MEKANİK TİTREŞİMLER DERS NOTLARI

SAKARYA ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNA MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ MEKANİK TİTREŞİMLER DERS NOTLARI 2015 BAHAR

2

KAYNAKLAR 1. Mekanik Titreşimler, Birsen Kitabevi, Prof. Dr. Fuat Pasin 2. Mechanical Vibrations, S.S. RAO, Prentice Hall 3

TEMEL BİLGİLER Titreşim? Klotter e göre, yönünü bir defadan fazla değiştiren harekete titreşim denir. Başka bir ifadeyle, denge noktası etrafında yapılan salınım hareketine titreşim denir. 4

Günlük Hayatta Titreşim 5

Titreşimlerin Nedenleri: Dış kuvvetler Sistemin dış kuvvetlere cevap verme isteği. Dış Kuvvetler: Sistemin bağlı olduğu temelden gelen kuvvet Dönen sistemlerde dengelenmemiş kütleler, Motorlarda gidip-gelen kütleler, Darbe, deprem, vb. 6

Titreşimlerin Etkileri: Gürültü Yüksek gerilmeler Aşınma Malzeme yorulması Titreşimin zararları: Fiziksel ve psikolojik rahatsızlıklar (yorgunluk, dikkat azalması, ortopedik rahatsızlıklar, sakatlıklar, iş kazaları, vb. ) Yaşam kalitesinin bozulması Çalışma performansının azalması 7

Faydalı Titreşim Makinaları Titreşimli yol silindirleri, Titreşimli konveyörler, Darbeli matkaplar, Titreşim elekleri, Titreşim motorları, Sarsıcılar, Masaj makinaları, Elektrikli tıraş makinaları vb. 8

Tek Serbestlik Dereceli Sistemler 9

İki Serbestlik Dereceli Sistemler 10

Üç Serbestlik Dereceli Sistemler 11

Tek serbestlik dereceli araç modeli 12

İki serbestlik dereceli araç modeli 13

Üç serbestlik dereceli araç modeli 14

Dört serbestlik dereceli araç modeli 15

Beş serbestlik dereceli araç modeli 16

Altı serbestlik dereceli araç modeli 17

Ayrık ve Sürekli Sistemler Sonlu sayıda serbestlik dereceli sistemlere ayrık sistem denir. Serbestlik derecesi sonsuz olan sistemlere sürekli sistem denir. 18

En Basit Titreşim Formu 19

20

Belirli ve eşit T zaman aralıkları içinde, bütün özellikleri ile aynen tekrarlanan titreşime periyodik titreşim denir. En basit periyodik titreşime harmonik titreşim denir. x(t + T) x(t) Basit harmonik hareket titreşimlerin temelini oluşturur ve aşağıdaki gibi gösterilir. 21

x = A cos(ωt + ε) ω: Dairesel frekans [rad sn] ε: Başlangıç faz açısı 22

Sinüs ve Kosinüs Fonksiyonları 23

Daire Üzerinde Hareketli Bir Noktanın Harmonik Gösterimi x = Konum = A sin ωt x = Hız = ωa cos ωt x = İvme = ω 2 A sin ωt 24

Basit Harmonik Hareketin Vektör Gösterimi Bir O noktası ve buradan geçen bir x-x ekseni ele alınsın. t=0 anında x-x ekseni ile ε açısı yapan ve şiddeti A olan bir vektör ω açısal hızıyla O noktası etrafında dönsün. Bu vektörün x-x ekseni üzerindeki izdüşümü aşağıdaki gibi olur. x = A cos(ωt + ε) 25

İki Harmonik Terimin Toplamı Olan Titreşim Hareketi Dairesel frekansları aynı olan iki harmonik terimin toplamı olan titreşim x = x 1 + x 2 = A 1 cos ωt + A 2 cos(ωt + φ) Vektörlerin izdüşümleri toplamı bileşkelerinin izdüşümüne eşittir. x 1 ve x 2 vektörlerinin şiddetleri sabit ve ω frekansları eşit olduğu için, bileşke vektörün şiddeti de sabit ve aynı ω açısal hızıyla dönecektir. Buna göre frekansların aynı olan iki harmonik terimin toplamı olan hareket, genliği ve faz açısı farklı fakat dairesel frekansı aynı olan bir basit harmonik harekettir. x = A cos(ωt + ψ) 26

A = (A 1 + A 2 cos φ) 2 + (A 2 sin φ) 2 Genlik tan ψ = A 2 sin φ A 1 + A 2 cos φ Faz açısı 27

Başka bir özel hal x = A 1 cos ωt + A 2 sin ωt x = A 1 cos ωt + A 2 cos (ωt π 2 ) 28

Sinüs ile verilmiş bir hareket, Cosinüs ile verilmiş olana göre π 2 kadar bir faz gecikmesi göstermektedir. x = A cos(ωt ψ) A = A 1 2 + A 2 2 Genlik tan ψ = A 2 A 1 Faz açısı 29

Dairesel frekansları farklı olan iki harmonik terimin toplamı olan titreşim x = x 1 + x 2 = A 1 cos ω 1 t + A 2 cos ω 2 t 30

Vektörler farklı hızlarla döndüğü için faz açıları sıfır alınabilir. Her hangi bir t anında, dönen iki bileşen vektörün bileşkesinin izdüşümü x dir. Vektör hızları farklı olduğu için, t zamanı değiştikçe bileşke vektörü A nın şiddeti ve hızı da sürekli değişecektir. Dolayısıyla ortaya çıkan titreşim hareketi basit harmonik hareket olmayacaktır. Titreşim hareketinin periyodikliğini ise x1 ve x2 vektörlerinin ω 1 ve ω 2 açısal frekanslarının oranları belirleyecektir. ω 1 ω 2 rasyonel bir sayı ise periyodik titreşim hareketi oluşacaktır, Örneğin; ω 1 = 2 rad san, ω 1 ω 2 = 2 1 = 2 ω 2 = 1 rad san rasyonel sayı 31

Buna göre 2 rad/san hızda dönen vektör her turda, 1 rad/san hızda dönen vektör ise her 2 tur sonra çakışarak periyodik bir hareket oluşturacaklardır. ω 1 ω 2 irrasyonel bir sayı ise periyodik olmayan titreşim hareketi oluşacaktır. ω 1 = 5 rad san, ω 2 = 3 rad san ω 1 ω 2 = 5 3 = 1,66666 İrrasyonel sayı Buna göre 5 rad/san hızda dönen vektör ve 1 rad/san hızda dönen vektörler, ileri periyotlarda birbirlerine çok yaklaşsalar bile hiçbir turda çakışmayarak periyodik bir hareket oluşturamazlar. Bu tür hareketlere periyodik olmayan veya hemen hemen periyodik olan hareket denir. 32

Titreşim Parametreleri ve Bileşenleri 33

Titreşim Sistemi Elemanları Burulma yayı Dönel disk Burulma damperi 34

Yay Elemanları Helisel Yaylar 35

Yay Elemanları Yaprak Yaylar 36

Yay Katsayısı k = tan α = Kuvvet Yerdeğiştirme = F x = mg x [ N m ] veya k b = M θ = Nm rad 37

Yayların Paralel Bağlanması Şekildeki kütleye birim yer değiştirme verildiğinde, her bir yay kendi sertliğine eşit bir geri getirici kuvvet uygular. F yay = kx F toplam = F 1y + F 2y k eş x = k 1 x + k 2 x k eş = k 1 + k 2 38

Yayların Seri Bağlanması Şekilde m kütlesine uygulanacak P yükünün meydana getireceği yer değiştirme, her iki yayın kısalmasının toplamıdır. x = x 1 + x 2 P k e = P k 1 + P k 2 1 k e = 1 k 1 + 1 k 2 39

ÖRNEK: k eş1 = k 1 + k 2 k eş2 = k 3k 4 k 4 +k 3 k eş = k eş1 + k eş2 k eş = k 1 + k 2 + k 3k 4 k 4 + k 3 k eş = k 1(k 4 + k 3 ) + k 2 (k 4 + k 3 ) + k 3 k 4 k 4 + k 3 40

Sönüm Elemanları 41

Sönüm katsayısı sıklıkla r, c, b gibi notasyonlarla gösterilmektedir. 42

Titreşim Problemlerinin Doğrusallaştırılması Titreşim problemleri, ötelemeler ve dönmelerin küçük olduğu kabulü ile doğrusal diferansiyel denklemler ile incelenmektedir. Büyük yer değiştirmeler söz konusu olduğunda doğru çözüm için diferansiyel denklemlerin nonlineer formları göz önünde bulundurulmalı ve çözümler bu şekilde yapılmalıdır. 43

tan θ = sin θ cos θ = x R sin θ x = R cos θ sin θ ifadesi Taylor serisine açılırsa, sin θ = θ0 1! θ3 3! + θ5 5! θ 1 için, diğer θ nın yüksek dereceden kuvvetleri sıfıra çok yakın değerler alır. Dolayısıyla küçük açısal yerdeğiştirmeler için sin θ θ alınabilir. cos θ ifadesi Taylor serisine açılırsa, cos θ = 1 θ2 2! + θ4 4! θ 1 için, diğer θ nın yine yüksek dereceden kuvvetleri sıfıra çok yakın değerler alır. Dolayısıyla küçük açısal yerdeğiştirmeler için cos θ 1 alınabilir. Dolayısıyla x = Rθ yazılabilir. 44

SÖNÜMSÜZ SERBEST TİTREŞİMLER Giriş Bir mekanik sistemin bir mukayese sistemine nazaran konumunu, tamamen belirli bir şekilde belirleyebilmek için gerekli olan birbirinden bağımsız büyüklüklerin sayısına Serbestlik Derecesi denir. Tek serbestlik dereceli sistemlerin konumunu belirleyen tek büyüklük genellikle uzunluk veya açı dır ve konum koordinatı adını almaktadır. Tek serbestlik dereceli titreşim sistemleri en basit ve temel titreşim sistemleridir. Titreşim sistemlerinde; sistem denge konumundan ayrıldığı zaman, sistemi denge konumuna getirmeye zorlayan geri getirici bir kuvvet veya moment mevcuttur. 45

Geri getirici kuvvetlerin kaynağı; yay, cismin ağırlığı merkezkaç kuvvetleri vb. olabilir. Burada helisel yay, burulma mili ve sarkaç kol çubuğu kütlesiz, kütle ve disk kaskatı cisimlerdir. 46

Sönümsüz Serbest Titreşim Sisteminin Diferansiyel Denklemi 47

2. Şekilde denge konumu için; F y = 0 G = mg = kδ st k m = g 2 = ω δ n st ω n = k m = g δ st ω n sistemin doğal frekansıdır. 48

3. Şekilde Newton un 2. Kanunu uygulanırsa; F = ma mx = k(δ st + x) + mg mx = kx kδ st + mg mg = kδ st olduğundan, mx + kx = 0 ω n = k m 49

Diferansiyel Denklemin Çözümü - Hareket Denkleminin Bulunması Bu denklem sistemin hareketine ait 2. Mertebeden, sabit katsayılı, homojen bir diferansiyel denklemdir. Diferansiyel denklemin çözümü yapılırsa; x = Ce λt Genel çözüm kabulü mλ 2 + k = 0 λ 1,2 = ±jω n Karakteristik denklem Karakteristik denklemin kökleri ω n = k m Tabii dairesel frekans, öz frekans x = Ce λt x = C 1 e λ 1t + C 2 e λ 2t x = C 1 e jω nt + C 2 e jω nt 50

e jω nt = cos ω n t ± j sin ω n t x = C 1 (cos ω n t + j sin ω n t) + C 2 (cos ω n t j sin ω n t) x = (C 1 + C 2 ) A cos ω n t + (C 1 j C 2 j) B sin ω n t x = A cos ω n t + B sin ω n t Genel Çözüm Başka şekilde ifadesi; x = A 0 cos(ω n t + ε) veya x = A 0 sin(ω n t ε) şeklindedir. Sönümsüz serbest titreşimin bir harmonik hareket olduğu görülmektedir. Burada C 1, C 2, A, B, A 0, ε sabitleri başlangıç şartlarından bulunmaktadır. 51

A ve B sabitlerinin bulunması; Başlangıç Şartları : t = 0 için x = x 0, v = v 0 Başlangıç şartları aşağıdaki konum ve hız denklemlerinde yerine konulursa x = A cos ω n t + B sin ω n t Konum x = Bω n cos ω n t Aω n sin ω n t Hız t = 0, x = x 0 x 0 = A cos ω n 0 + B sin ω n 0 A = x 0 t = 0, v = v 0 v 0 = Bω n cos ω n 0 Aω n sin ω n 0 B = v 0 ω n 52

Bulunan A ve B sabitleri Genel çözümde tekrar yerlerine konulursa, x = x 0 cos ω n t + v 0 ω n sin ω n t v 0 = v 0 cos ω n t x 0 ω n sin ω n t Konum Hız Burulmaya maruz sistemlerde konum koordinatı açı olarak ifade edilir. Bu durumda geri getirici tesir moment olup, yay katsayısı da birim dönme açısı başına moment olarak ifade edilir. 53

M b = k b θ M = Jθ Jθ = k b θ Jθ + k b θ = 0 ω n = k b J 54

Örnek 1: Bir elektrik motoru her birinin yay katsayısı k olan dört yay üzerine oturtulmuştur. Motorun O dönme eksenine nazaran kütlesel atalet momenti J0 olduğuna göre, küçük dönme titreşimlerinin tabii frekansını bulunuz. Motor gövdesi dönme titreşimi yapmadığı zaman yaylar bir miktar kısalarak sistem statik denge konumuna gelir. Bu konumda motor mil ekseni O da bulunur. Dönme sırasında O noktasının sabit kaldığı ve titreşim genliklerinin küçük olduğu varsayılırsa harekete ait diferansiyel denklem (dd); 55

J 0 θ = 4 Moment F y a J 0 θ = 4kxa F y J 0 θ = 4 ka sin θ a θ 1 sin θ = θ J 0 θ = 4ka 2 θ J 0 θ + 4ka 2 θ = 0 ω n = 4ka2 J 0 = 2a k J 0 56

Örnek 2: Şekilde verilen sistemin küçük titreşimlerinin tabii frekansını bulunuz. Şekilde verilen büyüklüklerden başka rijit çubuğun O ya göre kütlesel atalet momenti J0 olarak verilmektedir. J 0 θ = k 1 b sin θ b k 2 a sin θ a J 0 θ = k 1 b 2 θ k 2 a 2 θ J 0 θ + (k 1 b 2 + k 2 a 2 )θ = 0 ω n = k eş m eş = k 1b 2 + k 2 a 2 J 0 f n = 1 2π k 1b 2 + k 2 a 2 J 0 57

Örnek 3: Kütlesiz gergin bir halatla O noktasına düzlemsel hareket yapacak şekilde mafsallanmış basit sarkacın küçük genlikli sönümsüz serbest titreşimlerinin tabii frekansını ve periyodunu bulunuz. Sarkacın O daki dönme eksenine göre kütlesel atalet momenti J 0 = ml 2 Titreşime ait dd. ml 2 θ + mgl sin θ = 0 lθ + gθ = 0 ω n = g l T = 2π l g 58

Örnek 4: Şekildeki m kütlesinin küçük titreşimlerinin tabii frekansını bulunuz. Çubuğun kütlesini ihmal ediniz. Mesnede göre kütlesel atalet momenti J 0 = m ( 3 2 4 L) J 0 θ = k L 4 sin θ L 4 m 9 16 L2 θ = kl2 16 θ 9mθ + kθ = 0 ω n = k eş m eş = k 9m = 1 3 k m 59

Örnek 5: Ters sarkacın sönümsüz küçük titreşimlerinin doğal frekansını hesaplayınız. Çubuk rijit ve kütlesizdir. Sistemin statik denge konumu düşey olacak şekildedir. ml 2 θ = mgl sin θ 2(k s sin θ)(s cos θ) ml 2 θ = mglθ 2ks 2 θ ml 2 θ = (mgl 2ks 2 )θ ml 2 θ + (2ks 2 mgl)θ = ω n = k eş = 2ks2 mgl m eş ml 2 60

Örnek 6: Aşağıda denge konumunda verilen sistemin tabii frekansını hesaplayınız. 61

M = J top φ J m φ + J M φ = mg L sin φ MgL sin φ kxl cos φ 2 ( 1 3 ml2 + ML 2 ) φ + ( 1 2 mgl + MgL + kl2 ) φ = 0 J m = 1 3 ml2, J M = ML 2 ( 1 3 m + M) Lφ + (1 mg + Mg + kl) φ = 0 2 ω n = k 1 eş = 2 m eş mg + Mg + kl ( 1 3 m + M) L rad san 62

Örnek 7: Aşağıda denge konumunda verilen sistemin tabii frekansını hesaplayınız 63

M = J top φ x = L sin φ = Lφ, x = Lφ, x = Lφ, J m = 1 3 ml2 ( 1 3 ml2 + ML 2 ) φ + kl 2 φ = 0 ( 1 m + M) φ + kφ = 0 3 ω n = k eş k 3k = m = eş 1 3 m + M m + 3M rad san 64

Örnek 8: Aşağıda denge konumunda verilen sistemin tabii frekansını hesaplayınız. Halatlar uzamaz ve gergindir. 65

M = J top φ J m φ + Mx L = kxr x = r sin φ = rφ, x = rφ, x = rφ, J m = 1 2 mr2 ( 1 2 mr2 ) φ + Mx r = kxr ( 1 2 mr2 + Mr 2 ) φ + kr 2 φ = 0 ( 1 m + M) φ + kφ = 0 2 ω n = k eş k 2k = m = eş 1 2 m + M m + 2M rad san 66

Örnek 9: Aşağıda denge konumunda verilen sistemin tabii frekansını hesaplayınız. T:Oluşan döndürme momenti M = J top φ, F = ma J m φ = Tr, mx = kx T T = J mφ r mx = kx J mφ r 67

J m r φ + (mx + kx) = 0 x = r sin φ = rφ, x = rφ, x = rφ, J m = 1 2 mr2 J m φ + (mrφ + krφ)r = 0 ( 1 2 mr2 + mr 2 ) φ + kr 2 φ = 3 mφ + kφ = 2 ω n = k m = k 2k = 3 2 m 3m rad san 68

Örnek 10: Aşağıda denge konumunda verilen sürtünmesiz sistemin diferansiyel denklemini çıkarıp tabii frekansını hesaplayınız. 69

70

M = J top φ m 1 x 1h + m 2 x 22h = k 1 x 1 h k 2 (x 2 x 1 )2h k 3 x 2 2h + k 2 (x 2 x 1 )h x 1 = hφ x 1 = hφ x 1 = hφ x 2 = 2hφ x 2 = 2hφ x 2 = 2hφ m 1 h 2 φ + 4m 2 h 2 φ = k 1 h 2 φ 2k 2 (2hφ hφ)h 4k 3 h 2 φ + k 2 (2hφ hφ)h = (m 1 + 4m 2 )φ = (k 1 + k 2 + 4k 3 )φ = 0 ω n = k m = k 1 + k 2 + 4k 3 m 1 + 4m 2 = rad san 71

Örnek 11: Aşağıdaki titreşim sisteminin üzerine m kütlesi h yüksekliğinden düşüp yapışıyor. M kütlesinin hareket denklemini yazınız. M ile m kütlesinin çarpıştığı andaki momentumu mv = (M + m)v 0 m 2gh = (M + m)v 0 V 0 = x 0 = m 2gh M + m 72

m kütlesinden dolayı k yayının sıkışması δ st = x 0 = mg k F = ma (M + m)x = kx (M + m)x + kx = 0 ω n = k m = k M + m Sönümsüz serbest titreşim hareketinin hareket denklemi x(t) = x 0 cos ω n t + x 0 ω n sin ω n t x(t) = mg k cos ( k t) + m 2gh M + m k(m + m) sin ( k M + m t) 73

Örnek 12: Aşağıda denge konumunda verilen sistemin diferansiyel denklemini çıkarıp tabii frekansını hesaplayınız. Çubuk rijittir. 74

x = L sin φ = Lφ, x = Lφ, x = Lφ M = J top φ Jφ + Mx L = kxl AρgxL [ 1 12 m(2l)2 + ML 2 ] φ + (kl 2 + AρgL 2 )φ = 0 ( 1 m + M) φ + (k + Aρg)φ = 0 3 ω n = k eş k + Aρg = m eş 1 m + M 3 rad san 75

Problem 1: Aşağıda denge konumunda verilen sistemin diferansiyel denklemini çıkarıp tabii frekansını hesaplayınız. Disk kaymadan yuvarlanmaktadır. 76

tan α = y x y = x tan α, y = x tan α, y = x tan α AB = z = φr φr = x cos α φ = φ = x r cos α x r cos α φ = x r cos α 77

Problem 2: Aşağıda denge konumunda verilen sistemin diferansiyel denklemini çıkarıp tabii frekansını hesaplayınız. Disk kaymadan yuvarlanmaktadır. 78