HOELLİNG KONROL GRAFİĞİ VE MY AYRIŞIMI* Hotellig Cotrol Chart ad MY Decomositio Mahmude Reva ÖZKALE Fe Bilimleri Estitüsü İstatistik Aabilim Dalı Selahatti KAÇIRANLAR Fe Edebiyat Fakültesi İstatistik Bölümü ÖZE Kalite kotrol, üretim aşamasıda sesifikasyolara uymaya ürüleri ayrılması ve bu ürüleri egellemesi alamıa gelmektedir. Bu amaçla bir tek kalite karakteristiğii kotrolü içi tek değişkeli kalite kotrol grafikleri, birde fazla kalite karakteristiğii kotrolü içi çok değişkeli kalite kotrol grafikleri kullaılmaktadır. Bu çalışmada Hotellig kotrol grafiği icelemiştir. ek değişkeli kalite kotrolde kotrol dışı durumu kayağıı belirlemesi kolayke, çok değişkeli kalite kotrolde bazı özel tekikleri kullaılması gerekmektedir. Maso-Youg-racy ( MY ayrışımı bu tekiklerde bir taesi olu bu çalışmada ele alımıştır. ABSRAC Quality cotrol meas searatig the roduct which do t coform the sesificatios ad revetig these roducts. For this goal uivariate quality cotrol charts are used for cotrolig oe quality characteristic, multivariate quality cotrol charts are used whe there are more tha oe quality characteristic. I this aer, we examie Hotellig cotrol chart. hough determiig the source of the off-cotrol coditio i uivariate quality cotrol is easy, it is difficult i multivariate quality cotrol. For this reaso it is ecessary to use certai secial techics. Maso-Youg-racy decomositio techic is oe of these techics ad we examie this techic. Giriş İşletmeleri miimum maliyet ve maksimum kazaçla kaliteli ürü ortaya koyma çabası işletmelerde rekabet ortamıı doğmasıa ede olmuştur. E az hatalı ürüü ortaya koyma, yai kaliteli ürü ortaya koyma ürüü üretim aşamasıda kalitesii boza usurlarıı belirleyi bu hatayı/hataları ortada kaldırmayı gerektirmektedir. Bu amaçla yaıla çalışmaları soucuda kalite kotrol bir bilimsel ala olarak karşımıza çıkmıştır. Kalite ile ilgili ilk kayıtlar M.Ö. 50 yılıa kadar uzaır. Bu tarihte güümüze kadar sırasıyla muayee, istatistiksel kalite kotrol, tolam kalite kotrol, tolam kalite yöetimi olarak gelişim aşamalarıda geçmiş, ek çok bilim adamı kalite üzeride çalışmalar yamıştır. Kalitei bir tek taımıı bulumayışı bilim adamlarıı farklı yaklaşımlarla kaliteyi elde etme çabalarıı ortaya çıkarmıştır. Kalite kotrol çalışmaları geel olarak istatistiksel kalite kotrol çalışmaları olarak karşımıza çıkmaktadır. İstatistiksel kalite kotrol tekikleride e çok kotrol grafikleri kullaılmaktadır. Kalite kotrol çalışmasıda hagi kalite kotrol grafikleri kullaılması gerektiği, kotrol dışı durum aalizi, özellikle çok değişkeli kalite kotrolde, deri bilgi birikimii gerektirmektedir. Bu çalışmaı amacı çok değişkeli kalite kotrol grafikleride Hotellig kotrol grafiğii ve kalite kotrolde kotrol dışı durumu kayağıı belirlemesie yaraya tekiklerde biri ola Maso- Youg-racy ( MY ayrışımıı icelemektir. Çok Değişkeli Kalite Kotrol Grafikleri İki veya daha fazla kalite karakteristiklerii (değişkelerii ilişkili olduğu durumda tek değişkeli kalite kotrol tekiklerii kullamak yaıltıcı souçlar verebilir. Öreği, iki değişkeli bir rosesi kotrol etmek içi her bir değişkei kotrol grafikleri çizilir ve gözlemleri kotrol sıırları içeriside olu olmadığı kotrol edilir. Bu amaçla çizilmiş ola Şekil. i ele alalım. Yüksek Lisas ezi-msc. hesis
Şekil.. değişkeli bir gözlem içi kotrol sıırları Gözlem değerleri kotrol sıırları içerisie düştüğü içi roses kotrol altıda görülüyor. Fakat değişkeler ilişkili olduğuda tek değişkeli kotrol grafikleri yeterli olmayacaktır. Şekil. de, Şekil. de görüle oktalara elis kotrol bölgesi ile yaklaşım görülmektedir. Şekil. de tüm gözlemler kotrol altıda ile Şekil. de kotrol dışı gözlem görülmektedir. Değişkeleri ilişkili olduğu durumlarda çok değişkeli kalite kotrol tekikleri kullaılır. Şekil.. Kotrol elisi Çok değişkeli durumda kotrol dışı gözlemler Hotellig, çok değişkeli EWMA (MEWMA ve çok değişkeli CUSUM (MCUSUM kotrol grafikleri kullaılarak belirleir (Motgomery, 997. Burada Hotellig ele alıacaktır. Hotellig İstatistiği
93 yılıda Hotellig, Studet-t istatistiğii geelleştirmiş. 947 yılıda ise çok değişkeli durumda ilişkili değişkeleri aaliz etmek içi kullamıştır. Daha sora bu istatistik Hotellig istatistiği olarak adladırılmıştır. Hotellig istatistiğii dağılım özelliklerii ele almada öce çok değişkeli gözlemleri µ ortalama vektörlü, Σ kovaryas matrisli değişkeli ormal dağılıma sahi kitlede rasgele örekleme ile alıdığıı varsayalım. Bağımsız gözlemleri davraışı bilie veya bilimeye arametreli bir olasılık foksiyou tarafıda açıklaır. Eğer arametreler bilimiyorsa roses kotrolde ike tolaa öceki veri kümeside (HDS de tahmi edilir. Bu -değişkeli öreklem gözlemlerii Hotellig istatistiğie döüştürerek rosesi iceleyeceğiz. Geel bir fikir vermesi amacıyla, kovaryas matrisii öreklem tahmiie dayalı istatistiğii aslıda tek değişkeli studet-t istatistiğii çok değişkeli duruma geişletilmesi olduğuu gösterelim. ek değişkeli studet- t istatistiği ( X µ t = (. S olu karesi alıırsa ( X µ t = = ( X µ ( S ( X µ (. S elde edilir. X i = xi, xi, K, xi i =,, K, olmak üzere X, X,, X ( K µ ortalamalı ve Σ kovaryas matrisli değişkeli ormal dağılımda alıa birimlik öreklem olsu. X, µ ü ve S de Σ ı öreklem tahmi edicileri olmak üzere t istatistiğii çok değişkeli geelleştirilmesi = ( X µ ' S ( X µ (.3 şeklidedir..3 eşitliği ile verile Hotellig istatistiği X ile µ arasıdaki istatistiksel uzaklığı gösterir ve bu ifade - boyutlu gözlemleri ek çok faklı bileşeleri arsıdaki istatistiksel uzaklığı gösterecek şekilde geişletilebilir. Öreği, bir tek gözlem vektörü X ile kitle ortalaması µ veya µ ü tahmii X arasıda ya da i -ici gözlem ortalaması X i ile tüm öreklem ortalaması X arasıda istatistiksel uzaklık taımlaabilir. Her biri m büyüklükte değişke (kalite karakteristiği içere tae gözlemi olduğuu ve gözlemeleri µ ortalama vektörlü ve Σ kovaryas matrisli ormal dağılımda alıdığıı varsayalım. Hesalamalarda aksi belirtilmedikçe bileşe üzeride tek bir gözlem olduğuu, m =, varsayacağız. istatistiğii açıklamasıda farklı olasılık foksiyoları kullaılabilir. Burada üç faklı yaklaşım ele alıır.. Çok değişkeli ormal dağılım içi µ ve Σ ı bilidiğii varsayalım. olu Her bir gözlem vektörü X, içi ( X µ ' ( µ = X istatistiği serbestlik dereceli ki-kare dağılımı, vektörüdeki değişke sayısı ye bağlıdır. X ( (.4 χ, gösterir. dağılımı sadece ( X gözlem. Çok değişkeli ormal dağılım içi µ ve Σ arametrelerii bilimeyi X ve S tahmi edicileri kullaılarak tahmi edildiğii varsayalım. X ve S değerleri gözlemi içere öceki veri kümesi (HDS de elde edilir.
X ve X = i= X i S = ( Xi X( Xi X i= S de bağımsız gözlem vektörü X içi istatistiği ( X X ' S ( X X ( + ( F( (, = olu ve ( serbestlik dereceli F dağılımıa sahitir. 3. µ ve Σ i bilimeyi X ve S ile tahmi edildiğii, X gözlem vektörüü X ve S de bağımsız olmadığıı varsayalım. Bu durumda istatistiğii yaısı ve dağılımı ( X X ' S ( X X ( (.5 (.6 = B( /,( / (.7 şeklidedir. Dağılım değişke sayısı ve öreklem büyüklüğü ye bağlıdır. istatistiğii grafikledirilmesi iki aşamada ele alıır. I. aşamada kotrol durumuda gözlemleri bir veri kümesi oluşturulur, II. aşamada ise istatistiği grafikledirilir. ek değişkeli durumda olduğu gibi çok değişkeli durumda da ö kotrol rosedürü yardımıyla kotrol dışı gözlemler belirleerek gözlem grubuda atılır ve istatistiğie uya ÜKS belirleir. istatistiğii farklı olasılık foksiyoları olduğuda ÜKS ı hesalamaları farklı olacaktır. I. aşama işlemleride beta ve ki-kare dağılımları, II. aşama işlemleride F ve ki-kare dağılımları kullaılır. I. aşama ve II. aşamada istatistiğii grafikledirilmesi: I. Aşamada İstatistiğii Grafikledirilmesi I. aşamada kotrol dışı gözlemleri belirlemesi saa değeri belirleme yötemi ile ayıdır. istatistiği saa değeri belirlemede ideal bir yötem olmamakla birlikte uygulaması kolaydır. Eğer bir gözlem istatistiğie uya ÜKS yi aşarsa bu veri grubuda atılır. I.aşama içi kotrol sıırlarıı belirleyelim. Parametreleri Bilimemesi Durumuda Kotrol Dışı Gözlemi emizlemesi Bir X = ( x, x, K, x gözlem vektörüü kotrol etmek içi grafiğii kullaıldığı bir roseste kotrol dışı gözlemleri veri grubuda atılmasıı ele alalım. Verilerimizi bilimeye ortalamalı ve Σ kovaryas matrisli çok değişkeli ormal dağılımda alıdığıı varsayalım. Ö verilerde µ ve Σ ı tahmileri ola X ve S buluur. İl olarak ö verileri ele alarak rosesi temizlemeye başlarız. Verile bir α içi, ÜKS ye eşit veya daha az ola değerleri tüm gözlem vektörleri veri kümeside kalır. ( ÜKS = B ( α ;,( (.8 üst kotrol sıırı olmak üzere eğer = ( X X S ( X X ÜKS (.9 ise X veride kalır. Eğer bir gözlem vektörü ÜKS de daha büyük bir değere sahise ö veride temizleir. Geriye kala verilerle ortalama vektörü ve kovaryas matrisi içi yei tahmiler hesalaır. İkici olarak, veriler tekrar ele alıır ve bezer işlemler yaılır. Bu şekilde işlemler homoe veri kümesi elde edilee kadar devam eder. So olarak elde edile veri kümesi öceki veri kümesi (HDS olarak adladırılır. µ
Parametreleri Bilimesi Durumuda Kotrol Dışı Gözlemleri emizlemesi Öreklem verilerii bilie ortalama vektörlü ve kovaryas matrisli çok değişkeli ormal dağılımda alıdığıı varsayalım. Bu durumda X = ( x, x, K, x gözlem vektörü içi test istatistiği = ( X µ Σ ( X µ (.0 eşitliği ile verilir. Üst kotrol sıırı ÜKS = χ (. ( α, dır ve üst kotrol sıırıı aşa değeri veri grubuda atılır. II. Aşama İstatistiğii Grafikledirilmesi II.aşamada istatistiğii grafikledirilmesii bilimemesi durumlarıda ele alacağız. µ ve Σ arametrelerii bilimesi veya Bilimeye Parametrelerle Grafiği Gözlem vektörlerii bağımsız, ormal dağılım arametrelerii bilimediği ve tahmi edildiği durumu ele alalım. Prosesi X = ( x, x, K, x gözlem vektörü tarafıda kotrol edildiğii varsayalım. X ile verile değeri = ( X X S ( X X (. S şeklide olu X ve I. aşamada bulua HDS de tahmi edilir. (. ile verile istatistiği F dağılımıa sahi olu verile α içi üst kotrol sıırı, HDS i büyüklüğü olmak üzere, ( + ( ÜKS = F( α ;, ( (.3 şeklidedir. (. ve (.3 yardımıyla yei gözlemler (HDS de farklı ve daha sora elde edilmiş gözlemler grafikledirilir. Hesalaa değerleri ÜKS yi aşarsa gözlemleri aa veri kümesi ile uyumlu olmadığı soucua varırız. Bilie Parametrelerle Grafiği Çok değişkeli ormal dağılımı arametreleri biliiyor ise, II. aşama işlemlerideki bir X = x, x, K, x gözlem vektörü içi değeri ( = Σ (.4 ( X µ ( X µ ile hesalaır. istatistiğii açıklamak içi kullaıla olasılık foksiyou I. aşamada HDS yi oluştururke kotrol dışı gözlemleri temizlemeside kullaıla ki-kare dağılımı ile ayıdır. Verile bir α içi üst kotrol sıırı ÜKS = χ (.5 ( α, ile hesalaır. Bu durumda, kotrol sıırı HDS i büyüklüğüde bağımsızdır. ek değişkeli kotrol rosedürüde geellikle ortalamadaki değişim içi X grafiği ve değişkelikteki değişim içi R grafiği kullaılarak kotrol çalışmaları yaılmaktaydı. Her iki grafikte siyal ortaya çıktığıda öceki verilerde bir samaı olduğuu ve rosesi değiştiğii söyleyebiliyorke çok değişkeli kalite kotrolde durum daha karmaşıktır. Geel alamda istatistiği kotrol bölgesii dışıa düşerse bir siyal ortaya çıkacaktır fakat (değişkeler ilişkili ise değişkeler arsıdaki ilişki de siyale ede olabileceğide siyali belirlemek zorlaşır. Çok değişkeli kalite kotrolde bir siyali yorumlama roblemi içi ek çok çözüm üretilmiştir. Biz burada Maso-Youg-racy (MY ayrıştırma metoduu kullaarak siyali kayağıı bulacağız. MY Ayrışımı
istatistiğii bağımsız bileşee ayrıştırmaı ek çok yolu vardır. MY ayrışımı bu yötemlerde bir taesidir. X = ( x, x, K, x gözlem vektörü içi istatistiği = ( X X S ( X X olarak yazılabilir. ( X = x, x, K, x ( X X vektörüü varyası, sxx ( ve ( ( ( ( X bu ( (.6 boyutlu vektörü ortalaması olmak üzere ( X X = X X,( x x (.7 olarak arçalayalım. Bezer şekilde S xx ilk ( değişke içi kovaryas matrisi, s x i x ve geri kala ( değişke arasıdaki kovaryası içere ( boyutlu vektör S S S = s olmak üzere XX xx matrisii s xx s olarak arçalayalım. Bu durumda (.6 de verile.,,, istatistiğii (.8 = + K (.9 olacak şekilde iki bağımsız terime arçalayabiliriz. (.9 de verile ilk terim ( ( ( ( ( X X = SXX ( X X (.0 olu ilk ( değişkei kullaır ve kedi başıa bir istatistiğidir. (.9 de verile ikici terim ise ( x, x, K, verilmişke x i koşullu dağılımıı stadart sama ve ortalamasıı tahmileri x tarafıda düzeltile X vektörüü -ici bileşei karesidir. Buu şu şekilde gösterebiliriz; B = S XXsxX, x i x, x, K, x ( değişkei üzerideki regresyo katsayılarıı ( vektör tahmii ve x.,, K, = x + B X X (. olmak üzere ( ( ( ( x x =.,, K,.,, K, s.,, K, dır. Koşullu varyası tahmii ise s s s S.,, K, = xx XXsxX.,,, (. (.3 ile verilir. (.9 i ilk terimi bir istatistiği olduğuda bezer şekilde iki ortagoal terime ayrılabilir; = + K (.4 istatistiğii mümkü ola MY ayrışımlarıı tekrarlaması soucuda. 3., K.,,, (.5 = + + + + K elde edilir. (.5 deki ilk terim X vektörüü birici değişkei içi tek değişkeli t istatistiğii karesidir. ( x x = (.6 s dır. Bu terimi değeri bir koşullu dağılıma dayamadığıda bu terime koşulsuz terim, diğerlerie koşullu terim deir.
Ayrışım erimlerii Hesalaması MY ayrışımıı terimlerii hesalama yollarıda birisi şu şekildedir: (.9 de verile istatistiğii ilk terimii X = ( x, x, K, x alt vektörüü değerie uyduğuu biliyoruz. Bu ( durumda = + + + K + (.7 ( x, x, K, x. 3.,.,, K, = K alt vektörüü yazabiliriz. Bezer şekilde bu açılımı ilk ( terimi X( ( x, x,, x değerie uyar, = + + + K +. (.8 ( x, x, K, x. 3.,.,, K, 3 Bu şekilde devam edilerek oriial X vektörüü tüm alt vektörleri içi değerleri hesalaabilir. X = ( x ilk bileşei içere so alt vektör (.6 da verile koşulsuz terimii hesalamada ( = ( x değerleri, ( x, x, K, x, (,,,, x x K x K, ( x ( ( ( x ( (, x, K, x = ( ( kullaılır,. üm X X S X X (.9 ( ( geel formülü kullaılarak hesalaır. Burada X uygu alt vektör, X bu vektörü ortalaması ve S (.8 de verile S matrisii kullaılmaya tüm satır ve sütularıı silimesiyle elde edile alt kovaryas matrisii göstermektedir. Bu durumda, MY ayrışımıı terimleri =.,, K, ( x, x, K x ( x, x, K x = M.,, K, ( x, x, K x ( x, x, K x =. ( x, x ( x x = s şeklide hesalaır. MY Ayrışımıı Özellikleri. istatistiğii arçalaması tek türlü değildir. (.30 ermütasyou olduğuda değerii! farklı şekilde arçalayabiliriz. Öreği, = 3 içi değerii 3! = 6 ayrışımı vardır. Bular şu şekildedir. ( x, x, K, x vektörüü bileşelerii!
= + +. 3., = + + 3.., 3 = + + 3.., 3 = + +. 3., = + + 3.3., 3 = + + 3.3., 3 (.3 Böylece istatistiği farklı açılarda değerledirilebilir.. Ayrıştırmada öce terimler bağımsız olmamasıa rağme her hagi bir ayrışımdaki terim birbiride bağımsızdır. Her bir arçalamadaki terim ve! arçalamayla birlikte, siyal vere bir istatistiğii tolam MY ayrıştırmasıı hesalamada ( x! terim vardır. 3. Parçalamalar tek türlü olmadığıda belirli bir terim birde fazla buluacaktır. Geel ( olarak, mümkü ola ayrışımlar arasıda farklı terim vardır. Bu farklı terimler siyalie olası katkı içi test edilmesi gerekelerdir. farklı koşullu terim vardır. 4. MY ayrışımıda ( Siyal Vere Değişkeleri Belirlemesi Siyale katkıda bulua vektör bileşelerii buluması, siyal vere gözlem vektörüü MY ayrışımıı her bir terimii kedi kritik değeri ile karşılaştırılması ile mümküdür. değişkeli durumda koşulsuz terimler + F(, (.3 ve k koşullu terim sayısı olmak üzere koşullu terimler ( + (,,,..., (, ( F k k (.33 şeklidedir. Bu dağılımlar yardımıyla belli bir α ve öceki veri kümesii (HDS büyüklüğü kritik değer + Koşulsuz erimler : KD = F( α ;, (.34 ( + ( Koşullu erimler : KD = F( α ;, k ( k şeklide olu ayrışımı her bir terimi kedi kritik değeri ile karşılaştırılır ve belli bir souca varılır. içi Bir Bileşeideki Siyali Yorumu Siyal vere bir gözlemle ele alalım, istatistiğii ayrışımıda elde edile ( x x =, =,, K,. (.35 s Kotrolü devam edebilmesi içi bu bileşei KD de küçük olması gerekir, + < F( α ;,. (.36 t( α, = F( α;, olduğuda bu ifadesii koşulsuz terimde birii
( + ( + x t( α, s < x < x + t(, s α (.37 aralığı ile belirtebiliriz. (.37 deki kotrol sıırları değişkei her biri içi oluşturulur ve -boyutlu uzayda grafikledirilirse hierdikdörtgesel kutu elde edilir. Fakat, istatistiğie dayalı ek çok kotrol bölgesi kutu içerisie yerleştirilmiş hierelistir. Çoğu durumda ise elis kutu içerisie uymaz. Şekil.3 de = 3 içi bu durumu gösterelim. Şekil.3. Kutu içerisideki elisoid (Maso ad Youg, 00 Dikdörtgesel kutu (.37 yardımıyla hesalaa her bir değişke üzerideki kotrol sıırlarıı göstermekte ike elisoid tüm istatistiği içi kotrol bölgesii göstermektedir. Gözlem değerleri dört farklı şekilde gözlemleir:. Gözlem değerleri elitik bölgei ve kotrol sıırlarıı içide ise: Proses kotrol altıdadır, siyal ortaya çıkmaz.. Gözlem değerleri elitik bölgei ve kotrol sıırlarıı dışıda ise: Koşulsuz terim üzerideki siyal, o terimi HDS ile belirlee işlem aralığıı dışıda olduğu alamıa gelir. Yai, - ici değişke üzerideki gözlem HDS tarafıda belirledikte sora değişmiştir. Bu edele tüm koşulsuz terimlerle belirlee kotrol sıırı ile taımlı hierdikdörtgesel kutuu dışıa düşecektir. (Şekil.3 deki A oktası 3. Gözlem değeri elitik bölgei içide, kotrol sıırlarıı dışıda ise: Koşulsuz terim siyal ürettiğide o terim üzerideki gözlem izi verile gözlem aralığıı dışıdadır fakat elitik bölgei içide olduğuda bu okta içi tüm değeri siyal vermez. (Şekil.3 de C oktası 4. Gözlem değeri elitik bölgei dışıda, kotrol sıırları içide ise: Bu durumda roses siyal verecektir. Gözlem değeri kotrol sıırları içeriside olduğuda ( siyal vermeyecek siyali sebebii belirleyebilmek içi koşullu terimleri icelemesi gerekir. ( x x =.,, K,.,, K, s.,, K, (.38 ile verile geel koşullu terimii ele alalım. (.38 deki değer üst kotrol sıırıda küçükse ( + (.,, K, < ( α ;, ( k F (.39 X = ( x, x, K, x, K, x gözlem vektörüde x bileşei x, x, K, x verilmişke x i koşullu dağılımda içerilir ve elitik kotrol bölgesii içerisie düşer. x, x, x, K, x verildiğide x i koşullu dağılımda bulumadığı durumda (.38 de verile terimde siyal oluşur, ( + (.,, K, > ( α ;, ( k F (.40
Buu alamı x, x, K, x değişkeleri içide ve arasıdaki ilişkide yalış bir şeyleri olduğudur. Öreği;.,, K, deki bir siyal, ilişkiye ters olduğu şeklide yorumlaabilir. KAYNAKLAR x ve diğer değişkeler arasıdaki ilişkii öceki veride gözlee MASON, R. L.; YOUNG, J. C., 00, Multivariate Statistical Process Cotrol with Idustrial Alicatios. ASA-SIAM Series o Statistics ad Alied Probability, 50. MONGOMERY, D. C., 997, Itroductio to Statistical Quality Cotrol. Joh Wiley ad Sos., Caada, 677. ÖZKALE, M. R., 004, Yüksek Lisas ezi, İstatistiksel Kalite Kotrol Yötemleri ve Uygulamalar. (Yayılamamış