Ele Alıacak Aa Koular Sürekli-zama ve ayrık-zama işareler Bağımsız değişkei döüşürülmesi Hafa : İşareler ve Sisemler Üsel ve siüzoidal işareler İmpuls ve birim basamak foksiyoları Sürekli-zama ve ayrık-zama sisemler Sisemleri emel özellikleri Sürekli-zama ve ayrık-zama işareler Sürekli-zama ve ayrık-zama işareler İşareler bir olayı davraışı veya doğası hakkıda bilgi içermekedir. İşareleri çeşili şekillerde ifade emek mümküdür. İşareler, maemaiksel olarak bir veya daha fazla bağımsız değişkei foksiyou biçimide emsil edilir. Öreği, ses işarei zamaı foksiyou olarak akusik basıçla belirilir. Bezer şekilde, bir görüü iki koum değişkeii foksiyou olarak parlaklıkla aımlaır. Bu derse, aksi belirilmediği sürece bir bağımsız değişkeli işareleri iceleyecek ve bağımsız değişkee ZAMAN diyeceğiz. Acak, üm fiziksel olaylarda bağımsız değişkei zama olmadığı haırda uulmalıdır. Öreği, meeorolojik araşırmalarda yüksekliğe bağlı olarak hava basıcı, sıcaklık ve rüzgar hızıı değişimi hakkıda bilgi öemlidir. Bu durumda bağımsız değişke yükseklikir. İcelee işareler ise hava basıcı, sıcaklık ve rüzgar hızıdır. Bir ses kaydı. İşare, should we chase kelimlerii, zamaa bağlı olarak akusik basıç değişimleri şeklide emsil emekedir. Üs saır should, ikici saır we ve so iki saır chase kelimelerie karşılık gelmekedir. 3 4
Sürekli-zama işareler Sürekli-zama ve ayrık-zama işareler Bu derse, sürekli-zama ve ayrık-zama şeklide sııfladırıla emel iki ür işarei iceleyeceğiz. Sürekli-zama işare durumuda, bağımsız değişke süreklidir ve dolayısıyla işare bağımsız değişkei üm değerleri içi aımlıdır. Diğer yada, ayrık-zama işareler sadece belirli zamalarda aımlıdır ve bağımsız değişke ayrık değerler alır. Zamaı foksiyou olarak ses işarei ve yüksekliği foksiyou olarak amosferik basıç sürekli-zama işarelere örekir. İsabul Mekul Kıymeler Borsası (İMKB) hafalık edeksi ve düyadaki ülkelere göre oplam üfüs ayrıkzama işarelere örekir. Sürekli-zama ve ayrık-zama işarelerii birbiriyle karışırmamak amacıyla, sürekli ve ayrık durumlarda bağımsız değişke içi sırasıyla ve ; işareler içi de x() ve x[] oasyolarıı kullaacağız..derecede sisemi açık çevrim cevabı EKG diyagramı 5 6 Ayrık-zama işareler Sürekli-zama ve ayrık-zama işareler Yıllık buğday üreimi: (a) Sürekli-zama ve (b) ayrıkzama işarelerii grafik göserilimi..5 kişide oluşa bir aile içi oralama kazaça söz emei alamsız olması gibi bir ayrık-zama işareii 3.5. öreği hakkıda söz emek de alamlı değildir. Bu yüzde, kayağı e olursa olsu, ayrık-zama işarelerii i amsayı değerleri içi aımlı olduğua dikka ediiz. 7 8
Eerji - Güç Sürekli-zama ve ayrık-zama işareler Eerji - Güç Sürekli-zama ve ayrık-zama işareler İşareler çeşili fiziksel olayları emsil edebilir. Çoğu uygulamada, ilgileile işare bir fiziksel sisemdeki güç ve eerjiyi belire fiziksel büyüklüklerle doğruda ilişkilidir. Bir sürekli-zama işarei x() de aralığıda ve bir ayrık-zama işarei x[] de aralığıdaki TOPLAM ENERJİ, x sayıı geliğii gösermek üzere x( ) d, x[ ] ilişkileride hesaplaır. ORTALAMA GÜÇ, souçlar ilgili aralıkları boyua bölüerek (sürekli durumda - ; ayrık durumda - + ) elde edilir. = Sıırlı bir aralık {( - ), ( - )} içi yukarıda verile ilişkileri sosuz aralık durumua geelleşirmek mümküdür. Aralığı sosuza giiği limi durumuda aşağıda verile aımlar elde edilir: T N lim ( ) lim [ ] T T N = N E = x d E = x T T P = lim x( ) d T T N P = lim x[ ] N N + = N x( ) d, x[ ] + = 9 Eerji - Güç Sürekli-zama ve ayrık-zama işareler Eerji ve güç içeriğie göre işareler üç sııfa ayrılabilir. Solu eerjiye sahip (E < ) işarelere ENERJİ İŞARETİ deir. Eerji işarelerii gücü sıfır olmalıdır. Bir örek vermek gerekirse, [,] aralığıda, diğer zamalarda sıfıra eşi ola bir sürekli-zama işareii eerji işarei olduğuu gösermek zor değildir. Solu güce sahip işarelere (P < ) GÜÇ İŞARETİ deir. Güç işarelerii eerjisi sosuz olmalıdır. Öreği; değeri 4 ola sabi bir ayrık-zama işarei (üm değerleri içi x[] =4) güç işareidir. Diğer bir grup işareler içi e eerji e de güç solu bir değere sahipir. Öreği; x() = şeklide bir işare bu gruba girmekedir. Bağımsız değişkei döüşümü İşare ve sisem aalizideki öemli bir kavram bir işarei döüşürülmesidir. Öreği, bir uçak korol sisemide pilou eylemlerie karşılık işareler elekriksel ve mekaik sisemler aracılığıyla uçağı hız veya koumudaki değişikliklere döüşürülür. Diğer bir örek olarak, bir ses siemide kase veya CD ye kaydedilmiş müziği emsil ede bir giriş işarei iseile karakerisikleri iyileşirme, kaydeme gürülüsüü gidermek amacıyla değişirilebilir. Aşağıda, bağımsız değişkee yapıla basi değişikliklerde oluşa döüşümleri ele alacağız. Bu basi döüşümler, işareler ve sisemleri emel özelliklerii aımlamamıza imka verecekir. 3
Bağımsız değişkei döüşümü ZAMANDA ÖTELEME: x() işareii zama domeide kadar öelemesi ile elde edile işare x(- )şeklide ifade edilir. Bezerşekilde kadar öelemiş ayrık zama x[] işareide x[- ] şeklide ifade edilir. Orijial {x() veya x[]} ve öelemiş işareleri {x(- ) veya x[- ]} şekli ayıdır acak işareler bağımsız değişke domeide birbirlerie göre kaymışır. Bağımsız değişkei döüşümü Bağımsız değişkee yapılabilecek ikici döüşüm ÖLÇEKLEME dir ve sürekli zamada x(α) ayrık zamada ise x[α] biçimide emsil edilir. α ya ölçekleme kasayısı deir.α> durumuda orijial işare {x() veya x[]} α kadar daralılarak ölçeklemiş işare elde edilir.α< durumuda ise, orijial işare zama domeide α ı ersi kadar geişleilir. Öeleme işlemi ile radar, soar ve sismik işare işleme uygulamalarıda karşılaşılır. Bu uygulamalarda, farklı koumlardaki alıcılar bir oramda ileile bir işarei algılar. İşarei alıcılara ulaşma süreleri arasıdaki farka öürü alıcılardaki işareler birbirie göre öelemiş olmakadır. 3 4 Bağımsız değişkei döüşümü Bağımsız değişkee yapılabilecek üçücü bir döüşüm ZAMANI TERSİNE ÇEVİRME dir ve sürekli zamada x(-) (ayrık zamada x[-] ) şeklide ifade edilir. Orijial işarei dikey ekse ( = ) erafıda 8 dödürülmesiyle zamada ersie çevrilmiş işare elde edilir. Bağımsız değişkei döüşümü Şimdi orijial işaree bu üç emel döüşümü birlike uygulamasıı ele alacağız. Geel döüşüm x(α+β) şeklide ifade edilebilir. Orijial işaree döüşürülmüş işarei bulmak içi, işare ilk öce β kadar öeleir, daha sora oelemiş işare α ile ölçekleir. α ı egaif olması durumuda ayrıca zama ersie çevrilir. 5 6 4
Bağımsız değişkei döüşümü Aşağıda, bir sürekli-zama işarei x() içi, x(+), x(-+), x(3/) ve x(3/+) işareleri çizilmişir. Örek: 7 8 Periyodik İşare TANIM: Bir sürekli-zama işarei i değeride bağımsız olarak x() = x(+t) eşiliğii poziif bir T değeri içi sağlıyorsa T periyodu ile periyodikir. Eşiliği geçerli olduğu e küçük T değerie emel periyod (T ) deir. Periyodik olmaya işarelere aperiyodik deir. Çif ve Tek İşareler TANIM: Bir işare zama ersie çevrilmiş halie eşise (x() = x(-)) ÇİFT; zama ersie çevrilmiş halii egaifie eşise (x() = - x(-)) TEK işareir. T = T TANIM: Bir ayrık-zama işarei i değeride bağımsız olarak x[] = x[+n] eşiliğii poziif bir amsayı N değeri içi sağlıyorsa N periyodu ile periyodikir. Eşiliği geçerli olduğu e küçük N değerie emel periyod (N ) deir. N = 3. çif işare ek işare TANIM: Bir işare ile zama ersie çevrilmiş halii oplamıı yarısıa işarei ÇİFT PARÇASI deir. Beer şekilde, işare ile zama ersie çevrilmiş halii farkıı yarısıa işarei TEK PARÇASI deir. Ev { x( ) } = [ x( ) + x( ) ] Od{ x( ) } = [ x( ) x( ) ] 9 5
Bir ayrık-zama işarei ile işarei çif ve ek parçaları aşağıda verilmişir. Sürekli-zama Üsel ve Siüzoidal işareler Sürekli-zama karmaşık üsel işarei geel ifadesi, C ve a karmaşık sayılar olmak üzere x() = Ce a, dir. Bu iki paramerei değerie bağlı olarak karmaşık üsel işare farklı davraış göserir. -) Aşağıda göserildiği gibi C ve a gerçel ise, iki durum vardır. a poziif ise x() ara, aksi halde azala işareir. Ayrıca, a = olduğuda, x() sabi değer alacakır. (a) a >, (b) a <. Sürekli-zama üsel ve siüzoidal işareler Sürekli-zama üsel ve siüzoidal işareler -) C gerçel bir sayı (kolaylık olması açısıda C= olsu) a ise gerçel kısmı sıfır ola karmaşık bir sayı (a = jw ), yai x( ) = e olsu. Periyodik karmaşık üsel işarele yakıda ilişkili bir işare şeklide aımlaa siüzoidal işareir. x( ) = Acos( ω + φ) Bu durumda x() işarei periyodikir! o ( + T ) Periyodiklik aımıda, x() i periyodik olması içi e = e eşiliğii sağlaya poziif bir T değeri buluabilmelidir. Üsel sayıları özelliğide j T olduğuda, periyodiklik içi e ω = olmalıdır. T i alacağı değer w a bağlıdır. w = ise, x() = olup T i herhagi bir değeri içi periyodikir. w ise, e küçük poziif T değeri (emel periyod) içi buluur. O halde, ( + T T e = e e ) π T = ω ve e işareleri ayı emel periyoda sahipir. e 3 i birimi saiye ise, φ ve ω ı birimleri radya ve saiye başıa radyadır (rad/s). ω = πf yazılırsa f ı birimi, saiye başıa değişim sayısı veya herz (Hz) dir. Siüzoidal işare periyodik olup emel periyodu π T = ω şeklidedir. 4 6
Sürekli-zama üsel ve siüzoidal işareler Euler ilişkisi kullaılarak, karmaşık üsel ve siüzoidal işareler birbiri ciside yazılabilir. İlişkiler aşağıda verilmişir: e = cos( ω) + jsi( ω) A jφ A Acos( ω + φ) = e e + e e jφ Eşdeğer olarak, siüzoidal işareler, karmaşık üsel işarei gerçel ve saal kısmı şeklide ifade edilebilir: j( ω+ φ ) Acos( ω + φ) = ARe{ e } j( ω+ φ) Asi( ω + φ) = AIm{ e } Üsel işareler aomik palamalardaki zicir reaksiyoları, karmaşık kimyasal işlemleri, radyoakif bozuumu, RC devrelerii ve söümlü mekaik sisemleri yaııı modellemede kullaılır. Bezer şekilde, siüzoidal işareler eerjii koruduğu fiziksel sisemlerde karşımıza çıkar. Öreği, bir LC devresii doğal yaıı ve bir müzik oua karşılık gele akusik basıç değişimleri siüzoidaldir. 5 Sürekli-zama üsel ve siüzoidal işareler Bir sürekli-zama siüzoidal veya periyodik karmaşık üsel işarei emel periyodu T, TEMEL AÇISAL FREKANS olarak adladırıla ω ile ers oraılıdır. ω = ise, x() sabi olup herhagi bir poziif T içi periyodikir. O halde, sabi bir işarei emel periyodu aımsızdır. Acak, sabi bir işarei emel periyoduu sıfır kabul edebiliriz (sabi bir işarei değişim hızı sıfırdır). 6 Sürekli-zama üsel ve siüzoidal işareler Periyodik karmaşık üsel ve siüzoidal işareleri güç işarei olduğu göserilebilir. Periyodik karmaşık üsel işarelerde çoğu diğer işare üreilebilir. Orak bir periyod ile periyodik ola periyodik üsel işareler kümesie HARMONİK İLİŞKİLİ KARMAŞIK ÜSTEL KÜMESİ deir. e işareii T ile periyodik olabilmesi içi ωt = πk, k =,,,... olmalıdır. ω = π / T olarak aımlaırsa, ωt = πk koşuluu sağlaması içi ω, ω ı kaı olmalıdır. O halde, harmoik ilişkili bir karmaşık üsel kümesi, poziif bir ω frekasıı kalarıa eşi emel frekasa sahip periyodik üsel işareler kümesidir: jkω φk ( ) = e, k =, ±, ±,... k = içi φ k () sabiir, herhagi bir diğer k değeri içi φ k (), k ω emel frekasıyla veya π T = k ω k emel periyodu ile periyodikir. φ k () ye k. HARMONİK deir. 7 %Malab m-file. clc clear all = :.:.3; w = *pi*5; %emel bileşe x = si(w*); w = *w; %.harmoik x = si(w*); w3 = 3*w; %3.harmoik x3 = si(w3*); plo(,x,'b*',,x,'r*',,x3,'g*') 8 grid o 7
Sürekli-zama üsel ve siüzoidal işareler Sürekli-zama üsel ve siüzoidal işareler 3-) Sürekli-zama karmaşık üsel işarei geel ifadesi, C ve a karmaşık sayılar olmak üzere Ce a ile verildiğii haırlayıız. C, kuupsal koordialarda C = C e jθ, a ise karezye koordialarda a = r + şeklide ifade edilsi. C ve a yerie koulup Euler ilişkisi koulursa karmaşık üsel işare Ce = C e e = C e e a jθ ( r+ ) r j( ω+ θ ) şeklide yeide düzeleebilir. Bu ilişkide aşağıdaki gözlemler yapılabilir. Karmaşık üsel işarei geliği C e r dir. r = C e cos( ω + θ ) + j C e si( ω + θ ) r r = ise, karmaşık üseli gerçel ve saal kısımları siüzoidaldir. r > ise, gerçel ve saal kısımlar ara üsel işare, r < ise azala üsel işare ile çarpılır. Azala üsel işare ile çarpıla siüzoidal işarelere SÖNÜMLÜ siüzoidal deir. Söümlü siüzoidal işarelerle RLC devreleride ve mekaik sisemlerde karşılaşılır. Bu ür sisemler, zamala azala salıımlı eerji üreir. 9 (a) Ara siüzoidal işare x() = Ce r cos(ω + θ), r >. (b) Azala siüzoidal işare x() = Ce r cos(ω + θ), r <. Şekillerde kesikli eğriler C e r foksiyolarıa karşılık gelmekedir. 3 Ayrık-zama karmaşık üsel işarei geel ifadesi, C ve α karmaşık sayılar olmak üzere x[] = Cα dir. α = e β olmak üzere, üsel işare x[] = Ce β şeklide de yazılabilir. C ve α ı aldığı değerlere göre işarei şekli değişir. C ve α gerçel ise, aşağıdaki durumlar mümküdür: α > ise, işarei geliği arıkça üsel olarak arar. α < ise, işarei geliği arıkça üsel olarak azalır. α poziif ise, işarei üm değerleri ayı işaree (hepsi poziif veya egaif) sahipir. α egaif ise, x[] i işarei öreke öreğe değişir. α = ise, x[] sabiir (x[] = C). α = - ise, x[] döüşümlü olarak C ve C değerlerii alır. Ayrık-zama gerçel üsel işare doğum oraıa bağlı olarak üfus arışı ve zamaa (gü, ay, yıl vb) bağlı olarak yaırım soucuda elde edile kar gibi olayları modellemede kullaılır. Ayrık-zama gerçel üsel işare x[] = Cα (a)α > (b) < α <. (c) - < α <. (d)α < - 3 3 8
Sürekli durumda olduğu gibi, karmaşık üsel işarele yakıda ilişkili bir işare x[ ] = Acos( ω ) şeklide aımlaa siüzoidal işareir. + φ boyusuz ise, φ ve ω ı birimleri radyadır. Euler ilişkisi kullaılarak ayrık-zama karmaşık üsel ve siüzoidal işareler birbirleri ciside yazılabilir: e = cos( ω) + j si( ω) A jφ A Acos( ω + φ) = e e + e e jφ Ayrık-zama karmaşık üsel ve siüzoidal işareleri, sürekli durumda olduğu gibi güç işareleri olduğuu gösermek zor değildir. 33 34 C veαiçi kuupsal koordialarda C = C e jθ, α = α e yazılıp Cα ifadeside yerie koulursa ayrık-zama karmaşık üsel işare aşağıdaki gibi yazılabilir: θ Cα = C α cos( ω + θ ) + j C α si( ω + α = ise, karmaşık üsel işarei gerçel ve saal kısımları siüzoidaldir. α < ise, siüzoidal işareler azala bir üsel işarele, aksi halde ise ara bir üsel işarele çarpılmakadır. ) Sürekli-zama ve ayrık-zama işareler arasıda öemli farklar vardır. Birici fark olarak, aşağıda göserildiği gibi, π ile periyodikir: e j( ω + π ) j π e = e e = e Sürekli durumda ω ı farklı değerleri içi farklı işareler olmasıa karşı, j ayrık-durumda e ω işareideω yerieω + π,ω + 4π,ω + 6π yazıldığıda ayı souç elde edilmekedir. Bu yüzde, ayrık-zama karmaşık üsel işareleri π uzuluğudaki bir frekas aralığıda icelemek yeerlidir. Geelde ω < π veya -π ω <πseçilir. e 35 36 9
clc clear all = :.:.4; w = *pi*5; s = si(w*); s = si((w+*pi)*); s3 = si((w+4*pi)*); subplo(,,) plo(,s,'b*',,s,'r*',,s3,'g*') grid o e Sürekli-zamada ω arıkça işareii emel frekası arıyordu. Ayrık durumda bu geçerli değildir.ω, daπ ye doğru ararke e işareii birim zamadaki salıım sayısı (frekas değeri) ararkeω π de π ye doğru ararke salıım sayısı azalır. O halde, ayrık-zama karmaşık üsel işare,ω ı veyaπ i çif kalarıa yakı değerleri içi düşük frekaslı, π i ek kalarıa yakı değerleri içise yüksek frekaslıdır. =:3; w = pi/8; a = si((w)*); a =.+si((*pi+w)*); a3 = -.+si((4*pi+w)*); subplo(,,) plo(,a,'b*',,a,'r*',,a3,'g*') grid o 37 38 Haırlama: Sürekli-zamada ω arıkça e işareii frekasıda arıyordu 39 4
e ( + N ) j N işareii periyodik olması içi e = e veya e ω = eşiliğii sağlaya poziif bir amsayı N buluabilmeliydi. Karmaşık üsel işarei değerii alması içi üs π i kaı olmalıdır. O halde, m bir amsayı olmak üzere periyodiklikşarı olarakω /π i rasyoel bir sayı oması gerekiğii belire ω m ωn = πm = π N yazılabilir (ikici fark: sürekli işareω ı herhagi bir değeri içi periyodiki!). Bu koşul, ayrık-zama siüzoidal işareler içi de geçerlidir. e ω ı farklı değerleri içi farklı işareler ω ı herhagi bir değeri içi periyodik Temel frekas:ω Temel periyod: ω = ise aımsızdır ω ise π/ ω π ile periyodik N > ve m amsayıları içi ω = πm/n ise periyodik Temel frekas: ω / m Temel periyod: ω = ise aımsızdır ω ise m(π/ ω ) e Ayrık-zama karmaşık üsel işarei emel periyodu N ise, emel frekası π/n dir. O halde, işareii emel frekası olacakır. e π ω = N m 4 So olarak, harmoik ilişkili bir ayrık-zama karmaşık üsel kümesi, orak bir periyod N ye sahip periyodik üsel işareler kümesidir: jk (π / ) φ [ ] = e N, k =,,..., N k Sürekli durumda farklı olarak, periyodiklike öürü kümede N ade işare olduğua dikka ediiz (sürekli durumda kümede sosuz işare vardı!). jkω φ ( ) = e, k =, ±, ±,... k 4