SAYISAL ARAZİ MODELLERİNDE BAZI ENTERPOLASYON YÖNTEMLERİNİN KARŞILAŞTIRILMASI

Transkript

1 Selçuk Üverstes ISSN 30/678 Joural of Techcal-Ole Tekk Blmler Meslek Yüksekokulu Tekk-Ole Derg Clt 5, Sayı:-006 SAYISAL ARAZİ MODELLERİNDE BAZI ENTERPOLASYON YÖNTEMLERİNİN KARŞILAŞTIRILMASI Taer Üstütaş Selçuk Üverstes, Mühedslk ve Mmarlık Fakültes, Jeodez ve Fotogrametr Mühedslğ Bölümü Özet Bu çalışmaı amacı, Sayısal Araz Modeller de (SAM) da kullaıla beş değşk eterpolasyo yötemler karşılaştırılmasıdır. Bu amaca yöelk olarak, çalışmaı lk bölümüde, beş değşk yötem, Ters Mesafe, Krgg, Delauay Üçgeleme, Radyal Bazlı, Yerel Polgo Foksyoları, detaylı br şeklde celemştr. Sora, örek br araz üzerde, her br yötem eterpolasyo yötem kullaılarak, araz model celemştr. Souç olarak, celee bu beş değşk yötem, şlem doğruluğu ve zama açısıda değerledrlmştr. Doğruluk ve zama açısıda değerledrme yapıldığıda, Delauay yötem, sadece doğruluk (hata) düşüüldüğüde se, Krgg (Doğrusal) yötem uygu olduğu, görülmüştür. Aahtar Kelmeler: Sayısal Araz Model (SAM), Eterpolasyo COMPARATION OF SOME INTERPOLATION METHODS IN DIGITAL TERRAIN MODELS Abstract The ma am of ths study s to compare fve dfferet terpolato methods for predcto of Dgtal Terra Models. To rch ths am, these fve dfferet terpolato methods, Iverse Dstace, Krgg, Delauay Tragulato, Radal Bass Fucto, ad Local Polyomal, are explaed detal the frst secto of ths study. The, the Dgtal Terra Model s created ad aalyzed the methods o a sample dgtal terra. Fally, the result of ths aalyss s evaluated terms of CPU tme ad accuracy. Results show that Delauay terpolato gves the best soluto terms of CPU tme ad accuracy, ad Lear Krgg Iterpolato gves the best soluto terms of accuracy. Keywords: Dgtal Terra Model (DTM), Iterpolato Methods. Grş Sayısal Araz Modell (SAM) yeryüzüü blgsayarla yapılacak şlemlere esas olmak üzere sayısal olarak temsl edlmesdr. Bu taımla belrlee SAM ç yalızca koordatları le ble oktalar değl, uygu blgsayar programlarıda gerekl olmalıdır. SAM, arazy oluştura oktalar (x,y,z koordatlar) le araz sürekl yüzey bastçe tasvr edlmesdr. Kısaca, araz yüzey sayısal tasvr edlmesdr. SAM a alteratf olarak, Dgtal Elevato Model(DEM), Dgtal Heght Model(DHM), Dgtal Groud Model(DGM), Dgtal Terra Elevato Model(DTEM) termlerde kullaılmıştır[]. 4

2 Selçuk Üverstes ISSN 30/678 Joural of Techcal-Ole Tekk Blmler Meslek Yüksekokulu Tekk-Ole Derg Clt 5, Sayı:-006 SAM kavramı, 950 yıllarıda MIT de fotogrametrstler çalışmaları le başlamıştır []. SAM metodlarıdak lk esaslı gelşmeler, araz eterpolasyo metotlarıda oldu. Bu alada, eterpolasyo algortması keşfetmeye çalışıldı. İlk çalışmaları kamsamlı değerledrmes Schut yapmıştır [3]. Çok fazla eterpolasyo metotları teklf edlmş olmasıa rağme, pratkte kullaıla farklı tekkler arasıda metot karşılaştırmasıı Ackerma yapmıştır [4]. SAM doğruluğu hakkıda kes br şey söylemek, ou etkleye faktörler et br şeklde blmedkçe, mümkü değldr. Doğruluğu etkye araz yüzey özellkler faktörler aşağıdak gb özetleeblr []. - SAM kotrol oktalarıı dağılımı ve yoğuluğu, - SAM kotrol oktalarıı elde edlmes doğruluğu, - Araz yüzey modellemes ç kullaıla metotlar. Şüphesz, doğruluğu e çok etkleye faktör arazy kotrol oktaları yardımıyla tasvr etmektr. SAM, kotrol oktaları üzere kurulacağıa göre, arazy tam tasvr edemeye oktaları olumsuz etkler hçbr eterpolasyo yötem gderemez. Tasvr çok y olması durumuda, eterpolasyo yötem öem azalır. Bu çalışmada, araz doğru tasvr le lglemeyp, sadece eterpolasyo yötemler ç doğruluk kablyetler le lglelmştr.. Eterpolasyo Yötemler. Ters mesafe metodu (Iverse Dstace) İlk olarak Ters Mesafe eterpolasyo yötem aşağıdak gb taımlamıştır [5]. Z β = ˆ hj Z = β h = j Bu eştlkte, h, kare ağı oktası j ve oluşturulacak uzaklıktak komşu oktası arasıdak mesafedr. () eştlğde yer ala h değer () eştlğde hesaplamaktadır. h d + δ () j j Bu eştlkte, Z ˆ j eterpole edlecek j oktasıı değer, z komşu oktayı, d j kare ağı arasıdak uzaklığı, β kuvvet veδ yumuşatma parametres göstermektedr. (). Krgg metodu Bu metot, D.G. Krge sml Güey Afrkalı br made müheds tarafıda öerlmştr [6]. Geel olarak kestrm şlem (3) eştlğde gösterldğ gb, ble değerler ağırlıklı ortalaması alıarak yapılır. Z ( x ) = λ z( x ) (3) 0 = Bu eştlkte, z ( x0) göstermektedr. kestrlecek okta, zx ( ) ble oktayı, λ ataacak ağılıkları 4

3 Selçuk Üverstes ISSN 30/678 Joural of Techcal-Ole Tekk Blmler Meslek Yüksekokulu Tekk-Ole Derg Clt 5, Sayı:-006 Ağırlıkları, kestrm hatalarıı ortalaması sıfır ve varyası e küçük olacak şeklde belrlemese Krgg adı verlr. Krgg matrs formuda (4) eştlğdek gb gösterlmştr. γ γ. γ λ γ0 γ γ. γ λ γ =. (4) γ γ. γ λ γ0. 0 m Bu matrste, γ j, x ve x j oktaları arasıdak uzaklığa lşk varogram değer, m Lagrage sabt göstermektedr. Krgg yötem le yapıla hataı varyasıa, Krgg Varyası der ve bu varyas aşağıdak (5) eştlğde gösterlmştr. k λγ 0 = σ = ( x x ) + m (5) Verlere göre öcede varogram foksyou belrler. Bu foksyoa göre, ağırlıklar hesaplaır. Krgg Varyası, verler gerçek değerlere bağlı değldr, ver sayısıa ve verler arasıdak uzaklığa bağlıdır..3 Delauay üçgeleme yötem 934 yılıda Rus matematkç Bors Nkolaevch Delauay tarafıda gelştrlmştr [7]. Br oktaı e yakıdak oktalarıı şleme alır. Bu oktaları alırke saat bres yöüde hareket eder. Amaç e yakıda ola oktalarda üçgeler oluşturmaktır. Oluşa üçge çde başka br okta olamaz. Ya, üçgeler oluşturulduğuda, kearları kesşe üçgeler oluşamaz. Saat bres yöüde A, B, C, D, oktaları olduğuu kabul edersek, D oktası ABC Δ üçge çersde kalmamalıdır. Bu amaçla (6) eştlğdek kotrol yapılmalıdır. ax ay ax + a y bx by bx + by dareçde( a, b, c, d) = det > 0 (6) cx cy cx + cy dx dy dx + dy Determatı sıfır olması, bu dört oktaı ayı düzlemde olması demektr. E az üç oktayla br düzlem oluşturulur. Dördücü oktaı bu üçge dışıda olması ç determatı sıfırda büyük olması gerekr. Üçgeler oluşturulurke aşağıdak özellkler sağlaması gerekmektedr. - Üçgeler geş açılı üçgelerde, mümküse eşkear açılı üçgelerde oluşturulmalı, - Oluşa üçgelerde geçe dare çapı mmum olaıı seçmel, - Üçgeler öyle seçmelyz k, tüm dareler toplamı mmum ola üçgelerde oluşmalıdır. Bu algortmayı fade ede aşağıdak gb yalacı kod yazılablr. for her < hesapla z = x + y 43

4 Selçuk Üverstes ISSN 30/678 Joural of Techcal-Ole Tekk Blmler Meslek Yüksekokulu Tekk-Ole Derg Clt 5, Sayı:-006 for her < - for her j < for her k < üçgeler ormaller hesapla sadece üçge taba yüzey kotrol et f(j!= k && z < 0) { for her m < { f m verle (,j,k) oktası üzerdeyse the br Delauay üçge oluştur else oktayı at.4 Radyal bazlı foksyo (Radal Bass Fucto) Radyal bazlı br foksyo geel olarak (7) eştlğdek gb gösterlr [8]. N sy ( ) = λϕ ( y x ) (7) = λ katsayıları, x merkez oktasıı, ϕ temel foksyou fade etmektedr. Temel foksyo (8) eştlğde gösterle eştlklerde br seçleblr. Gaussa cr ϕ() r = e (8) Okld uzuluğu ϕ () r = r Hardy Multkuadrk ϕ () r = r + c Ters Multkuadrk ϕ () r = r + c Th-Plate Sple ϕ () r = r logr Radyal esaslı foksyo, tek değşkel sple foksyou olarak düşüüleblr. X değer arta şeklde sıraladığı düşüülürse, foksyo, leer sple (9) eştlğdek gb olur. ( x+ y) f+ ( y x) f+ sy ( ) =, x y x+, (9) x x + 44

5 Selçuk Üverstes ISSN 30/678 Joural of Techcal-Ole Tekk Blmler Meslek Yüksekokulu Tekk-Ole Derg Clt 5, Sayı: Yerel polom foksyou (Local Polyomal) Yerel polom metodu, ağırlıklı e küçük kareler yötem le eğr uydurmadır..,. ve 3. derecede polom olarak fade edlrler [9]. Eğer foksyou. derecede fade edlrse, F( X, Y) = a+ bx + cy (0) İkc derecede fade edlrse, F( X, Y ) = a + bx + cy + dxy + ex + fy () Üçücü derecede fade edlrse, 3 3 F( X, Y ) = a + bx + cy + dxy + ex + fy + gx Y + hxy + X + jy () Ağırlıklı e küçük kareler metoduda, ağırlıklar, oluşturulacak kare uzuluğua bağlı olarak (3) eştlğdek gb taımlaır. cos( φ) s( φ) s( φ) cos( φ) TXX = TXY = TYX = TYY = (3) R R R R Bu eştlkte, φ arama elps açısıdır, -360 la 360 arasıda değer alablr. R, R se arama yarı çapıdır ve poztf br değer alması gerekr. AXX, AXY, A YY arama elps br parametresdr. Tüm verler ç ayı alıır ve (4) eştlğdek gb fade edlr. AXX = TXX + TYX AXY = ( TXXTXY + TYX TYY ) (4) AYY = TYY + TXY Ağırlık, (5) eştlğdek gb hesaplaır. dx = X X 0 dy = Y Y0 (5) R = AXXdX + AXYdXdY + AYYdY p W = ( R) Yerel e küçük kareler parametreler, hataları kareler ağrılıklı toplamıı küçülterek (6) eştlğdek gb hesaplaır. N (, ) (6) Mmze W F x y z = 45

6 Selçuk Üverstes ISSN 30/678 Joural of Techcal-Ole Tekk Blmler Meslek Yüksekokulu Tekk-Ole Derg Clt 5, Sayı: Uygulama Şekl. 54x54 kare ağıda oluşa test alaı. Test alaı, 54x54 kare ağı ve 968 düğüm oktasıda oluşmaktadır (Şekl ). Kare ağı 30 m. dr. Kare ağı seyreltlerek 60 m. lk araz yapısı oluşturulmuştur. Bu araz yapılarıda, 30 m. lk kare ağı, eterpolasyo yötemleryle tekrar oluşturulmuştur. İç doğruluğu ölçme yötem olarak, eterpolasyola bulua yükseklk le gerçek araz değer arasıda farklarda karesel ortalama hatalar bulumuştur (Tablo ). Ya 60 m lk kare ağıı farklı eterpolasyo yötemler kullaarak 30 m lk kare ağı oluşturulmuştur. Hata mktarıı hesaplamak ç hesapla bulua ve gerçek araz değerler karşılaştırılmıştır. Kullaıla eterpolasyo yötemler, Ters Mesafe, Krgg, Delauay Üçgeleme, Radyal Bazlı, Yerel Polgo, foksyolarıdır. Hesapla bulua yüzey le lk yüzey karşılaştırılarak karşılıklı oktalar arasıdak yükseklk farkları bulumuştur. 4. Souçlar Eterpolasyo yötemler karşılaştırması Tablo de verlmştr. Beş ayrı yötem değşk parametreler le şlem yapılarak, toplam obr ayrı şlem elde edlmştr. Farklı o br değer yorumlaması Şekl de gösterlmştr. Şekl de, Y ekse olarak toplam şlem süres s olarak, X ekse se hata olarak alımıştır. Bu grafkte e deal durum ekseler başlagıç oktasıa yakı olmasıdır. Çükü, amaç e kısa sürede ve e az hatayla şlem yapması stelmektedr. O br şlem çde bu şartı sağlaya k yötem öe çıkmaktadır. Bular, Delauay ve Ters Mesafe (4. derece) 46

7 Selçuk Üverstes ISSN 30/678 Joural of Techcal-Ole Tekk Blmler Meslek Yüksekokulu Tekk-Ole Derg Clt 5, Sayı:-006 foksyolardır. Ekseler başlagıç oktasıda uzakta ola yötemler malyet, ya doğruluk açısıda, ya da şlem süre açısıda, artmaktadır. Tablo. Eterpolasyo yötemler şlem hatası ve süres. No Eterpolasyo Yötem Hata(RMSE) Süre(s) Ters Mesafe p= Ters Mesafe p= Krgg (Doğrusal) Krgg (Gaussa) Krgg (Karesel) Delauay Radyal Bazlı (Multkuadrk) Radyal Bazlı (Th Plate Sple) Yerel Polom (. derece) Yerel Polom (. derece) Yerel Polom (3. derece) Şekl Hata- süre grafğ Hata malyet e yüksek ola brc derecede Yerel Polom, süre olarak malyet e fazla ola se Radyal Esaslı (Th Plate Sple) oladır. Kayak [] de yapıla celemede, yerl yazılımları, eterpolasyo yötemler olarak Delauay yötem kulladıkları görülmüştür. Bu kayakta, Selçuk Üverstes 47

8 Selçuk Üverstes ISSN 30/678 Joural of Techcal-Ole Tekk Blmler Meslek Yüksekokulu Tekk-Ole Derg Clt 5, Sayı:-006 kampusüde alıa 486 oktalı alada, 970 üçge oluşturularak, düzeç eğrler geçrlmştr. Farklı yazılımları ürettğ düzeç eğrler çakıştırıldığıda, farkları çok az olduğu görülmüştür. Buu sebeb, eğrler yumuşatma foksyolarıdak farklarda kayaklamaktadır. Yötemler çde e az hata doğrusal Krgg Yötem le elde edlmştr. Bu yötemde şlem malyet fazladır. Doğruluk daha öeml, şlem malyet öeml değl se, bu durumda doğrusal Krgg yötem seçleblr. 5. Kayaklar [] Üstütaş, T., Sayısal Araz Modellerde Hassasyet Aalz ve Eterpolasyo Yötemler, Yüksek Lsas Tez, SÜ Fe Blmler Esttüsü, Koya 994. [] Mller, C.L., Laflamme, R.A., "The dgtal terra model-theory ad applcato". Photogrammetrc Egeerg, 4(3): , 958. [3] Schut G.H., Revew of Iterpolato Methods for Dgtal Terra Models, The Caada Surveyor, Vol.30.No.5, 976. [4] Ackerma, F., The Accuracy of Dgtal Heght Models, Proc., 37th Photogrammetrc Week, Uversyt of Stuttgart, 3-43, 979. [5] Davs, Joh C., Statstcs ad Data Aalyss Geology, Joh Wley ad Sos, New York; 986. [6] Krge D.G., A statstcal approach to some e valuatos ad alled problems at the wtwatersrad. Master s thess, Uversty of Wtwatersrad, 95. [7] Delauay Bors N., Sur la Sphére Vde. Izvesta Akadema Nauk SSSR, VII Sera, Otdelee Matematchesk Estestveyka Nauk 7: , 934. [8] Hardy, R. L. Theory ad Applcatos of the Multquadrc-BHarmoc Method, Computers Math. Applc, v. 9,. 8/9, p , 990. [9] Jaqg F., Local Polyomal Modellg ad Its Applcatos. Chapma & Hall/CRC;