HRİ MÜHENDİSLERİ ç SYISL ÇÖZÜMLEME Doç Dr emel BYRK GÜMÜŞHNE
HRİ MÜHENDİSLERİ İÇİN SYISL ÇÖZÜMLEME Bu ktı er kkı sklıdır Yrı ılı olmksıı ktı tmmı ve erg r ölümü çr şeklde çoğltılıp ılm Yr dres: Doç Dr emel BYRK GÜMÜŞHNE Gümüşe Üverstes Müedslk Fkültes Hrt Müedslğ Bölümü Bğlrşı Mlles 9 GÜMÜŞHNE E-ml: trk@gumuseedutr el: 9 7
İÇİNDEKİLER S No GİRİŞ MRİSLER Mtrsler rspoes Devrğ Mtrslerde Determt 8 Br Boutlu Mtrsler Determtı 9 İk Boutlu Mtrsler Determtı 9 Üç Boutlu Mtrsler Determtı Srrus Kurlı İle Determt Hesı Br Mtrs Rkı Br Kre Mtrs İ MRİSLERDE EMEL İŞLEMLER 7 Mtrslerde oplm ve Çıkrm 7 Mtrsler Çrpımı 9 Mtrsler ers İvers Determt Yötem İle Smetrk Olm Mtrsler ers Guss Yötem Smetrk Mtrsler ers 8 Guss Yötem İle Boutlu Smetrk Mtrsler ers 8 Guss Yötem İle Boutlu Smetrk Mtrsler ers YLOR SERİ ÇILIMIYL SYISL ÜREV DENKLEM SİSEMLERİNİN ÇÖZÜMÜ Doğrusl Leer Deklem sstemler Smetrk Olm Doğrusl Deklem sstemler Mtrs Çöümü Smetrk Doğrusl Deklem Sstemler Mtrs Çöümü Doğrusl olm Deklem sstemler Mtrs Çöümü ENERPOLSYON 7 Doğrusl Eterpolso 7 Üçge Eterpolso 7 Polomlrl Eterpolso 7 ek Değşkel Polomlrl Eterpolso 7 Çt Değşkel Polomlrl Eterpolso 8 Multqudrk Eterpolso 88 7 EN KÜÇÜK KRELER REGRESYONU İLE İLİŞKİ BELİRLEME 98 7 Doğrusl Regreso 98 7 İlşk Güü ve Yöü
GİRİŞ Hrtılık ugulmlrı, lgsrlrı gelşmese prlel olrk, ıl şekl değştrmektedr Ugulmlı mtemtk ve geometr ğırlıklı mesleğmde lgsrlr ve lgsr destekl ugulmlr öeml er tutmktdır Yoğu koum lgler şlemes ve görütülemes rtık sısl ortm tşımıştır Devs outlu prolemler çöümü güümüde lgsrlr rdımıl pılmktdır Sısl çöümleme ugulmlı mtemtk ve lgsr lm r r kestdr Mtemtk ugulmlrıı outlrıı üük olmsı edele prolemler çöümü ç lgsrlrı ııd rrlılmktdır Sısl çöümleme mtemtk prolemler lgsr rdımıl sıl çöüleleeğ evplrıı sumktdır Bu ğlmd müedslk ugulmlrı ç rçok ötem gelştrlmştr Bı ötemler er proleme urlm Be de r prolem çöümü ç rçok ötem ollr Sısl çöümleme r prolem ç e ugu ötem rştırılmsı, e lmlı souç vere ötem ugulmsı ve e ötemler gelştrlmes mçlr Bu edee ulşmk ç lgsrlrl prolem çöümüde; Yötem progrmllmee tkı olmsı Blgsrlrd ellek kplmsı Kıs şlem süres le sou gtme G öellklere dkkt edlr Bu ö koşullr dkkte lırk ugul ötem e doğru souu vermes Sısl Çöümleme e öeml ededr Ugulmd u öellkler eps sğl r ötem olmlr Bu edele e ugu souu vere ötem ter edlelr Bu süreçte ter tmme kullııı tı göre şekller Ypılk ş ç eterl doğruluğu sğl ötemler er m ter edle ötemler olmktdır
MRİSLER Hrt müedslğ ugulmlrı güümüde lgsr desteğ gerektre üük outlu prolemler olrk krşımı çıkmktdır Prolemler geelde çöüm eştlkler ve krmşık esplm şlemler kıs, çık ve lşıllr r çmde gösterm sğl mtrsler rdımıl çöülür Mtrs göstermler üük rlerle pılır Mtrs, m sıd stır ve sıd sütud oluş m, elemlı r sstemdr Mtrsler geelde üük rlerle gösterlr m sıd stır sıd sütulrd oluş r mtrs elem sısı m kdrdır Α m, m m m m mtrsdek ler mtrs elemlrıdır ler,,, m stırı, ler,,, sütuu gösterr Β, 7 C, 7, 7 7 9 mtrs elem sısı 9
m stır sütulu r mtrs ç m se mtrs r kre mtrstr m se mtrs r dkdörtge mtrstr 7 8 9, m mtrs r kre mtrstr 7, m < mtrs r dkdörtge mtrstr 7, m > mtrs r dkdörtge mtrstr Ylı r sütud ve r stırd oluş mtrslere vektör der Elem sısı vektörü outuu gösterr Vektörler küçük rlerle gösterlr Sütu vektör: Sütulrd oluş vektöre sütu vektör der, m m m m Stır vektör: Stırlrd oluş vektöre stır vektör der [ ], [ ]
Br vektörü: Bütü elemlrı r ol sütu vektördür m Brm vektör: Elemlrıd sdee r tes r ve dğerler sıır ol sütu vektördür m Sıır vektörü: Bütü elemlrı sıır ol sütu vektördür m Köşege mtrs: Köşegeler dışıd tüm elemlrı ol kre mtrse der m m, Α m, Α 8 Sıır mtrs: üm elemlrı sıır ol mtrse der m, Α m ollr, Α
Brm mtrs: Köşegeler elemlrı r dğer tüm elemlrı sıır ol kre mtrse der m, Α m Α, Skler mtrs: Köşege elemlrı st r sı ve dğer tüm elemlrı sıır ol kre mtrse der t t t t Α m, m Α, Smetrk mtrs: köşegee göre elemlrı eşt ol kre mtrse der m, Α 7 8 8, Α
Mtrsler rspoes Devrğ Br mtrs stır ve sütulrıı er değştrmes le elde edle mtrse der Α,, 9 7 7 Α, 9 7 7,, Α [ ], 7 8 9, Α 7 9 8, Skler r sıı trspoes kedse eşttr Smetrk mtrsler trspoeler kedse eşttr 7 8 8 Α, 7 8 8,, Α
rspoe le lgl öellkler Α Β Α Β Α Β Β Α Α Α k Α k Α k skler r sıdır Eel de r mtrs trspoes llmek ç mtrs er elemı r üree grlr Α, mtrs outlu mtrs se trspoes Α, lük r mtrstr rspoe ç Eel de lük r l seçlr ve şlev ekle de tıkllr de DEVRİK_DÖNÜŞÜM seçlr ve tmm tuşu sılır mm tuşu sıldığıd dk ekr göükür Bu ekrd D l Α, mtrs üreler grlr re le u l trlr ve e mm tuşu sılır Bu durumd mtrs trspoes göükme ekrıd ormül seçlr ve trl st eter tuşlrı ep rlkte sılır Bu şeklde mtrs trspoes lımış olur 7
Mtl d r mtrs trspoes lmk ç Commd Wdow ekrıd Α, mtrs grlr ' Α komutu trspoe lm ç eterldr mtrs trspoes B mtrse tmış olur ' B Α şeklde r komut grlrse, Α Mtrslerde Determt Kre mtrsler r sı eşlee oksodur Determt oksouu, kre mtrs eşledğ o sı mtrs determtı der Br kre mtrs determtı şğıdk çmde gösterlr Bu gösterm mutlk değerle krıştırılmmlıdır det Α det Α, mtrs stır elemlrı göre ılırs şğıdk eştlk uluur det Α Α Σ Α Α m, 8
ve,,,, ç Α Α Α,,,, Α Α Α Α Α Br Boutlu Mtrsler Determtı Br outlu mtrslerde determt mtrs elemı eşttr [ ] Α Α [ ] Α Α İk Boutlu Mtrsler Determtı Α 8 ve, ç Α Α, Α, Α Α Α Α Α 8 Α Α 8 Α 8 9
Üç Boutlu Mtrsler Determtı Α ve,, ç 7 8 9 Α Α Α,, Α, Α Α Α Α Α Α Α Α 8 9 7 9 7 8 9 8 9 7 8 7 Α 8 Α Α 9 Α Α Determt le lgl öellkler Skler r sıı determtı kedsdr det
Br mtrs e r stır d r sütuuu elemlrı sıırd oluşuors u mtrs determtı sıırdır Α 8 det Α Α 8 7 Br mtrs k stır d sütu elemlrı rsıd st r or vrs u mtrs determtı sıırdır şğıdk örekte ve Stır rsıd st r or k vrdır Bu edele determtı sıırdır Α det Α Α 8 7 Br köşege mtrs determtı köşege elemlrıı çrpımı eşttr Α 8 ve,, ç Α Α Α Α,, Α Α Α Α, Α 8 8 Α 8 8 Α Α 8 Α
Determtı sıır ol mtrse Α tekl sgüler mtrs der Determtı sıırd rklı ol mtrse Α düel regüler mtrs der Srrus Kurlı İle Determt Hesı Bu ötemle mtrs e lt stır kısmı lk k stır ede ılır ve şğıdk şlem gerçekleştrlr Α 7 8 9 7 8 8 9 7 7 8 9 9 8 9 7 8 8 7 9 8 Α Eel de r mtrs determtıı llmek ç er elemı r üree grlr Determt ç Eel de lk r l seçlr ve şlev ekle de tıkllr de DEERMİNN seçlr ve tmm tuşu sılır mm, tuşu sıldığıd ekrd D l mtrs üreler grlr re le u l trlr ve e mm tuşu sılır Bu durumd mtrs determtı göükme ekrıd ormül seçlr ve trl st eter tuşlrı ep rlkte sılır Mtrs determtı lımış olur
Mtl d r mtrs determtıı lmk ç Commd Wdow ekrıd mtrs grlr det komutu determt lmk ç eterldr B det şeklde komut grlrse mtrs determtı B mtrse tmış olur Br Mtrs Rkı Br mtrs ı stır ve sütulrıı slmesle elde edleek kre lt mtrsler rsıd determtı sıırd rklı ollrd outu e üük ol r r outud se u r sısı mtrs rkı der rk r çmde gösterlr Br mtrs rkı doğrusl leer ğımsı stır d sütu sısı eşttr Örek: Α rk? Cevp: Oluşleek kre lt mtrsler outu e l dr Bu edele rk e l ollr Herg r outlu r kre mtrs seçelm Α Α 7 Α rk
Α 7 Α Α rk Örek: Α rk? Cevp: Oluşleek kre lt mtrslerde e üüğüü outu, dğerler se dr Bu edele rk e l ollr Öe r outlu kre lt mtrs seçelm Üçüü sütu göre determtı espllım 8 Α Α rk Örek: Α rk? Cevp: Oluşleek kre lt mtrslerde e üüğüü outu, dğerler se dr Bu edele rk e l ollr Öe r outlu kre lt mtrs seçelm Üçüü sütu göre determtıı espllım Α Α Α rk olm
Bu durumd outlu kre mtrsler determtlrı kmmı gerekr Herg r outlu kre lt mtrs seçelm Α Α Α rk Yorum: Br mtrs k stır d sütu elemlrı rsıd st r or vrs u mtrs determtı sıırdır Örektek mtrs ve stırlrı rsıd st r or vrdır Bu edele determtı sıır çıkmktdır mtrs rkı doğrusl leer ğımsı stır d sütu sısı eşttr mtrs ve Stırlrı leer ğımlıdır Leer ğımsı stır sısı dr Bu edele rk çıkmıştır Mtl d r mtrs rkıı lmk ç Commd Wdow ekrıd mtrs getrlr rk komutu mtrs rkıı ulmk ç eterldr B rk şeklde r komut grlrse mtrs rk ı B değşkee tmış olur Br Kre Mtrs İ Kre mtrs köşege elemlrıı toplmı mtrs der ve şğıdk ormül rdımıl esplır { }
Α { } 9
7 MRİSLERDE EMEL İŞLEMLER Mtrslerde oplm ve Çıkrm m outlu mtrsler toplmsı ve rklrıı lımsı krşılıklı elemlrı toplmsı d çıkrılmsı le uluur Mtrsler topllmes ve çıkrıllmes ç outlrıı eşt olmsı gerekr m m m m m, m m m m m B, m m m m m m m m B C m m m m m m m m B D B B Yer değştrme öellğ C B C B C B C B C B C B Brleşme öellğ
8 { } { } { } B B Örek: 8 B? B? B Cevp: 8 B 9 8 B
Mtrsler Çrpımı C m, m, p Bp, g k mtrs çrpıllmes ç mtrs sütu sısı B mtrs stır sısı eşt olmlıdır Çrpım souu ort çıkk e mtrs outlrı mtrs stır sısı ve B mtrs sütu sısı eşt olur B,, C, C, B,, C, 8 8 Geel olrk mtrsler sğd ve sold çrpımlrı rklıdır Y er değştrme öellğ oktur B B B se çrplrd r sıır olmsı gerekme B C se B C olmsı gerekme 9
Çok sıd mtrs çrpımıd mtrsler sırlrı değştrlmemeldr B C C B C C B C C B C B C B C B Br mtrs rm mtrs le çrpımı kedse, sıır mtrs le çrpımı sıır eşttr E Mtrs çrpımlrıı trspoes, mtrsler trspoeler ters sırd çrpımı eşttr C B C B B B Br mtrs sold trspoes le çrpılırs smetrk r mtrs elde edlr smetrk r mtrstr 8, 8, 7 8 8, C Br mtrs tüm elemlrı r k sısı le çrpılırs ve ölüürse mtrs de k sısı le çrpılmış d ölümüş olur k k k k k k k k k k B k k B k
Örek: 8? Cevp: 8 8 Örek: 8? Cevp: 8 8 8 Soru:? v
Mtrsler ers İvers Mtrslerde ölme şlem tımlı değldr Bu durumd mtrsler tersde rrlılır ers mtrs esı lı determtı sıırd rklı kre mtrslerde sö kousudur Determtı sıırd rklı r kre mtrs ters er m şğıdk şrtı sğlr E Sğd ölme Sold ölme E : rm mtrs Br mtrs ters trspoes, trspoes terse eşttr
Br mtrs ters ters kedse eşttr Br mtrs sı le çrpımıı ters, sıı tersle mtrs ters çrpımı eşttr k k Br mtrs çrpımıı ters, sod ş doğru er r tersler çrpımı eşttr B C C B Br köşege mtrs ters e r köşege mtrstr ers mtrs köşege elemlrı köşege mtrs elemlrıı terse eşttr / / / Br köşege lok mtrs ters, loklrı rı rı ters şekldedr N N N N N N
Determt Yötem İle Smetrk Olm Mtrsler ers Örek:? 8 Cevp: 8 8 8 8
Örek: 7? Cevp: 7 7 7 7 7 7 7 8 7 9 7 9 8 7 8 7 7 9 8
Örek:? 7 8 Cevp: 7 7 8 ---------------------- 8 8 7 ---------------------- 8 8 7 7 8 7 7 8 8 8 7 7 7 8 7 8
7 8 7778 8889 7778 Örek:? 8 Cevp: E 8 7
8 8 8 8 8 8 8 8 7 7 8 Soru: Guss Yötem İle Smetrk Mtrsler ers Hrt müedslğ ugulmlrıd geellkle smetrk mtrslerle krşılşılır Smetrk mtrsler ters de smetrk mtrstr Guss Yötem İle Boutlu Smetrk Mtrsler ers 9? Q 9 9 S
E lşksde rrlrk Guss ötemle smetrk mtrsler ters şğıdk g lılr e e e e - /- - /- - e /- e /- 9 e e - e 7 e - 8 /- 9 /- - 7 /- -, q e 9 q e - q e 7 q q q q e e - /- - /- - /- /- 9-9 - -, - /- -/- - /- -, -,- -- - - Kotrol S Q 9
Guss Yötem İle Boutlu Smetrk Mtrsler ers 7 Q? 7 7 7 7 7 S 7 8 7 7 e e e - - /- - /- -/- - /- /- /- -7 - - -7 - - - /- -/- 7 -/- - /- /- 7 --7 - ---7 --- -- - /- -/- - /- - /- q - --7- q 7 ---- q --- q -8 -- q - - q - - q q q q q q q q q 7 7 8 Kotrol S 8 7 7 8
Örek: Yd verle mtrs, Determt ötemle vers lıı Guss ötemle vers lıı 7 7 7 7 9
Çöüm: Determt ötemle vers 7 7 7 8 98 7 8 7 9 7 9 7 7 7 7 98 7 7 7 9 7 9 7 78 7 7 7 7 7 7 8 98 7 78 777 777 8 98 78 98 7 7 78 7 7 9 8 8 7 8 8 9
Guss ötemle vers e e e -7-99 -77 7 7 - -8-9 9-9 99-8 - -8 9-9 -8-7 -8 9 9 8 8 7 8 8 9 Örek: şğıd verle mtrs ters Guss ötemle esplıı N 7 N 9 8 9 8 8 8 9 8 9 e e e - - - - - 7 - - - 7 9-9 7 7-7 7-9 -8-9 -9 8 9 N -8-8 -9
YLOR SERİSİ ÇILIMIYL SYISL ÜREV HESPLM ürev lmd emel Kurllr türev se oksou türev st sısıı türev se oksou türev türev [ ] [ ] oplmı ürev [ g ] g g [ ] Frkı ürev [ g ] g g [ ] Çrpımı ürev [ g ] g g Br ürev İk İk ürev Br g [ ]
Bölümü ürev [ ] g g g g Pı ürev Pd Pdı ürev P / Pdı Kres g Köklü Foksou türev m m u u m m u u m u u m u u u s u u türev os u u s os os u u türev s u u os s t u u türev t os u u u u t t os rt u u türev u u rt
Blmeeler esplmsıd kullıl oksolr deklemler e doğrusl olmlr Bu deklemler YLOR göre sere çılır doğrusllştırılır Doğrusllştırm ç lmeeler klşık değerler kullılır Bu şlemlerle doğrusl olm deklem doğrusl dekleme döüştürülür ve lmeeler çöümü pılır Çöüm souud lmeeler değerler klşık değerlere ekleerek lmeeler kes değerler elde edlr Br şekldek r lmeel doğrusl olm deklem çöümü ç deklem lor serse çılır Y, oksou lmeee göre kısm türev lıır ve urd lmee klşık değer ere koulur Blmee kes değer Blmee klşık değer Blmee d d! d! d! lor çılımıd çok l ktkısı olmdığı ve elemel çöüm pıldığı ç dereede sork termler ml edlr d d d Kes değer Bu eştlk elemel olrk çöülür
Örek: deklem vrıd r kökü olduğu tm edlor Bu kökü lor sers çılımıl sısl türev esplm ötem kullrk esplıı Çöüm: d d d d 8 8 8 8 7 8 7 7 7 7 No 8 8 7 7 Örek: deklem ç lor sers çılımıl sısl türev esplm ötem kullrk kökü esplıı Çöüm: d d 7
d d 7 9 7 9 79 79 8 9 8 9 89 89 8 9998 8 9998 89998 89998 9 9 9 9 9 No 79 79 89 89 89998 89998 9 9 9,,, Br şekldek çok lmeel doğrusl olm deklem çöümü ç oksou,,, lmeelere göre kısm türev lıır ve urd lmee klşık değer ere koulur Blmeeler kes değer Blmeeler klşık değer Blmeeler d, d, d,, d d d Örek: oksouu lor serse çıı Çöüm: Foksou, e göre kısm türev lıır ve urd lmeeler klşık değerler d, d ere koulur 8
9, d d d d u u türev u u dur Bu prolemde u dersek d d Bu deklemde k lmee olduğu ç tek şı çöüleme Çöüm ç e k deklem gerekldr Örek: oksouu lor serse çıı Çöüm: d d Örek: α os s oksouu lor serse çıı Çöüm: Foksou α, s göre kısm türev lıır ve urd lmeeler klşık değerler ds s s, α α α d ere koulur
, α α α d ds s s os α α α d ds s s osα s sα α s os s os α α α α s d s ds Örek: rt oksouu lor serse çıı Çöüm: Foksou, e göre kısm türev lıır ve urd lmeeler klşık değerler d, d ere koulur, d d rt d d rt u u türev u u dur Bu prolemde u dersek rt d d
Örek: r π oksouu lor serse çıı Çöüm: Foksou r e göre kısm türev lıır ve urd lmee klşık değer dr r r ere koulur dr r r dr r r π π r dr r π π Örek: oksouu lor serse çıı Çöüm: Foksou,,, e göre kısm türev lıır ve urd lmeeler klşık değerler d, d, d, d ere koulur,,, d d d d o o d d d d o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o
o o o o o o o o o o o o o o d d d d Örek: Yd verle rt oksou ç Foksod kç değşke vrdır Fokso leer mdr oks leer değl mdr? Foksou lor serse çıı ve e so deklem l ıı Çöüm: Foksod değşke vrdır Bulr,,, dr Fokso Leer değldr rgoometrk oksolrı ç r leer değldr Foksou sırsıl,,, e göre kısm türev lıır ve urd lmeeler klşık değerler d, d, d, d ere koulur,,, d d d d rt d d d d
s s s s s s s s Foksou leer le getrlmş so l, rt d s d s d s d s
DENKLEM SİSEMLERİNİN ÇÖZÜMÜ Doğrusl Leer Deklem sstemler Smetrk Olm Doğrusl Deklem sstemler Mtrs Çöümü dekleme r dereede u lmeel doğrusl leer deklem der Br dereede sıd u lmeel leer deklemler oluşturduğu ssteme doğrusl deklem sstem der : ktsılr mtrs, : lmeeler vektörü, : st vektörü olmk üere, u Deklem sstem mtrs gösterm; u E Küçük Kreler İlkes le tek lmlı çöüm ç sold trspoes le çrpılır ve mmum eştler
m m m olduğud skler r değer m Bu oksou mmum olmsı ç vektörüe göre türev sıır eştler v v Bu eştlk e ölüür ve trspoes ılırs, N Norml deklemler [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] N
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] N Mtrs gösterm [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Norml deklem ktsılr mtrs N Blmeeler vektörü St termler
Norml Deklemler Öellkler Norml deklemler smetrktr Deklem sısı lmee sısı kdrdır Krel ktsılr [ ], [ ], [ ] er m dır Smetrk ktsılr [ ], [ ] e, e de ollrler N sold N le çrpılırs, N N N N N E rm mtrstr d d N d lmeeler çöülmüş olur Örek: şğıdk deklem sstem şeklde ıı 7 799 Cevp: Öelkle deklemler lmeelere göre düeleelm 7 799 7 799 7
8 799 7 Örek: şğıdk deklem sstem şeklde ıı 8 8 8 9 8 Cevp: Öelkle deklemler lmeelere göre düeleelm 8 8 8 9 8 8 8 9 8 8 d d d
9 Örek: şğıdk deklem sstem şeklde ıı Cevp: Deklemler düeleelm Örek: şğıdk deklem sstem şeklde ıı Cevp: Deklemler düeleelm k k k k
k Örek: şğıd deklem sstem çöüü 7 8 7 8 7 7 N 7 7 9 8 e e 7 - - -7 9 - - 9 - - 9-9 8 N 9 7
Örek: şğıdk deklem sstem çöüü Cevp: 9 9 N 7 e e e,,, -, -,7 -,7, -9,, -9,, -,, -,,, -,7, -,7778-9, -9,8889 -,,,7778-9, -9, -9,8889
7 98889 9 7778 9 9 7778 N Q 7 Kotrol 7
Smetrk Doğrusl Deklem sstemler Mtrs Çöümü deklem sstemde, eğer ktsılr mtrs smetrk se sold le çrpılır E rm mtrs d d lmeeler çöülmüş olur d Örek: şğıdk deklem sstem çöüü 7 9 7 9 7 7 8 Cevp: Yukrıdk deklem sstem smetrktr 7 7 7 7 8 9 9 7 7 7 9 7 9 8
e e e, -,,7 -, -, -,97, -,7, -,, -, -, -,978,8,87 -,, -,89 -,89 -, -,98 -,78,89 -,98 -,89 -, 98 78 89 78 98 89 89 89 98 78 89 78 98 89 89 89 9 9 7 Doğrusl Olm Deklem sstemler Mtrs Çöümü Blmeeler esplmsıd kullıl oksolr deklemler e doğrusl olmlr Bulr YLOR göre sere çılrk doğrusllştırılır Doğrusllştırm ç lmeeler klşık değerler kullılır Bu şlemlerle doğrusl olm deklem sstem doğrusl deklem ssteme döüştürülür ve lmeeler çöümü pılır Çöüm souud lmeeler değerler klşık değerlere ekleerek lmeeler kes değerler elde edlr
,,,, g,,,, k Yukrıd dört deklem ve üç lmee u,, vrdır Doğrusl olm deklemlerde oluş r sstem çöümü ç deklemler lor serse çılır Y, oksolrı lmeelere göre kısm türevler lıır ve urd lmeeler klşık değerler ere koulur Blmeeler kes değer Blmeeler klşık değer Blmeeler d d d d d d d d d d g d g d g g d d d d k d k d k k Doğrusllştırılmış deklemler, d d d d d d d d d d d d
: ktsılr mtrs, : lmeeler vektörü, : st vektörü olmk üere, d d d Deklem sstem mtrs gösterm d d d Bu deklem sstem smetrk olm doğrusl leer deklem sstem çöümü le çöülelr N d d d Deklem sstem çöümü souud elde edle lmeelere klşık değerler ekleerek lmeeler kes değerler uluur Blmeeler kes değer Blmeeler klşık değer Blmeeler d d d Blmeeler kes değerler lk doğrusl olm deklemlerde ere koulrk deklem sstem sğlıp sğlmdığı kotrol edlr
,, g,,,, k,, Eğer klşık değerler ugu seçlmemş se u şrt sğlmlr Bu durumd lmeeler kes değerler klşık değerler olrk lıır ve çöüm şlem tekrrlır Örek: şğıd k lmeel doğrusl olm k deklem verlmştr Yklşık değerler ve lrk lmeeler çöüü 9 99 Çöüm: Deklemler doğrusl değldr Bu deklemler lor serse çılır ve doğrusllştırılır Y, deklemler ve göre türevler lıır ve klşık değerler ere kour, d d lor çılımı Deklem 9 9 d d d 7
8 d 8 9 d d 9 d d 9 8 d d d d Deklem 99 99 d d d d 9 99 d d 99 d d 99 9 d d d d Doğrusllştırılmış deklemler d d d d
Mtrs ormtıd deklemler d d 7 N 7 888 9 e e, -,7 -,888 -,,888,,888 - -,9 -,89 -, -,9 -,89 Q N 9 9 89 9 9 d Q N 9 89 d Blmeeler Kes Değer d d 8 98 Kotrol 9 8 98 9 99 8 98 99 9
Hespl lmeeler lk deklemlerde ere koulduğud deklem sstem sğlmdığı görülmektedr Buu ede klşık değer seçlmemş olmsıdır Bu ğlmd pılk ş elemel çöümdür Deklem sstem çöümüde elde edle lmeeler kes değerler r sork şlem ç klşık değer olrk seçlr Yklşık değerler 8 ve 98 lrk lmeeler tekrr çöülür d d 9 d d 99 8 d 98 d 8 8 d 98 d 8 98 98 9 99 98 d 97 d 99 d 97 d Mtrs ormtıd deklemler 98 99 97 d 97 d 98 97 99 97 98 99 N 97 97 8898 8 e e, -, -,79 -, 8,898 9,8,79 - -, -, -, -, -,
Q N 8 d Q N d Blmeeler Kes Değer d d 8 98 788 988 Kotrol 9 788 988 9 99 788 988 99 Örek: şğıd üç lmeel doğrusl olm üç deklem verlmştr Deklemler doğrusllştırıp mtrs ormtıd ıı Çöüm: Deklemler doğrusl değldr Bu deklemler lor serse çılır ve doğrusllştırılır Y, deklemler, ve göre türevler lıır
Deklem d d d Doğrusllştırılmış r deklem d d d Deklem d d d Doğrusllştırılmış k deklem d d d
Deklem d d d Doğrusllştırılmış üçüü deklem d d d Doğrusllştırılmış deklemler d d d d d d d d d Deklem sstem mtrs gösterm d d d
Örek: şğıd verle deklem sstem ç Kç lmee vrdır Bulrı ıı Deklemler leer mdr oks leer değl mdr? Deklem sısı lmeeler çömee eterl mdr? d Blmeeler oksouu kullrk esplıı Çöüm: Foksod değşke vrdır Bulr,, dr Deklemler Leerdr Yeterldr Üç lmee ç deklem vrdır Drek çöüm pıllr d Blmeeler oksouu kullrk espllım Deklemler,, sırsı göre düeleelm N 8
e e e - - -87-7 - 7-9 - 8 - - 8-8 - 8 - - -9 7 8 - - - 8 Q N 9 7 8 7 8 Örek: şğıd verle deklem sstem ç; Kç lmee vrdır Bulrı ıı Deklemler leer mdr oks leer değl mdr? Deklem sısı lmeeler çömee eterl mdr? d Blmeeler göster ormtıd ıı Çrpm şlemler çık
Çöüm: Foksod değşke vrdır Bulr,, dr Deklemler Leerdr Yeterldr Üç lmee ç deklem vrdır Çöüm pıllr d Blmeeler ormtıd lım Deklemler,, sırsı göre düeleelm ormtıd lım 9 N 8 8 9
Örek: şğıd verle oksolrd N, 9, sorulrı evplıı Burd e st r sıdır B 9 ve L 9 lrk sorul Foksod kç değşke vrdır Bulrı ıı Foksolr leer mdr, oks değl mdr? Deklem sısı lmeeler çömee eterl mdr? d Deklemler düeleerek ormtıd ıı N os B N s L e N Çöüm: Foksod lmee vrdır Bulr N,, B, L dr Foksolrı lk ks Leer değldr Çükü u k deklemde trgoometrk oksolr vrdır Üçüü okso leerdr Yeterl değldr lmee ç deklem vrdır d Foksolrı sırsıl N,, B, L e göre kısm türev lıır Blmeeler klşık değerler: N N dn, d, B B db, L L dl [ N os B ] dn d db dl N [ N os B ] os B dn os B d N s B db dl [ 9 os9 ] os9 dn os9 d 9 s 9 db dl dn d db dl B L 7
[ N s L ] dn d db dl N [ N s L ] s L dn s L d db N os L dl [ 9 s 9 ] s 9 dn s 9 d db 9 os9 dl dn d db dl dn d db dl B L [ e N ] dn d db dl N B [ e N ] e dn e d db dl [ 9 ] dn d db dl dn d db dl dn d db dl L dn d db dl dn d db dl dn d db dl dn d db dl Örek: şğıd verle deklem sstem ç Kç lmee vrdır Bulrı ıı Deklemler leer mdr oks leer değl mdr? Deklem sısı lmeeler çömee eterl mdr? d Blmeeler oksouu kullrk esplıı 8
9 Çöüm: Foksod değşke vrdır Bulr,, dr Deklemler Leerdr Yeterldr Üç lmee ç deklem vrdır Çöüm pıllr d Deklemler düeleelm N 8
e e e - - -87-7 - 7-9 - 979 - - - 979-99 -8-7 -9 99 Q - -8-7 N 9 99 8 99 8 7 8 7
ENERPOLSYON Br ğımsı değşke ve r de ğımlı değşke rsıd g r lşk olsu,,,,,,,, u u kl değerlerde dlrk erg r değer ç oksou rdımıl değer esplmsı şleme predkso kestrm der Hesplmd kullıl değerler rsıd se u ğlı ol ğımsı değşke değer değer esı eterpolso der Hesplmd kullıl ğımsı değşke değer değerler rsıd değl se u ğlı ol değer esı etrpolso der Doğrusl Eterpolso Bu ötem, koordtlrı verle k oktd geçe doğru üerdek üçüü oktı r koordtı krşılık dğer koordtıı kestrlmes prese dır Bu prolemde P oktsı, koordtlrıl, P oktsı, koordtlrıl tımlıdır Üçüü okt ol P oktsıı koordtı krşılık koordtıı kestrlmes mçlmktdır koordtıı kestrlelmes ç koordtı rkıı eklemes eterldr X P P P α Y 7
7 Bu eştlkte koordtı lmemektedr t teoremde şğıdk eştlk ıllr t α Yukrıdk eştlğ deklemde ere rsk Doğrusl eterpolso deklem elde etmş oluru Örek: 7 NN P P P 7?
Üçge Eterpolso Bu ötem üç oktd r dülem geçrlmes ve eterpole edlmes stele oktı u dülem üerde olmsı prese dır Bu prolemde P oktsı,, koordtlrıl, P oktsı,, koordtlrıl ve P oktsı,, koordtlrıl tımlıdır P P P P Br oktı dülem üerde olm şrtı deklem le tımlır Üç okt ç u deklemler rsk şğıdk eştlkler elde etmş oluru NN P P P P? 7
Deklem sstem şeklde mtrs gösterm Bu eştlk smetrk olm leer r deklem sstemdr Leer deklem sstem çöülerek, ve prmetreler esplır Bu değerler,, koordtlrıl tımlı P oktsı ç ıl şğıdk dede ere koulur ve oktı değer kestrlmş olur Örek: lod verle üç oktd rrlrk dördüü oktı değer esplıı NN P 9 P P P? 9 Deklem sstem şeklde mtrs gösterm 9 7
N 9 e e e,,, - -, -,7 -,9,,,, -, - -,,8 -,8,,7 -,7 -, -,7,87 -,9 -,,7,7 -,,87 -,9 Q N 7 7 7 87 7 87 9 Q N 7 7 7 87 7 87 9 8 87 87 Kotrol 8 9 87 87 7
oktı değer kestrlmş değer 8 87 87 8 Polomlrl Eterpolso Polom kelmes çok terml r pı lmı gelr Hrtılık ugulmlrıd polomlr geelde eterpolso pmk ç kullılır Polomlr üe tımlmk ç ugu oksolrdır Hrtılık ugulmlrıd üe eterpolsolrı ç polomlrı kullımı gıdır Öellkle eod ükseklkler esıd kullıl r ötemdr ek Değşkel Polomlrl Eterpolso dereede tek değşkel : ğımsı değşke r polom ç geel de şğıdk g ıllr Bu polom çılımıd,,,,,, polom ktsılrıdır Bu prolemde polom ktsılrı lmeelerdr Yukrıdk polom deree r polomdur Polomd r ktsılrd er g r sıır ollr Öreğ şğıdk oksod ve ktsılrı sıır olduğu ç polom pısıd er lmlr 7
77 ek değşkel r polomd şrtıı sğl değşke değer ulumsı polomu çöümü lmı gelr oksou ç u te deklem ılsı u,,,, Hrtılıkt kullıl koordtlr üük değerlerdr Koordtlr u llerle mtrs esıd kullılm Buu ere koordtlrı ormldırılmış değerler kullılır u u ortlm koordtlr olmk üere ormldırılmış küçültülmüş koordtlr Bu deklem sstem düelersek
78 Deklem sstem mtrs gösterm şeklde Bu eştlk smetrk olm leer r deklem sstemdr Leer deklem sstem çöülerek şrtıı sğl ve değşke değer ulumsı polomu çöümü lmı gelr Örek: şğıdk tlod eş oktı koordtlrı ve ükseklkler verlmektedr şekldek deree polom rdımıl P oktsıı ükseklğ esplıı Çöüm: Bu prolemde verle okt ç eştlğ ılır NN P P P P 8 P?
koordtlrı üük değerler olduğu ç ormldırılmlrı gerekr Normldırm şlemde ükseklğ le dört oktı koordtlrı kullılır ormldırılmış koordtlrı esı 8 8 79
8 Deklem sstem mtrs gösterm şeklde 8 N 8 e e e,,, -, -, -,,,,,, -,, -,,, -,, -,, -, -,,, -,, -, Q N 8
8 N Q Kotrol 8 8 8 Ye oktı ormldırılmış koordtı Ye oktı ükseklğ 7 [ ] [ ] 7
Çt Değşkel Polomlrl Eterpolso dereede çt değşkel, : ğımsı değşkeler r polom ç geel de şğıdk g ıllr, Bu polom çılımıd,,,,, polom ktsılrıdır lmeelerdr Yukrıdk polom deree r polomdur Çt değşkel r polomd, şrtıı sğl ve değşke değer ulumsı polomu çöümü lmı gelr, oksou u ç te deklem ılsı,,,, u Hrtılıkt kullıl koordtlr üük değerlerdr Koordtlr u llerle mtrs esıd kullılm Buu ere koordtlrı ormldırılmış değerler kullılır u ortlm koordtı u u ortlm koordtı u 8
8 ormldırılmış küçültülmüş koordtlr Bu deklem sstem düelersek Deklem sstem mtrs gösterm şeklde
Bu deklem leer r deklem sstemdr Leer deklem sstem çöülerek şrtıı sğl değşke değer ulumsı polomu çöümü lmı gelr Örek: şğıdk tlod oktlrı koordtlrı ve ükseklkler verlmektedr, şekldek deree polom rdımıl P oktsıı ükseklğ esplıı NN P 77 99 87 P 798 97 P 7988 977 7 P 9 989 7 P 988 8? Çöüm: Bu prolemde verle okt ç eştlğ ılır 78 ortlm koordtı ortlm koordtı 7 878 8 78 8
88 7 88 87 7 88 878 7 8 7 7 78 88 7 88 87 878 8 7 7 78 88 7 Deklem sstem mtrs gösterm şeklde 7 878 8 78 88 7 88 87 7 7 7 88 878 8 7 78 88 7 88 878 8 7 78 88 88 78 78 798 N 87 7 7 87 9 8
e e e,,, -,, -, 8,8 -,78 8,8 -,78, -,, -,7 7,98,8,, -, -,9 -, -,,, -,9 -,9 -, Q N 9 9 9 Q N 9 9 9 87 9 9 Kotrol 7 878 8 78 88 7 88 87 7 7 8
87 9 88 78 7 8 878 88 7 7 7 87 7 8 Not: Kotrolde çıkmmsıı ede polomu üe tm temsl edememesde kklmıştır 7 88 Ye oktı ükseklğ 9 [ ] 88 7 [ ] 7
Multkudrk Eterpolso Koum ğlı lg modelleelmes ç eterpolsol r değerler üretlmes rtılıkt öeml r er tutr Multkudrk Eterpolso ötem u mçl kullıl e gı ötemlerde r dğerdr Öellkle k outlu sısl ükseklk modeller oluşturulmsıdk kullımı rtılık ugulmlrıd çok gıdır Multkudrk eterpolso ötem geel r ötemdr ve çok outlu ugulmlr ç deldr Multkudrk üe geel olrk şğıdk oksol tımlır,,,, Δ u Yötemde öelkle örekleme oktlrıd rrlrk öe düşük dereel r tred üe geçrlr Geelde sıırıı ve r dereede r tred üe eterldr Buu ç şğıdk eştlk kullılır D sor, ötem dk oktlrıı tümüü kullrk r tek r oksol tımlm çlışır Dk oktlrıı rsıdk uklık oksou u mçl kullılır,,,, u oksou outlrı göre şğıdk g ılır Bout Uklık Foksou,,,, olmk üere, multkudrk k outlu üe şğıdk şeklde ıllr 88
89 Δ Bu eştlğ çrsk, Deklem sstem şeklde mtrs gösterm Burd ler çık çmde lım
9 lere eşt olduğu ç ktsılr mtrs smetrk r mtrstr ve şğıdk g ıllr Yukrıdk eştlk smetrk deklem sstemler mtrs çöümü ötem le çöülür ve ktsılrı esplır Yükseklğ eterpole edleek e r, p p p oktsı ç p ktsılr mtrs şğıdk çmde oluşturulur
p [ ] p p p p p p p p p p p p p p p p p p ve ktsılrı k outlu üe deklemde ere kour Bu eştlk ükseklğ eterpole edleek okt ç şğıdk şeklde ıllr Δ p Δ p p Hespl ukrıdk değer rdımıl, e oktı ükseklğ Δ çmde p p elde edlmş olur Örek: lod verle üç oktd rrlrk dördüü oktı değer Δ ve, oksolrıı kullrk multkudrk eterpolso ötem le esplıı NN P 9 P P P? Çöüm: Öelkle sıırıı dereede r tred üe geçrelm 9
9 9 Δ eştlğ çık r çmde lım Burd tür Deklem sstem şeklde mtrs gösterm, oksouu kullrk ktsılrıı espllım 8 8 8 878 8 78 8
8 8 8 878 8 878 7 Bu mtrs vers ç determtl vers lm ötem kulllım Determtı r stır göre llım 878 8 878 8 8 8 878 8 8 878 878 878 8 8 878 8 8 8878 8 7778 Mtrs vers 878 8 8 8 8 878 878 8 8 878 8 878 8 88 8 8 8 8 878 777 9
9 878 8 8 77 7 878 8 8 999 8 8 999 777 777 88 88 7778 9 77 77 9 7 7 7 9 77 77 9 7 7 8 [ ] 8 8 [ ] 8 77 Δ Δ 79 77 oktı ükseklğ
Kotrol 8 8 8 878 8 878 7 8 8 8 7 7 8 878 8 878 Örek: lod verle dört oktd rrlrk eş oktı değer Δ ve, oksolrıı kullrk multkudrk eterpolso ötem le esplıı NN P 77 99 87 P 798 97 P 7988 977 7 P 9 989 7 P 988 8? Cevp: Noktı ükseklğ 7 9
Örek: lod verle üç oktd rrlrk dördüü oktı değer Δ ve,, oksolrıı kullrk multkudrk eterpolso ötem le esplıı NN P 9 7 P P P 7? Örek: lod verle üç oktd rrlrk dördüü oktı değer üçge eterpolso ötemle esplmk ç kurulk deklemler şeklde ıı Br oktı dülem üerde olm şrtı NN P 9 P P P? 9 Deklem sstem şeklde mtrs gösterm 9 9
97 Örek: şğıdk tlod dört oktı koordtlrı ve ükseklkler verlmektedr Bu oktlrd şeklde verle polom rdımıl Deree r üe geçrlmek steor Bu dört oktd rrlrk kurulk deklem sstem; şeklde ıı Bu deklem sstem çöülelr m? çıklıı Çöüm: Bu prolemde verle okt ç eştlğ ılır 7 9 şeklde 7 9 d Çöüleme Deklem sısı lmee sısıd dır NN P P - - P - - 7 P - -
7 EN KÜÇÜK KRELER REGRESYONU İLE İLİŞKİ BELİRLEME Ypıl ölçüler ve esp souçlrıd ı değşkeler rsıd rre ğlı r lşk vrlığı elrleelr Br rı mem trıdk su seve değşm suu mevsme ğlı olrk ükselmes ve lçlmsı le r gövdesde med gele deormso t ve düşe er değştrmeler rsıdk lşk, ğış mktrı ğlı olrk eel sılrıdk rtış lşks u örek olrk verelr Bu lşk vrlığı ve lşk güüü elrlemes geleeğe öelk tmler pıllmes ç öemldr Regreso l, k d d çok değşke rsıdk lşk elrlemek ç kullıl r l metodudur Eğer tek r değşke kullılrk l pılıors u tek değşkel regreso, rde çok değşke kullılıors çok değşkel regreso l olrk smledrlr Regreso l le değşkeler rsıdk lşk vrlığı, eğer lşk vr se uu güü kkıd lg edlelr Regreso, k d d çok değşke rsıdk doğrusl lşk oksoel şekl, r ğımlı dğer ğımsı değşke olrk r doğru deklem olrk, göstermekle klm, değşkelerde r değer ldğde dğer kkıd kestrm pılmsıı sğlr Regresod, değşkelerde r ğımlı dğerler ğımsı değşke olmlıdır Burdk mtık eştlğ solud er l değşke sğıd er l değşkelerde etklemesdr Sğd er l değşkelerse dğer değşkelerde etklememektedr Burd etklememek mtemtksel lmd u değşkeler r doğrusl dekleme koduğumud etk pmsı lmıddır 7 Doğrusl Regreso İk değşkede rdek r rm rtış krşılık, dğer değşkede st r değşklk rtm ve lm med gelors u değşkeler rsıd doğrusl leer r lşk vrdır 98
Doğrusl lşk elrleme edelee u ötemde mç,,,,,,, g gölem çtlere r doğru udurmktır Br ğımsı değşke ve r de ğımlı değşke rsıdk doğruu mtemtksel des şğıdk şekldedr e Bu lşk grğ doğru çmdedr Burd doğruu ekse kesme oktsıı ve doğruu eğm göstermektedr e se gölemler ve model rsıdk tdır Ht deklem düelerse e Hespl tlr gölemlere düeltme olrk getrlr Düeltmeler se tlrl ters şretldr v e Bu göre ukrıdk deklem düeltmeler olrk ede düeler v Bu durumd v düeltmes doğrusl deklem rdımıl tm edlmş klşık değer le gerçek değer rsıdk rk olur Yukrıdk eştlk tüm gölem çtler ç ılır v v v v 99
Yukrıdk deklemler v mtrs ormtıd düeler v v v v Bu deklem sstemdek lmeeler deklem sstem çöümüle elde edlelr Blmeeler deklemde ere koulrk değşkeler rsıdk lşk deklem elde edlmş olur 7 İlşk Güü ve Yöü İk ve d l değşke rsıdk lşk güüü ve öüü elrlemek korelso l le mümküdür Doğrusl lşk güüü ve öüü elrleme edelee korelso lde mç,,,,,,, g gölem çtlerde r korelso ktsısı esplmktır Br ğımsı değşke ve r de ğımlı değşke rsıdk korelso ktsısıı esı şğıdk dımlrl öetleelr Değşkelerde r dğer olrk kul edlr ve de rrlrk ve değerler esplır ve kreler toplmı ve değerler esplır ve değerler çrpılrk toplm değer esplır Korelso ktsısı R
eştlğde espllr Korelso ktsısıı şret lşk öüü, mutlk değer se lşk güüü gösterr Korelso ktsısı değşkeler rrle ol ğımlılığıı r ölçütüdür Korelso ktsısıı sıır değerler R rsıddır R se ve rsıd r ğımlılık oktur rlrıd doğrusl r lşk oktur Br ötek r doğrusl oksou olrk gösterleme R se ve rre ğımlıdır rlrıd, sıır kı se ı ve re kı se kuvvetl doğrusl lşk vrdır R ± se ve rsıd % korelso vrdır ve rsıd tm r doğrusl lşk vrdır Br ötek r doğrusl oksou olrk gösterlelr R değer elrllk ktsısı olrk dldırılır R, ğımsı değşke öreğ r rd su seve değşm rdımıl çıklle ğımlı değşkedek t d düşe deormso değşm orıı verr Dğer r deşle dğerdek değşm e ölçüde tımldığıı gösterr R, k değşkede r, Örek: Br rd su seve değşme ğlı olrk r gövdesdek r oktdk er değştrmeler şğıdk tlod verlmştr Su seve değşm le er değştrme değerler rsıdk lşk, lşk güüü ve öüü elrle Perot m d m P 99 P 87 - P 7 -
v 99 v v 87 v v 7 v Yukrıdk deklemler v mtrs ormtıd düeler v v v 7 87 99 v v v 7 87 99 7 87 99 7 87 99 9777 N 7 87 e e,, - -,8 -, 97,77 77,8 -,8 -,9 -, -,7,9 -, 9 9 7 N Q
87 7 7 9 7 Q N 9 v v v 99 87 7 v v v 8 Ölçü sısı u Blmee sısı [ vv] [ vv] m o ± ± ± 7 m u İlşk doğrusl deklem 7 99 87 - -887 8 77 7 - -9 9 7-87 -7 977 9 R R 977 7 87 87 9
R 97 Korelso ktsısı Yorum: R olduğu ç ve rre ğımlıdır R re kı olduğud değşkeler rlrıd kuvvetl r doğrusl lşk vrdır R 9 Belrllk ktsısı Yorum: R lmı ğımsı değşkele çıklle ğımlı değşkedek değşm % 9 olduğudur Ger kl % lık kısım u lşk le çıklm
KYNKLR Ergü ÖZÜRK, Degeleme Hesı, Clt I, KÜ Müedslk Mmrlık Fkültes, KÜ Bsımev, Geel Yı No: 9, Fkülte Yı No: 8, ro, 99 Hüse DEMİREL, Degeleme Hesı, YÜ İşt Fkültes, Üverste Yı No: YÜİNDK-7, Yıldı ekk Üverstes Bsım-Yım Merke, İstul, İrm Yüksel, MLB İle Müedslk Sstemler l ve Çöümü, Noel Yı Dğıtım, Yı No: 7, ekk Yılrı D No:, ISBN 97-9--, kr, Luree V FUSE, ppled Numerl lss, Prete Hll, ISBN --989-9, US, 999 Memet BKİOĞLU, Sısl l, Brse Yıev Ltd Şt, ISBN 97---, İstul, Must SÖNMEZ, Sısl l Ders Notlrı Yılmmış, ksr Üverstes 7 Reep PRMZ, Sısl Çöümleme, Ltertür Yılrı, ISBN 97-8-8-X, İstul, 8 Sett BEKŞ, Müedsler İç Sısl Çöümleme Bs Progrm Öreklerle, Smsu, 998 9 Hs HEPERKN, Uğur KESGİN, Çevr: Steve C CHPR, Rmod P CNLE, Yılım ve Progrmlm ugulmlrıl Müedsler İç Sısl Yötemler, ISBN:97-8-8-8, Ltertür Yıılık,
EMEL BYRK Ögeçmş 98 ılıd ro d doğdu İlk, Ort ve Lse öğrem ro d tmmldı 99 ılıd Lss öğrem KÜ Hrt ölümüde tmmldı 99 ılıd NÜ MF de sst olrk göreve şldı 99 ılıd Hrt Yüksek Müeds, ılıd Doktor uvıı ldı ılıd skerlk görev HGK d tmmldı 9 ılıd Doçetlk uvıı ldı ılıd tre Gümüşe Üverstes MF Hrt Müedslğ Bölümüde Lss ve Yüksek Lss progrmlrıd eğtm-öğretm etklğ Degeleme Hesı, İsttstk, sısl Çöümleme, Jeode,, GNSS, Deormso leme, Heel leme sürdürmektedr Evl ve üç çouk sıdır