136 Temel Eğitimde Kesirler Konusunda Materyalin Rolü 12 Osman Cevat Yavuz Dumlupınar Üniversitesi,Eğitim Fakültesi, İlköğretim Ana Bilim Dalı, Snıf Öğretmenliği, Doktora Öğrencisi, ocevat@hotmail.com Özet Bir ülkenin gelişmiş ülke düzeyine ulaşabilmesi onun toplumsal ve bireysel düzeydeki gelişimine bağlıdır. Toplumda bilgi ve beceri düzeyi yüksek bireyler yetiştirebilmek de ancak bilimsel ve çağdaş eğitimle mümkün olmaktadır. Bireylerin bilgi ve beceri düzeyinin yükselmesinde önemli rol oynayan alanlardan biride matematiktir. Günlük yaşantıda bireyler için matematik her zaman büyük bir gereksinim olmaktadır. Matematik öğrenimi öğrenciler için her zaman zor bir alan olmuştur. Bunun için öğretmenlerin özellikle matematik alanında gerekli materyaller kullanmaları, matematik öğrenimini daha kolay ve zevkli hale getirmektedir. Bu çalışmada temel matematik eğitiminde anlaşılması zor bir konu olan kesirli sayıların, materyal kullanılarak öğretimi araştırılmıştır. Role of Instructional Materials on Fractions in Primary Education Abstract Reaching to the level of developed countries depends on the social and individual development of the concerned country. Raising individuals with improved level of knowledge and skills in a society is only possible through a scientific and contemporary education. Mathematics is one of the fields that have significant role in raising the knowledge and skills of individuals. Mathematics is always needed in great extent by individuals for individuals. Mathematics learning has always been a difficult area for students. Therefore, usage of required material by teachers especially in the field of mathematics makes learning easier and more enjoyable. This study examines the teaching of fractions, a difficult subject to understand in the primary mathematics teaching, by the use of material. 12 Bu makalenin bir kısmı INTERNATIONAL CONFERENCE ON INNOVATION AND CHALLENGES IN EDUCATION 2013 (CICE 2013) 26-28 April 2013 - Kütahya, Turkey de sözlü bildiri olarak sunulmuştur.
137 Giriş Matematik eğitimi, bireylere sosyal ve fiziksel dünyayı anlamaya yardımcı olacak bilgi ve beceri donanımını sağlamaktadır. Bireyler matematik sayesinde yaratıcı düşünme ve akıl yürütme becerileri kazanmaktadır (Baykul, 2009). Günlük hayatta matematiği kullanabilen bireyler problem çözebilen ve çözümleri paylaşabilen aynı zamanda takım çalışması yapabilen bireylerdir. Tüm bu özellikleriyle önem kazanan, ilköğretimin ilk basamaklarından yükseköğretim kurumlarına kadar her düzeyde anlatılan matematik dersinin öğretiminde kullanılan öğretim yöntem/teknikleri ve materyalleri de önem kazanmaktadır (MEB, 2005). Matematik gibi soyut bir dersin öğretiminde materyal kullanımı oldukça önemlidir. Öğretim materyalleri, matematik gibi soyut bir dersi somutlaştırarak görsel olarak sunmakta ve öğretimini kolaylaştırmaktadır (Patricia, 2001). Temel matematik eğitiminde öğretmen ve öğrenciler tarafından anlatılması ve anlaşılması en zor olan konulardan biride kesirli sayılardır. Yapılan birçok çalışma, öğrencilerin kesirleri öğrenme ve kavramada, özellikle kesirler ve kesir işlemlerinin somut örneklerle ilişkilendirilmediği zaman problemler yaşadığını belirtmektedir (Hasemann, 1981; Carraher&Schliemann, 1991; Keijzer& Terwel, 2003). Bu çalışmanın amacı, kesirli sayılar öğretiminde materyalin rolü ve önemi incelemek ve bazı örnekler sunmaktır. Öğretim Materyalleri Günümüzde öğretim sürecini belirleyenler sadece öğretmen, öğrenci ve ders kitapları değildir. Sınıfta kullanılan farklı öğretim yöntem ve teknikleri öğrencinin öğrenme düzeyini arttırabilir (Küçükahmet, 2008). Bunların başında da öğretim materyalleri gelmektedir. Öğretim materyalleri, öğretme konumunda olanların soyut kavramları somutlaştırmak ve öğretimi daha etkin bir şekilde gerçekleştirmek için kullandıkları araçlardır. (Baki, 2003). Öğrenme ortamını somutlaştıran ve zamanı etkin kullanmayı sağlayan araç gereçler öğrenimin en önemli öğeleridir. Bu araç ve gereçler aynı zamanda öğrencinin konuyu daha kolay hatırlamasına da yardımcı olmaktadır. Öğretimin çeşitli materyallerle zenginleştirilmesinin en önemli özelliği, öğretimi ilgi çekici yapması, zenginleştirmesi, verimli ve ekonomik kılmasıdır (Ergin,1995). Materyallerin kullanımı eğitim alanında geçerli pek çok teori tarafından desteklenmektedir. (Bruner, 1966, 2006; Dienes ve Golding, 1971; Piaget, 1971; Skemp, 1987). Materyaller boncuk, fasulye, para gibi günlük yaşamda da kullanılan araç ve gereçler olabileceği gibi Legolar, onluk taban blokları, geometri tahtası, bilgisayar yazılımları veya örüntü blokları gibi matematik öğretiminde kullanılmak üzere tasarlanmış ve üretilmiş nesneler de olabilir. Öğretim materyali seçimini etkileyen birçok faktör vardır. Öğretim hedefleri, öğrencinin özellikleri, araç-gereç özellikleri, kullanılacak yöntem ve teknikler, materyal seçimini etkilemektedir (Yalın, 2007). Öğretmen materyal seçimini yaparken, kullanılacak araçgereçte fazla ayrıntıya kaçmamalı, basit, anlaşılır ve kullanışlı seçimler yapmalıdır (Demirel,2002). Böylece öğrenme sürecinde, öğrencinin dikkatini dağıtmadan materyal seçimi öğrencinin motivasyonunu ve derse olan ilgisini de arttırmaktadır. Eğitim öğretimde materyal kullanımının sağlayabileceği bazı faydalar şu şekildedir (Demirel, 2002; Küçükahmet, 2008); Öğrencinin konuya olan ilgisi artar.
138 Sınıf içinde öğrenci daha aktif hale gelir ve öğrenim kalıcı olur. Öğretme-öğrenme süreci daha canlı ve çeşitli olur. Soyut kavramları somutlaştırmasına olanak tanır. Zamanın daha iyi değerlendirilmesi sağlanır. Öğrenilecek konular üzerinden pratik yapmayı sağlar. Yukarıda belirtilen noktalar ve ilköğretim çağındaki öğrencilerin, soyut kavramları öğrenmekte yaşadıkları sorunlar düşünüldüğünde, öğrenimde öğretim materyalleri önemli rol oynamaktadır (Şimşek, 2002). Matematik Öğretiminde Materyal Materyaller, soyut matematik kavramlarını temsil etmek için tasarlanmış, öğrencilerin çeşitli duyularını harekete geçirmeyi sağlayan, görsel ve hareket ettirilebilen nesneler (Moyer, 2001) olarak tanımlanmaktadır. Piaget matematiksel kavramların ilköğretim düzeyindeki çocuklar tarafından kavranıp anlaşılması için birçok deneyimler yaşayabilecekleri materyallere ihtiyaç olduğunu ifade eder (Byoung, 2001). Öğrenme ortamlarında materyallerin kullanımı; öğrenciyi merkeze alan, daha zengin öğrenme fırsatları sunan, matematik yapmayı ve sevmeyi sağlayan, matematik öğretimini eğlenceli hale getiren, matematiğin yazılmasına ve tartışılmasına fırsat veren bir durum oluşturmaktadır. Matematiği günlük hayatla ilişkilendirmeyi ve somutlaştırıp elle dokunur hale getirmeyi sağlayacak materyaller geliştirerek gerçekleştirilen eğitim, öğrencilerin motivasyonlarına, derse katılma isteklerine ve başarılarına olumlu katkılar sağladığına dair birçok araştırma vardır ( Birgin ve Tutak, 2006; Gündüz vd., 2008). İlköğretim matematik öğretiminde, öğretmenin gerekli öğrenme ortamını hazırlaması ve öğrenciye aktif olarak öğrenmesinde rehberlik etmesi, öğrenim sürecini kolaylaştırmaktadır. Okul ve sınıf ortamında öğrenciler için uygun, ilginç ve zevkli öğretme materyallerinin kullanılması öğrencinin öğrenme ve becerilerinin arttırılmasında büyük önem taşımaktadır (Büyükkaragöz ve Çivi, 1999). Öğretmenin, etkin bir matematik öğretimi için gerekli araç gereç ve materyali geliştirmesi, amaca uygun yöntem ve teknikleri belirlemesi, öğrenci özelliklerine uygun araç gereçleri özenle seçmesi gerekmektedir. Gelişigüzel biçimde seçilecek öğretim materyalleri öğretme-öğrenme sürecinde işlevsiz olacaktır (Ersoy, 2003). Matematik derslerinde başarısızlığın nedenleri araştırıldığında, öğrenciler tarafından bu dersin sevimsiz, karmaşık, güç ve yaşamdan kopuk olarak algılanmasıdır. Bu etkenlere bağlı olarak öğrenciler bu derse karşı olan motivasyonlarını kaybetmektedirler (Abdik, 2002). Özellikle ilköğretim seviyesinde ki öğrencilerin soyut kavramları algılamada çektikleri sıkıntı matematik dersindeki başarıyı olumsuz etkilemektedir. Bu nedenle matematik derslerinde daha çok ortamlı, çok araç-gereçli öğretme-öğrenme uygulamalarına sıklıkla yer verilmelidir (Hızal,1992). Böylece matematik gibi soyut bir ders öğretim materyalleri sayesinde somut bir yapı kazanır ve öğrenim süreci kolaylaşır. Kesirli Sayılar Öğretiminde Materyal İlköğretim kademesinde ki öğrencilerin matematik derslerinde en çok zorlandıkları konulardan biri de kesirli sayılardır. Yapılan çalışmalarda, öğrencilerin her sınıf düzeyinde kesir kavramını anlamakta zorlandıkları ortaya konmuştur. (Behr, Wachsmuth, Post, 1985; Hasemann, 1981; Hart, 1993; Aksu,1997; Booker,1998; Davis, 2003). Bu zorlanmanın temel nedeni, kesirlerin yapısından ve öğretiminden kaynaklanmaktadır (Aksu,1997; Booker,1998).
139 Öğrenciler doğal sayılarla ilgili bilgilerini temel alarak rasyonel sayıları ve kesirli sayıları anlamaya çalışırlar, ancak doğal sayılarla ilgili bilgileri ve deneyimleri kesirli sayıların öğreniminde kullanamazlar (Streefland, 1982; Olive,1999). Doğal sayı kavramı saymadan, kesirli sayı kavramı ise ölçmeden ortaya çıkmıştır (Filep & Bereznai 1999). Doğal sayılar ile sayma işlemi birbirini destekler, buna karşın kesirli sayıların ölçme işlemini desteklemesi kolay anlaşılmaz. Bunun için, kesirli sayıların sıralanmasının ve denkliğinin anlaşılması zordur ( Steiner & Stoecklin 1997). Kesirli sayıların öğrenciler için soyut bir kavram olması, dersin başarısını da olumsuz yönde etkilemektedir. Kesirli sayılarda öğrenci başarısını arttırmak için, gerekli materyaller kullanılmalı ve konunun soyut halden somut hale dönüştürülmesi sağlanmalıdır. Böylece öğrencinin kesirli sayılara olan ilgisi artar, motivasyonu yükselir ve ders başarısı olumlu yönde etkilenir. İlköğretim seviyesinde kesirler konusunu modelleme yardımıyla, somut deneyimden akıl yürütmeye geçişini kolaylaştırabiliriz. Bu geçiş, kesirli sayıların görselleştirilmesinde kullanılan sayı doğrusu, dairesel, dikdörtgensel modellerin ve çeşitli materyallerin kullanılmasına bağlıdır (Streefland, 1990; Steiner&Stoecklin, 1997). Eğitim-öğretimde kesirleri anlatmada dört modelden bahsedebiliriz: 1. Uzunluk özellikli modeller: Sayı doğrusu gibi, 2. Alan taraması özellikli modeller: Geometriksel bir şeklin alanın belli bölümünün taranması ile elde edilen modeller, 3. Hacim özellikli modeller: Ekmek, portakal yada karpuz gibi somut maddelerin belli oranlarda bölünmesi, 4. Sayılabilme özellikli modeller: Abaküsün yada bir kümenin elemanlarının kullanıldığı modeller (Altun, 1998). Hart (1981) kesir konusunun ilköğretimin ilk sınıflarında görsel olarak verilmesi, daha ileri sınıflarda da kesirlerin formal aritmetiğinin verilmesini önermiştir. Bence de bu çok yerinde bir öneridir. Bunun için, kesirler konusuna başlamadan önce, her öğrenci günlük yaşamında kesirlerle nasıl karşılaşacağı ve onların nasıl kullanılacağı konusunda bilgilendirilmelidir. Her öğrenci günlük yaşamında kesir konusunun önemli bir yeri olduğu farkındalığına ulaşmalıdır (Saenz- Ludlow,1995; Aksu,1997). Bu şekildeki bir hazırlık, kesir konusunun öğrenimi kolaylaştırabilir. Kesirli Sayılar Öğretiminde Materyal Örnekleri Materyal.1, onlu blok tabanlarıdır. Bu materyal matematik derslerinde kesirli sayıların öğrenimini kolaylaştırmaktadır. Öğrenciler blokları parçalayabilmekte veya birleştirebilmektedir böylece tam ve kesir kavramını daha kolay algılayabilir. Tekli bir blok tam olarak gösterildikten sonra, parçalara ayırarak o tamın aynı kaldığı halde kesirlerle ifade edilerek parçalarına ayrılabildiği anlatılabilmektedir. Bloklar üzerinde bulunan bölmeler farklı renklere boyanarak parçalar kesirlerle ifade edilebilir. Böylelikle öğrenciler görsel olarak kesir konusunu kavrayabilirler.
140 Tablo 1. Kaynak: blog.metu.edu.tr Tablo 2. Kaynak: blog.metu.edu.tr Materyal.2, akıllı tahta uygulamalarıdır. Akıllı tahtalarda hazırlanan materyaller sayesinde öğrenciler için matematik öğrenimi daha zevkli hale gelmiştir. Bu materyallerde kesir konusu anlatılırken görsel uygulamalar konunun bilşsel ve uzamsal olarak zihinlerde yer etmesini kolaylaştırmaktadır. Öğrenciler matematik derslerinin en anlaşılması güç konularından olan kesirli sayıları görsel ve işitsel olarak öğrenme imkânına sahip olmaktadırlar. Böylece kesirli sayılar gibi soyut bir konu, görsel ve işitsel öğelerde desteklenerek somut hale getirilir ve öğrencinin hem algılamasını hem de hatırlamasını kolaylaştırır.
141 Tablo 3. Kaynak: Coşku yayınları 4. Sınıf akıllı tahta uygulamaları Tablo 4. Kaynak: Coşku yayınları 4. Sınıf akıllı tahta uygulamaları Materyal.3, tahta blok parçalarıdır. Bu materyal sayesinde öğrenci önce tekli tahta parçasıyla bir tam ya da bütünü görmektedir. Sonra aynı büyüklükteki tahta blok iki eşit parçaya ayrılarak yarım ( ½ ) kavramı gösterilmektedir. Bu işlem için örneğin aynı büyüklükteki tahta blok beş eşit parçaya ayrılarak beşte bir ( 1/5 ) kavramı gösterilebilmektedir. Örnekleri çoğaltarak ¼, 1/8, 1/10, gibi kesir kavramları öğretilebilir. Bu materyal sayesinde kesirler öğretiminde bir bütünün aynı büyüklükte olduğu halde farklı parçalara ayrılarak ifade edilebildiği öğretilmiş olmaktadır.
142 Tablo 5. Materyal.4, web tabanlı materyallerdir. Web üzerinden konu anlatımları (http://www.matematikcifatih.com/4-sinif-matematik/kesirleri-taniyalim), etkinlik çözümleri (http://www.egitimhane.com/4-sinif-kesirler-etkinlik-ve-sorulari-d101772.html ), video görüntüleri (http://www.videokonuanlatimi.com/ilkogretim/4-sinif/4-sinif-kesirler-konu-anlatimi/), sorular (http://www.egitimhane.com/4-sinif-kesirler-alistirma-sorulari-d102181.html ), testler ve çözümleri (http://www.testimiz.com/dokuman_detay-4._sinif_matematik_sorulari-857 ) gibi birçok materyal bulunabilmektedir. Burada verdiğimiz kaynaklar sadece bazı örneklerden oluşmaktadır. Kesirler konusunu anlama ve geliştirme için web tabanlı bu materyallerden yararlanılabilir.
143 Tablo 6. Kaynak: http://www.coskuegitim.com/login.aspx?returnurl=%2fkaynakdetay.aspx%3fkaynak%3d10571&kaynak =10571 Tablo 7. Kaynak: http://www.ademcikmaz.com/egitim/index.php?topic=4104.0
144 Tablo 8. Kaynak:http://www.odevkalemi.com/2012/01/5-snf-matematik-dersi-kesirlerle-ilgili _5651.html Sonuç ve Öneriler Öğretme-öğrenme sürecinin verimli şekilde sağlanması için somut yaşamdan gözlem ve yansıtmaların, soyut kavram ve genellemelerin bir bütün halinde öğrenciye verilmesi gerekmektedir (Paykoç, 1999). Günümüzde eğitim-öğretim süreci bilginin doğrudan öğrenciye aktarılması şeklinde değil; öğrenciye dış dünyayla bağlantılı, kendi bilgi ve becerilerini geliştirmeye yönelik yardımcı olabilecek eğitim süreci ile sağlanmalıdır (Ay, Bülbül ve Ersayar, 2005). Bu tür eğitim sürecinde öğretmenlerin öğrenim aşamasında kullanabilecekleri en iyi yöntem derslerde materyal kullanarak öğrencinin derse katılımını sağlamalarıdır. Matematik dersi birçok öğrenci için anlaşılması zor bir alandır. Temel becerilerin kullanılmasına yönelik olan bu derste öğrenciye bilgilerin yığın şeklinde sunulması, bu becerileri körelten ve pek çok yönden anlaşılmasını zorlaştıran bir durum haline getirmektedir (Gür ve Seyhan, 2006). Buna karşın özellikle matematik öğretimi sürecinde kullanılan kaynak ve materyal, öğrenme sürecini zevkli bir hale getirmekte ve kolaylaştırmaktadır. Kesirli sayılar, ilköğretim öğrencileri için oldukça zor bir konudur. Konunun soyut olması ve anlaşılma güçlüğü bu konuyla ilgili başarısızlığın en temel nedenidir. Öğretmenlerin bu aşamada kesirli sayılara ilişkin materyal kullanarak, soyut olan olguları somut hale getirmeleri ve öğrencilerin görerek ve hareket ettirerek öğrenmelerini kolaylaştırmaları gerekmektedir.
145 Kaynakça Abdik, E. (2002, 16-17-18 Eylül). V. Ulusal fen ve matematik öğretimi. ODTÜ ve MEB in Ortaklaşa Düzenlediği Kongrede sunuldu, Ankara. Aksu,M. (1997). Student Performance in dealing with fractions. The Journal of Educational Research, 90(6),375-380. Altun, M., (1998), Eğitim Fakülteleri ve Sınıf Öğretmenlikleri İçin Matematik Öğretimi, Erkam Matbaacılık, Bursa. Ay, M., Bülbül, R. ve Ersayar R. (2005). İlköğretim 1 Matematik Öğretmen Kılavuzu. İstanbul: MEB. Baki, A. (2003). Matematikçiler Bülteni, Tr.Net, Say_: 2. Baykul, Y. (2009). İlköğretimde Matematik Öğretimi 6-8. Sınıflar. Ankara: Pegem Akademi. Behr, M.J., Wachsmuth, I., Post, R.T. (1985). Construct a sum: A measure of children s understanding of fraction size. Journal for Research in Mathematics Education, 16(2), 120-131. Birgin, O., Tutak, T. (2006). Geometri Öğretiminde Bilgisayar Destekli Öğretimin Öğrenci Başarısına Etkisi,IETC 2008, Eskişehir, Türkiye. Bruner, J. S. (1966). Toward a theory of instruction, Cambridge Mass: Belknap Press. Bruner, J. S. (2006). In search of pedagogy, Volume II, Taylor & Francis Group, New York. Büyükkaragöz, S., Çivi, C. (1999). Genel öğretim metotları. İstanbul: Öz Basım ve Yayın. Booker,G. (1998). Children s construction of initial fraction concepts. In Proceedings of the 22ndConference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, Stellenbosh, South Africa, 2, 128-135. Byoung, G. A. (2001), Using Calculators in Mathematics Education in Korean Elementary Schools, Journal of the Korea Society of Mathematical Education Series D: Research in Mathematical Education, 5(2), 107 118. Carraher, D.W.&Schliemann, A.D. (1991). Children s understanding of fractions as expressions of relative magnitude. In F. Furinghetti (Ed.), Proceedings of the Fifteenth PME Conference, Asisi, Italy, Vol I, 184-191. Demirel, Ö. (2002). Planlamadan değerlendirmeye öğretme sanatı. Ankara: Pegem Yayıncılık. Dienes, Z. P., Golding, E. W. (1971). Approach To Modern Mathematics, Herder And Herder, New York. Ergin, A.(1995). Öğretim teknolojisi iletişim. Ankara: Pegem Yayınları. Ersoy, Y. (2003). Matematik öğretiminde eğitsel araçlar 1. (Genel bakış ve düşünceler). Filep, L., Bereznai, Gy., (1999). History of numerals. Budapest, Filum. (2nd ed., in Hungarian,also in Bulgarian: Sophia, Technika.) Gündüz, Ş., Emlek, B., Bozkurt, A. (2008). Computer Aided Teaching Trigonometry Using Dynamic Modeling in High School, IETC 2008, Eskişehir, Türkiye.
146 Gür, H. ve Seyhan, G. (2006). İlköğretim 7. Sınıf Matematik Öğretiminde Aktif Öğrenmenin Öğrenci Başarısı Üzerine Etkisi. Balıkesir Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi, 8 (1) Hart, K.M. (1987). Practical work and formalisation, too great a gap. In J.C.Bergeron, N. Herscovics, C. Kieran. Proceedings of the Eleventh International Conference Psychology of Mathematics Education (PME-XI) Vol II, 408-415. Montreal Hasemann, K. (1981). On difficulties with fractions. Educational Studies in Mathematics,12(1), 71-87. Hızal, A.(1992). Programlı öğretim yönteminin etkililiği. Ankara: Ankara Üniversitesi Eğitim Bilimleri Fakültesi Yayınları. Keijzer, R., Terwel, J., (2003). Learning for mathematical insight: a longitudinal comparative study on modelling. Learning and Instruction, 13, 285-304. Küçükahmet, L. (2008). Öğretimde planlama ve değerlendirme. (22. Basım). Ankara: Nobel Yayıncılık. MEB, (2005). İlköğretim matematik 6 8. sınıflar öğretim programı kitabı. Ankara: Talim ve Terbiye Kurulu Başkanlığı. Moyer, p. S.(2001). Are we having fun yet? How teachers use manipulatives to teach mathmatics. Educational Studies in Mathmatics, 47 Olive, J. (1999). From fractions to rational numbers of arithmetic:a reorganization hypothesis. Mathematical Thinking and Learning, 1(4), 279-314. Patricia, S. M. (2001). Are we having fun yet? How teachers use manipulatives to teach mathematics. Educational Studies in Mathematic, 47 Paykoç, F.(1999). Özel Irmak İlköğretim Okulu Eğitim Programı Program Geliştirme Ders Notları. Ankara: ODTÜ-SEM. Piaget, J. (1971). Biology and knowledge, The University of Chicago Press, Chicago. Saenz-Ludlow, A. (1995). Ann s fraction schemes. Educational Studies in Mathematics, 28(2), 101-132. Skemp, R. R. (1987). The Psychology Of Learning Mathematics, NJ: Lawrence Erlbaum, Hillsdale Streefland, L., (1982). Subtracting fractions with different denominators. Educational Studiesin Mathematics, 13(3), 233-255. Streefland, L. (1990). Fractions in realistic mathematics education, a paradigm of developmental research. Dordrecht: Kluver Academic. Steiner,F.G., Stoecklin,M.(1997). Fraction calculation. Adidactic approach to constructing mathematical Networks. Learning and Instruction, 7(3), 211-233. Şimşek, N. (2002). Derste eğitim teknolojisi kullanımı. Ankara: Nobel Dağıtım. Yalın, H.İ.(2007). Öğretim teknolojileri ve materyal geliştirme.(19.baskı). Ankara: Pegem A Yayıncılık.
147 İnternet Kaynakları http:// www.matder.org http://www.montessoriokulu.web.tr http:// blog.metu.edu.tr http:// www.montessoriokulu.web.tr http://www.matematikcifatih.com/4-sinif-matematik/kesirleri-taniyalim http://www.testimiz.com/dokuman_detay-4._sinif_matematik_sorulari-857 http://www.videokonuanlatimi.com/ilkogretim/4-sinif/4-sinif-kesirler-konu-anlatimi http://www.egitimhane.com/4-sinif-kesirler-alistirma-sorulari-d102181.html http://www.egitimhane.com/4-sinif-kesirler-etkinlik-ve-sorulari-d101772.html http://www.ademcikmaz.com/egitim/index.php?topic=4104.0 http://www.odevkalemi.com/2012/01/5-snf-matematik-dersi-kesirlerle-ilgili_5651.html http://www.coskuegitim.com/login.aspx?returnurl=%2fkaynakdetay.aspx%3fkaynak% 3d10571&Kaynak=10571