Br Alışverş Merkezde Hzmet Sektörü Đç E Kısa Yol Problem le Br Çözüm Pıar Düdar, Mehmet Al Balcı, Zeyep Örs Yorgacıoğlu Ege Üverstes, Matematk Bölümü, Đzmr Yaşar Üverstes, Matematk Bölümü, Đzmr par.dudar@ege.edu.tr, mehmet.al.balc@ege.edu.tr, zeyep.ors@yasar.edu.tr Özet: Bu çalışmada; k boyutlu Eucld uzayıdak D-uzuluklu graflar ele alımış ve bu grafları elde edlşe lşk br algortma suulmuştur. Alışverş merkezde hzmet sektörü ç e kısa yol problem, bu graflar üzerde modellemş ve ble e kısa yol algortmaları yardımıyla çözüm elde edlmştr. Aahtar Sözcükler: D-uzuluklu graf, e kısa yol problem. Abstract: I ths paper, D-dstace graphs two-dmesoal Eucldea Space s studed ad a algorthm for these graphs s submtted. Shortest-path problem for servce dustry at shoppg mall s modelled wth D- dstace graphs ad the soluto s obtaed wth the help of well kow shortest-path algorthms.. Grş Br graf, br letşm sstem temsl etmektedr. Çalışmada model olarak yararlaıla D-uzuluklu graf X (D), [4] Eucld uzayıı boş olmaya br alt kümes tepeler kümes olarak, {( x, : d( x, D} kümes de ayrıtlar kümes olarak kabul ede özel br graf türüdür. Burada k d(x, foksyou, graftak tepeler arasıdak Eucld uzaklığıı, D se poztf sayılar kümes br elemaıı göstermektedr. D- uzuluklu graflar gerçek etwork optmzasyou problemde kullaılmış.[] Bu çalışmada; k boyutlu Eucld uzayıdak D-uzuluklu graflar ele alımış ve bu grafları elde edlşe lşk br algortma suulmuştur. Ele alıa problem, bu graflar üzerde modellemş ve ble e kısa yol algortmaları yardımıyla çözüm elde edlmştr. Br G grafı [7], solu boş olmaya eselerde oluşa tepeler kümes le bu tepeler kümes sırasız ayrık çftlerde oluşa ayrıt kümes üzerde taımlamaktadır. Başka br deyşle, br G(V,E) graf, klsde oluşur, burada V boşta farklı olmak üzere tepeler kümes ve E de E VxV olacak şeklde ayrıtlar kümes göstermektedr. Eğer G grafıda br a tepes le b tepes arasıda br ayrıt mevcutsa, bu tepelere btşktr der. Eğer br G grafıdak a ve b tepeler arasıda br yol varsa, bu k tepe brleştrlmştr adı verlr. Eğer graftak tüm ayrık tepe çftler ç br yol mevcutsa, G grafıa brleştrlmş graf der. G grafıda V olmak üzere elemaları; a şeklde taımlı, tepes tepese btşk se, aks halde A x matrse G btşklk matrs (adacecy matrx) der. [7] Br G grafıda a ve b tepe çft arasıdak d(a,b) uzaklığı, e kısa a-b yoluu uzuluğu olarak taımlaır. Bu taımda verle d br metrk ve (V(G), d) kls de br metrk uzaydır. [] Br grafı uzaklık matrs, grafı v tepesde v tepese ola tüm uzaklıkları çere D[ d ] şeklde br kare matrstr. Ayrıtlar üzere k tepe arasıa ulaşım uzuluğu, süres, malyet gb d değerler yerleştrlmesyle oluşa graflara ağırlıkladırılmış graf der. Bu ağırlıkladırılmış grafta belrlemş tepe arasıda var ola yollarda e küçük olaı buluması probleme e kısa yol problem der.[]
E Kısa Yol Problem Matematksel Model: [6] G, tepel, ağırlıklı br graf olsu. Bu durumda problem model:, (, ) ayrt sec lrse x, aks halde Z m d x () () x (başlagıç tepesde br ayrıtla çıkılır) x ( btş tepese br ayrıtla gelr) k, x k x dr. k. Eucld Uzayıda Graflar Bu bölümde D-uzuluklu grafı taımı verlmş, örekelr le açıklamıştır. boyutlu br Eucld uzayı d( x, ( x y ) ( x x ), y ( y y,..., ) x,...,, x, y E Uzaklık foksyou le verlmş, E üzerde taımlı br metrk uzaydır. -boyutlu Eucld uzayıa Eucld düzlem adı verlr. D- uzuluklu graflar: G(V, E, D) üçlüsü; - V tepeler kümes, V { X ( x, : x x x ve y y y E m} () d E ( X, Y ) ( x x ) ( y y ) ; X x, y ), Y ( x, y ), ( - E ayrıtlar kümes; {( X, Y ): d ( X, Y ) D, D E, X Y V} E E, olmak üzere taımlamış G grafıa Eucld uzayıda br graf veya D-uzuluklu graf adı verlr. Eucld uzayıı verle br alt bölgesde br G grafı oluştururke, G grafıı sıırı, D max aşağıdak gb taımlaır. D ( x x ) ( y ) max m y Örek.: D ç ( X, Y ) Şekl. X () grafı Örek.: D ç ( X, Y ) x x. h; h E, y y. k; k E, m, [] - d ağırlık foksyou; Şekl. X () grafı : VxV E X, Y V ç, ( X, Y ) ( X, Y ) E, burada
Örek.: D ç ( X, Y ) Şekl. X ( ) grafı D ye göre taımlaa Eucld uzaklık matrs, x tepesde x tepese ola tüm Eucldea uzaklıkları çere M [ m ] formuda br kare matrstr. uzaklığı le karşılaştırılır ve bu uzaklıkta küçük veya eşt ola uzaklıklar belrler. Adım -Uygu uzaklıktak tepeler belrledkte sora grafı btşklk matrs elde edlr.bu matrste uygu ola tepeler, uygu olmaya tepeler se le şaretler. Adım 6-Grafı btşklk matrs belrledkte sora çzm aşamasıa geçlr.btşklk matrsdek brler hag tepeler br ayrıtla brleştrleceğ belrlemede kullaılır. Adım 7-Algortma çıktısı olarak, farklı çzm verr.buları lkde grafı tepeler br çember üzerde yerleştrlmş olarak çzlr. Đkcsde se, grafı tepeler dk koordat sstemdek oktalar olarak alıır ve çzm yapılır. Ayı okta sayısıda grafı d-uzuluğuu değşmes le grafı asıl değştğ D- uzuluğuu artması le grafı ayrıt sayısıı arttığıı,grafı asıl yoğulaştığıı aşağıdak öreklerle et bçmde göreblrz. M Şekl. D uzaklığıı olduğu durumdak Şekl.4 X ( ) grafıı Eucld uzaklık matrs. D-uzuluklu Grafları tespt ç br Algortma Bu bölümde, Eucld uzayıı verle br alt bölgesde, seçle h ve k parametrelere göre D- uzuluklu grafları belrleye br algortma suulmuştur. Algortmada h ve k parametreler, yatay ve düşeydek okta sayıları ve grafı D- uzaklığı sabtler bloğuda taımlaır. Bu sabtlere göre algortmada aşağıdak şlemler yapılır. Adım - h parametrese göre x eksee üzerdek oktalar k parametrese göre y ekse üzerdek oktalar belrler. Adım - Bu adımda x eksede belrlee oktalar kümes le y eksede belrlee oktalar kümes Kartezye çarpımı alıarak oluşa oktalar grafı tepeler kümes olarak belrler. Adım - Grafı tepeler belrledkte sora her br tepe dğer tepelere ola uzaklığı, k okta arasıdak Eucld uzaklığıyla hesaplaır ve grafı uzaklık matrs belrler. Adım 4- Belrlee uzaklıkları her br grafı D- Şekl. D uzaklığıı olduğu durumdak Şekl. D uzaklığıı olduğu durumdak
4. Problem Düzlemsel br ala üzerde, her sokağıda 4 mağazaı buluduğu sokak üzere kurulmuş br alışverş merkezde, brbryle letşm ola mağazalar arasıdak uzaklık e fazla. m dr. Grşte başlayarak hzmet steye. mağazaya, toplam uzaklığı mmum kılacak şeklde ulaşmak üzere asıl br rota çzlmeldr?. Problem Graf Model X (.) grafı Mağazalar arasıdak Eucld uzaklıklar Koordatları verle mağazaları brbryle ola letşmler göz öüde buludurarak grafı uzaklık matrs aşağıda elde edlmştr. D X (.) grafıı Eucld uzaklık matrs Problem çözümü e kısa yol algortmalarıda Dkstra, Bellma-Kalaba veya Ford le çözüldüğüde e kısa mesafe buluur. Problem E kısa yol Algortması yardımıyla çözümü Toplam Mesafe m. dr.. Souç Bu çalışmada sabt br Eucld uzaklığıa karşı gele graf model oluşturularak, bu modelde br e kısa yol problem çözülebleceğ gösterlmştr. Başka etwork model problemler de uzaklık graflarla çözüleblr. Kayaklar: [] Buckley, F. ad Harary F., Dstace Graph, Newyork, Addso-Westey Publshg comp, 99. [] Chrstofdes, N., Graph Theory A Algorthmc Approach, Academc Press, Lodo, 986. [] Düdar, P., Balcı, M.,A., Oba, V., Br Alışverş Merkez Güvelk Ağıı E Kısa Uzuluklu Dallamış Ağaç Yardımıyla Oluşturulması 8.YAEM Kogres, 8. [4] Maehara, H., Dstace Graphs Eucldea Space, Ryukyu Math. (J. ), 99, -. [] Mathews, J., H., Numercal Methods for Mathematcs, Scece ageerg, Eglewood Clffs, Ic, Pretce Hall, Iteratoal, dto, 99. 4 6 7 8 9 6
[6] Taha, H., A., Operatos Research, Pearso Educato, 8th edto, 7. [7] West, D. B., Itroducto to Graph Theory, NJ: Pretce-Hall, d edto,.