00\..) ON/vı09.r/ l~o"''''~ cl O ANADOLU ÜNivERSiTESi BiliM VE TEKNOLOJi DERGiSi '!- E ANADOLU UNIVERSITY JOURNAL OF SCIENCE AND TECHNOLOGY (~ \.tl: b I--'tKHOLOI\ Cilt/Vol.: 3 - Sayı/No: 3 : 363-367 (2002) XLV. Ulusal Matematik Sempozyumu Özel Sayısı/Special Issue for XIVth National Mathematics Symposium ARAŞTIRMA MAKALESiiRESEARCH ARTICLE MATRislER AilESiNiN GÜRBÜZ VE KUADRATiK KARARlıllGI ÜZERiNE Vakıf Dzhafarov", Özlem A. Esen 2 öz Bu çalışmada kararlı matrislerin onların karakteristik polinomlarının konks kombinasyonlarının kararlılığı arasındaki bağlantılar incelenmiştir. Konks kombinasyonlar ailesinin gürbüz kuadratik kararlılığı için gerekli yeterli koşullar rilmiştir. Anahtar Kelimeler: Kararlı matris, Konks kombinasyon, Gürbüz kararlılık, Kuadratik kararlılık. ON THE ROBUST AND QUADRATIC STABIlITY OF MATRICES FAMilY ABSTRACT In this study the relationship between stability of conx combinations of stable matrices and its characteritic polynomialis is instigated. Necessaryand sufficient conditions for robust stability and quadratic stability of conx combinations are gin. Key Words: Stable Matrices, Conx combinations of matrix, Robust stability, Quadratic stability. ı. ciniş Bir A kare matrisi (p(s) polinomu) rilsin. Eğer bu mat-risin tüm özdeğerleri (polinornun tüm kökleri) sol yarı-açık düzlemde ise bu matrise (polinoma) kararlı (ya Hurwitz kararlı) matris (polinom) denir. Bilindiği gibi A nın özdeğerleri, I birim matris olmak üzere det(si-a) monik polinomunun kökleridir. Tersine herhangi p (s) = sn + an_ıs n- l +.,. + aıs + aa monik polinomu o O O -aa ı O O -aı O O -a2 (2) O O ı -an-ı () matrisinin karakteristik polinomudur. (2) Matrisine () polinamunun kompanyon (companion) matrisi denir. (2) matrisine benzer olan tüm matrislerinde karakteristik polinamunun () polinomu olduğu bilinmektedir. Boyutları aynı olan A B matrisleri için LA.B = {(- A)A + AB : O ~ A ~ I} ailesine A B nin korıks kombinasyonları kümesi denir. 9J matrisler ailesi rilsin. Eğer her A E 9J matrisi kararlı ise 9J ailesine gürbüz kararlı aile denir. Bu çalışmada önce kararlı matrislerirı konks kombinasyonlarının kararlılığı ile bu matrislerin karakteristik polinamlarının konks kombinasyonlarının kararlılığı arasındaki bağlantılar i Anadolu Ünirsitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü 26470 Eskişehir E-posta: vcaferov@anadolu.edu.tr 2Anadolu Ünirsitesi Engelliler Entegre Yüksekokulu Eskişehir Geliş: 26 Mart 2002; Kabul: 04 Kasım 2002.
364 örneklerle açıklanmış sonra konks kombinasyonlar ailesinin gürbüz kuadratik kararlılığı için gerekli yeterli koşullar rilmiştir. Fu Barrnish (988), Barrnish (994) yayınlarında bir kararlı matrisin belli bir yönde kararlılığının korunması için maksirnal sınırlar bulunmuştur. Barrnish vd. (988) makalesinde matrisler politopu için kenar (edge) teoreminin genellikle geçerli olmadığı gösterilmiştir. 2. GÜRBÜZ KARARlılıK Bilindiği gibi ikinci mertebeden polinomun kararlılığı için katsayıların aynı işaretli olması gerekli yeterli. Üçüncü mertebeden Anadolu Ünirsitesi Bilim Teknoloji Dergisi, 3 (3) kombinasyonu A = ~ için kararlı olmadığı halde her ikisininde karakteristik polinomu 8 2 + 8 + dir. Konks kombinasyonları da kararlı olmak üzere öyle Pı (8) P2 (8) polinornları vardır ki A ı A 2 kompanyon matrisler olmak üzere öyle Wı, W 2 matrisleri bul unabilir ki olduğunda Bı B 2 matrislerinin konks kombinasyonları kararsız olur. Örnek 3. Pı(8) = 8 2 + 8 +, P2(8) = 8 2 + 28 + 4 Kompanyorı matrisler polinanıunun kararlılığı için ise katsayıları aynı işaretli olmalı A ı = [ ~ -4 ] -2 olur. eşi tsizliği sağlanmalıdır. (n x n) boyutlu kararlı iki rnatrisin konks kombinasyonu kararlı olmayabilir. Örnek. alırsak Wı = 2 7 3 2.06 [ 5-0.06 ] A = -0.25 O, 0.25-4 [ -0.5 2.06 -Oj06 ] B = -0.25 O 0.25-4 matrislerikararlıolduğu halde ( - A) A + AB matrisi A = ~ için kararlı değildir. Eğer i matrisi (n - 3) x (n - 3) boyutlu birim rnatris ise A ~ - [ - i O] B~ _ [ - i O] - O A' - O B gibi tanımlanan (n x n) boyutlu blok matrisler kararlı oldukları halde onların konks kombinasyonu A = ~ için kararsızdır. Konks kombinasyonu kararsız olan iki kararlı matrisin karakteristik polinamlarınınkonks kombinasyonları kararlı olabilir. Örnek 2. B 2 W2A2W2 - ı [~64 ~] elde edilir. Bı ile B 2 nın konks kombinasyonu A = ~ için kararsızdır. Konks kombinasyonu kararsız olan öyle Pı (8) P2 (8) polinornları bulabiliriz ki A ı A 2 kompanyon matrisler olmak üzere Bı = WıA ı Wı- ı, B 2 =W 2A2 W2 - ı olduğunda Bı B 2 matrislerinin konks kombinasyonu kararlı olur. Örnek 4. Pı (8) = 8 3 + 8 2 + 28 + P2 (8) = 8 3 + 0.008 2 + 0.008 + 0-8 seçelim (Bialas Garloff, 985). A = [ ~ ] B = [ -3-2 ] ] -2 kararlı matrislerini alalım. Bu iki matrisin konks - 0-8 ] -0.00-0.00
Anadolu Unirsity Journal of Science and Technology, 3 (3) 365 dir. n Wı = W 2 = O [: [: seçilirse n ailesini tanımlayalım. O zaman m ailesinin gürbüz kararlı olduğu (O, rmax) maksimal aralığı için dir. B 2 olur. Bı WıA ı W ı- ı [ ~ ~3 W 2A2W2- ı 4 ı 29 -i T -"4 "4 ] [.00 -.00 -.00 0.5005.5005.4995.505-2.50 5.4985 ] Şimdi A B kararlı olmak üzere LA,B = {(- A)A + AB: O::; A::; I} ailesine Teorem 6' yı uygularsak aşağıdaki sonucu elde ederiz. Sonuç 7. (3) Ailesinin karatlı olması için gerekli yeterli koşul rmax = 2': (4) A;i;ax (_T(A)-ı T(B - A)) Pı (s) P2 (s) polinomlarının konks kom binas 2 yonu A = 3" için kararsız olduğu halde Bı B 2 ninkiler ise kararlıdır. Şimdi iki kararlı matrisin konks kombinasyonunun kararlılığı için gerekli yeterli koşul relim. Bu koşul Fu Barmish (988) makalesindeki temel teoremin bir sonucu olarak elde edilmektedir. Önce aşağıdaki tanım notasyonları relim. A;tax (A) ile bir A kare matrisinin pozitif özdeğerlerinin en büyüğünü gösterelim. Eğer A pozitif özdeğere sahip değilse A;tax (A) = 0+ olarak kabul edilir. R n xn ise (n x n) boyutlu matrisler ailesini göstersin. T (.) : Rnxn -t Rmxm lineer dönüşümü rilsin. Eğer ) Her A E R n xn için T (A) matrisinin en az bir reel özdeğeri vardır. 2)max{Re(A): A,A nin bir özdeğeri} max{v: u, T (A) nin bir reel özde.ğeri} Tanım 5. sayıları ya aynı işaretli yada her ikiside sıfırdır koşulları sağlanıyorsa T (.) dönüşümüne karatlılık problemini tekilolmama (nonsingularity) problemine dönüştüren dönüşüm denir. Yukarıdaki özelliğe sahip T (.) dönüşümleriyle ilgili örnekler Fu Barmish (988) çalışmasırıda rilmiştir. Teorem 6. (Fu Barmish, 988) T (.) kararlılık problemini nonsingülerlik problemine dönüştüren dönüşüm olsun. A kararlı olmak üzere m = {A + rm : re (O.rmax)} (3) olmasıdır. Tek bir q elemanı bir ~,il] aralığında değiçen diğer elemanları ise sabit olan m matrisler ailesini göz önüne alalım. Önerme 8. m ailesi yukarıdaki gibi tanımlansın. Bu durumda 0,) eğer q esas köşegen elemanı ise karakteristik polinomda sn-ı, sn-2,..., SO dereceli terimler'in katsayılan q ya bağlıdır. b) e.ğer q esas köşegen elemanı değilse karakteristik polinornda ancak sn-2, sn-3..., SO dereceli terimlerin katsayıları q ya bağlıdır. Bu önermenin ispatı bir determinantuı herhangi bir satıra göre açılımı teoreminden elde edilebilir. Sonuç 9. m ailesi tek bir q elemanı bir aralıkta de.ğişen diğer elemanları ise sabit olan (n x rı) matrisler ailesi olsun q esas köşegen elemanı olmasın. Bu durumda eğer uç matrisler kararlı,ysa m ailesi gürmiz kararlulu: Kanıt. Önerme 8'e göre karakteristik polinom biçimindedir. Üçüncü mertebeden polinomun kararlılık koşuluna göre her q E ~,il] için olduğunu görmeliyiz. Uç rnatrisler kararlı olduklarından bu eşitsizlik q = rı q = il için geçerlidir. q ya göre doğrusalolduğundan Eşitsizliğin sol tarafı bu eşitsizlik her q E [rı, q] için de geçerli olmalıdır.
366 Anadolu Ünirsitesi Bilim Teknoloji Dergisi, 3 (3) Yukarıdaki sonuç n ~ 4 olmak üzere (n x n) boyutlu matrisler ailesi için geçerli değildir. Örnek ıd. m ailesini aşağıdaki gibi tanımlayalım: L ~ı -7-5 2-5 q 0 3 0 Önerme ıı. m. ailesinin gürbüz kararlı olabilmesi için gerek yeter koşul Jı < O kuadratik kararlı olabilması için ise Jz < O olmasıdır. Görüldüğügibi gürbüz kuadratik kararlıkproblemleri oyun teorisi (minimax maksimin) problemlerine dönüşmektedir. Şimdi ise kararlı A ı Az matrislerinin konks kombinasyon kümesinin kararlı olabilmesi için daha basit koşul relim. Uç matrisler (q = -7, q = 7) kararlı olmasına rağmen q = Oiçin elde edilen matris kararlı değildir. {(- )')A ı + )'A z : 0:S),:S } conv {AııAz} 3. KUADRATiK KARARlılıK Bilindiği gibi bir A matrisinin kararlılığı denk biçimde şöyle de tanımlanabilir. Eğer ATp+PA<O (5) olacak biçimde P > O matrisi varsa A matrisine kararlı matris denir. Burada AT matrisi A nın transpozunu, P > O ise P nin pozitif belirliliğini ifade etmektedir. Bir m ailesi için de şunu söyleyebiliriz: Eğer her A E m için ATp+PA<O olacak biçimde P > Omatrisi varsa m ailesi gürbüz kararlıdır. Eğer burada P matrisi A dan bağımsız ise yani öyle P > Ovarsa ki her A E m için (5) sağlanıyorsa m ailesine kuadratik kararlı aile denir. Tanımdan görüldüğü gibi eğer bir m ailesi kuadratik kararlı ise bu ailenin konks zarfı olan convm ailesi de kuadratik kararlıdır. P ile (n x n) boyutlu normu bir olan pozitif yarı belirli matrisler ailesini gösterelim. m ise (n x n) boyutlu matrislerin kompakt bir ailesi olsun. P E P A E m için ATP + PA matrisinin en büyük özdeğerini J (A, P) ile gösterelim (Chen, 999): J (A, P) = ),max(a T P + PA) J (A, P)' nin maksiminine Jı minimaksına h ile gösterelim: Jı = max min J (A, P) AE9Jl PE']' J z = min max J (A, P) PE']' AE9Jl (6) (7) P m kümeleri kompakt, J (A, P) fonksiyonu ise sürekli olduğundan (6) (7)' de maksimum minimumlar alınmaktadır. Oyun teorisinden J, < J z olduğu bilinmektedir. Yukarıdaki tanımlardan aşağıdaki önermenin doğruluğu çıkar. olsun. N > O olmak üzere Aip+PAı=-N (8) matris denkleminin tek çözümünü P (N) ile gösterelim. Bu çözümün biçiminde olduğu bilinmektedir (Chen, 984). Önerme ı2. m ailesinin kuadratik kararlı olması için gerekli yeterli koşul inf ),max (ArP (N) + P (N) Az) < O (9) N>O ya buna denk olarak T min ),max(az P (N) + P (N) Az) < O (0) NE']' ın sağlanmasıdır. Kanıt. conv{ A ı, Az} ailesinin kuadratik kararlı olması iki elemanlı {A ı, Az} ailesinin kuadratik kararlı olmasına denktir. Tanıma göre öyle P > O matrisi bulunmalıdır ki Aip+PA ı < O olmalıdır. () eşitsizliğini sağlayan P ler kümesi P(N) : N > O () (2) dir. Bu kümedeki bir elemanın (2) yi sağlaması için (9) ya buna denk olan (0) eşitsizliği sağlanmalıdır.
Anadolu Unirsity Jouruol of Science and Technology, 3 (3) 367 Görüldüğü gibi 9.n ailesinin konks kombinasyonlar kümesi olması durumunda (7) oyun teorisi problemi daha basit olan (9), (0) optimizasyon problemine dönüşmektedir. Örnek 3. A, = [ : kararlı matrislerini alalım. p O -4 ] [:O -3 ] O -2 Az = O -6 5 0 6-9 Önerme 2'ye göre Vakıf DZHAFAROV 955 yılında Azerbaycan da doğdu. 975 yılında Bakü Devlet Ünirsitesi'nden mezun oldu. 976982 yılları arasında Sovyetler Birliği Bilimler Akademisi Ural merkezinde doktora yaptı. 99 yılında Baş Bilim Adamı unvanını aldı. 998 yılından buyana Anadolu Ünirsitesi Matematik Bölümünde sözleşmeli öğretim üyesi olarak çalışmaktadır. elde ederiz Afp+p Aı < O Özlem A. ESEN Afp+p Az < O sağlanır. Dolayısıyla Aı Az nin konks kombinasyonlar ailesi kuadratik kararlıdır. KAYNAKÇA Barmish, B.R. (994). New Tools for Robustness of Linear Systems, Macmillan Publishing Company. Barrnish, B.R. Fu, M. Saleh, S. (988). Stability of Polytope Matrices; Counterexarnples. IEEE Transactions on Automatic Control vol. AC-33, pp. 569 572- Bialas, S. Garloff, J., (985). Conx Conbinations of stable polynomials. Journal of Franklin Institute 39, 373-377. Chen, C. T., (984) Linear System Theory and Design, Holt, Rinehart and Winston, New York. Chen, W.H. (999). On Relationship Between Quadratic and Robust Stability of Uncertain Systems. International Journal of Robust and Nonlear Control 9, 5-58. Fu, M., Barmish, B.R. (988). Maximal Unidirectional Perturbation Boudns for Stability of Polynomials and Matrices. Systems and Control Letters, 73 79. 974 yılında Eskişehir'de doğdu. 996 yılında Osmangazi Ünirsitesi, Fen - Edebiyat Fakültesi, Matematik bölümünü bitirdi. 200 yılında yüksek lisansını tamamladı. Halen Anadolu Ünirsitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü 'nde doktora programına devam etmektedir.