KUADRATİK FORMLAR
KUADRATİK FORM Tanım: Kuadratik Form Bir q(x,x,,x n ) fonksiyonu q x : n şeklinde tanımlı ve x i x j bileşenlerinin doğrusal kombinasyonu olan bir fonksiyon ise bir kuadratik formdur. Bir kuadratik form şu şekilde yazılabilir: x q x T Ax Burada A, nn boyutlu eşsiz bir simetrik matristir. Aynı zamanda A, q karesel formunun tanım matrisi olarak da adlandırılır. Kuadratik formlar kümesi Q qx, x,..., x n n, n uzayından uzayına tanımlı tüm doğrusal fonksiyonların bir alt kümesidir.
KUADRATİK FORM Örnek: Aşağıdaki kuadratik form için A matrisini bulunuz. q( x, x, x ) 9x 7x 3x x x 4x x 6x x 3 3 3 3 Çözüm: aii x i lerin katsayısı aij a ji ( xi x j lerin katsayısı) O halde, 9 A 7 3 3 3
KÖŞEGENLEŞTİRME Teorem: Bir Kuadratik Formun Köşegenleştirilmesi x T q x Ax bir kuadratik form ve A, n n boyutlu simetrik bir matris olsun., A için ortanormal bir baz ve,,..., n de ilgili özdeğerler olsun. O halde c c n 0 0 c 0 0 cn 0 0 n q( x) c c... ncn Burada c i ler ya göre x in koordinatlarıdır.
KÖŞEGENLEŞTİRME Örnek: 3x 0x x 3x 5 şeklinde tanımlanmış kuadratik formu ele alalım. 3x 0x x 3x x x 5 3 x 3 5x şeklinde matris notasyonunu kullanabiliriz. 3 5 0 5 3 8, 8 8 için, özvektör v ; 8 için özvektör v dir. Bulunan bu özvektörler ortogonaldir. O halde bu kuadratik form şu şekilde yazılabilir: 8c 8c 5
Teorem: Herhangi bir gerçel A matrisi ve tüm gerçel x vektörleri için x T Ax=0 eşitliği ancak ve ancak A matrisi çarpık simetrik ise sağlanır. Teorem: Eğer A ve B matrisleri simetrik ise tüm gerçel x vektörleri için x T Ax= x T Bx eşitliği ancak ve ancak A=B ise sağlanır.
KUADRATİK FORMLAR VE DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER Aşağıdaki denklem üzerinden özdeğerleri ele alalım. ax hx x bx c Burada a, h, b sıfırdan farklıdır. ax hx x bx İfadesi x ve x ye göre bir kuadratik form olarak adlandırılır. Bu eşitlik aynı zamanda şu şekilde de gösterilebilir: ax hx x bx x x h b x a hx T x Ax x Burada x x ve A a h h b dir. A kuadratik formun tanım matrisi olarak adlandırılır.
KUADRATİK FORMLAR VE DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER Şimdi x ve x eksenlerini saat yönünün tersine θ kadar çevirerek yeni eksenler elde edilsin. Eksenlerin dönüşümünü gösteren denklemler şu şekilde elde edilir: Bir P matrisinin x ve x eksenine bağlı koordinatları (x, x ), koordinatları da x ve x, x olsun. Aşağıdaki şekil göz önüne alınarak, x ve x eksenine bağlı x
KUADRATİK FORMLAR VE DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER x x x x
KUADRATİK FORMLAR VE DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER x OQ OP cos( ) OP cos cos sin sin OP OP cos cos sin sin OR cos PRsin x cos x sin Not: cos( x y) cos xcos y sin xsin y Aynı şekilde, x QP OP sin( ) OP(sin sin cos cos ) ( OP sin )sin ( OP cos ) cos x x sin x cos
KUADRATİK FORMLAR VE DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER Bu dönüşüm denklemleri matris formunda şu şekilde gösterilebilir: x cos sinx x sin cos x Burada P cos sin sin cos olmak üzere, P matrisi ortogonaldir. Yani PP T I dir. Ayrıca det(p)= dir. Bu özellikleri taşıyan matrislere rotasyon matrisi denir. Ayrıca yeni koordinatları eski koordinatlar cinsinden elde etmek mümkündür.
KUADRATİK FORMLAR VE DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER x T cos sinx Y P x x sin cos x Böylece x x cos x sin ve x x sin x cos olur. O halde, T T T T x Ax PY A PY Y P AP Y Olur. Buradan anlaşılacağı gibi T P AP yi, diag gibi köşegen matris haline getirecek herhangi bir θ açısı seçmek mümkündür.
KUADRATİK FORMLAR VE DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER 0 T x x Ax x x x x ax hxy by c 0 x x x c haline Denklemi yeni eksenlere göre dönüşmüştür. p ve p, P matrisinin sütunları olmak üzere aşağıdaki eşitlikler sağlanmaktadır: Ap p ve Ap p Bu denklemler ve üzerine bir takım kısıtlamalar getirmektedir. Örneğin, u p v olsun. İlk denklem, a hu u a h u 0 0 h b v v ya da h b v şekline dönüşür.
KUADRATİK FORMLAR VE DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER İki bilinmeyenli, iki doğrusal denklemli bir homojen sistemle ilgilenildiği için, a h h b 0 Aynı şekilde de bu eşitliği sağlamaktadır. Genişletilmiş formda bu ifade a b ab h 0 olur. Bu denklemin reel kökleri a b a b 4 ab h a b a b 4h a b ab h 0 denklemi, A matrisinin özdeğer denklemidir. Yukarıdaki örnekte p ve p,sırasıyla λ ve λ ye karşılık gelen özvektörlerdir.
TEMEL EKSENLER Tanım: Temel Eksenler x T q x Ax bir kuadratik form, A ise n n boyutlu ve n farklı özdeğere sahip simetrik bir matris olsun. A nın öz uzayları (eigenspaces) na q nun temel eksenleri denir.
ELİPSLER VE HİPERBOLLER Teorem: Elipsler ve Hiperboller de tanımlı bir eğri olan C, şu şekilde tanımlanmıştır: q( x, x ) ax bx x cx q nun matrisi olan a b b c nın özdeğerleri ve olsun. Eğer ve pozitifse C bir elips, biri pozitif diğeri negatifse C bir hiperboldür.
ELİPSLER VE HİPERBOLLER.durum: q( x, x ) ax bx x cx, b>a>0. Bu durumda eğri bir elipstir ve eksenleri kestiği noktalar a ve b dir. O halde, a b b c x 0 a cos sin x 0 b.durum: q( x, x ) ax bx x cx, a>0 ve b<0. Bu durumda eğrü hiperboldür. a b b c
ELİPSLER VE HİPERBOLLER.durum.durum
POZİTİF TANIMLI MATRİSLER Tanım: Temel Alt Matrisler ve Pozitif Tanımlılık A, nxn boyutlu simetrik bir matris olmak üzere; m,..., n için ( m) A de A nın m ye kadar olan satır ve sütunlarının çıkarılmasıyla elde edilen mxm lik bir matris ise bu ( m) A matrislerine A nın temel alt matrisleri denir. A matrisi tüm m,..., n için ( m) det( ) 0 A koşulu sağlanıyorsa pozitif tanımlıdır.
POZİTİF TANIMLI MATRİSLER Örnek: A 9 7 3 matrisi pozitif tanımlı mıdır? 3 3 Çözüm: () det( A ) det 9 9 0 () 9 det( A ) det 6 0 7 (3) det( A ) det A 89 0 Böylece A nın pozitif tanımlı olduğunu söyleyebiliriz.
POZİTİF TANIMLI MATRİSLER Tanım: Özdeğerler ve Pozitif Tanımlılık Simetrik bir A matrisi sadece ve sadece tüm özdeğerleri pozitif olduğunda pozitif tanımlıdır. Eğer özdeğerleri pozitif veya sıfırsa A matrisi yarı pozitif tanımlıdır. Determinant, özdeğerlerden oluştuğu için pozitif tanımlı bir matrisin determinantı da pozitiftir. Fakat tersi durum geçerli değildir.
POZİTİF TANIMLI MATRİSLER Özdeğerlerinden biri pozitif ve diğer ikisi negatif olan 3 3 boyutlu bir A matrisini ele alalım. det(a) pozitiftir fakat x T q x Ax pozitif tanımlı değildir. A matrisi nn boyutlu simetrik bir matris ve x vektörü n elemanlı bir sütun vektörü ise karesel formun genel yapısı, T x Ax a x a x x a x x a x x 3 3 n n ax a3xx3 an xx n a33x3 a3n x3x n a nn x n ifadesi ile verilebilir.
POZİTİF TANIMLI MATRİSLER Tanım: Bir Kuadratik Formun Tanımlılığı x T q x Ax bir kuadratik form ve A, n n boyutlu simetrik bir matris olsun. Eğer n de x in tüm sıfır olmayan değerleri için qxpozitifse ( ) A pozitif tanımlı, qx ( ) 0ise A pozitif yarı tanımlıdır. Eğer q hem pozitif hem de negatif değerler alabiliyorsa A belirsiz (indefinite) dir.
POZİTİF TANIMLI MATRİSLER Tüm x 0 sütun vektörleri için eğer x T Ax>0 ise karesel form ve A matrisi pozitif tanımlıdır. Eğer tüm x 0 sütun vektörleri için x T Ax0 ise karesel form ve matris pozitif yarı tanımlıdır. Yukarıdaki eşitsizliklerin yönü değiştirilerek negatif tanımlı ve negatif yarı tanımlı karesel form ve matrisler tanımlanabilir. Eğer bir form bazı x vektörleri için pozitif, diğerleri için negatif ise tanımsızdır.