1 OTOMATİK KONTROL DERS NOTLARI DERLEYEN: Doç. Dr. Hüseyin BULGURCU BAU MMF Makine Müh. Bölümü Kasım 2014
2 BÖLÜM-1 OTOMATİK KONTROLE GİRİŞ Kontrol Mühendisliği Kontrol Mühendisliği hedef odaklı sistemlerin analizi, tasarımı ve uygulamaları ile ilgilidir. Hedef odaklı sistemler aşağıdaki durumları sağlar: Sistem değişkenlerini istenen sabit değerde kalacak şekilde düzenler (araç sabit hız kontrolü, oda sıcaklık kontrolü, vb.) Sistem değişkenlerini sürekli izleyerek istenen değerler haline dönüştürülmesi denetlenir (robot hareketi, güdümlü füze, vb.) Otomatik Kontrol Sistemleri Nedir? Bir kontrol sistemi istenilen sistem cevaplarını almak üzere sistemi oluşturan bileşenler arasında bir düzenleme yapılmasıdır. Süreç; kontrol edilmesi gereken bir bileşendir (veya bileşenlerdir). Denetleyici; süreci kontrol eden bir bileşendir. Denetim; insan müdahalesi olmadan otomatik olarak yapılır. Süreç Süreç çıkışları kontrol edilmesi gereken değişkenlerdir. Süreç girişleri denetleyici tarafından yönlendirilmesi gereken değişkenlerdir. Şekil-1 Çoklu giriş, çoklu çıkış süreçleri Denetleyici (Kontrol Cihazı) Denetleyici çıkışları; süreci yönlendirilen değişkenleridir. Denetleyici girişleri; süreç çıkış değişkenlerinin istenen değerlerini ve aynı zamanda süreç değişkenlerinin gerçek değerlerini (geri besleme) kapsar. Denetleyicinin amacı süreç çıkış değişkenlerini istenen gerçek değerlere dönüştürmektir. Tek Girişli, Tek Çıkışlı Süreç Açık Döngülü Süreç Kapalı Döngülü Süreç
3 Açık Döngülü Denetim İstenen hız; yükseltici giriş voltajı ile ayarlanır (Hassas motor-yükseltici modeli gerekli!). Hız hataları düzeltilemez. Kapalı Döngülü Denetim İstenen hız; yükseltici giriş voltajı ile ayarlanır (Hassas motor-yükseltici modeli gerekli değil!). Hız hataları düzeltilebilir. Denetim Sistemlerinin Tarihçesi 1769 Buhar Makinesi Regülatörü (Watt) 1868 Regülatör kontrol analizi (Maxwell) 1927 Telefon yükseltici analizi (Bode) 1932 Kararlılık analizi (Nyquist) 1940 Otomatik pilotlar, silah takip sistemleri, radar, vb. 1952 Makine takım sayısal denetimi (MIT) 1970 Durum değişkeni modelleri, optimal denetim 1994 Otomobillerde kapsamlı geri bildirim denetimi Neden Otomatik Kontrol Eğitimi? Endüstriyel süreçlerin otomatik denetimi (kimya, kağıt, otomotiv, vb.) Daha ucuz ürünler Daha güvenli ve yüksek kaliteli ürünler Pazardaki değişimlere daha hızlı uyum Otomatik kontrol şu alanlarda çok önemlidir: Haberleşme sistemleri ve cihazları Askeri ve havacılık sistemleri Bilgisayar disk sürücüleri ve yazıcılar, vb.
4 Bir Denetim Sistemi Neden Çok Önemlidir? Tepki (cevap) hızı Doğruluk Dinamik aşma değeri Kararlı durum hatası Kararlılık Sağlamlık Modellerde hatalar Doğrusal olmayan ve dinamik değişen süreçler Bozucu tesirlerin etkisi Ders Hedefleri Öğrenciler Otomatik Kontrol Dersini tamamladığında: Denetim sistemlerinin tasarımı analizindeki kontrol kuramını anlar. Denetim sistemi mimarisinin etkisini ve sistem performansını, parametre değerlerini ve sistem dinamiklerini anlar. Denetim analizi ve tasarımında bilgisayar cihazlarının kullanımını anlar. Sürekli denetimde ile benzerlikleri ve ayrık denetimi (bilgisayar) anlar. BÖLÜM-2 SİSTEMLERİN MATEMATİK MODELİ Matematik Modele Olan İhtiyaç Karmaşık denetim sistemlerini anlamak için sayısal matematik model gereklidir. Bir çok fiziksel sistemlerin modellenmesinde esas yöntemdir: Mekanik Elektrik Hidrolik Biyolojik Modelleme Adımları Fiziksel sistemi ve elemanlarını anlamak Basitleştirmek için uygun kabuller yapmak Matematik modeli formüle etmek için temel prensipler kullanmak Modeli tanımlayan cebirsel veya diferansiyel denklemleri yazmak Modelin geçerliliğini test etmek Modeli Ne Amaçla Kullanacağız? Diferansiyel veya cebirsel denklemlerin çözülmesi sistem tepkisinin, performans analizinin ve tasarımının yapılmasına imkân verir. Modele Laplace dönüşümlerinin uygulanması; uygun yönlendirmelere ve dinamik analize imkân verir. Sistemler ve elemanları için giriş-çıkış ilişkileri alınabilir. Denetleyici modelleri donanıma uygun şekilde tasarlanabilecektir.
5 Mekanik Yay-Kütle Sistemi Kütlesi M olan bir cismin sürtünmesiz ortamda sabit bir duvara, katsayısı k olan bir yay ile bağlandığını kabul edelim: Kütlenin zamana bağlı konum pozisyonu için bir modele ihtiyaç vardır. Fiziksel Sistemin Analizi Yay kuvveti yalnızca kütle kuvvetinden etkilenir. Yay kütleye ters yönde oransal bir kuvvet uygular: Newton Kanunu: F=M.a Diferansiyel Eşitliğin Çıkarılması İkinci dereceden işlem n : Doğal frekans (Sönümlenmemiş) n genel anlamı ile soyut bir terimdir.
6 Sistem Karakteristikleri Sistem girişe sahip değildir. Kütleyi dışarıdan etkileyen bir kuvvet yoktur. Türev eşitliğinde sağ tarafta sıfır ile gösterilir. Sistem sönümlemeye sahip değildir. Sistemde enerji salınımı yoktur. Türev eşitliğinde bu birinci terimin ihmal edilmesiyle gösterilir. Yay-Kütle-Damper Sistemi Kütle yay sabiti k olan bir yayın son konumundan x(t) gerilir. Sönümleme katsayısı C olan amortisör harekete hızla orantılı direnç gösterir.
7 İkinci Derecede İşlem Cevabı Sistem girişi: x(t)=1 m n=2 r/s
Hidrolik Silindir 8
9 İntegral İşlem Cevabı Adım giriş: q(t)=1 cm 3 /s RC Devre
10 Birinci Derece İşlem Cevabı Adım girişi: x(t)= 1 Volt = 1 saniye Karışım Vanası ve Boru
11 Yaygın İşlem Tipleri Bileşen Kombinasyon Örneği
12 Çalışır Model Oluşturulması Hedef düşük dereceden doğrusal modeli geçerli kılmak ve bir bakışta hissetmektir. Fiziksel bileşenleri anlamak Uygun kabuller yapmak Model için basit bağıntıları kullanmak Gerektiğinde doğrusal hale getirmek Diferansiyel ve cebirsel eşitlikler yazmak Bağıntıları birleştirmek ve basitleştirmek Modelin geçerliliğini test etmek Yaygın İşlem Tipleri Yay-Kütle Modeli İçin Varsayımlar Yay sola doğru aşırı sıkıştırılırsa model doğru mudur? Yay sağa doğru aşırı uzatılırsa model doğru mudur?
13 Yay-Kütle Sisteminin Doğrusallığı Tüm modeller bir yaklaşım öngörür ve böylelikle bazı hatalar içerir. Bir aralıkta, belli bir çalışma noktası etrafında, sistem davranışlarını doğrusal bir modele yaklaştırılır. Doğrusallaştırma Bir sistemin doğru bir bileşeni için; Şayet x 1 giriş için y 1 çıkış alınıyor ve Şayet x 2 girişi için y 2 çıkışı alınıyorsa sonra x 1 +x 2 girişi için y 1 +y 2 çıkışı alınır. Taylor Serisi Açılımı-Tek değişkenli x 0 yapılan açılımdaki çalışma noktasıdır. x-x 0 değerinin küçük kademelerinde çalışma noktasının yansıması fonksiyona iyi bir yaklaşım gösterir. Taylor Serisi Açılımı-Çok değişkenli
14 x 0, y 0, yapılan açılımdaki çalışma noktasıdır. (x-x 0 ), (y-y 0 ) değerinin küçük kademelerinde çalışma noktasının yansıması fonksiyona iyi bir yaklaşım gösterir (yüksek dereceden terimler ihmal edilmiştir). Doğrusal Olmayan Yay Bileşen Kombinasyonu Örneği Karıştırıcı ve Boru
15 Hidrolik Silindir Bileşen Kombinasyonu Örneği Bileşen Kombinasyonu Örneği
16 Model Basitleştirilebildi mi? Doğal frekans n beklenen çalışma frekanslarıyla karşılaştırıldığında çok yüksek ise sönümleme ne çok yüksek ne de çok düşük olur ( 1), D gecikmesi, beklenen cevap zamanıyla karşılaştırıldığında çok küçükse, Laplace Dönüşümlerine Olan İhtiyaç Diferansiyel bağıntıları basitleştirip birleştirerek kullanışlı hale getirir. Modelleri sadeleştirip kolaylaştırır. Sistem ve bileşenlerin blok diyagramlarının çiziminde kolaylık sağlar. Diferansiyel bağıntıların çözümünü kolaylaştırır (Çeşitli girişler için çıkışlar bulunur). Kararlılık analizi, frekans cevabı, vb. hesaplamalarda kolaylık sağlar. Denetim cihazı tasarımını kolaylaştırır.
17 TABLO-1.1 İdeal sistem elemanlarının temel özellikleri
18 2.BÖLÜMLE İLGİLİ PROBLEMLER 1) Bir sıvı ısıtma sisteminin matematik modelini kurunuz (sistemde üretilen ve depolanan ısının olmadığı kabul edilecek). 2)
19 BÖLÜM-3 LAPLACE DÖNÜŞÜMLERİ Bağıl olarak çözümü daha zor olan diferansiyel denklemler yerine daha kolay çözülebilen cebirsel bağıntılar Doğrusal diferansiyel denklemleri uygulama Fiziksel olarak gerçekleşebilen sinyal uygulaması Uygulama sırası: o Diferansiyel denklemin alınması o Yeni denkleme dönüştürme o Denklemi çözme veya daha ileri seviyede analiz etme Verilen bir zaman değişkeni; t ve zaman fonksiyonu; f(t) ise Yeni bir değişken; s olarak tanımlanır. s bir karmaşık değişkendir: s= +j F(t) den Laplace dönüşümü L[f(t)]= F(s) Laplace Dönüşümünün Tanımı s yeni karmaşık değişkendir: s= +j Gösterimi kolaylaştırmak için; Zaman fonksiyonunun bir sabit ile çarpımı İki zaman fonksiyonunun toplamı
20 Birinci dereceden zamana bağlı türev Kısımlara bölerek entegre edilirse Birinci dereceden zamana bağlı türev + süreksizliktir Zaman fonksiyonunun türevi
21 Zaman fonksiyonunun ikinci derece türevi: Zaman fonksiyonunun daha yüksek türevleri Sıklıkla: başlangıç şartları=0 kabul edilir. Fonksiyon Onun türevleri Zaman gecikmesi Tanım:
22 Ancak Termal sistem Sıvı akış debisi: Q Yalıtım direnci: R Isı girişi: e(t) Sıcaklık farkı: (t)= 0 (t) - t e (t) Termal kapasite: C t Sıvının özgül ısısı: S f (t)= 0 (t) - t e (t) Enerji dengesi Laplace dönüşümü Yay-kütle-damper
23 Boru ve karışım vanası Gecikme işlemi Laplace Dönüşümü s yeni karmaşık değişken Dönüşüm: Diferansiyel denklemler Cebirsel denklemler Zaman fonksiyonları (adım, uyarı etkisi, sinüs, vb.) DC motor-yükseltici sistemi
24 Mekanik sistem değişkenleri (t): dönme konumu (t): dönme hızı T(t): motor momenti J: motor ataleti K t : moment sabiti Elektriksel sistem değişkenleri i(t): motor akımı e(t): yükseltici çıkış voltajı v(t): yükseltici giriş voltajı R: motor direnci L: motor endüktansı K e : ters EMK sabiti K v : takometre kazancı Motor-yükseltici denklemleri Dönüşüm Denklemleri
25 Birim adım fonksiyonu Birim tepki fonksiyonu
26 Hopital kuralının kullanımı Pay ve payda ayıracı t ile ilgilidir: Üstel fonksiyon
27 Doğrusal olmayan tank sistemi Vananın doğrusal olmayan davranışı: Vana akışında doğrusallaştırılmış model
28 Doğrusallaştırılmış tank modeli Dönüştürülmüş tank sistemi modeli q i (t) deki değişimlere tank nasıl cevap verir? (t) değişiklik olurmu? Çözüm gerekli!
29 BÖLÜM-4 TRANSFER FONKSİYONLARI Bir sistemin transfer fonksiyonu Laplace dönüşümünün çıkışı ile girişi arasındaki oran olarak tanımlanır. Doğrusal, sabit sistemlere uygulanır (doğrusal olmayan bir sistem zamanla değişen parametrelere sahiptir). Tüm başlangıç şartları sıfır olarak kabul edilir. Dinamik giriş-çıkışları tanımlar (sistemin iç yapısı ile ilgilenmez). DC motor-yükseltici sistemi Elektro-mekanik sistem Sistem transfer fonksiyonu Sistem model dönüşümü Sistem transfer fonksiyonu (çıkış/giriş) Transfer fonksiyonu tüm girişler için geçerlidir (yalnızca özel bir giriş için geçerli değildir)
30 Doğrusal olmayan tank sistemi Vananın doğrusal olmayan davranışı: Doğrusallaştırılmış tank modeli Çıkış iki girişin fonksiyonudur! Tank transfer fonksiyonu h(t) ve (t) arasındaki ilişki:
31 h(t) ve q i (t) arasındaki ilişki: BÖLÜM-5 DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜ Bileşen modellerinin Laplace dönüşümlerini ve giriş fonksiyonlarını alın. Bileşen modellerini bir sistem halinde birleştirin. Giriş fonksiyonlarının yerine dönüşümleri koyun. Sistem çıkışı için çözüm yapın. Çıkış için alınan zaman-alan çözümüne ters Laplace dönüşümü uygulayın. Laplace dönüşüm tablosu Kısmi kesirlere ayırma Ters Laplace Dönüşümü L -1 [F(s)]=f(t) Ters Laplace dönüşümü gerçekten bir integral değerlendirmesi sonucu bulunmuş değildir. Neyse ki, dönüşüm elde etmek için genelde Ters Dönüşüm eşsiz bir zaman fonksiyonudur. Böylelikle Laplace dönüşümlerinin bir tablosu her iki yöntemle kullanılır! Ters Laplace dönüşümü F(s) fonksiyonun ters dönüşümü genelde iki polinom oranı şeklinde olması beklenir. i ve n pozitif tamsayıdır. c ler ve b ler gerçek sayıdır. Ters dönüşüm zor gibi görünür. kısmi kesirler yardımıyla gruplara ayırarak ters dönüşüme daha kolay uydurulabilir. Kısmi kesirlere ayırma Payda faktörü Genişletilmiş F(s) faktörlerin toplamıdır.
32 TABLO-1.2 Laplace Dönüşüm Çiftleri Tablosu a ve C ler karmaşık sayılardır. Şayet karmaşıksa a ve C ler karmaşık eşlenik çiftler olarak görünür. Karmaşık eşlenik çiftler salınımlı çözümlere yardımcı olur. a k tekrarlanmayan faktörler var ise;
33 Örnek: Ters Dönüşüm Laplace dönüşümleri tablosundan: Böylelikle ters dönüşüm F(s): F(s) dönüşümü için sistem diferansiyel denkleminin bir çözümü f(t)dir. Şayet tekrar eden ifadeler mevcutsa;
34 Tekrar eden ifadelere örnek Laplace dönüşümleri tablosundan; Ters dönüşüm; Doğrusal olmayan tank sistemi Vana akışının doğrusal olmayan davranışı:
35 Tank modelinin dönüşümü ve girişler Kararlı durum şartlarından önce t=0 kabulü yapın: t=0 için (t) nin küçük adımlı olduğunu kabul edin: Sistem çıkışının dönüşümü Sistem çıkışının ters dönüşümü Laplace dönüşüm tablosu kullanılarak;
36 Son Değer Teoremi Bir fonksiyonun son değerini bulun f( ) Sabit durum değeri Geçiş bölgesi dışındaki değer Tepki tamamlandığındaki değer F(s nin payda kökleri negatif gerçek değere sahipse genelde sınır mevcuttur. Bir kök sıfır olabilir. Başlangıç değeri teoremi Tank örneği: Başlangıç ve son değer Çözümün dönüşümü: burada:
37 Çözüm: Tank örneği: Başlangıç değeri Tank örneği: Son değeri Tank örneği: Gözden geçirme Başlangıç değeri (t=0 + ): Final değeri (t= ):
38 5.BÖLÜMLE İLGİLİ SORULAR Aşağıda Laplace dönüşümü verilen y(t) fonksiyonlarının başlangıç ve final değerleri nedir? 1) 2) 3) 4) Aşağıdaki sistemde sıvı yüksekliği h(t) olup çıkış debisi q o (t) ve giriş debisi q i (t) arasındaki bağıntıyı çıkarınız. A: tankın yüzeyi (m 2 ), G v : Çıkış vanası katsayısı q o (t)=g v h(t), Tankta toplanan sıvı debisi q s (t) = q i (t) q o (t) q i A h G v q o