PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ SONSUZ ARALIK ÜZERİNDE LİNEER OLMAYAN ZAMAN SKALASI SINIR DEĞER PROBLEMLERİ YÜKSEK LİSANS TEZİ Zehr YILMAZ Anilim Dlı: Memik Progrmı: Tezli Yüksek Lisns Tez Dnışmnı: Doç. Dr. İsmil YASLAN TEMMUZ 03
iii
ÖNSÖZ Bu çlışmd zmn sklsı üzerinde ele lınn ikinci mereeden impulsive sınır değer prolemi için si nok eoremlerini kullnrk koni üzerinde poziif çözümlerinin vrlığı için koşullr incelenmişir. Bu ez çlışmsını hzırlrken değerli yrdım ve kkılrıyl eni yönlendiren, nlyışını, emeğini ve zmnını esirgemeyen çok kıymeli hocm Syın Doç. Dr. İsmil YASLAN ve u süreçe hoşgörü ve sırl eni desekleyen ileme eşekkürü ir orç ilirim. Temmuz 03 Zehr YILMAZ iv
İÇİNDEKİLER ÖZET... vi SUMMARY... vii. GİRİŞ.... ZAMAN SKALASI İLE İLGİLİ TEMEL BİLGİLER...3. Temel Tnımlr... 3. Zmn Sklsınd - Türev... 4.3 Zmn Sklsınd - Türev... 6.4 Zmn Sklsınd - İnegrl... 8.5 Zmn Sklsınd - İnegrl...0 3. SONSUZ ARALIK ÜZERİNDE LİNEER OLMAYAN ZAMAN SKALASI SINIR DEĞER PROBLEMLERİ... 3. Temel Tnımlr... 3. An Sonuçlr İçin Gerekli Lemmlr...4 3.3 En Az Bir Çözümün Vrlığı...8 3.4 En Az Bir Poziif Çözümün Vrlığı...0 3.5 En Az İki Poziif Çözümün Vrlığı...3 3.6 En Az Üç Poziif Çözümün Vrlığı...6 4. SONUÇ... 34 KAYNAKLAR... 35 ÖZGEÇMİŞ... 36 Syf v
ÖZET SONSUZ ARALIK ÜZERİNDE LİNEER OLMAYAN ZAMAN SKALASI SINIR DEĞER PROBLEMLERİ Bu ez üç n ölümden oluşmkdır. Birinci ölümde, ele lınn prolem nıılmışır. İkinci ölümde, zmn sklsı ile ilgili emel nım ve eoremler verilmişir. Üçüncü ölümde, ilk olrk çözümlerin vrlığı için yrdımcı nımlr ve n sonuçlr için gerekli lemmlr verilmişir. Sonr, impulsive sınır değer prolemi, inegrl denkleme indirgenmişir ve Schuder Si Nok Teoremi yrdımıyl impulsive sınır değer proleminin en z ir çözümünün vrlığı için krier elde edilmişir. Ardındn d, impulsive sınır değer proleminin en z ir poziif çözümünün vrlığı Krsnosel skii Si Nok Teoremi ve Lery-Schuder Si Nok Teoremi yrdımıyl, en z iki poziif çözümünün vrlığı Avery-Henderson Si Nok Teoremi yrdımıyl ve en z üç poziif çözümünün vrlığı Beş Fonksiyonel Si Nok Teoremi yrdımıyl isplnmışır. Anhr Kelimeler: Zmn Sklsı, si nok eoremleri, koni, poziif çözümler. vi
SUMMARY NONLINEAR TIME SCALE BOUNDARY VALUE PROBLEMS ON INFINITE INTERVALS This hesis consiss of hree min chpers. In he firs chper, discussed prolem is inroduced. In he second chper, some sic definiions nd heorems on ime scles re given. In he hird chper, firsly, uxiliry definiions for he exisence of soluions nd some lemms for he min resuls re given. Then, impulsive oundry vlue prolem is reduced o nonliner inegrl equion nd we hve oined crieri for he exisence of les one soluion for impulsive oundry prolem y using Schuder fixed poin heorem. Then, we use Lery- Schuder fixed poin heorem nd Krsnosel skii fixed poin heorem o prove he exisence of les one posiive soluion. And hen, we eslish some sufficien condiions for he exisence of les wo nd hree posiive soluions for impulsive oundry vlue prolem y using Avery-Henderson fixed poin heorem nd five funcionl fixed poin heorem, respecively. Key Words: Time scle, fixed poin heorems, cone, posiive soluion. vii
. GİRİŞ Bu ez çlışmsınd, zmn sklsı üzerinde ikinci mereeden lineer olmyn impulsive sınır değer prolemlerinin sonsuz rlık üzerindeki poziif çözümlerinin vrlığı incelenmişir. Zmn sklsı eorisi, ilk olrk 988 yılınd Sefn Hilger in dokor ezinde ory ılmışır. Ayrık olylrı nımlmd m syılr üzerindeki frk nlizi ve sürekli doğl olylrı nımlrken de reel syılr üzerindeki ildiğimiz nliz kullnılır. Zmn sklsı u iki durumu irleşirir. Ayrıc, reel syılr ve m syılr dışınd, dh irçok zmn sklsı seçileileceğinden dolyı zmn sklsı üzerinde ypıln çlışmlr dh geneldir. Zmn sklsı, yrık ve sürekli prçlrdn oluşn kümelerin nlizi üzerindeki çlışmlrd ize yrdımcı olur. Impulsive difernsiyel denklemler, elirli nlrd durumund ni değişiklik göseren süreçleri ifde ederler. Zmn sklsınd impulsive denklemler üzerine ilk çlışm, 00 yılınd Johnny Henderson rfındn ypılmış ve u konuy ilgi rmışır. Impulsive denklemler eorisi, fizik, kimy eknolojisi, nüfus dinmikleri, iyoeknoloji, ypy sinir ğlrı ve ekonomi de ory çıkn prolemlerin memiksel modellemesinde oldukç önem kznmışır. Zmn sklsı üzerinde lineer olmyn sınır değer prolemlerinin sonlu rlık üzerindeki poziif çözümlerinin vrlığı üzerine irçok çlışm ypılmışır, fk sonsuz rlık üzerinde çok z syıd çlışm vrdır. Zho ve Ge (009) mklesinde p u 0 u, lim u 0,, 0, 0, u q f u u sınır değer proleminin en z üç poziif çözümünün vrlığı prolemini, Legge- Willims si nok eoremi ile incelenmişir. Dh sonr, Zho ve Ge (00) mklesinde p,, 0, 0, u h f u u m m u 0 iu i, u iu i i i sınır değer prolemi içinde, Beş Fonksiyonel Si Nok Teoremini kullnrk, en z üç poziif çözümün vrlığı için koşullr elde emişir.
Ayrıc, Zho ve Ge (009) mklesinden esinlenerek ory çıkn Krc ve Tokmk (0) mklesinde p,, 0, 0, x f x x m x 0 ix i, lim x 0 i sınır değer proleminin en z üç poziif çözümünün vrlığı prolemi, Legge- Willims si nok eoremi ve Beş Fonksiyonel Si Nok Teoremi ile incelenmişir. Yukrıd verilen çlışmlrdn hrekele, y k y k Ik y k m y y i y i, lim y 0 i y h f, y, y 0,, sınır değer prolemini ele lrk, en z ir, iki ve üç poziif çözümün vrlığı için gerekli koşullr elde edeceğiz. Elde edilen sonuçlr, genel zmn skllrınd yeni olduğu kdr, özel olrk difernsiyel denklem ve frk denklemleri için de yenidir.
. ZAMAN SKALASI İLE İLGİLİ TEMEL BİLGİLER Bu ölümde Bohner ve Peerson (00), Bohner ve Peerson(003) kynklrındn yrrlnrk zmn sklsı üzerine emel nımlr, - ürev, - ürev, - inegrl ve - inegrl kvrmlrı nıılmışır.. Temel Tnımlr Tnım..: Reel syılrın oş olmyn keyfi kplı l kümesine zmn sklsı denir ve ile ifde edilir. Örnek..:,,, sklsıdır.,, 0,,,0 : n kümeleri irer zmn n Örnek..:,,,,, \ ve kümeleri zmn sklsı değildir. Tnım..: ir zmn sklsı olsun. için inf s : s ile nımlı : elemnı operörüne ileri sıçrm operörü denir. Eğer nin mksimum ise olrk nımlnır. Tnım..3: ir zmn sklsı olsun. için sup s : s ile nımlı : elemnı operörüne geri sıçrm operörü denir. Eğer nin minimum ise Tnım..4: Eğer olrk nımlnır. ise noksın sğ-yyılmış nok, ise noksın sol-yyılmış nok denir. Hem sğ-yyılmış hem de sol-yyılmış oln noklr izole(yrık) noklr denir. Tnım..5: Eğer sup ve ise noksın sğ-yoğun nok, inf ve ise noksın sol-yoğun nok denir. Hem sğ-yoğun hem de solyoğun oln noklr ise yoğun noklr denir. Örnek..3: Eğer enzer şekilde Örnek..4: = ise için inf : inf, s s ve olur. O hlde deki her nok yoğundur. = ise için ve olduğundn deki her nok izole nokdır. Tnım..6: Eğer sol-yyılmış mksimum m elemnın ship ise ile nımlnır. Özele; m 3
\ sup,sup,sup,sup şeklinde yzılilir. Eğer f : ir fonksiyon ise f : fonksiyonu için f f ile nımlnır. nımlnır. Bir zmn sklsınd, rlığı, : olrk Zmn sklsınd süreklilik ve ürev kvrmlrını vereilmek için, öncelikle zmn sklsınd komşuluk kvrmın ihiycımız olckır. Tnım..7: U olsun. 0 komşuluğu denir. Tnım..8: 0 olsun. Verilen her 0 olck şekilde ir f f 0 fonksiyonun 0 noksınd süreklidir denir. için U s : s ve her 0 kümesine nin U 0 için, U komşuluğu uluniliyors f : Örnek..5: f :, 0, f, 0 fonksiyonu verilsin. ) ise f, 0 d sürekli değildir. ) ise f, de süreklidir.. Zmn Sklsınd Türev Tnım..: f : ir fonksiyon ve olsun. 0 syısı verildiğinde nin ir U komşuluğu vrdır öyle ki s U için, oluyors, Eğer f f f f s f s s syısın f nin noksındki del ürevi denir., için mevcu ise f fonksiyonu üm ürevleneilirdir. f : fonksiyonun ise, f nin fonksiyonu denir. kümesi üzerinde del kümesindeki del ürev 4
Teorem..: f : fonksiyonu ve verilsin. i) f, de del ürevleneilir ise f, de süreklidir. ii) iii) olur. f, de sürekli ve sğ-yyılmış ise f, de del ürevleneilirdir ve sğ-yoğun ir nok olsun. f, de del ürevleneilirdir f f f ; f iv) f, de del ürevleneilir ise, Örnek..: f f s lim s s f f s lim s s limii mevcuur. f f f olur. ve durumlrını inceleyelim. i) ise Teorem.. den f : fonksiyonu, de del ürevleneilir ise, sğ-yoğun ir nok olduğundn, ir syı olrk mevcuur. Yni f del ürevleneilirse f lim s f f s s f ( ) f dir. sonlu ii) ise Teorem.. den f : del ürevleneilen noklrı sğyyılmışır. f f f f f f f f Burd lışılmış ileri frk operörüdür. Teorem..: f, g : hlde, fonksiyonlrı, noksınd ürevleneilir olsun. O i) f g : fonksiyonu, de ürevleneilirdir ve olur. ii) Herhngi ir sii için f : ürevleneilir ve u ürev, olur. f g f g fonksiyonu, noksınd f f ( ) 5
iii) f, g : olur. iv) f f fonksiyonlrı, noksınd ürevleneilir ve u ürev, fg ( ) f ( ). g g ( ). f f ( ). g g ( ). f 0 olmk üzere f, noksınd ürevleneilir ve olur. f ( ) ( ) f f f 0 v) g g olur. olmk üzere f g, noksınd ürevleneilir ve f f ( ) g f g ( ) ( ) g g g Önerme..: f :, monoon rn ir fonksiyon ise,, f 0 olur. için Önerme..: f :, monoon zln ir fonksiyon ise,, f 0 olur. Sonuç..: Eğer f : her, için f 0 için fonksiyonu, üzerinde ürevleneilir ve ise f fonksiyonu siir..3 Zmn Sklsınd - Türev Tnım.3.: Eğer sğ-yyılmış minimum m elemnın ship ise ile nımlnır. Eğer f : ir fonksiyon ise, f : fonksiyonu için ile nımlnır. Ayrıc f f Tnım.3.: f : ile göserilir. m ir fonksiyon ve olsun. 0 syısı verildiğinde nin ir U komşuluğu vrdır öyle ki s U için, oluyors, f f f s f s s syısın f nin noksındki nl ürevi denir. 6
Eğer f, için mevcu ise f fonksiyonu üm kümesi üzerinde nl ürevleneilirdir. f : fonksiyonun ise, f nin kümesindeki nl ürev fonksiyonu denir. Teorem.3.: f : doğrudur. ir fonksiyon ve olsun. O hlde şğıdkiler i) f, de nl ürevleneilir ise f, noksınd süreklidir. ii) ve olur. iii) olur. f, noksınd sürekli ve sol-yyılmış ise f, de nl ürevleneilirdir f f f sol-yoğun ir nok olsun. f, de nl ürevleneilirdir f ; f f s lim s s f f s lim s s iv) f, de nl ürevleneilir ise, limii mevcuur. f f f olur. Örnek.3.: için f f f, için f f f f olur. Burd lışılmış geri frk operörüdür. Teorem.3.: f, g : olsun. fonksiyonlrı, noksınd ürevleneilir i) f g : fonksiyonu noksınd ürevleneilirdir ve u ürev, olur. ii) Herhngi ir sii için f : ürevleneilir ve u ürev, olur. f g f g fonksiyonu noksınd f f ( ) 7
iii) fg : olur. fonksiyonu, noksınd ürevleneilir ve u ürev, fg ( ) f ( ). g f. g ( ) f ( ). g g ( ). f iv) f f 0 olmk üzere f, noksınd ürevleneilir ve olur. f ( ) ( ) f f f v) g g 0 olmk üzere f g, noksınd ürevleneilir ve olur. f f ( ) g f g ( ) ( ) g g g.4 Zmn Sklsınd İnegrl Tnım.4.: f : fonksiyonu verilsin. Eğer F : fonksiyonu üzerinde ürevleneilir ve her nin ni ürevi vey ilkeli denir. Tnım.4.: Eğer f : için F f ise, F fonksiyonun f fonksiyonunun ni ürevi vrs, f ye inegrlleneilir fonksiyon denir. Bu durumd ve, içinde herhngi noklr olmk üzere f nin dn ye del inegrli olrk nımlnır. Teorem.4.: f : f F F ve g : fonksiyonlrı inegrlleneilir olsunlr. Bu durumd her,, c için şğıdki ifdeler doğrudur.. f g f g. Her k sii için kf k f olur. 8
3. f 0 4. f f c 5. c f f f 6. f g f g f g 7. f g f g f g Teorem.4.: f : için eşiliği doğrudur. fonksiyonu inegrlleneilir olsun. Bu durumd f s s f Tnım.4.3:, sup ve f fonksiyonu, rlığınd sğ-yoğun sürekli fonksiyon olsun. f lim f inegrline genelleşirilmiş inegrl denir. Eğer limi vrs genelleşirilmiş inegrl ykınskır, limi yoks ırkskır. Teorem.4.3: ir zmn sklsı olsun. ve, içinde iki nok ve, için, f ve. f 0 ise, f 0. f g ise, olck şekilde g fonksiyonlrı de inegrlleneilir olsunlr. Her f g 3. f g ise, f g 9
f f sup f 4. ifdeleri doğrudur. Örnek.4.:, 0 ve sup olsun. Bu durumd inceleyelim. inegrlini lim lim lim F F elde edilir. Örnek.4.: için 0 olmk üzere elirsiz inegrlini inceleyelim. olduğundn elde edilir. c c si.5 Zmn Sklsınd İnegrl Tnım.5.: f : fonksiyonu verilsin. Eğer F : fonksiyonu üzerinde ürevleneilir ve her nin ni ürevi denir. Tnım.5.: Eğer f : için F f ise, F fonksiyonun f fonksiyonunun ni ürevi vrs, f ye inegrlleneilir fonksiyon denir. Bu durumd ve, içinde herhngi noklr olmk üzere f nin dn ye nl inegrli f F F olrk nımlnır. Teorem.5.: f : ve g : fonksiyonlrı inegrlleneilir olsunlr. Bu durumd her,, c için şğıdki ifdeler doğrudur. 0
. f g f g. Her k sii için 3. f 0 4. f f c 5. c kf k f olur. f f f 6. f g f g f g 7. f g f g f g Teorem.5.: f : için eşiliği doğrudur. fonksiyonu inegrlleneilir olsun. Bu durumd f s s f
3. SONSUZ ARALIK ÜZERİNDE LİNEER OLMAYAN ZAMAN SKALASI SINIR DEĞER PROBLEMLERİ Bu ölümde ir zmn sklsı,, 0,... m, k, i 0, f C, 0,, 0, zlmyn homeomorfizm ve i m,, : 0 0 ile poziif homomorfizm olmk üzere, y y I y m y y i y i, lim y 0 i y h f, y, y 0,, k k k k 3. m -nok sınır değer prolemi ele lınckır. Aşğıdki şrlr sğlnırs : ve poziif homomorfizm dı verilir. i) x y ise x, y ii) iii) x, y için x y izdüşümüne zlmyn homeomorfizm dir. ire-ir, ören ve sürekli, yrıc ersi de süreklidir. için xy x y dir. Aşğıdki şrlrın sğlndığını kul edelim. ( H) hc,, 0,, hss ve ( H ) C 0,, 0, zlmyn olmk üzere, sğlnır.,, mx, f u v u v h r r s s olur. 3. Temel Tnımlr Tnım 3..: B reel Bnch uzyı olsun. P. u P ve 0 ise u P ;. u, u P ise u 0 şrlrını sğlıyor ise u kümeye koni denir. B oşn frklı, kplı kümesi, Tnım 3..:, B reel Bnch uzyının P konisi üzerinde negif olmyn, konkv ve sürekli fonksiyonel ise, : P 0, sürekli ve u, v P, 0 için,
şrı sğlnır. u v u v Tnım 3..3:, B reel Bnch uzyının P konisi üzerinde negif olmyn, konveks ve sürekli fonksiyonel ise, : P 0, için, şrı sğlnır. Tnım 3..4: y y mx y, y sup, sürekli ve u, v P, 0 u v u v y normu ile nımlı,, y sup y y B y C, : sup, lim y 0, Bnch uzyını ele llım. P konisi, olmk üzere :,, üzerinde zlmyn, konkv ve negif olmyn 3.3 P y B y şeklinde nımlnmışır. Tnım 3..5: B, 3. de nımlı ir Bnch uzyı ve Y B olsun. Aşğıdki şrlr sğlnırs, Y relively kompk olur:. Y, B de düzgün sınırlıdır.. Y den lınn fonksiyonlr,, un herhngi ir kompk l rlığınd ynı dereceden süreklidir, yni 0 vrdır öyle ki için,,, iken f f 3., f Y için 0 syısı klır. 3. Y den lınn fonksiyonlr, ynı dereceden ykınskır, yni herhngi n0, f Y ve herhngi ir için, n n reel syısı vrdır öyle ki f f klır. 0 0 0 Tnım 3..6: Her sınırlı kümeyi relively kompk kümeye dönüşüren operöre kompk operör denir. Tnım 3..7: Sürekli ve kompk operöre, mmen sürekli operör denir. 3
3. An Sonuçlr İçin Gerekli Lemmlr Lemm 3..: x h f, y, y, x C,,, ve x olmk üzere, 3. sınır değer prolemi, m y x r r x r r x r r s I y i i s k i k k olck şekilde ek ir çözüme shipir. İsp: y y I y m y y i y i, lim y 0 i y h f, y, y 0,, k k k k sınır değer prolemini ele llım. x h f, y, y şeklinde nımlnsın. y x ifdesinde eşiliğin her iki rfının den nl inegrli lınırs, elde edilir. y r r x r r lim y y x r r eşiliğinde sürekli olduğundn elde edilir. Burd lim y y x r r y x r r 0 0 0 olduğundn, y xrr y xrr elde edilir ve her iki rfın dn ye del inegrli lınırs, 4
y s s x r r s s 3 y ss y s s y s s... y s s x rr s s k y y Ik y k xr r s k s m y y y x r r s I y i s k y i i k k m i x r r x r r i i ulunur. s x r r s I y k k k 3. sınır değer prolemini çözmek,, noklrını ulmy eşdeğerdir. Ay y ise; için A: P B operörünün si m Ay i h r f r y r y r r i i,, elde edilir. s hr f r, y r, y rr hr f r, y r, y r r s I y k k k 3.4 sırsıyl Tezin undn sonrki ölümlerinde üzerinde çlışcğımız B, P ve A 3., 3.3 ve 3.4 ile nımlnmışır. Lemm 3..: y P için olrk nımlnmışır. İsp: y P olduğund, y M y olur. Burd, M m mx i, i 5
y y s s y m y s s y i y i i m i M y elde edilir. Lemm 3..3: i y H ve H sğlnırs, : A P P operörü mmen süreklidir. İsp: İspı 3 dımd inceleyelim. Adım : AP P olduğunu göserelim. y P için, lim lim Ay xss 0 0 ve olduğundn Ay B olur. olduğundn Ay konkvdır. Ay h f y y sup,,, 0 Ay olduğundn Ay zlmyndır. Ay h s f s, y s, y s s 0 m Ay i h r f r y r y r r i i,, m i Ay Ay 0 i hr f r, y r, y rr olduğu için Ay negif olmyndır. Böylece y P için Ay,, zlmyndır. O hlde AP i üzerinde negif olmyn, konkv ve P elde edilir. 6
Adım : A: P P sürekli olduğunu göserelim. P de n için yn syısı vrdır öyle ki sup y n r0 olur. H şrındn, olur. n H şrındn, y iken r 0,, 0 f u v r ve, n, n,, 0 h s f s y s y s f s y s y s s r h s s Leesgue Domined Ykınsklık Teoremi nden,, 0 için,,,,, Ay Ay h s f s y s y s f s y s y s s n n n elde edilir. O hlde olur. Böylece, n, n,, h s f s y s y s f s y s y s s sürekli olduğundn, n Ay Ay 0 n 0 n Ay Ay M Ay Ay elde edilir. Dolyısıyl A süreklidir. n Adım 3: A: P P nin sınırlı kümeden relively kompk kümeye ir dönüşüm olduğunu göserelim., P nin herhngi sınırlı l kümesi olsun. K 0 syısı vrdır öyle ki y K dır. H ve,, H şrındn, y için, Ay h s f s y s y s s K h s s elde edilir. Böylece, A elde edilir ve A düzgün sınırlıdır. Şimdi de Herhngi 0 olur. O hlde, A M A A nın, üzerinde ynı dereceden sürekli olduğunu göserelim. R,, p, R ve y için genelliği ozmmk dın p olduğunu kul edelim. p düzgün ykınsrken, H ve H şrındn, 7
p A y A y p hr f r, y r, y r r s I y s k p k k p s hr f r, y r, y r r s I y k p k k p K hr r s Ik y k 0 s k p olur. Böylece, A dn lınn fonksiyonlr ynı dereceden süreklidir. Son olrk, A dn lınn fonksiyonlrın ynı dereceden ykınsk olduğunu göserelim. y ve için, Ay Ay h r f r y r y r r s I y s k,, k k K hrr s Ik y k 0 s k olduğundn A dn lınn fonksiyonlr ynı dereceden ykınskır. Sonuç olrk, Adım, Adım ve Adım 3 gereğince A: P P operörü mmen süreklidir. 3.3 En Az Bir Çözümün Vrlığı 3. sınır değer proleminin en z ir çözümünün vrlığı Schuder Si Nok Teoremi yrdımıyl göserilecekir. Bu ölümde kullnmk üzere siini nımlylım. N h s s 3.5 Teorem 3.3.: (Schuder Si Nok Teoremi) B ir Bnch uzyı ve S, B nin oş olmyn, sınırlı, konveks ve kplı l kümesi olsun. Kul edelim ki A: B B mmen sürekli operör olsun. Eğer A S S olurs A nın S de en z ir si noksı vrdır (Krsnosel skii, 964). Teorem 3.3.: H şrının sğlndığını kul edelim. r 0 syısı vrdır öyle ki,, u, v[, ) 0, r 0, r i) olduğund, y N f, u, v v M 8
y d N f, u, v u M ii) oluyors, 3. m nok sınır değer proleminin en z ir çözümü vrdır. İsp: S y B : y r A: S llım. S, B nin kplı, sınırlı ve konveks l kümesidir. B,, için, m Ay i h r f r y r y r r i i,, i s hr f r, y r, y rr hr f r, y r, y r r s I y k k k ile nımlnır. Şimdi A : S S olduğunu göserelim. y S Lemm 3.. ve Teorem 3.3. nin (i) ve (ii) şrlrındn, Ay mx Ay, Ay M Ay vey M Ay M h r f r y r y r r,, N M h r y r r M N sup y h r r, y y r Ay M h r f r y r y r r,, N M h r r M y r r N y hr r y y r ve, için, 9
olur. Yni Ay r olduğundn AS S elde edilir. Ayrıc A operörü mmen süreklidir. Böylece, Schuder Si Nok Teoremi nden A nın S de en z ir si noksı vrdır. 3. sınır değer proleminin çözümleri, A operörünün si noklrı olduğundn, 3. prolemi en z ir çözüme shipir. 3.4 En Az Bir Poziif Çözümün Vrlığı ( H3) f C, 0, 0,, 0, şrının sğlndığını kul edelim. 3. sınır değer proleminin en z ir poziif çözümünün vrlığını Krsnosel skii Si Nok Teoremi ve Lery-Schuder Si Nok Teoremi yrdımıyl gösereceğiz. Teorem 3.4.: (Krsnosel skii Si Nok Teoremi) B ir Bnch uzyı ve P B ir koni olsun. Kul edelim ki ve, 0, olmk üzere B nin çık ve sınırlı l kümeleri olsun ve A : P \ P mmen sürekli operördür öyle ki, y i) y P için Ay y ; y P için Ay y dir, y d ii) y P için Ay y ; y P için Ay y dir, oluyors A nın \ 964). Teorem 3.4.: P de en z ir si noksı vrdır (Krsnosel skii, H, H ve 3 0 r R syılrı vrdır öyle ki, i), u, v, 0, r 0, r ise, N f, u, v u M ; H şrlrının sğlndığını kul edelim. N f, u, v v M vey ii), u, v, 0, R0, R ise, f, u, v N M v ; 0
şrlrı sğlnsın. O hlde 3. sınır değer proleminin en z ir poziif çözümü vrdır. İsp: P süreklidir. B ir koni olmk üzere Lemm 3..3 gereğince A: P P mmen y P : y r olduğund, y P olsun. Lemm 3.. ve N f, u, v v M şrındn, Ay mx Ay, Ay M Ay, M sup Ay,, M h r f r y r y r r M N M h r y r r N sup y h r r y, y olur vey N f, u, v u M şrındn, Ay M h r f r y r y r r N M,, M h r r N y hrr y elde edilir. y y r r Böylece, y P için Ay y elde ederiz. Şimdi y P : y R şeklinde nımlylım. y P için, hipoezden ve Lemm 3.. den,
Ay mx Ay, Ay Ay Ay hr f r, y r, y rr N M y h r r N M y hr r M y y elde edilir. Böylece y P için Ay y olur. Teorem 3.4. in ilk kısmındn A nın \ P de si noksı vrdır öyle ki r y R sınır değer proleminin en z ir poziif çözümü vrdır. Teorem 3.4.3: (Lery-Schuder Si Nok Teoremi) B ir Bnch uzyı ve P olur. O hlde 3. B olsun. A: P P mmen sürekli operör olmk üzere, y P : y Ay, 0 kümesi sınırlı ise, A nın T P kplı kümesinde en z ir si noksı vrdır. Burd, şeklindedir. :, R sup y : y Ay,0 T y P y R Teorem 3.4.4: Kul edelim ki H, değer proleminin en z ir poziif çözümü vrdır. H ve H 3 sğlnsın. O hlde İsp: Lemm 3..3 gereğince A: P P mmen sürekli operördür. :,0 N A y P y Ay şeklinde llım. Şimdi N A kümesinin sınırlı olduğunu göserelim. : ve R sup y : y Ay,0 T y P y R y N A için, Lemm 3.., H ve olsun. O hlde H şrındn, 3. sınır y M y M Ay M sup hs f s, y s, y ss,
,, M h s f s y s y s s M mx u, v h ss M R hss elde edilir. Böylece N A kümesi sınırlıdır. Teorem 3.4.3 gereğince 3. sınır değer proleminin en z ir poziif çözümü vrdır. 3.5 En Az İki Poziif Çözümün Vrlığı 3. sınır değer proleminin en z iki poziif çözümünün vrlığını Avery- Henderson Si Nok Teoremi yrdımıyl gösereceğiz. Teorem 3.5.: (Avery-Henderson Si Nok Teoremi) P, B Bnch uzyınd ir koni olsun. Ayrıc,, : P r y P y r llım. Eğer ve, P üzerinde zlmyn, negif olmyn ve sürekli fonksiyoneller, d 0 0 olmk üzere P üzerinde negif olmyn, sürekli fonksiyonel olsun. Bzı poziif r ve L sileri için, y P, r sğlnsın. 0 y y y ve y L y ve y P, q için, y y ise, olck şekilde p q r poziif syılrının mevcu olduğunu kul edelim. Tmmen sürekli :, A P r P operörü, i) y P, r için, Ay r; ii) y P, q için, Ay q; iii) y P, p için, P, p ve Ay p; şrlrını sğlrs, A nın y ve y gii en z iki si noksı vrdır öyle ki, 3
ile olur (Avery ve diğ., 00). ve y p y q ile y q y r Lemm 3.5.: olsun. Eğer y P ise,, için olur. İsp: g y y y fonksiyonunu ele llım. g y y y olduğundn g fonksiyonu zlmyndır. ise, olduğundn, için g 0 olur. 0 0 g y y Teorem 3.5.: olsun. H,, yni y y H ve 3 edelim. 0 p q r olmk üzere f fonksiyonu H şrlrının sğlndığını kul r, u, v,, Mr 0, r i),, f u v r N ; ii), u, v, 0, q0, q için qn f, u, v M ; için p, u, v,, p 0, p M iii),, f u v pn ; için 4
şrlrını sğlıyors 3. sınır değer proleminin en z iki poziif çözümü vrdır. Bu çözümler y ve y olmk üzere y p ve y q ile y q ve y r eşisizliklerini sğlrlr. Burd kullnıln M ve N sırsıyl Lemm 3.. ve 3.5 de nımlnmışır. İsp: Lemm 3..3 den AP iliyoruz. P ve A nın mmen sürekli operör olduğunu P konisinde nımlı, ve negif olmyn, zlmyn fonksiyonelleri şeklinde nımlnsın. y P için y y, y y ve y y y y ve y M y My M y olur. Ayrıc, 0 0 ve y P, 0, için y y y elde ederiz., ise, y r olur. Burdn, için y P r 0, y r ulunur. Ayrıc, ve, y M y My Mr y y olduğundn r y y r yni için Lemm 3.5. den, olur. Böylece, için y r, Mr elde edilir. O hlde, için (i) hipoezinden, Ay Ay h f, y, y olduğundn Ay y P, q için, r N h r r ulunur. Böylece Teorem 3.5. in (i) şrı sğlnmış olur. y q sup, y q y y y q 5
olduğundn, için, için (ii) hipoezinden, Ay Ay M Ay M qn M h q y y q ve q M h f, y, y olur ve Teorem 3.5. in (ii) şrı sğlnır. 0 0 p 0 P, p olduğundn P, p, için, y y P p p y p Lemm 3.. ve Lemm 3.5. den, için y p M hipoezinden,, Ay Ay Ay sup, Ay pn h p olur. Dolyısıyl, olur. olur., y y y M için, y p ve olduğundn, p elde edilir. Ayrıc y p h f, y, y elde edilir. Teorem 3.5. in (iii) şrı sğlnır. olur., için (iii) Sonuç olrk Avery-Henderson Si Nok Teoremi nin şrlrı sğlnır. O hlde ele lınn 3. sınır değer prolemi en z iki poziif çözüme shipir. Bu çözümler y ve y olmk üzere y p ve y q ile eşisizliklerini sğlrlr. y q ve y r 6
3.6 En Az Üç Poziif Çözümün Vrlığı 3. sınır değer proleminin en z üç poziif çözümünün vrlığını Beş Fonksiyonel Si Nok Teoremi yrdımıyl gösereceğiz. Beş Fonksiyonel Si Nok Teoremi ni ifde emeden önce, eoremde kullnılck oln ir nım verelim. Tnım 3.6.: ve, P üzerinde negif olmyn, sürekli, konkv fonksiyoneller,, ve, P üzerinde negif olmyn, sürekli, konveks fonksiyoneller olsunlr. l, e,, d ve c poziif syılrı için;, : P c y P y c,,,, :, P e c y P e y y c,,,, :, Q d c y P y d y c,,,,,, :,, P e c y P e y y y c,,,,,, :,, Q l d c y P l y y d y c kümelerini nımlylım. Teorem 3.6.: (Beş Fonksiyonel Si Nok Teoremi) P, B Bnch uzyı üzerinde ir koni, ve, P üzerinde negif olmyn, sürekli, konkv fonksiyoneller,, ve, P üzerinde negif olmyn, sürekli, konveks fonksiyoneller olsunlr. c ve r negif olmyn iki si syı olmk üzere y P, c için y y ve y r y eşisizlikleri sğlnsın. 0 d e olck şekilde negif olmyn l, e,, d reel syılrı için eğer mmen sürekli operörü, A: P, c P, c i) y P,,, e,, c : y e ve y P,,, e,, c için A y olur, ii) y Q,,, l, d, c : y d ve y Q,,, l, d, c iii) iv) A y d olur, A y ile y P,, e, c için A y A y l ve y Q,, d, c için A y için e olur, d olur, e 7
şrlrını sğlıyors, A operörünün en z üç si noksı vrdır. Bu 3 y, y, y P, c si noklrı eşisizliklerini sğlrlr (Avery, 999). y d, y e, y d, y Tezin u ölümünde kullnmk üzere, 0 k, k 3 e 3 si, l 0, r ve P üzerinde negif olmyn, sürekli, konkv ve fonksiyonelleri ve negif olmyn, sürekli, konveks, ve fonksiyonelleri y k min k, k y ile nımlı kul edilecekir. Ayrıc, k, y y y y, y 0 3.6 hr r 3.7 k ve N, 3.5 ile nımlnmışır. Teorem 3.6.: H, H ve 3 0 d e c poziif syılrı vrdır öyle ki, H şrlrının sğlndığını kul edelim. D, u, v, k, c 0, c ( ) e k k için, D, u, v, 0, d0, d ( ) ( 3) k e f, u, v k, için, D, u, v, 0, c0, c dn f, u, v M, için, cn f, u, v M, şrlrını sğlıyors 3. sınır değer proleminin en z üç poziif çözümü mevcuur. Bu üç çözüm y, y, y P, c y eşisizliklerini sğlrlr. 3 için d ile y e ve d y3 ile y e 3 8
İsp: y P, c için, y y y ve y r y olur. Şimdi A : P, c P, c olduğunu göserelim. y P, c y y c olur., için, dir. Lemm 3.. ve ( D 3) şrındn, A y Ay mx Ay, Ay y 0 c ve 0 y c mx M Ay, Ay M Ay,, M h r f r y r y r r cn h r r c elde edilir. O hlde A y P, c olur. Bu d A : P, c P, c olsun. O hlde olmsı demekir. Lemm 3..3 gereğince A mmen sürekli operördür. Şimdi Beş Fonksiyonel Si Nok Teoremi nin diğer şrlrının d sğlndığını görelim. i), k k için k y min y e y ve k, k e k y e k k k k min y,,,,,, ise y e, y ve y y P e c y y c olduğundn dir. c olur. y c ve 0 y c y y e k k 9
y Şimdi, için y c e olduğundn y zlmyndır. 0 c e y 0 0 y c e şeklinde llım. olduğundn y konkvdır. c e 0 olduğundn y negif olmyndır. Dolyısıyl y P olduğu görülür. ve mx, mx sup y, sup mx c e, c e y y y y c,, olur. O hlde k k k c e c e y min y y e k, k k k k k,,,,, : y P e c y e elde edilir. Diğer rfn y P,,, e,, c ve, k k A y min Ay Ay k k k, k m i hr f r, y r, y r r i i k k hr f r, y r, y rr için ( D ) şrındn, k hr f r, y r, y rr s Ik y k s k k,, k s k k h r f r y r y r r k k k hr f r, y r, y r r k k k k h r f r y r y r r k k,, s 30
olduğundn k k k e hrr e k k k A y e elde edilir. ii) y Q,,, l, d, c ise, y y d ve y y y d ise, y 0 Şimdi y P olck şekilde, d d olduğundn elde edilir. d y y c olur. ve için 0 y d dir. d y llım. y Q,,, l, d, c : y d y P : y d Lemm 3.. ve ( D ) şrı gereğince, A y Ay mx Ay, Ay M Ay, M sup Ay,, M h r f r y r y r r dn M M h r r d olduğundn A y d elde edilir. iii) y P,, e, c için A y olduğund A y göserelim. ( D ) şrındn, e olduğunu 3
k k A y min Ay Ay k k k olduğundn iv), k m i hr f r, y r, y r r i i k k hr f r, y r, y r r k hr f r, y r, y rr s Ik y k s k k,, k s k k h r f r y r y r r k k k h r f r y r y r r k,, k k k e hrr e k k k A y e elde edilir. A y l 0 olmsı imknsızdır, çünkü A y 0 0 s olmz. Bu nedenle Teorem 3.6. in (iv) şrını ihml edeceğiz. Böylece eş fonksiyonel si nok eoreminin şrlrının sğlndığı görülür. Bu durumd 3. sınır değer proleminin en z üç poziif çözümü mevcuur. Bu üç çözüm y, y, y P, c 3 için eşisizliklerini sğlrlr. Örnek 3.6.: 0,3 8, y d, y e, y d, y zmn sklsını ele llım. 3 e 3 00 y y e y 0 y y 4 y 0 y 0 y y, lim y 0 3.8 3
sınır değer prolemi için x x x, h x e, 0,, 00, ve f, u, v u v 3,, 8 7 e M, N e e 8 5 6 e ulunur ve k lınırs olur. Eğer d 0.00, e 0.003 ve c 0.005 e lınırs, Teorem 3.6. nin D, D ve D 3 şrlrı sğlndığındn değer proleminin y d ile min y e ve d y3 3, olck şekilde en z üç poziif çözümü vrdır. min ile y 3 e 3, 3.8 sınır 33
4. SONUÇ Bu ez çlışmsınd zmn sklsı üzerinde ikinci mereeden impulsive sınır değer prolemi ele lınmışır. Bu prolemin önce, Schuder Si Nok Teoremi yrdımıyl en z ir çözümünün vrlığı incelenmişir, rdındn d koni üzerinde Krsnosel skii Si Nok Teoremi ve Lery-Schuder Si Nok Teoremi ile en z ir poziif çözümünün vrlığı, Avery-Henderson Si Nok Teoremi ile en z iki poziif çözümünün vrlığı, Beş Fonksiyonel Si Nok Teoremi ile de en z üç poziif çözümünün vrlığı için yeerli koşullr incelenmişir. 34
KAYNAKLAR Avery, R., 999: A Generlizion of The Legge-Willims Fixed Poin Theorem, Mhemicl Sciences Reserch Ho-Line, 3, 9-4. Avery, R. I., Henderson, J., 00: Two Posiive Fixed Poins of Nonliner Operors on Ordered Bnch Spces, Comm. Appl. Nonliner Anlysis, 8, 7-36. Bohner, M., Peerson, A., 00: Dynmic Equions on Time Scles, An Inroducions Wih Applicions, Birkhuser, Boson. Krc, I. Y., nd Tokmk, F., 0: Exisence of Three Posiive Soluions for m- Poin Time Scle Boundry Vlue Prolems on Infinie Inervls, Dynmic Sysems nd Applicions, 0, 355-368. Krsnosel skii, M., 964: Posiive Soluions of Operor Equions, Noordhoff, Groningen. Zho, X., nd Ge, W., 009: Muliple Posiive Soluions for Time Scle Boundry Vlue Prolems on Infinie Inervls, Ac. Appl. Mh., 06, 65-73. Zho, X., nd Ge, W., 00: Unounded Posiive Soluions for m- Poin Time Scle Boundry Vlue Prolems on Infinie Inervls, J. Appl. Mh. Compu., 33, 03-3. 35
ÖZGEÇMİŞ Adı : Zehr Soydı : YILMAZ Doğum Yeri : DALAMAN Doğum Trihi : 08.07.990 Yüksek Lisns : Pmukkle Üniversiesi Fen Bilimleri Ensiüsü Memik Bölümü Anliz ve Fonksiyonlr Teorisi Anilim Dlı 03 Lisns : Pmukkle Üniversiesi Fen Edeiy Fkülesi Memik Bölümü 007-0 Lise : Orc Lisesi İlköğreim : Dlmn Elcik İlköğreim Okulu Yncı Dil : İngilizce Bildiği Progrmlr : Forrn, C#, Ml, SPSS Bşrılr : Pmukkle Üniversiesi Fen Edeiy Fkülesi Memik Bölümü Bölüm Birinciliği 0 36