MAT3 AYRIK MATEMATİK DERSİ.ARA SINAVI 18.1.009 ÇÖZÜMLER 1. G çizgesinin silindiğinde kalan çizge tek parça olacak şekildeki kenarlarını birer birer silelim (G yoldan farklı olduğundan en az bir böyle bir kenar vardır). Şimdi kalan çizgeyi T ile gösterelim. T de (aslında G nin doğurduğu ağaç) derecesi 1 olan noktalardan birini (yaprak) çıkarırsak kalan T v çizgesi G v çizgesinin tek parça bir alt çizgesi olur. Bu ise G v tek parça demektir. Gerçekten de G v den alınan herhangi iki noktayı T v deki yol ile birleştirebiliriz.. (a),,, 3: Dereceler toplamı tek sayı olamaz. Böyle bir çizge yoktur. (b),, 4, 4, 4: Böyle bir çizge yoktur. Üç tane noktanın derecesi 4 olduğuna göre bu üç noktadan diğer tüm noktalara bir kenar vardır. Bu durumda diğer noktaların derecesi olamaz. Bu noktaların derecesi en az 3 olmalıdır. (c) 1,,, 3, 4: Aşağıdaki çizge verilen koşulları sağlar. 3. Bakınız ders kitabı sayfa... 4. 9 harfi hiçbir koşul olmadan 9! şekilde sıralayabiliriz. Şimdi sesli harfleri çıkaracak olursak geriye 1 tane sessiz harf kalır. simgesi sessiz harfleri göstermek üzere 8 tane sesli harfi aşağıdaki gibi ile işaretlenen pozisyondan 8 tanesini seçerek yerleştirebiliriz. Bu seçim ( 8 ) farklı biçimde yapılabilir. Son olarak sesli harflerin kendi aralarında da yer değiştirilebileceği düşünülürse sesli harfler yan yana gelmeyecek şekilde ( ) 1! 8! 8 farklı biçimde sıralama yapılabilir. O halde cevap olur. 1! ( 8 ) 8! 9! [ = 646 ] 8671 = 0.0745011093 5. Her iki kanıtı da tümevarım yöntemini kullanarak yapabiliriz: (a) n tek doğal sayı ise 4 (n 1). n = 1 için 4 0 olduğundan önerme doğrudur. Şimdi bir n tek sayısı için 4 (n 1) olduğunu kabul edelim (tümevarım hipotezi) ve bir sonraki tek sayı için yani n+ için de önermenin doğru olduğunu gösterelim: (n+) 1 = n + 4n+ = (n 1)+4(n+1) olur. Hem n 1 (tümevarım hipotezinden) hem de 4(n+1) 4 ile bölündüğünden 4 (n+) 1. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ 009-010 Güz Dönemi
MAT3 AYRIK MATEMATİK DERSİ.ARA SINAVI 18.1.009 O zaman tümevarım yöntemi gereği her n doğal sayısı için önerme doğrudur. (b) Herhangi bir n doğal sayısı için 6 (n 3 n). n = 1 için 6 0 olduğundan önerme doğrudur. Şimdi bir n doğal sayısı için 6 (n 3 n) olduğunu kabul edelim (tümevarım hipotezi) ve önermenin n+1 için de doğru olduğunu gösterelim. (n+1) 3 (n+1) = (n 3 + 3n + 3n+1) (n+1) = n 3 + 3n + n = (n 3 n)+3(n + n) Tüme varım hipotezinden ilk terim 6 ile bölünür. İkinci terim ise 3(n + n) hem 3 ile hem de ile bölündüğünden (n tek ise karesi de tek, n çift ise karesi de çift olur. İki tek ya da çift sayının toplamı da çift olur) 6 ile bölünür. O halde 6 (n+1) 3 (n+ 1). Böylete tümevarım yöntemi gereği her n doğal sayısı için önerme doğru olur. 6. Topluluktaki kişileri{v 1, v,..., v 100 } şeklinde bir çizgenin noktaları gibi gösterelim. (d 1 d,..., d 100 ) de bu çizgedeki noktaların derecelerini göstersin. Herkesin tanıdığı kişi sayısı çift olduğuna göre tüm d i sayıları çift demektir. Şimdi bu d i sayılarının üçünün aynı olduğunu gösterelim. i kişi tanıyanların sayısını a i ile gösterelim. Burada 0 i 98 olmalıdır. Göstermemiz gereken en az bir j için a j 3 olduğudur. Tersine, kabul edelim ki tüm i ler için 0 a i olsun. O zaman güvercin deliği ilkesine göre d i sayıları 0 ile 98 arasındaki sayıları ikişer kez alır. Yani (d 1, d,..., d 100 ) = (0, 0,,, 4, 4,..., 98, 98) gibi olur. Oysa aynı anda hem 98 hem de 0 kişi tanıyan ikişer kişi olamaz. O halde en az bir i için a i 3 olmalıdır. 7. önce özdeş 10 topu ilk üç kutuda tam olarak k tane olacak şekilde 6 kutuya dağıtalım. k tanesini 3 kutuya( k+3 1 3 1 ) = (k+ ) farklı şekilde kalan 10 k topu ise diğer 3 kutuya(10 k+3 1 3 1 ) = ( 1 k ) farklı şekilde dağıtabiliriz. k = 0, 1,, 3, 4, 5 durumlarını toplarsak sonuç ( )( ) k+ 1 k [= 17] 5 k=0 8. Euclid Bölme Algoritmasını 5 ve 41 sayılarına uygularsak 41 5 = 1 5+16, 5 16 = 1 16+9, 16 9 = 1 9+7, 7 = 3 +1, 1 = gcd(5, 41) = gcd(16, 5) = gcd(9, 16) = gcd(7, 9) = gcd = (, 7) = gcd(1, ) = 1 olduğundan 1 = 7 3 = 7 3 (9 7) = 4 7 3 9 = 4 7 3 (5 16) = 7 16 4 9 3 5 = 7 16 4 (5 16) 3 5 = 11 16 7 5 = 11 (41 5) 7 5 = 11 41 18 5 elde edilir. Buradan x = 11 ve y = 18 bulunur. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ 009-010 Güz Dönemi
Numarası :..................................... 4.01.007 Adı Soyadı :..................................... MAT3 AYRIK MATEMATİK FİNAL SINAVI SORULARI 1. Planı aşağıdaki gibi olan yedi odalı ve bu odaları çevreleyen bir koridora sahip binada, (a) İşaretli kapıdan başlayıp, her kapıdan sadece bir kez geçmek koşuluyla tekrar başlangıç noktasına geri dönmek mümkün müdür? (b) Koridordan başlayıp, her kapıdan sadece bir kez geçmek koşuluyla sağ üstteki odada sona eren bir yol izlemek mümkün müdür?. (a) K 6 tam çizgesinin her bir kenarı ya kırmızı ya da mavi renk ile boyanmış olsun. Bu durumda tüm kenarları kırmızı ya da tüm kenarları mavi renkte ve altçizge olan bir üçgen vardır kanıtlayınız. 8+7 Puan (b) Altı kişilik bir grupda karşılıklı olarak birbirine yabancı olan ya da karşılıklı birbirini tanıyan en az üç kişi vardır kanıtlayınız. 4 5 (c) G = (V, E) bir çizge olsun. v V deg(v) = E olduğunu gösteriniz. Puan (d) G = (V, E) bağlantılı (connected) bir çizge, E = 17 ve her v V için deg(v) 3 ise V nin en büyük değeri nedir? 3. 3, 3, 4, 5, 5, 6, 7 rakamlarının dizilimleri kullanılarak 5.000.000 sayısından büyük kaç farklı tamsayı üretilebilir. 4. Pascal üçgeninin herhangi bir satırının soldan ilk elemanını işaretleyin. Daha sonra bu elemandan bir birim doğuya ve bir birim kuzey-doğuya gidip ulaştığınız elemanı işaretleyin. Pascal üçgeninin dışına çıkana kadar bu işleme devam edip işaretlediğiniz elemanları toplayın. Farklı satırlar için bu işlemi tekrarladığınızda ne tür sayılar elde edersiniz. Bu işlemi formule edip kanıtlayınız. 5. Dört evli çift yuvarlak bir masa etrafında eşler yanyana gelmeme koşuluyla kaç farklı şekilde oturabilir? (Biri diğerinin döndürülmesiyle elde edilen oturuş düzenleri aynı kabul edilecektir.) 10 Puan Kuzey Doğu 15 Puan 15 Puan 6. a, b, c Z + olsun. (a) EBOB(a, b) = c ise c ab olduğunu gösteriniz. 8+7 (b) Eğer EBOB(a, b) = 1 olsun. Eğer a c ve b c ise ab c olur kanıtlayınız. Puan EBOB(a, b) 1 ise bu sonuç doğru mudur? 7. En büyük elemanı 9 olan 5 pozitif tamsayının oluşturduğu küme S ile gösterilsin. S nin elemanları toplamı aynı olan en az iki alt kümesi vardır kanıtlayınız. 10 Puan Sınav süresi saattir. Sınavda ders notlarının kullanımı serbest ancak alış-verişi yasaktır. Başarılar dilerim. Yard.Doç.Dr. Emrah AKYAR
KISA ÇÖZÜMLER 1. Eğer aşağıdaki şekildeki gibi koridoru A ve diğer odaları B, C, D, E, F, G ve H ile gösterirsek. Her bir odayı ve koridoru düğüm noktası, kapıları ise kenarlar olarak düşünecek olursak, bu planı aşağıdakine benzer bir çizge ile gösterebiliriz. A E F G H B C D A B C D F G H Elbette bina çok daha farklı şekillerde çizilen çizgelerle de temsil edilebilir. (a) Bir düğümden başlayarak her kenardan sadece bir kez geçmek koşulu ile başladığı noktaya geri dönen turlara kapalı Euler turu dendiğini biliyoruz. Sonlu ve tek parça bir çizgede kapalı Euler turunun var olması için gerek ve yer koşul derecesi tek olan nokta olmamasıdır. Oysa A ve H ile gösterilen düğümlerin dereceleri çift olmadığından istenen şekilde bir tur mümkün değildir. (b) Yine tek parça ve sonlu bir çizgede tek dereceli nokta sayısının olduğu çizgelerde her kenardan sadece bir kez geçen bir turun var olduğunu biliyoruz. Verilen çizgede tek dereceli nokta sayısı da (A (koridor) ve H noktaları) olduğundan istenen noktalarda başlayıp biten bir tur bulmak mümkündür.. (a) K 6 tam çizgesinin düğüm noktalarını a, b, c, d, e, f harfleri ile gösterelim. a köşesinden diğer köşelere aynı renkten olan en az üç kenar vardır (Güvercin deliği ilkesi). Genelliği bozmaksızın{a, b},{a, c} ve{a, d} kenarlarının aynı renk, kırmızı olduğunu kabul edelim. Bu durumda{b, c},{c, d} ve{b, d} kenarları aynı renkte ise kanıtlanacak bir şey yoktur (bu kenarlar bir üçgen oluşturur). O zaman bu kenarlardan birisi mutlaka farklı renkte dolayısıyla kırmızı olmalıdır. Kırmızı olan bu kenarın iki köşesinin a ile kenarı olduğundan kırmızı bir üçgen elde edilmiş olur. (b) (a) nın bir sonucudur. Karşılıklı olarak birbirlerini tanıyanları mavi, tanımayanları ise kırmızı ile gösterilirse (a) dan istenen sonuca varılır. (c) G çizgesinin keyfi bir {v 1, v } kenarını ele alalım. Bu kenarın v 1 ve v düğümlerinin derecelerine katkısı 1, dolayısıyla deg(v) toplamına katkısı ise dir. v V O halde deg(v) = E elde edilir. v V (d) (c) yi kullanırsak her v V için deg(v) 3 olduğundan, E = 17 = 34 = deg(v) 3 V v V elde edilir. O halde V en fazla 11 olabilir. 3. Sayının 5.000.000 den daha büyük olması istendiğinden sayı 5,6 veya 7 ile başlamalıdır. Buna göre, E 5 ile başlarsa: 6 ile başlarsa: 6!! 6! (!)
7 ile başlarsa: 6! (!) ve toplamda 6!! + 6! (!) + 6! (!) = 6! [ 1+ 1 (!) + 1 ] = 6! = 70 4. farklı sayı elde edilir. 1 1 1 1 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1+4+3 = 8 = F 6 1+5+6+1 = 13 = F 7 1 6 15 0 15 6 1 Sanı: ( ) ( ) ( ) ( ) n n 1 n n k + + + + = F n+1, k = [ n/ ] 0 1 k Kanıt: Tümevarım yöntemi ve Pascal üçgeninin temel özelliği yardımıyla kolayca gösterilebilir. n = 0 ve n = 1 için doğru olduğu açık, n için doğru olsun. n+1 için de doğru olduğunu kabul edelim. n nin tek olduğunu kabul edersek (n çift ise sadece son terimde bir farklılık olacaktır benzer şekilde kanıt yapılabilir), ( n 0 )+(n 1 [ 1 )+(n )+ +(n k [ k ) = F n+1 = 1+ ( n 0 )+(n 1 ]+ ) ( n 3 1 )+(n 3 ]+ + [ ) ] = ( n 1 0 )+(n 1 )+(n 3 )+ +(n k 1 k ) + = F n + F n 1 = F n+1 [ ] ( n k 1 k 1 )+(n k 1 k ) [ ] ( n 0 )+(n 3 1 )+(n 4 )+ +(n k 1 k 1 ) olduğundan n+ 1 içinde doğru dolayısıyla her n N için eşitlik doğrudur. 5. Her bir i. evli çiftin (i = 1,, 3, 4) yanyana gelme koşulunu c i ile gösterirsek, Çifti bir olur. N(c 1 ) = N(c ) = N(C 3 ) = N(c 4 ) = (7 1)! Benzer şekilde 1 i < j 4 için i. ve j. çiftleri birer kişi gibi düşünerek, olur. O halde yine benzer olarak, ve N(c i c j ) = (6 1)! N(c 1 c c 3 ) = N(c 1 c c 4 ) = N(c 1 c 3 c 4 ) = N(c c 3 c 4 ) = 3 (5 1)! N(c 1 c c 3 c 4 ) = 4 ()! bulunur. S kümesi bu 8 kişinin masa etrafında tüm farklı oturma şekillerini gösterecek olursa, N(S) = (8 1)! olur. kişi gibi düşünürsek, bu çift ve geri kalan 6 kişi yuvarlak masa etrafına (7-1)! farklı şekilde oturabilirler. Ayrıca çiftler kendi aralarında da yer değiştirebilirler
O halde içerme ve dışlama (inclusion-exclusion) prensibini kullanırsak, N(c 1 c c 3 c 4 ) = N(S) [N(c 1 )+ N(c )+N(c 3 )+ N(c 4 )] +[N(c 1 c )+ N(c 1 c 3 )+N(c 1 c 4 )+ N(c c 3 )+ N(c c 4 )+ N(c 3 c 4 )] [N(c 1 c c 3 )+ N(c 1 c c 4 )+ N(c 1 c 3 c 4 )+ N(c c 3 c 4 )] +[N(c 1 c c 3 c 4 )] = 7! 8 6!+6 5! 4 3 4!+ 4 3! = 1488 6. (a) EBOB(a, b) = c ise a = mc ve b = nc olacak şekilde m, n Z + sayıları vardır. Buradan ab = (mc)(nc) = (mn)c olduğundan c ab elde edilir. (b) EBOB(a, b) = 1 ise ax + by = 1 olacak şekilde x ve y tamsayıları vardır. Eşitliğin her iki tarafını c ile çarparsak, c = acx + bcy olur. a c olduğundan c = ad, b c ise c = be olacak şekilde d ve e tamsayıları vardır. Buradan c = ab(ex+dy) ve ab c elde edilir. Bu sonuç EBOB(a, b) 1 için doğru değildir. Gerçektende a = 1, b = 18 ve c = 36 için a c, b c fakat ab cdir. 7. S nin 1 A 3 şeklindeki alt kümelerini ele alalım. S, 5 elemanlı olduğuna göre bu koşulu sağlayan A alt kümelerinin sayısı: ( ) 5 + 1 ( ) 5 + ( ) 5 = 5+10+10 = 5 3 olur. S nin A altkümesinin elemanlarının toplamını S A ile gösterecek olursak S nin en büyük elemanı 9 olduğundan A nında en büyük elemanı 9 olabilir. Buna göre, 1 S A 9+8+7 = 4 O halde güvercin deliği ilkesine göre S nin elemanları toplamı aynı olan en az iki alt kümesi vardır.
Numarası :..................................... 14.1.007 Adı Soyadı :..................................... MAT3 AYRIK MATEMATİK. ARASINAV SORULARI 1. (a) Bir G = (V, E) çizgesinde V = v ve E = e ise e v v olduğunu kanıtlayınız. 5 P. (b) K 5 tam çizgesinde uzunluğu 4 olan kaç farklı yol (path) vardır? (Not: v 1 v v 3 v 4 v 5 ile v 5 v 4 v 3 v v 1 aynı yolu göstermektedir.) 5 P. (c) 0 < m < n olmak üzere K n tam çizgesinde uzunluğu m olan kaç farklı yol vardır? 7 P. (d) Bir G = (V, E) çizgesinde d(v) = [d(u) + d(v)] v V e=uv E eşitliğinin geçerli olduğunu kanıtlayınız. (Sağ taraftaki toplamın (u, v) ikilileri üzerinden 8 P. değil, e = uv kenarları üzerinden olduğuna dikkat ediniz.). Farklı 6 kutuya 8 top, ilk iki kutuda toplamda en fazla 4 top olmak koşuluyla (a) toplar özdeş iken, 10 P. (b) toplar birbirinden farklı iken 10 P. kaç farklı şekilde yerleştirilebilir? 3. Erasmus öğrenci değişimi programı ile yurt dışına gittiniz: (a) Bölümdeki en sevdiğiniz n hocanızın her birine ikişer kartpostal göndermek istiyorsunuz. Satıcıda k farklı kartpostal olduğuna göre, bu işlemi kaç farklı şekilde yapabilirsiniz? (Not: Farklı hocalar aynı kartpostalı alabilir. Ancak, aynı hoca iki aynı 5 P. kartpostalı alamaz) (b) Gittiğiniz üniversite Erasmus öğrencileri için bir parti düzenliyor. 100 öğrencinin katıldığı bu partide her bir öğrencinin tanıdıklarının sayısı çift olduğuna göre, partide tanıdığı kişi sayısı aynı olan en az 3 kişinin bulunduğunu kanıtlayınız. 15 P. 4. (a) d = (65431, 1345) sayısını hesaplayınız ve a 65431 + b 1345 = d olacak şekildeki a, b Z sayılarını bulunuz. 8 P. (b) Her a Z için (7a +, 3a + 1) = 1 olduğunu kanıtlayınız. 6 P. (c) n 3 1 sayısını asal sayı yapan tüm n N sayılarını bulunuz. 6 P. 5. x 1 + x + x 3 + x 4 = 15 denkleminin x 1 6, x 1, 0 x 3 6, 3 x 4 8 koşulları altında tamsayılar kümesinde kaç farklı çözümü vardır. 15 P. Sınav süresi saattir. Sınavda ders notlarının kullanımı serbest ancak alış-verişi yasaktır. Başarılar dilerim. Yard.Doç.Dr. Emrah AKYAR
KISA ÇÖZÜMLER 1. (a) Düğüm sayısı v olan bir çizgede kenar sayısı en fazla eşitsizliğinden, elde edilir. E = e ( ) v = v! (v )!! e v v ( ) v olduğundan = v(v 1) (b) Bir tam çizgede her bir düğüm noktasını bir diğeri ile birleştiren bir kenar vardır. Buna göre 5 noktanın herhangi birinden başlayarak geri kalan 4 noktanın herhangi birisine gidebiliriz. Daha sonra geriye kalan 3 noktadan herhangi birine gidebiliriz. Bu şekilde devam edecek olursak, sorudaki uyarıyı da dikkate alarak, uzunluğu 4 olan yol sayısını 1 5 4 3 1 = 60 buluruz. (c) Yukarıdakine benzer olarak cevap olur. 1 n (n 1) (n ) (n m) (d) Her bir düğüm derecesi kadar kenarın uç noktasıdır. eşitliğin sağ tarafı tüm kenarların uç noktalarının dereceleri toplamı olduğuna göre bir v düğümü için v nin derecesi kadar v nin derecesi toplanıyor. Yani d(v) + d(v) + + d(v) } {{ } d(v) tane = d(v)d(v) = d(v) olduğundan tüm kenarlar üzerinden toplam alınırsa eşitlik doğrudur.. (a) Tam olarak k (0 k 8) tane özdeş top ilk iki kutuya ( ) ( ) k + 1 k + 1 = 1 1 farklı şekilde, kalan 8 k top ise diğer 4 kutuya ( ) ( ) (8 k) + 4 1 11 k = 4 1 3 farklı şekilde yerleştirildiğinden, ilk iki kutuda tam olarak k tane top olacak şekilde 8 özdeş top 6 kutuya ( )( ) k + 1 11 k farklı şekilde yerleştirilebilir. Buna göre k = 0, 1,, 3, 4 durumları için elde edilir. 4 k=0 1 ( )( ) k + 1 11 k = 1056 1 3 3
(b) Yine ilk iki kutuda toplamda en fazla k ayırt edilebilir top için hesaplayalım. Bunun için ilk iki kutuda hangi (ayırdedilebilir/özdeş olmayan) k topun bulunacağını belirlemeliyiz. Bu sayı ise ( ) 8 k k olur. Kalan 8 k özdeş olmayan top ise kalan 4 kutuya 4 8 k farklı şekilde yerleştirilecektir. O halde ilk iki kutuda toplamda tam olarak k özdeş olmayan top bulunacak şekilde 8 top, ( ) 8 k 4 8 k k farklı şekilde 6 kutuya yerleştirileblir. toplarsak, sonuç bulunur. 4 k=0 Yine k = 0, 1,, 3, 4 durumlarını ayrı ayrı ( ) 8 k 4 8 k = 1531904 k 3. (a) Her bir hoca için k kartpostaldan tanesini ( k ) farklı şekilde seçebilirsiniz. n hocaya ( ) k n bu seçilen kartpostalları ise farklı şekilde gönderebilirsiniz. (b) Katılımcıları bir çizgenin düğüm noktaları gibi düşünür ve her bir katılımcının tanıdığı kişi sayısını bu düğümün derecesi olarak ele alırsak, {v 1, v,..., v 100 } düğüm noktaları {d 1, d,..., d 100 } ise bu düğümlere karşılık gelen dereceler ise kanıtlamak istediğimiz, her bir d i (i = 1,,..., 100) çift olduğunda bunlardan üçünün eşit olduğudur. Her i = 0,, 4,..., 98 çift sayısı için i kişi tanıyanların sayısını a i ile gösterelim. Yani herkes çift sayıda kişi tanıdığına göre, kişi tanıyanlar a kişi 4 kişi tanıyanlar a 4 kişi. 98 kişi tanıyanlar a 98 kişi olsun. Bu durumda bir j için a j 3 olduğunu göstermeye çalışıyoruz. Kabul edelimki tersine her i için 0 a i olsun. Bu durumda her bir düğüm noktasının derecesi 50 adet 0,, 4,..., 98 çift sayıdan biri olacaktır. 100 düğüm noktası olduğundan, varsayımımızdan ve güvercin deliği ilkesine göre bu 50 sayının her biri ikişer düğümün derecesi olur. Yani (d 1, d,..., d 100 ) = (0, 0,,, 4, 4,..., 98, 98) durumu söz konusur. Bu ise v 1 00 ün 98 kişi tanıdığı, v 1 ve v nin ise kimseyi tanımadığı anlamına gelir. Bu ise çelişkidir. O halde varsayımımız hatalı bir j için a j 3 olur. 4. (a) Euclid Bölme Algoritmasını kullanırsak, elde ederiz. Ayrıca olur. (13456, 65431) = (37041, 13456) = (1333, 37041) = (4, 1333) = (7, 4) = (15, 7) = (1, 15) = (3, 1) = 3 8819 65431 + ( 46741) 13456 = 3
(b) (7a +, 3a + 1) = d olsun. Bu durumda, d (7a + ) ve d 3(7a + ) olur. Ayrıca d (3a + 1) ve d 7(3a + 1) olur. Buradan d [7(3a + 1) 3(7a + )] yani d 1 olur. d pozitif olduğundan d = 1 elde edilir. (c) (n 3 1) asal sayı olsun. (n 3 1) = (n 1)(n + n + 1) olduğundan ya n 1 = 1 ya da n + n + 1 = 1 olmalıdır. Buradan n =, n = 0 ve n = 1 elde edilir. Bu üç durumdan sadece n = durumu için asal sayı elde edildiğinden n 3 1 sayısının asal olması için gerek ve yeter koşul n = olmasıdır. 5. y 1 = x 1, y = x +, y 3 = x 3, ve y 4 = x 4 3 değişken değişimi yaparsak problem koşulları altında 0 y 1 4, 0 y 3, 0 y 3 6, 0 y 4 5 y 1 + y + y 3 + y 4 = 1 denkleminin tamsayılar kümesindeki çözümlerinin sayısını bulma problemine dönüşür. Denklemin negatif olmayan tüm çözümlerinin kümesini S ile gösterecek olursak, ( ) ( ) 1 + 4 1 15 S = = = 455 4 1 olur. c 1 ile y 1 5 koşulunu, c ile y 4 koşulunu, c 3 ile y 3 7 koşulunu ve c 4 ile ise y 4 6 koşulunu sağlayan çözümleri gösterelim. Bu durumda c 1 = ( (1 5)+ ) = ( 10 3 ) = 10 c = ( (1 4)+ ) = ( 11 3 ) = 165 c 3 = ( (1 7)+ ) = ( 8 3 ) = 56 c 4 = ( (1 6)+ ) = ( 9 3 ) = 84 olur. Benzer şekilde elde edilir. Son olarak c 1 c = ( (1 9)+ ) = ( 6 3 ) = 0 c 1 c 3 = ( (1 1)+ ) = ( 3 3 ) = 1 c 1 c 4 = ( (1 11)+ ) = ( 4 3 ) = 4 c c 3 = ( (1 11)+ ) = ( 4 3 ) = 4 c c 4 = ( (1 10)+ ) = ( 5 3 ) = 10 c 3 c 4 = 0 c 1 c c 3 = c 1 c c 4 = c c 3 c 4 = c 1 c c 3 c 4 = 0 olur. O halde İçerme Dışlama prensibinden, c 1 c c 3 c 4 = S ( c 1 + c + c 3 + c 4 )+ ( c 1 c + c 1 c 3 + c 1 c 4 + c c 3 + c c 4 + c 3 c 4 ) = 455 (10 + 165 + 56 + 84) + (0 + 1 + 4 + 4 + 10) = 69 sonucuna ulaşılır.
MAT3 AYRIK MATEMATİK DERSİ.ARA SINAVI 17.1.010 Numarası Adı Soyadı : CEVAP : ANAHTARI SORULAR 1. Bir G tekparça çizgesi, ne zaman çizgenin her bir kenarı iki farklı turdan yalnız birisi tarafından sadece bir kez kullanılacak şekilde iki farklı tur bulundurur? Açıklayınız ve çizerek böyle olmayan bir çizge örneği veriniz.. Noktalarından birinin derecesi d olan bir ağacın en az d tane yaprağı olduğunu kanıtlayınız. 3. Euclid Algoritmasını kullanarak 3x + 41y = 1 olacak şekilde x ve y tamsayılarını belirleyiniz. 4. S = {1,,..., 100} kümesinin bir X alt kümesi rastgele seçildiğinde (a) max{x x X} = 50 olma olasılığı, (b) 1 X ve 100 X olma olasılığı, (c) X olma olasılığı nedir? 5. a b ve a c ise a b + 3c+ b c olduğunu kanıtlayınız. 6. Bir x pozitif tamsayısından küçük ve x ile (aralarında) asal olacak şekildeki pozitif tamsayıların toplamı nedir? İddianızı kanıtlayınız ve 10 den küçük olup, 10 ile (aralarında) asal olan pozitif tamsayıların toplamını hesaplayınız. 7. 7 modülüne göre 1 5 =? 8. (a) K 6 tam çizgesi kaç farklı 3 döngü bulundurur? (b) u ve v, K 7 tam çizgesinin seçildikten sonra sabitlenmiş iki noktası olsun. K 7 de u noktasından v noktasına kaç farklı 4 yol vardır? 9. Aşağıdaki şekilde bir nehrin ayırdığı kara parçaları ve bu kara parçaları üzerindeki köprüler bulunmaktadır. Buna göre, her köprüden bir tek kez geçen bir turun varlığını çizge kuramının kavramları yardımıyla araştırınız. 10. B A, A = n ve B = k olsun. Bu durumda C B = 1 olacak şekilde kaç farklı C A alt kümesi vardır? Tüm sorular eşit puanlıdır. Sınavda ders notlarının kullanımı serbest ancak alış verişi yasaktır. Sınav süresi 105 dakikadır. Başarılar dilerim. Doç.Dr. Emrah AKYAR ANADOLU ÜNİVERSİTESİ 010-011 Güz Dönemi
MAT3 AYRIK MATEMATİK DERSİ.ARA SINAVI 17.1.010 ÇÖZÜMLER 1. Ders Kitabı Çözümlü Alıştırma 7.3. Çizgenin derecesi tek olan her noktası bu iki turdan birinin uç noktası olacaktır. Bir çizgede derecesi tek olan noktaların sayısı çift olduğuna göre istenen şekilde iki farklı turun olması için gerek koşul çizgede derecesi tek olan noktaların sayısının en fazla 4 olmasıdır. Bu koşul aynı zamanda yeter koşuldur. Gerçekten de, eğer derecesi tek olan noktaların sayısı 0 ya da ise bu durumda çizgede bir Euler turu olduğunu biliyoruz. O zaman turlardan birini bu Euler turu diğerini de tek noktadan oluşan tur alabiliriz. Eğer derecesi tek olan noktaların sayısı 4 ise bu durumda derecesi tek olan herhangi iki noktayı bir kenarla birleştirelim. O zaman derecesi tek olan nokta kalır ve çizgede bir Euler turu vardır. Şimdi eklediğimiz kenarı çıkarırsak, bu Euler turunu ikiye ayırmış oluruz. Bu ise istenendir. Örneğin, K 6 tam çizgesinde her noktanın derecesi 5 ve bu noktalardan 6 > 4 tane olduğundan istenen şekilde iki farklı tur yoktur.. Ders Kitabı Alıştırma 8.5.4 Bir T ağacının derecesi d olan noktasını u ile gösterelim. Eğer u noktasını silersek, d tane tekparça alt çizge elde ederiz (tekparça bileşeni). Bu bileşenler ya tek noktadır ya da en az iki noktası olan ağaçlardır. Eğer bunlar en az iki noktası olan ağaçlar ise biliyoruz ki nokta sayısı en az iki olan bir ağaçta en az iki yaprak vardır (Teorem 8..1). Eğer bunlar tek nokta ise o zaman bu noktalar T ağacının yaprakları olur. O halde d bileşenin her biri en az bir yaprak içerdiğinden, T de en az d yaprak içerir. 3. Ders Kitabı Alıştırma 6.10.17 (Rakamları Değiştirilmiş Hali) 41 3 3 18 18 5 5 3 3 1, 1, 3, 1, 1 olduğundan Euclid Bölme Algoritmasına göre 18 5 3 1 gcd(3, 41) = gcd(18, 3) = gcd(5, 18) = gcd(3, 5) = gcd(, 3) = gcd(1, ) = 1 olur. Tersten gidecek olursak, 1 = 1 3 1 = 1 3 1(5 1 3) = 3 1 5 = (18 3 5) 1 5 = 18 7 5 = 18 7(3 1 18) = 9 18 7 3 = 9(41 1 3) 7 3 = 16 }{{} 3+}{{} 9 41 x y ANADOLU ÜNİVERSİTESİ 010-011 Güz Dönemi
MAT3 AYRIK MATEMATİK DERSİ.ARA SINAVI 17.1.010 sonucuna ulaşılır. 4. Ders Kitabı Alıştırma 5.4.4 (a) İstenen alt kümeler{1?,?, 3?,..., 50} biçimindeki alt kümelerdir. Seçilen X alt kümesinin bu şekilde olma olasılığı 49 tane { }} { P(En büyük elemanı 50) = 100 = 1 51 olur. (b) Yine istenen alt kümeler{1, 100,?, 3?, 4?,..., 99?} biçimindedir. Buna göre elde edilir. P(1, 100 X) = 98 tane { }} { 100 = 1 4 (c) X istendiğinden X = 0 veya X = 1 veya X = olabilir. O halde P( X ) = P( X = 0)+ P( X = 1)+ P( X = ) = (100 0 ) 100 + (100 1 ) (100 + ) 100 100 = 1 100 [ 1+100+ 100 99 = 1 5051 [101+4950] = 100 100 ] 5. Ders Kitabı Alıştırma 6.10.4 a b olduğuna göre a b olur. Ayrıca a c ise a 3c ve a b c olur. O zaman a bunların toplamlarını da böler yani a b + 3c+ b c olur. 6. Ders Kitabı Çözümlü Alıştırma 6.9.4 Bir pozitif x tamsayısından küçük ve x ile (aralarında) asal olan pozitif tamsayıların sayısının φ(x) olduğundan söz etmiştik. Şimdi x ile asal olan bir y tam sayısını ele alalım. Bu durumda gcd(x, y) = 1 demektir. Ayrıca, gcd(y, x y) = gcd(x, y) olduğundan (Alıştırma 6.6.-a) x y pozitif tamsayısı da x ile asal olur. Bu iki sayının toplamı ise y+(x y) = x olur. {y, x y} sayı çiftlerinden φ(x) tane olduğuna göre aranan toplam x φ(x) elde edilir. 10 = 3 3 5 olduğundan φ(10) = 10 (1 ) ( 1 ) ( ) 1 1 3 1 1 3 5 = 3 olur. Buradan cevap 10 = 190 elde edilir. 7. Ders Kitabı Çözümlü Alıştırma 6.8.4 (Rakamları Değiştirilmiş Hali) 7 5 5 45 ve olduğundan Euclid Bölme Algoritmasına göre gcd(5, 7) = 1 olur. Tersten gidersek, 1 1 = 1 5 = 1 5 (7 45 5) = }{{} 91 5 7 u olur. O halde istenen cevap, 91 olur. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ 010-011 Güz Dönemi
MAT3 AYRIK MATEMATİK DERSİ.ARA SINAVI 17.1.010 8. (a) Bir 3-döngüde 3 nokta bulunduğundan ve çizge tam çizge olduğundan çizgenin seçilen herhangi 3 noktası bize bu çizgede bir 3-döngü verecektir. Buradan cevap ( 6 3 ) = 0 olur. (b) Çizgenin u ve v noktaları dışında kalan nokta sayısı 5 olur. u ile v yi uzunluğu 4 olan bir yolla birleştirmek için çizge tam çizge olduğundan 3 farklı nokta seçilmesi gerekir. İlk nokta için 5, ikinci nokta için 4 ve üçüncü nokta için 3 seçenek olduğundan cevap 5 4 3 = 60 olur. 9. Kara parçalarını aşağıdaki gibi adlandırır ve bunları bir çizgenin noktaları gibi düşünürsek, aşağıdaki çizgeyi elde ederiz. A C D A B C B E D E Bu çizgeye göre d(a) = 8, d(b) = 6, d(c) = 3, d(d) = 3 ve d(e) = 4 olduğundan derecesi tek olan iki tane nokta vardır (C ve D). O halde istenilen şekilde bir tur vardır ve bu tur derecesi tek olan noktaların birinde başlayıp diğerinde biter. 10. Ders Kitabı Alıştırma 1.8.1 Bunun için önce B kümesinden kesişimde olacak elemanı seçer sonra bu elemanı A B kümesinin alt kümesine eklersek istenen türde kümeler elde ederiz. B = k olduğundan B kümesinden bir eleman k farklı şekilde seçilebilir. A B kümesinin n k elemanı olduğundan n k alt kümesi vardır. O halde cevap k n k olur. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ 010-011 Güz Dönemi