9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 Uzayda Serbestlik Derecesi Rijit Cismin Uzayda Dengesi Bir Uzay Kuvvetin Bileşenleri Bir Noktada Kesişen Uzay Kuvvetlerde Bileşke Bir Eksene Göre Statik Moment Kuvvetler Sistemini Bir Noktaya İndirgeme İndirgemenin Değişmezleri (İnvaryantları) 9.7 Merkezsel Eksen ve Kuvvet Vidası 9.8 Uzayda Bağlar 9.9 Uzay Kafes Sistemler 9.10 Kendi İçinde ve Tek Başına Rijit Kafes Sistemler 9.11 Mesnetleri ile Tam Bağlı Kafes Sistemler 9.12 Çubuk Kuvvetleri İçin Özel Durumlar 9.13 Örnek PROBLEMLER Galileo GALILEI (1564-1642) 259 260 261 265 265 267 268 270 271 272 274 278 284 285 289 291 292 292 İtalyan matematikçi, astronomi ve fizikle uğraşmış, deneysel mekaniğin kurucusu olarak ünlenmiştir. Teleskopla yaptığı incelemeler sonucunda, dünyanın arzın merkezi olmadığını ve Güneş in etrafında döndüğünü keşfederek, Newton un birinci ve ikinci hareket yasalarının ilkelerini belirlemiştir. Tavanda asılı bir lambanın salınımlarını gözlemleyerek, bir tam salınım için gereken sürenin salınımın genliğinden bağımsız olarak sabit kaldığını bulmuş ve daha sonra bunu kullanarak mekanik saatlerin düzgün çalışması için sarkaçtan yararlanılabileceğini keşfetmiştir. Astronomide kullanılabilecek teleskopu gelişirdi. Astronomi alanındaki buluşları Papa lık tarafından rahatsız edici bulununca çalışmaları engellenmeye çalışıldı, daha sonra kısmi izin verildi, devamında yargılandı ve ömrünün son sekiz yılını ev hapsinde geçirmek zorunda kaldı. Bilime en ciddi katkısı, mekaniğin bir bilim dalı olarak kurulmasındaki payıdır. Kuvvet ile hareket arasındaki ilişkiyi fark etti fakat doğrudan ortaya koyamadı ama daha sonraki çalışmaların önünü açan ilkeleri yerleştirdi. Özellikle Newton un mekanikteki büyük atılımının dayanağı oldu.

9.1 UZAYDA SERBESTLİK DERECESİ Üç boyutlu uzayda serbestlik derecesinin tespiti, 5. Bölümde düzlem durum için anlatılanlara paralel olarak üçüncü boyutunda gözetilmesiyle yapılır. Şimdi uzayda serbestlik derecesini tanımlarken Şekil (9.1) deki gibi diğer cisimlerle uzayda hiç bir teması olmayan bir tam serbest cisim düşünelim. Bu cismi uzayda belli bir konuma getirebilmek için önce cismin üstündeki bir A noktasına paralel ötelemeler verilerek cisim istenilen noktaya kadar kaydırılır ve daha sonra gene bu A noktası etrafında cisim istenildiği kadar döndürülerek ona arzu edilen son duruş verilir. A noktasının uzayda ötelenmesini ifade edecek konum vektörü, r = r ( x, y, z ) (9.1) A A A A A üç sayı ile tespit edilir. A noktası etrafındaki dönme için, dönme vektörü, θ = θ (,, ) (9.2) A A x y z uzayda üç sayı ile tanımlanır. Böylece toplam serbestliklerin üçü öteleme, üçü dönme büyüklüğü olduğu görülür. Eğer uzaydaki bir cisim belli bir konuma taşınacaksa, önce onun altı sayı ile tanımlanmış olan tüm serbestlikleri ortadan kaldırılmalıdır. Serbestlik derecesi kavramına başka bir biçimde de varılabilir. Örneğin Şekil (9.2) deki üç boyutlu cismi bir A( x A, y A, z A ) noktasından sabitlersek, sadece bu nokta tespit edildiği için cismin diğer tüm noktaları mümkün olabilen başka konumlara geçebilir, çünkü A noktası bir küresel mafsal gibi davranır. Eğer cismin bir B( x B, y B, z B ) noktası da sabitlenirse, cismin hareket alanı daha da daralır. Bu durumda A ve B noktalarının koordinat değerleri bakımından altı parametre söz konusudur. Ancak rijit cisimde A ile B noktaları arasındaki uzaklık sabit olduğu için, bu altı parametre arasında,

260 STATİK 2 2 2 2 L = ( x - x ) + ( y - y ) + ( z - z ) (9.3) AB A B A B A B koşulu sağlanmalıdır. O nedenle bağımsız parametre sayısı altı yerine beş olur. Fakat cismin hala tüm serbestlikleri ortadan kaldırılabilmiş değildir çünkü cisim AB hattı etrafında dönme hareketi yapabilir. O zaman bir C( x C, yc, zc ) noktası da tespit edilecek olursa, cisim artık uzayda tamamen hareketsiz durabilir. Ama bu C noktasından da üç yeni parametre devreye girdi. Rijit cisimde A ile C ve C ile B noktaları arasındaki uzaklık sabit olduğundan, sağlatılması gereken iki koşul, 2 2 2 2 LAC = ( xa - xc ) + ( ya - yc ) + ( za -zc ) üï ï 2 2 2 2 ýï (9.4) LCB = ( xc - xb ) + ( yc - yb ) + ( zc -zb ) ïþ düşünülürse, serbest parametre sayısı gene altı olur. Bir cisimde bu altı sayı tanımlanmışsa, ona tam bağlı, hiç birisi verilmemişse ona tam serbest denir. 9.2 RİJİT CİSMİN UZAYDA DENGESİ En genel halde, incelenecek cisimler üç boyutludur. Bu durumdaki bir problemin çözümünde izlenecek adımlar tamamen düzlem haldekine benzemekle birlikte, üçüncü boyutunda gözetilmesi nedeni ile sadece işlem hacmi bir miktar artar. Uzayda P 1, P 2,..., P n tane kuvvetin etkidiği Şekil (9.3) deki rijit cisim eğer dengede ise, denge denklemleri, Ötelenmede denge : R= Pi = 0 ü ï ýï, ( i= 1,..., n) (9.5) Dönmede denge : M = ( ri Pi) = 0 ïþ özdeş olarak sağlanır. (9.5) deki ilk denklem, cismin eksenler doğrultusunda ötelenmeyeceğini, ikincisi ise cismin eksenler etrafında dönmeyeceğini ifade eder. Bu iki vektörel ifadenin ( x, yz, ) eksenleri doğrultusundaki karşılığı üçerden altı skaler denklemdir. Bunlar, Fx = 0, Mx = 0 üï ïï Fy = 0, ve M y = 0 ý (9.6) ïï Fz = 0, Mz = 0 ïþ biçimindedir. (9.6) den çıkan önemli sonuç; üç boyutlu uzayda bir cismin denge durumu incelenirken toplam altı adet denge denklemi yazılabilir. Şu halde uzayda tam bağlı bir statikçe belirli (izostatik) sistemde ancak uygun altı bağ koşulu çözülebilir. Çizelge (9.1) ile Çizelge (9.2) de çeşitli uzay bağ tipleri ve bunların serbestlik dereceleri gösterilmiştir.

9. RİJİT CİSMİN UZAYDA DENGESİ 263 ÇİZELGE (9.2): Çeşitli uzay bağlar ile bunların bağ kuvvetleri. BAĞ ÇEŞİDİ ANKASTRE BAĞ KUVVETİ (üç kuvvet ve üç kuvvet çifti) PİM VE MENTEŞE (üç kuvvet ve iki kuvvet çifti) ÜNİVERSAL MAFSAL (üç kuvvet ve bir kuvvet çifti) RADYAL YÜK AKTARAN MAFSAL ve YATAKLAR (iki kuvvet ve iki kuvvet çifti)

270 STATİK dir. Hesaplarda sadelik sağlamak amacıyla, Şekil (P 3.2) den yararlanarak, kuvvetler sistemi O başlangıcına taşınınca, indirgeme momenti, 3 MO = å i= 1( ri Fi) = ( 4k 6j) + ( 3i 6k) + ( 5j Qi ) =- ( 24i-18j-5Qk ) knm (P 3.2) oluşur. Kuvvetler sisteminin, tek bir kuvvete indirgenebilmesi için, R^ M ya da RM = 0 (P 3.3) O O olmalıdır. O halde (P 3.3) de (P 3.1) ile (P 3.2) sonuçları yerleştirilirse: ( Qi j k) ( i j Qk ) + 6 + 6-24 -18-5 = 0-54Q - 108 = 0 Q=-2 ( i ) kn 9.7 İNDİRGEMENİN DEĞİŞMEZLERİ (İNVARYANTLARI) Eğer bir O noktasındaki kuvvet ve moment vektörleri R ile M Şekil (9.9a) da görüldüğü gibi birbirlerine dik değilse, o zaman aralarındaki açı 1 ¹ olur. Şimdi keyfi bir A noktası seçelim ve bunun O noktasına 2 göre konum vektörü r olsun. Artık kuvvet vektörü R bu A noktasına taşınabilir. Bu durumda Şekil (9.9b) de görüldüğü gibi indirgeme momenti (- r) R ile birlikte A noktasında toplam moment, olur, ya da, M = M+ (- r) R (9.30) M = M- r R (9.31) dir. Sabit O noktasına göre A noktasının yeri değiştikçe r de değişeceğinden, (9.31) deki M momenti A noktasının konumuna bağlı bir vektördür. İndirgemenin Değişmezleri (İnvaryantları): O ve A noktalarındaki iki kuvvet kuvvet çifti O ( RM, ) ve A ( RM, ) arasındaki ilişki, M¹ M iken, R = sabittir. Şimdi (9.31) i soldan R ile skaler çarparsak, R M = R M = (9.32) M R elde edilir. Bu ifade yazılırken vektörel ilişki R ( r R) º r ( R R ) den yararlanılmıştır. (9.32) den çıkan önemli sonuç, Şekil (9.9) da görüldüğü gibi, M ile M nin R üstündeki izdüşümleri M =sabittir. Bu sonuç R