ENİNE DEMET DİNAMİĞİ Prof. Dr. Abbas Kenan Çiftçi Ankara Üniversitesi 1
Dairesel Hızlandırıcılar Yönlendirme: mağnetik alan Odaklama: mağnetik alan Alan indisi zayıf odaklama: 0<n<1 olan dipol mağnet kuvvetli odaklama: n>>1 ve n<<-1 olan dipol mağnet n=0 olan dipol mağnet + kuadropol mağnet İvmelenme: RF elektrik alanı parçacık hareketiyle sinkronize faz odaklaması 2
Dairesel Hızlandırıcılar 3
Koordinat Sistemi Referans yörünge ivmelenme ihmal edilecek ( E/tur«E) mağnetik alanda simetri özellikli: optik eksen dairesel hızlandırıcıda kapalı:bir turdan sonra aynı pozisyon Referans parçacık referans yörünge boyunca ilerler nominal enerji Koordinat sistemi referans yörünge boyunca referans parçacıkla birlikte ilerler. 4
Koordinat Sistemi (2) sağ elli s demet yönü (referans yörüngeye teğet) x yörünge düzleminde (mağnetik simetri düzlemi) y yörünge düzlemine dik Demet yönelimi 5
Koordinat Sistemi (3) 6
Matris Formülasyonu Parçacık 6 boyutlu bir vektörle betimlenir radyal konum (x, s) düzleminde radyal açı dik konum (y, s) düzleminde dikey açı s ekseninde boyuna konum göreli momentum farkı 7
Matris Formülasyonu (2) Birinci mertebede R: 6ä6 matris; det(r) = 1 matris elemanları hareket denklemlerinden çıkar genellikle x ve y arasında bağlaşım yoktur 8
Matris Formülasyonu (3) Bir çok elemandan oluşmuş bir sistem 9
basitleştirmeler Lorentz Kuvveti B s v ye paralel hiç bir etkisi yok sıfır seçilebilir referans yörünge boyunca B x = 0 (simetri) referans parçacık: merkezkaç kuvvet = Lorentz kuvveti herhangi bir parçacık: 10
Mağnetik alanın seriye açılımı yörünge düzlemi = mağnetik simetri düzlemi olduğu için dipol bükme B x (y) için benzer durum. kuadropol odaklama sextupole kromatik aberasyon oktopol aberasyon 11
Hareket denklemi zaman bağımlılığını s bağımlılığına dönüştür. 12
Hareket koordinat sistemi 13
14
Bayağı bir işlemden sonra Hareket denklemi x, y«r; p«p 15
Hareket denklemi: Çözümler Eğer p = 0: homojen ikinci mertebe diff. denklem ïiki lineer bağımsız çözüm c x (s); s x (s) ve c y (s); s y (s) c: kosinüs benzeri fonk. s: sinüs benzeri fonk. 16
Hareket denklemi: Çözümler (2) homojen olmayan ikinci mertebe diff. Denklem homojen denklemin iki genel çözümü c x (s) ve s x (s) Homojen olmayan denklemin özel çözümü d x (s) dispersiyon fonksiyonu 17
Dispersiyon fonksiyonu Dispersiyon fonksiyonu Green fonsiyonu tekniğiyle elde edilir. başlangıç şartları 18
Transfer matrix c x,y, s x,y ve d x 5. sıra: boyuna hareket 19
c x,y (s), s x,y (s) ve d x (s) nin matematiksel formu Sert-kenar yaklaşıklığında demet optiği yardımıyla 20
Korunum yasaları Referans parçacıktan 6 boyutlu uzaklık korunur R x ve R y için ispat 21
İspatlanan: det(r) korunur Korunum yasaları (2) s=0 da det(r)=1 ispatlanacak 22
Demet hattı elemanları: sürüklenme uzayı mağnetik alan yok: k x =k s =0 açılar değişmez 23
Demet hattı elemanları: kuadropol mağnet bir yönde odaklama diğer yönde dağıtma 24
Demet hattı elemanları: kuadropol mağnet (2) x de odaklama y de dağıtma 25
Demet hattı elemanları: dipol mağnet bükme ve n ye bağlı olarak odaklama paralel kutuplar~homojen alan (n=0) eğik kutuplar bugünlerde fazla kullanılmaz bükme açısı 26
Demet hattı elemanları: dipol mağnet (2) n=0 için 27
Demet hattı elemanları: sextupol mağnet sadece ikincimertebe etkiler, x ve y arasında bağlaşım chromatik aberasyon etkilerin gidermek için kullanılır: momentumda odaklayıcı kuadropolün bağımlılığı 28
Kuadropol sisteminde yörünge matris çarpımında sıra önemli 29
İnce mercek yaklaşıklığı x 2 x 2 ' = 1, 0 x 1 ' 1 f, 1 x 1 x 2 x 2 ' = 1, 0 x 1 ' kl, 1 x 1 30
Hill Denklemi Kuadropol için: çözüm: Şartı: y = d 2 y ds + ks ()y = 0 2 k = 1 db z ( Bρ) dx [ ] β() s ε sin φ()+ s φ 0 ϕ = ds β( s) makinenin özelliği: β ( s) parçacığın (demet) özelliği: ε 31
Twiss parametreleri γ (s) 2 + 2α(s)y y + β(s) y 2 = ε 32
FODO Hücresi 1 0 M= 1 L 1 0 1 L 1 0 m12f - 1 0 1 ±1 f 1 0 1 m12f - 1 1 L 2 2f 2, 2L1±L ( 2f) cos µ +α sin µ, β sin µ = L 2f 2 ( 1mL 2f), 1 L 2 2f 2 = - γ sin µ, cos µ α sin µ 33
Liouville teoremi Faz uzayında demeti çeveleyen eğrinin alanı korunur. Bu alan = πε emittance (yayınım)dır. Bu halka boyunca aynıdır. Doğru olmadığı durumlar: ivmelenme sırasında sinkrotron emisyonu sönümü olan elektron hızlandırıcılarında 34