LİMİT I. TANIM:, a yakınındaki değerleri için tanımlı bir onksiyon olsun. Alınan ε> sayısına karşılık -L < ε olacak şekilde -a < δ koşulunu sağlayan δ > sayısı bulunabiliyorsa ;, a ya yaklaşırken, L ye yaklaşır denir. = L yazılır. a II. TANIM: Terimleri A-{a} kümesinde bulunan ve a sayısına yakınsayan her n dizisi için elde edilen n dizileri aynı bir L sayısına yakınsıyorsa, bu L sayısına, a ya yaklaştığında in iti denir. III. TANIM: i a nın yeterince küçük bir komşuluğu içinde aldığımızda, in olabildiğince yaklaşabileceği sayıya, a ya giderken in iti denir. a, c R için; c c dir. a dır. a a g a a g a c c a a g a a g a a g a g g a a n n a a
9.. = a n n + a n- n- + + a + a şeklindeki polinom onksiyonlar için ; a a dır. a R 6 6 6 6 6 Q P şeklindeki Rasyonel onksiyonlar için; a tanım kümesinin bir elemanı ise a a dır.?
6?? 6 6 6 6 6?? t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t
9 9 g b ve b, in tanım kümesinde ise ; a a g g dir. a n N ve a, tanım kümesinde ise ; n için : n n a dır. a a n a g n g a dir. t t t t t t 6 8
8 h g ve L h g a a ise; L a dir.? sin sin için sin g ve h dersek h g h g olduğundan ; sin dır.
9 cos sin dir. sin dir.. sin sin sin sin sin cos sin sin sin sin 99 99 sin 99 99 sin 99 99 sin 99 sin 99. cos sin tan. tan tan
sin sin 6 sin sin 6 sin sin 6 6 6 sin 6 sin 6 6 sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin tan8 tan tan8 tan tan8 8 8 tan 8 tan8 8 tan L a a a L = ; ; >? 8 YOK
= 6 -+ ; < - - - ;? 6 6 YOK - ; = - ; - < - ; >?? 8 YOK 6 YOK a R için ; a dır. a
a a a a a a a a a a a a a, a a a, a BELİRSİZ BELİRSİZ. BELİRSİZ BELİRSİZ
6? YOK 6 6 t t 6 t t t 6 t sin YOK = ; ; >? YOK
6 6 6 8 6 m b ma b a ve, a nın çıkartılmış komşuluğunda sınırlı bir onksiyon g = iken ; a.g = dır. a.sin = dır.
sin =, tan = Eğer = L ve g, L de sürekli ise a g[] = gl dir. a cossin = =, n n = ; n çit - ; n tek n = n m =, m n =, m çit -, m,n tek L L L L L L
cos + = = sin a > olmak üzere ; a b c a b a dır.,, BELİRSİZDİR. 8. 8 olduğundan; 8 6 6 8 6
[] g = c a = A a ve şeklindeki iadelerde; g = B ise ; c=a B dir. a = ve a g = ise ; a p= koşulu ile =+p değişkeni kullanılarak a c= [ ]. g p a p p. g e [] g = e g.ln = e L a a dir. = e.ln = e = = e e ln = e ln e = t = e t t t. r p. p. e r. t a ln a, e ln
SÜREKLİLİK:, =a da tanımlı, = a ise a iti var ve a, =a da süreklidir denir. =, ise, = ise onksiyonu ; olduğundan = için sürekli, olduğundan = için sürekli değildir. - sin ; < ise = a sin + b ; ise onksiyonu cos ; > ise R için sürekli ise a=? ve b=? ÇÖZÜM: = a.sin +b=-a+b -.sin = a.sin + b = -a+b -a+b = = a.sin +b=a+b a.sin + b = a+b cos = a+b = ve den a=- ve b= bulunur. 8
???????? -? YOK?? -? -??? - - YOK - YOK? -?? -?? -??????? /? 9
Aşağıdaki itleri varsa bulunuz?? - < a < için? a a > için? a?! n n n? ln? k? cos?? 9 9??????? sin??? e? 8? 8?? 9?
?? YANITLAR : -6/ 6 YOK 8 6 e k 9 / 8 - -/6 + 9-6 -/6 / -/ / 6 -/ / Yukarıda graikleri verilen ve g onksiyonları için aşağıdaki it değerlerini varsa bulunuz?.????.????.????. g? g? g? g?. g? g? g? g?
6.??. g? 8. g? g? g?. g? YANITLAR: ; ; ; ; ; ; ; ; YOK ; ; ; ; ; ; YOK ; 6 ; ; 8 ; YOK ; ALIŞTIRMALAR:. Yukarıda graiği verilen ve g onksiyonları in hangi değerleri için sürekli değildir?. = - ; = için ; için onksiyonu = de sürekidir? ; içn. = ; = için onksiyonu = da sürekidir?
; için. = ; > için ; = için onksiyonu = de sürekidir?. onksiyonu için ; =, = +6 ve + = ++ ise 6 =?? 6. = +6+ onksiyonu için ; YANITLAR: onksiyonu =- ve = de g onksiyonu = ve = de SÜREKLĠDĠR. DEĞĠLDĠR. DEĞĠLDĠR. 6 6? Aşağıdaki LİMİT değerlerini bulunuz:... 8 8
. 8. 6.. 8. sin 9. cos cos.... tan
. ; < - ise ; - < ise = ; = ise + ; < ise ; > ise onksiyonu için ; _ değerlerini bulunuz.,. a + b ; > ise = ; = ise b a ; < ise onksiyonunun = noktasında sürekli olması için a ve b kaç olmalıdır?
6 ÇÖZÜMLER :. 8 = 8 8... =... 8 =.. 8 8. 9 9 9. 8 = 8 8... = 6 6. = 9. 9 9. 9 9
. = 8. sin = sin tür. sinh sin. sin. h h 9. cos cos = cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos o. =. =
. = ÇÜNKÜ : BULUNAMAZ... dur. tan. = h dersek ; tanh tanh tan tanh. h h h h tanh.tan h h. ; < - ise ; - < ise = ; = ise + ; < ise ; > ise onksiyonu için ; _ değerlerini bulunuz. _ BULUNAM AZ, 8
9 BULUNAM AZ _ 9 9,,, Fonksiyonun graiği aşağıdadır. Bulunan it değerleri graikten de görülebilir.
. a + b ; > ise = ; = ise b a ; < ise onksiyonunun = noktasında sürekli olması için a ve b kaç olmalıdır? a b a b b a b a = de sürekli olması için olmalıdır. a + b = b - a = denklem sisteminden a ve b bulunur. NOT:. Sorudaki onksiyon ; =-, = ve = noktalarında sürekli DEĞĠLDĠR. 6
Aşağıdaki LİMİT değerlerini bulunuz...... 6.. 8. 9.. 6
... 9. 9. 6 log 6 6. arccos. e e 8. 9. 6
ÇÖZÜMLER :... UYARI : dır..... 6. lm. UYARI : 6 ve. sorularda pay ve paydanın dereceleri eşit olduğundan it değeri ; En büyük dereceli terimlerin katsayıları oranıdır. 6
6 8. 9.... UYARI : a b a dır. m
6. 9 9 9 9. 9 9 9 9. log log 6 6 log log 6 6 6 6 log 6. arccos = arccos 6 arccos arccos arccos.. e e UYARI : e e e e e
8. 9.. 9. 9 Aşağıdaki onksiyonların verilen noktalarda SÜREKLİ olup olmadıklarını belirtiniz?. =. ; =. ; = ; = ; =. ; =- - ; 66
. ; =- ; < - 6. =. 8. 9. = = ; < =. + ; > ; = ; =. ; = - ; =. ; ; > = ; = 6
. ; = - ; =. =. 6. = + ; =- - ; =-. ; = ; = 8. ; > = -, ; 9. =-. ; = ; < 68
. =. sin ; = ; =. cos =. tan =. sin cos ; > = ; 6. arctan ; > = ;. sin ; = 8. ; = sin ; = ; = 69
9. e ; = e ; <. ; > e ln = e ; e. e ln =. e e =. e ; =-. e ; =- e ; = ; =. ln ln ; > = ;
6. lnln =. e ln ; > e ; < = ; = Aşağıdaki it değerlerini bulunuz : 6..6 8. 6. 8. 8 6. 6.. cos sin sin 8.
ÇÖZÜMLER: Aşağıdaki onksiyonların verilen noktalarda SÜREKLİ olup olmadıklarını belirtiniz?. = = R tanımlı değildir. Sürekli değildir.. ; = ; = belirsizliği var. = Süreklidir.. ; = ; = * bulunamaz. Sürekli değildir.
. ; =- - ; bulunamaz. Sürekli değildir.. ; =- ; < - bulunamaz. Sürekli değildir. 6. = Tanımlı değil. payda oluyor. Sürekli değildir.. = Süreklidir. 8. = Süreklidir.
9. ; < = + ; > Tanımlı değil. Sürekli değildir.. ; = ; =, Sürekli değildir. bulunamaz.. ; = - ; =. Sürekli değildir. ; ; > = ; =, Sürekli değildir.
. ; = - ; = belirsizliği var. Süreklidir.. = Süreklidir.. 6. = Süreklidir. + ; =- - ; =- Sürekli değildir.. ; = ; = belirsizliği var. Süreklidir.
8. ; > = -, ;,, YOK. Sürekli değildir. 9. =- Süreklidir.. ; = ; <, Soldan ve sağdan itleri eşit değil. Limit yok. Sürekli değildir.. = Tanımlı değil. Sürekli değildir.. sin ; = ; = sin bulunamaz. Sürekli değildir. 6
cos = Süreklidir... tan = Tanımlı değil. Sürekli değildir.. sin cos ; > = ; Süreklidir. 6. arctan ; > = ; Süreklidir.. sin ; = ; = Sürekli değildir. 8. sin ; = Süreklidir. ; =
9. e ; = Süreklidir. e ; <. ; > e ln = e ; e Soldan ve sağdan itler eşit değil. Limit yok. Sürekli değildir.. e ln = tanımlı değil. Sürekli değildir.. Süreklidir. e e =. e ; =- e ; =- Soldan ve sağdan itleri eşit değil. Limit yok. Sürekli değildir.. e ; = ; = Soldan ve sağdan itleri eşit değil. Limit yok. Sürekli değildir. 8
. ln ln ; > = ; soldan ve sağdan itleri eşit değil. Limit yok. Sürekli değildir. 6. lnln = tanımlı değil. Sürekli değildir.. e ln ; > e ; < = ; = Sürekli değildir. 9
Aşağıdaki it değerlerini bulunuz : 6..6 8. 6. 8. 8 6 6-8 / 6. 6.. cos sin - sin 8. 8