Anlık basınç yükü etkisi altındaki katmanlı kompozit bir plağın titreşimlerinin kontrolü

Transkript

1 itüdergisi/d mühendisli Cilt:6, Sayı:4, 6-73 Ağustos 7 Anlı basınç yüü etisi altındai atmanlı ompozit bir plağın titreşimlerinin ontrolü Haydar UYANIK *, Zahit MECİTOĞLU İTÜ Fen Bilimleri Enstitüsü, Uça Mühendisliği Programı, 34469, Ayazağa, İstanbul Özet Bu sayısal çalışmada, bir enarından anastre olara mesnetlenmiş onsol bir plağın üzerine etiyen anlı basınç yüü nedeniyle oluşan titreşimler, pla üzerine yerleştirilmiş piezoeletri uyarıcılarla ontrol edilere sönümlenmiştir. Anlı basınç yüü modeli için zamana bağlı olara üstel bir biçimde azalan Friedlander fonsiyonu ullanılmış ve bu fonsiyondai parametreler için deneysel çalışmalardan elde edilen değerlerden yararlanılmıştır. Plağın sonlu eleman modelinin oluşturulması için bilinen semiloof abu eleman ile piezoeletri etilerin elendiği semiloof abu sonlu eleman modeli ullanılmıştır. Sonlu eleman modelinin serbestli derecesi yüse olduğundan ve günümüzün modern ontrol yöntemlerinde yaygın olara ullanılan durum denlemleriyle sistemin ifade edilmesi halinde serbestli derecesinin iiye atlanması nedeniyle sonlu eleman modelini indirgeme için mod toplama yöntemi ile indirgeme işlemleri yapılmıştır. Bu işlemler sonucunda elde edilen pla modelinin stati ve dinami analizleri yapılmıştır. Pla aynı zamanda ANSYS yazılımı ile de modellenere stati ve dinami analizlerin sonuçları arşılaştırılmış ve bu sonuçların uyumluluğu gösterilmiştir. İndirgenmiş pla sonlu eleman modelinden sistemin durum denlemleri elde edilmiştir. Kararlılı sınırında bulunan sistemin ararlı olmasını garantileme için optimum doğrusal regülatör problemi (optimal linear regulator problem, LQR) araştırılmıştır. Duyargalardan ölçülen deplasman değerlerini ullanara sistemin durumlarını tahmin edece gözleyicili bir ontrol sistemi ile oluşan yapısal titreşimler başarılı bir şeilde ontrol edilmiş ve sönümlenmiştir. Anahtar Kelimeler: Titreşim ontrolü, durum gözleyici, semiloof abu eleman, piezoeletri, anlı basınç yüü. * Yazışmaların yapılacağı yazar: Haydar UYANIK. h.uyani@hho.edu.tr; Tel: () dahili: 448. Bu maale, birinci yazar tarafından İTÜ Fen Bilimleri Enstitüsü, Uça Mühendisliği Programı nda tamamlanmış olan "Anlı basınç yüü etisi altındai atmanlı ompozit bir plağın atif titreşim ontrolü" adlı dotora tezinden hazırlanmıştır. Maale metni tarihinde dergiye ulaşmış,..6 tarihinde basım ararı alınmıştır. Maale ile ilgili tartışmalar tarihine adar dergiye gönderilmelidir.

2 H. Uyanı, Z. Mecitoğlu Vibration control of a laminated composite plate subjected to blast loading Extended abstract Plates and shells are the most widely used elements in aeronautics industry and the use of layered composite materials in the manufacturing of these parts is increasing. Layered composite materials, commonly used in aerospace structures, are chosen as plate material. Still, applications of smart structures which involve the use of piezoelectric parts not only in the desired shape changes of command and control surfaces of aeronautics and space structures, but also in vibration suppression, is one of the most popular research subjects. For this reason, static and dynamical analyses of these types of structural parts are very important. In this numerical study, vibrations of a cantilever composite plate subjected to blast loading are controlled and suppressed by the use of piezoelectric actuators. The dynamic responses of structures under blast loading have been investigated in many applications. Blast loading depends on magnitude and orientation of the blast pressure, geometry and size of the surface that the shoc wave encounters and on the distance from the detonation source. Commonly, Friedlander exponential decay function can be used for expressing uniform time dependent blast loading which affects object surface through normal direction. Various parameters of the equation can be obtained from some of the experimental studies. Piezoelectric materials also have been investigated in many applications. Piezoelectric elements are used for controlling and suppression as preferred widely in recent years. The development of piezoelectric composite materials offers great potential for use in advanced aerospace structural applications. For a material to exhibit an anisotropic property such as piezoelectricity, its crystal structure must have no centre of symmetry. The piezoelectric effects can be seen as transformations between electrical and mechanical energy. That is linear piezoelectric constitutive equations include electromechanical coupling. Semiloof shell finite element including piezoelectric effects is used for finite element modeling of the plate. Semiloof shell element is one of the most efficient elements for solution of shells having arbitrary geometry and it accounts for both membrane and bending actions. Three displacement degrees of freedom at the corner and mid-side nodes are sufficient for defining the membrane action. The rotations at loof nodes are necessary to impart C continuity and account for bending action. Stiffness, mass and damping matrices which express the structural model are obtained from the semiloof shell finite element. In order to reduce the degrees of freedom of the finite element model, mode summation method is used with weighted modal vector including dominant modes in the dynamic behavior. Calculated results of the static and dynamic analyses of the plate are compared with those modeled by using Ansys software. A good agreement is observed. After noticing the good agreement between dynamic and static analysis, state-space equations are obtained from the reduced finite element model. The system of equation must satisfy the controllability condition in order to be taen under control. If this system is also desired to be controlled by using a state observer, it must satisfy the observability condition. Optimal linear quadratic regulator (LQR) problem has been investigated to guarantee the stability of the system on the stability edge due to neglecting structural damping. In this wor, both piezoelectric pairs were used as actuators. This change doubled the force used in vibration suppression. In this case the voltages applied to the piezoelectric actuators are determined by employing state observer feedbac control system which estimates all states by using displacements of some specific points of the plate. Structural vibrations due to blast loading have been successfully controlled and suppressed by using a state observer feedbac control system. This study will provide noteworthy supports for experimental wors in this area in the future. Vibration control of plates under different loads such as random or harmonic can be investigated by using different control strategies in experimentally or numerically. The influence of different boundary conditions and addition of stiffeners to the plate on structural vibrations and vibration control can also be investigated. Furthermore, some issues lie nonlinear effects on plate deformations and adding structural damping are needed to be explored. Keywords: Vibration control, state observer, semiloof shell element, piezoelectric, blast loading. 6

3 Anlı basınç yüü etisindei pla titreşimlerinin ontrolü Giriş Hava ve uzay yapılarında en ço arşılaşılan yapı elemanları pla ve abu elemanlardır. Bu yapıların imalatında atmanlı ompozit malzemelerin ullanımı gün geçtiçe artış göstermetedir. Yine son yıllarda piezoeletri elemanların ullanıldığı aıllı yapılar (smart structures), gere hava ve uzay yapılarının umanda ve ontrol yüzeylerinde istenen şeil değişimlerinin oluşturulmasında, gere ortaya çıan titreşimlerin bastırılmasında, araştırılan onuların başında yer almatadır. Dolayısıyla bu tür yapı elemanlarının stati ve dinami analizleri büyü önem taşımatadır. Hafif, esne ve ontrol edilebilir yapıların hava ve uzay araçlarındai ullanımının artışına paralel olara, bu tür yapıların stati ve dinami davranışları üzerindei araştırmalarda da büyü bir artış meydana gelmiştir. Yapılan çalışmalar temel olara bu tür yapıların teorisinin ve matematisel formülasyonunun geliştirilmesi, çözüme yöneli metotların araştırılması, matemati modelle gerçe durumun uyumluluğu için deneysel çalışmaların yapılması şelinde sınıflandırılabilir. Sunar ve Rao (999) bir tarama çalışması yapara esne yapıların piezoeletri malzemelerle algılanması ve ontrolü onusundai çalışmaları değerlendirmiştir. Yazarlar çalışmalarında bu tür yapıların teorisi, formülasyonunun geliştirilmesi, duyarga (sensor) ve eyleyici (actuator) olara piezoeletri elemanların ullanımları, stati şeil ontrolü ve dinami titreşim ontrolü, duyarga ve eyleyici piezoeletri elemanların yapıdai optimum onumlarının belirlenmesi gibi onularda yaın zamana adar yapılmış teori, sayısal ve deneysel 336 çalışmayı inceleyere onunun önemini ve güncelliğini ortaya oymuşlardır. Titreşimlerin ontrolü onusunda yapılan çalışmalardan olan Taawa ve diğerleri (997) çalışmalarında bir ompozit çubuğun hem eğilme hem de burulma titreşimlerini piezoserami eyleyicilerle ve apalı çevrim ontrol ullanara deneysel olara ontrol etmiştir. Gaudenzi ve diğerleri (997) yaptıları deneysel çalışmada ii yüzü piezoeletri malzemeyle aplanmış atmanlı ompozit bir çubuğun zorlanmış titreşimlerini apalı çevrimli ontrol sistemi ile atif olara 4~ Hz freans aralığında ontrol etmiş ve piezoeletri malzemelerin etili bir biçimde titreşim ontrolünde ullanılabileceğini göstermişlerdir. Sun ve Huang () yaptıları analiti çalışmada piezoeletri malzemeyle aplanmış ompozit bir çubuğun negatif hız geri beslemesi ile atif titreşim ontrolünü gerçeleştirmişlerdir. Han ve Lee (998) yaptıları sayısal çalışmada ompozit çubuların piezoeletri malzemelerle apalı çevrimli atif ontrolünde, plaların sonlu elemanlar modellemesinde atmanlı pla teorisi (layerwise plate theory) yalaşımını ullanara sonlu elemanlar modelini iyileştirmiş ve piezoeletri elemanların oluşturduları uvvetleri daha hassas şeilde hesaplayara daha iyi sonuçlar elde etmişlerdir. Literatürde anlı basınç yüüne maruz yapıların titreşimlerinin ontrolü ile ilgili yapılmış çalışma sayısı olduça sınırlı almıştır. Librescu ve Na (998,) tarafından yapılmış olan sayısal çalışmalar göze çarpmata olup bu sayısal çalışmaların ilinde ince cidarlı esit özelliğine sahip atmanlı ompozit onsol çubuların patlama yüü (blast load-sonic boom) etisi altındai titreşimlerinin apalı çevrim ontrol sistemi ile ontrolü incelenmetedir. İinci çalışma, patlama yüüne maruz, dış yü taşıyan anat yapılarının apalı çevrim ontrol avramı ullanılara titreşimlerin ontrol edilmesi üzerine yapılmış sayısal bir çalışmadır. Bu çalışmada anat yapısı bir çubu olara modellenmiş ve eyleyici olara piezoeletri malzemeler ullanılmıştır. Na ve Librescu () bir diğer çalışmalarında ise yine ince cidarlı atmanlı ompozit onsol bir çubuğun patlama yüü etisi altında titreşimlerinin ontrol edilmesi için ullanılan apalı çevrim ontrol sisteminin optimizasyonu onusunu araştırmışlardır. Piezoeletri uyarıcılarla atif hale getirilmiş ompozit atmanlı onsol bir plağın anlı basınç yüü etisinde ortaya çıan yapısal titreşimleri durum gözleyicili bir ontrol sistemi ile sayısal olara sönümlendirilmesi onusu bu çalışmada ele alınmıştır. Anlı basınç yüü modeli için modifiye edilmiş Friedlander fonsiyonu ullanılmıştır. Bu fonsiyonun parametreleri 63

4 H. Uyanı, Z. Mecitoğlu için daha önce yapılmış bazı deneysel çalışmalardan elde edilen değerler ullanılmıştır. Plağın sonlu eleman modeli piezoeletri etilerin elendiği 8 düğüm notalı semiloff abu elemanlar ile elde edilmiştir. Mod toplama yöntemi ile sonlu eleman modelinin serbestli derecesi indirgenere durum denlemeleri elde edilmiş ve ardından sistemin ararlılığını garantileyen optimal doğrusal regülatör problemi (linear quadratic regulator, LQR) ele alınmıştır. Plağın deplasman ölçümünün yapıldığı serbestlilerden hareetle sistemin durumlarını tahmin edece bir durum gözleyicisi tasarlanara anlı basınç yüü etiyen plağa ait titreşimler başarılı bir şeilde sönümlendirilmiştir. Anlı basınç yüü modeli Anlı basınç yüleri atmosferde şo veya patlama dalgası şelinde ortaya çıar. Patlama aynağından üretilen sıca gazlar çevresindei atmosferi uvvetli bir şeilde geri itere şo dalgası veya patlama dalgası oluşturur. Şiddetine bağlı olara patlama dalgası yaın ve uza çevresindei yapılara değişi boyutlarda hasar verebilir. Yapıların yaınında oluşan patlamaların basınç yüünün, hem zamana bağlı hem de yapı üzerinde onuma bağlı üniform olmayan sinüzoidal bir dağılım gösterdiğini Türmen ve Mecitoğlu (999) çalışmalarında ortaya oymuşlardır. Yapıdan yeteri adar uzata meydana gelen patlamalarda ise yapı üzerindei basınç dağılımı sadece zamana bağlı üniform basınç yüü olara abul edilebilir hale gelmetedir. Patlama aynağından yeteri adar uzata düzgün dağılım gösteren basınç yüünün zamana göre değişimi modifiye edilmiş Friedlander fonsiyonu t/ t = m () p p pt () p ( t/ t ) e α ifadesi ile verilmetedir. Burada p m basıncın zaman içindei masimum değerini, t p basıncın eti süresini, α basınç dalga formu parametresini göstermetedir. Türmen (999,) yaptığı deneysel çalışmalarında patlama aynağından cm uzata bulunan cm boyutlarında bir panele etiyen anlı basınç yüünün üniform olara abul edilebileceğini ve anlı basınç yüü fonsiyonu için p m =8.96 Pa, t p =.8 s ve α=.35 şelinde olduğunu göstermiştir. Verilen parametrelere göre Şeil de p() t p m boyutsuz anlı basınç yüünün zamana bağlı değişimi gösterilmiştir Zaman (s) Şeil. Boyutsuz anlı basınç yüünün zamana bağlı değişimi Atif semiloof abu eleman İnce abuların sonlu elemanlar analizleri günümüze adar büyü gelişmeler göstermiştir ve ince abuların analizleri için yeni sonlu elemanlar yöntemleri geliştirilmiştir. Bu yöntemler arasında Irons (973) tarafından geliştirilen semiloof eleman, formülasyonu ve performansı ile ayrı bir yere sahiptir. Semiloof eleman, Ergatoudis in (968) ortaya oyduğu izoparametri elemanlarla Ahmad ın (969) geliştirdiği membran ve istif edilmiş membran elemanların zamanla geliştirilmesi sonucu oluşturulmuştur. Semiloof eleman üç boyutlu atı elemanlardan türetilir. Kirchhoff hipotezi ve ince abu teorisi gereği plağın herhangi bir notasının yer değiştirme ve dönme değerleri orta düzleminde eşdeğer yer değiştirme ve dönmelere dönüştürülürler. Böylece indirgenen abu elemanın her bir notasında 3 yer değiştirme ve dönme serbestliği bulunur. Semiloof abu elemanda Şeil de görüldüğü gibi öşe ve enar orta notalarında 3 serbestli derecesi, loof notalarında serbestli derecesi, merez düğüm notasında 5 serbestli derecesi olup eleman toplam 45 ser- 64

5 Anlı basınç yüü etisindei pla titreşimlerinin ontrolü bestli derecesine sahiptir. Serbestli derecesi sayısı ayma ısıtları uygulanara 3 ye indirgenmetedir. Loof Notaları z j θ XZ X y Z j j θ YZ Y x Merez Düğüm Notası. P(x,y,z) R j j Düğüm Notaları T j Şeil. Semiloof abu eleman Elemanı ince abular için daha elverişli ve eonomi hale getiren daha gelişmiş bir model, integrasyon indirgenme teniği ullanılara Zieniewicz ve diğerleri (974) tarafından elde edilmiştir. Bu eleman üstün performansı ile, görevini tam olara yerine getiremeyen il elemanın ullanımını da aldırmıştır. Yeni elemanda Irons (973) ve Baldwin ile aradaşları (973) tarafından istenmeyen değişenleri elimine etme üzere ayrı Kirchhoff ayma abulleri ullanılmıştır. Zira başta birim uzama yer değiştirme denlemlerinden yola çıılmata sonrasında Kirchhoff hipotezi ayrı notalarda sayısal olara sağlatılmatadır. Benzer yöntemler Semiloof abu elemandan istenmeyen değişenler elimine ediliren ullanılır. Anca ayrı olmayan (non-discrete) ısıtlarının sonucu olara ısıt denlemleri ço armaşıtır. Sayısal formülasyonu armaşı olmasına rağmen elemanın üstün performansı bu dezavantajını apatmatadır. Kararlılı ve titreşim problemlerinin çözümüne yöneli lineer elasti çalışmaların sonuçları Albuquerque (973), Martins (974), Martins ve Owen (977) tarafından yayınlanmıştır. Owen ve Dinis (978) dinami analizlerde bazı sonuçlar elde etmişlerdir. Mecitoğlu (988), taviyeli ζ S j η ξ w i x, y, z : global oordinatlar X, Y, Z : loal oordinatlar ξ, η, ζ : eğrisel oordinatlar i v i u i dairesel silindiri abu yapıların serbest titreşimlerini semiloof eleman ullanara incelemiştir. Viladar ve diğerleri (998), Uyanı ve Kazancı (4), Uyanı ve diğerleri (4), Uyanı ve Mecitoğlu (6) tarafından yapılmış olan çalışmalar son yıllarda semiloof abu sonlu eleman modeli ullanılara yapılmış olan çalışmalardan bazılarıdır. Semiloof abu eleman öşelerde, enar ortalarında, Loof notalarında ve merezde bulunan toplam 7 düğüm notasından oluşmatadır ve her düğüm notasında ayrı bir şeil fonsiyonu tanımlıdır. Köşelerdei düğüm notalarında = ( + ξ )( + η )( ξ + η ) () 4 N i enar ortalarındai düğüm notalarında N N i i = = ( ξ )( + η ), ξi = ( η )( + ξ ), η = merezdei düğüm notasında N ( ξ )( η ) c i (3) = (4) ve loof notalarında ( ) ( ) 3 Li = 3ξ η + 3ξ η η 3ξ + ξ + ξ( ξ η ) ;ξi = ± (5) 3 Li = ( 3η ξ ) + 3η( ξ ) ξ 3η + η + η( η ξ ) ; ηi = ± şelindedir. Burada ξ = ξ ξ i ; η = ηηi (6) ile tanımlıdır. Şeil 3 te semiloof abu elemanının düğüm notalarındai ξ, η eğrisel oordinatları verilmiştir. 65

6 H. Uyanı, Z. Mecitoğlu η (-,) (,) (,) d ; ( d = d ) d = d5 () ; ( d4 = d5) d3 d3 d33 Şeil 3. Semiloof elemanın düğüm notalarında ξ ve η eğrisel oordinatları Piezoeletri etiler Piezoeletri elemanlar eletri enerjisi ve meani enerji arasında dönüşümü gerçeleştiren ristal yapılara sahiptir. Lineer piezoeletri malzemeler için bünye denlemleri T σ = ceε ee D = eε + ε E veya T ε = seσ de D = dσ + ε E S T (7) (8) şelinde verilir. Bu denlemlerdei il eşitliler piezoeletri elemanın eyleyiciliğini, iinci eşitliler ise algılayıcılığını temsil etmetedir. Bu eşitlilerde yer alan σ gerilme vetörünü, ε birim şeil değiştirme vetörünü, E eletri alan vetörünü, D eletri yer değiştirme vetörünü, c E ve s E terimleri sabit eletri alan için elastisite matrisini, ε S ve ε T matrisleri sırayla sabit meani birim uzama ve sabit gerilme için dieletri matrislerini, e ve d piezoeletri sabitler matrislerini ifade etmetedir. (7) ve (8) denlemlerinden e ve d piezoeletri sabitler matrisleri arasında e= dc (9) E (-,) 8 (-,-) 9 (,) (,-) (,) 4 3 (,-) bağıntısının olacağı görülebilir. Genel olara piezoeletri sabitler matrisi ξ şelinde verilmetedir (Piefort, ). Sadece panelin alınlığı boyunca orta düzleme di doğrultuda etiyen üniform eletri alan veya eletri yer değiştirme varsa E = { } T ; D = { } T () E z olacatır. Kirchoff hipotezi gereği γ yz = γ xz = olma üzere orta düzlemden z mesafesi uzalığında oluşan deformasyonlar, orta düzlemin S deformasyonuna ve orta düzlemin κ eğriliğine S = S + zκ () p şelinde bağlıdır. Burada S p ={ε xx ε yy ε xy } T olup ii boyutlu birim şeil değişimlerini ifade etmetedir. Şeil 4 te görülen ço atmanlı bir yapıda piezoeletri herhangi bir ncı atman için, bu atmana z doğrultusunda uygulanan üniform eletri alanı E olma üzere (7) denlemi (9) ve () ifadeleri göz önüne alınara σ = ceε ee D = { e e } ε + ε E 3 3 S D z (3) ifadeleri bulunabilir. Bu ifadede geçen c E ilgili atmanın elastisite matrisidir. Katmanda ortaya çıan σ gerilmelerinin atman enarlarında ve o atmanın orta yüzeyi üzerinde oluşturacağı N normal uvvetleri ve bu uvvetlerin atmanlı yapının orta düzleminde meydana getireceği M momentleri h N dz = σ ; h ifadeleriyle hesaplanabilir. h M zdz = σ (4) Katmanlarda ortaya çıan uvvet ve moment hesapları yapılıren Şeil 5 te görüldüğü üzere ilgili atmanın doğrultusunu da diate alma gereir. h 66

7 Anlı basınç yüü etisindei pla titreşimlerinin ontrolü z z ncı atman R cos θ sin θ sinθ cosθ S = sin θ cos θ sinθ cosθ sinθ cosθ sinθ cosθ cos θ sin θ (8) z - orta düzlem şelinde birim uzamaların loal oordinat sisteminden global esen taımına dönüşüm matrisidir. Gerilme dönüşüm ifadesi olan (5) eşitliğini Şeil 4. Ço atmanlı yapı σ = R σ (9) T y olara da yazma mümündür. Piezoeletri özelliğe sahip olmayan bir atman için σ = ceε olduğu diate alınara ve (7) denlemi de bu ifadede ullanılara θ x σ = R c R ε () T E S Şeil 5. Global ve atman oordinat esen taımları Bu durumda atman doğrultusundai gerilmeler ile global oordinatlardai σ gerilmeleri arasında σ = RTσ (5) bağıntısı bulunmatadır. Bu eşitlitei R T matrisi R cos θ sin θ sinθ cosθ T = sin θ cos θ sinθ cosθ sinθ cosθ sinθ cosθ cos θ sin θ (6) şelinde ncı atman için loal oordinat sistemindei gerilmelerin atman doğrultusuna bağlı olara global esen taımına dönüşüm matrisidir. Benzer şeilde atman doğrultusundai birim uzamalarla global esen taımındai ε birim uzama değerleri arasında ε = R Sε (7) bağıntısını yazma mümündür. Bu ifadedei R S matrisi de ncı atman için eşitliği elde edilir. İlgili ncı atman için atmanın atılı matrisinin global esen taımındai dönüştürülmüş değeri olara Q = R c R () T E S tanımlamasını yapma mümündür. Piezoeletri özellilere sahip bir atman için ise (3) denlemlerinin birincisinde verilen gerilme ifadesinin global esen taımına (9) ile dönüşümünden σ = R c R S R e E () T E S p T eşitliği elde edilir. Piezoeletri atmanın alınlığı h =z z boyunca eletri alanın üniform olmasından dolayı, φ ilgili atmanın yüzeyleri arasındai potansiyel farı olma üzere bu eletri alan ifadesi E =φ /h şelinde olacatır. n adet atmandan oluşan ve içinde piezoeletri özellilere sahip atmanlar bulunduran bir yapıda bu piezoeletri atif atmanlara uygulanan potansiyel farlarının oluşturduğu uvvet ve momentlerin, yapının orta düzlemine indirgenere toplanmasıyla yapı içinde yer alan tüm piezoeletri atmanların oluşturduğu N normal uvvetleri ve M eğilme momentlerinin değerleri 67

8 H. Uyanı, Z. Mecitoğlu n 3 N = A B S + I T φ = z R e M B D κ mi3 S ε D = { e e } R [ I z I ] S 3 3 S 3 m 3 κ h φ (3) şelinde elde edilir. Bu eşitlilerde yer alan z m ifadesi Mq + Cq + Kq = F (6) ile ifade edilir. Ağırlılı modal dönüşüm matrisi ϕ ullanılara indirgenmiş modele ait hareet denlemleri de M η +C η +K η=f (7) S S S S z m z + z = (4) şelinde olacatır. Bu son denlem durum denlemleri formuna şelinde ncı atmanın orta yüzeyinin plağın orta düzleminden olan uzalığıdır. I 3 matrisi 3x3 boyutunda birim matris olup eşitliğin sağ tarafındai il terim içerisinde yer alan ifadeler atmanlı ompozit bir yapı için lasi atılı matrisini oluşturan terimleri içerir. A uzama atılı matrisi, D eğilme atılı matrisi ve B ise uzama ve eğilme etileşimini ifade eden matris olup 3 3 { ; ; } = { ( z z ); ( z z ); 3( z z ) } ABD Q (5) şelinde hesaplanmatadır. Ortaya çıan ve (3) denlemleri ile hesaplanan normal uvvet ve momentler semiloof elemanın şeil fonsiyonları ullanılara eleman düğüm notalarındai serbestliler doğrultusunda dağıtılabilmetedir. Seeger, Köppe ve Gabbert () semiloof abu elemanlar için atif olara ullanılabilece çeşitli elemanlar önermişlerdir. Bunlardan S elemanı olara adlandırılan eleman yalaşımına göre yapıdai piezoeletri elemanlarda eletromeani etileşim (coupling) bulunmayıp orijinal semiloof abu sonlu eleman atılı ve ütle matrisleri değişmeden alır. Atif atmanlara uygulanan potansiyel farı yani eletri alan tarafından oluşturulan normal uvvet ve momentler, dinami denge denlemlerinde eşitliğin diğer tarafında yapıya etiyen uvvetler vetörü olara yer alır. Titreşim ontrolü Sonlu eleman modeli ile elde edilen atılı, ütle ve sönüm matrisleri ullanılara dinami hareet denlemi x=ax+bu () t +Ep() t (8) şelinde dönüştürülebilir. Bu ifadede yer alan A sistem matrisi, B ontrol matrisi ve E bozuntu matrisi olup I A= - - -M K -M C E= - T -M S ϕ V B S S S B= -M V P ; - T S ϕ ; (9) olara ifade edilebilir. Plağın deplasman ölçümü yapıldığı abul edilen fizisel oordinatlardai serbestlilerden yararlanılara y =Cxx (3) çıış denlemi bulunur. Şeil 6 da görüldüğü gibi durum gözleyicili bir ontrol sisteminin ullanılması halinde gözleyici tarafından tahmin edilen x durum vetörü ile piezoeletri elemanlara uygulanaca potansiyel farlarını içeren u ontrol vetörü bulunabilir. Kontrol işleminin gerçelenmesi, (8) ve (3) ile verilen sistemin ontroledilebilirli ve gözlenebilirli şartlarını sağlaması ile mümün olur. Geri besleme azanç matrisi K u değerinin hesaplanması için optimal doğrusal regülatör problemi (linear quadratic regulator, LQR) esas alınara sonuçta elde edilece sistemin ararlılığı garantilenmiş olur. Sayısal uygulama Anlı basınç yüü etisindei plağın titreşimlerinin ontrolü için Şeil 7 de görülen yapısal 68

9 Anlı basınç yüü etisindei pla titreşimlerinin ontrolü sönümün ihmal edildiği, alt ve üst yüzeylerinde.5 mm tabaa alınlığı olan dörder adet piezoeletri uyarıcı elemanın bulunduğu, her bir atmanı.8 mm alınlığında fiber doğrultuları [ o /9 o ] s olan 7 atmanlı ompozit bir pla modeli ullanılmıştır. Kullanılan ompozit malzemenin ve piezoeletri elemanların malzeme özellileri Tablo de verilmiştir. u Şeil 6. Anlı basınç yüü etiyen durum gözleyicili ontrol sistemi Şeil 7. Pla modeli (boyutlar mm dir) Parametre K u Tablo. Malzeme özellileri Elastisite modülü (MPa) x S İ S T E M Anlı Basınç Yüü G Ö Z L E Y İ C İ Kompozit Cam elyafı umaş E =44 E =44 Piezoserami PZT G95N E=63 Poisson oranı ν =. ν =.3 Kayma modülü (MPa) G =379 G=4 Yoğunlu (N s /mm 4 ) Piezoeletri sabitler (mm/v) d 3 =54 9 d 3 =54 9 Katman Kalınlığı (mm).8.5 y Plağın her ii yüzeyinde bulunan piezoeletri elemanların tamamı eyleyici (actuator) olara ullanılmış olup üst ve alt yüzeylerdei arşılılı piezoeletri eyleyicilere uygulanan eletri alanlar zıt yönlü olara seçilmiştir. Plağın serbest enar öşe notalarında ve pla orta notasında deplasman ölçümünün yapıldığı abul edilmiştir. Plağın titreşimlerinin ontrolüne geçmeden önce oluşturulan sonlu eleman modelinin güvenilirliğini test etme amacıyla serbest titreşim analizi ve stati analizler yapılmış ve elde edilen sonuçlar Ansys yazılımı sonuçları ile arşılaştırılmıştır. Oluşturulan plağın semiloof abu sonlu eleman yalaşımıyla elde edilen modelinin serbestli derecesi 76 olmuştur. Durum denlemlerinin ullanılması halinde serbestliler ii atına çıacağından uygulama açısından bu durum ço prati olmayacatır. Bu nedenle plağın dinami davranışında etin olduğu düşünülen il dört freansa arşılı gelen mod şeilleri esas alınara sonlu eleman modeli indirgenmiştir. Ardından zamana bağlı anlı basınç yüü etisi altındai plağın dinami davranışı Newmar zaman integrasyonu ile analiz edilmiş ve indirgenmiş sistemin anlı basınç yüüne cevabı ile arşılaştırılmıştır. Daha sonra Matlab-Simulin yazılımı ullanılara tasarlanan durum gözleyici sistemle anlı basınç yüü etisindei ompozit atmanlı plağın titreşimleri başarılı bir şeilde ontrol edilere sönümlenmiştir. Pla serbest titreşimi Semiloof abu sonlu eleman modeli ullanılara modellenen yapısal sönümün ihmal edildiği plağın serbest titreşim analizi yapılmıştır. Elde edilen sonuçları arşılaştırma amacıyla Ansys yazılımında SOLID46 ve SOLID5 elemanları ile pla modeli oluşturulmuştur. Tablo de bu çözümlerden elde edilen serbest titreşim freans değerleri arşılaştırmalı olara verilmiştir. İndirgeme işlemi Semiloof abu sonlu eleman yalaşımı ile elde edilen sistemin serbestli derecesi 76 olara elde edilmiştir. Sistemin durum değişenleri formunda ifade edilmesi halinde serbestli derecesi iiye atlanacağı için sisteme etiyen anlı 69

10 H. Uyanı, Z. Mecitoğlu basınç yüünün özelliği de göz önüne alınara il dört freansa arşılı gelen ii eğilme ve ii burulma modunu esas alara mod toplama yöntemi ile indirgeme yapılabileceği değerlendirilmiştir. Anlı basınç yüü etisindei plağın zamana bağlı dinami hareetinin çözümü için () denleminde masimum basınç değeri için p m =. MPa ve zaman adımı için t=. ms alınma üzere Newmar zaman integrasyonu ile çözüm elde edilmiştir. Ayrıca pla Ansys yazılımı ile de modellenmiş ve plağın serbest enar orta notasının zamana bağlı deplasman hareeti arşılaştırmalı olara Şeil 8 de verilen grafite gösterilmiştir. deplasman (mm) Tablo. Semiloof abu eleman ve Ansys ile elde edilen serbest titreşim freansları (Hz) Mod Semiloof Kabu Ansys Tam Matris Model İndirgenmiş Model ANSYS zaman (s) Şeil 8. Tam matris model, indirgenmiş model ve Ansys modelinin dinami cevabı Şeilden de anlaşılacağı üzere anlı basınç yüü etisindei plağın dinami davranışının analizinde il dört freansın göz önüne alınması yeterli olmatadır. Stati basınç analizi için pla yüzeyine üniform. MPa şiddetinde basınç yüünün etidiği abul edilmiştir. Bu yüleme durumunda stati olara ortaya çıan şeil değişimi semiloof abu sonlu eleman modeli ile ve Ansys yazılımı ile analiz edilmiştir. Pla orta düzleminde simetri esenini oluşturan orta hat çizgisinin deplasmanı arşılaştırmalı olara Şeil 9 da görülmetedir. Semiloof abu modeli ile yapılan stati analiz sonucunda plağın serbest enar orta notasının deplasmanı tam matris çözümden mm, indirgenmiş sistem çözümünden mm ve Ansys çözümünden 7.84 mm olara elde edilmiştir. Deplasman (mm) Uzalı (mm) Şeil 9. Sabit basınç için orta hat deplasmanı Semiloof abu sonlu eleman modelinin piezoeletri etiler yönünden test edilmesi için üst yüzeydei piezoeletri elemanlara 5 V, alt yüzeydeilere ise 5 V potansiyel farı uygulanmıştır. Semiloof sonlu eleman çözümüyle elde edilen plağın orta hat çizgisinin deplasmanı, Ansys çözümüyle elde edilenle arşılaştırmalı olara Şeil da verilmiştir. Deplasman (mm) Semiloof abu (tam matris) Semiloof abu (indirgenmiş) ANSYS Semiloof abu (tam matris) Semiloof abu (indirgenmiş) ANSYS Uzalı (mm) Şeil. Sabit potansiyel farı için orta hat deplasmanı Oluşturulan semiloof abu sonlu modeli ile piezoeletri elemanlara uygulanan potansiyel farları sonucunda plağın serbest enar orta 7

11 Anlı basınç yüü etisindei pla titreşimlerinin ontrolü notasının deplasmanı için tam matris çözümden 3.67 mm, indirgenmiş sisteme ait çözümden mm ve Ansys çözümünden ise mm olara elde edilmiştir. ratürdei bazı deneysel sonuçlardan yararlanılmıştır. Plağın anlı basınç yüü etisi altında oluşan titreşimlerinin ontrolü için indirgeme işlemleri ile Şeil de görülen plağın serbestli derecesi 4 değerine indirgenmiştir. Durum denlemleri ile elde edilen ontrol sisteminin serbestli derecesi bu durumda 8 olmatadır. Deplasman Ölçüm Notaları KÖŞE 4 5 mm ORTA NOKTA mm Şeil. Q=4 I8 ; R=I4 ve Q=5 I8 ; R=I4 için deplasman değişimi 3 Pla sonlu eleman modeli oluşturuluren ii tipte semiloof abu eleman modeli ullanılmıştır: i) ompozit atman için bilinen semiloof abu eleman, ii) piezoeletri özelliler ilave edilmiş semiloof abu eleman. Plağın sonlu eleman modeli oluşturulara serbest titreşim analizleri yapılmıştır. Ardından sabit basınç yüü için ve piezoeletri elemanlara uygulanan sabit potansiyel farı için stati analizler yapılmıştır. Daha sonra indirgeme işlemi gerçeleştirilere indirgenmiş sistem için stati analizler yapılmıştır. Anlı basınç yüü etisindei plağın tam matris ve indirgenmiş matris sistem için dinami analizleri elde edilmiştir. Pla SOLID elemanlar ullanılara Ansys yazılımı ile modellenmiş ve benzer analizler yapılıp elde edilen stati ve dinami analiz sonuçlarının uyumlu olduğu gösterilmiştir. SOLID elemanlara göre semiloof abu elemanın daha az sayıda serbestli içermesi bir avantaj oluşturmatadır. KÖŞE Şeil. Duyargaların yerleri ve piezoeletri eleman numaraları Kontrol uygulamasından önce sistemin ontroledilebilirliği ve gözlenebilirliği durumu incelenmiş ve bu şartları sağladığı görülmüştür. Performans göstergesi ifadesinde yer alan ağırlı matrisleri önce Q=4 I8 ve R=I4 değerleri olara alınmış daha sonra bu değerler için Q=5 I8 ve R=I4 seçilmiştir. Bu değerlere arşılı gelen optimum regülatör azanç matrisi Ku hesaplanmış ve buna bağlı olara gözleyici azanç matrisinin değeri bulunmuştur. Bu çözümler için arşılaştırma amacıyla plağın serbest enar orta notasının zamana bağlı deplasmanı Şeil de verilmiştir. Değerlendirme Bu çalışmada anlı basınç yüüne maruz, üzerinde piezoeletri elemanlar bulunan atmanlı ompozit onsol bir plağın titreşimleri durum gözleyicisi ile başarılı bir şeilde sönümlenmiştir. Anlı basınç yüü modeli için üstel olara azalan Friedlander fonsiyonu ullanılmış ve bu fonsiyona ait parametreler için lite- İndirgenmiş plağa ait dinami hareet denlemlerinden yola çıılara modern ontrol yöntemlerinin ullanılmasına iman veren durum denlemleri elde edilmiştir. Kararlılı sınırında bulunan sistemin ararlılığını garantileme için optimal ontrol için ullanılan doğrusal regülatör problemi ele alınmıştır. Plağın deplasman 7

12 H. Uyanı, Z. Mecitoğlu ölçümünün yapıldığı serbestlilerden hareetle sistemin durumlarını tahmin edece bir gözleyici tasarlanara anlı basınç yüü etisindei plağın titreşimleri başarılı bir şeilde sönümlendirilmiştir. Teşeür Yazarlar, numaralı Yapılar Üzerindei Patlama Etilerinin Araştırılması projesinin bir parçası olara bu çalışmayı destelediğinden dolayı Devlet Planlama Teşilatı na müteşeirdir. Kaynalar Ahmad, S., (969). Curved finite elements in the analysis of solid shell and plate structures, PhD Thesis, University of Wales, Swansea. Albuquerque, F., (973). A beam element for use with the semiloof shell element, MSc Thesis, University of Wales, Swansea. Baldwin, J. T., Razzaque, A., ve Irons, B. M., (973). Shape functions subroutine for an ısoparametric thin plate element, Internal Report of Civil Eng. Dept., University of Wales, Swansea. Ergatoudis, J. G., (968). Isoparametric finite elements in two and three dimensional analysis, PhD Thesis, University of Wales, Swansea. Gaudenzi, P., Carbonaro, R., Barboni, R., (997). Vibration control of an active laminated beam, Composite Structures, 38, -4, Han J.-H., Lee, I., (998). Analysis of composite plates with piezoelectric actuators for vibration control using layerwise displacement theory, Composites Part B, 9B, Irons, B. M., (973). A Further Modification of the Ahmad Shell element, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 6, Irons, B.M., (976). The Semiloof Shell Element, In Finite Elements for Thin Shells and Curved Members, Willey, New Yor. Librescu, L., Na, S., (998). Dynamic response control of thin-walled beams to blast pulses using structural tailoring and piezoelectric actuation, Journal of Applied Mechanics, 65,, Librescu, L., Na, S., (). Optimal vibration control of thin-walled anisotropic cantilevers exposed to blast loadings, Journal of Guidance Control and Dynamics, 3, 3, Martins, R. A. F., (974). Finite element eigenvalue solution employing the semiloof shell element, MSc Thesis, Universitiy of Wales, Swansea Martins, R. A. F., ve Owen, R. J., (977). Structural stability and natural vibration analysis of thin arbitrary shells by use of the semilof shell element, International Journal for Numerical Methods in Engineering,, Mecitoğlu, Z., (988). Taviyeli silindiri abu yapıların serbest titreşimlerinin incelenmesi, Dotora Tezi, İstanbul Teni Üniversitesi, İstanbul. Na, S., Librescu, L., (). Dynamic response of adaptive cantilevers carrying external stores and sunjected to blast loading, Journal of Sound and Vibration, 3, 4, Owen, D. R. J., ve Dinis, L. M. S., (978). Transient dynamic analysis of thin shells, ıncluding viscoplastic and large displacement effects, In the Mathematics of Finite Elements and Applications, Brunel University. Piefort, V., (). Finite element modelling of piezoelectric active structures, PhD Thesis, Université Libre de Bruxelles, Bruxelles. Seeger, F., Köppe, H., Gabbert, U., (). Comparison of different shell elements for the analysis of smart structures, Journal of Mathematics and Mechanics, Section -4 Additional Issue 8, S4, S887-S888. Sun, B., Huang, D., (). Analytical vibration suppression analysis of composite beams with piezoelectric laminae, Smart Materials and Structures, 9, Sunar, M., Rao, S. S., (999). Recent advances in sensing and control of flexible structures via piezoelectric materials technology, Applied Mech Rev, 5,, -6. Taawa, T., Fuuda, T., Taada, T., (997). Flexural-torsion coupling vibration control of fiber composite cantilevered beam by using piezeceramic actuators, Smart Materials and Structures, 6, Türmen, H.S., (999). Structural response of cylindrically curved laminated composite shells subjected to blast loading, ARI, 5, Türmen, H. S., (). Structural response of laminated composite shells subjected to blast loading: comparison of experimental and theoretical methods, Journal of Sound and Vibration, 49, 4, Türmen, H. S., ve Mecitoğlu, Z., (999). Dynamic response of a stiffened laminated composite plate 7

13 Anlı basınç yüü etisindei pla titreşimlerinin ontrolü subjected to blast loading, Journal of Sound and Vibration,, 3, Uyanı H., Kazancı Z., Mecitoğlu Z., (4). Semiloof abu elemanlar ullanılara aıllı ompozit bir plağın stati analizi, Havacılıta İleri Tenolojiler ve Uygulamaları Sempozyumu, 9- Aralı, İstanbul Uyanı, H. ve Kazancı, Z., (4). Anlı basınç yüü etisi altındai onsol bir plağın dinami analizi, Havacılı ve Uzay Tenolojileri Dergisi,, 3, 9-7. Uyanı, H., Mecitoğlu, Z., (6). Vibration control of a laminated composite plate subjected to blast loading, III European Conference on Computational Mechanics, 5-9 June, Lisbon, Portugal. Viladar, M., N., Godbole, P., N., Krishna, P., (998). Finite element analysis of column supported hyperbolic cooling towers using semiloof shell and beam elements, Engineering Structures,, -, Zieniewicz, O. C., Taylor, R. L., ve Too, J. M., (974). Reduced ıntegration technique in general analysis of plates and shells, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 3,