T.C. NEVŞEHİR HACI BEKTAŞ VELİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ESNEK ÇOKLU TOPOLOJİK UZAYLARDA SÜREKLİ FONKSİYONLAR. Tezi Hazırlayan Yaşar ÜÇOK

T.C. NEVŞEHİR HACI BEKTAŞ VELİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ESNEK ÇOKLU TOPOLOJİK UZAYLARDA SÜREKLİ FONKSİYONLAR Tezi Hazırlayan Yaşar ÜÇOK Tez Danışmanı Yrd. Doç. Dr. Deniz TOKAT Matematik Anabilim Dalı Yüksek Lisans Tezi Haziran 2015 NEVŞEHİR

TEŞEKKÜR Yüksek lisans öğrenimim süresince gerek ders dönemindeki yalın ve anlaşılır tarzı ile topoloji dersini sevmemi sağlayan, gerekse tez dönemindeki cesaretlendirici tutumu ile tezi bitirmem noktasında büyük emekleri olan Yrd. Doç. Dr. Deniz Tokat a, Tez döneminin başından sonuna kadar bana evinin, gönlünün ve zihninin kapılarını ardına kadar açan kardeşim İsmail Osmanoğlu na, Hayatın müşterek yükünü yüksek lisans eğitimimi bitirebilmem için tek başına göğüsleyen değerli eşim Ülkü Üçok a sonsuz teşekkürlerimi sunarım. iii

ESNEK ÇOKLU TOPOLOJİK UZAYLARDA SÜREKLİ FONKSİYONLAR (Yüksek Lisans Tezi) Yaşar ÜÇOK NEVŞEHİR HACI BEKTAŞ VELİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ Haziran 2015 ÖZET Bu tezin amacı, esnek çoklu topolojik uzaylar arasında esnek çoklu sürekli fonksiyon ve esnek çoklu yarı sürekli fonksiyon kavramlarını incelemektir. Çalışmada ilk olarak; esnek küme, çoklu küme, esnek çoklu küme teorileri ve ayrıca esnek çoklu fonksiyonlar ile ilgili temel tanım ve teoremler verilmiştir. İkinci olarak; esnek çoklu topolojik uzay hatırlatılarak, esnek çoklu yarı açık küme ve esnek çoklu yarı kapalı küme kavramları tanımlanmıştır. Ayrıca tanımlanan bu kavramların bazı özellikleri incelenmiştir. Son olarak, esnek çoklu sürekli fonksiyon ve esnek çoklu yarı sürekli fonksiyon tanımlanarak, bu kavramlarla ilgili bazı teoremler incelenmiştir. Anahtar kelimeler: Esnek çoklu küme, esnek çoklu fonksiyon, esnek çoklu topoloji, esnek çoklu yarı açık küme, esnek çoklu sürekli fonksiyon, esnek çoklu yarı sürekli fonksiyon. Tez Danışman: Yrd. Doç. Dr. Deniz TOKAT Sayfa Adeti: 64 iv

CONTINUOUS FUNCTIONS ON SOFT MULTI TOPOLOGICAL SPACES (M. Sc. Thesis) Yaşar ÜÇOK NEVSEHIR HACI BEKTAS VELI UNIVERSITY GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES June 2015 ABSTRACT The purpose of this thesis is to investigate the notions of soft multi continuous function and soft multi semi continuous function between soft multi topological spaces. In this work firstly, theories of soft set, multi set and soft multi set and also soft multi function with the basic definitions and theorems are given. Secondly, after reminding the soft multi topological space, the concepts of soft multi semi open set and soft multi semi closed set are defined. In addition, some properties of these concepts were examined. Finally, after defining the structures of soft multi continuous function and soft multi semi continuous function, the theories related with these concepts were examined. Keywords: Soft multi set, soft multi function, soft multi topology, soft multi semi open set, soft multi continuous function, soft multi semi continuous function. Thesis Supervisor: Asst. Prof. Dr. Deniz TOKAT Page Number: 64 v

İÇİNDEKİLER KABUL VE ONAY SAYFASI... i TEZ BİLDİRİM SAYFASI... ii TEŞEKKÜR... iii ÖZET... iv ABSTRACT... v İÇİNDEKİLER... vi SİMGE VE KISALTMALAR LİSTESİ... viii 1. BÖLÜM GİRİŞ... 1 2. BÖLÜM TEMEL TANIM VE TEOREMLER... 3 2.1. Esnek Kümeler... 3 2.2. Çoklu Kümeler... 4 2.3. Esnek Çoklu Kümeler... 6 2.4. Esnek Çoklu Fonksiyon... 11 3. BÖLÜM ESNEK ÇOKLU TOPOLOJİK UZAY... 17 3.1. Esnek Çoklu Topoloji... 17 3.2. Esnek Çoklu Yarı Açık ve Esnek Çoklu Yarı Kapalı Kümeler... 22 4. BÖLÜM ESNEK ÇOKLU TOPOLOJİK UZAYLARDA SÜREKLİ VE YARI SÜREKLİ FONKSİYONLAR... 31 4.1. Esnek Çoklu Sürekli Fonksiyonlar... 31 vi

4.2. Esnek Çoklu Yarı Sürekli Fonksiyonlar... 40 5. BÖLÜM TARTIŞMA, SONUÇ VE ÖNERİLER... 51 KAYNAKLAR... 52 ÖZGEÇMİŞ... 55 vii

SİMGELER VE KISALTMALAR LİSTESİ U E P(U) C M (x) M * [X] m (F,A) (F,A) (G,B) (F,A) (G,B) (F,A) (G,B) U Φ X E (F,A) c x e f=(φ,ψ) f -1 Evrensel küme Parametreler kümesi U kümesinin kuvvet kümesi M çoklu kümesinde x elemanının tekrar sayısı M çoklu kümesinin destek kümesi Çoklu küme uzayı Esnek çoklu küme (F,A), (G,B) nin esnek çoklu alt kümesi (F,A) ve (G,B) esnek çoklu kümelerinin birleşimi (F,A) ve (G,B) esnek çoklu kümelerinin kesişimi Mutlak esnek çoklu küme Boş esnek çoklu küme X üzerinde E ile tanımlanan bütün esnek çoklu kümelerin kümesi (F,A) esnek çoklu kümesinin tümleyeni Esnek çoklu nokta Esnek çoklu aitlik Esnek çoklu fonksiyon f esnek çoklu fonksiyonunun tersi (X E,τ) Esnek çoklu topolojik uzay τ 1 τ 2 τ σ Esnek çoklu ayrık olmayan topoloji Esnek çoklu ayrık topoloji τ, σ esnek çoklu topolojisinden daha kaba viii

(F, A) (F,A) (F,A) - (F,A) o (F,A) esnek çoklu kümesinin kapanışı (F,A) esnek çoklu kümesinin içi (F,A) esnek çoklu kümesinin yarı kapanışı (F,A) esnek çoklu kümesinin yarı içi ix

1. BÖLÜM GİRİŞ Klasik matematiksel yöntemler, günlük hayatın sorunlarını çözmek ve yeni gereksinimleri karşılamak için yeterli değildir. Çünkü belirsizlik içeren problemlerin matematiksel olarak modellenmesi oldukça güçtür. Bu amaçla her geçen gün yeni teoriler ortaya atılmaktadır. Bu teorilerden bazıları bulanık küme [25], kaba küme [17], esnek küme [12] ve çoklu küme [24] gibi teorilerdir. Bu teorilerin karar verme problemleri, bilgi sistemleri, Optimizasyon teorisi ve matematiksel analiz gibi belirsizlik içeren birçok alanda ve ayrıca matematiğin topoloji alanında birçok uygulamaları vardır. Bulanık kümeler üzerinde topolojik yapı ilk olarak Chang [5] tarafından verildi. Lowen [11] ise bulanık topolojik uzayları geliştirerek, bulanık kompaktlık kavramı tanımlamıştır. Daha sonra Shabir ve Naz [19] esnek kümelerin topolojik yapılarını ve bu uzaylardaki ayırma aksiyomlarını çalışmışlardır. Çağman ve ark. [3] ile verilen referansta eş zamanlı olarak esnek topoloji tanımını ve bazı özelliklerini incelemişlerdir. Zorlutuna ve ark. [26] esnek iç nokta ve esnek komşuluk yapılarını incelemişlerdir. Esnek kümeler üzerindeki topolojik yapıların süreklilik, taban ve kompaktlık gibi temel kavramlar Aygünoğlu ve Aygün [1] tarafından incelenmiştir. Varol ve Aygün [23] esnek topoloji üzerinde Hausdorff uzayını tanımlamışlardır. Tanay ve Kandemir [20] bulanık esnek topolojik uzay ve bazı sonuçlarını ortaya koymuşlardır. Varol ve Aygün [22] bulanık esnek topolojik uzaylarda bulanık esnek sürekli fonksiyon kavramını tanımlamış ve bazı temel özelliklerini incelemişlerdir. Bilindiği gibi klasik küme teorisinde kümenin elemanlarının tekrarına izin verilmez. Ancak bazı durumlarda elemanların tekrarı kullanışlı olabilmektedir. Bir kümenin elemanlarının tekrarına izin verilmesi durumunda ortaya çıkan kümeye çoklu küme denir. Çoklu küme teorisi, Cerf ve ark. [4] tarafından ortaya konulmuştur. Çoklu kümeler güncel hayatta bilgisayar bilimleri, tıp, bankacılık, mühendislik, bilgi depolama ve bilgi analizi gibi birçok alanda kullanılabilmektedir. Peterson [18] ve Yager [24] çoklu küme teorisinin ilerlemesine katkı sağlamışlardır. Bu yazarlar, bulanık çoklu kümeler kavramını ortaya koymuşlardır. Bu ilerleme Jena ve ark. [8] tarafından 1

sürdürülmüştür. Girish ve John [6] çoklu küme bağıntılarını kullanarak çoklu kümeler üzerinde topoloji ve bazı topolojik yapıların tanımlarını vermişlerdir. Bu çalışmanın devamı olarak, Girish ve John [7] esnek topolojinin birçok yapısını incelemişlerdir. Esnek küme ve çoklu küme kavramlarını birleştirerek esnek çoklu küme kavramı ilk olarak Babitha ve John [2] tarafından tanımlanmıştır. Ayrıca Tokat ve Osmanoğlu [21] yeni ve daha genel bir esnek çoklu küme tanımı vermişlerdir. Bu yazarlar [15,16,21] bu kümeler üzerinde topoloji yapısını ve bu topolojinin birçok özelliğini incelemişlerdir. Bu çalışmanın temel amacı esnek çoklu topolojik uzay kavramı üzerindeki çalışmaları daha ileriye taşımaktır. Bunun için ilk olarak Levine [10] tarafından tanımlanan yarı açık (yarı kapalı) küme kavramı ve esnek çoklu kümeler kullanılarak bu uzayda esnek çoklu yarı açık ve esnek çoklu yarı kapalı küme kavramları tanımlandı. Bu kavramlar hakkında birçok teorem elde edildi. Daha sonra Osmanoğlu ve Tokat [15] tarafından verilen esnek çoklu fonksiyon yapısı kullanılarak esnek çoklu sürekli fonksiyon yapısı elde edildi. Son olarak esnek çoklu yarı açık (yarı kapalı) kümeleri kullanarak esnek çoklu yarı sürekli fonksiyon ve bazı temel teoremleri incelendi. 2

2. BÖLÜM TEMEL TANIM VE TEOREMLER Bu bölümde, esnek küme, çoklu küme ve esnek çoklu küme kavramları ile birlikte esnek çoklu fonksiyonlar tanıtılmıştır. 2.1. Esnek Kümeler Bu bölümde Molodtsov [12] tarafından aşağıdaki gibi tanımlanan esnek küme kavramını verildi. Tanım 2.1.1 [12] U evrensel küme ve E parametrelerin bir kümesi olsun. P(U), U nun kuvvet kümesini ve A, E nin boştan farklı bir alt kümesini göstersin. F:A P(U) şeklinde bir dönüşüm olmak üzere (F, A) sıralı ikilisi U üzerinde bir esnek küme olarak adlandırılır. Bir başka deyişle, U üzerinde bir esnek küme, U evrensel kümesinin alt kümelerini parametrize edilmiş bir ailesidir. ε A için F(ε), (F, A) esnek kümesinin ε-yaklaşık elemanlarının kümesi olarak düşünülebilir. Esnek bir kümenin küme olmadığı açıktır. Örnek 2.1.2 [12] U, göz önüne alınan şartlar altındaki evlerin kümesi ve E, parametrelerin kümesi olsun. Her bir parametre bir kelime ya da cümledir. E={pahalı, güzel, ahşap, ucuz, bahçeli, modern, iyi durumda, kötü durumda} Bu durumda bir esnek küme tanımlamak, pahalı evler, güzel evler ve diğerlerini belirtmek anlamına gelir. (F, A) esnek kümesi X kişisinin satın alacağı "evlerin çekiciliği" ni belirtiyor. Kabul edelim ki, U = {h 1,h 2,h 3,h 4,h 5,h 6 } ile verilen U evreninde 6 ev olsun ve e 1 ʻpahalıʼ parametresini, e 2 ʻgüzelʼ parametresini, e 3 ʻahşapʼ parametresini, e 4 ʻucuzʼ parametresini, e 5 ʻbahçeliʼ parametresini göstermek üzere, E = {e 1,e 2,e 3,e 4,e 5 } şeklinde verilsin. Kabul edelim ki, F(e 1 )= {h 2,h 4 }, F(e 2 )= {h 1,h 3 }, F(e 3 ) = {h 3,h 4,h 5 }, F(e 4 ) = {h 1,h 3,h 5 } ve F(e 5 ) = {h 1 } olsun. (F,A) esnek kümesi U kümesinin alt kümelerinin {F(e i ), i = 1, 2, 3,..., 5} parametrize edilmiş bir ailesidir ve bir nesnenin yaklaşık tanımlarının bir koleksiyonunu verir. 3

Bu nedenle, (F,A) esnek kümesi aşağıdaki gibi yaklaşımların bir koleksiyonu olarak gösterilebilir: (F,A) = {F(e 1 ), F(e 2 ), F(e 3 ), F(e 4 ), F(e 5 )} = {h 2,h 4 }, {h 1,h 3 }, {h 3,h 4,h 5 }, {h 1,h 3,h 5 }, {h 1 }. 2.2. Çoklu Kümeler Bu bölümde Cerf ve ark. [4] tarafından tanımlanan çoklu küme kavramı tanıtıldı. Bu konu ile ilgili bilgiler için [6], [8], [18] ve [24] verilen çalışmalara bakılabilir. Tanım 2.2.1 [8] X kümesinden alınan bir M çoklu kümesi (multiset) C M :X N fonksiyonu ile temsil edilir. X={x₁,x₂,...,x n } kümesinde bir M çoklu kümesi M={k₁/x₁,k₂/x₂,...,k n /x n } şeklinde gösterilir. Burada k i, x i nin tekrar sayısıdır (1 i n). Bu x i k im şeklinde gösterilir. C M (x), M çoklu kümesindeki x in tekrar sayısını gösterir. Ancak M çoklu kümesinin elemanı olmayan elemanlar için sıfır olarak yazılır. Yani x X, için C M (x)=0 dır. Tanım 2.2.2 [8] Her x X için C M (x)=0 ya da 1 ise M çoklu kümesi bir kümedir. Örnek 2.2.3 [14] X={a,b,c} kümesinden alınan bir M çoklu kümesi M={3/a,2/b,5/c}={a,a,a,b,b,c,c,c,c,c} şeklinde verilsin. Burada C M (a)=3, C M (b)=2, C M (c)=5 dir. Tanım 2.2.4 [8] M ve N, X kümesinden alınan iki çoklu küme olsun. O halde aşağıdaki tanımlar verilebilir. Her x X için i) C M (x) = C N (x) ise M = N dir. ii) C M (x) C N (x) ise M N dir. iii) C P (x) = max{c M (x),c N (x)} ise P = M N dir. iv) C P (x) = min{c M (x),c N (x)} ise P = M N dir. v) C P (x) = C M (x)+c N (x) ise P = M N dir. Burada M N, M ile N çoklu kümelerinin toplamıdır. 4

vi) C P (x) = max{c M (x) - C N (x),0} ise P = M N dir. Burada M N, M ile N çoklu kümelerinin farkıdır. Tanım 2.2.5 [6] M * ={x X :C M (x)>0} şeklinde tanımlanan kümeye M çoklu kümesinin destek kümesi denir. Burada M * alışılmış kümedir ve X in bir alt kümesidir. Tanım 2.2.6 [8] Her x X için C M (x)=0 ise M çoklu kümesine boş çoklu küme denir. Tanım 2.2.7 [8] [X] m çoklu küme uzayı, elemanlarının hiç biri m den daha fazla tekrar etmeyen X çoklu kümelerinin kümesidir. [X], X üzerinde tanımlı bütün çoklu kümelerin uzayıdır ve bu çoklu kümelerin elemanlarının tekrar sayısı sınırsızdır. X={x₁,x₂,x₃,,x k } ise [X] m ={{m₁/x₁,m₂/x₂,...,m k /x k } i=1,2,...,k için m i {0,1,2,...,m}} dir. Örnek 2.2.8 [14] X={a,b} ise [X]² = {{1/a,1/b},{1/a,2/b},{2/a,1/b},{2/a,2/b},{1/a},{2/a},{1/b},{2/b}, } dir. Tanım 2.2.9 [8] X bir destek küme ve [X] m, X üzerinde tanımlı bir çoklu küme uzayı olsun. Herhangi bir M [X] m çoklu kümesinin tümleyeni M c, [X] m uzayının elemanıdır öyle ki her x X için C M c(x) = m-c M (x) dir. Örnek 2.2.10 [14] [X]² için A={2/a,1/b} olsun. A c ={1/b} olur. Tanım 2.2.11 [6] N, M nin bir çoklu alt kümesi olsun. Her x N için C N (x)=c M (x) ise N ye M nin çoklu tam alt kümesi denir. Örnek 2.2.12 [14] M={2/x,3/y,5/z} bir çoklu küme olsun. {2/x,3/y}, {3/y,5/z}, {2/x,5/z} çoklu alt kümeleri M çoklu kümesinin çoklu tam alt kümesidir. Tanım 2.2.13 [6] M [X] m olsun. M nin çoklu kuvvet kümesi P(M) şeklinde gösterilir ve M nin bütün çoklu alt kümelerinin kümesidir. Örnek 2.2.14 [6] M={2/x,3/y} bir çoklu küme olsun. M nin çoklu kuvvet kümesi 5

P(M)={3/{2/x,1/y},3/{2/x,2/y},6/{1/x,1/y},6/{1/x,2/y},2/{1/x,3/y},1/{2/x},1/{3/y}, 2/{1/x},3/{1/y},3/{2/y},M, } dır. P(M) nin çoklu destek kümesi P * (M)={{2/x,1/y},{2/x,2/y},{1/x,1/y},{1/x,2/y},{1/x,3/y},{2/x}, {3/y},{1/x},{1/y}, {2/y},M, } dır. 2.3. Esnek Çoklu Kümeler Bu bölümde Tokat ve Osmanoğlu [16, 21] tarafından tanımlanan, esnek ve çoklu kümelerin birleştirilmesiyle elde edilen esnek çoklu küme kavramı tanıtıldı. Ayrıca bu kümenin bazı matematiksel özellikleri verildi. Tanım 2.3.1 [21] U bir çoklu küme evrenseli, E parametrelerin kümesi ve A E olsun. (F,A) ikilisine bir esnek çoklu küme denir. Burada F dönüşümü F:A P * (U) şeklinde tanımlıdır. Ayrıca her e A için F(e) çoklu kümesi C F(e) : U * N fonksiyonu ile temsil edilir. Örnek 2.3.2 [21] U={1/x,5/y,3/z,4/w} ve E={p,q,r} olsun. F:A P * (U) dönüşümü F(p)={1/x,2/y,3/z}, F(q)={4/w} ve F(r)={3/y,1/z,2/w} şeklinde tanımlansın. O halde (F,A) bir esnek çoklu kümedir. e A için F(e) çoklu kümesi C F(e) : U * N fonksiyonu ile şeklinde tanımlıdır. O halde C F(p) (x)=1, C F(p) (y)=2, C F(q) (x)=0, C F(q) (y)=0, C F(r) (x)=0, C F(r) (y)=3, C F(p) (z)=3, C F(q) (z)=0, C F(r) (z)=1, C F(p) (w)=0, C F(q) (w)=4, C F(r) (w)=2 (F,A)={F(p),F(q),F(r)}={{1/x,2/y,3/z},{4/w},{3/y,1/z,2/w}} dır. Tanım 2.3.3 [16] U üzerindeki (F,A) ve (G,B) esnek çoklu kümeleri için, eğer i) A B 6

ii) C F(e) (x) C G(e) (x), x U *, e A ise (F,A) esnek çoklu kümesine (G,B) esnek çoklu kümesinin esnek çoklu alt kümesi denir ve (F,A) (G,B) şeklinde gösterilir. Eğer C F(e) (x)=c G(e) (x), x U *, e A ise (F,A) esnek çoklu kümesine (G,B) esnek çoklu kümesinin tam esnek çoklu alt kümesi denir. Tanım 2.3.4 [21] (F,A) esnek çoklu kümesi (G,B) esnek çoklu kümesinin ve (G,B) esnek çoklu kümesi (F,A) esnek çoklu kümesinin esnek çoklu alt kümesi ise (F,A)ve (G,B) esnek çoklu kümeleri eşittir. Yani, (F,A)=(G,B) (F,A) (G,B) ve (G,B) (F,A) Tanım 2.3.5 [21] (F,A) ve (G,B) esnek çoklu kümelerinin birleşimi (H,C) esnek çoklu kümesidir. Burada C=A B ve C H(e) (x) = max C F(e) (x),c G(e) (x), x U *, e A B dir. Bu (F,A) (G,B) şeklinde gösterilir. Tanım 2.3.6 [21] (F,A) ve (G,B) esnek çoklu kümelerinin kesişimi (H,C) esnek çoklu kümesidir. Burada C=A B ve C H(e) (x) = min C F(e) (x),c G(e) (x), x U *, e A B dir. Bu (F,A) (G,B) şeklinde gösterilir. Örnek 2.3.7 [14] U={1/x,2/y,3/z,4/w} ve E={p,q} olsun. U üzerinde iki esnek çoklu küme (F,E)={F(p)={1/x,1/y}, F(q)={2/z}} ve (G,E)={F(p)={1/x,2/y}, F(q)={3/z,4/w}} şeklinde tanımlı olsun. Burada (F,E) (G,E) dir. Çünkü x U * ve e E için C F(e) (x) C G(e) (x) dır. (H,E)=(F,E) (G,E) olsun. O halde x U * ve e E için C H(e) (x) = max C F(e) (x),c G(e) (x) olmalıdır. Yani (H,E)={F(p)={1/x,2/y}, F(q)={3/z,4/w}}dır. Gerçekten (F,E) (G,E) olduğundan (H,C)=(F,E) (G,E)=(G,E) dır. 7

(H,E)=(F,E) (G,E) olsun. O halde x U * ve e için C H(e) (x)=min C F(e) (x),c G(e) (x) olmalıdır. Yani (H,E) ={F(p)={1/x,1/y}, F(q)={2/z}} dır. Gerçekten (F,E) (G,E) olduğundan (H,C)=(F,E) (G,E)=(F,E) dır. Tanım 2.3.8 [21] Eğer e A için F(e)= ise U üzerindeki (F,A) esnek çoklu kümesine boş esnek çoklu küme denir ve Φ şeklinde gösterilir. Tanım 2.3.9 [21] (F,A) ve (G,B) esnek çoklu kümelerinin farkı (H,C)=(F,A)\(G,B) esnek çoklu kümesidir ve H(e) = F(e)\G(e), e E şeklinde tanımlanır. Burada C H(e) (x) = max C F(e) (x)-c G(e) (x),0, x U * dır. Örnek 2.3.10 [14] (F,E) ve (G,E) esnek çoklu kümelerini Örnek 2.3.7 de verildiği gibi göz önüne alalım. (H,E)=(G,E)\(F,E) olsun. O halde x U * ve e E için C H(e) (x)=max C F(e) (x)-c G(e) (x),0 olmalıdır. Yani (H,E)={F(p)={1/y}, F(q)= {1/z,4/w} dır. Esnek çoklu kümeler için herkes tarafından kabul gören bir nokta tanımı yoktur. Birkaç farklı nokta tanımı yapılmaktadır. Bunlardan birini aşağıdaki gibi yeniden tanımlanabilir. Tanım 2.3.11 X üzerinde (F,E) bir esnek çoklu küme olsun. Eğer e E için F(e)={1 x}={x} ve her e ' E-{e} için F(e ' )= ise (F,E) esnek çoklu kümesine, esnek çoklu nokta denir. Biz bu esnek çoklu noktayı x e ile göstereceğiz. Bu esnek çoklu noktanın bir esnek çoklu kümeye ait olması gerektiği aşağıda verilmiştir. Tanım 2.3.12 X üzerinde (F,E) bir esnek çoklu küme ve e E olsun. Eğer C F(e) (x)=n için n 1 ise x e (F,E) dir. Örnek 2.3.13 X={2/x,1/y,1/z,3/w } ve E={e 1,e 2,e 3 } olsun. F:A P * (X) dönüşümü F(e 1 )={1/x,1/z,2/w} ve F(e 2 )={1/y,2/w} şeklinde tanımlansın. O halde; (F,A)={F(e 1 ),F(e 2 )}= {1/x,1/z,2/w},{1/y,2/w} dir. 8

y e2 (F,A) dır. Çünkü C F(e2 )(y)=1 dir. Aslında y e2 esnek çoklu noktası y e2 = {1/y} ={y} dir. y e1 (F,A) dır. Çünkü C F(e1 )(y)=0 dır. Tanım 2.3.14 [21] U çoklu küme evrenselinin boştan farklı bir alt kümesi V olsun. Her e E için V(e)=V ise (V,E) esnek çoklu kümesi V şeklinde gösterilir. Açıkça (U,E) esnek çoklu kümesi U şeklinde gösterilir. U esnek çoklu kümesi U üzerinde tanımlanan en geniş esnek çoklu kümedir. Tanım 2.3.15 [21] a U * olsun. O zaman (a,e) bir esnek çoklu kümedir. Burada her e E için a(e)={a} dır. Örnek 2.3.16 [16] U={4/x,3/y,2/z} ve E={p,q,r,k} olsun. (x,e) esnek çoklu kümesi (x,e)={f(p)={1/x}, F(q)={1/x},F(r)={1/x},F(k)={1/x}}={{x},{x},{x},{x}} şeklinde tanımlıdır. Aslında (x,e) esnek çoklu kümesi bir esnek kümedir. Tanım 2.3.17 [21] (F,E), U üzerinde bir esnek çoklu küme ve U çoklu küme evrenselinin boştan farklı bir alt kümesi V olsun. V üzerinde (F,E) esnek çoklu V kümesinin alt esnek çoklu kümesi F,E şeklinde gösterilir ve e E için V F(e)=V F(e) şeklinde tanımlanır. Burada C V F (e) (x)=min C V(x),C F(e) (x), x U * dır. Başka bir ifadeyle V F,E =V (F,E) dir. Tanım 2.3.18 [21] Bir (F,A) esnek çoklu kümesinin tümleyeni (F,A) c şeklinde gösterilir ve (F,A) c =(F c,a) şeklinde tanımlıdır. Buradaki F c :A P * (U) dönüşümü e A, F c (e)=u\f(e) şeklinde tanımlıdır. Burada C F c (e)(x)=c U (x)-c F(e) (x), x U * dır. Örnek 2.3.19 [14] U={4/x,4/y,3/z,3/w} ve E={p,q} olsun. U üzerinde bir esnek çoklu küme (F,E)={F(p)={1/x,1/y}, F(q)={2/z}} şeklinde tanımlı olsun. O halde (F,A) c esnek çoklu kümesi (F,A) c ={F(p)={3/x,3/y,3/z,3/w}, F(q)={4/x,4/y,1/z,3/w}} şeklinde tanımlıdır. 9

Önerme 2.3.20 [16] U üzerinde bir esnek çoklu küme (F,A) olsun. O halde aşağıdaki ifadeler sağlanır. (1) (F, A) (F,A)=(F, A), (2) (F, A) (F, A) = (F, A), (3) (F,A) Φ=(F,A), (4) (F,A) Φ=Φ, (5) (F,A) X =X, (6) (F,A) X =(F,A). Önerme 2.3.21 [16] U üzerinde üç esnek çoklu küme (F,A), (G,B) ve (H,C) olsun. O halde aşağıdaki ifadeler sağlanır. (1) (F,A) (G,B) ve (G,B) (H,C) (F,A) (H,C), (2) (F,A) (G,B) (H,C) = (F,A) (G,B) (H,C)), (3) (F,A) (G,B) (H,C) = (F,A) (G,B) (H,C)), (4) (F,A) (G,B) (H,C) = (F,A) (G,B) ((F,A) (H,C)), (5) (F,A) (G,B) (H,C) = (F,A) (G,B) ((F,A) (H,C)). Sonuç 2.3.22 [16] U üzerinde bir esnek çoklu küme (F,A) ve {(F i,a)} i I esnek çoklu küme ailesi olsun. O halde aşağıdakiler sağlanır. (1) (F,A) i I (F i,a) = i I [(F,A) (F i,a)], (2) (F,A) [ i I (F i,a)]= i I (F,A) (F i,a). Önerme 2.3.23 [16] U üzerinde iki esnek çoklu küme (F,A) ve (G,B) olsun. O halde aşağıdakiler sağlanır. 10

(1) (F, A) (G,B) (F, A) (G,B)=(G,B), (2) (F, A) (G,B) (F, A) (G,B)=(F,A), (3) (F, A) (G,B)=Φ (F, A) (G,B) c, (4) (F, A) (G,B) (G,B) c (F, A) c. Önerme 2.3.24 [16] U üzerinde iki tam esnek çoklu küme (F,A) ve (G,B) olsun. O halde aşağıdakiler sağlanır. (1) ((F, A) (G,B)) c =(F, A) c (G,B) c, (2) ((F, A) (G,B)) c =(F, A) c (G,B) c. Sonuç 2.3.25 [16] U üzerinde tam esnek çoklu küme ailesi {(F i,a)} i I olsun. O halde aşağıdakiler sağlanır. (1) [ i I (F i,a)] c = i I (F i,a) c, (2) i I (F i,a) c = i I (F i,a) c. 2.4. Esnek Çoklu Fonksiyon Bu bölümde Osmanoğlu ve Tokat [15] tarafından tanımlanan esnek çoklu fonksiyon kavramı ve özellikleri verildi. Tanım 2.4.1 [15] X çoklu küme evrenseli ve E parametrelerin kümesi olsun. X üzerinde tanımlı bütün esnek çoklu kümelerin koleksiyonuna esnek çoklu sınıf denir ve X E ile gösterilir. Yani, X çoklu küme evrenselinden alınan çoklu kümeler ile E kümesinden alınan parametrelerin oluşturduğu bütün esnek çoklu kümeler X E sınıfının içerisindedir. Tanım 2.4.2 [15] X E ve Y K iki esnek çoklu sınıf olsun. φ:x * Y * ve ψ:e K iki fonksiyon olsun. O zaman f=(φ,ψ):x E Y K bir esnek çoklu fonksiyondur ve aşağıdaki şekilde tanımlıdır: 11

X E de bir esnek çoklu küme (F,E) olsun. (F,E) esnek çoklu kümesinin f esnek çoklu fonksiyonu altındaki görüntüsü f(f, E), Y K de bir esnek çoklu kümedir. Burada k ψ(e) K ve y Y * için C f(f,e)(k) (y)= sup e ψ -1 (k) E, x φ -1 (y) C F(e) (x), φ -1 (y),ψ -1 (k) ; 0, diğer durumlarda Y K de bir esnek çoklu küme (G,K) olsun. (G,K) esnek çoklu kümesinin f esnek çoklu fonksiyonu altındaki ters görüntüsü f -1 (G,K), X E de bir esnek çoklu kümedir. Burada e ψ -1 (K) E ve x X * için C f -1 (G,K)(e) (x)=c G(ψ(e))(φ(x)). Eğer ψ ve φ birebir iki fonksiyon ise f esnek çoklu birebir fonksiyondur. Eğer ψ ve φ örten iki fonksiyon ise f esnek çoklu örten fonksiyondur. Eğer f esnek çoklu sabit fonksiyon ise ψ ve φ fonksiyonları sabittir. Örnek 2.4.3 X={2/a,3/b,4/c,5/d}, Y={5/x,4/y,3/z,2/w}, E={e 1,e 2,e 3,e 4 }, K={k 1,k 2,k 3 } ve X E,Y K iki esnek çoklu sınıf olsun.. φ:x * Y * ve ψ:e K fonksiyonları aşağıdaki şekilde tanımlı olsun; φ(a)=z, φ(b)=y, φ(c)=y, φ(d)=x, ψ(e 1 )=k 1, ψ(e 2 )=k 3, ψ(e 3 )=k 2 ψ(e 4 )=k 1. Sırasıyla X E ve Y K de iki esnek çoklu kümeyi aşağıdaki gibi seçelim; (F,A) ={F(e 1 ),F(e 2 ),F(e 3 )}, ={{1/a,2/b,1/d},{3/b,2/c,1/d},{2/a,5/d}}, (G,B) ={G(k 1 ),G(k 2 )}, ={{4/x,2/w},{1/x,1/y,2/z,2/w}}. (F,A) esnek çoklu kümesinin f:x E Y K esnek çoklu fonksiyonu altındaki görüntüsü aşağıda elde edilmiştir; 12

C f(f,a)(k1 )(x)= sup e ψ -1 (k 1 ) A, a φ -1 (x) C F(e) (a), φ -1 (x),ψ -1 (k 1 ) ; 0, diğer durumlarda = sup C F(e) (a) e {e 1,e 4 }, a {d} = sup {C F(e1 )(d),c F(e4 )(d)} = 1, C f(f,a)(k1 )(y) = 2, C f(f,a)(k1 )(z) = 1, C f(f,a)(k1 )(w) =0 (φ -1 (w)= olduğundan), C f(f,a)(k2 )(x)= sup e ψ -1 (k 2 ) A, a φ -1 (x) C F(e) (a), φ -1 (x),ψ -1 (k 2 ) ; 0, diğer durumlarda = sup C F(e) (a) e {e 3 }, a {d} = sup {C F(e3 )(d)} = 5, C f(f,a)(k2 )(y) = 0, C f(f,a)(k2 )(z) = 2, C f(f,a)(k2 )(w) = 0 (φ -1 (w)= olduğundan), C f(f,a)(k3 )(x)= sup e ψ -1 (k 3 ) A, a φ -1 (x) C F(e) (a), φ -1 (x),ψ -1 (k 1 ) ; 0, diğer durumlarda = sup C F(e) (a) e {e 2 }, a {d} = sup {C F(e2 )(d)} 13

= 1, C f(f,a)(k3 )(y) = 3, C f(f,a)(k3 )(z) = 0, C f(f,a)(k3 )(w) = 0 (φ -1 (w)= olduğundan), Sonuç olarak, elde edilir. (f(f,a),b) ={f(f,a)(k 1 ),f(f,a)(k 2 ),f(f,a)(k 3 )} ={{1/x,2/y,1/z},{5/x,2/z},{1/x,3/y}} (G,B) esnek çoklu kümesinin f esnek çoklu fonksiyonu altındaki ters görüntüsü aşağıda elde edilmiştir; C f -1 (G,B)(e 1 ) (a)=c G(ψ(e 1 ))(φ(a))=c G(k1 )(z)=0, C f -1 (G,B)(e 1 ) (b)=c G(ψ(e 1 ))(φ(b))=c G(k1 )(y)=0, C f -1 (G,B)(e 1 ) (c)=c G(ψ(e 1 ))(φ(c))=c G(k1 )(y)=0, C f -1 (G,B)(e 1 ) (d)=c G(ψ(e 1 ))(φ(d))=c G(k1 )(x)=4, C f -1 (G,B)(e 3 ) (a)=c G(ψ(e 3 ))(φ(a))=c G(k2 )(z)=2, C f -1 (G,B)(e 3 ) (b)=c G(ψ(e 3 ))(φ(b))=c G(k2 )(y)=1, C f -1 (G,B)(e 3 ) (c)=c G(ψ(e 3 ))(φ(c))=c G(k2 )(y)=1, C f -1 (G,B)(e 3 ) (d)=c G(ψ(e 3 ))(φ(d))=c G(k2 )(x)=1, C f -1 (G,B)(e 4 ) (a)=c G(ψ(e 4 ))(φ(a))=c G(k1 )(z)=0, C f -1 (G,B)(e 4 ) (b)=c G(ψ(e 4 ))(φ(b))=c G(k1 )(y)=0, 14

C f -1 (G,B)(e 4 ) (c)=c G(ψ(e 4 ))(φ(c))=c G(k1 )(y)=0, C f -1 (G,B)(e 4 ) (d)=c G(ψ(e 4 ))(φ(d))=c G(k1 )(x)=4. Sonuç olarak, f -1 (G,B),A = f -1 (G,B)(e 1 ),f -1 (G,B)(e 3 ),f -1 (G,B)(e 4 ), ={{4/d},{2/a,1/b,1/c,1/d},{4/d}}. elde edilir. Teorem 2.4.4 [15] f:x E Y K esnek çoklu fonksiyon, X E de iki esnek çoklu küme (F,A) ve (F i,a i ) ve Y K de iki esnek çoklu küme (G,B) ve (G i,b i ) esnek çoklu küme olsun. (1) f(φ)=φ, f X Y, (2) f -1 (Φ)=Φ, f -1 Y =X, (3) f (F 1,A 1 ) (F 2,A 2 ) =f(f 1,A 1 ) f(f 2,A 2 ), Genel hali, f i I (F i,a i ) = i I f(f i,a i ), (4) f -1 (G 1,B 1 ) (G 2,B 2 ) =f -1 (G 1,B 1 ) f -1 (G 2,B 2 ), Genel hali, f -1 i I (G i,b i ) = i I f -1 (G i,b i ), (5) f((f 1,A 1 ) (F 2,A 2 )) f(f 1,A 1 ) f(f 2,A 2 ), Genel hali, f( i I (F i,a i )) i I f(f i,a i ), (6) f -1 (G 1,B 1 ) (G 2,B 2 ) =f -1 (G 1,B 1 ) f -1 (G 2,B 2 ), Genel hali, f -1 i I (G i,b i ) = i I f -1 (G i,b i ), (7) Eğer (F 1,A 1 ) (F 2,A 2 ) ise f(f 1,A 1 ) f(f 2,A 2 ), 15

(8) Eğer (G 1,B 1 ) (G 2,B 2 ) ise f -1 (G 1,B 1 ) f -1 (G 2,B 2 ), (9) f -1 ((G,B) c )=(f -1 (G,B)) c. 16

3. BÖLÜM ESNEK ÇOKLU TOPOLOJİK UZAYLAR Bu bölümde ilk olarak esnek çoklu kümeler üzerinde topoloji yapısı incelendi. Daha sonra esnek çoklu yarı açık küme ve esnek çoklu yarı kapalı küme kavramları tanımlandı. Bu tanımlar kullanılarak bir kümenin esnek çoklu yarı içi ve esnek çoklu yarı kapanışı kavramları temel teoremleriyle incelendi. 3.1. Esnek Çoklu Topoloji Bu bölümde Tokat ve Osmanoğlu [15, 16, 21] tarafından tanımlanan esnek çoklu topoloji yapısı ve birçok temel kavram hatırlatıldı. Tanım 3.1.1 [21] τ X E ve A E olsun. Aşağıdaki şartları sağlayan τ sınıfına X üzerinde bir esnek çoklu topoloji ve (X E,τ) ikilisine de X üzerinde bir esnek çoklu topolojik uzay denir. i. Φ, X τ. ii. iii. τ sınıfındaki sonlu sayıda esnek çoklu kümenin kesişimi τ sınıfına aittir. n Yani, (F 1,A), (F 2,A),, (F n,a) τ için i=1(fi,a) τ dır. τ sınıfındaki esnek çoklu kümelerin keyfi birleşimi τ sınıfına aittir. Yani, her i I, (F i,a) τ için i I (F i,a) τ dır. τ sınıfının her bir elemanına esnek çoklu açık küme, tümleyeni açık olan esnek çoklu kümeye ise esnek çoklu kapalı küme denir. Örnek 3.1.2 [21] X={2/x,3/y,4/z,5/w}, E={p,q} ve τ={φ, X,(F 1,E), (F 2,E), (F 4,E), (F 5,E)} olsun. Buradaki (F 1,E), (F 2,E),(F 3,E), (F 4,E),(F 5,E) esnek çoklu kümeleri aşağıdaki şekilde tanımlıdır. 17

F 1 (p)={1/x,2/y,3/z}, F 2 (p)=x, F 3 (p)={2/x,3/y,3/z,1/w}, F 4 (p)={2/y}, F 5 (p)={3/y,3/z,1/w}, F 1 (q)={4/w} F 2 (q)={1/x,3/y,4/z,5/w} F 3 (q)={1/x,4/w} F 4 (q)={2/w} F 5 (q)={1/x,4/w} O halde τ sınıfı X üzerinde bir esnek çoklu topoloji tanımlar ve (X E,τ) bir esnek çoklu topolojik uzaydır. Örnek 3.1.3 [21] τ 1 ={Φ, X } ve τ 2 =X E olsun. τ 1 ve τ 2 sınıfları X üzerinde esnek çoklu topoloji tanımlar. τ 1 sınıfına esnek çoklu ayrık olmayan topoloji, τ 2 sınıfına esnek çoklu ayrık topoloji denir. Tanım 3.1.4 [21] (X E,τ) ve (X E,σ) iki esnek çoklu topolojik uzay olsun. Eğer τ σ ise τ esnek çoklu topolojisi σ esnek çoklu topolojisinden daha kaba veya σ esnek çoklu topolojisi τ esnek çoklu topolojisinden daha ince denir. Tanım 3.1.5 [21] (X E,τ) bir esnek çoklu topolojik uzay ve X çoklu küme evrenselinin boştan farklı bir alt kümesi Y olsun. O zaman τ Y = Y F,E :(F,E) τ sınıfına Y üzerinde bir esnek çoklu topoloji ve (X E,τ Y ) esnek çoklu topolojik uzayına (X E,τ) esnek çoklu topolojik uzayının esnek çoklu alt uzayı denir. Örnek 3.1.6 [16] (X E,τ) esnek çoklu topolojisini Örnek 3.1.2 de verildiği şekilde göz önüne alalım. Ayrıca Y={1/x, 2/y,3/z} olsun. O halde τ Y ={Φ, Y, Y F1,E, Y F,E, Y F,E, Y F 2 3 4,E, Y F kümeler aşağıdaki şekilde tanımlıdır. 5,E } esnek çoklu topolojisi ve buradaki esnek çoklu Y F Y Y Y Y 1 (p)={1/x,2/y,3/z}, F 1 (q)= F (p)={1/x,2/y,3/z}, Y 2 F 2 (q)={1/x,2/y,3/z} F3 (p)={1/x,2/y,3/z}, Y F 3 (q)={1/x} F4 (p)={2/y}, Y F 4 (q)= F5 (p)={2/y,3/z}, Y F 5 (q)={1/x} Y 18

Burada Y F2,E =Y olduğundan τ Y ={Φ, Y, Y F,E, Y F,E, Y F 1 3 4,E, Y F 5,E } şeklinde yazılır ve görüldüğü üzere (X E,τ Y ) esnek çoklu topolojik uzayı (X E,τ) esnek çoklu topolojik uzayının esnek çoklu alt uzayıdır Örnek 3.1.7 [16] Herhangi esnek çoklu ayrık topolojik uzayın alt uzayı da esnek çoklu ayrık topolojik uzaydır. Ayrıca herhangi esnek çoklu ayrık olmayan topolojik uzayın alt uzayı da esnek çoklu ayrık olmayan topolojik uzaydır. Tanım 3.1.8 [16] (X E,τ) bir esnek çoklu topolojik uzay ve X E de (F,A) bir esnek çoklu küme olsun. (F,A) esnek çoklu kümesini kapsayan bütün esnek çoklu kapalı kümelerin kesişimine (F,A) esnek çoklu kümesinin kapanışı denir ve (F,A) şeklinde gösterilir. Açıkça (F,A), (F,A) esnek çoklu kümesini kapsayan en küçük esnek çoklu kapalı kümedir. Önerme 3.1.9 [16] (X E,τ) bir esnek çoklu topolojik uzay ve X E de iki esnek çoklu küme (F,A) ve (G,B) olsun. Aşağıdaki ifadeler doğrudur. i. Φ = Φ ve X =, X ii. iii. iv. (F,A), (F,A) (F,A) kapalıdır, (F,A) esnek çoklu kapalı kümedir (F,A) = (F,A), v. (F,A) =, (F,A) vi. (F,A) (G,B) (F,A), (G,B) vii. viii. (F,A) (G,B) = (F,A), (G,B) (F,A) (G,B) (F,A), (G,B) Tanım 3.1.10 (X E,τ) bir esnek çoklu topolojik uzay, (F,A), X de bir esnek çoklu küme ve x e (F,A) olsun. Eğer x e (G,B) (F,A) olacak şekilde (G,B) esnek çoklu açık kümesi varsa x e esnek çoklu noktasına (F,A) esnek çoklu kümesinin esnek çoklu iç noktası denir. (F,A) esnek çoklu kümesinin bütün esnek çoklu iç noktalarının kümesine (F,A) esnek çoklu kümesinin içi denir ve (F,A) şeklinde gösterilir. 19

Önerme 3.1.11 (X E,τ) bir esnek çoklu topolojik uzay ve X E de bir esnek çoklu küme (F,A) olsun. O halde (F,A) = {(G,B) (F,A) :(G,B) τ} dır. İspat: Eğer x e (F,A) ise Tanım 3.1.10 den x e (G,B) (F,A) olacak şekilde (G,B) τ vardır. O halde x e {(G,B) (F,A) :(G,B) τ}. Tersine eğer x e {(G,B) (F,A) :(G,B) τ} ise x e (G,B) (F,A) olacak şekilde bir (G,B) τ bulunduğundan x e (F,A) dır. Önerme 3.1.12 (X E,τ) bir esnek çoklu topolojik uzay ve X E de iki esnek çoklu küme (F,A) ve (G,B) olsun. Aşağıdaki ifadeler doğrudur. i. (F,A) (F,A), ii. iii. iv. (F,A) açıktır, (F,A) açıktır ancak ve ancak (F,A) =(F,A), (F,A), (F,A) esnek çoklu kümesinin kapsadığı en geniş esnek çoklu açık kümedir, v. ((F,A) ) =(F,A), vi. (F,A) (H,C) (F,A) (H,C), vii. (F,A) (H,C) ((F,A) (H,C)), viii. (F,A) (H,C) = ((F,A) (H,C)), İspat: i. Tanım 3.1.10 den açıktır. ii. Önerme 3.1.11 den (F,A), (F,A) esnek çoklu kümesini içerdiği açıkların birleşimi olduğundan açıktır. iii. (F,A) = {(G,B) (F,A):(G,B) τ} olduğundan (F,A) esnek çoklu kümesi açık ise (F,A) =(F,A) dır. 20

Tersine (F,A) =(F,A) ise (F,A) esnek çoklu kümesi açıktır. Çünkü (F,A) esnek çoklu kümesi açıktır. (F,A) esnek çoklu kümesi (F,A) esnek çoklu kümesinin kapsadığı en geniş esnek çoklu açık kümedir. iv. (F,A) = {(G,B) (F,A):(G,B) τ} olduğundan (G,B) (F,A) olacak şekildeki her (G,B) esnek çoklu açık kümesi için (G,B) (F,A) dır. v. (F,A) açık ve (F,A) açık ise (F,A) =(F,A) olduğundan ((F,A) ) =(F,A) dır. vi. (F,A) (H,C) olsun. Eğer x e (F,A) ise x e (G,B) (F,A) olacak şekilde (G,B) τ vardır. Buradan x e (G,B) (F,A) (H,C) ve de x e (H,C) olup (F,A) (H,C) dır. vii. (F,A) (F,A) (H,C) den (F,A) (F,A) (H,C) ve (H,C) (F,A) (H,C) den (H,C) (F,A) (H,C) dır. Buradan(F,A) (H,C) ((F,A) (H,C)) elde edilir. viii. (F,A) (H,C) (F,A) den ((F,A) (H,C)) (F,A) ve (F,A) (H,C) (H,C) den ((F,A) (H,C)) (H,C) dır. Buradan ((F,A) (H,C)) (F,A) (H,C) elde edilir. Tersine (F,A) (F,A) ve (H,C) (H,C) olduğundan (F,A) (H,C) (F,A) (H,C) ve buradan da (F,A) (H,C) ((F,A) (H,C)) elde edilir. Teorem 3.1.13 (X E,τ) bir esnek çoklu topolojik uzay ve X E de iki tam esnek çoklu küme (F,A) ve (G,A) olsun. O zaman, i. ((F,A) ) c = ((F,A) c ) ii. ((F,A) ) c = ((F,A) c ) c İspat: i. (F,A) = ( (G,A) : (G,A) esnek çoklu kapalı küme ve (F,A) (G,A) ) c = {(G,A) c :(G,A) c esnek çoklu açık küme ve (G,A) c (F,A) c } = ((F,A) c ) ii. ((F,A) ) c = ( {(G,A): (G,A) esnek çoklu açık küme ve (G,A) (F,A)}) c 21

= {(G,A) c : (G,A) c esnek çoklu kapalı küme ve (F,A) c (G,A) c } = ((F,A) c ) 3.2 Esnek Çoklu Yarı Açık ve Esnek Çoklu Yarı Kapalı Kümeler Bu bölümde esnek çoklu yarı açık küme, esnek çoklu yarı kapalı küme, esnek çoklu yarı iç ve esnek çoklu yarı kapanış kavramları incelendi. Tanım 3.2.1 (X E,τ) esnek çoklu topolojik uzay ve (A,E), X E de bir esnek çoklu küme olsun. (A,E) esnek çoklu yarı açık kümedir ancak ve ancak (O,E) (A,E) (O,E) olacak biçimde (O,E) esnek çoklu açık kümesi vardır. Önerme 3.2.2(X E,τ) esnek çoklu topolojik uzayında her esnek çoklu açık küme esnek çoklu yarı açık kümedir. İspat: Esnek çoklu yarı açık kümenin tanımından aşikârdır. Bu ifadenin tersi her zaman doğru değildir. Örnek 3.2.3 X={1/x,3/y,2/z}, E={p,q} ve τ={ф,x, (F 1,E),(F 2,E),(F 3,E),,(F 7,E)} olsun. Buradaki esnek çoklu kümeler kümeleri aşağıdaki şekilde tanımlanır. F 1 (p)={1/x,3/y}, F 2 (p)={3/y}, F 3 (p)={3/y,2/z}, F 4 (p)={3/y}, F 5 (p)={1/x,3/y}, F 6 (p)=x, F 7 (p)={3/y,2/z}, F 1 (q)={1/x,3/y} F 2 (q)={1/x,2/z} F 3 (q)={1/x} F 4 (q)={1/x} F 5 (q)=x F 6 (q)={1/x,3/y} F 7 (q)={1/x,2/z} O halde τ sınıfı X üzerinde bir esnek çoklu topoloji tanımlar. X üzerinde (G,E) esnek çoklu kümesi aşağıdaki şekilde tanımlansın. G(p)={3/y,2/z}, G(q)={1/x,3/y} (F 3,E) esnek çoklu kümesi için (F 3,E) (G,E) ve (F 3,E) =X olduğundan (F 3,E) (G,E) (F 3,E) elde edilir. Bu ise (G,E) nin esnek çoklu yarı açık küme olduğunu gösterir. Ancak (G,E) esnek çoklu açık küme değildir. 22

Teorem 3.2.4 (X E,τ) esnek çoklu topolojik uzay ve (A,E), X E de bir esnek çoklu küme olsun. (A,E) esnek çoklu yarı açık kümedir ancak ve ancak (A,E) (A,E) dır. İspat: (A,E), X de esnek çoklu yarı açık bir küme olsun. O halde (O,E) esnek çoklu açık kümesi vardır öyle ki (O,E) (A,E) (O,E) dır. Buradan (O,E)=(O,E) (A,E) ve dolayısıyla (O,E) (A,E) olur. O halde dır. Tersine (A,E) (A,E) (A,E) (O,E) (A,E) olsun. O zaman (O,E)=(A,E) için (O,E) (A,E) (O,E) yazılır. Bu ise (A,E) nin esnek çoklu yarı açık küme olduğunu gösterir. Teorem 3.2.5 (X E,τ) esnek çoklu topolojik uzay ve {A α : αϵi} esnek çoklu yarı açık kümelerin bir sınıfı olsun. O zaman esnek çoklu yarı açık kümedir. (A α,e) αϵi İspat: Her αϵi için (O α,e) (A α,e) (O α,e) olacak biçimde (O α,e) esnek çoklu kümesi vardır. Buradan (O α,e) (A α,e) (O ) α,e (O α,e) αϵi αϵi elde edilir. Dolayısıyla αεi (A α, E) esnek çoklu yarı açık kümedir. Teorem 3.2.6 (X E,τ) esnek çoklu topolojik uzay ve (A,E) bir esnek çoklu yarı açık küme olsun. (A,E) (B,E) (A,E) ise (B,E) de esnek çoklu yarı açık kümedir. 23 αϵi αϵi

İspat: (O,E) (A,E) (O,E) olacak şekilde bir (O,E) esnek çoklu açık kümesi vardır. Buradan (O,E) (B,E) dir. Ayrıca (B,E) (A,E) ve (A,E) (O,E) olduğundan (B,E) (O,E) dır. Buradan (O,E) (B,E) (O,E) elde edilir. Bu ise (B,E) nin esnek çoklu yarı açık küme olduğunu gösterir. Tanım 3.2.7 (X E,τ) esnek çoklu topolojik uzay ve (B,E), X E de bir esnek çoklu küme olsun. Eğer (B,E) esnek çoklu kümesinin tümleyeni esnek çoklu yarı açık küme ise (B,E)ye esnek çoklu yarı kapalı küme denir. Başka bir ifadeyle (F,E) (B,E) (F,E) olacak biçimde (F,E) esnek çoklu kapalı kümesi varsa (B,E) ye esnek çoklu yarı kapalı küme denir. Önerme 3.2.8 (X E,τ) esnek çoklu topolojik uzayında her esnek çoklu kapalı küme, esnek çoklu yarı kapalı kümedir. İspat: Esnek çoklu yarı kapalı kümenin tanımından aşikârdır. Bu ifadenin tersi her zaman doğru değildir. Örnek 3.2.9 (X E,τ) esnek çoklu topolojik uzayını Örnek 3.2.3 de verildiği şekilde göz önüne alalım. (B,E)=(G,E) c alınırsa (B,E) nin esnek çoklu yarı kapalı küme olduğu görülür. Burada B(p)={1/x}, B(q)={2/z} dir. (X E,τ) da kapalı kümeler aşağıdaki şekildedir: H 1 (p)={2/z}, H 2 (p)={1/x,2/z}, H 3 (p)={1/x}, H 4 (p)={1/x,2/z}, H 5 (p)={2/z}, H 6 (p)=φ, H 7 (p)={1/x}, H 1 (q)={2/z} H 2 (q)={3/y} H 3 (q)={3/y,2/z} H 4 (q)={3/y,2/z} H 5 (q)=φ H 6 (q)={2/z} H 7 (q)={3/y} 24

Buradan görüleceği üzere (B,E) esnek çoklu yarı kapalı kümesi, esnek çoklu kapalı küme değildir. Teorem 3.2.10 (X E,τ) esnek çoklu topolojik uzay ve (B,E), X E de bir esnek çoklu küme olsun. (B,E) esnek çoklu yarı kapalı kümedir ancak ve ancak (B,E ) (B,E) dir. İspat: (B,E), X de esnek çoklu yarı kapalı küme olsun. O halde (F,E) esnek çoklu kapalı kümesi vardır öyle ki; (F,E) (B,E) (F,E) dir. Buradan (B,E) (F,E) =(F,E) ve dolayısıyla (B,E ) (F,E) olur. O halde (B,E ) (F,E) (B,E) dir. Buradan (B,E ) (B,E) elde edilir. Tersine (B,E ) (B,E) olsun. O zaman (F,E)=(B,E) için (F,E) (B,E) (F,E) yazılır. Bu ise (B,E) nin esnek çoklu yarı kapalı küme olduğunu gösterir. Teorem 3.2.11 (X E,τ) esnek çoklu topolojik uzay ve {B α : αϵi} esnek çoklu yarı kapalı kümelerin bir sınıfı olsun. O zaman esnek çoklu yarı kapalı kümedir. (B α,e) αϵi İspat: Her αϵi için (F α,e) (B α,e) (F α,e) olacak biçimde (F α,e) esnek çoklu kapalı kümesi vardır. Buradan; o (F α,e) (F α,e) (B α,e) (F α,e) αϵi αϵi αϵi αϵi 25

elde edilir. Bu ise (B α,e) nin esnek çoklu yarı kapalı küme olduğunu gösterir. αϵi Teorem 3.2.12 (X E,τ) esnek çoklu topolojik uzay ve (B,E), X E de bir esnek çoklu yarı kapalı küme olsun. (B,E) (A,E) (B,E) ise (A,E) de esnek çoklu yarı kapalı kümedir. İspat: (F,E) (B,E) (F,E) olacak şekilde bir (F,E) esnek çoklu kapalı kümesi vardır. Buradan (A,E) (F,E) dir. Ayrıca ((F,E) o ) o =(F,E) o (B,E) ve dolayısıyla (F,E) (A,E) olur. Buradan (F,E) (A,E) (F,E) elde edilir. Bu ise (A,E) nin esnek çoklu yarı kapalı küme olduğunu gösterir. Tanım 3.2.13 (X E,τ) esnek çoklu topolojik uzay ve (F,E), X E de bir esnek çoklu küme olsun. (A,E) o = {(O,E):(O,E) esnek çoklu yarı açık küme ve (O,E) (A,E) } kümesi (A,E) nin esnek çoklu yarı içidir. (A,E) - = {(F,E):(F,E) esnek çoklu yarı kapalı küme ve (A,E) (F,E) } kümesi (A,E) nin esnek çoklu yarı kapanışıdır. Teorem 3.2.5 den (A,E) o kümesi esnek çoklu yarı açık kümedir. Teorem 3.2.11 den ise (A,E) - kümesi esnek çoklu yarı kapalı kümedir. Örnek 3.2.14 (X E,τ) esnek çoklu topolojik uzayını Örnek 3.2.3 de verildiği şekilde göz önüne alalım. (G,E) o =(G,E) olduğundan (G,E) o esnek çoklu yarı açık kümedir. 26

Örnek 3.2.15 (B,E) esnek çoklu yarı kapalı kümesi Örnek 3.2.9 da verildiği şekilde göz önüne alalım. O halde (B,E) - =(B,E) olduğundan (B,E) - esnek çoklu yarı kapalı kümedir. Esnek çoklu yarı iç ve esnek çoklu yarı kapanış tanımlarından aşağıdaki teorem elde edilir. Teorem 3.2.16 (X E,τ) esnek çoklu topolojik uzay ve (A,E), X E de bir esnek çoklu küme olsun. O halde; (A,E) o (A,E) o (A,E) (A,E) - (A,E) olur. İspat: Önerme 3.2.2, Önerme 3.2.8 ve Tanım 3.2.13 den açıkça görülür. Teorem 3.2.17 (X E,τ) esnek çoklu topolojik uzay ve (A,E), X E de bir esnek çoklu küme olsun. i. (A,E) - c =((A,E) c ) o, ii. ((A,E) o ) c =((A,E) c ) -, iii. (A,E) o = ((A,E) c ) - c. İspat: i. ((A,E) - ) c = {(F,E):(F,E) esnek çoklu yarı kapalı küme ve(a,e) (F,E)} c = {(F,E) c :(F,E) esnek çoklu yarı kapalı küme ve(a,e) (F,E)} = {(F,E) c :(F,E) c esnek çoklu yarı açık küme ve(f,e) c (A,E) c } = ((A,E) c ) o 27

ii. ((A,E) o ) c = ( {(O,E):(O,E) esnek çoklu yarı açık küme (O,E) (A,E)}) c = {(O,E) c :(O,E) esnek çoklu yarı açık küme (O,E) (A,E)} = {(O,E) c : (O,E) c esnek çoklu yarı kapalı küme (A,E) c (O,E) c } = ((A,E) c ) iii. (ii. ) den ((A,E) o ) c =((A,E) c ) - ifadesinin her iki yanının tümleyeni alınırsa; (((A,E) o ) c ) c =(((A,E) c ) - ) c (A,E) o =(((A,E) c ) - ) c elde edilir. Teorem 3.2.18 (X E,τ) esnek çoklu topolojik uzay ve (F,E) ve (G,E), X E de iki esnek çoklu küme olsun. O halde i. - = ve X - =X, ii. (F,E) esnek çoklu yarı kapalı kümedir ancak ve ancak (F,E)=(F,E) -, iii. (F,E) - - =(F,E) -, iv. (F,E) (G,E) ise (F,E) - (G,E) -, v. (F,E) (G,E) - (F,E) - (G,E) -, İspat: i. Tanımdan dolayı açıktır. ii. (F,E) esnek çoklu yarı kapalı ise o zaman (F,E) yi içeren en küçük esnek çoklu yarı kapalı küme (F,E) olduğundan (F,E)=(F,E) - dir. Tersine (F,E)=(F,E) - olsun. (F,E) -, esnek çoklu yarı kapalı küme olduğundan (F,E) de esnek çoklu yarı kapalı kümedir. 28

iii. (F,E) -, esnek çoklu yarı kapalı küme olduğundan (ii.) den dolayı (F,E) - - =(F,E) - dır. iv. (F,E) (G,E) olsun. (G,E) yi kapsayan her esnek çoklu yarı kapalı küme aynı zamanda (F,E) yi kapsar. Dolayısıyla (F,E) yi kapsayan esnek çoklu yarı kapalı kümelerin kesişimi, (G,E) yi kapsayan esnek çoklu yarı kapalı kümelerin kesişiminin içindedir. Bu yüzden (F,E) - (G,E) - olur. v. (F,E) (G,E) (F,E) ve (F,E) (G,E) (G,E) olduğundan ( iv.) ü kullanarak (F,E) (G,E) - (F,E) - ve (F,E) (G,E) - (G,E) - elde edilir. Bu yüzden (F,E) (G,E) - (F,E) - (G,E) - dir. Teorem 3.2.19 (X E,τ) esnek çoklu topolojik uzay ve (F,E) ve (G,E), X E de iki esnek çoklu küme olsun. O halde i. o = ve X o =X, ii. (F,E) esnek çoklu yarı açık kümedir ancak ve ancak (F, E) = (F, E) o, iii. ((F,E) o ) o =(F,E) o, iv. (F,E) (G,E) ise (F,E) o (G,E) o, v. (F,E) o (G,E) o (F,E) (G,E) o, İspat: i. Tanımdan dolayı açıktır. ii. (F,E) esnek çoklu yarı açık küme ise o zaman (F,E) nin kapsadığı en büyük esnek çoklu yarı açık küme (F,E) olduğundan (F,E)=(F,E) o dir. Tersine (F,E)=(F,E) o olsun. (F,E) o, esnek çoklu yarı açık küme olduğundan (F,E) de esnek çoklu yarı açık kümedir. iii. (F,E) o, esnek çoklu yarı açık küme olduğundan (ii.) den dolayı 29

((F,E) o ) o =(F,E) o dır. iv. (F,E) (G,E) olsun. (F,E) o (F,E) (G,E) ve (G,E) o tanımından (F,E) o, (G,E) o nin esnek çoklu yarı açık alt kümesidir. Bu yüzden (F,E) o (G,E) o dır. v. (F,E) (F,E) (G,E) ve (G,E) (F,E) (G,E) olduğundan (iv.) kullanarak (F,E) o (F,E) (G,E) o ve (G,E) o (F,E) (G,E) o yazılır. Buradan (F,E) o (G,E) o (F,E) (G,E) o elde edilir. Teorem 3.2.20 (X E,τ) esnek çoklu topolojik uzay (A,E), X E de bir esnek çoklu küme olsun. O halde; i. ((A,E) o ) o =((A,E) o ) o =(A,E) o, ii. (A,E) - = (A,E) - =(A,E) dir. İspat: i. (A,E) o esnek çoklu açık küme olduğundan Önerme 3.2.2 den dolayı esnek çoklu yarı açık kümedir. Teorem 3.2.19 (ii.) yi kullanarak ((A,E) o ) o =(A,E) o dır. Teorem 3.2.16 yi kullanarak (A,E) o (A,E) o (A,E) yazılır. Bu yüzden (A,E) o ((A,E) o ) o (A,E) o dır. Dolayısıyla ((A,E) o ) o =(A,E) o elde edilir. ii. (A,E) esnek çoklu kapalı küme olduğundan Önerme 3.2.8 den dolayı esnek çoklu yarı kapalı kümedir. Teorem 3.2.18 (ii.) yi kullanarak (A,E) - =(A,E) dır. Teorem 3.2.16 yi kullanarak (A,E) (A,E) - (A,E) yazılır. Bu yüzden (A,E) (A,E) - (A,E) dır. Dolayısıyla (A,E) - =(A,E) elde edilir. Sonuç olarak (A,E) - = (A,E) - =(A,E) elde edilir. 30

4. BÖLÜM ESNEK ÇOKLU TOPOLOJİK UZAYLARDA SÜREKLİ VE YARI SÜREKLİ FONKSİYONLAR Bu bölümde ilk olarak esnek çoklu fonksiyon kullanılarak esnek çoklu sürekli fonksiyon ve esnek çoklu açık fonksiyon yapıları elde edilerek bazı teoremleri incelendi. Daha sonra benzer şekilde esnek çoklu yarı açık kümeler kullanılarak esnek çoklu yarı sürekli fonksiyon ve esnek çoklu yarı açık fonksiyon yapıları elde edildi. Ayrıca bu sürekli fonksiyonların bazı yaygın özellikleri incelendi. 4.1. Esnek Çoklu Sürekli Fonksiyonlar Bu bölümde esnek çoklu sürekli fonksiyon ve bazı temel özellikleri incelendi. Tanım 4.1.1 (X E,τ) bir esnek çoklu topolojik uzay, (F,A), X de bir esnek çoklu küme ve x e (F,A) olsun. Eğer x e (G,B) (F,A) olacak şekilde (G,B) esnek çoklu açık kümesi varsa (F,A) kümesine x e esnek çoklu noktasının bir komşuluğu denir. Özel olarak (F,A) esnek çoklu açık küme ise (F,A) kümesine x e esnek çoklu noktasının bir açık komşuluğu denir. Tanım 4.1.2 (X E,τ) ve (Y K,σ) iki esnek çoklu topolojik uzay ve f: (X E,τ) (Y K,σ) bir esnek çoklu fonksiyon olsun. f(x) k nın her (G,B) esnek çoklu açık komşuluğu için f (F,A) (G,B) olacak biçimde x e nin en az bir (F,A) açık komşuluğu varsa f fonksiyonuna x e X E esnek çoklu noktasında süreklidir denir. Eğer f, her x e X E esnek çoklu noktasında sürekli ise f fonksiyonuna esnek çoklu sürekli fonksiyon denir. Teorem 4.1.3 (X E,τ) ve (Y K,σ) iki esnek çoklu topolojik uzay ve f: (X E,τ) (Y K,σ) bir esnek çoklu fonksiyon olsun. f, esnek çoklu süreklidir ancak ve ancak Y deki her (G,B) esnek çoklu açık kümesi için f -1 (G,B), X de bir esnek çoklu açık kümedir. İspat: f, esnek çoklu sürekli fonksiyon ve (G,B),Y de esnek çoklu açık küme olsun. x e f -1 (G,B) alalım. O halde; 31

f(x) k =f(x e ) f f -1 (G,B) (G,B) yazılır. f sürekli olduğundan f (F,A) (G,B) olacak biçimde x e (F,A) esnek çoklu açık kümesi vardır. Buradan x e (F,A) f -1 f (F,A) f -1 (G,B) elde edilir. Dolayısıyla f -1 (G,B) esnek çoklu kümesinin her noktası iç noktadır. Bundan dolayı f -1 (G,B), X de esnek çoklu açık kümedir. Tersine (G,B), f(x) k nın keyfi bir esnek çoklu açık komşuluğu olsun. O halde (F,A)=f -1 (G,B) X de açıktır. Bu durumda x e (F,A) ve f (F,A) (G,B) dir. Dolayısıyla f, x e de esnek çoklu süreklidir. x e keyfi olduğundan f esnek çoklu sürekli fonksiyondur. Örnek 4.1.4 X={6/a,7/b,8/c}, Y={8/x,9/y,10/z}, E={e 1,e 2,e 3 }, K={k 1,k 2,k 3 } olsun. φ:x * Y * ve ψ:e K fonksiyonları aşağıdaki şekilde tanımlansın; φ(a)=z, φ(b)=y, φ(c)=y, ψ(e 1 )=k 1, ψ(e 2 )=k 1, ψ(e 3 )=k 3. (X E,τ) esnek çoklu topolojik uzayındaki esnek çoklu kümeler aşağıdaki şekilde tanımlansın; (F 1,A 1 )={F 1 (e 1 ),F 1 (e 2 )}={{1/a,2/b,2/c},{1/a,2/b,2/c}}, (F 2,A 2 )={F 1 (e 1 ),F 1 (e 2 ), F 1 (e 3 )}={{6/a,7/b,7/c},{6/a,7/b,7/c}, {6/a,4/b,4/c}}. (Y K,σ) esnek çoklu topolojik uzayındaki esnek çoklu kümeler aşağıdaki şekilde tanımlansın; (G 1,B 1 )={G 1 (k 1 ),G 1 (k 2 )}={{3/x,2/y,1/z},{5/x,9/y,6/z}}, (G 2,B 2 )={G 2 (k 1 ),G 2 (k 2 ), G 2 (k 3 )}={{3/x,7/y,6/z},{8/x,9/y,7/z},{2/x,4/y,6/z}}. f -1 (Φ Y )=Φ X, f -1 Y =X olduğunu biliyoruz. 32

(G 1,B 1 ) ve (G 2,B 2 )esnek çoklu kümelerinin f esnek çoklu fonksiyonu altındaki ters görüntüsü aşağıda elde edilmiştir; C f -1 (G 1,B 1 )(e 1 ) (a)=c G 1 (ψ(e 1 ))(φ(a))=c G1 (k 1 )(z)=1, C f -1 (G 1,B 1 )(e 1 ) (b)=c G 1 (ψ(e 1 ))(φ(b))=c G1 (k 1 )(y)=2, C f -1 (G 1,B 1 )(e 1 ) (c)=c G 1 (ψ(e 1 ))(φ(c))=c G1 (k 1 )(y)=2, C f -1 (G 1,B 1 )(e 2 ) (a)=c G 1 (ψ(e 2 ))(φ(a))=c G1 (k 1 )(z)=1, C f -1 (G 1,B 1 )(e 2 ) (b)=c G 1 (ψ(e 2 ))(φ(b))=c G1 (k 1 )(y)=2, C f -1 (G 1,B 1 )(e 2 ) (c)=c G 1 (ψ(e 2 ))(φ(c))=c G1 (k 1 )(y)=2, C f -1 (G 1,B 1 )(e 3 ) (a)=c G 1 (ψ(e 3 ))(φ(a))=c G1 (k 3 )(z)=0, C f -1 (G 1,B 1 )(e 3 ) (b)=c G 1 (ψ(e 3 ))(φ(b))=c G1 (k 3 )(y)=0, C f -1 (G 1,B 1 )(e 3 ) (c)=c G 1 (ψ(e 3 ))(φ(c))=c G1 (k 3 )(y)=0, dır. O halde f -1 (G 1,B 1 ),A 1 ={{1/a,2/b,2/c},{1/a,2/b,2/c}}=(F 1,A 1 ) elde edilir. Benzer şekilde C f -1 (G 2,B 2 )(e 1 ) (a)=c G 2 (ψ(e 1 ))(φ(a))=c G2 (k 1 )(z)=6, C f -1 (G 2,B 2 )(e 1 ) (b)=c G 2 (ψ(e 1 ))(φ(b))=c G2 (k 1 )(y)=7, C f -1 (G 2,B 2 )(e 1 ) (c)=c G 2 (ψ(e 1 ))(φ(c))=c G2 (k 1 )(y)=7, C f -1 (G 2,B 2 )(e 2 ) (a)=c G 2 (ψ(e 2 ))(φ(a))=c G2 (k 1 )(z)=6, C f -1 (G 2,B 2 )(e 2 ) (b)=c G 2 (ψ(e 2 ))(φ(b))=c G2 (k 1 )(y)=7, C f -1 (G 2,B 2 )(e 2 ) (c)=c G 2 (ψ(e 2 ))(φ(c))=c G2 (k 1 )(y)=7, 33

C f -1 (G 2,B 2 )(e 3 ) (a)=c G 2 (ψ(e 3 ))(φ(a))=c G2 (k 3 )(z)=6, C f -1 (G 2,B 2 )(e 3 ) (b)=c G 2 (ψ(e 3 ))(φ(b))=c G2 (k 3 )(y)=4, C f -1 (G 2,B 2 )(e 3 ) (c)=c G 2 (ψ(e 3 ))(φ(c))=c G2 (k 3 )(y)=4, dır. O halde f -1 (G 2,B 2 ),A 2 ={{6/a,7/b,7/c},{6/a,7/b,7/c}, {6/a,4/b,4/c}}=(F 2,A 2 ) elde edilir. Sonuç olarak f: (X E,τ) (Y K,σ) esnek çoklu sürekli fonksiyondur. Teorem 4.1.5 (X E,τ) ve (Y K,σ) iki esnek çoklu topolojik uzay ve f: (X E,τ) (Y K,σ) bir esnek çoklu fonksiyon olsun. f, esnek çoklu süreklidir ancak ve ancak Y deki her (G,B) esnek çoklu kapalı kümesi için f -1 (G,B), X de bir esnek çoklu kapalı kümedir. İspat: Teorem 4.1.3 ün ispatına benzer şekilde ispatlanır. Teorem 4.1.6 (X E,τ) ve (Y K,σ) iki esnek çoklu topolojik uzay ve f: (X E,τ) (Y K,σ) bir esnek çoklu fonksiyon olsun. Aşağıdaki ifadeler denktir: i. f, esnek çoklu sürekli fonksiyondur. ii. X deki her (F,A) esnek çoklu kümesi için f (F,A ) f(f,a) dır. iii. Y deki her (G,B) esnek çoklu kümesi için f -1 (G,B) f -1 (G,B ) dir. İspat: i ii: f, esnek çoklu sürekli fonksiyon ve (F,A), X de esnek çoklu küme olsun. f (F,A) f (F,A) olduğundan (F,A) f -1 f(f,a) f -1 f(f,a) dır. f sürekli ve f(f,a) kapalı olduğundan f -1 f(f,a) kapalı olup 34

f -1 f(f,a) =f -1 f(f,a) dır. O halde f((f,a )) f(f,a) olur. ii iii : Y de bir esnek çoklu küme (G,B) olsun. (F,A)=f -1 (G,B) diyelim. (ii) gereğince f (F,A ) f (F,A) =f f -1 (G,B) (G,B ) ve böylece (F,A ) f -1 (G,B) olur. Buradan f -1 (G,B) f -1 (G,B ) elde edilir. iii i : (G,B) esnek çoklu kümesi Y de kapalı olsun. O halde )=(G,B) dir. (iii.) gereğince f -1 (G,B) f -1 (G,B ) =f -1 (G,B) dir. O halde f -1 (G,B) =f -1 (G,B) olur. Buradan f -1 (G,B), X de kapalıdır. Teorem 4.1.5 gereğince f fonksiyonu süreklidir. Teorem 4.1.7 (X E,τ) ve (Y K,σ) iki esnek çoklu topolojik uzay ve f: (X E,τ) (Y K,σ) bir esnek çoklu fonksiyon olsun. f, esnek çoklu süreklidir ancak ve ancak Y deki her (G,B) esnek çoklu kümesi için f -1 (G,B) f -1 (G,B) dır. İspat: Y de bir esnek çoklu küme (G,B) olsun. Bu durumda (G,B) (G,B) olduğundan f -1 (G,B) kümesi X de esnek çoklu açıktır. Bu durumda f -1 (G,B) =f -1 (G,B) 35

olur. O halde f -1 (G,B) = f -1 (G,B) f -1 (G,B) dır. Yani f -1 (G,B) f -1 (G,B) dir. Tersine (G,B) kümesi Y uzayında esnek çoklu açık bir küme olsun. Bu durumda (G,B) =(G,B) dir. Teoremin ifadesinden f -1 (G,B) f -1 (G,B) dır. Diğer yandan f -1 (G,B) =f -1 (G,B) olduğundan f -1 (G,B) f -1 (G,B) olur. Teorem 4.1.3 gereğince f -1 (G,B) kümesi X uzayında esnek çoklu açıktır. Böylece f fonksiyonu esnek çoklu süreklidir. Tanım 4.1.8 (X E,τ) ve (Y K,σ) iki esnek çoklu topolojik uzay ve f: (X E,τ) (Y K,σ) bir esnek çoklu fonksiyon olsun. X deki her (F,A) esnek çoklu açık kümesi için f (F,A), Y de esnek çoklu açık küme ise f esnek çoklu fonksiyonuna esnek çoklu açık fonksiyon denir. [15] X deki her (G,B) esnek çoklu kapalı kümesi için f (G,B), Y de esnek çoklu kapalı küme ise f esnek çoklu fonksiyonuna esnek çoklu kapalı fonksiyon denir. Teorem 4.1.9 (X E,τ) ve (Y K,σ) iki esnek çoklu topolojik uzay ve f: (X E,τ) (Y K,σ) bir esnek çoklu fonksiyon olsun. i. f, esnek çoklu açık fonksiyondur ancak ve ancak X deki her (F,A) esnek çoklu kümesi için f (F,A) f (F,A) dır. ii. f, esnek çoklu kapalı fonksiyondur. Ancak ve ancak X deki her (F,A) esnek çoklu kümesi için f (F,A) f (F,A) dır. İspat: i. f, esnek çoklu açık fonksiyon ve (F,A), X de esnek çoklu küme olsun. (F,A), esnek çoklu açık küme, (F,A) (F,A) ve f, esnek çoklu açık fonksiyon olduğundan f (F,A), Y de esnek çoklu açık kümedir. Dolayısıyla f (F,A) f (F,A) dır. Bu yüzden f (F,A) f (F,A) elde edilir. 36