ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ POZİTİF ÇEKİRDEKLİ İNTEGRAL OPERATÖR AİLESİNİN L (, UZAYINDA YAKINSAKLIK HIZI

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ POZİTİF ÇEKİRDEKLİ İNTEGRAL OPERATÖR AİLESİNİN L (, ) UZAYINDA YAKINSAKLIK HIZI Sevilay KIRCI SERENBAY MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 28 Her hakkı saklıdır

ÖZET Doktora Tezi POZİTİF ÇEKİRDEKLİ İNTEGRAL OPERATÖR AİLESİNİN (, ) L UZAYINDA YAKINSAKLIK HIZI Sevilay KIRCI SERENBAY Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı Danışman: Doç. Dr. Ertan İBİKLİ Bu tez dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm, giriş kısmına ayrılmıştır. İkinci bölümde ileri bölümlerde gerekli olan kavramlar ve tanımlar verilmiştir. Üçüncü bölümde, (, ) L uzayına ait yeni bir süreklilik modülü tanımlanmış ve bazı özellikleri isatlanmıştır. Daha sonra ozitif çekirdekli integral oeratör ailesinin (, ) L uzayında yakınsaklığı ve bu yakınsamanın hızı hesalanmıştır. Dördüncü bölümde, üçüncü bölümde elde edilen sonuçlara örnekler verilmiştir. Eylül 28, 8 sayfa Anahtar Kelimeler : İntegral oeratör ailesi, Konvolüsyon, Süreklilik modülü, Yakınsaklık, Yakınsaklık Hızı i

ABSTRACT Ph.D. Thesis THE ORDER OF CONVERGENCE OF FAMILY OF INTEGRAL OPERATORS WITH POSITIVE KERNEL IN THE SPACE L (, ) Sevilay KIRCI SERENBAY Ankara University Graduate School of Natural And Alied Sciences Deartment of Mathematics Suervisor: Assoc. Prof. Dr. Ertan İBİKLİ This thesis consists of four chaters. The first chater is devoted to the introduction. The second chater contains some concets, definitions and theorems which are needed in the further chaters. In the third chater, the new modulus of continuity is given and some roerties of this new modulus of continuity are roven. Then the convergence and the order of the conv- ergence of family of integral oerators with ositive kernel in the sace (, ) L are investigated. In the fourth chater, for results roved in the third chater some examles are given. Setember 28, 8 ages Key Words : Family of integral oerator, Convolution, Modulus of continuity, Convergence, Rate of convergence. ii

TEŞEKKÜR Bu çalışmanın oluşturulmasında beni yönlendiren, araştırmalarımın her aşamasında bilgi, öneri ve yardımlarını esirgemeyerek ilerlememe katkıda bulunan danışman hocam sayın Doç. Dr. Ertan İBİKLİ ye, çalışmalarım süresince maddi manevi desteklerini esirgemeyen sevgili annem Neriman KIRCI ya, çalışmalarım süresince birçok fedakarlıklar göstererek beni destekleyen eşim Gökhan SERENBAY ya en derin duygularla teşekkür ederim. Sevilay KIRCI SERENBAY Ankara, Eylül 28 iii

İÇİNDEKİLER ÖZET... i ABSTRACT... ii TEŞEKKÜR... iii SİMGELER DİZİNİ... iv. GİRİŞ... 2. TANIMLAR ve TEMEL KAVRAMLAR... 7 2. Tanımlar... 7 2.2 İntegral Oeratör Ailesi ve Yaklaşımlar Teorisi... 9 3. İNTEGRAL OPERATÖR AİLESİNİN YAKINSAKLIĞI VE YAKINSAKLIK HIZI... 3 3. (, ) L Uzayında yakınsaklık... 3 3.2 (, ) L Uzayında yakınsaklık... 42 3.3. Yakınsaklık hızı... 57 4. ÖRNEKLER... 6 KAYNAKLAR... 79 ÖZGEÇMİŞ... 8

. GİRİŞ Yaklaşımlar teorisinin temel roblemlerinden birisi, verilen f fonksiyonunu kendisinden daha iyi özelliklere sahi olan fonksiyonlar dizisinin veya ailesinin herhangi bir anlamda (normda veya noktada) limiti biçiminde gösterebilmektir. Burada iyi özellikleri olan fonksiyonlardan kasıt olinomlar, tam fonksiyonlar, sonsuz kez türevlenebilen fonksiyonlar veya bir aralığın dışında özdeş olaraksıfır olan fonksiyonlardır. Yaklaşım roblemi üzerinde ilk çalışmalar yaan araştırmacı K.Weierstrass olmuştur. Weierstrass, kaalı ve sınırlı aralık üzerinde tanımlı sürekli bir fonksiyonun, olinomlar dizisinin limiti biçiminde gösterebilmesine ait teoremler isatlamıştır. Yani; f C [a, b] = lim n P n (x) =f (x) olacak biçimde (P n ) olinom dizisinin var olduğunu isatlamıştır. Ayrıca, f fonksiyonunun 2π eriyotlu sürekli bir fonksiyon olması halinde; f C [ π, π] = lim n T n (x) =f (x) olacak biçimde (T n ) trigonometrik olinom dizisinin varlığını da göstermiştir. Bu teoremler daha sonraki yıllarda Yaklaşımlar Teorisi adı verilen büyük bir matematik dalının temel teoremlerini oluşturmuştur. Yaklaşım roblemi integrallenebilen fonksiyonlar sınıfında düşünülürse, Lebesque ölçülebilir fonksiyonların Lebesque anlamında integralleri, Lebesque ölçüsü sıfırolan kümenin dışında tanımlandığından, bu sınıftan alınan bir fonksiyona yakınsayan dizileri veya aileleri bir integral dizisi veya ailesi biçiminde almanın dahauygun olduğu görülmektedir.

İntegrallenebilen fonksiyonlar sınıfı üzerinde dönüşüm yaan lineer bir integral oeratör; L (f; x) = f (t) K (t, x) dt, x D (.) D olarak verilebilir. Burada K (t, x) fonksiyonuna integral oeratörün çekirdeği adı verilir. (.) denkleminde, Λ indis kümesi olmak üzere λ Λ iken K λ (t, x) çekirdeği ele alınırsa, L λ (f; x) = f (t) K λ (t, x) dt, x D (.2) D biçiminde integral oeratör ailesi elde edilir. (.2) denkleminde özel olarak K λ (t, x) çekirdeği ozitif seçilirse (.2) denklemine ozitif çekirdekli integral oeratör ailesi denir. Eğer K λ (t, x) çekirdeği hem ozitif hem de H λ (t x) olacak şekilde seçilirse, L λ (f; x) = f (t) H λ (t x) dt, x D (.3) D biçiminde ozitif çekirdekli konvolüsyon tili integral oeratör ailesi elde edilir. Matematiğin birçok dalında ozitif çekirdekli konvolüsyon tili integral oeratörler önemli yer tutmaktadırlar. Bu integrallere örnek vermek gerekirse, Yaklaşımlar teorisinde Jackson ve Valle-Pussin integrallerini, Harmonik fonksiyonlar teorisinde Poisson ve Abel-Poisson integrallerini, Fourier serileri teorisinde Fejer integralini ve Diferensiyel denklemler teorisinde Gauss-Weierstrass integralini gösterebiliriz. Bazı önemli roblemlerin çözümlerinde karşımıza çıkan ozitif çekirdekli konvolüsyon tili integral oeratör aileleri aşağıdaki gibidir. ) Tanım bölgesinin D =( π, π), indis kümesinin Λ =(, ) ve limit noktasının λ =, H λ (t x) fonksiyonunun H λ (t x) = λ 2 2λ cos (t x)+λ 2 2

şeklinde seçilmesi ile elde edilen integral (Poisson integrali), birim dairedeki Dirichlet robleminin çözümünü vermektedir. 2) Tanım bölgesi D =(, ), indis kümesi Λ =(, ) ve λ limit noktasını, H λ (t x) fonksiyonu H λ (t x) = λ π λ 2 +(t x) 2 olarak seçilirse Abel-Poisson integrali elde edilir. Bu integral üst yarı düzlemdeki Dirichlet robleminin çözümüdür. 3) Tanım bölgesinin D =(, ), indis kümesinin Λ =(, ) ve λ limit noktasını, H λ (t x) fonksiyonunun H λ (t x) = λ π e λ2 (t x) 2 olarak seçilmesi sonucunda elde edilen Gauss-Weierstrass integrali, tüm reel eksende ısı denkeminin çözümüdür. 4) Tanım bölgesinin D =( π, π), indis kümesinin Λ = N ve H λ (t x) fonksiyonunun H λ (t x) = sin n (t x) π 2nπ sin (t x) 2 seçilmesiyle elde edilen Fejer integrali, f fonksiyonunun Fourier serisinin kısmi tolamlarının aritmetik ortalamasını vermektedir. 2 Yukarıdaki örneklerden de görüleceği gibi, matematiğin ve fiziğin çeşitli alanlarında karşılaşılan roblemlerin çözümleri, ozitif çekirdekli konvolüsyon tili integrallerin ve yaklaşımlar teorisinin yardımıyla da elde edilebilir. İlerleyen zamanlarda, eğer bir yaklaşım varsa, bu yaklaşımın hızı nedir roblemi 3

ortaya atılmıştır. Normlu bir uzay L (D) olsun. lim L λ f f L(D) = λ λ olacak şekilde normda yakınsaklık varsa, bu durumda λ λ iken (α λ )=L λ (f) f L(D) ifadesi bir sıfır ailesidir. Yani; lim λ λ α λ = dır. Eğer α λ lim β λ = ve lim = λ λ λ λ β λ veya α λ lim β λ = ve lim = A, A reel bir sabit λ λ λ λ β λ olacak şekilde bir (β λ ) sıfır ailesi bulunabilirse, bu durumda (α λ )=L λ f f L = o (β λ ) veya (α λ )=L λ f f L = O (β λ ) olur. Buradan L λ (f) oeratör ailesinin f fonksiyonuna yakınsama hızının (β λ ) sıfır ailesinin sıfıra yakınsama hızından daha hızlı olduğunu görmekteyiz. Bu ise yaklaşımlar teorisinin ikinci temel robleminin çözümü için yukarıdaki koşulları sağlayan uygun bir (β λ ) sıfır ailesinin bulunması gerektiğini gösterir. Böyle bir sıfır ailesi ise 4

genellikle süreklilik modülü kullanılarak bulunabilir. İntegrallenebilen fonksiyonlar sınıfı üzerinde, ozitif çekirdekli konvolusyon tili integral oeratörler yardımıyla yaklaşım roblemini incelemiş bir çok matematikçi vardır. Bu konuda çalışan matematikçiler, Weierstrass, Gauss, Picard, Lebesque, Natanson, Butzer vs. sayabiliriz. Yaklaşım roblemleri incelenirken arzu edilen yaklaşım L λ f f eyaklaşımını elde etmekdir. Fakat çoğu zamanbumümkünolmamaktadır, bu noktada araştırmacılar farklı yaklaşımlarıda incelemişlerdir. Bu yaklaşımlardan bir taneside yaklaşımın asimtotik değerinin bulunması roblemidir. Yaklaşımın asimtotik değeri incelenirken bazı araştırmacılar, f fonksiyonunun x noktasında n. mertebeden türevlenebilir olmasının yaklaşımın asimtotik değerine nasıl bir etkisi olduğunu araştırmışlar ve bu araştırmalarda L λ (f,x ) oeratör ailesinin f (x ) fonksiyonuna yaklaşımın asimtotikdeğerinin m C k f (k) (x ) k= biçiminde karışık birtolamın olduğunu gösterilebilmişlerdir. Daha yalın birasim- totik değer bulmak için Gadjiev et al. çalışmalarında yeni bir singüler integral oeratör ailesi olarak, L λ (f,x) = P k,λ f (x + α k,λ t) K λ (t) dt ailesini tanımlamışlar ve bu ailenin f (x ) fonksiyonuna x noktasında yaklaşımının asimtotik değerini, f fonksiyonunun x noktasında sağ ve sol türevlerinin farkı şeklinde olduğunu göstermişlerdir. 5

Bu Tez çalışmasında ise L λ (f,x) = P k,λ f (x + α k,λ t) K λ (t) dt ozitif çekirdekli singüler integral oeratör ailesinin L (, ) uzayında f fonksiyonuna L normunda yaklaşımı ve bu yaklaşımın hızı araştırılmıştır daha sonrada P k,λ, α k,λ ve K λ (t) nin özel halleri için bu yakınsamalar örneklendirilmiştir. 6

2. TANIMLAR ve TEMEL KAVRAMLAR Bu bölümde çalışmamıza yardımcı olacak temel tanımlar, teoremler ve yaklaşımlar teorisi ile ilgili genel bilgiler verilecektir. 2. Tanımlar Tanım 2... R de ölçülebilir ve f (x) dx <, < koşulunu sağlayan fonksiyonlar uzayına L (, ) uzayı denir. Bu uzayda norm; < olduğunda ve = olduğunda f = f (x) f = ess su f (x) x şeklinde tanımlanır (Stein and Weiss 97). Tanım 2..2. << ve nin eşlenik sayısı q olsun. Yani + q =olsun. f L (, ) ve g L q (, ) olmak üzere, f (x) g (x) dx f (x) q g (x) veya f g L (, ) f L (, ) g L q (, ) 7

eşitsizliğine Hölder Eşitsizlĭgi denir (Stein and Weiss 97). Tanım 2..3. < olmak üzere f,g L (, ) için f (x)+g(x) f (x) + g (x) veya f + g L (, ) f L (, ) + g L (, ) eşitsizliğine Minkowsky Eşitsizlĭgi denir (Stein and Weiss 97). Tanım 2..4. f iki değişkenli ölçülebilir bir fonksiyon olsun. < f (x, y) dy f (x, y) dy eşitsizliğine Genelleştirilmiş Minkowsky Eşitsizlĭgi veya Minkowsky İntegral Eşitsizliği denir. Yani, dir. (Stein and Weiss 97). f L (, ) f L(, ) Tanım 2..5.Normlu bir X uzayında bir (f n ) dizisi verilmiş olsun.eğer lim f n f n + X = olacak şekilde bir f X elemanı varsa, (f n ) dizisi kuvvetli yakınsak tır denirve bu durumda lim n f n = f 8

olarak yazılır. f fonksiyonuna (f n ) dizisinin kuvvetli limiti adı verilir (Natanson 964). Tanım 2..6. (f n ) L (, ) olsun. lim f n (x) g (x) dx = n f (x) g (x) dx eşitliği ölçülebilir ve sınırlı olan tüm g fonksiyonları için sağlanıyorsa f n dizisi f L (, ) fonksiyonuna zayıf yakınsaktır denir (Natanson 964). Tanım 2..7. (f n ) L (, ) olsun. lim f n (x) g (x) dx = n f (x) g (x) dx eşitliği g L q (, ) fonksiyonu için sağlanıyorsa f n dizisi f L (, ) fonksiyonuna zayıf yakınsaktır denir. Burada q, nin eşleniğidir (Natanson 964). 2.2 İntegral Oeratör Ailesi ve Yaklaşımlar Teorisi R, reel sayılar kümesini göstermek üzere, D R üzerinde tanımlı Lebesque anlamında integrallenebilen fonksiyonların uzayını gözönüne alalım. Bu uzay üzerinde dönüşüm yaan lineer bir integral oeratör, L (f; x) = f (t) K (t, x) dt, x D (2.2.) D biçiminde verilebilir. Burada K (t, x),d D üzerinde tanımlı, özellikleri önceden bilinen bir fonksiyondur. Özel olarak (2..) formülünde K (t, x) hem ozitif hem de K (t, x) =H (t x) 9

olarak alınırsa, L (f; x) = D f (t) H (t x) dt biçimindeki oeratöre Konvolusyon Tii İntegral Oeratör denir. Bu ti oeratörlerin en önemli özelliği, H çekirdek fonksiyonunun sahi olduğu iyi özelliklerin, konvolüsyon işlemi sonunda elde edilen fonksiyona kalıtsal olarak geçmesidir. Eğer bu çekirdek ozitif ve sürekli ise mevcut olduğu intagral de ozitif ve sürekli olur (Butzer and Nessel 97). Tanım 2.2..Λ bir indis kümesi ve λ, Λ nın biryığılma noktası olsun. λ Λ, L λ (f,x) = f (t) K λ (t x) dt, x D D biçimindeki integral, Λ arametresine bağlı Konvolüsyon Tii İntegral Oeratör Ailesi olarak adlandırılır. Tanım 2.2.2. Λ bir indis kümesi ve λ, Λ nın biryığılma noktası olsun. {K λ (t)} ailesine aşağıdaki şartları sağladığı taktirde Çekirdek denir. a) λ Λ için K λ (t) M< olacak şekilde bir M sayısı vardır. b) lim λ λ D K λ (t) dt = (Butzer and Nessel 97).

Tanım 2.2.3. {K λ (t)} çekirdeği, belirli bir t noktasında lim K λ (t )= λ λ özelliğini sağladığı taktirde, {K λ (t)} çekirdeği Singüler Çekirdek ve L λ (f,x) = D f (t) K λ (t x) dt, x D integral oeratör ailesi ise Λ arametresine bağlı Konvolüsyon Tii Singüler İntegral Oeratör Ailesi adını alır (Butzer and Nessel 97). Tanım 2.2.4. {K λ (t)} singüler çekirdeği, belirlenmiş her > sayısı için lim λ λ su K λ (t) t = şartını sağladığı taktirde Yaklaşım Birim (Aroximate Identitiy) olarak adlandırılır (Butzer and Nessel 97). L λ (f,x) = f (t) K λ (x t) dt (2.2.2) biçimindeki ozitif çekirdekli konvolüsyon tii integral oeratör ailesi matematiğin bir çok dalında önemli yer tutmaktadır. Bir çok diferensiyel denklem için sınırdeğer robleminin çözümü bu ti integrallerle verilmektedir. Bunlara birkaç örnek verelim. Düzlemde Lalace oeratörü, = 2 x + 2 şeklinde tanımlanır ve u =denklemine de Lalace denklemi 2 y2 denir. Örnek 2.2.. (Abel-Poisson integrali ve çekirdeği) Üst yarı düzlemde Lalace denklemini sağlayan ve reel eksende u (x, ) = f (x) fonksiyonuna eşit olan u fonksiyo-

nunu bulma roblemi üst yarı düzlem için Dirichlet roblemidir ve bu roblemin çözümü, f ε (x) = ε π f (t) ε 2 +(t x) 2 dt, ε > şeklinde bir integralle verilir. Gerçekten türev almakla 2 f ε (x) x 2 + 2 f ε (x) ε 2 = denkleminin sağlandığı görülebilir. Şimdi bunu gösterelim: f ε (x) x = ε π f (t) 2(t x) ε2 +(t x) 2 2 dt 2 f ε (x) x 2 = ε π = ε π f (t) 2 ε 2 +(t x) 2 2 +2 ε 2 +(t x) 2 2(t x)2(t x) ε2 +(t x) 2 4 dt f (t) 8(t x)2 2 ε 2 +(t x) 2 ε2 +(t x) 2 3 dt f ε (x) ε = π f (t) ε 2 +(t x) 2 dt + ε π f (t) 2ε ε2 +(t x) 2 2 dt 2 f ε (x) ε 2 = π + ε π = 4ε π f (t) 2ε ε2 +(t x) 2 2 dt + π f (t) 2ε ε2 +(t x) 2 2 dt f (t) 2 ε 2 +(t x) 2 2 +2ε2 ε 2 +(t x) 2 2ε ε2 +(t x) 2 4 dt f (t) dt ε2 +(t x) 2 2 + ε π f (t) 8ε3 2 ε 2 +(t x) 2 ε2 +(t x) 2 3 dt 2

elde edilir. Bu ifadeleri taraf taraf tolarsak 2 f ε (x) x 2 + 2 f ε (x) ε 2 = ε π 4ε π = 4ε π = f (t) 8 ε 2 +(t x) 2 4 ε 2 +(t x) 2 ε2 +(t x) 2 3 dt f (t) f (t) dt ε2 +(t x) 2 2 dt ε2 +(t x) 2 2 4ε π f (t) dt ε2 +(t x) 2 2 bulunur. f ε (x) = ε π f (t) integraline Abel-Poisson integrali, ε 2 +(t x) 2 dt, ε > A ε (x) = ε π ε 2 + x 2 ifadesine ise Abel-Poisson çekirdeği denir. A ε (x) negatif olmayan çift fonksiyondur. Örnek 2.2.2. (Gauss-Weierstrass integrali ve çekirdeği) Tüm reel eksende ısı denklemini yani, u t = 2 u x 2 denklemini ve f verilmiş fonksiyon olmak üzere u (x, ) = f (x) başlangıç koşulunu sağlayan çözüm fonksiyonu, u (x, t) = 2 πt 3 (ζ x) 2 f (ζ) e 4t dζ

biçimindedir. Burada yazılırsa, u λ (x) = 2 t = λ, u(x, t) =u λ (x) λ π f (ζ) e λ2 (ζ x) 2 dζ, λ > şeklinde bir integral elde edilir. Bu integrale Gauss-Weierstrass integrali, w λ (x) = λ π e λ2 x 2 fonksiyonuna ise Gauss-Weierstrass çekirdeği adı verilir. Bu çekirdeğin de negatif olmayan çift bir fonksiyon olduğu kolayca görülür. Bir çok roblemde daha genel olan L λ (f; x) = f (t) K λ (t, x) dt (2.2.3) tiindeki integrallere rastlanabilir. (2.2.3) integrali (2.2.2) integralinin bir genellemesi olduğundan dolayı (2.2.2) integraline ait teoremler (2.2.3) için geçerli olmayabilir. Yaklaşımlar teorisinde integrallenebilen fonksiyonlara yaklaşım genelde,bazı özel noktalarda araştırılır. Şimdi de yaklaşımın araştırıldığı bu özel noktaların tanımlarını verelim. Tanım 2.2.5. f L (, ) olmak üzere; h lim h + h f (x + t) f (x ) dt = 4

eşitliğinin sağlandığı x noktasına f fonksiyonunun Lebesque noktası denir (Butzer and Nessel 97). Tanım 2.2.6. f L (, ) olmak üzere; h lim h + h [f (x + t) f (x )] dt = eşitliğinin sağlandığı x noktasına f fonksiyonunun d-noktası denir (Butzer and Nessel 97). Tanım 2.2.7. λ Λ olmak üzere; Λ bir indis kümesi ve λ bu kümenin bir yığılma noktası olsun. lim λ λ β λ = olacak biçimdeki (β λ ) ailesine bir sıfır ailesidenir. Teorem 2.2.. (Luzin T eoremi) f L (a, b) ise her ε > sayısına göre, f ϕ L (a,b) < ε sağlanacak şekilde sürekli bir ϕ fonksiyonu bulunur ( Rana 997). Tanım 2.2.8. f L (, ) olmak üzere; ω (f,) =su f (x + t) f (x) dx t ifadesine, f fonksiyonunun L süreklilik modülü denir (Butzer and Nessel 97). L süreklilik modülünün temel özellikleri aşağıdaki teoremle verilebilir. 5

Teorem 2.2.2. f L (, ) olmak üzere; a) b) m N olmak üzere lim ω (f,) = ω (f,m) m ω (f,) dır. c) λ > keyfi bir reel sayı iken ω (f,λ) ( + λ) ω (f,) dır (Butzer and Nessel 97). Teorem 2.2.3. f L (, ) fonksiyonunun, (, ) aralığının hemen hemen her noktası Lebesque noktasıdır. İsat. olsun. ϕ (x, h) = h h f (x + t) f (x) dt f L (, ) olduğundan ϕ (x, h) L (, ) dir. 6

ϕ (x, h) L = h h f (x + t) f (x) dt dx = h h f (x + t) f (x) dt h = h h h su t ω (f, t ) dt f (x + t) f (x) dt h ω (f,h) h dt, ( t h) = ω (f,h) dir. Yani ϕ (x, h) ω (f,h) eşitsizliği sağlanır. Teorem 2.. den lim ϕ (x, h) = h elde edilir. Bu da hemen hemen her x için, olduğunu gösterir. lim ϕ (x, h) = h ϕ (x, h) fonksiyonunun tanımından (, ) aralığının hemen hemen her noktasının Lebesque noktası olduğu görülür. f L (, ) fonksiyonunun tüm Lebesque noktaları kümesi L (f), tüm d noktalarının 7

kümesi de D (f) ile gösterilirse bu durumda, h x+h x (f (t) f (x)) dt h x+h x f (t) f (x) dt eşitsizliği her bir Lebesque noktasının aynı zamanda d noktası olduğunu gösterir. Yani dir. L (f) D (f) Şimdi L (, ) uzayında olan bir f fonksiyonu x (, ) noktasında sürekli olsun. Bu taktirde x noktasındaki süreklilik tanımına göre, ε > > için t x < olduğunda f (t) f (x) < ε sağlanır. h alınırsa, elde edilir. Bu ise x+h f (t) f (x) dt < ε h x x+h lim f (t) f (x) dt = h h x olduğunu gösterir. Yani, L (, ) uzayında olan f fonksiyonunun her bir süreklilik noktası aynı zamanda onun Lebesque noktasıdır. f L (, ) fonksiyonunun tüm süreklilik noktaları kümesi C (f) ile gösterilirse C (f) L (f) D (f) şeklinde bir ilişki olduğu görülür. 8

Tanım 2.2.9. f L (, ) olmak üzere; lim h + h h f (x + t) f (x ) dt = eşitliğinin sağlandığı x noktasına f fonksiyonunun -Lebesquenoktası denir (Butzer and Nessel 97). Tanım 2.2.. f L (, ) olmak üzere; ω (f,) =su t f (x + t) f (x) ifadesine, f fonksiyonunun L - süreklilik modülü denir (Butzer and Nessel 97). Teorem 2.2.4. f L (, ) olmak üzere; a) b) m N olmak üzere lim ω (f,) = ω (f,m) mω (f,) dır. c) λ > keyfi bir reel sayı iken ω (f,λ) ( + λ) ω (f,) dır (Butzer and Nessel 97). 9

Teorem 2.2.5. f L (, ) fonksiyonunun, (, ) aralığının hemenhemen her noktası Lebesque noktasıdır İsat. ϕ (x, h) = h h f (x + t) f (x) dt olsun. ϕ (x, h) negatif olmayan bir fonksiyondur. Buradan ϕ (x, h) = h h f (x + t) f (x) dt olur. ϕ (x, h) fonksiyonunun L normu: ϕ (x, h) P = = h h h h f (x + t) f (x) dt f (x + t) f (x) dt biçimindedir. Genelleştirilmiş Minkowsky eşitsizliği kullanılırsa, ϕ (x, h) P h h f (x + t) f (x) dt eşitsizliği elde edilir. Buradan da, su th f (x + t) f (x) = ω (f,h) 2

olduğundan ϕ (x, h) P ω (f,h) yazılabilir. Süreklilik modülünün; lim ω (f,h) = h özelliğinden, lim ϕ (x, h) = P h elde edilir. Burada norm x değişkenine göre alındığı için, lim ϕ (x, h) = h eşitliği hemen hemen her x için sağlanır. ϕ (x, h) nın tanımından (, ) aralığının hemen hemen her noktasının f fonksiyonunun Lebesque noktası olduğu görülür. Fourier serisi için kullanılan bazı tolama yöntemlerinin incelenmesi ozitif çekirdekli integral oeratörlerle yaılmaktadır. 2π eriyotlu bir f fonksiyonunun Fourier serisinin kısmi tolamı, S n (f; x) = a n 2 + (a k cos kx + b k sin kx) dir. Burada a k ve b k Fourier katsayıları, a k = π f (t)cosktdt, k =,, 2,... 2π π ve b k = π f (t)sinktdt, k =, 2,... 2π π 2

olu bu ifadeleri S n (f; x) kısmi tolamında yerine yazarsak, S n (f; x) = π n π f (t) dt + f (t)(coskt cos kx +sinkt sin kx) dt 2π 2π π π = π n f (t) π 2 + cos k (t x) dt (2.2.4) elde edilir. olsun. π n 2 + cos k (t x) = n 2 + cos kα n 2 + cos kα = = = = 2sin α n 2 2 + cos kα 2sin α 2 sin α n 2 + 2sin α cos kα 2 2sin α 2 sin α n 2 + sin n + α 2 2sin α 2 sin k + 2 2sin α 2 α sin k 2 α dir. Bu ifade (2.2.4) de yerine yazılırsa S n (f; x) = π π π sin n + (t x) 2 f (t) dt, n =,, 2,... (t x) 2sin 2 22

Fejer integrali elde edilir. F n (t) = sin n 2 t 2nπ sin 2 t 2 fonksiyonuna da Fejer çekirdeği denir. Fejer çekirdeği de negatif olmayan çift bir fonksiyondur. σ n (f,x) = S (f; x)+s (f; x)+... + S n (f; x) n olsun. Uygun düzenlemeler yaılarak Fejer integrali elde edilir. σ n (f,x) = π 2nπ π sin n f (x + t) 2 t sin 2 t 2 dt Yaklaşım hızının bulunması roblemi ile bağlantılı olarak bazen, yaklaşımın asimtotik değerinin bulunması roblemi de araştırılır. Tanım 2.2.. L λ integral oeratör ailesinin f fonksiyonuna x noktasında yaklaşımın asimtotikdeğeri A (x ) ise bu biçiminde gösterilir (Achieser 956). L λ (f,x ) f (x ) lim = A (x ) λ α λ Nikolsky teoremi, bir noktada birinci mertebeden f + (x ),f (x ) sağ vesoltürevleri mevcut olan fonksiyonların Fejer oeratörü ile yaklaşımın asimtotik değerini vermektedir. Şimdi bu teoremi ifade ve isat edelim. 23

Teorem 2.2.6. f fonksiyonunun x noktasında sağ ve sol türevleri mevcut ise lim n σ n (f,x ) f (x ) σ n sin t 2, = f+ (x ) f (x ) dır. İsat. f fonksiyonunun x noktasındaki sağ vesoltürevleri, f (t + x ) f (x ) lim t + t = f + (x ) f (t + x ) f (x ) lim = f t (x ) t biçimindedir. ϕ (t) = f (t + x )+f (x t) f (x ) 2 ψ (t) = f (t + x ) f (x t) 2 şeklinde tanımlanmış ϕ (t) ve ψ (t) fonksiyonlarını göz önüne alalım. Buna göre f (t + x ) f (x )=ϕ (t)+ψ (t) dir. lim t ϕ (t) sin t 2 = f + (x ) f (x ) eşitliğinin sağlandığını gösterecegiz. Öncelikle t için eşitliğin sağlandığını gösterelim. lim t ϕ (t) sin t 2 ϕ (t) = lim t sin t 2 = 2 lim f (t + x ) f (x ) t. t t sin t 2 + 2 lim f (x t) f (x ) t. t t sin t 2 24

= ( 2) f (x )+2f + (x ) 2 = f + (x ) f (x ) dır. Benzer şekilde t + için de eşitliğin sağlandığı aynı methotla gösterilebilir. σ n (f,x ) f (x ) = π sin 2 n (f (t + x ) f (x )) 2 t nπ π 2sin 2 dt 2 t = π ϕ (t) nπ π sin 2 n 2 t 2sin 2 dt + π ψ (t) 2 t nπ π sin 2 n 2 t 2sin 2 2 t dt dir ve ψ (t) fonksiyonu tek fonksiyon olduğundan dolayı buradaki ikinci integral sıfıra eşittir. olu σ n (f,x ) f (x )= π ϕ (t) nπ π sin 2 n 2 t 2sin 2 2 t dt = σ n (ϕ;) lim n σ n (f,x ) f (x ) σ σ n sin t n (ϕ;) = lim 2, n σ n sin t = lim 2, = f + (x ) f (x ) n ϕ (t) sin t 2 eşitliğini elde ederiz. Yaklaşımın asimtotikdeğeri incelenirken, f fonksiyonunun x noktasında n. mertebeden türevlenebilir olmasının yaklaşımın asimtotik değerine nasıl biret- kisi olduğunu bulmak için Gadjiev et al. çalışmalarında yeni bir singüler integral oeratör ailesi olarak, L λ (f,x) = P k,λ f (x + α k,λ t) K λ (t) dt (2.2.5) 25

ailesini tanımlamışlar ve bu ailenin f (x ) fonksiyonuna yaklaşımının asimtotik değerini, bu fonksiyonun türevlerinin farkı şeklinde olduğunu göstermişlerdir. Burada Λ R, Λ indis kümesi λ Λ ve λ, Λ nın yığılma noktasıdır. Ayrıca λ arametresi için P k,λ ve α k,λ reel sayılar olu k,λ M<, M, λ dan bağımsızdır. ve λ Λ için k,λ = ve su {α k,λ } = α < k,λ dır. Sabit n doğal sayısı için R n,λ η > olu burada η, λ dan bağımsızdır. Ayrıca R s,λ =, s<n (s = ) R n,λ = P k,λ α n k,λ olur. [, ) da azalmayan bir Φ (t) fonksiyonu vardır öyleki Φ (t) lim = t t n ve λ = Φ (t) K λ (t) dt < dır. K λ (t) ozitif çekirdeği çift, <t< ve tüm λ için K λ (t) dt = 26

dir. (2.2.5) oeratörünün anlamlı olması için f (x) fonksiyonunun her sabit t (, ) için serisi yakınsak olmalıdır. P k,λ f (x + α k,λ t) Yukarıdaki bilgiler ışığında f fonksiyonunun bir x noktasında n. mertebeden türevlenebilir olması halinde L λ (f,x ) oeratör ailesinin f (x ) fonksiyonuna yaklaşımının asimtotikdeğerini gösteren teorem Gadjiev et al. tarafından aşağıdaki şekilde verilmiştir. Teorem 2.2.7. ) Ölçülebilir f fonksiyonu x noktası komşuluğunda (n ). mertebeden türevlere sahi ve yine x noktasında sağdan ve soldan f (n) + (x ) ve f (n) (x ) n. türevlere sahi olsun ayrıca f (x) ϕ (x), <x< eşitsizliğini sağlayan ϕ (x) <, <x< bir ϕ fonksiyonu mevcut olsun. 2) > ve λ, µ (α t) Φ (t) K λ (t) dt = O (λ) 27

ki burada ise dır. L λ (f,x ) f (x ) lim = λ R n,λ λ ϕ (x + y) µ (t) = su < <x< ϕ (x) y t f (n) + (x ) f (n) (x ) n! f (n) + (x )+f (n) n! (x ), n tek, n çift İsat. Öncelikle n indisinin tek olduğu durumu ele alalım. n indisinin çift olması durumuda benzer şeklinde isatlanır. L λ (f,x ) f (x ) farkını ele alalım. L λ (f,x ) = = P k,λ f (x + α k,λ t) K λ (t) dt + P k,λ f (x + α k,λ t) K λ (t) dt P k,λ f (x + α k,λ t) K λ (t) dt t yerine t alınırsa K λ (t) çift fonksiyon olduğundan K λ (t) =K λ ( t), L λ (f,x )= P k,λ (f (x + α k,λ t)+f (x α k,λ t)) K λ (t) dt olu K λ (t) dt ==2 K λ (t) dt 28

olduğundan L λ (f,x ) f (x )= P k,λ f (x + α k,λ t) +f (x α k,λ t) 2f (x ) K λ (t) dt B λ (t) = P k,λ (f (x + α k,λ t)+f (x α k,λ t) 2f (x )) f fonksiyonunun her sabit t (, ) için serisi yakınsaktır. Gerçekten, P k,λ f (x + α k,λ t) P k,λ f (x + α k,λ t) = ϕ (x) P k,λ f (x + α k,λt) ϕ (x + α k,λ t) ϕ (x + α k,λ t) ϕ (x) Mϕ (x) µ (α t) µ (t) = ϕ (x + y) su < <x< ϕ (x), y = α k,λ t y t µ (α t) = ϕ (x + α k,λ t) su < <x< ϕ (x) y t su {α k,λ } = α k,λ f fonksiyonu, x noktası komşuluğunda (n ). türeve sahi olduğundan t = için f (x ) fonksiyonunun Taylor seri açılımı; f (x + α k,λ t) = f (x )+f (x ) α k,λ t +... + f (n ) (x ) α n k,λ (n )! tn + f (n) + (x )+B (α k,λ t) α n n! k,λt n f (x α k,λ t) = f (x ) f (x ) α k,λ t +... + f (n ) (x ) α n k,λ (n )! tn 29

f (n) (x )+B 2 (α k,λ t) n! α n k,λt n taraf tarafa tolarsak, f (x + α k,λ t)+f (x α k,λ t) = 2f (x ) 2f (x )+ α 2 2! k,λt 2 +... + f (n) + (x ) f (n) (x ) α n n! k,λt n + B (α k,λ t) B 2 (α k,λ t) α n n! k,λt n = B λ (t) = P k,λ (f (x + α k,λ t)+f (x α k,λ t) 2f (x )) P k,λ 2f (x ) α 2 2! k,λt 2 +... + f (n) B (α k,λ t) B 2 (α k,λ t) +P k,λ α n n! k,λt n + (x ) f (n) (x ) α n n! k,λt n R n,λ tanımından s<n, R s,λ =dır. Bu yüzden 2f (x ) P k,λ α 2 2! k,λt 2 = olu B λ (t) = f (n) + (x ) f (n) (x ) R n,λ t n + γ n! λ (t) t n olarak yazabiliriz. olu t için γ λ (t) = n! P k,λ α n k,λ (B (α k,λ t) B 2 (α k,λ t)), t γ λ (t) 3

olur. σ λ (t) fonksiyonunu aşağıdaki şekilde tanımlayalım, σ λ (t) = B λ (t) Φ (t) R f (n) + (x ) f (n) (x ) n,λ n! ki burada σ λ (t) = B λ (t) Φ (t) ϕ (x ) Φ (t) + c P k,λ f (x + α k,λ t) ϕ (x + α k,λ t) ϕ (x + α k,λ t) ϕ (x ) f (x α k,λ t) ϕ (x α k,λ t) ϕ (x α k,λ t) ϕ (x ) P k,λ (2µ (α k,λ t)+2)+c ϕ (x ) Φ (t) +2 f (x ) ϕ (x ) c =(α ) n f (n) + (x ) f (n) (x ) M n! R n,λ = P k,λ α n k,λ α M µ (t) fonksiyonu tanımı gereği birden daha küçük olamaz ve [, ) da azalmayandır. Bundan dolayı σ λ (t) 4ϕ (x ) Φ (t) µ (α t) M + c + c olu lim t + σ λ (t) = = lim t + γ λ (t) ε > için öyle bir > sayısı vardır ki, σ λ (t) < ε, t<, λ t> için σ λ (t) 4ϕ (x ) Φ () µ (α t) M + c cµ (α t) 3

olu, burada c, t den ve λ dan bağımsız bir sabittir. L λ (f,x ) f (x ) = B λ (t) K λ (t) dt = = = B λ (t) Φ (t) Φ (t) K λ (t) dt B λ (t) Φ (t) R f (n) + (x ) f (n) (x ) n,λ n! +R n,λ f (n) + (x ) f (n) (x ) n! σ λ (t) Φ (t) K λ (t) dt Φ (t) K λ (t) dt = +R n,λ f (n) + (x ) f (n) (x ) n! Φ (t) K λ (t) dt f (n) + (x ) f (n) (x ) σ λ (t) Φ (t) K λ (t) dt +R n,λ n! I (λ) λ I (λ) σ λ (t) Φ (t) K λ (t) dt + σ λ (t) Φ (t) K λ (t) dt < ε Φ (t) K λ (t) dt + c µ (α t) Φ (t) K λ (t) dt = ε λ + o ( λ ) ise I (λ) = o ( λ ) f (n) + (x ) f (n) (x ) ε + ε L λ (f,x ) f (x ) λ R n,λ + R n,λ n! R n,λ 32

L λ (f,x ) f (x ) f (n) + (x ) f (n) (x ) λ R n,λ n! + ε + ε R n,λ ise L λ (f,x ) f (x ) lim = f (n) + (x ) f (n) (x ) λ λ R n,λ n! isat tamamlanır. 33

3. İNTEGRAL OPERATÖR AİLESİNİN YAKINSAKLIĞI VE YAKINSAKLIK HIZI Bu bölümde L λ (f,x) = P k,λ f (x + α k,λ t) K λ (t) dt (3.) oeratörünün yakınsaklığı önce L (, ) uzayında daha sonra da L (, ) ( << ) uzayında araştırılacaktır. (3.) de Λ R, Λ indis kümesi λ Λ ve λ, Λ nın yığılma noktasıdır. Ayrıca λ arametresi için P k,λ ve α k,λ reel sayılar olu k,λ M<, M, λ dan bağımsızdır. ve λ Λ için k,λ = ve su {α k,λ } = α < k,λ dır. 3. L (, ) Uzayında Yakınsaklık f L (, ) için araştıralım. k,λ f (x + α k,λ t) serisi ile tanımlanan fonksiyonun varlığını f (x) < ϕ (x), ϕ L eşitsizliğini sağlayan bir ϕ fonksiyonu mevcut olsun. Gerçekten, k,λ f (x + α k,λ t) k,λ f (x + α k,λ t) k,λ f (x + α k,λ t) ϕ (x + α k,λ t) ϕ (x + α k,λ t) ϕ (x) ϕ (x) 34

ϕ (x) k,λ f (x + α k,λ t) ϕ (x + α k,λ t) Mϕ (x) µ (α t) ϕ (x + α k,λ t) ϕ (x) olu k,λ f (x + α k,λ t) serisi her bir t R için yakınsaktır. Burada dır. Ayrıca f L (, ) için ϕ (x + y) µ (t) = su < <x< ϕ (x) y t k,λ f (x + α k,λ t) dx Mϕ (x) µ (α t) dx Mµ(α t) ϕ (x) dx = Mµ(α t) ϕ L olduğundan k,λ f (x + α k,λ t) fonksiyonu da L (, ) uzayına aittir. Önceki çalışmalarda kullanılan süreklilik modülleri, örneğin ω (f,) =su f (x + t) f (x) dx t süreklilik modülü L λ (f,x) = P k,λ f (x + α k,λ t) K λ (t) dt integral oeratör ailesi yardımıyla yakınsaklık hesalamak için çok da kullanışlı değildir. Çünkü bu oeratörde integralin altında bir seri olu ikisinin yer değiştirmesi bazı koşullara bağlıdır. Bu nedenle amacımıza yönelik yeni bir süreklilik modülünü 35

aşağıdaki gibi tanımlayalım. Tanım 3... ω L (f,) = su α k,λ t k,λ [f (x + α k,λ t) f (x)] dx fonksiyonu L (, ) de bir süreklilik modülü tanımlar. ω L (f,) fonksiyonunun ozitif ve ya göre monoton artan bir fonksiyon olduğu açıktır. Bu süreklilik modülünün bazı temel özelliklerini bir teorem olarak verelim. Teorem 3... a) b) m N olmak üzere lim ω L (f,) = ω L (f,m) m ω L (f,) dır. c) λ > keyfi bir reel sayı iken ω L (f,λ) ( + λ) ω L (f,) dır. İsat. 36

a) k,λ f (x + α k,λ t) fonksiyonu L (, ) uzayına ait olduğundan ε > sayısına karşılık, a k,λ f (x + α k,λ t) dx < ε 4, a k,λ f (x + α k,λ t) dx < ε 4 (3..) eşitsizliklerini sağlayacak bir a reel sayısı vardır. Ayrıca her > için (3..) den a k,λ f (x + α k,λ t) dx < ε 4, a+ k,λ f (x + α k,λ t) dx < ε 4 eşitsizliklerini yazabiliriz. Ayrıca, f fonksiyonu L (, ) uzayına ait olduğundan ε > sayısına karşılık, a k,λ f (x) dx < ε 4, a k,λ f (x) dx < ε 4 eşitsizliklerini sağlayacak bir a reel sayısı vardır ve her > için a k,λ f (x) dx < ε 4, a+ k,λ f (x) dx < ε 4 dir. Diğer yandan a k,λ (f (x + α k,λ t) f (x)) dx + su α k,λ t + su a α k,λ t a+ a+ k,λ (f (x + α k,λ t) f (x)) dx k,λ (f (x + α k,λ t) f (x)) dx k,λ (f (x + α k,λ t) f (x)) dx 37

olu su α k,λ t k,λ (f (x + α k,λ t) f (x)) dx su a+ α k,λ t a + su α k,λ t + su k,λ (f (x + α k,λ t) f (x)) dx a α k,λ t a+ su a+ α k,λ t a k,λ (f (x + α k,λ t) f (x)) dx k,λ (f (x + α k,λ t) f (x)) dx k,λ (f (x + α k,λ t) f (x)) dx + ε eşitsizliğini yazabiliriz. Böylece, su a+ α k,λ t a k,λ (f (x + α k,λ t) f (x)) dx < ε (3..2) olduğunu gösterebilirsek isat tamamlanmış olur. Luzin teoreminden, keyfi bir a sayısı için [ a 2,a +2] aralığında f Ψ L < ε olacak şekilde sürekli bir Ψ fonksiyonunun var olduğu bilinmektedir. (3..2) ifadesindeki integral ele alınırsa a+ a k,λ (f (x + α k,λ t) f (x)) dx 38

= a+ a a+ a + + a+ k,λ f (x + α k,λ t)+ψ (x + α k,λ t) Ψ (x + α k,λ t)+ψ (x) dx Ψ (x) f (x) k,λ f (x + α k,λ t) Ψ (x + α k,λ t) dx a a+ a k,λ Ψ (x + α k,λ t) Ψ (x) dx k,λ f (x) Ψ (x) dx = I (t)+i 2 (t)+i 3 (t) biçiminde üç integralin tolamına ayrılabilir. Bu integralleri teker teker inceleyelim. Öncelikle I (t) integralini ele alalım, I (t) = a+ a k,λ f (x + α k,λ t) Ψ (x + α k,λ t) dx olu α k,λ t α t için her iki yanın α k,λ t ye göre suremumu alınırsa su I (t) su α k,λ t = a+ α k,λ t α t a a+ a a+2 a 2 k,λ M k,λ f (x + α k,λ t) Ψ (x + α k,λ t) dx k,λ f (x + α t) Ψ (x + α t) dx a+2 a 2 k,λ f (x) Ψ (x) dx a+2 a 2 f (x) Ψ (x) dx f (x) Ψ (x) dx 39

elde edilir. Bu eşitsizlikte Luzin teoremi kullanırsa su I (t) εm α k,λ t elde edilmiş olunur.böylece için limite geçilirse elde edilir. lim su α k,λ t I (t) = Benzer yollar taki edilerek I 3 için de lim su α k,λ t I 3 (t) = dır. I 2 (t) nin isatı için Ψ fonksiyonunun sürekliliğini ele alalım. I 2 (t) = a+ a k,λ Ψ (x + α k,λ t) Ψ (x) dx εm (2a +2) eşitsizliğinde için limite geçilirse elde edilir. Sonuç olarak su a+ α k,λ t a lim I 2 (t) = k,λ (f (x + α k,λ t) f (x)) dx < ε dır. Böylece isat tamamlanmış olur. 4

b) ω L (f,) süreklilik modülünün tanımından dolayı, ω L (f,m) = su α k,λ t m k,λ [f (x + α k,λ t) f (x)] dx (3..3) dir. Yani burada suremum, [ m,m] aralığında alınmaktadır. (3..3) de t = my alınırsa ω L (f,m) = su α k,λ t m = su α k,λ y k,λ [f (x + α k,λ t) f (x)] dx k,λ (f(x + mα k,λ y) f(x +(m ) α k,λ y) +f(x +(m ) α k,λ y) f(x +(m 2) α k,λ y) +... + f(x + α k,λ y) f(x)) dx olur ve buradan ω L (f,m) su α k,λ y s= m k,λ [f (x + sα k,λ y) f (x +(s ) α k,λ y)] dx eşitsizliğini yazabiliriz. Bu eşitsizlikte x+(s ) α k,λ y = z denirse ve sonra yeniden z, x ile y, t ile değiştirilirse ω L (f,m) su α k,λ y s= = mω L (f,) m k,λ [f (x + α k,λ t) f (x)] dx elde edilir. c) [ λ ] ile λ sayısının tam kısmı gösterilsin. Bu durumda λ < [ λ ]+ 4

dir ve ω L (f,) fonksiyonu monoton artan olduğundan ω L (f,λ) ω L (f,([ λ ]+)) dır. [ λ ]+bir tam sayı olduğundan b) şıkkından ω L (f,λ) ω L (f,([ λ ]+)) ([ λ ]+)ω L (f,) (λ +)ω L (f,) elde edilir. Şimdi, L λ (f,x) = P k,λ f (x + α k,λ t) K λ (t) dt ozitif çekirdekli integral oeratör ailesinin L (, ) uzayındaki f fonksiyonuna yakınsaklığını araştıralım. Teorem 3..2. f (x) < ϕ (x), ϕ L (, ) eşitsizliğini sağlayan her f L (, ) fonksiyonu ve > için lim λ µ (α t) K λ (t) dt =, lim λ K λ (t) dt = 42

ve K λ (t) negatif olmayan, K λ (t) dt = koşulunu sağlayan çift fonksiyon ise L λ (f,x) = P k,λ f (x + α k,λ t) K λ (t) dt integral oeratörü λ için L λ f f L dır. İsat. Öncelikle L λ (f,x) f (x) farkını ele alalım. K λ (t) dt =olmasından dolayı f (x) K λ (t) dt = f (x) olur. Ohalde L λ (f,x) f (x) = k,λ [f (x + α k,λ t) f (x)] K λ (t) dt dir. L λ (f,x) f (x) dx k,λ (f (x + α k,λ t) f (x)) K λ (t) dt dx k,λ (f (x + α k,λ t) f (x)) K λ (t) dx dt k,λ (f (x + α k,λ t) f (x)) dx K λ (t) dt k,λ (f (x + α k,λ t) f (x)) dx K λ (t) dt 43

+ + k,λ (f (x + α k,λ t) f (x)) dx K λ (t) dt k,λ (f (x + α k,λ t) f (x)) dx K λ (t) dt = I (t)+i 2 (t)+i 3 (t) biçiminde yazılabilir. İlk olarak I 2 (t) integralini ele alalım. I 2 (t) = k,λ (f (x + α k,λ t) f (x)) dx K λ (t) dt su α k,λ t k,λ (f (x + α k,λ t) f (x)) dx K λ (t) dt ω L (f,) K λ (t) dt = ω L (f,) K λ (t) dt ω L (f,) K λ (t) dt = ω L (f,) I 2 (t) ω L (f,) eşitsizliği elde edilir. O halde her iki tarafın önce λ için daha sonrada için limiti alınırsa lim λ I 2 (t) = 44

olur. Şimdi I 3 (t) integralini ele alalım. I 3 (t) = k,λ (f (x + α k,λ t) f (x)) dx K λ (t) dt k,λ f (x + α k,λ t) dx + f (x) K λ (t) dt f(x+α k,λ t) ϕ(x+α k,λ t) k,λ ϕ (x) ϕ(x+α k,λ t) ϕ(x) dx K λ (t) dt + f (x) dx k,λ f(x+α k,λt) ϕ(x+α k,λ t) + ϕ(x+α k,λ t) ϕ (x) dx ϕ(x) f (x) dx K λ (t) dt Mµ(α t) ϕ (x) dx + f (x) K λ (t) dt Mµ(α t) ϕ (x) dx + f (x) K λ (t) dt = M ϕ L µ (α t) K λ (t) dt + f L K λ (t) dt I 3 (t) M ϕ L µ (α t) K λ (t) dt + f L K λ (t) dt eşitsizliğinin her iki tarafının λ için limiti alınırsa lim λ I 3 (t) = 45

elde edilir. Benzer yöntemler kullanılarak I (t) içinde eşitliği elde edilir. Böylece lim I (t) = λ λ için L λ f f L olu isat tamamlanır. 3.2 L (, ) ( << ) Uzayında Yakınsaklık f L (, ) için araştıralım. k,λ f (x + α k,λ t) serisi ile tanımlanan fonksiyonun varlığını f (x) < ϕ (x), ϕ L eşitsizliğini sağlayan bir ϕ fonksiyonu mevcut olsun. Gerçekten, olu k,λ f (x + α k,λ t) ϕ (x) f (x + α k,λ t) k,λ ϕ (x + α k,λ t) ϕ (x) k,λ µ (α t) = ϕ (x) µ (α t) k,λ ϕ (x) µ (α t) M ϕ (x + α k,λ t) ϕ (x) k,λ f (x + α k,λ t) serisi her bir t R için yakınsaktır. Burada ϕ (x + y) µ (t) = su < <x< ϕ (x) y t 46

dır. Ayrıca f L (, ) için k,λ f (x + α k,λ t) dx Mϕ (x) µ (α t) du Mµ(α t) ϕ (x) dx = Mµ(α t) ϕ L sonucuna ulaşırız. aittir. Böylece k,λ f (x + α k,λ t) fonksiyonu L (, ) uzayına << için L (, ) uzayında L λ (f,x) = P k,λ f (x + α k,λ t) K λ (t) dt integral oeratör ailesi yardımıyla yakınsaklık hesalayabilmek için yeni bir süreklilik modülünü aşağıdaki gibi tanımlayalım. Tanım 3.2.. <<, ω L (f,) = su α k,λ t k,λ [f (x + α k,λ t) f (x)] fonksiyonu L (, ) de bir süreklilik modülü tanımlar. ω L (f,) fonksiyonunun ozitif ve ya göre monoton artan bir fonksiyon olduğu açıktır. Bu süreklilik modülünün bazı temel özelliklerini bir teorem olarak verelim. 47

Teorem 3.2.. a) b) m N olmak üzere lim ω L (f,) = ω L (f,m) m ω L (f,) dır. c) λ > keyfi bir reel sayı iken ω L (f,λ) ( + λ) ω L (f,) dır. İsat. a) k,λ f (x + α k,λ t) fonksiyonu L (, ) ye ait olduğundan k,λ f (x + α k,λ t) L (, ) olu, ε > na karşılık > için a k,λ f (x + α k,λ t) + a+ k,λ f (x + α k,λ t) eşitsizliğini sağlayacak sekilde keyfi bir a reel sayısı vardır. < ε 2 (3.2.) k,λ [f (x + α k,λ t) f (x)] 48

= + a a+ a + a+ k,λ [f (x + α k,λ t) f (x)] k,λ [f (x + α k,λ t) f (x)] k,λ [f (x + α k,λ t) f (x)] dx dx olu işlemlerimizi > için yatığımız için < olacaktır. O halde = r için <r<, ( a + b + c ) r a r + b r + c r özelliğinden ve yukarıdaki üç integralin her birinin ozitif ve sonlu olmasından dolayı a + + k,λ [f (x + α k,λ t) f (x)] a+ k,λ [f (x + α k,λ t) f (x)] a a+ k,λ [f (x + α k,λ t) f (x)] k,λ [f (x + α k,λ t) f (x)] eşitsizliği elde edilir. Buradan α k,λ t ler üzerinden suremum alırsak ω L (f,) = su α k,λ t k,λ [f (x + α k,λ t) f (x)] 49

su α k,λ t + su α k,λ t + su α k,λ t a a+ k,λ [f (x + α k,λ t) f (x)] a a+ k,λ [f (x + α k,λ t) f (x)] k,λ [f (x + α k,λ t) f (x)] = I (t)+i 2 (t)+i 3 (t) sonucuna ulaşılır. I (t) ve I 3 (t) integrallerinde (3.2.) ifadesini kullanırsak I (t)+i 3 (t) < ε 2 dır. Buradan ω L (f,) = su α k,λ t < ε 2 + I 2 (t) k,λ [f (x + α k,λ t) f (x)] olu, şimdi I 2 (t) integralini ele alalım. I 2 (t) integralinin sıfıra yaklaştığını gösterebilmek için Luzin teoremini kullanacağız. Luzin teoremine göre a keyfi bir reel sayı ve > olmak üzere [ a 2,a+2] aralığında öyle bir sürekli Φ fonksiyonu vardır ki f Φ L < ε 5

dır. Aynı zamanda k,λ =olduğundan a+2 a 2 k,λ [f (x) Φ (x)] < ε eşitsizliği sağlanır. I 2 (t) integralini I 2 (t) = su α k,λ t su α k,λ t a+ a a+ a k,λ f (x + α k,λt)+φ (x + α k,λ t) Φ (x + α k,λ t)+φ (x) Φ (x) f (x) k,λ (f (x + α k,λ t) Φ (x + α k,λ t)) + k,λ (Φ (x + α k,λ t) Φ (x)) + k,λ (f (x) Φ (x)) dx olacak biçimde üç arçaya ayıralım = su α k,λ t su α k,λ t a+ a a+ a olur. Bu integralleri tek tek inceleyelim. ( I 2 + I 22 + I 23 ) 2 I 2 +2 2 I 22 +2 2 I 23 I 2 = k,λ (f (x + α k,λ t) Φ (x + α k,λ t)) 5

2 su 2 a+ a a+ α k,λ t a a+ I 2 P dx = 2 k,λ (f (x + α k,λ t) Φ (x + α k,λ t)) dx a a+ I 2 P dx = 2 su k,λ f (x + α k,λt) dx α k,λ t a Φ (x + α k,λ t) a+2 2 k,λ (f (x) Φ (x)) dx 2 < 2 ε a 2 a+2 a 2 f (x) Φ (x) dx olu benzer yollar taki edillerek I 23 içinde 2 a+ a I 23 P dx < 2 ε sonuca ulaşırız. Şimdi I 22 için de benzer işlemleri uygulayalım. 2 2 a+ a I 22 P dx = 2 2 2 2 a+ a a+ a k,λ (ϕ (x + α k,λ t) ϕ (x)) k,λ ε 2 2 ε (2a +2) dx dx eşitsizliği elde edilir. Böylece I 2 (t) su α k,λ t a+ a ( I 2 + I 22 + I 23 ) 52

su 2 + ε +2 2+ ε (2a +2) α k,λ t olu için limit alını gerekli düzenlemeler yaılırsa olur. Böylece isat tamamlanır. lim I 2 (t) < ε 2 b) ω L (f,) süreklilik modülünün tanımından dolayı ω L (f,m) = su α k,λ t m k,λ [f (x + α k,λ t) f (x)] (3.2.2) dir. Yani burada suremum, [ m,m] aralığında alınmaktadır. (3.2.2) de t = my alınırsa görülür ki ω L (f,m) = su α k,λ t m = su α k,λ y k,λ [f (x + α k,λ t) f (x)] k,λ (f (x + mα k,λ y) f (x +(m ) α k,λ y) +f (x +(m ) α k,λ y) f (x +(m 2) α k,λ y) +... + f (x + α k,λ y) f (x)) dx dir. Yani ω L (f,m) su α k,λ y m k,λ s= f (x + sα k,λ y) f (x +(s ) α k,λ y) 53

ve burada x +(s ) α k,λ y = z denirse ve sonra yeniden z, x ile y, t ile değiştirilirse ω L (f,m) su α k,λ y = mω L (f,) m k,λ [f (x + α k,λ t) f (x)] s= elde edilir. c) [ λ ] ile λ sayısının tam kısmı gösterilsin. Bu durumda λ < [ λ ]+ dir ve ω L (f,) fonksiyonu monoton artan olduğundan ω L (f,λ) ω L (f,([ λ ]+)) dır. [ λ ]+bir tam sayı olduğundan b) şıkkından ω L (f,λ) ω L (f,([ λ ]+)) ([ λ ]+)ω L (f,) (λ +)ω L (f,) elde edilir. Şimdi, L λ (f,x) = P k,λ f (x + α k,λ t) K λ (t) dt ozitif çekirdekli integral oeratör ailesinin L (, ) uzayındaki f fonksiyonuna 54

yakınsaklığını araştıralım. Teorem 3.2.2. f (x) < ϕ (x), ϕ L (, ) eşitsizliğini sağlayan her f L (, ) fonksiyonu için lim λ µ (α t) K λ (t) dt =, lim λ K λ (t) dt = ve K λ (t) negatif olmayan, K λ (t) dt = koşulunu sağlayan çift fonksiyon ise integral oeratörü için L λ (f,x) = P k,λ f (x + α k,λ t) K λ (t) dt λ, L λ f f L dır. İsat. Öncelikle L λ (f,x) f (x) farkını ele alalım. L λ (f,x) f (x) = = k,λ [f (x + α k,λ t) f (x)] K λ (t) dt k,λ [f (x + α k,λ t)+f (x α k,λ t) 2f (x)] K λ (t) dt 55

eşitliğinin her iki tarafında L normuna geçersek L λ f f L k,λ [f (x + α k,λ t)+f (x α k,λ t) 2f (x)] K λ (t) dt olu, Genelleştirilmiş Minkowskyeşitsizliğinden L λ f f L k,λ [f (x + α k,λ t)+f (x α k,λ t) 2f (x)] K λ (t) dt sonucunu elde ederiz. k,λ f (x + α k,λ t) serisinin yakınsak olmasından dolayı aşağıdaki dağılma işlemini kolaylıkla yaabiliriz. k,λ f (x + α k,λ t) + k,λ f (x α k,λ t) +2 f (x) a b 2c diyelim, << olduğundan (a + b +2c) 2 ((a + b) +2 c ) 2 (2 (a + b )+2 c ) = 2 2 (a + b + c ) 56

dır. a, b ve c değerleri yerlerine yazılırsa 2 2 k,λ f (x + α k,λ t) + k,λ f (x + α k,λ t) + f (x) elde edilir. Şimdi (3.2.3) integralinde keyfi bir ozitif alı, dışdaki integrali [, ] ve [, ) aralıkları üzerinde iki integralin tolamı biçiminde yazarsak, L λ f f L + k,λ [f (x + α k,λ t)+f (x α k,λ t) 2f (x)] k,λ [f (x + α k,λ t)+f (x α k,λ t) 2f (x)] K λ (t) dt K λ (t) dt olu buradan I (t) = k,λ [f (x + α k,λ t)+f (x α k,λ t) 2f (x)] K λ (t) dt ve I 2 (t) = k,λ [f (x + α k,λ t)+f (x α k,λ t) 2f (x)] K λ (t) dt eşitliklerini elde ederiz. I (t) = k,λ [f (x + α k,λ t)+f (x α k,λ t) 2f (x)] I K λ (t) dt 57

I = = k,λ [f (x + α k,λ t)+f (x α k,λ t) 2f (x)] k,λ [f (x + α k,λ t) f (x)] + k,λ [f (x α k,λ t) f (x)] 2 k,λ [f (x + α k,λ t) f (x)] + k,λ [f (x α k,λ t) f (x)] eşitsizliğini I (t) de yerine yazarsak, I (t) 2 k,λ [f (x + α k,λ t) f (x)] dx + k,λ [f (x α k,λ t) f (x)] Kλ (t) dt = 2 k,λ [f (x + α k,λ t) f (x)] dx + k,λ [f (x α k,λ t) f (x)] K λ (t) dt Minkowsky eşitsizliğinden 2 +2 2 k,λ [f (x + α k,λ t) f (x)] su α k,λ t k,λ [f (x α k,λ t) f (x)] K λ (t) dt k,λ [f (x + α k,λ t) f (x)] K λ (t) dt 58

+ su α k,λ t k,λ [f (x α k,λ t) f (x)] K λ (t) dt 2ω L (f,) K λ (t) dt K λ (t) dt = olmasından dolayı I (t) 2ω L (f,) eşitsizliği elde edilir. Bu eşitsizliğin önce, λ için sol tarafının limiti lim I (t) 2ω L (f,) λ daha sonra da sağ tarafın için limiti alınırsa lim I (t) lim 2ω L (f,) λ olu olduğundan lim ω L (f,) = lim λ I (t) = dır. Şimdi I 2 (t) integralini ele alalım, I 2 (t) = k,λ [f (x + α k,λ t)+f (x α k,λ t) 2f (x)] K λ (t) dt 59

4 2 2 2 k,λ f (x + α k,λ t) + k,λ f (x α k,λ t) + f (x) k,λ f (x+α k,λ t) dx K λ (t) dt + f K λ (t) dt eşitsizliğini elde ederiz. I 2 = k,λ f (x+α k,λ t) olsun. I 2 integralini inceleyelim. I 2 2 2 2 2 k,λ (f (x + α k,λ t)+f (x α k,λ t)) k,λ f (x + α k,λ t)+ +2 2 2 2+ dx k,λ f (x α k,λ t) k,λ f (x + α k,λ t) k,λ f (x + α k,λ t) ϕ (x + α k,λ t) k,λ f (x α k,λ t) ϕ (x α k,λ t) k,λ µ (α t) ϕ (x) dx + k,λ f (x α k,λ t) dx ϕ (x + α k,λ t) ϕ (x) ϕ (x α k,λ t) ϕ (x) dx ϕ (x) ϕ (x) dx dx 6

2 2+ µ (α t) k,λ ϕ (x) 2 2+ µ (α t) ϕ L dx elde edilen bu eşitsizliği I 2 (t) integralinde yerine yazarsak, I 2 (t) 8 2 2+ µ (α t) ϕ L +2 2 f L K λ (t) dt 2 2+4 ϕ L µ (α t) K λ (t) dt +2 2+3 f L K λ (t) dt eşitsizliği bulunur. lim λ µ (α t) K λ (t) dt = olmasından dolayı her iki tarafın λ için limiti alınırsa, dır. lim λ I 2 (t) = Elde edilen sonuçları (3.2.4) de yerine yazarsak teorem isatlanmış olur. 3.3 Yakınsaklık Hızı Bukesimdedeyaklaşımlar teorisinin diğer önemli bir roblemi olan, L λ (f,x) = P k,λ f (x + α k,λ t) K λ (t) dt ozitif çekirdekli integral oeratör ailesinin L (, ) uzayında f fonksiyonuna 6

L normunda yaklaşımın hızı incelenmiştir. (α λ )=L λ f f L ifadesi bir sıfır ailesidir. Yani; lim λ α λ = dır. Eğer lim β α λ λ = ve lim = A, A reel sabit λ λ β λ olacak şekilde bir (β λ ) sıfır ailesi bulunabilirse, bu durumda (α λ )=L λ f f L = O (β λ ) olur. Buradan; L λ (f)oeratör ailesinin f fonksiyonuna yakınsama hızının, (β λ ) sıfır ailesinin sıfıra yakınsama hızına denk olduğunu söyleyebiliriz. Bu ise yaklaşımlar teorisinin ikinci temel robleminin çözümü için, yukarıdaki koşulları sağlayan uygun bir (β λ ) sıfır ailesinin bulunması gerektiğini gösterir. Böyle bir sıfır ailesini elde edebilmek için f L (, ), ( < ) fonksiyonunun > için ω L (f,) = su α k,λ t k,λ [f (x + α k,λ t) f (x)] olan L (, ) süreklilik modülünü ele alalım. Bu süreklilik modülünü kullanarak yakınsaklık hızını aşağıdaki teoremle ifade edebiliriz. 62

Teorem 3.3.. f (x) < ϕ (x), ϕ L (, ) eşitsizliğini sağlayan her f L (, ) ( < ) fonksiyonu için K λ (t) negatif olmayan, K λ (t) dt = koşulunu sağlayan çift fonksiyon ve λ = tk λ (t) dt olmak üzere λ için λ olsun. integral oeratörü için L λ (f,x) = P k,λ f (x + α k,λ t) K λ (t) dt L λ f f 2M ( + α ) ω (f, λ ) dır. İsat. Öncelikle L λ (f,x) f (x) farkını ele alalım. L λ (f,x) f (x) P k,λ (f (x + α k,λ t)+f (x + α k,λ t) 2f (x)) K λ (t) dt 63

eşitsizliğinin her iki tarfında L normuna geçersek L λ (f) f L = L λ (f,x) f (x) P k,λ f (x + α k,λ t)+ f (x + α k,λ t) 2f (x) K λ (t) dt olu, Genelleştirilmiş Minkowskyeşitsizliğinden 2 P k,λ (f (x + α k,λ t)+f (x + α k,λ t) 2f (x)) K λ (t) P k,λ (f (x + α k,λ t)+f (x α k,λ t) 2f (x)) P k,λ f su α k,λ t x + α k,λ t f (x) P k,λ (f (x + α k,λ t) f (x)) ω L (f,α k,λ t) K λ (t) dt K λ (t) dt K λ (t) dt dt K λ (t) dt 2M 2M ω L f,α t λ K λ (t) dt λ +α t λ ω L (f, λ ) K λ (t) dt = 2Mω L (f, λ ) K λ (t) dt +2Mα ω L (f, λ ) λ tk λ (t) dt = λ = 2M ( + α ) ω L (f, λ ) 64

sonucuna ulaşılır. Buradan; L λ (f) f farkının sıfıra yakınsama hızının vedolayısıyla L λ (f,x) = P k,λ f (x + α k,λ t) K λ (t) dt integral oeratör ailesinin f fonksiyonuna yakınsama hızının, ω L (f, λ ) sıfır ailesinin sıfıra yakınsama hızına denk olduğunu görmekteyiz. 65

4. ÖRNEKLER Örnek 4.. L λ (f,x) = integral oeratör ailesinde; özel olarak,k = P k,λ =,k =2, 3,..., P k,λ f (x + α k,λ t) K λ (t) dt,k = ve α k,λ =,k =2, 3,..., alırsak, L λ (f,x) = f (x + t) K λ (t) dt integral oeratör ailesini elde ederiz. Burada da K λ (t) çekirdeğini; negatif olmayan K λ (t) dt = koşulunu sağlayan K λ (t) = λ π e λ2 t 2 Gauss-Weierstrass çekirdeği şeçersek, L λ (f,x) = f (x + t) λ π e λ2 t 2 dt Gauss-Weierstrass integralini elde ederiz. Her f L (, ) ( < ) için L λ (f) f L olduğunu gösterelim. 66

Öncelikle L λ (f,x) f (x) = (f (x + t) f (x)) λ π e λ2 t 2 dt olu λ π e λ2 t 2 dt =olmasından dolayı L λ (f,x) f (x) = (f (x + t)+f (x t) 2f (x)) λ π e λ2 t 2 dt eşitliğini yazabiliriz. Buradan her iki tarafın L (, ) normunu alırsak, L λ f f L (f (x + t)+f (x t) 2f (x)) λ e λ2 t 2 dt π dır. Genelleştirilmiş Minkowskyeşitsizliğinden, L λ f f L f (x + t)+f (x t) 2f (x) λ π e λ2 t 2 dt (4.) sonucunu elde ederiz. (4.) İntegralini, keyfi bir ozitif alı dışdaki integrali [, ] ve [, ) aralıkları üzerinde iki integralin tolamı biçiminde yazarsak, L λ f f L f (x + t)+f (x t) 2f (x) λ π e λ2 t 2 dt + f (x + t)+f (x t) 2f (x) λ π e λ2 t 2 dt = I (t)+i 2 (t) eşitsizliği elde edilir. İlk olarak I (t) integralini ele alalım. 67

I (t) = f (x + t)+f (x t) 2f (x) λ π e λ2 t 2 dt I I = f (x + t)+f (x t) 2f (x) = f (x + t) f (x)+f (x t) f (x) 2 ( f (x + t) f (x) + f (x t) f (x) ) eşitsizliğini I (t) de yerine yazarsak, I (t) 2 f (x + t) f (x) + f (x t) f (x) f (x + t) f (x) dx = 2 + f (x t) f (x) dx λ π e λ2 t 2 dt λ π e λ2 t 2 dt Minkowsky eşitsizliğinden, 2 f (x + t) f (x) λ π e λ2 t 2 dt +2 f (x t) f (x) λ π e λ2 t 2 dt 68

2 + su α k,λ t su α k,λ t f (x + t) f (x) f (x t) f (x) λ e λ2 t 2 dt π 2ω (f,) K λ (t) dt λ π e λ2 t 2 dt = olmasından dolayı I (t) 2ω (f,) eşitsizliği elde edilir. Buradan her iki tarafın önce λ için limiti alınırsa lim I (t) 2ω (f,) λ elde edilir. Şimdi için limit alırsak ω (f,) olduğundan dır. lim I (t) = λ Şimdi I 2 (t) integralini ele alalım, I 2 (t) 2 2 ( f (x + t) + f (x t) + 2f (x) ) λ π e λ2 t 2 dt 4 4 f λ π e λ2 t 2 dt =6f λ e λ2 t 2 dt π 69

eşitsizliğini elde ederiz. Burada lim λ λ e λ2 t 2 dt = π olduğundan lim λ I 2 (t) = dır. Bulduğumuz sonuçları (4.) integralinde yerine yazarsak, λ, L λ f f L olur. Örnek 4.2. L λ (f,x) = integral oeratör ailesinde; özel olarak ( ) k+ Cn,k k =, 2, 3,...,n P k,λ =,k = n +,n+2,..., P k,λ f (x + α k,λ t) K λ (t) dt k, k =, 2, 3,..., n ve α k,λ =,k = n +,n+2,..., alırsak, n L λ (f,x) = ( ) k+ Cnf k (x + kt) K λ (t) dt integral oeratör ailesini elde ederiz. Burada K λ (t) çekirdeğini Abel ossion çekirdeği seçersek, L λ (f,x) = λ π n ( ) k+ Cn k f (x + kt) +λ 2 t dt 2 dir. O halde her f L (, ) fonksiyonu için > ve λ, L λ f f L 7

olduğunu gösterelim. L λ f f L λ π n ( ) k+ Cn k (f (x + kt) +f (x kt) 2f (x)) +λ 2 t dt 2 olu, Genelleştirilmiş Minkowskyeşitsizliğinden sonucunu elde ederiz. L λ f f L λ π dx n ( ) k+ Cn k (f (x + kt) +f (x kt) 2f (x)) dx) +λ 2 t dt 2 n ( ) k+ Cnf k (x + kt) tolamınınsonluolmasından dolayı aşağıdaki dağılma işlemini kolaylıkla yaabiliriz. n 2 2 ( ) k+ Cnf k (x + kt) n + ( ) k+ C k nf (x kt) + f (x) elde edilir. Şimdi (4.2) integralini, keyfi bir ozitif alarak, dışdaki integrali [, ] ve [, ) aralıkları üzerinde iki integralin tolamı biçiminde yazarsak ve bu integrallere I (t) ve I 2 (t) dersek I (t) = n ( ) k+ Cn k f (x + kt) +f (x kt) 2f (x) +λ 2 t 2 dt 7

ve I 2 (t) = n ( ) k+ Cn k f (x + kt) +f (x kt) 2f (x) +λ 2 t 2 dt olur. olur. +λ 2 dt = olmasından dolayı t2 lim λ I (t) = I 2 (t) integralini ele alalım, I 2 (t) 4 4 2 2 n ( ) k+ C k nf (x+kt) n ( ) k+ C k nf (x+kt) + f + f L +λ 2 t 2 dt +λ 2 t 2 dt 4 2c f L + f L +λ 2 t 2 dt 4 (2c +)f L +λ 2 t dt 2 eşitsizliği elde edilir. lim λ +λ 2 dt = t2 olduğundan,herikitarafın > ve λ λ için limiti alınırsa, lim I 2 (t) = λ 72

dır. Elde edilen sonuçları (4.2) de yerine yazarsak λ, L λ f f L dır. Örnek 4.3. L λ (f,x) = integral oeratör ailesinde; özel olarak P k,λ = P k,λ f (x + α k,λ t) K λ (t) dt k (k +),, 2, 3,... ve α k,λ = k, k =, 2, 3,..., alırsak, L λ (f,x) = k (k +) f (x + kt) K λ (t) dt integral oeratör ailesini elde ederiz. Burada K λ (t) çekirdeğini keyfi bir yaklaşık birim seçelim. O halde f (x) < ϕ (x), ϕ L eşitsizliğini sağlayan f L (, ) fonksiyonları için > ve λ λ, L λ f f L olduğunu gösterelim. L λ f f L k (k +) f (x + kt) +f (x kt) 2f (x) K λ (t) dt 73