Malzeme Mekaniğinde Özel Konular Dr. Nusret MEYDANLIK HAFTA 4. Malzeme Mekaniğinde inde Özel Konular MK MT4 İnce cıdarlı kirişlerde kayma akısı yatay kayma gerilmesi ve kayma merkezi Dr. Nusret MEYDANLIK nm-2012
BĐRLEŞTĐRĐLEREK LEREK OLUŞTURULMU TURULMUŞ KĐRĐŞLERDE KAYMA AKISI emniyetle taşı şınabilecek yüküy arttırmak rmak amacıyla Birleştirme elemanlarının asıl görevi birleştirdiği elemanların birbirine göre relatif hareketini engellemektir. O halde bu birleştirme elmanları.. ye zorlanmaktadır 2
BĐRLEŞTĐRĐLEREK LEREK OLUŞTURULMU TURULMUŞ KĐRĐŞLERDE KAYMA AKISI Kayma akısı birim uzunluğa gelen kesme kuvvetidir,qile gösterilirse kiriş kesidini oluşturan değişik parçaları bir arada tutan yapıştırıcı, perçin,cıvata, çivi yada kaynaklı bağlatılarda ortaya çıkan kesme kuvvetini belirlemek için kullanılır. Kayma akısı q, q max = τ max.. t 3 q= V Q I Burada, V, düşey kesme kuvveti Q;kesilen alanın T.E. e göre 1. momenti, I ; kesilen alanın T.E. e göre atalet momentidir
KAYMA AKISI (q)( ) ve Q (statik moment) ĐÇĐN N GÖZÖNÜNE G NE ALINACAK ALANLAR : (EĞĐ ĞĐLME M. veya DÜŞEY D KESME K. ETKĐSĐNDE) =q =q 4 =q/2 =q/3
Đ CE FLA ŞLI LI KĐRĐŞK ĐŞLERDE KAYMA AKISI, Approximation: only the shear-flow component that acts parallel to the walls of the member will be counted. Flanş kalınlığı buyunca q nun sabit olduğu kabul edilir 5 Flanş kalınlığı buyunca q nün sabit olduğu kabul edilir çünkü flanşın altında ve üst yüzeyinde gerilme sıfırdır.
F Düşey V kesme kuvveti etkisindeki geniş flanşlı bir kirişin bir parçasını gözönüne alırsak. Elemandaki boyuna kesme kuvveti, (q ile) 6 VQ F = x I Buna karşılık kayma gerilmesi, F VQ τ zx = τ xz = t x It Bu da daha önce gövdedeki kayma gerilmesi için elde ettiğimiz ifadeye benziyor, DĐKKAT: τ xy τ xz τ VQ xy = It 0 0 flanşlarda gövdede
Đnce cıdarlı kirişlerde kayma akısının n değişimi imi Yatay flanşlarda, kayma akısılineer olarak değişiyor, q = q = VQ I = VQ I V[d/2]((b/2) x) t I = Vt I [ db = 7 Vtd 2I ( b 2 x ) Düşeyde gövde de ise parobolik olarak değişiyor, ( d2 4 ) 2 + ½ ] y2 Kayma akısı değişimi
I şeklinde Đnce cıdarlı kirişlerde kayma akısı 8 I kiriş için, kayma akısı A ve A deki sıfır değerinden simetrik olarak artar ve C de en büyük değrine ulaşır ondan sonra yine düşer, E ve E de sıfıra kadar. The continuity of the variation in q and the merging of q from section branches suggests an analogy to fluid flow.
Kapalı dörtgen şeklinde Đnce cıdarlı kirişlerde kayma akısı 9 Kayma akısının değişimi gözönüne alınan kesitin statik alan momentine bağlıdır q =τ t= VQ I Kutu kesit içini in, q lineer olarak artar A daki sıfır değerinden C ve C deki en büyük değerine doğru ve ondan sonra yine E de sıfır değerine düşer. q nun yatay kısımlardaki yönü düşey kısımlardaki yönünden yada V kesme kuvvetinin yönünden bulunabilir.
DEĞĐŞĐ ĞĐŞĐK K KESĐTLERDE KAYMA AKISI DAĞILIMI : 10 Malzeme Mekaniğinde inde özel Konular Dr. Nusret MEYDANLIK
Örnek -4.1. : Düşey kesme kuvveti 200 kn olduğuna göre W250 101 rolledsteel kirişin üst flanşında a noktasındaki yatay kayma gerilmesini bulunuz. 11 SOLUTION: Koyu renkli taralı alan için, Swf örnek a noktasındaki kayma gerilmesi,
Örnek 4.2. Şekilde görülen T kesitli kiriş 30*150 lik iki ahşapın yapıştırılmasıyla elde edilmiştir. Yükleme hali de verildiğine göre yapıştırıcıda meydana gelen en büyük kayma gerilmesini hesap ediniz. B ve C de ki mesnetler sadece düşey yük taşıyorlar. 12
MESNET TEPKİLERİ BULUNUP, KESME KUV. DİY. ÇİZİLİRSE, V max. =19.5 kn 13 Malzeme Mekaniğinde inde özel Konular Dr. Nusret MEYDANLIK
14 Malzeme Mekaniğinde inde özel Konular Dr. Nusret MEYDANLIK
Alt kısmın üstüne etki eden kayma gerilmeleri aşağıda görülmektedir. Dikkat edilirse yapıştırıcının direnci yatay kayma gerilmelerinden fazla olmalıdır (bağlantının devamı için) 15 yapıştırıcı sürülen yüzey
Örnek Soru-4.3. v Yukarda görülen kare kutu kesitli kiriş dört kalasın çivilenmesi ile elde edilmiş. Çiviler 44 mm aralıklarla çakıldığına göre her bir çiviye gelen kesme kuvvetini bulunuz. Kirişe etkiyen düşey kesme kuvveti V=2.5 kn dur. 16 SOLUTION: Karşı şılaştırmalı çivili box. U beam audio Determine the shear force per unit length along each edge of the upper plank. Based on the spacing between nails, determine the shear force in each nail.
ÇÖZÜM : Taralı A alanı için, Kirişin tamamı için, 17 SOLUTION: Karşı şılaştırmalı çivili box. U beam audio Üst kalasın kenarları boyunca birim uzunluğa gelen kesme kuvveti. bir kenara gelen birim kesme kuvveti bir çiviye gelen kesme kuvveti iki çivi arasındaki mesafe ile tanımlıdır.
ÖR EK SORU -4.4. Şekilde görülen ince cidarlı kutu kiriş 10 kn luk düşey kesme kuvvetine maruz kalıyor. Kesit boyunca kayma akısının değişimini elde ediniz. ÇÖZÜM: Simetri nedeniyle nötr eksen kesitin ağırlık merkezinden geçer ve atalet momenti, 18
EXAMPLE (CONTINUED) Sadece B, C e D noktalarındaki kayma akısı belirlenmelidir. B noktası için A =0 dır aşağıda görüldüğü gibi, dolayısıyla Q B =y A =0 dır bu durumda da, C noktası için A alanı koyu mavi taranmıştır. C noktası da her iki kolun tam ortasındadır, 19
EXAMPLE (CO TI UED) D noktasındaki kayma akısı koyu mavi taralı alan ile hesaplanır 20 Malzeme Mekaniğinde inde özel Konular Dr. Nusret MEYDANLIK
EXAMPLE (CO TI UED) Bu sonuçları ve kesitin simetrisini kullanarak kayma akısı dağılımı aşağıdaki gibi çizilebilir. Umulduğu gibi dağılım yatay elemanlar boyunca lineer (V ye dik) ve düşey elemanlar boyunca da paraboliktir (V ye parelel) 21 V
ÖRNEK SORU-4.5. Aşağıda görülen kiriş kesiti 6x1.5 cm boyutlarında dört adet tahtanın şekildeki gibi çivilerle birbirine bağlanması ile oluşturulmuştur. Kirişin şekilde gösterildiği yönde 80 N luk yükü taşıyabilmesi için B ve C deki çivileme sıklığı ne olmalıdır. Bir çivinin taşıyabileceği en büyük kesme kuvveti 30 N. 22
23 Malzeme Mekaniğinde inde özel Konular Dr. Nusret MEYDANLIK
B deki çiviyi kesmeye zorlayan kesme akısı, aşağıda gösterilen taralı alan için Q B hesaplanarak bulunur. Kiriş simetrik olduğu için sol tarafta (B) çiviler kesmeye zorlanırken sağ tarafta (B ) ahşap kesme akısını karşılar. 24
25 Malzeme Mekaniğinde inde özel Konular Dr. Nusret MEYDANLIK
Örnek -4.6. : Çözüm m : 26 The thin-walled extruded beam shown is made of aluminum and has a uniform 3-mm wall thickness. Knowing that the shear in the beam is 5 kn, determine (a) the shearing stress at point A, (b) the maximum shearing stress in the beam. Note: The dimensions given are to lines midway between the outer and inner surfaces of the beam.
Centroidal Moment of Inertia. Each side of the thin-walled beam can be considered as a parallelogram, and we recall that for the case shown I nn =bh 3 /12 where b is measured parallel to the axis nn. 27 Malzeme Mekaniğinde inde özel Konular Dr. Nusret MEYDANLIK
a. Shearing Stress at A. If a shearing stress τ A occurs at A, the shear flow will be q A =τ A t and must be directed in one of the two ways shown. But the cross section and the loading are symmetric about a vertical line through A, and thus the shear flow must also be symmetric. Since neither of the possible shear flows is symmetric, we conclude that τ A =0 b. Maximum Shearing Stress. Since the wall thickness is constant, the maximum shearing stress occurs at the neutral axis, where Q is maximum. Since we know that the shearing stress at A is zero, we cut the section along the dashed line shown and isolate the shaded portion of the beam. In order to obtain the largest shearing stress, the cut at the neutral axis is made perpendicular to the sides, and is of length t=3 mm. 28
29 Malzeme Mekaniğinde inde özel Konular Dr. Nusret MEYDANLIK
ÇALIŞMA SORULARI : Prb-1. Şekildeki kiriş kesitleri en büyük kesme kuvveti 40 N olan çiviler kullanılarak iki farklı şekilde oluşturulmuştur. Çivileme aralığı 9 cm olduğuna göre hangi kiriş kesiti daha büyük kesme kuvveti taşıyabilir. 30
31 Malzeme Mekaniğinde inde özel Konular Dr. Nusret MEYDANLIK
ÖRNEK : (Kesme + eğilme) MDSolids e 32 Malzeme Mekaniğinde inde özel Konular Dr. Nusret MEYDANLIK
ÇALIŞMA SORULARI ; Soru-1. The built-up beam shown is made by gluing together five planks. Knowing that in the glued joints the average allowable shearing stress is 350 kpa, determine a)the largest permissible vertical shear in the beam, b) largest permissible horizontal shear. ( a) 4.28 kn, b) 4.63 kn) Soru-2. Three planks are connected as shown by bolts of 14-mm diameter spaced every 150 mm along the longitudinal axis of the beam. For a vertical shear of 10 kn, determine the average shearing stress in the bolts. (20.6 MPa) 33 V V
Soru-3. A beam consists of three planks connected as shown by steel bolts with a longitudinal spacing of 225 mm. Knowing that the shear in the beam is vertical and equal to 6 kn and that the allowable average shearing stress in each bolt is 60 MPa, determine the smallest permissible bolt diameter that can be used. (9.05 mm) V 34 V=6 kn Prb.4. A steel bar and an aluminum bar are bonded together to form the composite beam shown. The modulus of elasticity for aluminum is 73 GPa and for steel is 200 GPa. Knowing that vertical shear force in the beam is 16 kn, determine the in (a) yapışma yüzeyindeki ortalama kayma stress (b) en büyük kayma gerilmesini. ( (a) 5.6 MPa. (b) 9.2 MPa)
Soru 5 ve 6. A composite beam is made by attaching the timber and steel portions shown with bolts of 12-mm diameter spaced longitudinally every 200 mm. The modulus of elasticity is 10 GPa for the wood and 200 GPa for the steel. For a vertical shear of 4 kn, determine (a) the average shearing stress in the bolts, (b) the shearing stress at the center of the cross section. (Hint: Use the method indicated in ÖRNEK Prob. ) (Soru 5. (a) 23.3 MPa. (b) 109.7 MPa) (Soru 6. (a) 6.73 MPa. (b) 1.515 MPa) 35 V V
Kayma merkezi (eğilme merkezi) Şu ana kadar simetri düzleminde etki eden düşey yükler ile ilgilenmiştik ve kiriş düşey simetri düzleminde deforme oluyordu, ve gerilmeler (burulma olmaksızın) σ 36 My = τ I x ort. = VQ It
Yük, ağırlık merkezi doğrultusunda ama simetri düzlemi olmayan düşey düzlemde etki ederse kiriş aşağıda görüldüğü gibi saat yönünde dönerek burulmaya da zorlanır ve.. 37 x My = τ I ort. VQ Eğilme gerilmeleri aynı ifade ile elde edilebilir ancak kayma gerilmeleri için yukarıdaki ifadeyi kullanamayız, çünkü bu ifade düşey simetri düzlemine sahip kirişler için elde edilmişti aynı zamanda artık burulma kayma gerilmeleri de vardır. O halde σ It
Eğer yükün uygulanma noktası için burulma yaratmayacak, sadece eğilme ve düşey kesme yaratacak bir nokta bulabilirsek bu durumda sadece düşeyde çökme olacak, aynı zamanda önceki slayttaki gerilme ifadelerini de tekrar kullanabiliriz. Đşte bu noktaya kayma merkezi (eğilme ilme merkezi) adı verilir, tamamen kesit geometrisine bağlı olarak simetri ekseni üzerinde ve kesit alanı dışında veya içinde olur. Burulmayı yaratan etki flanşlardaki yatay kayma akısı ve kuvvetleridir bunları kontrol etmek amacıyla Flanşlardaki F f in etkisi kuvvet-çifti etkisidir. 38
Farklı kesitlerin kayma merkezi 39 Eğer yük kayma merkezine etki ediyorsa burulma etkisi olmaz, aksi takdirde burulma etkisi de ortaya çıkar Malzeme Mekaniğinde inde özel Konular Dr. Nusret MEYDANLIK
40 Malzeme Mekaniğinde inde özel Konular Dr. Nusret MEYDANLIK
Örnek -11. Aşağıda görülen g sabit kalınl nlıklı C kesidin O kayma merkezini bulunuz. A dan s kadar uzaktaki AB flanşındaki kayma akısı, ile elde edilir, AB flanşındaki kesme kuvveti ; Kayma merkezinin yeri B den ; 41
Atalet momenti; t 3 lü terim diğerlerine göre çok küçük olduğu için ihmal edilerek, Elde edilir ve e ifadesinde yerine konursa Görüldüğü gibi t ye bağlı değil 0 dan b/2 ye kadar h/3b oranına bağlı olarak değişmekte 42
Örnek -22. kayma merkezi ve yüklenme y noktası belli olan kirişte B noktasındaki ndaki ve web deki max.. kayma gerilmesinin şiddetini bulunuz. Flanştaki kayma gerilmesi, ve s=b ile B noktasındaki kayma gerilmesi, τ B = 2.22 ksi 43
gövdedeki max. kayma gerilmesi için ; τ = max. 3.06 ksi Ve kayma gerilmelerinin dağılımı 44 Malzeme Mekaniğinde inde özel Konular Dr. Nusret MEYDANLIK
Örnek -33. Örnek-2 2 deki yük k uygulama noktasını ağırlık k merkezine taşı şısak gerilmeler ne olurdu. Burulma nedeniyle gerilmeler ; Önce kayma merkezini de dikkate alarak, kadarlık burulma momenti ve V=2.5 kips kesme kuvveti etkisinde zorlanma olmakta ve bu durumda gövdedeki max. Kayma gerilmesi önce çözülenle aynıdır, 45
Bileşik gerilmeler ; 46 Malzeme Mekaniğinde inde özel Konular Dr. Nusret MEYDANLIK
Prb-1. A shear force of V=300 kn is applied to the box girder. Determine the shear flow at points A and B. (q A =228 kn/m, q B =462 kn/m) Prb-2. A shear force of V = 450 kn is applied to the box girder. Determine the shear flow at points C and D. (q C =0 kn/m, q D =601 kn/m) 47
Yeter bu kadar! 48 Malzeme Mekaniğinde inde özel Konular Dr. Nusret MEYDANLIK