T.C. HARRAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "T.C. HARRAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ"

Transkript

1 T.C. HARRAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİİMERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK İSANS TEZİ ÇATAK İÇEREN DEĞİŞKEN KESİTİ KİRİŞERDE TİTREŞİM PROBEMİNİN SONU EEMANAR METODUYA MODEENMESİ Mehmet HASKU MAKİNE MÜHENDİSİĞİ ANABİİM DAI ŞANIURFA

2

3 İÇİNDEKİER Sayfa No ÖZ... i ABSTRACT... ii TEŞEKKÜRER iii ŞEKİER DİZİNİ.... iv ÇİZEGEER DİZİNİ vii SİMGEER DİZİNİ viii. GİRİŞ ÖNCEKİ ÇAIŞMAAR MATERYA ve YÖNTEM Sonlu Elemanlar Yöntemi Eleman denlemlerinin elde edilmesi Sonlu elemanlar yönteminde ullanılan elemanlar İnterpolasyon fonsiyonlarının seçimi Eleman rijitli matrisinin oluşturulması Sistem rijitli matrisinin oluşturulması Sisteme eti eden uvvetlerin bulunması Sınır şartlarının belirlenmesi Kirişlerde Titreşim Analizi Değişen esitli bir irişin titreşim analizi..... Kiriş elemanı için rijitli ve ütle matrislerinin elde edilmesi Değişen esitli irişler için rijitli matrisi Basit eğilme hali için rijitli matrisi Esenel yüe maruz değişen esitli iriş için rijitli matrisi Genişliği doğrusal değişen bir iriş eleman için rijitli matrisi Genişliği doğrusal değişen bir iriş eleman için ütle matrisi Kalınlığı doğrusal değişen bir iriş eleman için rijitli matrisi Kalınlığı doğrusal değişen bir iriş eleman için ütle matrisi Kalınlığı ve genişliği doğrusal değişen bir iriş eleman için rijitli matrisi Kalınlığı ve genişliği doğrusal değişen bir iriş eleman için ütle matrisi Çatla İçeren bir irişin titreşim analizi Çatlatan dolayı meydana gelen direngenliğin bulunması Gerilme yığılma fatörü Gerilme yığılma fatörünün analiti ifadesi Gerilme yığılma fatörü ve şeil değiştirme enerjisi salıverinim oranı arasındai bağıntı Esneli (ompliyans) atsayıları ve matrisi Didörtgen esitli bir iriş eleman için flesibilite atsayılarının bulunması Esneli ve rijitli matrislerinin oluşturulması Çatla içeren değişen esitli bir iriş eleman için titreşim analizi ARAŞTIRMA BUGUARI ve TARTIŞMA Bir Ucu Sabit Diğer Ucu Kayıcı Kiriş Problemin sonlu elemanlar yöntemiyle çözümü Önerilen çözüm metodunun doğruluğunun araştırılması... 59

4 4.. Bir Ucu Sabit Diğer Ucu Kayıcı Kalınlığı Doğrusal Değişen Kiriş Bulgular Bir Ucu Sabit Diğer Ucu Kayıcı Kalınlığı ve Genişliği Doğrusal Değişen Kiriş Bulgular Bir Ucu Anastre Diğer Ucu Serbest Kalınlığı Doğrusal Değişen Kiriş Bulgular Bir Ucu Anastre Diğer Ucu Serbest Kalınlığı ve Genişliği Doğrusal Değişen Kiriş Bulgular SONUÇAR ve ÖNERİER Sonuçlar Öneriler... 9 KAYNAKAR 9 ÖZGEÇMİŞ 96 ÖZET SUMMARY 98

5 ÖZ Yüse isans Tezi ÇATAK İÇEREN DEĞİŞKEN KESİTİ KİRİŞERDE TİTREŞİM PROBEMİNİN SONU EEMANAR METODUYA MODEENMESİ Mehmet HASKU Harran Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Maine Mühendisliği Anabilim dalı Danışman : Doç. Dr. Murat KISA Yıl:, Sayfa: 98 Bu çalışmada çatla içeren değişen esitli irişlere ait titreşim analizi yapılmıştır. Kirişin dinami arateristilerini (doğal freans ve vetör) hesaplama için sonlu elemanlar metodu ullanılara bir bilgisayar programı hazırlanmıştır. Kirişin çatla bölgesi, çatlatan dolayı meydana gelen yerel esneliğe bağlı olara ütlesiz bir yay şelinde modellenmiştir. Yayın rijitliği, ırılma meaniği teorileri ullanılara hesaplanan gerilme yığılma fatörü ve şeil değiştirme enerjisi salıverinim oranlarına ait esneli matrisinin tersi alınara türetilmiştir. Önerilen metodu açılama, çatla derinliği ve yerinin doğal freans ve doğal vetör üzerindei etilerini araştırma için çeşitli örneler verilmiştir. Bu çalışma ile elde edilen sonuçlar ile literatürde bulunan sonuçlar arşılaştırılara sonuçlar arasında iyi bir uyum olduğu görülmüştür. Bu da önerilen metodun basit ve güvenilir olduğunu göstermiştir. ANAHTAR KEİMEER: Değişen esitli iriş, titreşim, sonlu elemanlar metodu, çatla

6 ŞEKİER DİZİNİ Sayfa No Şeil.. Bazı sonlu eleman tipleri... 6 Şeil.. Değişen esitli bir iriş elemandai moment ve uvvetlerin gösterimi.. Şeil.. Değişen esitli iriş elemana ait serbestli dereceleri. Şeil.4. Basit eğilme etisindei değişen esitli bir irişe uygulanan uvvet ve momentler Şeil.5. Basit eğilme etisindei değişen esitli bir irişte serbestli dereceleri.. Şeil.6. Kesim yapılan bir irişte ortaya çıan esit tesirleri. 5 Şeil.7. Kesim yapılan bir irişte ortaya çıan esit tesirleri.. 7 Şeil.8. Kirişe ait serbest cisim diyagramı..... Şeil.9. Esenel yüe maruz değişen esitli bir irişte yer değiştirmeler ile ilgili yüler Şeil.. Sağ tarafı sabit tutulup sol tarafına esenel yü uygulanan değişen esitli iriş... Şeil.. Sol tarafı sabit tutulup sağ tarafına esenel yü uygulanan değişen esitli iriş... 4 Şeil.. Esenel yüe maruz değişen esitli iriş... 5 Şeil.. Genişliği doğrusal değişen değişen esitli iriş.. 6 Şeil.4. Genişliği doğrusal değişen irişin üstten görünümü... 7 Şeil.5. Kalınlığı doğrusal değişen değişen esitli iriş. Şeil.6. Kalınlığı ve genişliği doğrusal olara değişen değişen esitli iriş.. 7 Şeil.7. Temel deformasyon modları 45 Şeil.8. Polar oordinat sisteminde çatla ucundai gerilmeler Şeil.9. Çatla içeren değişen esitli iriş ve yüleme durumu. 47 Şeil 4.. Te çatla içeren bir ucu sabit diğer ucu ayıcı iriş Şeil 4.. Değişen esitli bir irişin SEM modeli.. 5 Şeil 4.. Bir ucu sabit diğer ucu ayıcı olan irişin çatlalı doğal freansının çatlasız doğal freansına olan oranı Şeil 4.4. Te çatlalı bir ucu sabit diğer ucu ayıcı değişen esitli iriş... 6 Şeil 4.5. Bir ucu sabit diğer ucu ayıcı alınlığı değişen, alınlı oranı DR/D=.8, çatla yeri c/=., c/=., c/=.5 olara alınan irişin. doğal freans değerinin çeşitli çatla oranına bağlı olara değişimi... 6 Şeil 4.6. Bir ucu sabit diğer ucu ayıcı alınlığı değişen, alınlı oranı DR/D=.8, çatla yeri c/=., c/=., c/=.5 olara alınan irişin. doğal freans değerinin çeşitli çatla oranına bağlı olara değişimi... 6 Şeil 4.7. Bir ucu sabit diğer ucu ayıcı alınlığı değişen, alınlı oranı DR/D=.8, çatla yeri c/=., c/=., c/=.5 olara alınan irişin. doğal freans değerinin çeşitli çatla oranına bağlı olara değişimi.. 6 Şeil 4.8. Bir ucu sabit diğer ucu ayıcı alınlığı değişen, alınlı oranı DR/D=.8, çatla oranı a/b=.4, a/b=.6, a/b=.8 olara alınan irişin. doğal freans değerinin çeşitli çatla yerine bağlı olara değişimi... 6 Şeil 4.9. Bir ucu sabit diğer ucu ayıcı alınlığı değişen, alınlı oranı DR/D=.8, çatla oranı a/b=.4, a/b=.6, a/b=.8 olara alınan irişin. doğal freans değerinin çeşitli çatla yerine bağlı olara değişimi... 6 Şeil 4.. Bir ucu sabit diğer ucu ayıcı alınlığı değişen, alınlı oranı DR/D=.8, çatla oranı a/b=.4, a/b=.6, a/b=.8 olara alınan irişin. doğal freans değerinin çeşitli çatla yerine bağlı olara değişimi Şeil 4.. Bir ucu sabit diğer ucu ayıcı alınlığı değişen iriş için çeşitli alınlı oranlarına bağlı olara. doğal vetör değerinin irişin boyuna bağlı değişimi 65 Şeil 4.. Bir ucu sabit diğer ucu ayıcı alınlığı değişen iriş için çeşitli alınlı oranlarına bağlı olara. doğal vetör değerinin irişin boyuna bağlı değişimi 65 Şeil 4.. Bir ucu sabit diğer ucu ayıcı alınlığı değişen iriş için çeşitli alınlı oranlarına bağlı olara. doğal vetör değerinin irişin boyuna bağlı değişimi 66 Şeil 4.4. Bir ucu sabit diğer ucu ayıcı alınlığı değişen, alınlı oranı DR/D=.8 ve çatla oranı a/b=.5 olan iriş için çeşitli çatla oranlarına bağlı olara. doğal

7 vetör değerinin irişin boyuna bağlı değişimi Şeil 4.5. Bir ucu sabit diğer ucu ayıcı alınlığı değişen, alınlı oranı DR/D=,8 ve çatla oranı a/b=,5 olan iriş için çeşitli çatla oranlarına bağlı olara. doğal vetör değerinin irişin boyuna bağlı değişimi Şeil 4.6. Bir ucu sabit diğer ucu ayıcı alınlığı değişen iriş için alınlı oranı DR/D=,8 ve çatla oranı a/b=,5 olan iriş için çeşitli çatla oranlarına bağlı olara. doğal vetör değerinin irişin boyuna bağlı değişimi.. 67 Şeil 4.7. Bir ucu sabit diğer ucu ayıcı alınlığı değişen, alınlı oranı DR/D=.8 ve çatla yeri c/=.5 olan iriş için. doğal vetör değerinin irişin boyuna bağlı değişimi Şeil 4.8. Bir ucu sabit diğer ucu ayıcı alınlığı değişen, alınlı oranı DR/D=.8 ve çatla yeri c/=.5 olan iriş için. doğal vetör değerinin irişin boyuna bağlı değişimi Şeil 4.9. Bir ucu sabit diğer ucu ayıcı alınlığı değişen, alınlı oranı DR/D=.8 ve çatla yeri c/=.5 olan iriş için. doğal vetör değerinin irişin boyuna bağlı değişimi Şeil 4.. Bir ucu sabit diğer ucu ayıcı alınlığı ve genişliği değişen, alınlı oranı DR/D=.8, çatla oranı a/b=.4, a/b=.6, a/b=.8 olara alınan irişin. doğal freans değerinin çeşitli çatla yerine bağlı olara değişimi... 7 Şeil 4.. Bir ucu sabit diğer ucu ayıcı alınlığı ve genişliği değişen, alınlı oranı DR/D=.8, çatla oranı a/b=.4, a/b=.6, a/b=.8 olara alınan irişin. doğal freans değerinin çeşitli çatla yerine bağlı olara değişimi... 7 Şeil 4.. Bir ucu sabit diğer ucu ayıcı alınlığı ve genişliği değişen, alınlı oranı DR/D=.8, çatla oranı a/b=.4, a/b=.6, a/b=.8 olara alınan irişin. doğal freans değerinin çeşitli çatla yerine bağlı olara değişimi.. 7 Şeil 4.. Bir ucu sabit diğer ucu ayıcı alınlığı ve genişliği değişen iriş için çeşitli alınlı oranlarına bağlı olara. doğal vetör değerinin irişin boyuna bağlı değişimi 7 Şeil 4.4. Bir ucu sabit diğer ucu ayıcı alınlığı ve genişliği değişen iriş için çeşitli alınlı oranlarına bağlı olara. doğal vetör değerinin irişin boyuna bağlı değişimi 7 Şeil 4.5. Bir ucu sabit diğer ucu ayıcı alınlığı ve genişliği değişen iriş için çeşitli alınlı oranlarına bağlı olara. doğal vetör değerinin irişin boyuna bağlı değişimi 7 Şeil 4.6. Bir ucu sabit diğer ucu ayıcı, alınlığı ve genişliği değişen, alınlı oranı DR/D=,8 ve çatla oranı a/b=,5 olan iriş için çeşitli çatla oranlarına bağlı olara. doğal vetör değerinin irişin boyuna bağlı değişimi. 7 Şeil 4.7. Bir ucu sabit diğer ucu ayıcı, alınlığı ve genişliği değişen, alınlı oranı DR/D=,8 ve çatla oranı a/b=,5 olan iriş için çeşitli çatla oranlarına bağlı olara. doğal vetör değerinin irişin boyuna bağlı değişimi Şeil 4.8. Bir ucu sabit diğer ucu ayıcı, alınlığı ve genişliği değişen, alınlı oranı DR/D=,8 ve çatla oranı a/b=,5 olan iriş için çeşitli çatla oranlarına bağlı olara. doğal vetör değerinin irişin boyuna bağlı değişimi.. 74 Şeil 4.9. Te çatlalı bir ucu anastre diğer ucu serbest değişen esitli iriş Şeil 4.. Bir ucu anastre diğer ucu serbest alınlığı değişen, alınlı oranı DR/D=.8, çatla yeri c/=., c/=., c/=.5 olara alınan irişin. doğal freans değerinin çeşitli çatla oranına bağlı olara değişimi Şeil 4.. Bir ucu anastre diğer ucu serbest alınlığı değişen, alınlı oranı DR/D=.8, çatla yeri c/=., c/=., c/=.5 olara alınan irişin. doğal freans değerinin çeşitli çatla oranına bağlı olara değişimi Şeil 4.. Bir ucu anastre diğer ucu serbest, alınlığı değişen, alınlı oranı DR/D=.8, çatla yeri c/=., c/=., c/=.5 olara alınan irişin. doğal freans değerinin çeşitli çatla oranına bağlı olara değişimi Şeil 4.. Bir ucu anastre diğer ucu serbest alınlığı değişen,, alınlı oranı DR/D=.8, çatla oranı a/b=.4, a/b=.6, a/b=.8 olara alınan irişin. doğal freans değerinin çeşitli çatla yerine bağlı olara değişimi.. 78 Şeil 4.4. Bir ucu anastre diğer ucu serbest alınlığı değişen, alınlı oranı DR/D=.8,

8 çatla oranı a/b=.4, a/b=.6, a/b=.8 olara alınan irişin. doğal freans değerinin çeşitli çatla yerine bağlı olara değişimi Şeil 4.5. Bir ucu anastre diğer ucu serbest alınlığı değişen,, alınlı oranı DR/D=.8, çatla oranı a/b=.4, a/b=.6, a/b=.8 olara alınan irişin. doğal freans değerinin çeşitli çatla yerine bağlı olara değişimi Şeil 4.6. Bir ucu anastre diğer ucu serbest alınlığı değişen iriş için çeşitli alınlı oranlarına bağlı olara. doğal vetör değerinin irişin boyuna bağlı değişimi. 79 Şeil 4.7. Bir ucu anastre diğer ucu serbest alınlığı değişen iriş için çeşitli alınlı oranlarına bağlı olara. doğal vetör değerinin irişin boyuna bağlı değişimi. 8 Şeil 4.8. Bir ucu anastre diğer ucu serbest alınlığı değişen iriş için çeşitli alınlı oranlarına bağlı olara. doğal vetör değerinin irişin boyuna bağlı değişimi. 8 Şeil 4.9. Bir ucu anastre diğer ucu serbest alınlığı değişen, alınlı oranı DR/D=,8 ve çatla oranı a/b=,5 olan iriş için çeşitli çatla oranlarına bağlı olara. doğal vetör değerinin irişin boyuna bağlı değişimi... 8 Şeil 4.4. Bir ucu anastre diğer ucu serbest alınlığı değişen, alınlı oranı DR/D=,8 ve çatla oranı a/b=,5 olan iriş için çeşitli çatla oranlarına bağlı olara. doğal vetör değerinin irişin boyuna bağlı değişimi Şeil 4.4. Bir ucu anastre diğer ucu serbest alınlığı değişen, alınlı oranı DR/D=,8 ve çatla oranı a/b=,5 olan iriş için çeşitli çatla oranlarına bağlı olara. doğal vetör değerinin irişin boyuna bağlı değişimi.. 8 Şeil 4.4. Bir ucu anastre diğer ucu serbest alınlığı ve genişliği değişen, alınlı oranı DR/D=.8, çatla yeri c/=., c/=., c/=.5 olara alınan irişin. doğal freans değerinin çeşitli çatla oranına bağlı olara değişimi.. 8 Şeil 4.4. Bir ucu anastre diğer ucu serbest alınlığı ve genişliği değişen, alınlı oranı DR/D=.8, çatla yeri c/=., c/=., c/=.5 olara alınan irişin. doğal freans değerinin çeşitli çatla oranına bağlı olara değişimi.. 84 Şeil Bir ucu anastre diğer ucu serbest alınlığı ve genişliği değişen, alınlı oranı DR/D=.8, çatla yeri c/=., c/=., c/=.5 olara alınan irişin. doğal freans değerinin çeşitli çatla oranına bağlı olara değişimi 84 Şeil Bir ucu anastre diğer ucu serbest alınlığı ve genişliği değişen, alınlı oranı DR/D=.8, çatla oranı a/b=.4, a/b=.6, a/b=.8 olara alınan irişin. doğal freans değerinin çeşitli çatla yerine bağlı olara değişimi.. 85 Şeil Bir ucu anastre diğer ucu serbest alınlığı ve genişliği değişen, alınlı oranı DR/D=.8, çatla oranı a/b=.4, a/b=.6, a/b=.8 olara alınan irişin. doğal freans değerinin çeşitli çatla yerine bağlı olara değişimi Şeil Bir ucu anastre diğer ucu serbest alınlığı ve genişliği değişen, alınlı oranı DR/D=.8, çatla oranı a/b=.4, a/b=.6, a/b=.8 olara alınan irişin. doğal freans değerinin çeşitli çatla yerine bağlı olara değişimi Şeil Bir ucu anastre diğer ucu serbest alınlığı ve genişliği değişen iriş için çeşitli alınlı oranlarına bağlı olara. doğal vetör değerinin irişin boyuna bağlı değişimi.. 86 Şeil Bir ucu anastre diğer ucu serbest alınlığı ve genişliği değişen iriş için çeşitli alınlı oranlarına bağlı olara. doğal vetör değerinin irişin boyuna bağlı değişimi.. 87 Şeil 4.5. Bir ucu anastre diğer ucu serbest alınlığı ve genişliği değişen iriş için çeşitli alınlı oranlarına bağlı olara. doğal vetör değerinin irişin boyuna bağlı değişimi. 87 Şeil 4.5. Bir ucu sabit diğer ucu serbest alınlığı ve genişliği değişen, alınlı oranı DR/D=,8 ve çatla oranı a/b=,5 olan iriş için çeşitli çatla oranlarına bağlı olara. doğal vetör değerinin irişin boyuna bağlı değişimi.. 88 Şeil 4.5. Bir ucu anastre diğer ucu serbest alınlığı ve genişliği değişen, alınlı oranı DR/D=,8 ve çatla oranı a/b=,5 olan iriş için çeşitli çatla oranlarına bağlı olara. doğal vetör değerinin irişin boyuna bağlı değişimi.. 88 Şeil 4.5. Bir ucu anastre diğer ucu serbest alınlığı ve genişliği değişen, alınlı oranı DR/D=,8 ve çatla oranı a/b=,5 olan iriş için çeşitli çatla oranlarına bağlı olara. doğal vetör değerinin irişin boyuna bağlı değişimi. 89

9 ÇİZEGEER DİZİNİ Sayfa No Çizelge 4.. Bir ucu sabit diğer ucu ayıcı irişe ait sürelili tablosu Çizelge 4.. Bir ucu sabit diğer ucu ayıcı çatla içeren irişe ait sürelili tablosu Çizelge 4.. Çatlasız ve çatlalı irişe ait doğal freans değerleri Çizelge 4.4. Kalınlığı lineer değişen irişin serbest titreşim analizinde literatür ve önerilen programla elde edilen sonuçların arşılaştırılması 59 Çizelge 4.5. Kalınlığı ve genişliği lineer değişen irişin serbest titreşim analizinde literatür ve önerilen programla elde edilen sonuçların arşılaştırılması. 6

10 SİMGEER DİZİNİ M C K f(t) w P Q u v M() E I z () A i,, B i D i M A() N [] A [] B [m] A [m] B f t i [K] cr [K] wcr J K a V Kütle Matrisi Sönüm Katsayısı Rijitli Matrisi Yer Değiştirme Uygulanan Kuvvet Doğal Freans Doğal Vetör Kirişin Boyu Esenel Kuvvet Kesme Kuvvet Eseni Doğrultusundai Yer Değiştirmeler y Eseni Doğrultusundai Yer Değiştirmeler z Esenine Göre Dönme Eğilme Momenti Elastisite Modülü Atalet Momenti Flesibilite Matrisi Determinant Toplam Moment Gerilme Birim Şeil Değiştirme Mesafesindei Kesit Alanı Yoğunlu Şeil Fonsiyonu Matrisi Esenel Rijitli Matrisi Eğilme Rijitli Matrisi Esenel Kütle Matrisi Eğilme Kütle Matrisi Şeil Fonsiyonu Kirişin Kalınlığı Çatlatan dolayı meydana gelen rijitli matrisi Çatla içeren yapının rijitli matrisi Şeil değiştirme enerjisi salıverinim oranı Gerilme şiddet fatörü Çatla derinliği Kesme uvveti Poison oranı

11 . GİRİŞ Mehmet HASKU. GİRİŞ Günümüz mühendisli uygulamalarında özellile uzay, inşaat ve maine sanayinde değişen esitli yapılara sılıla rastlanmatadır. Uzay sanayinde örneğin uça anatlarında değişen esitli iriş ile arşılaşılır. Muavemetten de bilindiği üzere eşit muavemetli çubularda esit değişen yapıda olup iriş dayanımı her notada aynıdır. Eşit muavemetli çubularda bazı durumlarda malzemeden olduça azanç sağlanabilmete ve bu yüzden daha eonomi yapı elde edilmetedir. iteratürde düzgün esitli yapılara ait yapılmış olan yeterince çalışma olmasına arşın değişen esitli yapılardai çalışmalar daha sınırlıdır. Günümüz yapılarında masimum güvenli, minimum maliyet ve masimum esteti ön planda olduğundan yapıdai fazla malzemeler minimuma indirilmelidir ve buna bağlı olara ta birço eleman değişen esitli hale gelmetedir. Bu çalışmada öncelile değişen esitli irişler onusunda yapılmış olan çalışmalar detaylı olara verilmiştir. Daha sonra değişen esitli irişlerin titreşim analizinde ullanılaca olan sonlu elemanlar sayısal yöntemi haında bilgi verilere titreşim analizine geçilmiştir. Titreşim analizi için gereli olan denlem sistemleri elde edilere rijitli ve ütle matrisleri çıarılmıştır. Çatlatan dolayı meydana gelece olan rijitli düşümü, lineer elasti ırılma meaniği prensiplerinden faydalanara elde edilmiş ve elde edilmiş olan ütle, rijitli ve çatlatan dolayı meydana gelen rijitli matrislerini ullanara değişen esitli irişlerin serbest titreşim analizini yapabilece olan bir bilgisayar programı yazılmıştır. Program ullanılara değişi sınır şartlarına sahip değişen esitli çatla içeren irişlerin serbest titreşim analizi yapılmış ve elde edilen sonuçlar ile literatürdei sonuçlar arşılaştırılara önerilen çözüm yönteminin güvenirliği ortaya onmuştur.

12 . ÖNCEKİ ÇAIŞMAAR Mehmet HASKU. ÖNCEKİ ÇAIŞMAAR Değişen esitli irişlere birço maine ve inşaat yapılarında rastlanmatadır. Değişen esitli yapıların önemine il olara Amiriian (97) tarafından değinilmiştir. Düzgün veya değişen esitli irişlerdei stati yer değiştirmeler ve momentlerin tespitinde ullanılabilece manüel bir yalaşı yöntem Newmar (94) tarafından geliştirilmiştir. Değişen esitli irişlerin analizlerinde sıça ullanılan yöntemlerin başında sonlu farlar ve sonlu elemanlar yöntemleri gelmetedir (Ghali ve Neville, 97; Martin, 966). Sonlu elemanlar yönteminde, değişen esitli iriş genellile yeterli sayıda düzgün iriş elemanlarına bölünür. Stati analizlerde değişen esitli iriş yeterince elemana bölünürse doğruya yaın sonuçlar elde edilebilmetedir. Değişen esitli bir irişin düzgün esitli elemanlara bölünmesi yine de hata mitarının artmasına neden olur. iteratürde değişen esitli iriş elemana ait yapılan çalışmalar önemli faat yetersizdir. Just (975; 977) değişen esitli irişlere ait rijitli matrisini geliştirmiştir. Kirchoff (879) Bessel fonsiyonlarından faydalanara değişen esitli irişlerin titreşim analizini yapan il araştırmacıdır. Değişen esitli irişlerin serbest titreşim analizi onusunda birço araştırmacı çalışmalar yapmıştır (Suppiger ve Talep, 956; Cranch nad ve Adler,956; Convay ve Becer, 964; Convay ve Dubil, 965; Wang, 967; Mabie ve Rogers, 97; Mabie ve Rogers 976; Gorman, 975). Kenarların değişimi doğrusal değil de herhangi bir fonsiyona bağlı şeilde değişen irişlere ait en genel çözüm Wang (967) tarafından geliştirilmiştir. Wang çalışmasında genelleştirilmiş hipergeometri fonsiyonlar yardımıyla modal çözümü elde etmiştir. Basit değişen esitli irişlere ait freans analizleri, yalaşı analiti ve nümeri tenilerle analiz edilmiştir. Martin (956) perturbasyon teniğiyle, Gaines

13 . ÖNCEKİ ÇAIŞMAAR Mehmet HASKU ve Volterra (966; 968) Euler ve Timosheno iriş teorileriyle ve Klein (974) Rayleigh-Ritz prosedürüyle serbest titreşim analizlerini gerçeleştirmişlerdir. Sonlu farlar ve sonlu elemanlar yöntemiyle titreşim analizi arşımıza özdeğer problemlerini çıarır ve genellile matris iterasyon yöntemleriyle çözülür. Rissone ve Williams (965) Euler ve Timosheno iriş teorilerini ullanara değişen esitli irişlere ait detaylı bir freans analizini sonlu farlar yöntemiyle gerçeleştirmiştir. Sonlu elemanlar yönteminde, yayılmış ütle matrisleri ullanımıyla titreşim analizi problemlerindei doğrulu oranı artmıştır (Archer, 96). indberg (965) übi bir yer değiştirme fonsiyonu ullanara didörtgen, dairesel veya üçgen değişen esitli iriş elemanlar geliştirere titreşim analizi yapmış ve son derece doğru sonuçlar elde etmiştir. Gallagher ve ee (97) übi bir yer değiştirme fonsiyon esaslı değişen esitli bir iriş geliştirere serbest titreşim analizleri yapmıştır. Thomas ve Doumacı (97) altıncı dereceden Hermitian polinomları ullanara değişen esitli bir eleman geliştirmişlerdir. Kolouse (97) genel değişen esitli bir iriş elemana ait dinami rijitli matrisini geliştirmiştir. Avaian ve Bestos (976) genel ve doğrusal olmayan değişen esitli irişlere ait serbest titreşim problemini dinami rijitli matrisleri yardımıyla analiz etmişlerdir. Karabalis ve Bestos (98) çalışmalarında genişliği sabit, alınlığı değişen irişlerin stati, dinami ve stabilite analizini yapabilen bir numeri yapı önermişlerdir. Friedman ve Kosmata (99) herhangi bir formda olan değişen esitli irişlere ait rijitli matrisini geliştirmişlerdir. Friedman ve Kosmata (99) ayma deformasyonunu göz önüne alara değişen esitli bir irişe ait eğilme rijitli matrisini hesaplamışlardır. Baer (996) çalışmasında prizmati olmayan yapılarda meydana gelen üçü yer değiştirmeleri bulan apalı formda bir çözüm yapısı geliştirmiştir. De Rosa ve Auciello (996) esne sınır şartlı doğrusal değişen esitli irişlerin dinami davranışlarını araştırmışlardır. Kirişe ait hareet denlemini Bessel fonsiyonunu ullanara çözmüşlerdir. Al-Gahtani (996) değişen esitli

14 . ÖNCEKİ ÇAIŞMAAR Mehmet HASKU elemanlara ait rijitli matrisi terimlerinin apalı form çözümlerini verece basit bir yöntem önermişlerdir. Çalışmalarında sınır integral yöntemimi ullanmışlardır. Colugna (997) ii ve üç boyutlu prizmati olmayan elemanlara ait elasti rijitli matrislerini gelenesel iriş teorisine göre bulaca bir yöntem ortaya oymuştur. Bu çalışmasında ayma etisi göz önüne alınmamıştır. Qiusheng, Hong ve Guiging (996) değişen esitli çubuların stati ve dinami analizini yapmışlardır. Data ve Sil (996) değişen esitli onsol irişlerin doğal freanslarını bulmuşlardır. Taahashi (998) transfer matrisi yöntemini ullanara esenel yülü te çatla içeren değişen esitli olonların burulma ve titreşim analizini yapmıştır. Franciosi ve Mecca (998) değişen esitli irişin stati analizi için üç tane sonlu eleman çeşidi önermiştir. Bu elemanların performansı çeşitli örnelerle ontrol edilere elemanların güvenli olduğu gösterilmiştir. Al-Gahtani ve Khan (998) pizmati olmayan irişlerin genel sınır şartları için bir analiz yöntemi gerçeleştirmişlerdir. Analizlerinde sınır integral yöntemini ullanmıştır. Zheng ve Fan () birden fazla çatla içeren değişen esitli bir irişin doğal freanslarını fourier serilerini ullanara bulmuştur. i () çalışmasında birden fazla çatla içeren irişlerin serbest titreşim analizini yapmıştır. Modelinde iriş esitinde çatlatan dolayı meydana gelen bölgesel esneliği ütlesiz bir yay ile modellemiştir. Ruta () elasti zemin üzerinde değişen esitli çubulara ait bir dinami rijitli matrisi geliştirmiştir. Mazanoğlu ve Sabuncu (9) ço çatlalı değişen esitli irişlerin eğilme titreşim analizini yapmışlardır. 4

15 . MATERYA ve YÖNTEM Mehmet HASKU.MATERYA ve YÖNTEM.. Sonlu Elemanlar Yöntemi Sonlu elemanlar yöntemi; analiti olara çözümü ço zor ve bazen de imânsız olan problemlerin daha basit olan alt problemlere ayrılara her birinin endi içinde çözülmesi ve bu çözümlerin denge ve sürelili göz önüne alınara birleştirilmeleri ile tam çözümün bulunduğu sayısal bir çözüm yöntemidir. Yani bu yöntem süreli bir sistemi problemin araterine uygun sonlu elemanlara ayırara elde edilen elemanlar üzerinde iç ve dış uvvetlerin enerjisinin minimizasyonu ve sonra bu elemanların birleştirilmesi tarzında bir uygulama getirir (Topçu ve Taşgetiren, 998). Sonlu elemanlar çözüm yönteminde, geometri olara armaşı olan çözüm bölgesi sonlu elemanlar olara adlandırılan geometri olan basit alt bölgelere ayrılır. Her elemandai, süreli fonsiyonların, cebirsel polinomların doğrusal ombinasyonu olara tanımlanabileceği abul edilir. Aranan değerlerin her eleman içinde süreli olan tanım denlemlerinin belirli notalardai (düğüm notaları) değerlerinin elde edilmesinin problemin çözümünde yeterli olacağı abul edilir. Kullanılan yalaşım fonsiyonları interpalosyan teorisinin genel avramları ullanılara polinomlardan seçilir. Seçilen polinomların derecesi ise çözülece problemin tanım denleminin derecesine ve çözüm yapılaca elemandai düğüm sayısına bağlıdır. Sonlu elemanlar yöntemi, özellile ısmi diferansiyel denlemlerin çözümünde ço etin bir şeilde ullanılan bir yöntemdir. Süreli bir ortamda, alan değişenleri (gerilme, yer değiştirme, basınç, sıcalı vs.) sonsuz sayıda farlı değere sahiptir. Eğer süreli bir ortamın belirli bir bölgesinin de aynı şeilde süreli ortam özelliği gösterdiği biliniyorsa, bu alt bölgede, alan değişenlerinin değişimi 5

16 . MATERYA ve YÖNTEM Mehmet HASKU sonlu sayıda bilinmeyi olan bir fonsiyon ile tanımlanır. Bilinmeyen sayısının az ya da ço olmasına göre seçilen fonsiyon doğrusal ya da yüse mertebeden olabilir. Süreli ortamın alt bölgeleri de aynı arateristi özellileri gösteren bölgeler olduğundan, bu bölgelere ait olan denlem taımları birleştiğinde bütün sistemi ifade eden denlem taımı elde edilir. Denlem taımının çözümüyle de süreli ortamdai alan değişenleri sayısal olara elde edilir. Düğümler a) İi düğümlü çubu eleman b) Üç düğümlü üçgen eleman c) Douz düğümlü üç boyutlu eleman Şeil. Bazı sonlu eleman tipleri Şeil. de bazı sonlu eleman tipleri verilmiştir. Sonlu elemanlar metodunda sistem sonlu elemana ayrılmatadır. Sistemi oluşturan elemanların her birine sonlu 6

17 . MATERYA ve YÖNTEM Mehmet HASKU eleman denir. Bu elemanların birleştileri notalar da düğüm notaları olara adlandırılır. Eleman boyutları üçüldüçe problemin hata oranı azalmata faat çözüm süresi uzamatadır. Sonlu eleman yüzeyinin şeil değiştirmesi, düğüm notalarının deplasman parametresine bağlı olara ifade edilebilir. Deplasman parametreleri; deplasman bileşenleri, dönmeler ve burulma eğriliği gibi deplasman vetörlerini içermetedir. Sonlu elemanlar metodunu diğer nümeri yöntemlerden üstün ılan başlıca unsurlar şöyle sıralanabilir (Topçu ve Taşgetiren, 998). a) Değişi boyut ve şeillere sahip sonlu elemanlar ile, analizi yapılaca geometri yeterli derecede hassas olara modellenebilir. b) Ani esit değişilileri, öşeler ve deliler modellenere inceleme yapılabilir. c) Sonlu elemanlar yöntemine her elemana değişi malzeme ve geometri özelliler atanabildiğinden, değişen esitli ve birden fazla malzemeden oluşmuş problemler olaylıla modellenebilir. d) Değişi sınır şartlarının uygulaması olaydır.... Eleman denlemlerinin elde edilmesi Sonlu elemanlar metodunun temel prensibi, öncelile bir elemana ait sistem özellilerini içeren denlemlerin çıartılıp tüm sistemi temsil edece şeilde eleman denlemlerini birleştirere sisteme ait doğrusal denlem taımının elde edilmesidir. Bir elemana ait denlemlerin elde edilmesinde değişi yöntemler ullanılabilir. Bunlar içinde en ço ullanılan dört temel yalaşım diret, varyasyonel, ağırlılı alanlar ve enerji dengesi yalaşımlarıdır (Topçu ve Taşgetiren, 998). Sonlu elemanlar metodu ile problem çözümünde ullanılaca olan yalaşım çözüm işleminde izlenece yolu değiştirmez. Çözüm yöntemindei adımlar şunlardır: Cismin sonlu elamanlara bölünmesi, İnterpolasyon fonsiyonlarının seçimi, 7

18 . MATERYA ve YÖNTEM Mehmet HASKU Eleman rijitli matrisinin teşili, Sistem rijitli matrisinin hesaplanması, Sisteme eti eden uvvetlerin bulunması, Sınır şartlarının belirlenere problemlere uygulanması, Sistem denlemlerinin çözümü.... Sonlu elamanlar yönteminde ullanılan elemanlar Sonlu eleman problemin çözümünde il adım eleman tipinin belirlenmesi ve çözüm bölgesinin elemanlara ayrılmasıdır. Çözüm bölgesinin geometri yapısı belirlenere bu geometri yapıya en uygun gelece elemanlar seçilmelidir. Seçilen elemanların çözüm bölgesini temsil etme oranında, elde edilece neticeler gerçe çözüme yalaşmış olacatır. Sonlu elemanlar metodunda ullanılan elemanlar boyutlarına göre dört sınıfa ayrılabilir. Bunlar; te boyutlu, ii boyutlu, dönel ve üç boyutlu elemanlardır (Topçu ve Taşgetiren, 998).... İnterpolasyon fonsiyonlarının seçimi İnterpolasyon fonsiyonu alan değişeninin (oordinat, yer değiştirme) eleman üzerindei değişimini temsil etmetedir. İnterpolasyon fonsiyonunun belirlenmesi seçilece eleman tipine ve çözülece denlemin derecesine bağlıdır. Ayrıca interpolasyon fonsiyonları şu şartları sağlamalıdır (Topçu ve Taşgetiren, 998). İnterpolasyon fonsiyonunda bulunan alan değişenin en yüse dereceden bir öncei dereceye adar olan ısmi türevleri eleman sınırlarında süreli olmalıdır. İnterpolasyon fonsiyonunda bulunan alan değişenlerinin bütün türevleri, eleman boyutları limitte sıfıra gitse bile alan değişenini araterize etmelidir. Seçilen interpolasyon fonsiyonu oordinat değişiminden etilenmemelidir. Hem yuarıdai şartları sağlamaları hem de türev ve integral almadai olaylığından dolayı interpolasyon fonsiyonu olara genelde polinomlar seçilir. Seçilen polinom, yuarıdai şartların gerçeleşmesi ile uygun terimler içermelidir. 8

19 . MATERYA ve YÖNTEM Mehmet HASKU..4.Eleman rijitli matrisinin oluşturulması Eleman rijitliğinin bulunması, elemana eti eden dış yüler ile alan değişenleri arasında bir ilişi urma anlamına gelir. Eleman rijitliği elde ediliren çözülece problemin onusu, alan değişeni, seçilen eleman tipi, seçilen interpolasyon fonsiyonu, eleman özellilerini elde ederen ullanılan yöntem gibi pe ço fatör göz önüne alınır. Eti eden bu fatörlere göre eleman rijitli matrisi hesaplanır...5. Sistem rijitli matrisinin hesaplanması Sistem rijitli matrisi sistemin düğüm sayısı ve her düğümdei serbestli derecesine bağlı olara belirlenir. Elemanlar için hesaplanan rijitli matrisleri, eleman üzerindei düğüm notalarına bağlı olara genel rijitli matrisinde ilgili satır ve sütuna yerleştirilir. Farlı elemanlar tarafından orta ullanılan düğümlerdei terimler genel rijitli matrisinin ilgili satır ve sütununda üst üste elenmelidir. Elemanların düğüm numaralaması bir sistematiğe göre yapılırsa genel rijitli matrisinde diagonal üzerinde üst üste elenir. Genelde rijitli matrisi simetritir...6.sisteme eti eden uvvetlerin bulunması Bir problemde sisteme eti edebilece uvvetler şunlar olabilir (Topçu ve Taşgetiren, 998). - Teil uvvetler: Teil uvvetler hangi elemanın hangi düğümüne, hangi yönde eti ediyorsa genel uvvet vetöründe eti ettiği düğüme arşılı gelen satıra yerleştirilir. - Yayılı uvvetler: Bu uvvetler bir enar boyunca ya da bir alanda etili olurlar. - Kütle uvvetleri: Eleman hacmi için geçerli olan merezaç uvveti ve ağırlı uvvetleri gibi uvvetlerdir. 9

20 . MATERYA ve YÖNTEM Mehmet HASKU..7. Sınır şartlarının belirlenmesi Her problemin tabii ya da yapay sınır şartları vardır. Sınır şartları cismin çeşitli ısımlarındai elasti yer değiştirmelerin ölçülebileceği bir referans sağlar (Topçu ve Taşgetiren, 998)... Kirişlerde Titreşim Analizi... Değişen esitli bir irişin titreşim analizi Kusursuz bir iriş için hareet denlemi; M C K f () t (.) olara verilir. Bu toplu bir ütlenin hareât denlemidir. Burada M, C, K, f ( t) ve sırası ile ütleyi, sönüm atsayısını, rijitliği, uygulanan uvveti ve yer değiştirmeyi göstermetedir. Serbest sönümsüz bir iriş için hareet denlemi, C f ( t) alınara M K (.) olara elde edilir. Yer değiştirme ( ) aşağıda gösterildiği gibi ifade edilip yuarıda verilen (.) denlemine yerleştirilirse; X sin( wt ) wx sin( wt ) w X sin( wt ) (.) serbest titreşim yapan bir irişin hareet denlemi aşağıdai gibi olur: Burada w M K ( w M K) w doğal freansları, ise doğal vetörleri göstermetedir. (.4) (.5) En son denlem bir öz değer problemidir. Bu çalışmada Jacobi yöntemi uygulanara (.5) eşitliği çözülmüştür. Bu eşitliten görüleceği üzere çözüm yapılabilmesi için değişen esitli irişe ait sistem matrisleri ( KM, ) elde edilmelidir.

21 . MATERYA ve YÖNTEM Mehmet HASKU... Kiriş elemanı için rijitli ve ütle matrislerinin elde edilmesi Bu çalışma ile ii düğümlü ve her düğümünde üç serbestli derecesi olan değişen esitli iriş eleman için rijitli ve ütle matrisleri elde edilecetir.... Değişen esitli irişler için rijitli matrisi y Q Q M M P P z Şeil.. Değişen esitli bir iriş elemandai moment ve uvvetlerin gösterimi y v v u u z Şeil.. Değişen esitli iriş elemana ait serbestli dereceleri Şeil. de görüldüğü gibi boyunda olan izotropi ve değişen esitli iriş ele alınsın. eseni irişin eseni ile çaışmatadır. P, Q, M sırasıyla düğümlerdei esenel ve esme uvvetleri ile eğilme momentini, uv,, ise sırasıyla eseni ve y

22 . MATERYA ve YÖNTEM Mehmet HASKU eseni doğrultusundai yer değiştirmeleri ve z eseni etrafındai dönmeyi göstermetedir. Görüldüğü gibi her düğümde üç serbestli derecesi ( uv,, ) bulunmatadır. Bir elemanda ii düğüm notası olduğundan bir eleman için toplam 6 serbestli derecesi olmatadır. Dolayısıyla bir eleman için rijitli matrisi 66 boyutunda, eleman serbestli dereceleri vetörü 6 boyutunda ve eleman dış yü vetörü 6 boyutunda olup simgesel olara aşağıdai gibi verilir. K e (.6) Q e u v u v F e P Q M P Q M F KQ e (.7) e Değişen esitli bir irişe ait rijitli matrisi, irişin basit eğilme ve esenel deformasyon halleri için elde edilece rijitli matrislerinin uygun biçimde birleştirilmesi ile elde edilecetir...4. Basit eğilme hali için rijitli matrisi Şeil.4 ve Şeil.5 de basit eğilme etisindei değişen esitli bir iriştei eğilme momentleri, esme uvvetleri ile ilgili serbestli dereceleri görülmetedir.

23 . MATERYA ve YÖNTEM Mehmet HASKU y Q Q M M z Şeil.4. Basit eğilme etisindei değişen esitli bir irişe uygulanan uvvet ve momentler y v v z Şeil.5. Basit eğilme etisindei değişen esitli bir irişte serbestli derecelerinin gösterimi Yuarıdai şeillerde görülen basit eğilme halindei bir eleman için rijitli matrisi, yü ve yer değiştirme vetörleri simgesel olara aşağıdai gibi gösterilebilir.

24 . MATERYA ve YÖNTEM Mehmet HASKU B B B B 4 B B B B B 4 K B B B B 4 B B B B Q v Q B B M, F v Q M 4 4 B B B F K. Q (.8) K B basit eğilmede meydana gelen eğilme rijitli matrisidir ve Mawell 44 teoremine göre bulunur.[k B ] nin bulunması için ii adımdan faydalanılır. İl önce bir flesibite yöntemi geliştirilere birinci ve iinci düğümler için uvvet -yer değiştirme ilişisi elde edilir. Daha sonra birinci ve iinci düğümlerin etileşim terimleri dengeden elde edilir. Eğilme rijitli matrisindei B B ( Kij i, j,) B B (.9) rijitli atsayılarını elde etme için v ve sıfır alınara Q, M yüleri altında v ve eşitlileri aşağıdai adımlar sonucunda elde edilecetir. Değişen esitli iriş için şeil değiştirme enerjisi; M U d EI (.) zz eşitliği ile verilir. Burada M, E, Izz sırası ile iriş esitindei eğilme momentini, elastisite modülünü ve esit boyunca değişen alan atalet momentini göstermetedir. M momentini bulma için mesafede bir esim yapılsın. 4

25 . MATERYA ve YÖNTEM Mehmet HASKU y Q M M C V Şeil.6. Kesim yapılan bir irişte ortaya çıan esit tesirleri Yuarıdai şeilde C notasına göre moment dengesi yazılara momenti elde edilir. M eğilme Mc M M Q M Q M (.) (.) eşitliğinin aresi alınara; M Q Q M M (.) şelinde M elde edilir. Birinci düğüm için yer değiştirme ile ilgili yüler arasındai ilişi Castigliano nun. teoremi ullanılara bulunabilir. du v (.) dq du (.4) dm (.). eşitliğini oluşturma için gereli olan şeil değiştirme enerjisi (.) eşitliği ile verilen eğilme momentinden faydalanılara elde edilir ve du Q Q M M d dq (.5) EI zz eşitliği elde edilir. Gereli işlemler yapılara 5

26 . MATERYA ve YÖNTEM Mehmet HASKU du Q M d dq (.6) EI zz elde edilir ve bu denlem matris formatına dönüştürülürse; Q (.7) v d d EI zz EI zz M eşitliği elde edilir. Benzer şeilde (.4) eşitliğini oluşturma için yine eğilme momentinden faydalanılara bulunan şeil değiştirme enerjisi ullanılır ve du Q Q M M d dm (.8) EI zz eşitliği elde edilir ve gereli işlemler yapılara; Q M d (.9) du dm EI zz elde edilen bu eşitli matris formatına dönüştürülürse; Q d d EI zz EI zz M (.) eşitliği elde edilir. Flesibilite metoduna göre yer değiştirme ile ilgili yüler arasındai eşitli bulunacağı için (.7) ve (.) eşitlileri birleştirilir. d d EI zz v EI zz Q M d d EI zz EI zz Bu eşitli simgesel olara v A AQ A A M şelinde yazılabilir. Buradai A, A, A terimleri; (.) (.) i Ai d, i,,, (.) EI zz 6

27 . MATERYA ve YÖNTEM Mehmet HASKU eşitliği ile verilir. Buradai A i lerden oluşan matris flesibilite matrisi olup bu matrisin tersi birinci düğüm için rijitli matrisini verece olup bu matris aşağıdai gibi elde edilir. v A A Q A A M Her ii tarafı A A A A ile çarpılırsa Q A A v Q A A v M A A M D A A elde edilir. Burada D matrisin determinantı olup (.4) D ile bulunur. A. A A (.5) Birinci düğümde yapılan işlemler benzer olara iinci düğüm için de yapılmalıdır. Burada v, alınara iinci düğüme Q ve M yüleri uygulanır. Bu durumda eğilme momenti şöyle bulunur. y M V y M Q C Şeil.7. Kesim yapılan bir irişte ortaya çıan esit tesirleri C notasına göre moment dengesi yazılırsa; + Mc M Q M ( ) ( ) M Q M (.6) ( ( )) ( ) M Q Q M M (.7) elde edilir. v ve aşağıdai gibi elde edilirler. 7

28 . MATERYA ve YÖNTEM Mehmet HASKU v du (.8) dq du (.9) dm Değişen esitli irişlerde şeil değiştirme enerji denlemi yeniden yazılarsa; M U EI zz d ( Q ( )) Q ( ) M M U d (.) EI zz eşitliği elde edilir. (.8) eşitliğini oluşturma için aşağıdai işlemler gerçeleştirilir. v du Q ( ) Q ( ) M M d dq (.) EI zz du Q( ) M ( ) d dq (.) EI Yuarıdai eşitli matris formatında düzenlenirse; ( ) ( ) Q v d d EI zz EI zz M zz (.) elde edilir. Aynı işlemler (.9) eşitliğinin oluşturulması için terar edilirse; du d Q ( ) Q ( ). M M d dm dm (.4) EI ( ) zz M ( ) Q d (.5) du dm EI zz sonucu elde edilir ve bu sonuç matris formatına dönüştürülürse; Q d d EI zz EI zz M ( ) (.6) şelinde elde edilir. (.) ve (.6) denlemler birleştirilirse, v B B Q B B (.7) M eşitliği elde edilir. 8

29 . MATERYA ve YÖNTEM Mehmet HASKU Buradai B, B, B terimleri; i ( ) Bi d, i,, (.8) EI ( ) eşitliği ile verilir. Buradai zz B i ler den oluşan matris flesibilite matrisi olup bu matrisin tersi iinci düğüm için rijitli matrisini verecetir. Bu rijitli matrisi aşağıdai işlemler sonucunda elde edilecetir. v B B Q B B M Her ii tarafı B B B B ile çarpılırsa, Q B B v Q B B v M B B M D B B eşitliği elde edilir. Burada D, matrisin determinantı olup aşağıdai gibidir. (.9) D B. B B (.4) İi düğümlü ve her düğümünde serbestli derecesi olan basit eğilme etisindei bir iriş için 44 lü eğilme rijitli matrisi (.4) ve (.9) denlemleri ullanılara aşağıdai gibi oluşturulur. Q M Q M A D A D B B 4 A D A D B B 4 B B B D B D B 4 B 4 B D B D v (.4) v Yuarıdai eşitlite görülen ve birinci ve iinci düğüm etileşimini temsil eden, terimleri bulunmalıdır. Bu terimler uvvet ve moment dengesinden 4,, 4 elde edilebilir. Değişen esitli irişe ait serbest cisim diyagramı Şeil.8. de görülmetedir. 9

30 . MATERYA ve YÖNTEM Mehmet HASKU y M Q Q M C D Şeil.8. Kirişe ait serbest cisim diyagramı Yuarıda serbest cisim diyagramı verilen iriş üzerinde stati denge denlemleri uygulanır. Fy Q Q Q Q (.4) (.4) denlemi ullanılara Q ve Q A A Q v v D D (.4) B B 4 B B B B Q v v (.44) D D şelinde verilir. Bu ii denlemin birbirine olan eşitliği (.4) göz önüne alınırsa, B B,,4 i i i (.45) eşitliği elde edilir. Bu durumda, 4, ve4 terimleri 4 4 B D B D (.46) olara elde edilir. Rijitli matrisinin simetri olduğu bilindiğinden, 4 4 olara alınır. (.4) eşitliğindei ve4 terimleri bulunduğu tadirde

31 . MATERYA ve YÖNTEM Mehmet HASKU basit eğilme etisindei değişen esitli iriş için eğilme rijitli matrisi elde edilmiş olacatır. Şeil.8. de verilen serbest cisim diyagramında C notasına göre moment alınırsa; M M Q (.47) olur. (.4) denleminden faydalanara (.48) eşitliği elde edilir. A A B B M v v 4 D D B B B B M 4. v 4.. v. D D (.48) (.44) ve (.48) eşitlileri (.47) eşitliğinden yerine yerleştirilere aşağıdai eşitli elde edilir. A A B B B B v v v v v v D D D D D D B B B B B B A B B A B B B B B B B B v 4 4 v 4 D D D D D D (.49) B Burada 4 aşağıdai gibi elde edilir. B B B 4 (.5) D B Benzer şeilde terimini bulabilme için D notasına göre moment alınırsa; M M Q (.5) B bu eşitliten terimi; B A (.5) D olara elde edilir. (.4) eşitliği terar yazılırsa; A A B B D D D D Q A A B. B M D D D Q B B M D D B simetri D v v (4.5)

32 . MATERYA ve YÖNTEM Mehmet HASKU B K eğilme rijitli matrisi elde edilir. 44 A i ve B i denlemleri bağımsız değildir ve birbirleriyle olan eşitliği yazılırsa, B A B A A B A A A D D olara elde edilir. (.5) denlemi terar düzenlenere aşağıdai gibi elde edilir; A A A A. A A A A. A B K D A ( A. A ) simetri ( A. A. A ) (.54) (.55) Bu denlem basit eğilmeye maruz değişen esitli bir irişe ait eğilme rijitli matrisidir...5. Esenel yüe maruz değişen esitli iriş için rijitli matrisi Esenel yü altındai bir iriş elemana ait yer değiştirmeler ve ilgili yüler Şeil.9 da gösterilmiştir. y z u P u P Şeil.9. Esenel yüe maruz değişen esitli bir irişte yer değiştirmeler ile ilgili yüler Değişen esitli irişte uvvet ve yer değiştirme arasındai bağıntı yazılırsa; A A A { F } K { q } (.56) Burada; A T F P, P (.57)

33 . MATERYA ve YÖNTEM Mehmet HASKU A T q u, u (.58) ile verilir. Flesibilite metoduna göre il önce flesibite matrisi sonra da bu flesibilite matrisinin tersi alınara esenel yüe maruz değişen esitli irişe ait esenel rijitli matrisi elde edilir. y P Şeil.. Sağ tarafı sabit tutulup sol tarafına esenel yü uygulanan değişen esitli iriş Şeil. da görüldüğü gibi irişin sağ tarafı sabit tutulsun ve sol düğüme bir P uvveti uygulansın. Bu durumda şeil değiştirme enerjisi aşağıdai gibi verilir. U A( ) d (.59) Burada gerilmeyi, birim şeil değiştirmeyi ve A ( ) ise esenindei esit alanını göstermetedir. Hooe anununun E. (.6) olduğu bilinmetedir. (.6) denlemi (.59) eşitliğinde yerine yerleştirilirse; U A ( ) d (.6) E elde edilir. Gerilme, nın denlemi P A ( ) (.6) olduğu bilinmetedir. Elde edilen bu eşitli (.6) eşitliğinde yerine yazılırsa, şeil değiştirme enerjisi; U P d (.6) A( ) E olara elde edilir.

34 . MATERYA ve YÖNTEM Mehmet HASKU Castigliano nun iinci teoremine göre, uygulanan P uvveti yönünde u yer değiştirmesi; du P u dp d (.64) A( ) E olara elde edilir. Burada; C d A( E ) ile gösterilir ve (.64) denlemi terar düzenlenirse; (.65) u PC (.66) eşitliğine ulaşılır. Uygulanan P uvveti ile ilgili yer değiştirme u arasındai bağıntıyı bulma için yuarıda verilen yönteme benzer olara irişin sol tarafını sabitleyip sağ tarafa P uvveti uygulansın. y P Şeil.. Sol tarafı sabit tutulup sağ tarafına esenel yü uygulanan değişen esitli iriş Üstte verilen ısımda uygulanan işlemler iinci düğüme de uygulanır ve şeil değiştirme enerjisi terar yazılırsa; U P d (.67) A( ) E elde edilir. Castigliano nun iinci teoremi uygulanara P uvveti ile u yer değiştirmesi ile arasındai bağıntı; 4

35 . MATERYA ve YÖNTEM Mehmet HASKU u du P dp d (.68) A( ) E olara elde edilir. (.65) eşitliğinden faydalanılara (.68) eşitliği aşağıdai gibi verilebilir. u P C (.69) (.66) ve (.69) eşitlileri matris formatında yazılırsa; u P C C u P eşitliği elde edilir. Burada P ve P esenel yüleri; P u C P u C olara elde edilir. (.7) eşitliği matris formatında aşağıdai gibi verilir. P C u P u C (.7) (.7) (.7) Eşitliten görüldüğü üzere ve bulunmuş olup ve değerleri aşağıdai gibi bulunur. y P P Şeil.. Esenel yüe maruz değişen esitli iriş Şeil. den yararlanara denge denlemi yazılırsa; F P P P P (.7) 5

36 . MATERYA ve YÖNTEM Mehmet HASKU (.7) denlemine göre P ve P yazılsın. P u u C P u u C Bu eşitliten faydalanılara ve ; (.74) (.75) C olara elde edilir. Elde edilen rijitli terimleri matris formatında; P u P C u olara elde edilir. Buna göre esenel rijitli matrisi aşağıdai gibi verilebilir. K A C (.76) (.77) Bu ısımda basit eğilmeye ve esenel yülemeye maruz irişlere ait eğilme ve esenel rijitli matrisleri elde edilmiştir. Daha sonrai ısımlarda bu matrislerden faydalanara; genişliği, alınlığı ve genişliği ile alınlığı doğrusal değişen, değişen esitli irişlere ait rijitli matrisleri elde edilecetir. Bu irişlere ait ütle matrisleri de ayrıca elde edilecetir...6. Genişliği doğrusal değişen bir iriş eleman için rijitli matrisi gösterilmiştir. Şeil.. te genişliği eseni boyunca doğrusal değişen bir iriş y W W t t Şeil.. Genişliği doğrusal değişen değişen esitli iriş z 6

37 . MATERYA ve YÖNTEM Mehmet HASKU Bu irişin üstten görünüşü Şeil.4. te ayrıca görülmetedir. Burada W ve W, irişin sırası ile sol ve sağ uçtai genişliğini göstermetedir. m W A n A W q A Şeil.4. Genişliği doğrusal değişen irişin üstten görünümü Kirişe ait genişli değişen olduğundan, esit alanı e bağlı olacatır. Kesit alanı eseni boyunca doğrusal olara değişen irişin alınlığı (t) sabit olup genişliği doğrusal bir şeilde değişmetedir. Öncei ısımda rijitli terimlerinin elde edilmesi için A() ifadesinin elde edilmesi geretiği belirtilmişti. Genişliği doğrusal değişen irişe ait herhangi bir mesafesine ait esit alanı A() aşağıdai gibi bulunur. A W. t (.78) A W. t Burada A sol uçtai A ise sağ uçtai esit alanlarıdır. Kalınlı; A W t (.79) olara verilebilir. mesafedei esit alanı Şeil.4. de görüleceği üzere A( ) mq. t (.8) olara bulunabilir. mq uzunluğu; mq mn W (.8) ile verilebilir. Buradai mn mesafesi benzerliten; mn / W W mn W W (.8) 7

38 . MATERYA ve YÖNTEM Mehmet HASKU olara elde edilir. (.8) denlemi (.8) denleminde yerine yazılırsa, mq; mq ( W W ).( ) W (.8) olara elde edilir. (.79) ve (.8) denlemleri (.8) eşitliğinde yerine yerleştirilere A() esit alanı aşağıdai gibi elde edilir. W W A ( ) A W (.84) W W W oranı aşağıdai gibi gösterilsin. W W W Sol uçtan mesafedei EI z () ve EA() değerleri aşağıdai gibi verilir. zz EI EI zz (.85) (.86) EA( ) EA (.87) Burada I zz ve A değerleri sırasıyla sol uçtai alan atalet momentini ve esit alanını göstermetedir. (.55) ve (.77) eğilme ve esenel rijitli matrislerinin bulunabilmesi için A, C D A, D A, D terimlerinin elde edilmesi gerelidir. Bunun için (.86) ve (.87) eşitlileri (.), (.5) ve (.65). eşitlilerinde yerine yazılırsa; EA C ln( ) (.88) A D EI zz ln( ) ( )ln( ) (.89) A D EI zz ( ln( )) ( )ln( ) (.9) A D elde edilir. EI zz ln( ) ( ) ( )ln( ) (.9) 8

39 . MATERYA ve YÖNTEM Mehmet HASKU (.55) ve (.77) eğilme ve esenel rijitli matrisleri birleştirilirse aşağıdai eşitli elde edilir. A A B B B B 4 B B B B 4 K A A (.9) B B B B 4 B B B B (.88.9) eşitlilerinde bulunan değerler (.9) de yerine yazılıp terar düzenlenere aşağıdai matris elde edilir. C C A A A A A D D D D A A A A A D D D D K C C A A A A A D D D D A A A A A A A A A D D D D 66 (.9) Elde edilen bu matris genişliği doğrusal değişen iriş için rijitli matrisini temsil etmetedir. Genişliği doğrusal değişen bir irişe ait serbest titreşim analizini yapabilme için rijitli matrisinin yanında ütle matrisinin de bulunması geremetedir...7. Genişliği doğrusal değişen bir iriş eleman için ütle matrisi Burada elde edilece ütle matrisi esenel ve eğilme ütle matrisi olara ii ısımdan oluşmatadır. Esenel ütle matrisi aşağıdai eşitlite bulunabilir (Friedman and Kosmata, 99). 9

40 . MATERYA ve YÖNTEM Mehmet HASKU A T m N N A d (.94) Burada, A, ve N değerleri sırasıyla yoğunlu, sol uçtai esit alanı ve şeil fonsiyonunu göstermetedir. mesafesindei esit alanı aşağıdai gibidir. A A (.95) Şeil fonsiyonu matris formatında olup N değerleri aşağıdai gibidir (Friedman and Kosmata, 99). N N N N N N değerleri yerine yerleştirilere aşağıdai gibi elde edilir. (.96) N (.97) (.97) ile verilen şeil fonsiyonları matrisinin transpozesi aşağıdai gibi alınır. N T (.97) ve (.98) eşitlileri (.94) eşitliğinde yerine onursa, esenel ütle matrisi; m A m A (.98) Ad (.99) A A 4 A A 4 (.) olara elde edilir. Elde edilen bu matris boyutunda olup esenel yü yönünde meydana gelen ütle matrisini oluşturmatadır.

41 . MATERYA ve YÖNTEM Mehmet HASKU Esenel ütle matrisi bulundutan sonra, eğilme ütle matrisi de elde edilmelidir. Bu matrise ait eşitli aşağıdai gibidir (Friedman and Kosmata, 99). B T m f f A d (.) f i şeil fonsiyonları olup matris formatında; 4 f f f f f (.) ile verilir. Buradai f değerleri aşağıda verilmiştir (Friedman and Kosmata, 99). f (.) (.) eşitliğinden faydalanara eğilme ütle matrisini oluşturma için şeil fonsiyonlarının transpozesi geremete olup bu matris aşağıdai gibi oluşturulur. f T (.4) (.) ve (.4) eşitlileri (.) eşitliğinde yerine onulup denlem düzenlenirse, eğilme ütle matrisi; B A A A A A A A m A A Simetri A (.5) olara elde edilir. Burada, A ve terimleri

42 . MATERYA ve YÖNTEM Mehmet HASKU A tw W W W olara verilmetedir. (.6) (.) ve (.5) eşitlileri ile elde edilen esenel ve eğilme ütle matrisleri serbestli derecelerine uygun olara birleştirilirse ii düğümlü, her düğümde üç serbestli derecesi bulunan genişliği doğrusal değişen irişe ait ütle matrisi simgesel olara aşağıdai gibi elde edilir. M m m m A A B B B B m m m m4 B B B B m m m m 4 A A m B B B B m m m m 4 B B B B m4 m4 m4 m (.7) Değişen esitli bir iriş eleman için sistem matrisleri olan rijitli ve ütle matrisleri bu bölümde verilen eşitliler yardımıyla elde edilditen sonra, titreşim analizi uygun bir yöntemle yapılır...8. Kalınlığı doğrusal değişen bir iriş eleman için rijitli matrisi Bu ısımda Şeil.5 te görülen genişliği sabit alınlığı doğrusal değişen bir iriş incelenecetir. y W W z t t Şeil.5. Kalınlığı doğrusal değişen değişen esitli iriş

43 . MATERYA ve YÖNTEM Mehmet HASKU Sol uçtan mesafesindei esite ait EI zz () ve EA() değerleri aşağıdai gibidir. EI zz ( ) EI zz (.8) EA( ) Burada, terimi; olara verilir. EA t t t (.9) (.) Kalınlığı doğrusal değişen bir iriş elemana ait esenel rijitli atsayısı (/ C ) genişliği doğrusal değişen bir iriş için elde edilen değere eşittir. Yani EA C ln( ) olacatır. Kalınlığı değişen bir irişe ait A A, D D terimlerinin bulunması geremetedir. (.8) ve (.9) eşitlileri (.) ve (.4) eşitlilerine yerleştirilirse; A, D A D EI zz ( ) ( )ln( ) (.) A D EI zz ( )ln( ) (.) A D EI zz ( ) ( ln( ) ( )ln( ) ) (.) olara elde edilir. Bulunan bu değerler (.9) eşitliğinde yerine yazılara alınlığı değişen bir irişe ait rijitli matrisi aşağıdai gibi elde edilir.

Ders 2 : MATLAB ile Matris İşlemleri

Ders 2 : MATLAB ile Matris İşlemleri Ders : MATLAB ile Matris İşlemleri Kapsam Vetörlerin ve matrislerin tanıtılması Vetör ve matris operasyonları Lineer denlem taımlarının çözümü Vetörler Vetörler te boyutlu sayı dizileridir. Elemanlarının

Detaylı

Malzeme Bağıyla Konstrüksiyon

Malzeme Bağıyla Konstrüksiyon Shigley s Mechanical Engineering Design Richard G. Budynas and J. Keith Nisbett Malzeme Bağıyla Konstrüsiyon Hazırlayan Prof. Dr. Mehmet Fırat Maine Mühendisliği Bölümü Saarya Üniversitesi Çözülemeyen

Detaylı

MAK341 MAKİNA ELEMANLARI I 2. Yarıyıl içi imtihanı 24/04/2012 Müddet: 90 dakika Ögretim Üyesi: Prof.Dr. Hikmet Kocabas, Doç.Dr.

MAK341 MAKİNA ELEMANLARI I 2. Yarıyıl içi imtihanı 24/04/2012 Müddet: 90 dakika Ögretim Üyesi: Prof.Dr. Hikmet Kocabas, Doç.Dr. MAK3 MAKİNA EEMANARI I. Yarıyıl içi imtihanı /0/0 Müddet: 90 daia Ögretim Üyesi: Prof.Dr. Himet Kocabas, Doç.Dr. Cemal Bayara. (0 puan) Sıı geçmelerde sürtünme orozyonu nasıl ve neden meydana gelir? Geçmeye

Detaylı

BİR FONKSİYONUN FOURİER SERİSİNE AÇILIMI:

BİR FONKSİYONUN FOURİER SERİSİNE AÇILIMI: FOURIER SERİERİ GİRİŞ Elastisite probleminin çözümünde en büyü zorlu sınır şartlarının sağlatılmasındadır. Bu zorluğu gidermenin yollarından biride sınır yülerini Fourier serilerine açmatır. Fourier serilerinin

Detaylı

MATRİS DEPLASMAN YÖNTEMİ

MATRİS DEPLASMAN YÖNTEMİ SAARYA ÜNİVERSİTESİ M İNŞAAT MÜHENİSİĞİ BÖÜMÜ epartment of Civil Engineering İNM YAI STATIĞI II MATRİS EASMAN YÖNTEMİ Y.OÇ.R. MUSTAA UTANİS tanis@saarya.ed.tr Saarya Üniversitesi, İnşaat Mühendisliği Bölümü

Detaylı

Düzce Üniversitesi Bilim ve Teknoloji Dergisi

Düzce Üniversitesi Bilim ve Teknoloji Dergisi Düzce Üniversitesi Bilim ve Tenoloji Dergisi, 3 (2015) 414-431 Düzce Üniversitesi Bilim ve Tenoloji Dergisi Araştırma Maalesi Moment Taşıyan Çeli Çerçeveli Sistemlerin Titreşim Periyotları ve Deprem Yülerinin

Detaylı

Dönmeye Karşı Kontrol Altına Alınmış Basit Mesnetli Çubukların Stoke Dönüşümü Yardımıyla Burkulma Analizi

Dönmeye Karşı Kontrol Altına Alınmış Basit Mesnetli Çubukların Stoke Dönüşümü Yardımıyla Burkulma Analizi XIX. UUSA MEKANİK KONGRESİ 4-8 Ağustos 15, Karadeni Teni Üniversitesi, Trabon Dönmeye Karşı Kontrol Altına Alınmış Basit Mesnetli Çubuların Stoe Dönüşümü Yardımıyla Burulma Analii M. Öür YAYI 1, A. Erdem

Detaylı

ile plakalarda biriken yük Q arasındaki ilişkiyi bulmak, bu ilişkiyi kullanarak boşluğun elektrik geçirgenlik sabiti ε

ile plakalarda biriken yük Q arasındaki ilişkiyi bulmak, bu ilişkiyi kullanarak boşluğun elektrik geçirgenlik sabiti ε Farlı Malzemelerin Dieletri Sabiti maç Bu deneyde, ondansatörün plaalarına uygulanan gerilim U ile plaalarda birien yü Q arasındai ilişiyi bulma, bu ilişiyi ullanara luğun eletri geçirgenli sabiti ı belirleme,

Detaylı

DEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ FEN ve MÜHENDİSLİK DERGİSİ Cilt: 5 Sayı: 1 sh. 89-101 Ocak 2003

DEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ FEN ve MÜHENDİSLİK DERGİSİ Cilt: 5 Sayı: 1 sh. 89-101 Ocak 2003 DEÜ MÜENDİSLİK FAKÜLTESİ FEN ve MÜENDİSLİK DERGİSİ Cilt: 5 Sayı: 1 sh. 89-101 Oca 00 PERDE ÇERÇEVELİ YAPILARDA a m PERDE KATKI KATSAYISININ DİFERANSİYEL DENKLEM YÖNTEMİ İLE BULUNMASI VE GELİŞTİRİLEN BİLGİSAYAR

Detaylı

Bu deneyin amacı Ayrık Fourier Dönüşümü (DFT) ve Hızlu Fourier Dönüşümünün (FFT) tanıtılmasıdır.

Bu deneyin amacı Ayrık Fourier Dönüşümü (DFT) ve Hızlu Fourier Dönüşümünün (FFT) tanıtılmasıdır. Deney : Ayrı Fourier Dönüşümü (DFT) & Hızlı Fourier Dönüşümü (FFT) Amaç Bu deneyin amacı Ayrı Fourier Dönüşümü (DFT) ve Hızlu Fourier Dönüşümünün (FFT) tanıtılmasıdır. Giriş Bir öncei deneyde ayrı-zamanlı

Detaylı

Kompozit Malzemeler ve Mekaniği. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Kompozit Malzemeler ve Mekaniği. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Kompozit Malzemeler ve Mekaniği Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 4 Laminatların Makromekanik Analizi Kaynak: Kompozit Malzeme Mekaniği, Autar K. Kaw, Çevirenler: B. Okutan Baba, R. Karakuzu. 4 Laminatların

Detaylı

VİNÇTE ÇELİK KONSTRÜKSİYON

VİNÇTE ÇELİK KONSTRÜKSİYON 01 Mayıs VİNÇTE ÇELİK KONSTRÜKSİYON KİRİŞTE BURUŞMA 1-03 Güven KUTAY Semboller ve Kaynalar için "1_00_CeliKonstrusiyonaGiris.doc" a baınız. Koordinat esenleri "GENEL GİRİŞ" de belirtildiği gibi DIN 18800

Detaylı

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 10 Eylemsizlik Momentleri Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C.Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 10. Eylemsizlik Momentleri

Detaylı

Kompozit Malzemeler ve Mekaniği. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Kompozit Malzemeler ve Mekaniği. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Kompozit Malzemeler ve Mekaniği Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 4 Laminatların Makromekanik Analizi Kaynak: Kompozit Malzeme Mekaniği, Autar K. Kaw, Çevirenler: B. Okutan Baba, R. Karakuzu. 4 Laminatların

Detaylı

EÜFBED - Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi Cilt-Sayı: 3-2 Yıl: 2010 199-206

EÜFBED - Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi Cilt-Sayı: 3-2 Yıl: 2010 199-206 99 EÜFBED - Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi Cilt-Sayı: 3- Yıl: 99-6 İKİNCİ MERTEBEDEN BİR DİFERENSİYEL DENKLEM SINIFI İÇİN BAŞLANGIÇ DEĞER PROBLEMİNİN DİFERENSİYEL DÖNÜŞÜM YÖNTEMİ İLE TAM ÇÖZÜMLERİ THE

Detaylı

KAYMA GERİLMESİ (ENİNE KESME)

KAYMA GERİLMESİ (ENİNE KESME) KAYMA GERİLMESİ (ENİNE KESME) Demir yolu traversleri çok büyük kesme yüklerini taşıyan kiriş olarak davranır. Bu durumda, eğer traversler ahşap malzemedense kesme kuvvetinin en büyük olduğu uçlarından

Detaylı

GÜNEŞ ENERJİSİ SİSTEMLERİNDE KANATÇIK YÜZEYİNDEKİ SICAKLIK DAĞILIMININ SONLU FARKLAR METODU İLE ANALİZİ

GÜNEŞ ENERJİSİ SİSTEMLERİNDE KANATÇIK YÜZEYİNDEKİ SICAKLIK DAĞILIMININ SONLU FARKLAR METODU İLE ANALİZİ TEKNOLOJİ, Cilt 7, (2004), Sayı 3, 407-414 TEKNOLOJİ GÜNEŞ ENERJİSİ SİSTEMLERİNDE KANATÇIK YÜZEYİNDEKİ SICAKLIK DAĞILIMININ SONLU FARKLAR METODU İLE ANALİZİ ÖZET Himet DOĞAN Mustafa AKTAŞ Tayfun MENLİK

Detaylı

Kollektif Risk Modellemesinde Panjér Yöntemi

Kollektif Risk Modellemesinde Panjér Yöntemi Douz Eylül Üniversitesi İtisadi ve İdari Bilimler Faültesi Dergisi, Cilt:6, Sayı:, Yıl:, ss.39-49. olletif Ris Modellemesinde anér Yöntemi ervin BAYAN İRVEN Güçan YAAR Özet Hayat dışı sigortalarda, olletif

Detaylı

DEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ FEN ve MÜHENDİSLİK DERGİSİ Cilt: 5 Sayı: 2 sh. 27-35 Mayıs 2003

DEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ FEN ve MÜHENDİSLİK DERGİSİ Cilt: 5 Sayı: 2 sh. 27-35 Mayıs 2003 DEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ FEN ve MÜHENDİSLİK DERGİSİ Cilt: 5 Sayı: sh. 7-35 Mayıs 003 FATURALI CTP LEVHALARDA GERİLME KONSANTRASYONUNUN ARAŞTIRILMASI (AN INVESTIGATION OF STRESS CONCENTRATION IN FILLETED

Detaylı

TEK SERBESTLİK DERECELİ TİTREŞİM SİSTEMİNİN LAGUERRE POLİNOMLARI İLE MATRİS ÇÖZÜMÜ

TEK SERBESTLİK DERECELİ TİTREŞİM SİSTEMİNİN LAGUERRE POLİNOMLARI İLE MATRİS ÇÖZÜMÜ EK SERBESLİK DERECELİ İREŞİM SİSEMİNİN LAGUERRE POLİNOMLARI İLE MARİS ÇÖZÜMÜ Mehmet ÇEVİK a, Nurcan BAYKUŞ b a Celal Bayar Üniversitesi Maine Mühendisliği Bölümü, Muradiye 454, Manisa. b Douz Eylül Üniversitesi,

Detaylı

Tremalarla Oluşum: Kenar uzunluğu 1 olan bir eşkenar üçgenle başlayalım. Bu üçgene S 0

Tremalarla Oluşum: Kenar uzunluğu 1 olan bir eşkenar üçgenle başlayalım. Bu üçgene S 0 SİERPİNSKİ ÜÇGENİ Polonyalı matematiçi Waclaw Sierpinsi (1882-1969) yılında Sierpinsi üçgeni veya Sierpinsi şapası denilen bir fratal tanıttı. Sierpinsi üçgeni fratalların il örneğidir ve tremalarla oluşturulur.

Detaylı

ONDOKUZ MAYIS ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ KİMYA MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ KMB 405 KİMYA MÜHENDİSLİĞİ LABORATUVARI - 3

ONDOKUZ MAYIS ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ KİMYA MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ KMB 405 KİMYA MÜHENDİSLİĞİ LABORATUVARI - 3 ONOKUZ MAYIS ÜNİVERSİESİ MÜHENİSLİK FAKÜLESİ KİMYA MÜHENİSLİĞİ BÖLÜMÜ KMB 405 KİMYA MÜHENİSLİĞİ LABORAUVARI - 3 ENEY 5: KABUK ÜP ISI EĞİŞİRİCİ ENEYİ (SHALL AN UBE HEA EXCHANGER) EORİ ISI RANSFERİ Isı,

Detaylı

2. TRANSFORMATÖRLER. 2.1 Temel Bilgiler

2. TRANSFORMATÖRLER. 2.1 Temel Bilgiler . TRANSFORMATÖRLER. Temel Bilgiler Transformatörlerde hareet olmadığından dolayı sürtünme ve rüzgar ayıpları mevcut değildir. Dolayısıyla transformatörler, verimi en yüse (%99 - %99.5) olan eletri maineleridir.

Detaylı

SAÜ Fen Edebiyat Dergisi (2009-II) ÜÇ BOYUTLU LORENTZ UZAYI MANNHEİM EĞRİ ÇİFTİ ÜZERİNE A. ZEYNEP AZAK

SAÜ Fen Edebiyat Dergisi (2009-II) ÜÇ BOYUTLU LORENTZ UZAYI MANNHEİM EĞRİ ÇİFTİ ÜZERİNE A. ZEYNEP AZAK SAÜ Fen Edebiyat Dergisi (009-II) ÜÇ BOYUTLU LORENTZ UZAYI L DE TIMELIKE MANNHEİM EĞRİ ÇİFTİ ÜZERİNE A. ZEYNEP AZAK Saarya Üniversitesi, Fen-Edebiyat Faültesi Matemati Bölümü, 5487, SAKARYA apirdal@saarya.edu.tr

Detaylı

0, , ,303 7,8057 2, , ,265 7,7504 0, ,305 7,7504 0, ,291 7,7504 1,

0, , ,303 7,8057 2, , ,265 7,7504 0, ,305 7,7504 0, ,291 7,7504 1, olur. Çeşitli malzemelerin E, G ve υ değerleri Cetvel 1.1 de verilmiştir. Malzemelerde ortalama bir değer G = 0,384 E ve υ = 0,3 olara abul edilir. b. Elastili sınırı E : Malzemenin elasti özelliğinin

Detaylı

SERVOVALF VE HİDROLİK SİSTEMDEN OLUŞAN ELEKTROHİDROLİK BİR DÜMEN SİSTEMİNİN KONUM KONTROLÜ

SERVOVALF VE HİDROLİK SİSTEMDEN OLUŞAN ELEKTROHİDROLİK BİR DÜMEN SİSTEMİNİN KONUM KONTROLÜ GEMİ İNŞAATI VE DENİZ TEKNOLOJİSİ TEKNİK KONGRESİ 08 BİLDİRİLER KİTABI SERVOVALF VE HİDROLİK SİSTEMDEN OLUŞAN ELEKTROHİDROLİK BİR DÜMEN SİSTEMİNİN KONUM KONTROLÜ Fevzi ŞENLİTÜRK, Fuat ALARÇİN ÖZET Bu çalışmada

Detaylı

R d N 1 N 2 N 3 N 4 /2 /2

R d N 1 N 2 N 3 N 4 /2 /2 . SÜREKLİ TEELLER. Giriş Kolon yüklerinin büyük ve iki kolonun birbirine yakın olmasından dolayı yapılacak tekil temellerin çakışması halinde veya arsa sınırındaki kolon için eksantrik yüklü tekil temel

Detaylı

Hızlı Ağırlık Belirleme İçin Yük Hücresi İşaretlerinin İşlenmesi

Hızlı Ağırlık Belirleme İçin Yük Hücresi İşaretlerinin İşlenmesi Gazi Üniversitesi Fen Bilimleri Dergisi Part:C, Tasarım Ve Tenoloji GU J Sci Part:C 4(3):97-102 (2016) Hızlı Ağırlı Belirleme İçin Yü Hücresi İşaretlerinin İşlenmesi Zehan KESİLMİŞ 1,, Tarı BARAN 2 1 Osmaniye

Detaylı

Kirişlerde Kesme (Transverse Shear)

Kirişlerde Kesme (Transverse Shear) Kirişlerde Kesme (Transverse Shear) Bu bölümde, doğrusal, prizmatik, homojen ve lineer elastik davranan bir elemanın eksenine dik doğrultuda yüklerin etkimesi durumunda en kesitinde oluşan kesme gerilmeleri

Detaylı

KONTROL SİSTEMLERİ YIL İÇİ UYGULAMA. Problem No

KONTROL SİSTEMLERİ YIL İÇİ UYGULAMA. Problem No KONTRO SİSTEMERİ YI İÇİ UYGUAMA Problem No AD SOYAD 10 haneli öğrenci NO Şeil 1 Şeil 1 dei sistem için transfer fonsiyonunu bulalım. Sistem ii serbestli derecesine sahiptir.her bir ütle diğerinin sabit

Detaylı

KİNETİK MODELLERDE OPTİMUM PARAMETRE BELİRLEME İÇİN BİR YAZILIM: PARES

KİNETİK MODELLERDE OPTİMUM PARAMETRE BELİRLEME İÇİN BİR YAZILIM: PARES KİNETİK MODELLERDE OPTİMUM PARAMETRE BELİRLEME İÇİN BİR YAZILIM: PARES Mehmet YÜCEER, İlnur ATASOY, Rıdvan BERBER Anara Üniversitesi Mühendisli Faültesi Kimya Mühendisliği Bölümü Tandoğan- 0600 Anara (berber@eng.anara.edu.tr)

Detaylı

Açık işletme Dizaynı için Uç Boyutlu Dinamik Programlama Tekniği

Açık işletme Dizaynı için Uç Boyutlu Dinamik Programlama Tekniği MADENCİLİK Haziran June 1991 Cilt Volume XXX Sayı No 2 Açı işletme Dizaynı için Uç Boyutlu Dinami Programlama Teniği A Three Dimensional Dynamic Programming Technique for Open Pit Design Ercüment YALÇE\(*)

Detaylı

Tablo 1 Deney esnasında kullanacağımız numunelere ait elastisite modülleri tablosu

Tablo 1 Deney esnasında kullanacağımız numunelere ait elastisite modülleri tablosu BASİT MESNETLİ KİRİŞTE SEHİM DENEYİ Deneyin Amacı Farklı malzeme ve kalınlığa sahip kirişlerin uygulanan yükün kirişin eğilme miktarına oranı olan rijitlik değerin değişik olduğunun gösterilmesi. Kiriş

Detaylı

Cahit Arf Liseler Arası Matematik Yarışması 2008

Cahit Arf Liseler Arası Matematik Yarışması 2008 Cahit Arf Liseler Arası Matemati Yarışması 2008 İinci Aşama 11 Mayıs 2008 Notlar: Birnci tasla. 1. Tamsayılardan gerçel sayılara tanımlı fonsiyonlar ümesi üzerinde şöyle bir operatörü tanımlayalım: f(x)

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 5- SONLU FARKLAR VE İNTERPOLASYON TEKNİKLERİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ MAK 210 - Sayısal Analiz 1 İNTERPOLASYON Tablo halinde verilen hassas sayısal değerler veya ayrık noktalardan

Detaylı

PI KONTROLÖR TASARIMI ÖDEVİ

PI KONTROLÖR TASARIMI ÖDEVİ PI ONTROLÖR TASARIMI ÖDEVİ ONTROLÖR İLE TASARIM ontrolör Taarım riterleri Taarım riterleri genellile itemine yapmaı geretiğini belirtme ve naıl yaptığını değerlendirme için ullanılır. Bu riterler her bir

Detaylı

MIXED REGRESYON TAHMİN EDİCİLERİNİN KARŞILAŞTIRILMASI. The Comparisions of Mixed Regression Estimators *

MIXED REGRESYON TAHMİN EDİCİLERİNİN KARŞILAŞTIRILMASI. The Comparisions of Mixed Regression Estimators * MIXED EGESYON TAHMİN EDİCİLEİNİN KAŞILAŞTIILMASI The Comparisions o Mixed egression Estimators * Sevgi AKGÜNEŞ KESTİ Ç.Ü.Fen Bilimleri Enstitüsü Matemati Anabilim Dalı Selahattin KAÇIANLA Ç.Ü.Fen Edebiyat

Detaylı

ELASTİSİTE TEORİSİ I. Yrd. Doç Dr. Eray Arslan

ELASTİSİTE TEORİSİ I. Yrd. Doç Dr. Eray Arslan ELASTİSİTE TEORİSİ I Yrd. Doç Dr. Eray Arslan Mühendislik Tasarımı Genel Senaryo Analitik çözüm Fiziksel Problem Matematiksel model Diferansiyel Denklem Problem ile ilgili sorular:... Deformasyon ne kadar

Detaylı

SEM2015 programı kullanımı

SEM2015 programı kullanımı SEM2015 programı kullanımı Basit Kuvvet metodu kullanılarak yazılmış, öğretim amaçlı, basit bir sonlu elemanlar statik analiz programdır. Çözebileceği sistemler: Düzlem/uzay kafes: Evet Düzlem/uzay çerçeve:

Detaylı

RASGELE SÜREÇLER. Bir X rasgele değişkenin, a ve b arasında tekdüze dağılımlı olabilmesi için olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi olmalıdır.

RASGELE SÜREÇLER. Bir X rasgele değişkenin, a ve b arasında tekdüze dağılımlı olabilmesi için olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi olmalıdır. RASGELE SÜREÇLER Eğer bir büyülüğün her t anında alacağı değeri te bir şeilde belirleyen matematisel bir ifade verilebilirse bu büyülüğün deterministi bir büyülü olduğu söylenebilir. Haberleşmeden habere

Detaylı

5. RITZ metodunun elemana uygulanması, elemanın rijitlik matrisi

5. RITZ metodunun elemana uygulanması, elemanın rijitlik matrisi 5. RITZ metodunun elemana uygulanması, elemanın rijitlik matrisi u bölümde RITZ metodu eleman bazında uygulanacak, elemanın yer değiştirme fonksiyonu, şekil değiştirme, gerilme bağıntıları, toplam potansiyeli,

Detaylı

Basitleştirilmiş Kalman Filtresi ile Titreşimli Ortamda Sıvı Seviyesinin Ölçülmesi

Basitleştirilmiş Kalman Filtresi ile Titreşimli Ortamda Sıvı Seviyesinin Ölçülmesi Basitleştirilmiş Kalman Filtresi ile Titreşimli Ortamda Sıvı Seviyesinin Ölçülmesi M. Ozan AKI Yrd.Doç Dr. Erdem UÇAR ABSTRACT: Bu çalışmada, sıvıların seviye ölçümünde dalgalanmalardan aynalı meydana

Detaylı

İstatistikçiler Dergisi

İstatistikçiler Dergisi www.istatisticiler.org İstatistiçiler Dergisi (008) 68-79 İstatistiçiler Dergisi BAĞIMLI RİSKLER İÇİ TOPLAM HASAR MİKTARII DAĞILIMI Mehmet PIRILDAK Hacettepe Üniversitesi Fen Faültesi, Atüerya Bilimleri

Detaylı

YAPI STATİĞİ II (Hiperstatik Sistemler) Yrd. Doç. Dr. Selçuk KAÇIN

YAPI STATİĞİ II (Hiperstatik Sistemler) Yrd. Doç. Dr. Selçuk KAÇIN YAPI STATİĞİ II (Hiperstatik Sistemler) Yrd. Doç. Dr. Selçuk KAÇIN Yapı Sistemleri: İzostatik (Statikçe Belirli) Sistemler : Bir sistemin tüm kesit tesirlerini (iç kuvvetlerini) ve mesnet reaksiyonlarını

Detaylı

ÇALIŞMA ŞARTLARINDA MODAL ANALİZ

ÇALIŞMA ŞARTLARINDA MODAL ANALİZ İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ÇALIŞMA ŞARTLARINDA MODAL ANALİZ YÜKSEK LİSANS TEZİ Y. Müh. Ales KUYUMCUOĞLU Anabilim Dalı: Meatroni Mühendisliği Programı: Meatroni Mühendisliği HAZİRAN

Detaylı

EKSENEL YÜKLERDEN OLUŞAN GERILME VE ŞEKİL DEĞİŞİMİ Eksenel yüklü elemanlarda meydana gelen normal gerilmelerin nasıl hesaplanacağı daha önce ele

EKSENEL YÜKLERDEN OLUŞAN GERILME VE ŞEKİL DEĞİŞİMİ Eksenel yüklü elemanlarda meydana gelen normal gerilmelerin nasıl hesaplanacağı daha önce ele EKSENEL YÜKLERDEN OLUŞAN GERILME VE ŞEKİL DEĞİŞİMİ Eksenel yüklü elemanlarda meydana gelen normal gerilmelerin nasıl hesaplanacağı daha önce ele alınmıştı. Bu bölümde ise, eksenel yüklü elemanların şekil

Detaylı

AÇI YÖNTEMİ Slope-deflection Method

AÇI YÖNTEMİ Slope-deflection Method SAKARYA ÜNİVERSİTESİ İNŞAAT ÜHENDİSLİĞİ BÖLÜÜ Department of Civil Engineering İN 303 YAPI STATIĞI II AÇI YÖNTEİ Slope-deflection ethod Y.DOÇ.DR. USTAA KUTANİS kutanis@sakarya.edu.tr Sakarya Üniversitesi,

Detaylı

28/5/2009 TARİHLİ VE 2108/30 SAYILI KURUL KARARI 11 HAZİRAN 2009 TARİHLİ VE 27255 SAYILI RESMİ GAZETEDE YAYIMLANMIŞTIR.

28/5/2009 TARİHLİ VE 2108/30 SAYILI KURUL KARARI 11 HAZİRAN 2009 TARİHLİ VE 27255 SAYILI RESMİ GAZETEDE YAYIMLANMIŞTIR. 28/5/2009 TARİHLİ VE 2108/30 SAYILI KURUL KARARI 11 HAZİRAN 2009 TARİHLİ VE 27255 SAYILI RESMİ GAZETEDE YAYIMLANMIŞTIR. Enerji Piyasası Düzenleme Kurumundan: ELEKTRĠK PĠYASASI DENGELEME VE UZLAġTIRMA YÖNETMELĠĞĠ

Detaylı

Saf Eğilme(Pure Bending)

Saf Eğilme(Pure Bending) Saf Eğilme(Pure Bending) Saf Eğilme (Pure Bending) Bu bölümde doğrusal, prizmatik, homojen bir elemanın eğilme etkisi altındaki şekil değiştirmesini/ deformasyonları incelenecek. Burada çıkarılacak formüller

Detaylı

Doç. Dr. Muhammet Cerit Öğretim Üyesi Makine Mühendisliği Bölümü (Mekanik Ana Bilim Dalı) Elektronik posta ( ):

Doç. Dr. Muhammet Cerit Öğretim Üyesi Makine Mühendisliği Bölümü (Mekanik Ana Bilim Dalı) Elektronik posta ( ): Tanışma ve İletişim... Doç. Dr. Muhammet Cerit Öğretim Üyesi Makine Mühendisliği Bölümü (Mekanik Ana Bilim Dalı) Elektronik posta (e-mail): mcerit@sakarya.edu.tr Öğrenci Başarısı Değerlendirme... Öğrencinin

Detaylı

FARKLI YAPIM SİSTEMLERİ VE KONUT MALİYETLERİ

FARKLI YAPIM SİSTEMLERİ VE KONUT MALİYETLERİ FARKLI YAPIM SİSTEMLERİ VE KONUT MALİYETLERİ ESRA BOSTANCIOĞLU 1, EMEL DÜZGÜN BİRER 2 ÖZET Bir binanın fonsiyon ve performansının değerlendirilmesinde; diğerlerinin yanında maliyet önemli bir parametredir.

Detaylı

ELEKTRİK GÜÇ SİSTEMLERİNDE SALINIM DİNAMİKLERİNİN KAOTİK OLAYLARININ İNCELENMESİ

ELEKTRİK GÜÇ SİSTEMLERİNDE SALINIM DİNAMİKLERİNİN KAOTİK OLAYLARININ İNCELENMESİ ELEKTRİK GÜÇ SİSTEMLERİNDE SALINIM DİNAMİKLERİNİN KAOTİK OLAYLARININ İNCELENMESİ Yılmaz Uyaroğlu M. Ali Yalçın Saarya Üniversitesi, Mühendisli Faültesi, Eletri Eletroni Mühendisliği Bölümü, Esentepe Kampüsü,

Detaylı

R 1Y kn R 1X R 1Z R 4Y R 3Y 4 R 4X R 3Z R 3X R 4Z. -90 kn. 80 kn 80 kn R 1Y =10 R 1X =-10 R 4Y =10 R 1Z =0 R 3Y =70 4 R 3X =-70 R 4X =0

R 1Y kn R 1X R 1Z R 4Y R 3Y 4 R 4X R 3Z R 3X R 4Z. -90 kn. 80 kn 80 kn R 1Y =10 R 1X =-10 R 4Y =10 R 1Z =0 R 3Y =70 4 R 3X =-70 R 4X =0 27. Uzay kafes örnek çözümleri Örnek 27.: Şekil 27. de verilen uzay kafes sistem çelik borulardan imal edilecektir. a noktasındaki dış yüklerden oluşan eleman kuvvetleri, reaksiyonlar, gerilmeler ve düğüm

Detaylı

Rentech. Yaylar ve Makaralar Deney Seti. Yaylar ve Makaralar Deney Seti. (Yay Sabiti, Salınım Periyodu, Kuvvet ve Yol Ölçümleri) Öğrenci Deney Föyü

Rentech. Yaylar ve Makaralar Deney Seti. Yaylar ve Makaralar Deney Seti. (Yay Sabiti, Salınım Periyodu, Kuvvet ve Yol Ölçümleri) Öğrenci Deney Föyü (Yay Sabiti, Salınım Periyodu, Kuvvet ve Yol Ölçümleri) Öğrenci Deney Föyü 1 Anara-2015 Paetleme Listesi 1. Yaylar ve Maaralar Deney Düzeneği 1.1. Farlı Yay Sabitine Sahip Yaylar 1.2. Maaralar (Teli, İili

Detaylı

2 Serbestlik Dereceli Taşıt Modeli PID Kontrolü

2 Serbestlik Dereceli Taşıt Modeli PID Kontrolü Serbestli Dereceli Taşıt Modeli PID Kontrolü Matematisel Modelin Çıarılması: Hareet denlemlerinin çıarılmasında Lagrange yöntemi ullanılmıştır. Lagrange yöntemi haında detaylı bilgi (Francis,978; Pasin,984;

Detaylı

k olarak veriliyor. Her iki durum icin sistemin lineer olup olmadigini arastirin.

k olarak veriliyor. Her iki durum icin sistemin lineer olup olmadigini arastirin. LINEER SISTEMLER Muhendislite herhangibir sistem seil(ref: xqs402) dei gibi didortgen blo icinde gosterilir. Sisteme disaridan eti eden fatorler giris, sistemin bu girislere arsi gosterdigi tepi ciis olara

Detaylı

Kuvvet kavramı TEMAS KUVVETLERİ KUVVET KAVRAMI. Fiziksel temas sonucu ortaya çıkarlar BÖLÜM 5 HAREKET KANUNLARI

Kuvvet kavramı TEMAS KUVVETLERİ KUVVET KAVRAMI. Fiziksel temas sonucu ortaya çıkarlar BÖLÜM 5 HAREKET KANUNLARI BÖLÜM 5 HAREKET KANUNLARI 1. Kuvvet avramı. Newton un 1. yasası ve eylemsiz sistemler 3. Kütle 4. Newton un. yasası 5. Kütle-çeim uvveti ve ağırlı 6. Newton un 3. yasası 7. Newton yasalarının bazı uygulamaları

Detaylı

ÖABT LİSE MATEMATİK KPSS 2016 ANALİZ DİFERANSİYEL DENKLEMLER. Eğitimde

ÖABT LİSE MATEMATİK KPSS 2016 ANALİZ DİFERANSİYEL DENKLEMLER. Eğitimde ÖABT LİSE KPSS 2016 Pegem Aademi Sınav Komisyonu; 2015 KPSS ye Pegem Yayınları ile hazırlanan adayların, 40'ın üzerinde soruyu olaylıla çözebildiğini açıladı. MATEMATİK ANALİZ DİFERANSİYEL DENKLEMLER Eğitimde

Detaylı

29. Düzlem çerçeve örnek çözümleri

29. Düzlem çerçeve örnek çözümleri 9. Düzlem çerçeve örnek çözümleri 9. Düzlem çerçeve örnek çözümleri Örnek 9.: NPI00 profili ile imal edilecek olan sağdaki düzlem çerçeveni normal, kesme ve moment diyagramları çizilecektir. Yapı çeliği

Detaylı

25. SEM2015 programı kullanımı

25. SEM2015 programı kullanımı 25. SEM2015 programı kullanımı Basit Kuvvet metodu kullanılarak yazılmış, öğretim amaçlı, basit bir sonlu elemanlar statik analiz programdır. Program kısaca tanıtılacak, sonraki bölümlerde bu program ile

Detaylı

GENETİK ALGORİTMALARDA TEK VE ÇOK NOKTALI ÇAPRAZLAMANIN SÖZDE RASSAL POPULASYONLARA ETKİSİ

GENETİK ALGORİTMALARDA TEK VE ÇOK NOKTALI ÇAPRAZLAMANIN SÖZDE RASSAL POPULASYONLARA ETKİSİ GENETİK ALGORİTMALARDA TEK VE ÇOK NOKTALI ÇARAZLAMANIN SÖZDE RASSAL OULASYONLARA ETKİSİ ınar SANAÇ Ali KARCI Bilgisayar Mühendisliği Bölümü Mühendisli Faültesi Fırat Üniversitesi 239 Elazığ ÖZET Geneti

Detaylı

= + ise bu durumda sinüzoidal frekansı. genlikli ve. biçimindeki bir taşıyıcı sinyalin fazının modüle edildiği düşünülsün.

= + ise bu durumda sinüzoidal frekansı. genlikli ve. biçimindeki bir taşıyıcı sinyalin fazının modüle edildiği düşünülsün. 4.2. çı Modülasyonu Yüse reanslı bir işaret ile bilgi taşıa, işaretin genliğinin, reansının veya azının bir esaj işareti ile odüle edilesi ile gerçeleştirilebilir. Bu üç arlı odülasyon yöntei sırasıyla,

Detaylı

Fizik 101: Ders 24 Gündem

Fizik 101: Ders 24 Gündem Terar Fizi 101: Ders 4 Günde Başlangıç oşullarını ullanara BHH denlelerinin çözüü. Genel fizisel saraç Burulalı saraç BHHte enerji Atoi titreşiler Proble: Düşey yay Proble: taşıa tuneli BHH terar BHH &

Detaylı

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 9 Ağırlık Merkezi ve Geometrik Merkez Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C. Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 9. Ağırlık

Detaylı

VII. BÖLÜM İÇME SUYU ŞEBEKELERİ

VII. BÖLÜM İÇME SUYU ŞEBEKELERİ VII. BÖÜM İÇME SUYU ŞEBEKEERİ İsale hattı ile haznelere getirilen suları sarfiyat yerlerine dağıtan oru sistemine içme suyu şeeesi adı verilir. İçme suyu şeeesi her inada yeteri adar asınçlı suyu ulunduraca

Detaylı

RİJİT CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNEMATİĞİ

RİJİT CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNEMATİĞİ RİJİT CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNEMATİĞİ MUTLAK GENEL DÜZLEMSEL HAREKET: Genel düzlemsel hareket yapan bir karı cisim öteleme ve dönme hareketini eşzamanlı yapar. Eğer cisim ince bir levha olarak gösterilirse,

Detaylı

FL 3 DENEY 4 MALZEMELERDE ELASTĐSĐTE VE KAYMA ELASTĐSĐTE MODÜLLERĐNĐN EĞME VE BURULMA TESTLERĐ ĐLE BELĐRLENMESĐ 1. AMAÇ

FL 3 DENEY 4 MALZEMELERDE ELASTĐSĐTE VE KAYMA ELASTĐSĐTE MODÜLLERĐNĐN EĞME VE BURULMA TESTLERĐ ĐLE BELĐRLENMESĐ 1. AMAÇ Malzemelerde Elastisite ve Kayma Elastisite Modüllerinin Eğme ve Burulma Testleri ile Belirlenmesi 1/5 DENEY 4 MAZEMEERDE EASTĐSĐTE VE KAYMA EASTĐSĐTE MODÜERĐNĐN EĞME VE BURUMA TESTERĐ ĐE BEĐRENMESĐ 1.

Detaylı

ELECO '2012 Elektrik - Elektronik ve Bilgisayar Mühendisliği Sempozyumu, 29 Kasım - 01 Aralık 2012, Bursa

ELECO '2012 Elektrik - Elektronik ve Bilgisayar Mühendisliği Sempozyumu, 29 Kasım - 01 Aralık 2012, Bursa ELECO '2012 Eletri - Eletroni ve Bilgisayar Mühendisliği Sempozyumu, 29 Kasım - 01 ralı 2012, Bursa Lineer Olmayan Dinami Sistemlerin Yapay Sinir ğları ile Modellenmesinde MLP ve RBF Yapılarının Karşılaştırılması

Detaylı

OCAK HAVALANDIRMA ŞEBEKE ANALİZİ İÇİN KOMBİNE BİR YÖNTEM (A COMBINED METHOD FOR THE ANALYSIS OF MINE VENTILATION NETWORKS)

OCAK HAVALANDIRMA ŞEBEKE ANALİZİ İÇİN KOMBİNE BİR YÖNTEM (A COMBINED METHOD FOR THE ANALYSIS OF MINE VENTILATION NETWORKS) ÖZET/ABSTRACT DEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ FEN ve MÜHENDİSLİK DERGİSİ Cilt: 2 Sayı: 2 sh. 49-54 Mayıs 2000 OCAK HAVALANDIRMA ŞEBEKE ANALİZİ İÇİN KOMBİNE BİR YÖNTEM (A COMBINED METHOD FOR THE ANALYSIS OF MINE

Detaylı

m=n şeklindeki matrislere kare matris adı verilir. şeklindeki matrislere ise sütun matrisi denir. şeklindeki A matrisi bir kare matristir.

m=n şeklindeki matrislere kare matris adı verilir. şeklindeki matrislere ise sütun matrisi denir. şeklindeki A matrisi bir kare matristir. Matrisler Satır ve sütunlar halinde düzenlenmiş tabloya matris denir. m satırı, n ise sütunu gösterir. a!! a!" a!! a!" a!! a!! a!! a!! a!" m=n şeklindeki matrislere kare matris adı verilir. [2 3 1] şeklinde,

Detaylı

Dinamik Programlama Tekniğindeki Gelişmeler

Dinamik Programlama Tekniğindeki Gelişmeler MADENCİLİK Aralı December 1991 Cilt Volume XXX Sayı No 4 Dinami Programlama Teniğindei Gelişmeler Developments in Dynamic Programming Technique Ercüment YALÇIN (*) ÖZET Bu yazıda, optimum nihai açı işletme

Detaylı

Doç. Dr. Bilge DORAN

Doç. Dr. Bilge DORAN Doç. Dr. Bilge DORAN Bilgisayar teknolojisinin ilerlemesi doğal olarak Yapı Mühendisliğinin bir bölümü olarak tanımlanabilecek sistem analizi (hesabı) kısmına yansımıştır. Mühendislik biliminde bilindiği

Detaylı

EĞİLME. Köprünün tabyası onun eğilme gerilmesine karşı koyma dayanımı esas alınarak boyutlandırılır.

EĞİLME. Köprünün tabyası onun eğilme gerilmesine karşı koyma dayanımı esas alınarak boyutlandırılır. EĞİLME Köprünün tabyası onun eğilme gerilmesine karşı koyma dayanımı esas alınarak boyutlandırılır. EĞİLME Mühendislikte en önemli yapı ve makine elemanları mil ve kirişlerdir. Bu bölümde, mil ve kirişlerde

Detaylı

Çok Yüksek Mobiliteli Sönümlemeli Kanallardaki OFDM Sistemleri için Kanal Kestirimi

Çok Yüksek Mobiliteli Sönümlemeli Kanallardaki OFDM Sistemleri için Kanal Kestirimi 9-11 Aralı 2009 Ço Yüse Mobiliteli Sönümlemeli Kanallardai OFDM Sistemleri için Kanal Kestirimi İstanbul Üniversitesi Eletri-Eletroni Mühendisliği Bölümü {myalcin, aan}@istanbul.edu.tr Sunum İçeriği Giriş

Detaylı

2. Amaç: Çekme testi yapılarak malzemenin elastiklik modülünün bulunması

2. Amaç: Çekme testi yapılarak malzemenin elastiklik modülünün bulunması 1. Deney Adı: ÇEKME TESTİ 2. Amaç: Çekme testi yapılarak malzemenin elastiklik modülünün bulunması Mühendislik tasarımlarının en önemli özelliklerinin başında öngörülebilir olmaları gelmektedir. Öngörülebilirliğin

Detaylı

YAPI STATİĞİ MESNETLER

YAPI STATİĞİ MESNETLER YAPI STATİĞİ MESNETLER Öğr.Gör. Gültekin BÜYÜKŞENGÜR STATİK Kirişler Yük Ve Mesnet Çeşitleri Mesnetler Ve Mesnet Reaksiyonları 1. Kayıcı Mesnetler 2. Sabit Mesnetler 3. Ankastre (Konsol) Mesnetler 4. Üç

Detaylı

Gerçekte yükler yayılı olup, tekil yük problemlerin çözümünü kolaylaştıran bir idealleştirmedir.

Gerçekte yükler yayılı olup, tekil yük problemlerin çözümünü kolaylaştıran bir idealleştirmedir. STATIK VE MUKAVEMET 4. Ağırlık Merkezi AĞIRLIK MERKEZİ Gerçekte yükler yayılı olup, tekil yük problemlerin çözümünü kolaylaştıran bir idealleştirmedir. Statikte çok küçük bir alana etki eden birbirlerine

Detaylı

ON COMPOSITE LAMINATED PLATES WITH PLANE LOADED ELASTIC STRESS ANALAYSIS

ON COMPOSITE LAMINATED PLATES WITH PLANE LOADED ELASTIC STRESS ANALAYSIS Doğu Anadolu Bölgesi Araştırmaları; 7 DÜZLEMSEL YÜLÜ TABAALI OMPOZİT PLAALARDA ELASTİ GERİLME ANALİZİ *Hamit ADİN, **Bahattin İŞCAN *Dicle Üniversitesi Şırna Mesle Yüseoulu ŞIRNA **Batman Üniversitesi

Detaylı

Elastisite Teorisi Düzlem Problemleri için Sonuç 1

Elastisite Teorisi Düzlem Problemleri için Sonuç 1 Elastisite Teorisi Düzlem Problemleri için Sonuç 1 Düzlem Gerilme durumu için: Bilinmeyenler: Düzlem Şekil değiştirme durumu için: Bilinmeyenler: 3 gerilme bileşeni : 3 gerilme bileşeni : 3 şekil değiştirme

Detaylı

Tanım: Boyuna doğrultuda eksenel basınç kuvveti taşıyan elemanlara Basınç Çubuğu denir.

Tanım: Boyuna doğrultuda eksenel basınç kuvveti taşıyan elemanlara Basınç Çubuğu denir. BASINÇ ÇUBUKLARI Tanım: Boyuna doğrultuda eksenel basınç kuvveti taşıyan elemanlara Basınç Çubuğu denir. Basınç çubukları, sadece eksenel basınç kuvvetine maruz kalırlar. Bu çubuklar üzerinde Eğilme ve

Detaylı

Kİ KARE TESTLERİ. Biyoistatistik (Ders 2: Ki Kare Testleri) Kİ-KARE TESTLERİ. Sağlıktan Yakınma Sigara Var Yok Toplam. İçen. İçmeyen.

Kİ KARE TESTLERİ. Biyoistatistik (Ders 2: Ki Kare Testleri) Kİ-KARE TESTLERİ. Sağlıktan Yakınma Sigara Var Yok Toplam. İçen. İçmeyen. Biyoistatisti (Ders : Ki Kare Testleri) Kİ KARE TESTLERİ Yrd. Doç. Dr. Ünal ERKORKMAZ Saarya Üniversitesi Tıp Faültesi Biyoistatisti Anabilim Dalı uerormaz@saarya.edu.tr Kİ-KARE TESTLERİ 1. Ki-are testleri

Detaylı

ANKARA İLİ DELİCE İLÇESİ KÖPRÜSÜNÜN CPM METODU İLE MÜHENDİSLİK KRİTERLERİNİN BELİRLENMESİ

ANKARA İLİ DELİCE İLÇESİ KÖPRÜSÜNÜN CPM METODU İLE MÜHENDİSLİK KRİTERLERİNİN BELİRLENMESİ P A M U K K A L E Ü N İ V E R S İ T E S İ M Ü H E N D İ S L İ K F A K Ü L T E S İ P A M U K K A L E U N I V E R S I T Y E N G I N E E R I N G C O L L E G E M Ü H E N D İ S L İ K B İ L İ M L E R İ D E R

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Matemat Deneme Sınavı. ii basamalı doğal saıdır. 6 en büü saısı ile en üçü saısının toplamı açtır? 8 89 8 6. için, 9 ( ) ifadesinin sonucu aşağıdailerden hangisidir? 6. ile saıları arasındai çift saıların

Detaylı

İNŞ 320- Betonarme 2 Ders Notları / Prof Dr. Cengiz DÜNDAR Arş. Gör. Duygu BAŞLI

İNŞ 320- Betonarme 2 Ders Notları / Prof Dr. Cengiz DÜNDAR Arş. Gör. Duygu BAŞLI a) Denge Burulması: Yapı sistemi veya elemanında dengeyi sağlayabilmek için burulma momentine gereksinme varsa, burulma denge burulmasıdır. Sözü edilen gereksinme, elastik aşamada değil taşıma gücü aşamasındaki

Detaylı

Prof. Dr. Cengiz DÜNDAR

Prof. Dr. Cengiz DÜNDAR Prof. Dr. Cengiz DÜNDAR TABLALI KESİTLER Betonarme inşaatın monolitik özelliğinden dolayı, döşeme ve kirişler birlikte çalışırlar. Bu nedenle kesit hesabı yapılırken, döşeme parçası kirişin basınç bölgesine

Detaylı

25. SEM2015 programı ve kullanımı

25. SEM2015 programı ve kullanımı 25. SEM2015 programı ve kullanımı Kuvvet metodu kullanılarak yazılmış, öğretim amaçlı, basit bir sonlu elemanlar statik analiz programdır. Program kısaca tanıtılacak, sonraki bölümlerde bu program ile

Detaylı

BETONARME-II ONUR ONAT HAFTA-1 VE HAFTA-II

BETONARME-II ONUR ONAT HAFTA-1 VE HAFTA-II BETONARME-II ONUR ONAT HAFTA-1 VE HAFTA-II GENEL BİLGİLER Yapısal sistemler düşey yüklerin haricinde aşağıda sayılan yatay yüklerin etkisine maruz kalmaktadırlar. 1. Deprem 2. Rüzgar 3. Toprak itkisi 4.

Detaylı

Elastisite Teorisi Hooke Yasası Normal Gerilme-Şekil değiştirme

Elastisite Teorisi Hooke Yasası Normal Gerilme-Şekil değiştirme Elastisite Teorisi Hooke Yasası Normal Gerilme-Şekil değiştirme Gerilme ve Şekil değiştirme bileşenlerinin lineer ilişkileri Hooke Yasası olarak bilinir. Elastisite Modülü (Young Modülü) Tek boyutlu Hooke

Detaylı

Türkiye de Enflasyon ve Döviz Kuru Arasındaki Nedensellik İlişkisi: 1984-2003

Türkiye de Enflasyon ve Döviz Kuru Arasındaki Nedensellik İlişkisi: 1984-2003 Türiye de Enflasyon ve Döviz Kuru Arasındai Nedenselli İlişisi: 1984-2003 The Causal Relationship Between Exchange Rates and Inflation in Turey:1984-2003 Yrd.Doç.Dr. Erem GÜL* Yrd.Doç.Dr. Ayut EKİNCİ**

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

REZA SHIRZAD REZAEI 1

REZA SHIRZAD REZAEI 1 REZA SHIRZAD REZAEI 1 Tezin Amacı Köprü analiz ve modellemesine yönelik çalışma Akberabad kemer köprüsünün analizi ve modellenmesi Tüm gerçek detayların kullanılması Kalibrasyon 2 KEMER KÖPRÜLER Uzun açıklıklar

Detaylı

BÖLÜNMÜŞ FARKLAR (DİVİDED DİFFERENCES)

BÖLÜNMÜŞ FARKLAR (DİVİDED DİFFERENCES) BÖLÜNMÜŞ FARKLAR (DİVİDED DİFFERENCES) Lagrange ve Neville yöntemlerinin bazı olumsuz yanları vardır: İşlem sayısı çok fazladır (bazı başka yöntemlere kıyasla) Data setinde bir nokta ilavesi veya çıkartılması

Detaylı

STATIK MUKAVEMET. Doç. Dr. NURHAYAT DEĞİRMENCİ

STATIK MUKAVEMET. Doç. Dr. NURHAYAT DEĞİRMENCİ STATIK MUKAVEMET Doç. Dr. NURHAYAT DEĞİRMENCİ STATİK DENGE KOŞULLARI Yapı elemanlarının tasarımında bu elemanlarda oluşan iç kuvvetlerin dağılımının bilinmesi gerekir. Dış ve iç kuvvetlerin belirlenmesinde

Detaylı

İÇİNDEKİLER. ÖNSÖZ... iii İÇİNDEKİLER... v

İÇİNDEKİLER. ÖNSÖZ... iii İÇİNDEKİLER... v İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ... iii İÇİNDEKİLER... v BÖLÜM 1.... 1 1.1. GİRİŞ VE TEMEL KAVRAMLAR... 1 1.2. LİNEER ELASTİSİTE TEORİSİNDE YAPILAN KABULLER... 3 1.3. GERİLME VE GENLEME... 4 1.3.1. Kartezyen Koordinatlarda

Detaylı

ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK KPSS 2016 ANALİZ DİFERANSİYEL DENKLEMLER. Eğitimde

ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK KPSS 2016 ANALİZ DİFERANSİYEL DENKLEMLER. Eğitimde ÖABT İLKÖĞRETİM KPSS 206 Pegem Aademi Sınav Komisyonu; 205 KPSS ye Pegem Yayınları ile hazırlanan adayların, 40'ın üzerinde soruyu olaylıla çözebildiğini açıladı. MATEMATİK ANALİZ DİFERANSİYEL DENKLEMLER

Detaylı

Aşınmadan aynalanan hasar, gelişmiş ülelerde gayri safi milli hasılanın % 1-4 ü arasında maliyete sebep olmata ve bu maliyetin % 36 sını abrasiv aşınm

Aşınmadan aynalanan hasar, gelişmiş ülelerde gayri safi milli hasılanın % 1-4 ü arasında maliyete sebep olmata ve bu maliyetin % 36 sını abrasiv aşınm TİMAK-Tasarım İmalat Analiz Kongresi 6-8 Nisan 006 - BALIKESİR RSM TEKNİĞİ UYGULANARAK DERLİN MALZEMESİNİN OPTİMUM AŞINMA DEĞERİNİN TAHMİN EDİLMESİ Aysun SAĞBAŞ 1, F.Bülent YILMAZ ve Fatih ALTINIŞIK 3

Detaylı

STATIK VE MUKAVEMET 4. Ağırlık Merkezi. Yrd. Doç. Dr. NURHAYAT DEĞİRMENCİ

STATIK VE MUKAVEMET 4. Ağırlık Merkezi. Yrd. Doç. Dr. NURHAYAT DEĞİRMENCİ STATIK VE MUKAVEMET 4. Ağırlık Merkezi Yrd. Doç. Dr. NURHAYAT DEĞİRMENCİ AĞIRLIK MERKEZİ Gerçekte yükler yayılı olup, tekil yük problemlerin çözümünü kolaylaştıran bir idealleştirmedir. Statikte çok küçük

Detaylı

ANKARA İLİ DELİCE İLÇESİ KÖPRÜSÜNÜN CPM METODU İLE MÜHENDİSLİK KRİTERLERİNİN BELİRLENMESİ

ANKARA İLİ DELİCE İLÇESİ KÖPRÜSÜNÜN CPM METODU İLE MÜHENDİSLİK KRİTERLERİNİN BELİRLENMESİ PAMUKKALE ÜNÝVERSÝTESÝ MÜHENDÝSLÝK YIL FAKÜLTESÝ PAMUKKALE UNIVERSITY ENGINEERING CÝLT COLLEGE MÜHENDÝSLÝK BÝLÝMLERÝ SAYI DERGÝSÝ JOURNAL OF ENGINEERING SAYFA SCIENCES : 1995 : 1 : 2-3 : 95-103 ANKARA

Detaylı

Biyoistatistik (Ders 7: Bağımlı Gruplarda İkiden Çok Örneklem Testleri)

Biyoistatistik (Ders 7: Bağımlı Gruplarda İkiden Çok Örneklem Testleri) ÖRNEKLEM TESTLERİ BAĞIMLI GRUPLARDA ÖRNEKLEM TESTLERİ Yrd. Doç. Dr. Ünal ERKORKMAZ Saarya Üniversitesi Tıp Faültesi Biyoistatisti Anabilim Dalı uerormaz@saarya.edu.tr BAĞIMLI İKİDEN ÇOK GRUBUN KARŞILAŞTIRILMASINA

Detaylı

KİRİŞLERDE PLASTİK MAFSALIN PLASTİKLEŞME BÖLGESİNİ VEREN BİLGİSAYAR YAZILIMI

KİRİŞLERDE PLASTİK MAFSALIN PLASTİKLEŞME BÖLGESİNİ VEREN BİLGİSAYAR YAZILIMI IM 566 LİMİT ANALİZ DÖNEM PROJESİ KİRİŞLERDE PLASTİK MAFSALIN PLASTİKLEŞME BÖLGESİNİ VEREN BİLGİSAYAR YAZILIMI HAZIRLAYAN Bahadır Alyavuz DERS SORUMLUSU Prof. Dr. Sinan Altın GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ

Detaylı