Bölüm II. DERS R 3 te E R LER ve VEKTÖR ALANLARI Bu kesimde R 3 e ri kavram tanmlanacak ve geometrik özellikleri tart³lacaktr.. D FERENS YELLENEB L R E R VE PARAMETR K TEMS L I notasyonu ile R nin a < t < b, a < t, t < b ³eklindeki aralklar kastedilecektir. Tanm.. α : I R 3 diferensiyellenebilir fonksiyonuna R 3 te bir e ri denir. α, C k snfndan ise α ya C k snfndan e ri veya ksaca C k e ri denir. α nn tanml oldu u I aral [a, b] ³eklinde bir kapal aralk ise, α nn diferensiyellenebilirli inden kastedilen ³udur: c > 0 reel says ve α : (a c, b+c) R 3 diferensiyellenebilir fonksiyonu, α(x) = α(x), x [a, b] olacak ³ekilde var ise α ya diferensiyellenebilir e ri denir.
II. DERS R 3 te E R LER ve VEKTÖR ALANLARI z a(t)=a(t) a(b) a a(a) y x a-c a I b b+c ekil.: α(a) ve α(b) ye e rinin ba³langç ve biti³ noktalar denir. I = [a, b] ise uç noktalar e riye aittir. t I için, α(t) = (α (t), α (t), α 3 (t)) olup, α i ler α e risinin koordinat temsili olan fonksiyonlardr. (α (t), α (t), α 3 (t)) ifadesine e rinin "parametrik temsili" denir. t I R parametresi zaman parametresi gibi dü³ünülürse α(t) e risi hareketli bir noktann R 3 deki yörüngesi olarak ele alnabilir. Örnek.. α e risi, koordinat fonksiyonlar t I ya göre lineer olan e riyi yazalm. Bu e ri; α(t) = u + t v = (u + t v, u + t v, u 3 + t v 3 ) ile verilir. α(t), u dan geçen ve do rultman vektörü v olan do ru olur. Örnek..3 α(t) = (r cos t, r sin t, 0), xy düzleminde r > 0 yarçapl çember e risi Örnek..4 α(t) = (r cos t, r sin t, bt), r yarçapl dik silindir üzerine kurulu, b adml helis e risi Örnek..5 α(t) = (t, t, 0) (0 < t < ) parabol e risi parças Örnek..6 α(t) = (t, t, t 3 ) ( < t < ) kübik e ri
. D FERENS YELLENEB L R E R VE PARAMETR K TEMS L 3.. E riler Hakknda Baz Sorular ve Cevaplar E ri tanm ve örnekleri bir önceki kesimde verilmi³ti. imdi baz uyarlar yapaca z. α : I R 3, α(t) = (α (t), α (t), α 3 (t)) olarak ifade etmeye e rinin parametrik ifadesi denir. α i (t) koordinat fonksiyonlar arasnda t yi yok etmek mümkün ise e riyi bir denklemle ifade etmek olasdr. R de bu tek denklemle, R 3 te ise iki denklemle olabilir. ) R deki bir e ri bir tek denklemle ifade edilebilir: α : I R, t α(t) = (α (t), α (t)) } x = α (t) y = α (t) sisteminin çözümü tek parametreye ba ldr. t yok edilirse bir F (x, y) = 0 denklemi e riyi ifade edecek ³ekilde elde edilir. Böylece F (x, y) = 0, bu e riyi tek türlü belirler. Örnek..7 α(t) = (cos t, sin t) e rinin deklemi olarak x = cos t y = sin t α (t) = cos t α (t) = sin t } t yok edilirse x + y = cos t + sin t = elde edilir. x + y = 0 F (x, y) = 0 ) R 3 de tek denklem bir yüzey belirtir. Bir e ri böyle iki denklemle verilir. Mesela, x = x ve x x 3 = x yüzeylerinin arakesit e risi (t, t, t 3 ) = α(t) dir.
4 II. DERS R 3 te E R LER ve VEKTÖR ALANLARI R 3 te bir F (x, y, z) = 0 e³itli i bir yüzey belirtir. R 3 te bir e risi parametrik ifadesiyle verilsin. α : I R 3, t α(t) = (α (t), α (t), α 3 (t)) x = α (t) y = α (t) z = α 3 (t) yazlsn. Buradan bir F (x, y, z) = 0 denklemi elde edilse bile bu bir yüzey denklemidir ve bu yüzey, α(i) y içinde barndran bir yüzeydir. Bu nedenle, R 3 de bir e ri tek denklemle verilmez. Ancak R 3 te iki yüzeyin arakesiti olarak bir e ri tanmlanabilir. Buna en güzel örnek koniklerdir. Mesela bir elips bir dik dairesel silindir ve bir düzlemin arakesitidir. Örnek..8 küre yüzeyi ve x + y + z = x + y =, z = k dik dairesel silindir yüzeyinin arakesit e risini bulunuz. Çözüm için bu iki yüzeyin arakesitini bulalm: x + y + z = x + y z = 0 z = 0. Yani arakesit e risi z = 0 düzlemindeki çember e risidir. 3) Verilen bir e ri birden fazla ³ekilde parametrelendirilebilir. Uyar 3 bir di er soruyu gündeme getirir. Bir e riyi verilen parametrik temsil ile ifade etmek tek türlü müdür? Yani, (t, t, 0), α : I R 3 ve ( t, 4 t, 0), α : I R 3 verilen iki e ri olsun, bu e riler farkl mdr? Ortak özellikleri nelerdir? Bu sorulara cevap arayalm.
. D FERENS YELLENEB L R E R VE PARAMETR K TEMS L 5 Tanm..9 I, I R açk aralklar, α : I R 3 bir e ri h : I I bir diferensiyellenebilir fonksiyon olsun. α h : α : I R 3 diferensiyellenebilir fonksiyonu bir e ridir ve α nn yeniden parametrizasyonu olarak adlandrlr. z a(i) a y x a = aoh * I I * h ekil.: E rilerin farkl parametrelerle temsili Genel olarak t t oldu undan, α (t ) ile α(t) ye ula³mak farkl, ama bir bütün olarak dü³ünüldü ünde α(i) ile α (I ) ayndrlar. α üzerindeki bir noktay bulmak için α nn (α (t), α (t), α 3 (t)) koordinatlarnda t = h(t ) yazmak yeterlidir. Tanm..0 α : I R 3 e risi verildi inde, t I için α (t) 0 ise α ya regüler e ri denir. Örnek.. I = [0, π], I = [0, π], α : [0, π] R, α(t) = (cos t, sin t) h : I I, h(s) = s, α (s) = (α h)(s) = α(h(s)) = α(s) = (cos s, sin }{{} s ) = (cos t, sin t) = α(t) t
6 II. DERS R 3 te E R LER ve VEKTÖR ALANLARI Tanm.. Yukardaki kabul ve notasyonlarla, e er h regüler yani dh dt 0, t I ise h : I I dif. bilir fonksiyonuna kabul edilebilir(allowable) parametre fonksiyonu denir. R 3 te tanml olan tüm C k e riler cümlesi C k (R 3 ) olsun. Tanm..3 α, α C k (R 3 ) için, h, C r parametrik fonksiyonu α = α h olacak ³ekilde var ise α ve α a ba lantldrlar denir. Verilen ba nt bir denklik ba ntsdr. öyle ki; Yansma özelli i: α I = α ve I regüler oldu undan α α Simetri özelli i: α α α h = α α = α h α α Geçi³me özelli i: α α ve α α α h = α ve α h = α α h h = α α α C k (R 3 )/ bölüm uzaynda her bir denklik snf bir C k e ridir. Her denklik snf bir elemanyla temsil edilebildi inden temsilci bir elemanla i³lem yapmak yeterlidir. Tanm..4 Bir α : I R 3 e risi verildi inde bir p > 0 says α(t + p) = α(t), t I olacak ³ekilde var ise e riye periyodiktir denir. Böyle saylarn en küçü üne e rinin periyodu denir. Kapal olmayan bir e riye bazen yay ad verilir. Böyle bir e rinin her parametrizasyonu : dir. Mesela, α(t) = (r cosh t, r sinh t, 0), x > 0 hiperbol e risi (tek kanat) bir yaydr. Bir C e risi kendini bir P noktasnda kesiyor ise P ye C nin katl noktas denir.
. Al³trmalar 7 P ekil.3: Katl noktal e ri Tanm..5 Katl noktas olmayan bir C e risine basit e ri denir. Çember, elips, hiperbol basit e ri örnekleridirler. Basit e ri, kendini kesmemek kaydyla, kapal e ri olabilir. Basit bir e rinin kapal olmas için gerek ve yeter ³art e rinin bir çembere homeomork olmasdr. Bütün noktalar ayn bir düzlemde olan e riye düzlem e ri denir. Küre, koni gibi yüzeylerle bir düzlemin arakesit e rileri düzlem e ri örne idirler. Düzlem e ri olmayan e rilere bükümlü (twisted) e ri denir.. Al³trmalar Al³trma.. A³a daki e rilerin parametrik temsillerini bulunuz. a) i) (, 3, 4), (4, 5, 6) noktalarndan geçen do ru ii) (, 5, 8), (9, 6, 3) noktalarndan geçen do ru iii) (3, ), (5, 4), (6, ) noktalarndan geçen çemberin kapal denklemini ve parametrik ifadesini hesaplaynz. } 6x b) i) 4x + x 3 = 0 x + x x 3 = Düzlemlerinin arakesit e risi } ii) Düzlemlerinin arakesit e risi 6x + 3x x 3 = 0 3x 4x + 4x 3 = 5 Al³trma.. α : I R 3 fonksiyonu α(t) = (3t, e t, t ) olarak verilsin. α nn C oldu unu gösteriniz. C ile her mertebeden diferensiyellenebilirlik kastedilir.
8 II. DERS R 3 te E R LER ve VEKTÖR ALANLARI.3 HIZ VEKTÖRÜ VE YAY UZUNLU U Diferensiyellenebilir e ri tanmndan biliyoruz ki, e ri iyi tanml do rultu ve noktaya ba l hza sahiptir. Ancak do rultunun birden fazla oldu u ve hzn olmad özel noktalar olabilir. Mesela, α : I R 3, α(t) = (t, t 3, 0) e risinin t 0 = 0 noktasnda yön birden fazladr ve hz sfrdr. E rinin hznn sfrdan farkl oldu u noktalarda, e ri mutlak de erce ölçülebilir bir hza sahiptir. Bir e rinin do rultu ve hz kavramlar, "hz vektörü" veya "tanjant vektör" kavram ile takdim edilir. Öncelikle bir e rinin yay-uzunlu u kavramndan bahsedelim. bir dif.bilir e ri olsun. α : I R 3, dα(t) dt α(t) = (α (t), α (t), α 3 (t)) = α (t) = ( dα (t) dt olarak tanml olan α (t) fonksiyonu da α : I R 3, dα (t) dt, dα 3(t) ) dt ³eklinde bir vektör de erli fonksiyondur. t I için α (t) bir vektördür ve büyüklü ü α (t) = α (t), α (t) ile bellidir. t = t 0 için α(t 0 ) daki hz α (t 0 ) dr. α : I R, t α (t) fonksiyonuna α e risinin "hz fonksiyonu" denir. Analiz derslerinden bilindi i gibi, a, b I (a < b) için b a α (t) dt = b a α (t) + α (t) + α 3 (t) dt integral de eri, α e risinin α(a), α(b) noktalar arasndaki parçasnn uzunlu unun de erini verir. b sabit de eri t de i³keni ile de i³tirilirse S(t) = t a α (t) dt yay uzunlu u fonksiyonu olarak takdim edilir.
.3 HIZ VEKTÖRÜ VE YAY UZUNLU U 9 Lemma.3. Bir α e risinin belli bir yaynn uzunlu u parametre seçiminden ba mszdr. spat. α : I R 3, t α(t) bir dif.bilir e ri bir di er parametrizasyonu α : I R 3 olsun. z a y x a * t I I * t * h ekil.4: h parametre de i³imi fonksiyonu olsun. t = h(s) dr. h(s ) = t, h(s ) = t, I = (t, t ), I = (s, s ) ile gösterelim. ve t = h(s) için; dα ds = dα(h(s)) ds = dα(h(s)) dh(s) dh(s) ds = dα(t) dh(s) dt ds dt = dh(s) ds. (**) ds (* ) denkleminin difarensiyeli alnp (**) denklemi yerine yazlrsa dα ds ds = dα(t) dt dh(s) ds ds = dα(t) dt dt elde edilir. Bu de erleri yay uzunlu u fonksiyonunda yerine yazarsak t dα ds ds = dα dt dt s s elde edilir. Bu iddia edilendi. Bir e rinin hz vektörünün bir birim uzunlukta olmas ilginçtir. öyle ki; t α : (a, b) R 3, t α(t) (*)
0 II. DERS R 3 te E R LER ve VEKTÖR ALANLARI regüler e risi için olsun. O zaman; b a dα dt = dα dt dt = b a dt = b a elde edilir. Yani, α(i) e risinin uzunlu u e rinin tanmland aral n uzunlu una e³ittir. Bu da ³öyle yorumlanabilir. E ri; (a, b) açk aral nn, diferensiyel özellikleri sakl kalmak kaydyla, ziksel biçim de i³tirmi³ ³eklidir. Bir e rinin hzn birim yapan parametreye e rinin yay uzunlu u parametresi denir. Bu parametre genel olarak s haryle gösterilir. lginç ve kolayla³trc bir özellikte, regüler her e ri için böyle bir parametrenin varl dr. Bunu bir lemma ile verilecektir. Lemma.3. Regüler her e ri yay uzunlu u parametresi ile parametrelendirilebilir. spat. Bir α : I R 3 regüler e risi verildi inde bir h : J I parametre de i³iminin, (α h) (s) = olacak ³ekilde var oldu unu göstermemiz gerekir. t 0 I belli bir eleman olmak üzere, s yi s(t) = t t 0 d(α) d(u) du ³eklinde tanmlayalm. (α h)(s) = α (s) yi ele alalm. Ayrca, dα ds = dα dh(s) dh(s) ds dt ds = dh(s) = ds s(t) = t t 0 dh (t) dt = dα dt d(α) d(u) du dt ds. =. ds dt e³itli inden türev alnrsa ds dt = α (t) elde edilir. Böylece dα ds = dα dt α (t)
.3 HIZ VEKTÖRÜ VE YAY UZUNLU U ve dα ds = dα dt dt ds = dα dt dα = bulunur. ddia do rudur. Devam eden bölümde kullanaca mz bir kavram hakknda ksa bir hatrlatma yapalm. Konunun bütünlü ü bozulmasn diye analz dersine ait hatrlatmay önceye aldk. Hatrlatma: (Analiz derslerinden, türev dönü³ümüyle ilgili ksa bir hatrlatma) F : U R n R m, dt ( n, m 3 olsun.) ksmi türevlere sahip bir dönü³üm olsun. F nin türev dönü³ümü T U ve T R m arasnda tanml, lineer bir dönü³ümdür ve kar³ gelen jakobiyen matris, JF = F = f x.... f m x f x n. f m x n ³eklinde yazlr.. F, : ise F bir izomorzmdir (Tanm, de er cümleleri üstündeki kstlamayla). Mesela; F : R R 3 (x, x ) (x x, x + x, x + x ), p = (, ), v = (3, ) için, x x x x F =, F p = = x x x x F (p) = (, 3, 5), F p (v) = 4 F (v p ) = ((, 3, 5), (4,, )) [ 3 ] = p 4, 4
II. DERS R 3 te E R LER ve VEKTÖR ALANLARI.3. Te et Vektör-Te et Vektör Alan Bu kesimden itibaren bir e rinin Frenet çat alannn in³asyla ilgilece iz. Bir e ri α : I R 3 diferensiyellenebilir fonksiyon ile tanmlanr. Diferensiyellenebilir e ri, iyi tanml do rultu ve noktaya ba l hza sahiptir. yi tanmllktan kast, parametre de i³imiyle do rultunun ve hzn sfr olup olmamasnn de i³memesidir. hzn sfr olmad noktalarda, hzn kesin bir ölçüsünden bahsedemeyiz. Bu farkllk parametrizasyondan kaynaklanr. Bir e rinin do rultusu ve hz kavram hz vektörü veya tanjant vektörü çerçevesinde dü³ünülür. α : I R 3, s α(s) = (α (s), α (s), α 3 (s)) diferensiyellenebilir bir e ri olsun. α (s) s = α : T I T R 3, dα ds dα ds dα 3 ds α = dα ds dα ds dα 3 ds [] = (α (s), α (s), α 3(s)) a(s) a(s) a a(s) a(i) I s ekil.5: Tanm.3.3 t(s) = dα ds α(s) vektörüne e rinin α(s) noktasndaki te et vektör denir. t : I T R 3, s t(s) fonksiyonuna da e rinin te et vektör alan denir.
R oo.3 HIZ VEKTÖRÜ VE YAY UZUNLU U 3.3. Oskülatör Düzlem, Oskülatör Çember, E rilik Vektörü, Asli Normal Vektörü Bir e rinin do rultu ve hz e rinin tanjant vektörü (te et vektörü) veya te et vektör alanyla belirtilir. Bir e rinin bir do tultudan özellikle te et do rultusundan sapmasn (ki buna e rinin e rilmesi denilecektir.) ölçen bir vektör var mdr? Bu vektörün e riyle ba lants nedir? Bu kesimde bu sorulara cevap aranacaktr. A³a daki ³ekiller sezgisel olarak bir e rinin e rilmesi hakknda kir vermek içindir. Az eðilmiþ (a Çok fazla eðilmiþ Çok eðilmiþ (a) Her yerde ayný derecede eðilmiþ (b) Eðilmemiþ ekil.6: b ve c arasnda bir yaknlk kurulabilir. Bir do ru bir noktas çkarlm³ bir çemberin dejenere hali (yani yarçap ) olarak dü³ünülebilir. r R (d) ekil.7: Dikkat edilirse; yarçap büyüdükçe e ilme azalmakta ve R için çember bir do ru olarak dü³ünülebilmektedir.
4 II. DERS R 3 te E R LER ve VEKTÖR ALANLARI O halde yarçapn çarpmaya göre tersi, bükülmenin kabul edilebilir bir ölçüsü olarak alnabilir. R iken, r > R > lim R R = 0 olur. Bu ili³kiyi herhangi e rilere ta³yabilmek için, e rinin noktalar ilgili noktada bir do ru ve çembere ihtiyaç olacaktr. E rinin do rultusu, o noktadaki te et do rultu mevcuttur. Geriye i³e yarar bir çember tanmlama kalr. α : I R 3 e risi verilsin. α üzerinde kom³u üç nokta α(t 0 ), α(t ), α(t ), t t t 0 olsun. Bu üç nokta R 3 te bir düzlem tanmlar. P Q R ekil.8: t t t 0, α(t ) α(t ) α(t 0 ) R Q ve Q P iken, e riye ait iki tanjant vektör söz konusudur. Bunlar, (α(t 0 ), α(t 0 )α(t )) ve (α(t ), α(t )α(t )) tanjant vektörlerdir. Limit konumunda bu iki vektör P = α(t 0 ) noktasndaki tanjant vektörlerdir. Tanm.3.4 α : I R 3 bir e ri, P, Q ve R e ri üzerinde, Q P, R Q olan üç nokta olsun. P de belli olan P Q, QR vektörlerinin gerdi i düzleme e rinin P = α(t 0 ) noktasndaki oskülatör (osculating) düzlemi denir.
.3 HIZ VEKTÖRÜ VE YAY UZUNLU U 5.3.3 Oskülatör Düzlem Denklemi Üç noktas belli olan düzlem denklemi bilinen bir kavramdr. Ancak burada oskülatör düzlemin denklemi e ri ve türevleri cinsinden hesaplanacaktr. Hatrlatmak gerekirse "Rolle teoremi: f, [a, b] aral nda sürekli, (a, b) aral nda diferensiyellenebilir bir fonksiyon olsun. f(a) = f(b) ise enaz bir c (a, b) reel says f (c) = 0 olacak ³ekilde vardr" idi. Oskülatör düzlemin denklemini ararken kullanaca mz yardmc bir f fonksiyonunu ³öyle tanmlayalm. Normali N olan key bir düzlem D, A bu düzemin bir noktas ve A nn yer vektörü a olsun. a, N = a ile gösterelim. Bir f(t) fonksiyonunu α(t) boyunca, f(t) = α(t), N a olarak tanmlayalm. a, A nn seçimine ba l oldu undan, t için, f(t) = α(t), N a = a a = 0, α(t) D yani f(t) bir sabit fonksiyondur. Rolle teoremini uygulayalm. t = t 0, t, t için; f(t 0 ) = 0, f(t ) = 0 ve f(t ) = 0 oldu undan, γ ve γ reel saylar f (γ ) = 0, t 0 < γ < t f (γ ) = 0, t < γ < t olacak sekilde vardr. Tekrar Rolle teoremi uygulanrsa bir γ 3 reel says f (γ 3 ) = 0, γ < γ 3 < γ olacak ³ekilde bulunabilir. imdi seçilen bu düzlemin e riye ait oskülatör düzlem olmas durumuna dönelim. α(t ) α(t ) α(t 0 ) iken t, t, γ, γ ve γ 3 t 0 dr. Bu durumda, f(t) = α(t), N a = 0 ve a = X, N (X bir temsilci nokta oldu undan) f (t) = f (t) = α (t), N = 0 α (t), N = 0
6 II. DERS R 3 te E R LER ve VEKTÖR ALANLARI X α(t), N = 0 α (t), N = 0 α (t), N = 0 elde edilir. Yani X α(t), α (t) ve α (t), normali N olan düzlemdedirler. O halde, X α(t) = λα (t) + µα (t) lineer ba nts sa lanr. Karma çarpm notasyonlaryla, det(x α(t), α (t), α (t)) = 0 dr. E ri yay parametresi ile verilmi³ ise türev () ile gösterilirse, oskülatör düzlemin denklemi, det(x α(s), α (s), α (s)) = 0 ile verilir. α (s) 0 ise, s ye yakn s 0, s, s için α(s 0 ), α(s ), α(s ) ayn bir do ru üzerinde olamaz. Bir α e risinin kom³u üç α(t 0 ), α(t ), α(t ) noktalarnn ayn do ru üzerinde olmad n varsayalm. (α 0) R=a(t) S a(t) P=a(t0) Q=a(t) ekil.9: Bu üç nokta bir çember üzerindedir ve bu çemberin merkezi P Q ve QR kiri³lerinin orta dikmelerinin kesim noktasdr. α(t ) α(t ) α(t 0 )
.3 HIZ VEKTÖRÜ VE YAY UZUNLU U 7 limit konumunda bu ard³k üç noktadan geçen iyi tanml bir çember vardr ve bu çemberin merkezi α(t) noktasnda e rinin te etine dik olan do rultu üzerindedir. Bu çembere (S ile gösterilecek) e rinin α(t) noktasndaki e rilik (oskülatör) çemberi denir. Tanm.3.5 α(t) e risinin bir noktasndaki S e rilik çemberinin yarçapnn çarpm inversine e rinin o noktadaki (mutlak) e rili i, çemberin merkezine de e rilik merkezi denir. Tanm.3.6 (α (t) = 0 α (t) = λα (t)) ve α (t) 0 e³itliklerini sa layan bir noktaya e rinin bükülme (inexion-e rilme) noktas denir. Not: Böyle bir noktada oskülatör düzlemi tanml ama oskülatör çemberi tanml de ildir. imdi mutlak e rili in nasl hesaplanaca n bir teoremle verelim. Teorem.3.7 Bir α(s) e risinin mutlak e rili i, α (s) = t olmak üzere, t dür. spat. α e risi, yay uzunlu u parametresiyle verilmi³ olsun. t = dα ds, s I R t, t = t, t = 0 α, α = 0 α (s) α (s). α, α (s), α (s) ve M (merkez) oskülatör düzlemdedir. Dolaysyla, M α(s) = λα (s) + µα (s) M α(s), α (s) = λ α (s), α (s) + µ α (s), α (s) Türev alnrsa, = λ. α (s), α (s) + M α(s), α (s) = 0 M α(s), α (s) = M α(s) ve α (s) ayn do rultuda oldu undan aralarndaki aç sfrdr. (cos θ = ) Normlar itibariyle, M α(s) α (s) = M α(s) = α (s)
8 II. DERS R 3 te E R LER ve VEKTÖR ALANLARI elde edilir. O halde e rilik çemberinin yarçap R ile gösterilirse, ve dolaysyla mutlak e rilik, R = M α(s) = α (s) R = α (s) = t (s) olarak bulunur. Bir α : I R 3 e risinin bir α(t) noktasnda oskülatör düzleme sahip olmas için k, k için α (k) (t) türevinin sfrdan farkl olmas gerekir. ³öyle ki; (s yay parametresi olarak alnmak üzere) α (s), α (s) = α (s), α (s) = 0 (α (s) α (s) α (s) 0) spat tamam E er α (s) = 0 α (s) α (s) α (s), α (s) = 0 α (s), α (s) + α (s), α (s) = 0 (α (s) α (s) α (s) 0) spat tamam E er α (s) = 0 α (s), α (s) = 0 α (s), α (s) +... α (k) (s) 0 α (s), α (4) (s) elde edinceye kadar devam edilir.bu durumda ilgili noktada oskülatör düzlem, S p {α, α (k) } s düzlemidir. Ancak bu durumda α (s) yarçapl oskülatör çember anlamszdr. Tanm.3.8 α (s) vektörüne α e risinin α(s) noktasndaki e rilik vektörü α denir. (s) α (s) birim vektörüne α(s) noktasndaki birim asli normal vektör ve α(s) den geçen ve α (s) ye paralel olan do ruya da asli normal do rusu denir. = 0 Birim asli normal vektörü n ve asli e rilik k ile gösterilecektir. α (s) = k(s) n (s)
.3 HIZ VEKTÖRÜ VE YAY UZUNLU U 9 ve dir. R(s) = k(s) k 0 α (s) = 0 α (s) = sabit, dir. Do rular e rili i sfr olan yegane e rilerdir. k(s) tanjant vektörlerin de i³im orann ve ayrca e rinin te et do rultusundan ne kadar sapt n gösterir. öyle ki; P ve Q noktalarndaki te et vektörler olsun. t (s) = t t (s + s) = t + t s Q=a(s+Ds) P=a(s) t ekil.0: t+dt t Dt t sin ϕ = t ve sin fonksiyonunun seri açlmyla, sin ϕ t = sin ϕ, t = t 0 iken ϕ 0 = ( ϕ ( ϕ )3 + ( ϕ )5...) = ϕ +... t = ϕ, k = d t ds = dϕ ds
0 II. DERS R 3 te E R LER ve VEKTÖR ALANLARI d t ds e rite ait n birim asli normalini tek türlü tanmlar. n nin seçimi yönlendirmeye ba ldr. t, n, R de pozitif yönlendirilmi³ olarak alnacaktr. den, d t ds = k n k > 0 ise t, t pozitif yönlendirilmi³, n ekil.: Pozitif yönlendirilmi³ k < 0 ise t, t negatif yönlendirilmi³ demektir. t n t ekil.: Negatif yönlendirilmi³ E rinin yönlendirmesi nasl olursa olsun. t, n ikilisi pozitif yönlü olarak alnacaktr. Ancak bu e rilik çemberinin yerini de i³tirmez. Çünkü e rilik çemberi α yani t ye göre hesaplanr. n (s) e ri boyunca sürekli bir vektör alan olarak ele alnd nda, e ri bir ineksiyon noktasndan geçiyor ise k hem pozitif hem de negatif de erler alabilir.
.3 HIZ VEKTÖRÜ VE YAY UZUNLU U n n k<0 t k>0 t ekil.3:.3.4 Burulma (Torsiyon), Binormal Vektör Tanm.3.9 α : I R 3 e risine ait te et ve normal vektörler t (s) ve n (s) olmak üzere, s 0 I için, b (s0 ) = t (s 0 ) n (s 0 ) vektörüne α(s 0 ) noktasndaki binormal vektör denir. b : I R 3, s b (s) vektör alanna da α e risinin binormal vektör alan ad verilir. A³ikardr ki b, hem t ye hem de n ye dik oldu undan oskülatör düzleme diktir. Üstelik; Teorem.3.0 d b ds n dir. spat. b b, t = 0, b t +, t b = 0, t = 0 b t. b b, b =, b = 0 b b. ( b t ve b b ) b n. Tanm.3. b n oldu undan, s I için b (s) = τ(s) n (s) e³itli ini sa layan τ(s) reel saysna α(s) noktasnda e rinin burulmas (bükülmesi) denir. τ 0 ise e riye bükümlü e ri ad verilir.
II. DERS R 3 te E R LER ve VEKTÖR ALANLARI.3.5 Frenet Çat Alan, Te et, Normal ve Rektifyen Düzlemler Bir α : I R 3 diferensiyellenebilir e risi verildi inde, ard³k ilk üç türevin sfrdan farkl oldu unu varsayalm. Bu durumda, e ri yay parametresiyle verilmi³ ise, α = t α = k n idi. imdi α ü hesaplayalm. Bunun için n yü hesaplamamz gerekir. n, n = n, n = 0 n n n S p { t, b } n = λ t + β b t λ =, n b β =, n Ayrca, t, t n = 0, n t +, t n = 0, n t =, n = k b, b n = 0, n b +, b n = 0, n b =, n = τ dolaysyla, dur. O halde, sonuç olarak da, λ = k, β = τ n = k t + τ b α = k n + k( k t τ b ) α = k t + k n kτ b ) elde edilmi³ olur. elde edilen e³itlikler α = t α = k n α = k t + k n kτ b t(s), n(s), dir. Yani, α(s) e risi boyunca tanml olan { k =,, 3 için α (k) (s) S p { t(s), n(s), b(s)} özelli inde olan bir çatdr. b(s)} hareketli çats,
.3 HIZ VEKTÖRÜ VE YAY UZUNLU U 3 Tanm.3. { t, n, b }(s) çatsna α(s) R 3 e risinin Frenet çat alan denir. t, n, b vektörlerinin türevleri kendileri cinsinden hesaplanm³t. Bunlar, t n b = k n = k t + τ b = τ n idi. Bu formüllere Frenet formülleri denir. Bu e³itlikler matris çarpm formunda t n b = 0 k 0 k 0 τ 0 τ 0 olarak da yazlabilir t n b Tanm.3.3 Bir α : I R 3 e risinin Frenet çats { t, n, b } olsun. düzlemine e rinin te et düzlemi, düzlemine e rinin normal düzlemi,, S p { t, n } S p { n, b } S p { t, b } düzlemine e rinin binormal düzlemi denir.
4 II. DERS R 3 te E R LER ve VEKTÖR ALANLARI b Rektifyen düzlem Sp{b,t} Normal düzlem Sp{n,b} t Teðet düzlem Sp{t,n} n ekil.4: Te et düzlem, normal düzlem, rektifyen düzlem Te et düzlem denklemi: det(x α(s), t, n )veya Normal düzlem denklemi: det(x α(s), n, b )veya Rektifyen düzlem denklemi: X α(s), b = 0 X α(s), t = 0 det(x α(s), b, t )veya X α(s), n = 0..3.6 E rilerin Lokal Teorisinin Temel Teoremi Teorem.3.4 k(s) > 0 ve k(s), s I diferensiyellenebilir fonksiyonlar verildi inde bir α : I R 3 regüler parametrelendirilmi³ e ri, e rili i k(s) ve burulmas τ(s) olacak ³ekilde vardr. Ayrca bir ba³ka α e risi ayn ³artlar sa lyor ise, α ve α bir kat hareketle birbirlerine dönü³ür. (Yani, bu durumda, R 3 ün bir, pozitif determinantl, L lineer ortpgonal dönü³ümü ve bir c vektörü α = L 0 α + c e³itli ini sa layacak ³ekilde vardr.) spat. Adi diferansiyel denklemlerin çözümünün varl ve tekli i teoreminin ispatyla ayndr. Bu sebeple ispat burada tekrar verilmeyecektir.
.3 HIZ VEKTÖRÜ VE YAY UZUNLU U 5.3.7 Lokal Kanonik Form ve Oskülatör Düzlemler Üzerine zdü³üm Bu kesimin amac, e rilik ve burulmann, e rinin bir noktas civarnda e rinin ³ekline nasl etki etti ini göstermektir. Bir α : I R 3 e risi verilsin. E rinin birinci mertebeden singüler noktaya sahip olmad n varsayalm. E rinin herbir koordinat fonksiyonu diferensiyellenebilir oldu undan, Taylor serisine açlabilir. α(s) = (α (s), α (s), α 3 (s)) için, olup, dir. α i (s) = α i (0) + sα i(0) + s! α i (0) +... + sn n! α(n) i (0) +... α(s) = α(0) + sα (0) + s! α (0) + s3 3! α (0) + R α (0) = t 0 α (0) = k 0 n0 α (0) = k 0 t0 + α (0) + k 0 n 0 k 0 τ 0 b0 de erleri yerine yazlrsa, α(s) α(0) = s t 0 + s! k 0n 0 + s3 3! ( k 0 t0 + α (0) + k 0 n 0 k 0 τ 0b0 ) + R α(s) α(0) = (s k0 s 3 3! ) s t 0 + (k 0! s3 3! k 0) n 0 k 0τ 0 s 3 b 0 + R 3! s 3+n 0 n kabul edilirse, R 0 olur. Böylece 0 a yeterince yakn s ler için, α(s) = α(0) + (s k0 s 3 3! ) s t 0 + (k 0! s3 3! k 0) n 0 k 0τ 0 s 3 b 0 + R 3! elde edilir. α(0) noktasndaki çat olarak {α(0); t, n, b } alnr ve t = (, 0, 0), n = (0,, 0), b = (0, 0, ) olarak dü³ünülürse α(s) = α(0) + x(s) t + y(s) n + z(s) b, R = (R x, R y, R z ) bulunur. Burada, x(s) = s s3 6 k 0 + R x y(s) = s k 0 s3 6 k 0 + R y z(s) = k 0τ 0 6 s3 + R z
6 II. DERS R 3 te E R LER ve VEKTÖR ALANLARI e³itlikleriyle verilen e riye α(s) e risinin lokal kanonik formu denir. R x, R y, R z bundan sonraki i³lemlerde ihmal edilecektir. Ayrca s 3+n 0 n oldu u hatrlanmaldr. α(s) nin kanonik formu α(s) ile gösterilirse, α(s) = α(0) + α(s) yazlabilir. α(0) noktasnda t, n, b görevini üstlenmi³ti. Buna göre, bile³enler cinsinden; ve α (0) = t 0 α (0) = k 0 n0 çats x, y, z koordinat sisteminin α (0) = k 0 t0 + α (0) + k 0 n 0 k 0 τ 0 b0 x =, y = 0, z = 0 x = 0, y = k 0, z = 0 x = k 0, y = k 0, z = k 0 τ 0 Teorem.3.5 E rinin te et, normal ve rektifyen düzlemler üzerine izdü³ümleri i) y = k 0 (xy düzlem x = tn düzlem): te et düzlem ii) z = k 0τ 0 6 (xz düzlem x3 = tb düzlem): rektifyen düzlem iii) z = τ0 9 k0 y 3 (yz düzlem = nb düzlem): normal düzlemdir. spat. i) lim y x = lim y xx = lim y = k x 0 ii) lim z = lim z =... = lim z = k 0τ 0 x 3 3x x 6(x ) 3 6 iii) i ve ii den ve buradan; y x = k 0, z x 3 = k 0τ 0 6 elde edilir. z y 3 = ( k0τ0 ( k z 0x )3 y 3 = τ0 9 6 x3 ) k 0 z = 9 τ 0 k 0 y 3
.3 HIZ VEKTÖRÜ VE YAY UZUNLU U 7 y x ekil.5: y = k 0 x Oskülatör düzlem y x ekil.6: z = k 0τ 6 x3 Rektifyen düzlem y x ekil.7: z = τ 0 9 k 0 y 3 Normal düzlem
8 II. DERS R 3 te E R LER ve VEKTÖR ALANLARI E rinin Frenet yakla³m (kanonik temsili) noktadan noktaya farkllk gösterir. Mesela s = 0 yerine s = s 0 alnrsa Taylor açlnda 0 yerine s 0 gelir yani onksiyon MacLaurin serisine açlm³ olacaktr. Verilecek örnek buna uygundur. Örnek.3.6 α(t) = (cos t, sin t, t) e risinin (0,, π ) noktasndaki (t = π için) kanonik temsili olan e riyi bulunuz. s = α (t) = ( sin t, cos t, ) α (t) = t E rinin yay parametresine göre ifadesi 0 du = t, t = s α(s) = (cos s, sin s, s) α (s) = ( sin s, cos s, ) = T ve bulunur. α (s) = ( cos s, sin s, 0) = kn k = α (s) = B = T N =... sin s cos s cos s sin s 0 = (sin s, cos s, ) ve dolaysyla B = ( cos s, sin s, 0)
.3 HIZ VEKTÖRÜ VE YAY UZUNLU U 9 olur. ve B = τ = α(s) = α(0) + α(s) α(s) = α(s 0 ) + [(s s 0 ) ks (s s 0 ) 0 3! k s0 τ s0 (s s 0 ) 3 b s0 6 ] t s0 + [ (s s 0)! k s0 (s s 0) 3 k s 3! 0 ] n s0 α(s) = (0,, π ) + [(s π ) 4 6 (s π )3 b s0 (s π ) ] t s0 + [ (s π ) 6 0] n s0.3.8 Key (De i³ken) Hzl E riler çin Frenet Formülleri (Elemanlar) imdiye kadar, birim hzl e riler için çal³malar yaptk. Bu kesimde, regüler ve key hzl e riler için Frenet formüllerinin ald biçimi ara³traca z. (Not: E ri regüler iken yay parametresi ile parametrelendirilip i³lemlere böyle devam edilebilece i unutulmamaldr.) α : I R 3, t α(t) key hzl bir e ri ve bunu temsil eden C e risinin yay uzunlu u cinsinden ifadesi C : x(s) olsun. a x t s ekil.8: C : x(s)
30 II. DERS R 3 te E R LER ve VEKTÖR ALANLARI C : x(s) e risinin Frenet takm {k, τ, t, n, b } olarak hesaplanabilir. α için Frenet takm {γ, Γ, T, N, B} ile gösterilirse, bu takm K = k(s) = k(s(t)) Γ = τ(s) = τ(s(t)) T = t(s) = t(s(t)) N = n(s) = n(s(t)) B = b(s) = b(s(t)), s = s(t) ³eklinde bir yakla³mla hesaplanabilir. k ve γ farkl fonksiyonlardr. Farkl aralklar üstünde tanmldrlar. α ve C nin ortak parçalar üzerinde e rili i ayn tanmlarlar. Yani, α(t) = x(s(t)) nin ayn noktasnda γ(t) = k(s(t)) ayn olmaldrlar. k ve γ için söylenenler τ ve Γ için de geçerlidir. Ba³ka bir ifadeyle Frenet takm parametre seçiminden ba mszdr, ancak hesaplan³lar farkldrlar. Lemma.3.7 α = α(t) bir regüler e ri, k > 0 ve v = α (t) olsun. {T, N, B} e riye ait Frenet vektörlerini göstermek üzere; dir. T = KυN N = KυT + ΓυB B = KυN spat. α e risi yay uzunlu u parametresiyle verilmi³ olsayd K(t) = k(s(t)), Γ(t) = τ(s(t)) T = t(s), N = n(s), B = b(s) (#) yazlabilir. (#) e³itliklerinden türev alnrsa; T = t (s) ds dt = knds dt = k(s(t))nds dt ve ds dt = υ de eri yerine yazlrsa T = KυN
.3 HIZ VEKTÖRÜ VE YAY UZUNLU U 3 elde edilir. Benzer ³ekilde, ve i³lemler yaplrsa, elde edilir. N = n ds dt = ( kt + τb)ds dt = ( k(s(t))t + τ(s(t))b) ds dt N = KυT + ΓυB B = KυN α : I R R 3 e risinin hz için iki durum vardr. ) Hz her noktada sabittir, ) Hz noktaya göre de i³ir. Her noktada hz sabit ise, α (t) = c, e ri çok basitçe yay parametresi cinsinden ifade edilebilir. α (t) = olunca, {k, τ, t, n, b } nasl hesaplanabilece ini önceki bölümde gördük. E er α (t) = ν(t) ise, ν(t) sabit ise, iki ³ey yaplabilir. s = ν(t)dt den s hesaplanr ve α(s) yazlr. Ancak bu her zaman pratik bir yol de ildir ve/veya gerekmez de. O zaman, e riyi yay- parametresi cinsinden ifade etmeden Frenet elemanlar için formül geli³tirmeliyiz. α(t), α : I R 3 verilsin. Te et birim vektör tanm gere ince, T = α α dür Ṅormal, dolaysyla birim normal T ye dik olan ve S p {α, α } düzleminde α olan vektördür. Ancak, birim hzl e ride oldu u gibi, α nün birim normal vektör olmasn bekleyemeyiz. α α vektörü S p {α, α } düzlemine dik oldu undan, birim binormal vektör olarak B = α α α α
3 II. DERS R 3 te E R LER ve VEKTÖR ALANLARI vektörü alnabilir. N, α, α cinsinden açk hesab yaplarak, N = B T = α α α α α α = α α α ( α, α α α, α α ) = α α α ( α α α, α α ) elde edilir. N S p {α, α } dür. Böylece bir ksmnn ispat yaplm³ olan a³a daki teorem yazlabilir. Teorem.3.8 α : I R 3 key hzl bir e ri olmak üzere, e rinin Frenet elemanlar ³öyledir: Örnek.3.9 T = α α N = B T B = α α α α K = α α α 3 Γ = α α, α α α α(t) = (t, t, t3 6 ) e risi için Frenet elemanlarn bulunuz. Çözüm.3.0 α(t) nin türevleri α (t) = (, t, t ) α (t) = (0,, t)
.3 HIZ VEKTÖRÜ VE YAY UZUNLU U 33 ³eklindedir. α (t) = (0, 0, ) Buradan, elde edilir. α (t), α (t) = + t + t4 4 υ = α (t) = 4 + 4t + t 4 = (t + ) α (t) α (t) = ( t, t, ) α (t) α (t) = ( t4 4 + t + ) = (t + ) α (t) α (t), α (t) = Bu hesaplamalar kullanarak T, N, B, K, Γ a³a daki ³ekilde bulunur: T = α α = (, t, t ) (t + ) = (, t, t ) t + B = α α α α = ( t, t, ) (t + ) = (t, t, ) t + K = α α α 3 = Γ = α α, α α α = N = B T = (t, t, ) t (, t, t ) + t = + (t + ) ( (t + )) 3 = 4(t + ) ( (t + )) = 4(t + ) (t 4 + t + 4) ( t3 4t, 4 t 4, t 3 +4t)
34 II. DERS R 3 te E R LER ve VEKTÖR ALANLARI.3.9 GENEL ÖRNEKLER Örnek.3. α(t) = (a cos t, a sin t, bt) e risini yay parametresi ile parametrelendiriniz. Çözüm.3. α (s(t)) = α ( s a +b α (t) = ( a sin t, a cos t, b) α (t) = a + b s = α(s) = (a cos t 0 t = a + b dt = a + b t s a + b, s = s(t) ) ve ayn notasyonlar kullanlarak s a + b, a sin s a + b, b s a + b ) birim hzl e ri elde edilir. Örnek.3.3 Bütün noktalar ayn düzlem içinde kalan e riye düzlem e ri denir. Bir α : I R 3 e risinin düzlemsel olmas için gerek ve yeter ³art τ = 0 olmasdr. Gösteriniz. Çözüm.3.4 α : I R 3 e risine ait Frenet elemanlar t, n, b, k, τ olsun. τ = 0 b = τ n den b = 0, s elde edilir. b = 0 ise e rinin bütün noktalar b = sbt normalli düzlemdedir. Bu düzlem t ve n nin gerdi i düzlemdir. Tersine, e ri bir düzlem e ri olsun. R 3 ün p ve q gibi iki vektörünü α(s) p, q = 0 olacak ³ekilde seçelim. q ilgili düzlemin normalidir. α(s) p, q = 0 α (s), q = 0 α (s), q = 0 ( q t ve q n ) q b
.3 HIZ VEKTÖRÜ VE YAY UZUNLU U 35 ve b = den q q için b = 0 b = τ n τ = 0 elde edilir. Bu problemde ayrca ³u gösterilmi³ oldu. E ri düzlemsel e ri ise, e rinin içinde kald düzlem te et ve normalin gerdi i düzlemdir. Örnek.3.5 (a, b) merkezli r yarçapl çemberin oskülatör (e rilik) çemberi kendisidir, gösteriniz. Çözüm.3.6 α(t) = (a + r cos t, b + r sin t) α (t) = ( r sin t, r cos t) α (t) = r E ri birim hzl de ildir. Önce yay parametresi cinsinden yazalm. oldu undan yazlr. s = t 0 rdt = rt t = s r α(s) = (a + r cos s r, b + r sin s r ) α (s) = ( sin s r, cos s r ) α (t) = t (s) = α (s) t (s) = α (s) = ( r cos s r, r sin s r ) n = α (s) = r α (s) α (s) = ( cos s r, sin s r )
36 II. DERS R 3 te E R LER ve VEKTÖR ALANLARI R = t (s) = r R = r k = den R k = (e rilik) r Oskülatör (e rilik) çemberinin yarçap R = r dir. Oskülatör (e rilik) çemberinin merkezi M olsun. OM = Oα + R n = (a + r cos s r, b + r sin s r ) + R( cos s r, sin s r ) = (a + r cos s r, b + r sin s r ) + r( cos s r, sin s r ) = (a, b) M = (a, b) E rilik çemberi, merkezi (a, b), yarçap R = r olan çemberdir. Yani, e rilik çemberi verilen e rinin kendisidir. Örnek.3.7 α : I R 3, s α(s) e risinin üç ard³k türevi a-) α (s), α (s), α (s) (α (s) 0) olsun. E rinin burulmas τ(s) ise, τ(s) = (α (s), α (s), α (s)) α (s), α (s) dir. Gösteriniz. b-) Bir e rinin burulmas yön seçiminden ba mszdr. Gösteriniz. Çözüm.3.8 a-) b oldu undan b τ =, n = = τ b n, n = τ n, n = τ n, n = τ b = ( t n ) = ( t n + t n ) ( t n + t n ), n = ( t, n, t )+( t, n, n ) = ( t, n, n ) t = α α n = k n = ( α k ) = α k k α k
.3 HIZ VEKTÖRÜ VE YAY UZUNLU U 37 τ = ( t, n, n ) = (α, α k k α = (α, α k, α = (α, α, α ) k k k ) + (α, k α k τ(s) = (α (s), α (s), α (s)) α (s), α (s) b-) E er α(s) yerine α( s) alnsayd, dα( s) ds Böylece, = dα( s) d( s) d( s) ds, α k ), α k ) = dα(t) ( ) = α (t) = α ( s), dt α (s) ile ayn. α ( s) = α (s), α ( s) = α (s), α ( s) = α (s) olup, a-) da elde edilen e³itlikte yerine yazlrsa, elde edilir. Örnek.3.9 τ( s) = ( α (s), α (s), α (s)) α (s), α (s) α(u) = (a cos u, a sin u, bu), = τ(s) (a, b R sabitler) e risinin herhangi bir noktasndaki te et do rusunun denklemini yaznz. Çözüm.3.30 Do rultman vektörü: Nokta: α (u) = ( a sin u, a cos u, b) α(u) = (a cos u, a sin u, bu) Temsilci nokta: X = (x, y, z) olmak üzere, te et do rusunun denklemi d : x a cos u a sin u = y a sin u a cos u = z bu b
38 II. DERS R 3 te E R LER ve VEKTÖR ALANLARI ³eklindedir. sin u ve cos u nun sfr olabilece i noktalar göz önüne alarak do runun standart yazl³ yerine, ³ekli daha uygundur. Örnek.3.3 x = λa sin u + a cos u y = λa cos u + a sin u z = λb + bu α(0) = (, 0, 3) α (t) = (t, e t, t ) olmak üzere belli olan α e risinin denklemini yaznz. Çözüm.3.3 Problemin çözümü aslnda bir diferansiyel denklem çözümüdür. Buna göre, ilgili denklem olarak yazlabilir. Böylece, olup α(t) e risi, dα (t) dt dα (t) dt dα 3 (t) dt } = t, α (0) =, = e t, α (0) = 0, = t, α 3 (0) = 3, α (t) = t + c, α (0) =, α (t) = e t + c, α (0) = 0, α 3 (t) = t3 3 + c 3, α 3 (0) = 3, α(t) = ( t +, et, t3 3 3) parametrik ifadesiyle belli olur. Örnek.3.33 α(s) = (a cos s, a sin s, bs), a + b = e risinin, a ) Oskülatör düzlemlerinin denklemini, b ) Oskülatör (e rilik) çemberlerini, c ) a) ve b) ³klarn a =, b = 3, s = π için örnekleyiniz.
.3 HIZ VEKTÖRÜ VE YAY UZUNLU U 39 Çözüm.3.34 a ) Bir uzay e risinin oskülatör düzlemlerinin denklemi det[ X α(s), t (s), n (s)] = 0 olarak bellidir. X = (x, y, z) düzlemin temsilci noktas olmak üzere α (s) = ( a sin s, a cos s, b) α (s) = t (s) = α (s) den α (s) = ( a cos s, a sin s, 0) α (s) = a α (s) n (s) = α = ( cos s, sin s, 0) (s) det[ x a cos s y a sin s z bs a sin s a cos s b cos s sin s 0 b sin sx b cos sy + (z bs)a = 0 ] = 0 elde edilir. b ) Oskülatör Çemberi= Oskülatör Küre Oskülatör Düzlem OM = Oα(s) + R n (s) k = α (s) = a, R = k = a OM = (a cos s, a sin s, bs) + ( cos s, sin s, 0) a OM = (a cos s a cos s, a sin s sin s, bs) a B R (M) = (x (a cos s a cos s)) +(y (a sin s a sin s)) +(z bs) = a. Böylece, oskülatör çember B R (M) = (x (a cos s a cos s)) +(y (a sin s a sin s)) +(z bs) = a küresi ve b sin sx b cos sy + (z bs)a = 0
40 II. DERS R 3 te E R LER ve VEKTÖR ALANLARI düzleminin arakesiti olan çemberdir. c ) a =, b = 3, s = π için oskülatör çember olmak üzere M = (0,, R = B (M) = x + y + z + y 3π 4 ), 3π z + ( + 3π 6 ) = 0 küresi ve 3 x + 3π z = 0 düzleminin arakesiti olarak bulunur. Al³trma.3.35 ) α(t) = (3 cos t, 3 sin t) e risini yay uzunlu u parametresiyle ifade ediniz. ) α(t) = ( cos t, sin t, 5) e risini yay uzunlu u parametresiyle ifade ediniz. 3 ) α(t) = (t, t ) e risinin t = 0,, de erleri için hzlarn kar³la³trnz. 4 ) α(t) = (cos t, sin t) e risinin t = 0, π, π, 3π de erleri için hzlarn kar³la³trnz. 5 ) α(t) = (cos t, sin t, bt), (b = adım) e risinin t = 0, π, π de erleri için hzlarn kar³la³trnz. 6 ) α(t) = (t, t, e t ) e risinin t = 0 noktasndaki hz vektörünü do rultman vektör kabul eden do runun denklemni yaznz. 7 ) α : I R 3, α(t) = ( 4 5 cos t, sin t, 3 5 sin t) e risinin t = 0 noktasndaki Frenet elemanlarn, te et, normal ve rektifyen düzlem denklemlerini yaznz.