. Uygulama Hatırlatma: Rasgele Değşelerde Belee Değer Kavramı br rasgele değşe ve g : R R br osyo olma üzere, ) esl ve g ) ) < olduğuda D ) sürel ve g ) ) d < olduğuda g belee değer der. c R ve br doğal sayı olma üzere: * * E g g sayısıa, D E g g d sayısıa E c değere c ye göre c momet der. E değere c momet der. * E ( ) değere belee değer der. E E( ) değere varyası der. * Alışagelmş olara br rasgele değşe belee değer µ veya sadece µ, varyası se Var ( ), σ veya sadece σ le de gösterlmetedr. Varyası areöüe stadart sapma der ve br rasgele değşe stadart sapması σ veya sadece σ le gösterlmetedr. değere c çarpımsal momet der. * Var olması halde, M ( t E e ), h < t < h ( h > ) osyoua momet ürete osyou veya momet çıara osyou der. * E ( )( ) ( + ) t * ϕ ( t ) E ( e ), t < R osyoua momet araterst osyou der. Ragele Vetörlerde Belee Değer Kavramı (,..., ) br rasgele vetör ve g : R R ye br osyo olma üzere, esl dağılımlarda,... g,,...,,,..., ) < ve sürel dağılımlarda,,,...,
... g,,...,,,..., d d... d,,..., olması halde,... g,,..., ),,...,,,..., ) E g (,,..., )... g,,..., ),,..., ) d d... d sayısıa g (,,..., ) belee değer der. <,,..., * (,..., ) br rasgele vetör olma üzere,,,..., ç E( )......,,..., ) +,,...,...,,..., d... d d... d,,..., + ) sayısı belee değer olma üzere, d ( ) Cov(, ) E E( ) ( E( )),,,,..., sayısıa le ovaryası ve Cov(, ) Cov(, ) Cov(, ) Cov(, ) Cov(, ) Cov(, ) Σ Cov(, ) Cov(, ) Cov(, ) rasgele değşeler varyas-ovaryas matrs der. matrse,...,. Cov(, ) sayısı σ ( σ Cov(, ) ) le de gösterlmetedr.,,..., ç σ Cov(, ) Var( ) (,..., ) br rasgele vetör ve Cov(, ) ρ,,,,,..., Var( ) Var( ) le arasıda orelasyo atsayısı olma üzere,
ρ, ρ, ρ, ρ, R ρ,, ρ matrse,..., rasgele değşeler orelasyo matrs der. * (,..., ) br rasgele vetör olma üzere (var olması halde), t+ t +... + t ) M ( t, t..., t ) E e, h< t, t..., t < h,..., osyoua (,..., ) vetörüü momet çıara osyou veya,..., rasgele değşeler orta dağılımıı momet çıara osyou der. * ϕ (,..., ) br rasgele vetör olma üzere, ( t + t +... + t ) ( t, t..., t ) E e, t, t..., t R,..., osyoua (,..., ) rasgele vetörüü araterst osyou der. Alıştırmalar:. a) a, b R olma üzere, ( a+ b) ) a ) + b ) a+ be( ) E( ) E( a+ b ) ( a+ b) ) d a ) d+ b ) d a+ be( ) E( ) ae + b b) Var( a+ b) E( a+ b E( a+ b) ) E( a+ b ae( ) b) ( ) ( ) E a ae a E E a Var
c) Var ( ) E ( E( )) E E( ) + ( E( )) ( E( )) + E E E E E d) Cov(, Y) E[ ( E( ))( Y E( Y ))] E[ Y E( ) Y E( Y ) + E( ) E( Y )] E( Y ) E( E( ) Y) E( E( Y )) + E( E( ) E( Y )) E( Y ) E( ) E( Y) E( Y ) E + E( ) E( Y ) E( Y ) E( ) E( Y) le Y bağımsız olduğuda, Cov(, Y) E( Y ) E( ) E Y E( ) E Y E( ) E Y e) Orta dağılıma sahp ola, Y gb rasgele değşe ç taımlaa, ρ, Y Cov(, Y ) Var( ) Var( Y ) orelasyo atsayısıa, Pearso orelasyo atsayısı der. ρ, Y orelasyo atsayısı le Y rasgele değşeler arasıda leer lş br ölçüsüdür. Şmd, ρ, Y olduğuu spatlayalım. E( ty ) E( ) te Y + t E Y, t R Bua göre, delem dsrmatı E Y t E Y t+ E( ) ( ) E Y E Y E 4 4 ( ) E Y E Y E( ) dır (Schwartz Eştszlğ). Burada, (( )( )) E E Y E Y E Y E (( )( )) E E Y E Y E Y E
(( )( )) E E Y E Y E Y E( ) ρ, Y elde edlr. Eştl olması ç gere ve yeter şart cy ( c R ) olması ρ, Y olduğuda le Y rasgele değşelere doğrusal lşszdr veya ısaca ρ orelasyo atsayısı yaı olduğuda lşszdr der., Y lş, - e yaı olduğuda güçlü egat lş vardır der. le Y arasıda güçlü pozt ley bağımsız ρ, Y ( ley doğrusal lşsz) ) a, b, c, d R olma üzere, Cov( a + b, c + d) E a b c d + + E a + b E c + d ace( ) + ade( ) + bce( ) + bd ace( ) E( ) ade( ) bce( ) bd ace( ) ace( ) E( ) accov(, ) g) ρ a+ b, c + b Cov( a + b, c + b) Var( a + b) Var( c + b) accov(, ) a Var( ) c Var( ) ac a c ρ, h),..., rasgele değşeler belee değerler ve ovaryasları mevcut olsu. a, a,..., a R olma üzere, E a a E( )
Var a a a Cov a Var + a a Cov (, ) ( ) (, ) +,..., rasgele değşeler bağımsız olduğuda ovaryaslar sıır olacağıda, Var a a Var( ) Var Var( ) Var( ± ) Var( ) + Var( ) ve a,,,..., ç Var Var( ),..., rasgele değşeler ayı ( µ ) ortalamalı, ayı ( σ ) varyaslı ve bağımsız oldularıda, σ E( ) E µ, Var( ) Var. Br rasgele değşe momet ürete osyou varsa, d M t E,, dt t
Belee değer şlec (operatörü) E, sürel rasgele değşelerde tegral, esl rasgele değşelerde toplam olma üzere, aşağıda E le d dt türev alma şlemler yer değştrebleceğ varsayılsı. d d t d t t M ( t) E( e ) E e E ( e ),,,,... dt dt dt olma üzere, Bezer yolda, elde edlr. d t M t E e E,,,,... dt t t M ( t, t..., t ),..., t M ( t, t..., t ),..., t t t, t,..., t t, t,..., t E ( ) E,..., rasgele değşeler bağımsız olduğuda,,..., t t ( t ) t t t ) M ( t, t..., t ) E e e... e E e E e... E e M ( t ) M ( t )... M ( t ),..., rasgele değşeler bağımsız ve ayı dağılımlı (ayı ortalamalı ve ayı varyaslı) olursa, olduça olay olmata soucuda ve ( ) M ( t) M ( t) M ( t) dağılımı ve rasgele değşeler dağılımlarıı elde etme t t t M ( t) M ( t) M M M soucuda dağılımı buluablr.
. rasgele değşe olasılı osyou, e λ λ,,,, ( λ > )! e λ λ olsu.,,,.. ç < olduğuda bütü mometler var! belee değer, λ λ e λ e λ E( )!! λ λ λ λ λe λe )!! λ + adesde aydalaara, elde edlr. Burada, buluur. λ ( ) e λ E E + E + λ! ( ) λ e λ + λ! λ + λ e λ + λ λ! ) λ Var E E λ rasgele değşe momet ürete osyou, λ λ t t t e λ e ( e λ) λ ( e λ) λ M ( t) e e e e!!! e t λ t λ ( e ) e, t R belee değer, dm ( t) t λ( t ) E( ) t λe e t λ dt c momet,
ve varyası, E d M ( t) t dt [ λete + ( λe ) e ] λ+ λ λ( e t ) ( t t λ e ) t Var( ) E( ) ( E ) λ + λ ( λ ) λ olara elde edlr. Öreğ, br rasgele değşe momet ürete osyou, t ( et ) e M ( t) e! se olasılı osyou, e ),,,,! 4. Br güde parça şleye br tora maası ç usursuz olara şledğ parçaları sayısı olsu. olasılı osyouu 4 ) 4,,,,,, ) 4 4 4 4 olduğu bls. Br güde üretle usursuz parça sayısıı belee değer (ortalaması), 4 4 E( ) ) + + + + 4 + 4 varyası, Var( ) E ( 4) 4) ) 4 4 ( 4) + ( 4) + ( 4) + ( 4) + (4 4) + ( 4) 4. Đşlememş parçaı alış değer a, şleme masraı b, usurlu şlemş parçaı hurda değer c ve usursuz şlemş parçaı satış değer d olma üzere gülü azacı belee değer edr? K rasgele değşe gülü azacı gösterme üzere, olara ade edleblr. K a + b + c + d ( c a b) + ( d c)
E( K) E ( c a b) + ( d c) ( c a b) + ( d c) E( ) Var( ) Var ( c a b) + ( d c) ( d c) Var( ) olma üzere, öreğ şlememş parçaı alış değer a TL, şleme masraı b TL, usurlu şlemş parçaı hurda değer c TL ve usursuz şlemş parçaı satış değer d TL olduğuda, K ( c a b) + ( d c) 9 + E( K) 9 + E( ) 9 + 4 Var 4 Var( ) 7 σ 7. Gülü azacı belee değer, başa br ade le ortalama gülü azaç TL dr. Gülü azacı olasılı dağılımı, 4 4 4 P( ) 9 + -9 - - - 4 4 P( K ) olma üzere, bazı gülerde TL azaç olduğu gb, 9, ya da TL ayıp söz ousu olablr..,, rasgele değşeler orta olasılı osyou,,,,,, ) + ), 4,,, olsu. E( ),, ) + ),, 4 + ) ( ) 4 + 4 4 olma üzere, bu belee değer maral dağılımıda da hezaplayablrz. maral olasılı osyou, ) + ),, 4 ve olasılı tablosu, olup ) / /
E( ) + E( ) değer hesaplayalım. E( ),, ) + ),, 4 + ) ( ) 4 + 4 9 9 4 9 olma üzere, bu değer (, ) vetörüü maral dağılımıda ( le maral orta dağılımıda) da bulablrz. le maral orta olasılı osyou,,, ),,,, ) + ) 4, (+ ), 4,, olma üzere, olasılı tablosu ) P( ) /4 /4 7/4 /4 /4 /4 4/4 /4 ) P( ) 9/4 /4 /4, E( ), ) (, ) + (,) + (, ) + (, ),,,, + (,) + (, ),, 7 4 + + + + + 4 4 4 4 4 4 9 9 4 9 Tabloda görüldüğü gb, maral dağılımıı olasılı tablosu, ) 9/4 /4 /4
9 7 E( ) + + 4 4 4 4 9 99 E( ) + + 4 4 4 4 99 7 Var( ) E( ) ( E( )) 4 4 Şmd,, rasgele değşeler varyas-ovaryas matrs hesaplamaya çalışalım. Đl öce şerl maral dağılımları elde edelm. Yuarıda, le maral orta olasılı osyou,,, ),,,, ) + ) 4, (+ ), 4,, olma üzere, olasılı tablosu ) P( ) /4 /4 7/4 /4 /4 /4 4/4 /4 ) P( ) 9/4 /4 /4 olduğuu bulmuştu. Ayrıca, E( ), E( ), Var( ) 9 7 7 7 E( ), E( ), Var( ) 4 4 9 E( ), Cov(, ) E( ) E E( ) 9 değerler böyle br tabloda olayca hesaplayablrz. Bezer şelde, le ü maral orta olasılı osyou,,, ),,,, ) + ) 4 + ),,,,, olasılı tablosu, ) P( ) / / / / / / 4/ 9/ ) P( ) / / 7/ ve
9 4 4 4 E( ), E( ), E( ), Var( ) E( ), Cov(, ) E( ) E( ) E( ) 7 le ü maral orta olasılı osyou, olasılı tablosu,, ),, ) + ),,, 4 ( + ),,,, ) P( ) / 4/ / / / 9/ ) P( ) / / ve 4 E( ), E( ), E( ) 4 Cov(, ) E( ) E E( ),, rasgele değşeler varyas-ovaryas matrs Cov(, ) Cov(, ) Cov(, ) Σ Cov(, ) Cov(, ) Cov(, ) Cov(, ) Cov(, ) Cov(, ) Var( ) Cov(, ) Cov(, ) Cov(, ) Var( ) Cov(, ) Cov(, ) Cov(, ) Var( ) 9..4444 7.4444.9.7 7.7.4 7
ve oralasyo matrs, R 7 9 7 7 7 9 7 7.44.44.7.7 olara elde edlr.. (, Y ) rasgele vetörüü dağılımı, başa br ade le, Y rasgele değşeler orta dağılımı aşağıda olasılı tablosu le verls. y ) / / / / / / / / / / / Y ( y ) / / / olma üzere,, Y,, (),, Y, Y Y () olduğuda le Y bağımsız değldr. Faat, E( ) 4, E( ), Var( ) E( Y ) 4, E( Y ), Var( Y ) E( Y ), Cov(, Y) E( Y ) E( ) E( Y) ρ, Y Görüldüğü gb orelasyo atsayısı, Y ρ ola rasgele değşe bağımsız olmayablr.
Korelasyo atsayısıı büyülüğüü rdeleyelm y ) / / / / / / Y ( y ) / / / E( ), E( Y ), 4 E( Y ), 4 E( ), Var( ) 4 E( Y ), Var( Y ) Cov(, Y) E( Y ) E( ) E( Y ) ρ, Y Görüldüğü gb, P( Y) P( Y ), ya le Y arasıda tam br leer lş olma üzere, orelasyo atsayısı ρ, Y le Y rasgele değşeler arasıda pozt br lş söz ousudur. Rasgele değşelerde br büyü değer aldığıda dğer de büyü, br üçü değer aldığıda dğer de üçü değer almata y ) / / / / / / / / Y ( y ) / / / olması durumuda, E( ) 4, E( ), Var( ) E( Y ) 4, E( Y ), Var( Y ) E( Y ), Cov(, Y) E( Y ) E( ) E( Y ) ρ, Y. % le Y rasgele değşeler arasıda olduça güçlü pozt br leer lş söz ousudur.
y ) / / / / / / / / Y ( y ) / / / olması durumuda, E( ) 4, E( ), Var( ) E( Y ) 4, E( Y ), Var( Y ) E( Y ), Cov(, Y) E( Y ) E( ) E( Y ) ρ, Y. % le Y rasgele değşeler arasıda olduça güçlü egat br leer lş söz ousudur. y ) / / / / / / Y ( y ) / / / olması durumuda, 4 E( ), E( ), Var( ) 4 E( Y ), E( Y ), Var( Y ) E( Y ), Cov(, Y) E( Y ) E( ) E( Y ) ρ, Y le Y rasgele değşeler arasıda tam egat br leer lş söz ousudur.
olması durumuda, y ) / / / / / / / / / / Y ( y ) / / / E( ), E( Y ), 7 E( Y ), ρ, Y 4 E( ), Var( ) 4 E( Y ), Var( Y ) Cov(, Y) E( Y ) E( ) E( Y ).-% le Y rasgele değşeler arasıda zayı, egat br leer lş söz ousudur. Maral dağılımları ayı ola yuarıda olasılı dağılımlarıı, orelasyo atsayıları le brlte br ez daha göz öüe alalım. y / / / ρ, Y y / / / ρ, Y y / / / / / ρ, Y %
y / / / / / ρ, Y % y / / / / / / / ρ, Y - % y / / / / / / / / ρ, Y ve y ) 9/4 /4 9/4 / /4 4/4 /4 / 9/4 /4 9/4 / Y ( y ) / / / olması durumuda le Y rasgele değşeler bağımsız (orta olasılılar maraller çarpımı) olduğuda ρ, Y 7. (, Y, Z ) rasgele vetörüü olasılı yoğulu osyou, z + y) e, < <, < y <, z >, Y, Z, y, z), d. y. olsu. ve (, Y, Z ) vetörüü varyas-ovaryas matrs le orelasyo matrs bulalım. maral olasılı yoğulu osyou, z ) + y) e dydz z + y) + y) dy e dz + y) dy y+, <y< y
ve 7 E( ) ) d ( + ) d + 4 E( ) ) d + ) d + 4 7 Var( ) E( ) ( E( )) 44 Y maral olasılı yoğulu osyou, z ( y) + y) e ddz Y ve z + y) + y) dy e dz + y) d y+, << y y 7 E( Y ) yy ( y) dy y( y+ ) dy + Y y 4 y y E( Y ) y ( y) dy y ( y+ ) dy + 4 7 Var( Y) E( Y ) ( E( Y )) 44 Z maral olasılı yoğulu osyou, y z z ( z) + y) e ddy e + y) ddy Z z y) + z z e dy e y + dy e, z> Z rasgele değşe θ parametrel üstel dağılıma sahptr ve E( Z ) Var( Z )
le Y orta maral olasılı yoğulu osyou, olma üzere, z, Y, y) + y) e dz + y, < <, < y<, y, z), y) ( z), Y, Z, Y Z Z rasgele değşe le Y rasgele değşelerde bağımsız Bua göre, Cov(, Z) Cov( Y, Z) Cov(, Y) hesabıa gelce, olma üzere, E( Y) y, y) ddy, Y y+ y) ddy y ( y ) + dy y y y y + dy ( + ) y 7 7 Cov( Y ) E( Y ) E( ) E( Y ) 4 (, Y, Z ) rasgele vetörüü varyas-ovaryas matrs Var( ) Cov(, Y ) Cov(, Z) 44 4 Cov( Y, ) Var( Y ) Cov( Y, Z) Σ Cov( Z, ) Cov( Z, Y ) Var( Z) 4 44 ve oralasyo matrs,
4 44 44 R 4 44 44 -.77 -.77 olara elde edlr.. a),..., rasgele değşeler bağımsız ve ayı λ parametrel Posso dağılıma sahp olsu. olma üzere, M t e λ,,..., ( e ) t, λ( et ) λ ( et ) M ( t) M ( t) ( e ) e rasgele değşe parametres λ ola Posso dağılımıa sahptr. b),..., rasgele değşeler bağımsız ve ayı θ parametrel üstel dağılıma sahp olsu. olma üzere, M t t ( θ ),,,..., ( θ ) M ( t) M ( t) ( t) ( θt) rasgele değşe parametreler Γ( θ, ) M t t θ t M ( θ ) ( t) α ve β θ ola gamma dağılımıa sahptr.
θ Γ ( α, β ) c),..., rasgele değşeler bağımsız, ayı µ ortalamalı ve ayı σ varyaslı Nµσ (, ) ormal dağılımıa sahp olsu. olma üzere, µ+ t σ t M ( t) e,,,..., + σ t t+ σ t t M ( t) M ( t) e e µ µ N( µ, σ ) t σ σ t t t t µ + µ + M ( t) M e e σ N( µ, ) 9.,..., rasgele değşeler bağımsız ve ayı b(, p ) Beroull dağılımıa sahp olduğuda, Y b(, p) rasgele değşe aldığı değerler, y,,,..., olma üzere olasılı osyou, y y Y ( y) P( Y y) P( y) p q, y,,,..., y Y rasgele değşe aldığı değerler, değerler alması olasılıları ) P( ) P( ) P( y) p y q y,,,,,..., y,,,,..., bu
. a) Bell br tür pl ç dayama süres N( µ ( saat), σ ) dağılımıa sahp olduğu bls. Bu dağılımı olasılı yoğulu osyouu grağ,....4. 4 4 Bu pller arasıda rasgele seçle pl dayama süreler ortalamasıı göz öüe alalım. tae pl dayama süreler,..., rasgele değşeler olma üzere, bu rasgele değşeler her br N ( µ, σ ) dağılımıa sahptr. Ayrıca,,..., ler bağımsız se, rasgele değşe olasılı yoğulu osyouu grağ, Nµ (, σ )....... 4 4 (, ) rasgele değşe olasılı yoğulu osyouu grağ,..4... 4 4
b) Bell br tür eletro parça ç dayama süres ayı θ yıl ortalama le üstel dağılıma sahp olduğu bls. Bu dağılımı olasılı yoğulu osyouu grağ,.... 4 4 Bu parçalar arasıda rasgele seçle taes dayama süreler ortalamasıı göz öüe alalım. tae parçaı dayama süreler,..., rasgele değşeler olma üzere, bu rasgele değşeler her br θ parametrel üstel dağılıma sahptr. Ayrıca,,..., ler bağımsız se, Γ ( α, β ) rasgele değşe olasılı yoğulu osyouu grağ,....... 4 4.4 Γ ( α, β ) rasgele değşe olasılı yoğulu osyouu grağ,....... 4 4