mol Akisa dik x y z A maddesi alan Adım 4: Molar denge eşitliğini matematiksel terimlerle ifade edelim;

Transkript

1 21 kontrol hacminin akışa dik kesit alanını gösterir. [] m 2 Denge bölgesinin hacmi V [] m 3 s m mol ] [ r m mole ] [ 3 3 dım 3: Kontrol diferensiel hacmi üerinde "" maddesinin molar denge eşitliğini aalım. { } { } miktarı mol biriken maddesi hacminde miktarı mol maddesi olusan/ harcanan hacminde alan dik kisa molar akisi deki,, maddesinin alan dik kisa molar akisi, deki, maddesinin dım 4: Molar denge eşitliğini matematiksel terimlerle ifade edelim; t r ve doğrultularındaki molar akı değişimlerinin doğrultusundakiler kadar önemli olmadığını ve ihmal edilebileceğini varsaalım. Bu takdirde, t r Denklemin iki tarafı diferansiel hacim bölüp, ve i sıfıra aklaştıralım. Sonsu küçük aman adımının limiti alınıp, belirli aman artışı t erine diferensiel aman elemanı konularak aşağıdaki kısmi diferansiel denklem elde edilir: t r Molar akının tanımı: v D Difüon akımından oluşan akı Yığın akımından oluşan akı Burada D, nın difüon katsaısı, v doğrultusundaki hıdır. Molar akı eşitliği molar kütle dengesine erleştirilirse, aşağıdaki ifade elde edilir: t r v D 2 2

2 22 Bu eşitlik bir dilimdeki nın eksenel doğrultudaki konsantrason dağılımını veren bir kararsı hal tek boutlu, ikinci mertebe kısmi diferansiel denklemdir. Yüksek akış hılı sistemlerde difüon nitelikli akı ihmal edilebilir. Bölece, v Durgun vea çok düşük akış hılı sistemlerde ığın akısı ihmal edilebilir. Bölece nın doğrultusundaki akısı aşağıdaki ifadee indirgenir. D Durum 2: Bir tık Toplama Tankının Modellenmesi Bir kimasal üretim tesisinin kirletici içeren atık suu son boşaltımdan önce hacmi V olan bir toplama tankında kirletici konsantrasonu ile orantılı bir hıla bounuor. Yoğunluk etkilerini ihmal ederek ve reaksionun birinci mertebe olduğunu varsaarak kirletici bileşen kütle dengesini aalım. Q o r -k V Q dım 1: Bir denge bölgesi seçelim: tüm reaktör ığın parametresi dım 2: Taşınım akımlarını belirtelim: Tankın içine molar akış ve tanktan dışarı molar akış dım 3: Denge eşitliğini sölü olarak aalım. bileşeninin molar dengesi için, nin V içine molar akisi nin V den disari molar akisi ± dım 4: Denge eşitliğini matematiksel terimlere çevirelim. F F F giriş giriş çikiş r k F çikiş Q Q o ± r V V t 1.mertebe reaksion için nin V hacmindeki nin V hacmindeki olusma / harcanma hii birikim hii Birimler: [] mol/m 3, V[]m 3, Q[]m 3 /s, F[]mol/s, k[]1/s, r[] mol/m 3 /s, t[]s

3 23 Molar akış erine konsantrason ve hacimsel akış hıı aılarak ve sonsu küçük aman adımının limiti alınıp, belirli aman artışı t erine diferensiel aman elemanı konularak aşağıdaki kısmi diferansiel denklem elde edilir: o Q Q k V dv dt Bu eşitlik sabit hacimli kararsı TKR ünün model denklemidir. Kararlı durumda çalıştırılan sürekli karıştırmalı tank TKR içindeki koşullar amanla değişmediği için: o Q Q k V 0 Kesikli bir reaktördeki daima kararsı reaksion sırasında ne içerie ne de dışarıa reaktan vea ürün akışı olmadığından: d dt k 5. EBİRSEL DEKLEMLERİ SYISL ÇÖZÜMÜ Bu bölümde kompleks cebirsel denklem sistemlerinin çöümü için dijital bilgisaarlarda kullanılan iteratif işlemlerin altındaki temel kurallar ele alınacaktır. Daha büük sistemler için programlama ükünü basitleştirmek üere alt programlar şeklinde derlenen bir takım basit fakat güçlü öntemler açıklanmıştır. Bunun amacı kima mühendisliği hesaplamalarında agın olan bir takım işleri apacak bir alt program kitaplığı kurmaktır. Günümüde, buna bener bir kısmı patentli bir kısmı serbest sistemler gitgide çoğalmaktadır. Bu sistemler, bilgisaar üreticilerinin ortaa koduğu baı paket programlara ek olarak endüstri şirketleri ve üniversiteler tarafından haırlanmaktadır. Bu tür sistemlerin varlığı, sistem modellemesi üerinde çalışanlara kendi programlarını apma olanağı sağlar. Programlamanın bu şekilde basitleştirilmesi ile programcı vea analici dikkati, sonuçların analii ve orumu gibi, problemin daha önemli önlerine oğunlaşabilir. Makro programların kullanılması, bilinen ve sık sık tekrarlanan kodlama işlemlerini ortadan kaldırır. ncak programcının olaların sırasını anlaması vea en aından kullanılan belli bir programın temel prensiplerini ve sınırlamalarını anlama ihtiacını ortadan kaldırma Doğrudan ve Dolalı Denklemler XB denkleminde ve B bilindiğinde X doğrudan olarak belirlenebilir. Yani X, ve B tarafından doğrudan tanımlanır.

4 24 X B denkleminde ve B bilinse bile birtakım işlemler apılmadan X doğrudan belirleneme. Bu anlamda 3 Y2 2 2 Y3 4 eşitlikleri de dolalı denklemlerdir. Bir takım denklemlerle açıklandıklarında pek çok fiiksel durumda lineer olmaan eş amanlı denklemler amak gerekir. Yani değişkenler dolalı olarak tanımlanır ve bu durumlarda bir çöüm elde etmede tek pratik öntem tam mükemmel olmamakla birlikte oldukça başarılı olan saısal öntemlerdir. Yukarıdaki denklemlerin çöümünde baı basit öntemler aşağıda verilmektedir. Bu gibi denklemler basit işlemlerle çöülebilir. Gerçekte çöüm göle görülebilecek kadar basit olabilir. ncak burada, iterasonla çöüme aklaşmada bir takım öntemleri göstermek için bu denklemler kullanılacaktır. Daha sonra doğrudan çöümü bulunmaan daha kompleks durumlarda bu öntemler kullanılabilir. En basit işlem doğrudan erine koma işlemidir. 1. X için bir değer verilir örneğin 3 2. İlk denklemde X erine 3 konularak Y bulunur. 3. İkinci adımda hesaplanan Y değeri 2. denklemde erine konarak X hesaplanır. 4. Bu eni X değeri ilk X değeri ile karşılaştırılır. Önceden belirlenen tolerans sınırı içinde değilse eni bir X değeri ile ikinci adıma dönülür adımdaki tolerans sınırına ulaşıldığında, diğer işlemlere devam edilir a sonuç aılır vea diğer hesaplamalara devam edilir şağıdaki şekil ukarıda belirtilen işlemleri bir bilgi akışı şeklinde göstermektedir Şekil 5.1 Yerine koma öntemindeki bilgi akışı

5 25 Bu işlemi gerçekleştirecek basit bir FORTR programında kullanılacak deimler aşağıdaki gibi olabilir. *****BSLGI BÖLÜMÜ 101 FORMTF10.5,1X,F10.5,F10.5 OPE4,FILE'KÖKIKTI',STTUS'OLD',ESS'SEQUETIL' WRITE*,102 WRITE 4, FORMT5X, 'X Y X',/,2X,'', /' ' *****HESPLM BÖLÜMÜ X3 6 Y2.-2.*X/3 X4.-2*Y/3 IFBSX-X/X.LT GO TO 5 *****YZDIRM WRITE*,101 X,Y,X WRITE4,101 X,Y,X XX GO TO 6 5 STOP ED şağıdaki tablo her bir çevrimde kabul edilen ve hesaplanan saısal değerleri göstermektedir. Çevrim X Y X Burada görüldüğü gibi X ve Y değerleri son ve değerlerine on beş çevrimde aklaşmaktadır. Bu çevrimlerin grafik gösterimi aşağıda verilmektedir. 0 0 i 0.4 j 0.8 j , i j 3.2 Şekil 5.2 Yerine koma önteminde kabul edilen ve hesaplanan saısal değerler

6 26 Yukarıdaki cebirsel çöüm aklaşımı önteminde her X deneme değeri için bir hesap değerinin ortaa çıkmasıdır X. Bu işlemin amacı bu iki değer arasındaki farkın tolerans sınırının altına düşürülmesidir. Çoğunlukla bu fark değişkenin kendisinin kesri olarak ifade edilir. Pek çok durumda % 0.01 'lik bir tolerans eterli olmakla birlikte gerektiğinde değiştirilebilir. Karmaşık durumlarda modelde er alan eşitlikler lineer değildir ve X ile X arasında çok saıda eşitlik olabilir. Bu durum X fx ifadesi ile belirtilebilir. Burada f X bir dii doğrudan denklem olabilir. Yf1 X Zf2 Y Xf3 Z Buna göre hesaplama sırası aşağıdaki şekildedir. vea en genel şeklile, X e karşı X grafiği çiilirse aşağıdaki gibi bir eğri bulunur. diagonal X X i karşılaan bütün değerleri gösterir. Bu nedenle fx eğrisinin diagonali kesim noktası XfX durumunu gösteren çöüm noktasıdır. Bu diagram birtakım tipik fonksionları göstermede ve doğrudan erine koma öntemi için çöüme ulamada doğruluk derecesini belirlemede kullanılabilir. 1. Durum: Yeterli akınsama, aşağıdaki şekil tatmin edici bir sonucun nispeten a birkaç çevrimle elde edilebildiği tipik bir hali gösterir.

7 27 2. Durum: Yavaş akınsama, bu durumda çöümü bulmak için pek çok çevrim gerekir. 3. Durum: Salınımlı kararsılık bu durumda X değeri doğru çöümün iki tarafında iki değer X 1,X 2 arasında gidip gelmee devam eder. 4. Durum: Gitgide ıraksamalı kararsılık, X değerinin, doğrudan erine koma öntemile çöüm noktasından uaklaştığı durumdur.

8 28 5. Durum: Salınımlı ıraksamalı kararsılık, bu durumda hem hem de c bir ortalama değerin etrafında çöüm noktasından sapmaların gitgide büüdüğü bir tarda çöümden uaklaşma vardır. ukarıdaki durumların gösterdiği gibi, doğrudan erine koma öntemi basit olmakla birlikte, sadece 1. durum gibi ii davranışlı hallerde doğru sonuç verir. Fakat 2.,3.,4. ve 5 durum gibi daha karmaşık hallerde etersi vea başarısıdır. Bunun erine doğrudan erine koma önteminin değiştirilmiş bir şekli kullanılır. Kısmen Yerine Koma Yöntemi Bu öntem baen 3. durumdaki gibi salınımlı kararsılık gösteren hallerde kullanılır. Esas olarak eski deneme değeri ile elde edilen hesaplanan değer arasında bir değer verilmesi olula erine getirilir. Bunun formülü, XX0 X - X0.R şeklindedir. burada Xo eski deneme değerini X eni değeri gösterir. R oranı programcı tarafından kararlı akınsama sağlamak üere aarlanabilir. örneğin R0,5 Xo la X nin ortalama değerinin eni deneme değeri olduğunu belirtir. R1 doğrudan erine komaı gösterir. R nin küçültülmesi çöümüne aklaşmada kararlılığı artırır. Bu öntem salınımlı ıraksamalı kararsılık durumunda da etkilidir. ncak bu kısmen erine koma öntemi 2. durumda gösterilen avaş akınsama halinde daha kötüdür ve

9 29 gitgide ıraksamalı kararsılık halinde de ararsıdır. Bununla birlikte öel durumlarda kullanışlı olduğu için öntemi içine alan bir alt program aşağıda verilmektedir. SUBROUTIE PSX,X,R, 2 IFBSX-X/XX.LT XXX-X*R RETUR ED Burada X deneme değerini X hesaplanan değeri, R kısmen erine koma oranını, ise akınsama indisini gösterir. Bu alt programın nasıl kullandığına örnek olarak aşağıdaki denklemde X i bulalım. X5.Y X 0,8 0,36 Y değeri programda başka erde verilsin. Bu denklemin çöümü için alt programa giriş ve çıkışı da içeren aşağıda verilen bilgi akışına ugun bir FORTR programı kullanılabilir. Şekil 5.3 Kısmi erine koma öntemindeki bilgi akışı *****PS LTPROGRMI ILE EBIRSEL DEKLEMLERI ÇÖZÜMÜ *****BSLGI BÖLÜMÜ 101 FORMTF10.5,1X,F10.5 OPE4,FILE'KÖK1IKTI',STTUS'OLD',ESS'SEQUETIL' WRITE*,102 WRITE4, FORMT5X, 'X X',/,2X,' ' *****HESPLM BÖLÜMÜ X5 Y3

10 30 6 X5.*Y**23.*SQRTX-8.*X**0.8**0.36 *****YZDIRM WRITE*,101 X,X WRITE4,101 X,X LL PSX,X,0.5, IF.E.1 GO TO 6 STOP ED Yukarıdaki programın değişik R değerleri için çalıştırılmasıla elde edilen sonuçlar aşağıda verilmektedir. R1,0 X X R0.5 X X Kısmi erine koma önteminin tek avantajı programcıa çöüme ulaşma sürerken erine koma oranı R i aarlamak suretile, elle müdahale etme fırsatını sağlamasıdır. Salınımlı kararsılık gösteren hallerde bu çok kullanışlıdır. Bununla birlikte akınsamaı bilinen bütün durumlar için gerçekleştirmee araacak daha genel bir öntem gerekir. Bu öntemler içinde burada sadece Wegstein ve ewton-raphson öntemleri ele alınacaktır.