegraller
Silindirik Koordinatlar f nin sürekli ve D bölgesi kutupsal koordinatlarda D = {(r, θ) α θ β, h 1 (θ) r h 2 (θ)} olarak verilmek üzere, E = {(x, y, z) (x, y) D, u 1 (x, y) z u 2 (x, y)} olduğunu varsayalım.
Silindirik Koordinatlar Denklem?? dan E f(x, y, z) dv = β α h 2 (θ) u 2 (r cos θ,r sin θ) h 1 (θ) u 1 (r cos θ,r sin θ) f(r cos θ, r sin θ, z)r dz dr dθ (35) formülünü elde ederiz. Formül?? üç katlı integralin silindirik koordinatlardaki ifadesidir. Bu formülü kullanmak, E bölgesi silindirik koordinatlarla kolayca betimlemeye uygun olduğu ve özellikle f(x, y, z) de x 2 + y 2 ifadesi geçtiği zaman yararlıdır.
Örnek Örnek : E cismi x 2 + y 2 = 1 silindirinin içinde, z = 4 düzleminin altında ve z = 1 x 2 y 2 paraboloidinin üstündedir. Herhangi bir noktadaki yoğunluk, noktanın silindirin eksenine olan uzaklığıyla doğru orantılıdır. E nin kütlesini bulunuz.
Örnek... Çözüm : Silindirik koordinatlarda, silindirin ifadesi r = 1 ve paraboloidin ifadesi z = 1 r 2 olduğundan yazabiliriz. E = {(r, θ, z) θ 2π, r 1, 1 r 2 z 4}
Örnek... (x, y, z) deki yoğunluk, z-eksenine olan uzaklıkla doğru orantılı olduğundan, yoğunluk fonksiyonu f(x, y, z) = K x 2 + y 2 = Kr dir. Dolayısıyla Formül?? den E nin kütlesi m = K x 2 + y 2 dv olur. E
Örnek... m = = = E 2π 1 2π 1 = K 2π = 2πK K x 2 + y 2 dv 4 1 r 2 (Kr)r dz dr dθ Kr 2 [4 (1 r 2 )] dr dθ dθ 1 [r 3 + r5 5 (3r 2 + r 4 ) dr ] 1 = 12πK 5
Örnek Örnek : 2 4 x 2 2 4 x 2 değerini bulunuz. 2 x 2 +y 2 (x 2 + y 2 ) dz dy dx integralinin Çözüm : Bu ardışık integral E = {(x, y, z) 2 x 2, 4 x 2 y 4 x 2, x 2 + y 2 z 2} bölgesi üzerinde bir üç katlı integraldir ve E nin xy-düzlemi üzerine izdüşümü x 2 + y 2 4 dairesidir.
Örnek... E nin alt yüzeyi z = x 2 + y 2 konisi, üst yüzeyi de z = 2 düzlemidir. Bu bölgenin silindirik koordinatlardaki ifadesi çok daha basittir: E = {(r, θ, z) θ 2π, r 2, r z 2}
Örnek... Dolayısıyla 2 4 x 2 2 4 x 2 elde edilir. 2 x 2 +y 2 (x 2 + y 2 )dzdydx = = = E 2π 2 2 2π = 2π dθ (x 2 + y 2 ) dv r 2 r 2 r dz dr dθ r 3 (2 r) dr [ 1 2 r4 1 5 r5 ] 2 = 16π 5
Küresel Koordinatlar E, E = {(ρ, θ, φ) a ρ b, α θ β, c φ d} olarak verilen küresel bir yarık olmak üzere f(x, y, z)dv = E d β b c α a dir. f(ρ sin φ cos θ, ρ sin φ sin θ, ρ cos φ)ρ 2 sin φ dρdθdφ (36)
Küresel Koordinatlar Bu formülü E = {(ρ, θ, φ) α θ β, c φ d, g 1 (θ, φ) ρ g 2 (θ, φ)} gibi daha genel küresel bölgeleri de kapsayacak şekilde genişletebiliriz. Bu durumda formül, ρ nun sınırlarının g 1 (θ, φ) ve g 2 (θ, φ)olması dışında (??) ile aynıdır. Küresel koordinatlar genellikle üzerinde integral alınan cismin sınırlarını koni ya da küre gibi yüzeylerin oluşturduğu üç katlı integrallerde kullanılır.
Örnek Örnek : B bölgesi B = {(x, y, z) x 2 + y 2 + z 2 1} birim küresi olmak üzere e (x2 +y 2 +z 2 ) 3/2 dv integralinin değerini bulunuz. B Çözüm : B nin sınırı bir küre olduğu için, küresel koordinatları kullanırız: Ayrıca B = {(ρ, θ, φ) ρ 1, θ 2π, φ π}. x 2 + y 2 + z 2 = ρ 2 olduğundan küresel koordinatları kullanmak uygun olur.
Örnek... (??) den B π 2π 1 e (x2 +y 2 +z 2 ) 3/2 dv = e (ρ2 ) 3/2 ρ 2 sin φdρdθdφ π 2π 1 = sin φdφ dθ ρ 2 e ρ3 dρ = [ cos φ] π (2π) [ 1 3 eρ3 ] 1 = 4π 3 (e 1) bulunur.
NOT Örnekteki integrali küresel koordinatları kullanmadan hesaplamak sıkıntılı olurdu. Örneğin kartezyen koordinatlarda ardışık integral 1 1 x 2 1 x 2 y 2 (x e 2 +y 2 +z 2 ) 3/2 dzdydx 1 1 x 2 1 x 2 y 2 olurdu.
Örnek Örnek : z = x 2 + y 2 konisinin üstünde ve x 2 + y 2 + z 2 = z küresinin altında kalan cismin hacmini küresel koordinatları kullanarak bulunuz. (Bkz. Şekil??.) Şekil 36:
Örnek... Çözüm : Kürenin başlangıç noktasından geçtiğine ve merkezinin (,, 1 2 ) noktası olduğuna dikkat ediniz. Küre denklemini küresel koordinatlarda ρ 2 = ρ cos φ ya da ρ = cos φ biçiminde yazarız. Koninin denklemi de ρ cos φ = ρ 2 sin 2 φ cos 2 θ + ρ 2 sin 2 φ sin 2 θ = ρ sin φ olur. Buradan sin φ = cos φ, φ = π/4 bulunur.
Örnek... Dolayısıyla, E cisminin hacminin küresel koordinatlardaki ifadesi olur. E = {(ρ, φ, θ) θ 2π, φ π/4, ρ cos φ}
Örnek... Şekil??, integrali önce ρ sonra φ ve en sonunda θ ya göre aldığımızda E nin nasıl tarandığını göstermektedir. Şekil 37:
Örnek... E nin hacmi V (E) = E 2π π/4 cos φ dv = ρ 2 sin φ dρ dφ dθ 2π = dθ π/4 [ ρ 3 sin φ 3 ] ρ=cos θ ρ= dφ = 2π 3 π/4 sin φ cos 3 φdφ = 2π 3 [ ] π/4 cos4 φ = π 4 8 olur.
Çok Katlı İntegrallerde Değişken Değiştirme Değişken değişikliği çift katlı integrallerde de yararlı olabilir. Bunun bir örneğini daha önce görmüştük: kutupsal koordinatlara çevirmek. Yeni r ve θ değişkenleri ile eski x ve y değişkenleri arasındaki ilişki x = r cos θ y = r sin θ dır ve değişken değişikliği formülü, rθ-düzlemindeki S bölgesi xy-düzlemindeki R bölgesine karşı gelmek üzere, f(x, y)da = f(r cos θ, r sin θ)r dr dθ olarak yazılabilir. R S
Çok Katlı İntegrallerde Değişken Değiştirme Daha genel olarak uv-düzleminden xy-düzlemine T (u, v) = (x, y) biçiminde T dönüşümü tarafından verilen ve x ve y nin u ve v ile ilişkisi x = g(u, v) y = h(u, v) (37) ya da bazen yazdığımız gibi, x = x(u, v) y = y(u, v) olan bir değişken değiştirmeyi ele alırız. Sıklıkla T nin, g ve h nin birinci basamaktan sürekli kısmi türevleri olması anlamına gelen, bir C 1 dönüşümü olduğunu varsayarız.
Çok Katlı İntegrallerde Değişken Değiştirme Aslında bir T dönüşümü, yalnızca, tanım ve görüntü kümeleri R 2 nin altkümeleri olan bir fonksiyondur. T (u 1, v 1 ) = (x 1, y 1 ) ise, (x 1, y 1 ) noktasına (u 1, v 1 ) in görüntüsü denir. Görüntüsü aynı olan iki nokta yoksa, T ye bire-birdir denir.
Çok Katlı İntegrallerde Değişken Değiştirme Bir T dönüşümünün uv-düzlemindeki bir S bölgesine etkisi Şekil?? de gösterilmiştir. T dönüşümü S yi, S nin görüntüsü denilen, S deki noktaların görüntülerinden oluşan, xy-düzlemindeki R bölgesine dönüştürür. Şekil 38:
Çok Katlı İntegrallerde Değişken Değiştirme T dönüşümü bire-birse, xy-düzleminden uv-düzlemine bir T 1 ters dönüşümü vardır ve Denklem?? deki eşitlikler u ve v için x ve y cinsinden çözülebilir: u = G(x, y) v = H(x, y)
Örnek Örnek : x = u 2 v 2 y = 2uv ile bir dönüşüm tanımlanıyor. S = {(u, v) u 1, u 1} karesinin görüntüsünü bulunuz. Çözüm: Dönüşüm, S nin sınırını görüntünün sınırına gönderir. Dolayısıyla S nin kenarlarının görüntüsünü bulmakla işe başlarız.
Örnek... S 1 kenarı v = ( u 1) olarak verilir. Verilen denklemlerden x = u 2, y = ve dolayısıyla x 1 elde ederiz. Böylece S 1 in görüntüsü xy-düzleminde (, ) noktasından (1, ) noktasına giden doğru parçası olur.
Örnek... S 2 kenarı u = 1, (, v 1) dir ve verilen denklemlerde u = 1 koyarak x = 1 v 2 y = 2v buluruz. v yi yok ederek, bir parabol parçası olan eğrisini elde ederiz. x = 1 y2 4 x 1 (38)
Örnek... Benzer şekilde, v = 1 ( u 1) olarak verilen S 3 kenarının görüntüsü x = y2 1 1 x (39) 2 parabolik yayıdır.
Örnek... Son olarak, u = ( v 1) olarak verilen S 4 kenarının görüntüsü x = v 2, y =, başka bir deyişle, 1 x dır.
Örnek... (Kareni çevresinde saat yönünün tersinde hareket ettiğimizde parabolik bölgenin çevresinde de saat yönünün tewrsinde hareket ettiğimize dikkat ediniz.) S bölgesinin (Şekil?? de gösterilen) görüntüsü x-ekseni ile Denklem (??) ve (??) de verilen parabollerle sınırlanan R bölgesidir. Şekil 39:
Çok Katlı İntegrallerde Değişken Değiştirme Şimdi de değişken değiştirmenin bir çift katlı integrali nasıl etkilediğini görelim. uv-düzleminde sol alt köşesi (u, v ) ve kenar uzunlukları u ve v olan küçük bir S dikdörtgeni ile başlarız. S nin görüntüsü, sınır noktalarından birisi (x, y ) = T (u, v ) olan xy-düzlemindeki R bölgesidir.
Çok Katlı İntegrallerde Değişken Değiştirme r(u, v) = g(u, v) i + h(u, v) j vektörü (u, u) noktasının görüntüsünün konum vektörüdür. S nin v = v olan alt kenarının görüntüsü r(u, v ) vektör fonksiyonu tarafından verilen eğridir. Bu görüntü eğrisinin (x, y ) noktasındaki teğet vektörü dir. r u = g u (u, v ) i + h u (u, v ) j = x u i + y u j
Çok Katlı İntegrallerde Değişken Değiştirme Benzer şekilde, S nin sol kenarının (diğer bir deyişle u = u ın) görüntü eğrisinin (x, y ) noktasındaki teğet vektörü olur. r v = g v (u, v ) i + h v (u, v ) j = x v i + v u j
Çok Katlı İntegrallerde Değişken Değiştirme R = T (S) görüntü bölgesini Şekil?? de gösterildiği gibi, yaklaşık olarak a = r(u + uiv ) r(u, v ) b = r(u, v + v) r(u, v ) kiriş vektörleri tarafından belirlenen bir paralel kenar gibi düşünebiliriz. Şekil 4:
Çok Katlı İntegrallerde Değişken Değiştirme Burada r(u + u, v ) r(u, v ) r u = lim u u ve dolayısıyla r(u + u, v ) r(u, v ) u r u dur. Benzer şekilde r(u, v + v) r(u, v ) v r v dir.
Çok Katlı İntegrallerde Değişken Değiştirme Bu, R bölgesini yaklaşık olarak, u r u ve v r v vektörlerinin belirlediği paralel kenar olarak alabileceğimiz anlamına gelir. (Bkz. Şekil??.) Şekil 41:
Çok Katlı İntegrallerde Değişken Değiştirme Dolayısıyla, R nin alanını yaklaşık olarak, bu paralel kenarın alanı olarak alabiliriz. ( u r u ) ( v r v ) = r u r v u v (4)
Çok Katlı İntegrallerde Değişken Değiştirme Vektörel Çarpımı hesaplayarak i j k x y r u r v = u u = x y v v x u x v y u y v k = x u y u x v y v k olarak elde ederiz. Bu hesaplamada ortaya çıkan determinanta dönüşümün Jakobiyeni denir ve özel bir sembolle gösterilir.
Tanım : Jakobiyen x = g(u, v) ve y = h(u, v) ile verilen T dönüşümünün Jakobiyeni x x (x, y) (u, v) = u v = x y y y u v x y dur. (41) v u u v
Çok Katlı İntegrallerde Değişken Değiştirme Bu gösterimde Denklem?? yı kullanarak R nin A alanını yaklaşık olarak, Jakobiyenin değeri (u, v ) noktasında hesaplanmak üzere A (x, y) (u, v) u v (42) alabiliriz.
Çok Katlı İntegrallerde Değişken Değiştirme Şimdi uv-düzlemindeki bir S bölgesini S ij dikdörtgenlerine ayıralım ve bunların xy-düzlemindeki görüntülerine R ij diyelim.
Çok Katlı İntegrallerde Değişken Değiştirme Şimdi uv-düzlemindeki bir S bölgesini S ij dikdörtgenlerine ayıralım ve bunların xy-düzlemindeki görüntülerine R ij diyelim. Her bir R ij için (??) deki yaklaşımları kullanarak, Jakobiyen (u i, v j ) noktasında hesaplanmak üzere, f nin R üzerindeki çift katlı integralinin R f(x, y)da m i=1 j=1 m i=1 j=1 yaklaştırımını elde ederiz. n f(x i, y j ) A n f(g(u i, v j ), h(u i, v j )) (x, y) (u, v) u v
Çok Katlı İntegrallerde Değişken Değiştirme Bu çift topamın S f(g(u, v), h(u, v)) (x, y) (u, v) du dv integrali için bir Riemann toplamı olduğuna dikkat ediniz. Yukarıdaki yaklaştırıma göre aşağıdaki teoremi yazabiliriz.
Teorem - Çok Katlı İntegralde Değişken Değişikliği T, bire-bir, C 1, Jakobiyeni sıfırdan farklı olan ve uv-düzlemindeki bir S bölgesini xy-düzleminde bir R bölgesine örten olarak gönderen bir dönüşüm olsun. f fonksiyonu R üzerinde sürekli ve R ile S bölgeleri I. ya da II. tipten düzlemsel bölgeler olsun. Bu durumda f(x, y)da = f(x(u, v), y(u, v)) (x, y) (u, v) du dv dir. (43) R S
Çok Katlı İntegralde Değişken Değişikliği Teorem, x ve y cinsinden verilmiş bir integrali x ve y yi u ve v cinsinden ifade ederek ve da = (x, y) (u, v) du dv yazarak u ve v cinsinden bir integrale dönüştürebileceğimizi söyler.
Çok Katlı İntegralde Değişken Değişikliği Teoremin ilk kullanımı olarak kutupsal koordinatlarda integral hesabının yalnızca özel bir durum olduğunu göstereceğiz. Burada rθ-düzleminden xy-düzlemine giden T dönüşümü x = g(r, θ) = r cos θ y = h(r, θ) = r sin θ olarak verilir ve bu dönüşümün geometrisi Şekil?? de gösterilmiştir.
Çok Katlı İntegralde Değişken Değişikliği Şekil 42: