TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU f :R R, =f ( fonksionuna düzlemde A karşılık gelen f( +h eğri anda ki =f( P gibi olsun. f( Eğrinin P(,f( noktasındaki teğetlerini +h araştıralım. Bunun için P(,f( noktasının sağıda vea solundaki A( +h,f( +h noktasını alıp A ve P den geçen keseni çizelim. Dikkat edilirse kesenin eğiminin m= f ( +h f ( olduğu h görülür. Şimdi P noktasından geçen teğeti bulmak için A noktasını eğri üzerinde kadırarak P noktasına aklaştıralım. Bu işlemi apmakla h değerini a aklaştırmak anı şe olacak tır. Bu halde teğetin eğimi h için f( +h f( ın alacağı limit değeri h olacak tır. EĞİM, TEĞET DOĞRU VE NORMAL DOĞRU =f( fonksionun üzerindeki (,f( noktasından çizilen teğet doğrunun eğimi m d ise f ( m d =lim +h f ( h h olur. Aıca m d=tanθ dır. T noktasında d teğet doğrusuna dik olan k doğrusuna ise =f( in T noktasındaki normali denir. HATIRLATMA f( k Normal Teğet Eğimi m ve (, noktasından geçen doğrunun denklemi =m.( olur. Dik doğruların eğimleri çarpım ı 1 dir. Yani, m d.m k = 1 dir. θ d =f( T(,f( TEĞET DOĞRU DENKLEMİ ( T.D.D. =m d.( NORMAL DOĞRU DENKLEMİ ( N.D.D. = 1 m d.( Örnek...1 : =f (= + fonksionun = noktas ındak i teğetinin eğimini bulunu z? Örnek... : =sin( 5 fonksionun = π noktasındaki teğetinin eğimini bulunuz? Örnek... : =f (= fonksionun = noktasındaki norm alinin eğim ini bulunuz? 1 11 Örnek... : =f (, = + +1= fonksionun (1,1 noktas ındak i teğetinin eğimini bulunu z? Örnek...5 : =sint, =cos t fonksionun üzerinde = π 6 noktas ından çizile n teğetin eğim ini bulunuz? π 6 Örnek...6 : =f(=² 7 fonksionun üzerindeki P(1,f(1 noktasından geçen teğetinin denklemini bulunu z? =-5-1 -5 1. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 1/7
Örnek...7 : =f (= fonksionun = noktasındaki teğetinin denklem ini bulunuz? = 16-16 Örnek...11 : g(= +a ile f (=+ fonksionu teğetse a sa ıs ın ın negatif değeri 1 Örnek...8 : =cos+ fonksionun = noktasındaki norm alinin denklem ini bulunuz? =-+1 Örnek...1 : f (= 6+5 ve g(=m +(n fonksi onlarının her için teğetleri paralelse m ve n i bulunu z. (,- Örnek...9 : =f( fonksionu ve A noktasındaki teğeti verilmiştir. g(=f ( 5 ise g f ( fonksionunun = deki teğetinin eğimi 6 o A(, 1 =f( Örnek...1 : f (= fonksionuna A(, noktasından çizilen teğetlerin değme noktalarının apsisler toplam ın ı bulunuz? 8 Örnek...1 : =f( fonksionu ve A noktasındaki teğeti verilmiştir. h(=f ( ise h fonksionunun =1 deki teğetinin eğimi A(, =f( Örnek...1 : f (= + fonksionuna üzerindeki A(1, noktasından çizilen normal eğrii başka hangi nok tada k eser? ( 17, 1. Sınıf Matematik Konu Anlatımı /7
Örnek...15 : f (= k ile g(= 9 k eğrileri dik kesişior ise ±81 Örnek...19 : f (= + +1 fonksionun eksenine paralel teğetlerinin eğrie değdiği noktalar arası mesafe kaç birimdir? 7 Örnek...16 : f (=e ln eğrisine üzerinde apsisi e olan noktadan çizilen teğetin eksenile sın ırla dığı bölgenin alanı kaç birim k aredir? e e Örnek...17 : f (= eğrisinin orijinden geçen teğetlerinin değm e nok tasın ın apsisi nedir? (, Örnek... : f(= 8 fonksionuna üzerindeki A(,k noktasından çizilen teğetin eksenlerle oluşturduğu üçgenin alan ı kaç birim karedir? 16 Örnek...18 : = 7 doğrusu üzerinde bulunup = +5 parabolüne en akın noktanın koordinatları nedir? ( 1, 1 Örnek...1 : = eğrisinin =1 noktasındaki teğeti ve normali ile ekseni arasında kalan kapalı bölgenin alanı k aç birim k aredir? 5 1. Sınıf Matematik Konu Anlatımı /7
DEĞERLENDİRME 1 f(=²+a+5 eğrisinin eksenini eksenini kestiği noktalardan çizilen teğetlerin dik olması için a ne olmalıdır? ± 1 6 B noktasında teğet olan =f( ve =g( parabolleri verilior. h(= f ( için g( h'( 1=? B( 1, =f( =g( =f (= m+ fonksionuna orijinden çizilen teğetler dikse m değeri m> 15 7 f(= + fonksionuna orijinden çizilen teğetlerin değme noktaları arası mesafe kaç birimdir? =f(= ++7 fonksionunun hangi noktadaki teğeti orijinden geçer? =f( fonksionu ve A noktasındaki teğeti verilmiştir. g( =f ( ise g '(=? ± 7 =f( A(8, 5 o 8 f(= ve g(= eğrilerinin kesim noktalarından f fonksionuna çizilen teğetlerin arasındaki açının tanjantı kaç olabilir? ± 1 5 =f( parabolü ve bu parabolün A noktasındaki teğeti olan =g( doğrusu verilior. h(= k.f( g(+ için h'(=1 ise k =f( =g( A(, B(, 9 =a +b+c parabolüne orijinden çizilen teğetler dikse a,b,c arası hangi bağıntı vardır? -1 18 1. Sınıf Matematik Konu Anlatımı /7
1 h(=+ fonksionunun eksenine paralel + teğetlerinin değme noktaları apsisleri çarpımını 1 1 g(= +9 fonksionuna hangi noktalardan çizilen teğetler orijinden geçer? (±,18 11 f (= 1 fonksionun =1 apsisli noktasından çizilen teğetinin eksenlerle oluşturduğu bölgenin alanı kaç birim karedir? 1 = + eğrisine = doğrusunun en akın noktasının apsisi ( 1 17, 1 =f( fonksionu ve A noktasındaki teğeti verilmiştir. h(=. f ( ise h fonksionunun =1 deki teğetinin eğimi =f( A(1, 15 + = +1 eğrisi üzerinde A(1,k (k> noktasından çizilen teğetin eksenlerle oluşturduğu üçgenin alanı kaç birim karedir? =p (1+p p 8 1. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 5/7
TÜREVİN FİZİKSEL YORUMU VE DEĞİŞİM HIZI Bir hareketlinin t zamanında aldığı ol S(t olsun. t=t 1 ve t= t anları arasındaki ortalama hız V o r t ise V s(t s(t 1 o r t= dir. t t 1 Örnek... : s(t=t 5 hareket denklemi ile verilen cismin t 1=1 anındaki ani ivmesini bulunuz Benzer şekilde a o r t= v (t v (t 1 t t 1 Zamana bağlı ol denkleminin birinci türevi hızı, ikinci türevi ivmei verir. Yani, olu S, hızı V ve ivmei a ile gösterirsek V (t=s ' (t ve a(t=s ' ' (t olur. Örnek...1 : s(t=t +t+5 hareket denklemi ile verilen cismin t 1= ve t =5 sanieleri arasındaki ortalama hızının, t =6 anındaki hızına oranını bulunuz? 17 7 Örnek... : s(t=t -t+ konum zaman eşitliğile verilen bir hareketlinin ilk saniedeki ortalama hızı nedir? Anlık hız denk lemini bulunu z? İki sanie arası hız farkı ne olur? 1,t-1, Örnek... : s(t=t +t hareket denklemi ile verilen cismin t 1= ve t =5 sanieleri arasındaki ortalam a ivmesini bulunu z? 1 1. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 6/7
DEĞİŞİM HIZI f, a da diferansiellenebiliorsa, a dan a+d e değiştiği zaman f deki değişim aklaşık olarak df=f ı (a.d kadar olur. Örnek...5 : Bir eşkenar üçgenin bir kenarı cm/sn hızla büümektedir. Bir kenar uzunluğu 1 cm olduğu anda alanının büüme hızı kaç cm /sn dir? DEĞERLENDİRME 1 s(t=t t + hareket denklemi ile verilen cismin a t 1=1 ve t = sanieleri arasındaki ortalama hızı, b t = anındaki anlık hızını, c ivme zaman denklemini bulunuz? 11,,6 Örnek...6 : Bir küre ısıtılırken arıçapı cm e ulaştığında artış hızı, cm ise bu andaki sn hacminin değişim hızını bulunuz. 19, π Bir küpün hacmindeki artış hızı bir kenarı 6 cm olduğunda 8 cm /sn ise anı anda alanındaki değişim hızı nedir? 16 Bir dairenin alanının artış hızı cm /sn dir. Yarıçapı 16 cm olduğunda çevresinin artış hızı ne olur? 1 1. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 7/7