NLİTİK EMETRİ lan ve ğırlık Merkezi 5. ölüm lan Örnek 0 nalitik düzlemde ( 0 c h b h a h c b ( 0 ( 0 a a h b h a b c h lan( = = = c Yukarıdaki verilenlere göre lan( kaç birimkaredir? 6 8 9 E c b Taban: = ( = br lan( = b c sin( a = a c sin( = a bsin( Yükseklik: = br lan ( = = = 6 br² evap a + b + c u = olmak üzere lan( = u (u a (u b (u c Örnek 0 nalitik düzlemde ve doğrusal = 5 (0 5 (0 ( 0 c r r b Yukarıdaki verilenlere göre lan( kaç br² dir? r 6 5 5 5 5 5 E 5 a lan( = u r = + = 5 br sin( = sin(e = 5 c b R a = br ise = =. = 6 br lan ( = E sin(e = 6 = 6 5 5 br² a b c lan( = R evap ek ders notları eupkamilesilurt@gmail.com
NLİTİK EMETRİ lan ve ğırlık Merkezi 5. ölüm Örnek 0 nalitik düzlemde üçgen [] açıorta [] // [] (6 0 (6 (6 (6 0 [H] [] [K] [] H = K = br K ile H üçgenleri eş olduğundan alanları K S ( H S eşittir. Yukarıdaki verilenlere göre lan( kaç br² dir? 0 6 8 E 0 lan( = lan(kh = +S = Örnek 05 = 8 br² evap ile içters ile öndeş açılardan eş olduğundan = dir. = 6 br = br a 6 a a (6 (6 0 nalitik düzlemde üçgen [] [] = = br = br ( 7 0 ( 7 0 Yukarıdaki verilenlere göre lan( kaç br² dir? 5 6 8 E 0 çıorta teoreminden = = a olsa = a ve noktalarının apsisi 6 ise [] dir. dik üçgeninde pisagor bağıntısından 6² + (a + ² = (a² a = 5 br = = 0 br = br lan ( = 0 8 = 0 br² evap E = = r olsun lan( = = 6 br² 6 r 7 r Örnek 0 nalitik düzlemde ( dik üçgeninde pisagor bağıntısından ( + r² + ( + r² = 7² r² + 6r + 9 + 6 + 8r + r² = 9 = ( r² + 7r = eşitliği r cinsinden elde edilecek aşağıdaki alan formülünde erine azılırsa önce üçgeninin alanı bulunur. lan( = = ( + r ( + r + (7r + r = Yukarıdaki verilenlere göre lan( kaç br² dir? 0 6 E 0 = + ( = br² lan( = lan( lan( = 6 = 6 br² evap ek ders notları eupkamilesilurt@gmail.com
NLİTİK EMETRİ lan ve ğırlık Merkezi 5. ölüm Uarı Koordinatları ilinen Üçgenin lanı üçgeninde m > 0 n > 0 için [] [] = m+r = n+r = m+n m+r m+n n+r Köşeleri ( ( ve ( olan üçgeninin alanını hesaplamak için; ve noktalarından geçen eksenlere dik doğrular çizilir doğruların medana getirdiği dikdörtgenin alanından dik üçgenlerin alanları atılarak üçgeninin alanı bulunur. K( ( M( r iç teğet çember arıçapı lan( = (m+n+r.r = m n ( Örnek 06 nalitik düzlemde eşkenar dörtgen E [] ( 5 E ( 5 ( L( lan(klm = ( ( ( ( lan(k = ( ( lan(l = Yukarıdaki verilenlere göre lan(e kaç br² dir? 0 5 6 0 E 5 ( ( lan(m = lan( = lan(klm lan(k lan(l lan(m ( 5 5 Koordinatlar cinsinden elde edilen bu formül düzenlenerek genel bir formül elde edilir. Formül kullanışlı olmadığından öğrencinin daha kola işlem apabilmesi için delta tekniği denilen öntem geliştirilmiştir bu tekniğe geçmeden önce birkaç durum bilinmelidir. E Elde edilen formülde çıkarma işleminden dolaı kimi zaman negatif bir değer çıkar alan hiçbir zaman negatif olmaacağından böle durumlarda çıkan sonucun mutlak değeri alınır. azen de sonuç sıfır çıkabilir bunun nedeni rastgele alınan üç noktanın doğrusal olmasıdır. noktasının apsisi 5 ise = 5 br noktasının ordinatı ise = br eşkenar dörtgeninin taban uzunluğu 5 üksekliği br olduğundan lan( = 5 = 0 br² lan(e = lan( = 0 = 0 br² evap noktaları doğrusal ise lan( = 0 dır. elta Tekniği ( ( ve ( olsun Koordinatlar alt alta azılır (en baştaki nokta en sona tekrar azılır ok önündeki saılar çarpılır çarpımlar alt alta toplanır ve toplamlar farkının arısı alınarak alan bulunur. Uarı paralelkenar ise K lan( = (S + S lan(k = S + S S S + + M lan( = N M N ek ders notları eupkamilesilurt@gmail.com
NLİTİK EMETRİ lan ve ğırlık Merkezi 5. ölüm Uarı M = N noktaları doğrusaldır. a a Örnek 07 nalitik düzlemde köşelerinin koordinatları ( 0 ( ( olan üçgeninin alanı kaç birimkaredir? 6 8 0 E a 5 a a a 0 + 5a + a 5 0 a 0 5 = 0 a a = 5 evap E Örnek 08 0 8 0 + 8 + 0 0 lan( = ( 0 = br² evap nalitik düzlemde köşelerinin koordinatları (a 0 ( ( olan üçgeninin alanı 6 br² olduğuna göre a nın alabileceği değerler toplamı kaçtır? 6 0 E 6 a 0 0 a 0 8 + 8 + 0 5 a+8 lan( = a + 8 5 = 6 br² a + = a + = vea a + = Uarı elta tekniği ile köşelerinin koordinatları bilinen tüm çokgenlerin alanı bulunabilir. Rasgele verilmiş noktalar her zaman çokgen oluşturmaabilir bu nedenle istenen çokgenin köşeleri sırasına göre koordinatlar alt alta azılmalı ve delta tekniği anen ugulanmalıdır. (delta tekniğinde en başa azılan saıları en son sıraa tekrar azmaı unutmaınız. Örnek 0 nalitik düzlemde köşelerinin koordinatları (0 0 ( 0 ( ( ve ( olan beşgeninin alanı kaç birimkaredir? 9 0 E Soruda istenen çokgen olarak belirtildiği için delta tekniğinde kullanılacak sıra soruda belirtilmiştir. 0 0 0 0 0 0 6 6 6 0 0 0 0 0 + 0 + 0 0 a = vea a = 6 a nın alabileceği değerler toplamı; + ( 6 = evap lan( = 0 = 9 br² evap Örnek 09 nalitik düzlemde (a a ( ( 5 noktaları doğrusal olduğuna göre a kaçtır? E 5 Konkav (İç büke Çokgenlerin lanı Köşelerinin sırası belli olmaan çokgenler analitik düzleme taşınarak çokgenin ardışık köşeleri tespit edilmelidir. Eğer konveks (dış büke çokgen elde edilemiorsa birden fazla konkav çokgen çizilebilir ve her birinin alanı farklı olabileceğinden problemde istenenin belirtilmiş olması gerekir. ek ders notları eupkamilesilurt@gmail.com
NLİTİK EMETRİ lan ve ğırlık Merkezi 5. ölüm Örnek nalitik düzlemde ( (0 ( ve ( noktaları verilior. a dörtgeninin alanı kaç br² dir? b dörtgeninin alanı kaç br² dir? c dörtgeninin alanı kaç br² dir? a sırasına göre 0 0 0 6 + 6 + ( (0 ( b sırasına göre lan( = = 55 br² ( 0 0 nalitik düzlemde noktaları ile konveks dörtgen elde edilemez. u noktalarla elde edilebilecek üç farklı konkav dörtgen vardır. a dörtgeni b dörtgeni 0 6 + 9 + 7 ( (0 ( ( (0 ( lan( = c sırasına göre ( 7 = 0 br² 0 9 ( ( 0 0 c dörtgeni ( ( + 6 + 8 lan( = 8 = 95 br² (0 Uarı Köşelerinin sırası belli olmaan çokgenler analitik düzleme taşınarak çokgenin ardışık köşeleri tespit edilmelidir. ( Örnek u dörtgenlerin alanlarını delta tekniğile bulmak istediğimizde hangi noktadan başlanacağı önemli değildir önemli olan noktaların hangi sırada alındığıdır. nalitik düzlemde (0 0 ( ( ve ( noktalarını köşe kabul eden dörtgenin alanı kaç br² dir? 5 5 E 5 sıralanışları anı dörtgeni belirttiğinden alanları eşittir. ek ders notları 5 eupkamilesilurt@gmail.com
NLİTİK EMETRİ lan ve ğırlık Merkezi 5. ölüm Verilen noktalarla konveks dörtgen çizilebildiğinden elde edilen dörtgen tektir. üçgeninin alanı; ( (0 0 ( ( 0 0 0 0 0 0 + 6 + 6 dörtgeninin alanı delta tekniğile hesaplanırsa; lan( = ( 6 = 5 br² üçgeninin alanı; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0 6 + + 0 + 0 + 0 0 5 lan( = 5 = 5 br² lan( = 0 = br² lan( lan( = 5 = br² evap dörtgenlerinin alanları eşittir. dörtgen oluşturmadığına dikkat ediniz. ( 0 ( Uarı ( elta tekniğile elde edilen saılar vektörel çokluklardır ani başlangıç noktası ve ön önemlidir. elta tekniğinde temel prensip başlangıç noktası ile bitiş noktasının anı olmasıdır. Çokgenlerin kenarları sıralanırken uç noktalar saat önünde vea saatin ters önünde sıralıdır. elta tekniğinde sıralama azılırken çokgenlerden biri pozitif diğeri negatif önde alınıorsa elde edilen sonuç bu çokgenlerin alanlarının farkıdır. sırasına göre delta tekniği ugulanırsa ile üçgenlerinin alanları farkı bulunur.( uradaki sıralanışa dikkat edilirse saatin ters önünde saat önündedir. 0 0 0 0 0 0 Örnek nalitik düzlemde (0 0 ( ( 0 ve ( noktaları verilior. una göre ile üçgenlerinin alanları farkının pozitif değeri kaç br² dir? 5 E 0 0 0 0 6 0 0 0 + 0 + 0 lan( lan ( = = br² ek ders notları 6 eupkamilesilurt@gmail.com
NLİTİK EMETRİ lan ve ğırlık Merkezi 5. ölüm Uarı elta tekniğile alanlar farkı vea alanlar toplamı hesaplanırken köşelerden biri diğer köşelerle doğrusal ise sıralamada etkisizdir ani sıralamaa azılmadan alan hesabı apmak mümkündür. sırasına göre delta tekniği ugulanırsa ile üçgenlerinin alanları farkı bulunur. (uradaki sıralanışa dikkat edilirse saatin ters önünde saat önündedir. Örnek nalitik düzlemde ( 0 0 [] [] = {K} ( K ( 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ( ( 0 ( ( 0 0 0 0 0 + 6 + lan( lan ( = ( = br² Yukarıdaki verilenlere göre K ile K üçgenlerinin alanlarının farkının pozitif değeri kaç br² dir? 5 5 E sıralamasına göre delta tekniği ugulanırsa K ile K üçgenlerinin alanları farkı bulunur. Sıralanışa dikkat edilirse K saat önünde K saatin ters önünde sıralanmıştır. sırasına göre delta tekniği ugulanırsa ile üçgenlerinin alanları farkı bulunur. (uradaki sıralanışa dikkat edilirse saatin ters önünde saat önündedir. 0 0 0 0 0 0 6 9 0 0 + 0 + 5 7 lan(k lan(k = 7 5 = br² evap 0 0 0 0 0 0 0 + 0 + 0 8 lan( lan ( = 8 0 = br² evap elta sıralamasında üçgenlerin kapatıldığına ve ilk başlangıç noktasıla bitirildiğine dikkat ediniz. gibi delta sıralanışları alanlar toplamını verir. sırasında delta tekniği ugulanırsa elde edilen değer K ile K üçgenlerinin alanları farkının pozitif değeri olur. İleride iki doğrunun kesişim noktasını bulmaı öğrendiğinizde K noktasını da kullanarak değişik sıralamalarla alanları hesaplaabilirsiniz. KKK gibi azılışlarla istenen sonuca ulaşılamaz delta tekniğinde hangi nokta ile başlanmışsa o nokta ile biteceği unutulmamalıdır. Örneğin KKKK sıralanışıla K ile K üçgenlerinin alanları farkı KKKK sıralanışıla alanları toplamı bulunur. ek ders notları 7 eupkamilesilurt@gmail.com
NLİTİK EMETRİ lan ve ğırlık Merkezi 5. ölüm ğırlık Merkezi (enge Noktası Tüm noktaların ağırlıklarının eşit olduğu kabul edilir. İç noktaları dahil olmaan geometrik şeklin ağırlığı uzunlukları kabul edilir. oğru parçasının ağırlığı uzunluğudur üçgenin ağırlığı vea çemberin ağırlığı çevresidir gibi. İç noktaları dahil olan geometrik şekillerin ağırlığı alanı kabul edilir. Üçgensel bölgenin ağırlığı vea dairenin ağırlığı alanıdır gibi. Üç boutlu geometrik şekillerin ağırlığı hacimleri kabul edilir. Kürenin vea prizmanın ağırlığı hacmi olarak alınır. eometrik şekilleri erçekimine karşı dengede tutan noktaa denge noktası vea ağırlık merkezi denir ve g vea ile gösterilir. irden fazla geometrik şeklin bir araa gelerek medana getirdikleri eni şekle geometrik sistem vea kısaca sistem denir. Uarı ir sistemi oluşturan geometrik şekillerin ağırlık merkezinin koordinatları ve her şeklin ağırlığı biliniorsa sistemin ağırlık merkezinin koordinatı aşağıdaki öntemle bulunur; Sistemi oluşturan. şeklin ağırlık merkezi ( ve ağırlığı g Herhangi üçü doğrusal olmaan üç noktadan medana gelen sistemin ağırlık merkezi bu noktaları köşe kabul eden üçgenin kenarortalarının kesiştiği noktadır. ( ( ve ( noktalarının ağırlıkları g olsun g + g + g g + g + g ( + + ( eometrik orumu + + g + g + g g + g + g ( ( ( ( n tane noktadan medana gelen sistemin ağırlık merkezinin apsisi sistemi medana getiren noktaların apsislerinin aritmetik ortalaması ağırlık merkezinin ordinatı da sistemi medana getiren noktaların ordinatlarının aritmetik ortalamasıdır.. şeklin ağırlık merkezi ( ve ağırlığı g. şeklin ağırlık merkezi ( ve ağırlığı g n. şeklin ağırlık merkezi n( n n ve ağırlığı g n olsun bu n tane şeklin bir araa gelerek oluşturduğu geometrik sistemin ağırlık merkezi ( ise g + g + g + + g = n n g + g + g + + g n g + g + g + + g = n n g + g + g + + g Uarı n ir noktanın denge noktası kendisidir. İki noktadan medana gelen sistemin ağırlık merkezi bu noktaları uç nokta kabul eden doğru parçasının orta noktasıdır. ( ve ( noktalarının ağırlıkları (eşit olduğundan g olsun g + g g + g ( ( ( g + g + ise ( g + g + Örnek 5 nalitik düzlemde ( ( ( 8 ve (0 0 noktalarından medana gelen geometrik sistemin ağırlık merkezinin koordinatları toplamı kaçtır? 0 E ( + + + 0 + + ( 8 + 0 ( olduğundan koordinatlarının toplamı + ( = dir. Uarı ir doğru parçasının denge noktası orta noktasıdır. ( ( evap Uç noktaları ( ve ( olan [ ] doğru parçasının ağırlık merkezinin koordinatları; + + ( oğru parçasının ağırlığı uzunluğudur. ek ders notları 8 eupkamilesilurt@gmail.com
NLİTİK EMETRİ lan ve ğırlık Merkezi 5. ölüm Uarı İki doğru parçasından medana gelen sistemin denge noktası; Uzunluğu m ağırlık merkezi ( uzunluğu m ağırlık merkezi ( olan iki doğru parçasının medana getirdiği sistemin ağırlık merkezi olsun m + m m + m ( m + m m + m + Eğer m = m ( dir. + dir. ( (0 0 (6 8 ( 8 ( 5 8 (5 8 Örnek 6 nalitik düzlemde (0 0 (6 8 ( 8 olmak üzere [] ve [] doğru parçaları verilior. [] ve [] doğru parçalarının medana getirdiği sistemin ağırlık merkezinin koordinatları toplamı kaçtır? 9 5 E 7 = 6 + 8 = 0 br ve [] nın ağırlık merkezi ( = 5 6 = 9 br ve [] nın ağırlık merkezi ( 8 = 8 + 5 = 7 br ve [] nın ağırlık merkezi 5 ( Sistemin ( üçgeninin ağırlık merkezi (6 8 (9 8 ( 8 5 0 + 9 + 7 ( 0 + 9 + 7 (7 5 0 + 8 9 + 7 0 + 9 + 7 ( koordinatlarının toplamı 7 + 5 = dir. evap (0 0 Uarı [] [] [] sistemi üçgenidir. Üçgenin ağırlık merkezi kenarortaların kesiştiği nokta değildir. = 6 + 8 = 0 br ve [] nın ağırlık merkezi ( Üçgenin ağırlık merkezinin geometrik orumları; = 6 = 6 br ve [] nın ağırlık merkezi (9 8 Sistemin ağırlık merkezi ( 0 + 9 6 0 + 8 6 0 + 6 0 + 6 ( 8 6 88 6 koordinatlarının toplamı 8 6 + 88 6 = evap L K F E M Örnek 7 nalitik düzlemde (0 0 (6 8 (5 8 olmak üzere [] [] ve [] doğru parçalarının medana getirdiği üçgeninin ağırlık merkezinin koordinatları toplamı kaçtır? E 5 Üçgenin ağırlık merkezi kenar orta noktalarını köşe kabul eden üçgenin iç açıortalarının kesiştiği noktadır. noktası EF üçgeninin iç teğet çemberinin merkezidir. [KF] [LE] ve [M] doğru parçaları üçgenin çevresini iki eşit parçaa böler. Üçgen ile üçgensel bölge farklı şekillerdir. Üçgensel bölge iç noktaları dahil edilmiş üçgendir ani içi dolu bir bölgedir. Üçgensel bölgenin ağırlık merkezi kenarortalarının kesiştiği noktadır. ek ders notları 9 eupkamilesilurt@gmail.com
NLİTİK EMETRİ lan ve ğırlık Merkezi 5. ölüm Uarı ir üçgensel bölgenin ağırlık merkezi kenarortalarının kesişim noktasıdır. ( 6 ( (0 0 (6 0 Köşeleri ( ( ( olan üçgensel bölgesinin ağırlık merkezi + + + + ( Kenarorta üçgenin alanını iki eşit parçaa aırır. Üçgensel bölgenin ağırlığı alanıdır. İki üçgensel bölgeden medana gelen sistemin denge noktası; ğırlığı s ağırlık merkezi ( ağırlığı s ağırlık merkezi ( olan iki üçgensel bölgenin medana getirdiği sistemin ağırlık merkezi olsun s + s s + s ( ( ( s + s s + s + Eğer s = s ( dir. + dir. örtgen iki üçgenden medana gelen sistem olduğundan ağırlık merkezi bulunabilir. s = lan( = 6 6 =8 br² üçgensel bölgenin ağırlık merkezi; 0 + + 6 ( 0 + 6 + 0 s = lan( = 6 =9 br² ( dir. üçgensel bölgenin ağırlık merkezi; 0 + 6 + 0 ( 0 + 0 + ( (0 ( dir. Sistemin ( dörtgensel bölgenin ağırlık merkezi ( 8 + 9 8 + ( 9 8 + 9 8 + 9 Örnek 8 nalitik düzlemde (0 0 (6 8 (5 noktalarını köşe kabul eden üçgensel bölgesinin ağırlık merkezinin koordinatları toplamı kaçtır? 0 E ( 8 koordinatlarının çarpımı 8 = 8 dir. Uarı evap üçgensel bölgesinin ağırlık merkezi ( 0 + 6 + 5 (7 0 + 8 + koordinatlarının toplamı 7 + = 0 dir. Örnek 9 evap Sistemin ve sistemi medana getiren geometrik şekillerin ağırlık merkezleri doğrusaldır. ğırlığı g ağırlık merkezi olan geometrik şekil ile ağırlığı g ağırlık merkezi olan geometrik şeklin birlikte medana getirdikleri sistemin ağırlığı g ağırlık merkezi ise g=g +g ve noktası [ ] g doğru parçasını = oranında bö- g len noktadır. Verilen sistemler ağırlık merkezi bulunabilen geometrik şekillere parçalanarak sistemin ağırlık merkezi bulunur. nalitik düzlemde (0 0 ( 6 (6 0 ve (0 noktalarını köşe kabul eden dörtgensel bölgesinin ağırlık merkezinin koordinatları toplamı kaçtır? 5 7 8 E ek ders notları 0 eupkamilesilurt@gmail.com
NLİTİK EMETRİ lan ve ğırlık Merkezi 5. ölüm Uarı ir geometrik şeklin simetri ekseni varsa ağırlık merkezi simetri ekseni üzerindedir. ir geometrik şeklin simetri ekseni varsa ağırlık merkezi simetri merkezidir. Simetri merkezi olan geometrik şekillerin iç noktaları dahil edilsin a da edilmesin ağırlık merkezi değişmez. Paralelkenar eşkenar dörtgen dikdörtgen ve karenin köşegenlerinin kesişim noktası simetri merkezidir. Çember daire kürenin merkezi simetri merkezidir. üzgün çokgenlerin açıortalarının kesiştiği nokta simetri merkezidir. Örnek 0 nalitik düzlemde ikizkenar amuk E( Örnek nalitik düzlemde E ve noktaları doğrusaldır. ( 5 ( 6 E(5 (5 0 (5 0 ( 5 ( 6 Yukarıdaki verilenlere göre ile E üçgensel bölgelerinden oluşan sistemin ağırlık merkezinin koordinatları toplamı kaçtır? 6 5 E E(5 [] // [] = E = E ( a (5 b E( ( a (5 b noktası E paralelkenarının simetri merkezidir. ( ile E üçgenleri (5 0 E(5 Yukarıdaki verilenlere göre dörtgensel bölgenin ağırlık merkezinin apsisi kaçtır? 0 E eş üçgen olduğundan taralı bölgenin de ağırlık merkezi ( noktasıdır. ( 5 ( 6 EK doğrusu E( noktasının koordinatları toplamı + = 5 dir. evap ikizkenar amuğunun simetri ekseni olduğundan Örnek dörtgensel bölgenin ağırlık merkezi ( a K (5 b EK doğrusu üzerindedir. [] doğru parçasının orta noktası olan K noktasının apsisi E noktasının da apsisi olduğundan EK doğrusu üzerindeki diğer tüm noktaların da apsisi dir. dörtgensel bölgesinin ağırlık merkezinin apsisi dir. evap E nalitik düzlemde ( 0 ( ve (a noktaları doğrusaldır. una göre [] [] geometrik şeklinin ağırlık merkezinin koordinatları toplamı kaçtır? 0 E ek ders notları eupkamilesilurt@gmail.com
NLİTİK EMETRİ lan ve ğırlık Merkezi 5. ölüm ( 0 ( (a noktaları doğrusal olduğundan ordinatlara göre noktası ile arasındadır. ( 0 ( (a [] [] nin ağırlık merkezi ile [] nın ağırlık merkezi anı olacağından a değerinin bulunması gerekir. noktaları doğrusal olduğundan lan( = 0 ani delta tekniğinde M = N dir. 0 0 a a 0 8 + + 0 a 5 a = 5 a = + 0 + ( 0 ( ise [] nın ağırlık merkezi ( ( ise koordinatları toplamı + = dür. evap ( ( 5 ( a noktaları doğrusal olduğundan 5 6 a 5 5 a + a + 9 a + a + a + = a + a = 7 ile üçgensel bölgelerinin oluşturduğu sistem üçgensel bölgesi olduğundan ağırlık merkezi ( 5 + + 8 + + 7 ( 6 ise koordinatları toplamı +6 = 9 dur. Örnek nalitik düzlemde [] doğru parçasının ağırlık merkezi ( a [] doğru parçasının ağırlık merkezi (0 b ve [] [] sisteminin ağırlık merkezi ( c dir. Yukarıdaki verilenlere göre oranı kaçtır? evap 5 E Örnek nalitik düzlemde (5 8 ( a ( c (0 b (5 8 ( (a ( a ( ( 5 ( a noktaları doğrusaldır. = = 0 = dir. oğrusal noktaların aralarındaki uzaklığın oranı eksenler üzerindeki izdüşümlerinin oranına eşit olduğunu hatırlaınız. evap E una göre ile üçgensel bölgelerinden oluşan sistemin ağırlık merkezinin koordinatları toplamı kaçtır? 9 8 7 6 E 5 Örnek 5 nalitik düzlemde kare (0 ve ( 0 Yukarıda verilenlere göre dörtgeninin ağırlık merkezinin koordinatları farkı kaçtır? 05 0 0 0 E ek ders notları eupkamilesilurt@gmail.com
NLİTİK EMETRİ lan ve ğırlık Merkezi 5. ölüm Örnek 7 ( nalitik düzlemin bir parçası olan andaki şekil birim karelerden oluşmakta ve üçgenlerin köşeleri karelerin H köşeleri üzerindedir. (ir karenin ata kenarları eksenine düşe kenarları eksenine paraleldir. [H] [] = = birim ile H üçgenleri eş olduğundan noktasının apsisi + = ordinatı Karenin ağırlık merkezi köşegenlerin kesişim noktası olan simetri merkezi olacağından Yukarıda verilenlere göre bir köşesi olan üçgensel bölgenin ağırlık merkezinin koordinatları toplamı bir köşesi olan üçgensel bölgenin ağırlık merkezinin koordinatları toplamından kaç fazladır? E 5 [] doğru parçasının orta noktası karenin ağırlık merkezidir. (0 ( olduğundan ( 0 + + ( olduğundan koordinatları farkı 0 dır. evap +5 Örnek 6 E noktası ekseninde +5 ekseninde ötelenirse noktası elde edilir. ir köşesi olan üçgenin koordinatları toplamı bir köşesi olan üçgenin koordinatları toplamından 5 = fazladır. ğırlık merkezi köşelerin toplamının üçte biri olduğundan bir köşesi olan üçgensel bölgenin ağırlık merkezinin koordinatları toplamı bir köşesi olan üçgensel bölgenin ağırlık mer- nalitik düzlemde kare [E] [E] E = ve kezinin koordinatları toplamından = fazladır. noktasının apsisi 0 E noktasının apsisi 0 dur. Yukarıda verilenlere göre Kare ve [E] doğru parçasından oluşan sistemin ağırlık merkezinin apsisi kaçtır? 05 0 0 0 E K L N H E Kare tanımı gereği iç noktaları dahil olmaan şekildir. Karenin ağırlık merkezinin apsisi [E] nin ağırlık merkezinin apsisi 5 dir. [E] nın ağırlığı karenin ağırlığına eşit olduğundan sistemin ağırlık merkezi [ ] doğru parçasının orta noktasıdır. nin apsisi dür. evap noktasını orijin seçelim (0 0 M( N(7 0 0 + + 7 ( noktasının koordinatları toplamı ( 5 K(6 L(0 + 6 + 0 ( noktasının koordinatları toplamı dir. 0 + ( + 0 ( 5 + ( + noktasının koordinatları toplamı noktasının koordinatları toplamından fazladır. evap M ek ders notları eupkamilesilurt@gmail.com