37 Newton-Raphson Yöntemi İle Çözüme Ulaşma Bu yöntem özellikle fonksiyonun türevinin analitik olarak elde edilebildiği durumlarda kullanışlıdır. Fonksiyonel ilişkinin ifade edilmesinde daha uygun bir yol f(x) = 0 dır. Bu ilişkiyi sağlayan X değeri denklemin köküdür. Bu yöntem ile aşağıdaki ifadeden anlaşılacağı gibi, veya genel olarak, f ( X1) ' = f ( X X X 1 2 1 ) X n+ 1 = X n f ( X ' f ( X n ) ) n bir sonraki deneme değerinin tayin edilmesi için fonksiyonun X e göre türevi kullanılır. Aşağıdaki şekil X e karşı f(x) i göstermektedir. Şekil 5.8 Newton Raphson yönteminin prensibi X 1 kullanılarak yapılan ilk denemede f(x) in X 1 için değeri f(x 1 ) ve f (X 1 ) çıkarılır. Bu yeni deneme değeri X R kök değerine daha yakındır. Bu işleme X değeri f (X) in önceden belirlenen toleransın altına düşürecek kadar X R ye yaklaşıncaya kadar sürer. ÖRNEK 1. Beattie-Bridgeman hal denklemini kullanarak spesifik hacmin Newton- Raphson yöntemi ile bulunması f( V) RT β V γ V 2 δ. 1 V V 3 P
38 df( V) dv β V 2 2 γ V 3 3 δ. 1 1 0 V 4 P Burada ön hesaplama bölümünün tıpkı Wegstein yöntemindeki gibi olacağı kolayca görülebilir. İterasyon bölümü sıfıra eşitlenmiş fonksiyonu ve türevini bulundurur. Hesaplamadaki bilgi akışı aşağıda verilmektedir. Şekil 5.9 Örnek 1 deki bilgi akışı C*****NEWTON-RAPHSON YÖNTEMI ILE LINEER OLMAYAN DENKLEMLERIN ÇÖZÜMÜ C*****BASLANGIC BÖLÜMÜ DATA A,B,C,A0,B0/0.11171,0.07697,3E6,16.6037,0.2354/ DATA R,T,P/0.08206,408.,36.2/ OPEN(4,FILE='NEWCIKTI',STATUS='OLD',ACCESS='SEQUENTIAL') WRITE(*,7) WRITE(4,7) 7 FORMAT(' V HATA FV FPV',/,'========', /' ======== ======== ========') C*****HESAPLAMA BÖLÜMÜ BT=R*T*B0-A0-R*C/(T**2.) GM=-R*T*B0*B+A*A0-R*B0*C/(T**2.) DEL=R*B0*B*C/(T**2.) V=R*T/P 8 FV=((R*T+BT/V+GM/(V**2.)+DEL/(V**3.))/P)-V FPV=-((BT/V**2.+2.*GM/(V**3.)+3.*DEL/(V**4.))/P)-1 HATA=ABS(FV/V) C*****YAZDIRMA WRITE(*,20) V,HATA,FV,FPV WRITE(4,20) V,HATA,FV,FPV 20 FORMAT(F8.6,4X,E8.3,4X,F8.6,2X,F10.4) V=V-FV/FPV IF(HATA.GT.0.0001) GO TO 8 STOP END
39 Herbir çevrimdeki V değerleri, sıfıra eşitlenmiş fonksiyonun ve türevinin aldığı değerler aşağıdaki tabloda verilmektedir. Bu sonuçlar Wegstein yöntemi ile bulunanlarla karşılaştırıldığında hemen hemen benzer sayıda sayıda iterasyonla aynı sonucun bulunduğu görülmektedir. V HATA FV FPV ======= ======= ======= ====== 0.924875.297E+00 -.274691-0.7364 0.551880.935E-01 -.051592-0.3945 0.421113.364E-01 -.015309-0.1474 0.317249.329E-01 -.010429-0.0234 0.763840.214E+00 -.163619-0.6351 0.506215.697E-01 -.035295-0.3175 0.395033.309E-01 -.012189-0.0920 0.262545.359E-01 -.009417-0.1268 0.188302.277E+00 0.052095-2.2664 0.211288.722E-01 0.015260-1.0736 0.225502.142E-01 0.003194-0.6535 0.230389.117E-02 0.000271-0.5454 0.230886.110E-04 0.000003-0.5353 Newton-Raphson ve Wegstein yöntemlerınin hangisinin daha üstün olacağı ele alınan probleme bağlıdır. Örneğin Newton-Raphson yönteminin kullanışlı olduğu yerlerden biri ayırma proseslerinde çok gerekli olan çok komponentli buhar-sıvı dengelerinin çözümüdür. ÖRNEK 2: Bir santrifüj pompa şekilde görülen taşıma işinde kullanılıyor.her iki tank aynı düzeyde ve üstleri atmosfere açıktır. Böyle bir pompada basınç yükselmesi hacimsel debiye bağlı olarak şu eşitlikle veriliyor. P 2 -P 1 =a-bq 3/2 öte yandan uzun düz bir borudan basınç düşüşü için aşağıdaki eşitlik verildiğine göre P 2 -P 3 = (1/2).f M.r.U 2 M. (L/D) f M :moody sürtünme faktörü sabit kabul edilerek verilen bir kararlı akış durumunda öncelikle sistemdeki Q akış debisini ve sonra buna dayanarak P 2 yi hesaplayan bir program hazırlayınız. Bu problemin çözümünde Newton-Raphson yönteminin programda aşağıda verilen satırlarla uygulandığında kararlı bir yakınsama elde edilemediği görülür. Bunun yerine
40 Wegstein yöntemi uygulanırsa hesaplama yüksek üsse yöneltildiğinde yine kararlı çözüme ulaşılamaz. Hesaplamanın düşük üsse yöneltilmesi durumunda kararlı yakınsamanın elde edildiği görülür. C NEWTON-RAPHSON YÖNTEMI ILE LINEER OLMAYAN DENKLEMLERIN CÖZÜMÜ DATA A,B,D,L,RO,FM/46.7,0.052,0.087,50,51.4,0.032/ OPEN(4,FILE='NEWCIKTI',STATUS='OLD',ACCESS='SEQUENTIAL') WRITE(*,7) WRITE(4,7) 7 FORMAT(' Q HATA FQ FPQ',/,'========', /' ======== ======== ========') Q=0.5 8 FQ=(8*FM*RO*(Q**2.)*L)/((3.14**2.)*(D**5.))+B*(Q**1.5)-A FPQ=-(16*FM*RO*Q*L)/((3.14**2.)*(D**5.))+1.5*B*(Q**0.5) HATA=ABS(FQ/Q) WRITE(*,20) Q,HATA,FQ,FPQ WRITE(4,20) Q,HATA,FQ,FPQ 20 FORMAT(E8.3,4X,E8.3,4X,E8.3,2X,E10.4) Q=Q-FQ/FPQ IF(HATA.GT.0.001) GO TO 8 STOP END Q HATA FQ FPQ ====== ======= ======== ======== 500E+00.669E+07.335E+07 -.1339E+08 750E+00.100E+08.753E+07 -.2008E+08.............328E+03.440E+10.144E+13 -.8794E+10 C WEGSTEIN YÖNTEMI ILE LINEER OLMAYAN DENKLEMLERIN CÖZÜMÜ DATA A,B,D,L,RO,FM/16.7,0.052,0.087,50,51.4,0.032/ OPEN(4,FILE='WE3CIKTI',STATUS='OLD',ACCESS='SEQUENTIAL') WRITE(*,7) WRITE(4,7) 7 FORMAT(' Q HATA QC',/,'========', /' ======== ==========') NC=0 Q=5.0 8 QC=((A-B*(Q**(3./2.)))*(3.14**2.)*(D**5.)/(8*FM*RO*L))**0.5 HATA=ABS((Q-QC)/(Q+QC)) WRITE(*,20) Q,HATA,QC WRITE(4,20) Q,HATA,QC 20 FORMAT(E8.3,4X,E8.3,4X,E11.3) CALL CONWEG(Q,QC,1,NC) GO TO (10,8),NC 10 STOP Q HATA QC ======= ======= =======.500E+01.100E+01 0.110E-02.110E-02.886E-02 0.112E-02.112E-02.521E-07 0.112E-02
41 Yüksek Mertebeli Dolaylı Sistemler f(x) in bir seri denklem adımları alabildiği, X = f(x) gibi tek çevrimli bir hal ortaya çıkabilir. bu durumda X üzerinde çözüm yukarıda izah edilen yöntemlerden biri kullanılarak gerçekleştirilmelidir. Bundan başka birden fazla dolaylı çevrimle ilgilenmek zorunda kalınabilir. Örneğin, X=f 1 (Y,Z) Y=f 2 (X,Z) Z=f 3 (X,Y) sistemi için önerilen çözüm yöntemi şöyledir: Adım 1 Z yi tahmin et Adım 2 Y yi tahmin et Adım 3 1. denklemi kullanarak X i hesapla Adım 4 2. Denklemi kullanarak YC yi hesapla Adım 5 2 adımına geri dönerek YC ve Y yi birbirine yaklaştır. Adım 6 adım 5 yerine getirilince 3 denklemini kullanarak ZC yi hesapla Adım 7 1 adımına dönerek ZC yi Z ye yaklaştır. Bu şekilde bir çözüm içiçe iki döngü içeren bir bilgi akışı blok diyagramı ile gösterilebilir. Şekil 5.10 Yüksek mertebeli sistemlerde bilgi akışı
42 Yukarıdaki işlemde önemli nokta içteki çevrimi (Y= YC) dıştaki çevrimin her iterasyonu için tekrarlamaktır. Aksi taktirde çözüme varılamaz. Bu Wegstein veya kısmiyerine koyma yöntemleri için geçerlidir. Newton-Raphson yöntemi de bu durumlarda uygulanabilir. Çünkü herbir değişken kendi türevine göre tek tek çözüme yaklaşacaktır. İçteki çevrimleri ortadan kaldırmak üzere eşitliklerde düzenleme yapma imkanının olup olmadığına bakılabilir. Örneğin yukarıdaki eşitlik aşağıdaki şekle indirgenebilir. X=f ı 1 (Y) Z=f ı 2 (Y,X) Y=f ı 3 (X,Y,Z) Bu denklemler sadece Y için yaklaştırma gerektirir. Diğer bir kolaylık da hesaplamaların sırasını çözüme yaklaştırılacak dolaylı çevrim içinde ayarlamaktır. Böylece hesaplama ilgili değişkenlerin daha düşük üslerine doğru yöneltilir. Pek çok durumda bu uygulama çözüme ulaşma için daha büyük ölçüde bir kararlılık sağlar. Aşağıdaki şekil eş zamanlı cebirsel bir denklem çifti için yapılan iki düzenlemeyi göstermektedir. a da gösterilen şekildeki bir bilgi akışı b dekinden daha kararsızdır. Çünkü herbir deneme değeri bunu takip eden değişkenin hesaplanması için daha yüksek bir üsse yükselmektedir. a b SORU: Bir akışkanın düzgün bir borudaki türbülent akışı için f ile Re arasındaki ilişki şöyledir. 1 f 0.4 1.74. ln Re. Re sayısının 10 4, 10 5 ve 10 6 değerleri için f i hesaplayınız. Burada, hesaplama yüksek üsse yöneltildiğinde yine kararlı çözüme ulaşılamaz. Hesaplamanın düşük üsse yöneltilmesi durumunda kararlı yakınsamanın elde edildiği görülür.
43 C*****WEGSTEIN YÖNTEMI ILE LINEER OLMAYAN DENKLEMLERIN CÖZÜMÜ OPEN(4,FILE='FRICIKTI',STATUS='OLD',ACCESS='SEQUENTIAL') DO 12 J=3,6 RE=1.0*(10**J) 100 FORMAT(/,'RE=',1E10.3) WRITE(*,100) RE WRITE(4,100) RE WRITE(*,7) WRITE(4,7) 7 FORMAT(' F HATA FC',/,'========', /' ======== ==========') NC=0 F=0.001 8 FC=(EXP((SQRT(1/F)+0.4)/1.74)/RE)**2. HATA=ABS((F-FC)/(F+FC)) WRITE(*,20) F,HATA,FC WRITE(4,20) F,HATA,FC 20 FORMAT(E8.3,4X,E8.3,4X,E11.3) CALL CONWEG(F,FC,1,NC) GO TO (12,8),NC 12 CONTINUE 10 STOP END RE= 0.100E+04 F HATA FC ====== ======== ========.100E-02.939E+00 0.318E-01.318E-01.405E+00 0.135E-01.203E-01.158E+00 0.148E-01.153E-01.113E-01 0.157E-01.156E-01.337E-03 0.156E-01 RE= 0.100E+05 F HATA FC ====== ======== ========.100E-02.831E+00 0.108E-01.108E-01.193E+00 0.732E-02.824E-02.385E-01 0.763E-02.769E-02.993E-03 0.771E-02 RE= 0.100E+06 F HATA FC ====== ======== ========.100E-02.687E+00 0.539E-02.539E-02.102E+00 0.439E-02.458E-02.111E-01 0.448E-02.449E-02.120E-03 0.449E-02 RE= 0.100E+07 F HATA FC ====== ======== ========.100E-02.526E+00 0.322E-02.322E-02.560E-01 0.288E-02.292E-02.334E-02 0.290E-02.290E-02.164E-04 0.290E-02
44 6. DÜZENSİZ FONKSİYON TÜRETİMİ (FUN1) Düzensiz bir fonksiyonun zıddı Y=e x veya Y=sinx gibi bir analitik fonksiyondur. Düzensiz fonksiyonlar bu şekilde kesin denklemlerle verilmezler. Fonksiyonel ilişki sadece tablo haline getirilmiş değerlerle veya bir eğri ile gösterilebilir. Regresyon yöntemleri ile fonksiyonu belirli bir hassasiyetle yüksek mertebeli bir denkleme uydurmak üzere katsayılar ayarlamak mümkündür. Ancak fonksiyonu bir seri koordinat noktası olarak tanımlayarak ve bir interpolasyon tekniği kullanılarak fonksiyonu doğrudan göstermek mümkündür. Bu yol fonksiyonun regresyon yöntemleri ile bir analitik ifadesinin çıkarılması gereğini ortadan kaldırır. Bu konuda tek sınırlama, giriş değişkeninin bütün değerleri için fonksiyonun tek bir değerinin olmasıdır. Sağlanan duyarlık kullanılan koordinat noktalarının sayısına bağlıdır. 9.4 10 5 y i 0 5 5 0 0.5 1 1.5 2 0 x i 1.6 Şekil 6.1 Tek boyutlu düzensiz veriler x i 0 0.1 0.2 0.4 0.7 0.9 1.3 1.6 y i 5 2.6 3.8 5.6 7.2 9.3 9.4 9.0
45