TEK SERBESTLİK DERECELİ TİTREŞİM SİSTEMİNİN LAGUERRE POLİNOMLARI İLE MATRİS ÇÖZÜMÜ

Transkript

1 EK SERBESLİK DERECELİ İREŞİM SİSEMİNİN LAGUERRE POLİNOMLARI İLE MARİS ÇÖZÜMÜ Mehmet ÇEVİK a, Nurcan BAYKUŞ b a Celal Bayar Üniversitesi Maine Mühendisliği Bölümü, Muradiye 454, Manisa. b Douz Eylül Üniversitesi, İzmir Mesle Yüseoulu, Buca 355, İzmir. GİRİŞ Lineer diferansiyel, integral ve integro diferansiyel denlemlerin arışı sınır şartları altında çözümü için ullanılan Laguerre polinomları, bu çalışmada te serbestli dereceli ütle yay probleminin matris çözümüne uygulanmıştır. Bilindiği gibi, te serbestli dereceli ütle-yay sistemleri meani titreşimler onusunun en temel modelidir. Olduça armaşı yapılar bile basit bir te serbestli dereceli sistem olara modellenip, bu suretle yalaşı çözümler elde edilebilir. Dolayısıyla bu sistemin çözümü daha ileri seviyede problemlerin çözümüne önemli bir atı sağlamatadır. Bu sistemin, belirsiz atsayılar yöntemi, freans tepi yöntemi, geometri yöntem ve Laplace dönüşümleri gibi yöntemlerle çözümü çeşitli temel aynalarda bulunmatadır [,2]; ayrıca aylor polinomları ile matris çözümü de daha önce yapılmıştır [3]. Laguerre matrislerini diferansiyel denlemlerin çözümünde ullanan çalışmalar literatürde mevcuttur [4-6]. Bu çalışmada ise, Laguerre polinomları tanıtıldıtan sonra problemin matris formunda ifadesi elde edilmiş; yine matris formunda yazılan sınır şartları yerlerine onulara Laguerre polinomları cinsinden bir çözüm bulunmuştur. Bulunan sonuçlar diğer yöntemlerle elde edilen sonuçlar ile arşılaştırılmış ve önerilen yöntemin olduça iyi sonuçlar verdiği gösterilmiştir. 2. PROBLEMİN LAGUERRE MARİS İFADESİ Laguerre polinomları, aşağıdai Laguerre diferansiyel denleminin çözümü olara tanımlanmışlardır: [7-8] xy + ( x )y + ny = Negatif olmayan n tamsayılarına arşılı gelen çözümler aşağıdai Rodrigues formülü ullanılara ifade edilebilir: x n e d x n L n( x ) = n ( e x ) n! dx İl biraç Laguerre polinomu şunlardır: L ( x ) = L ( x ) = x + 2 L 2( x ) = x 2x L 3( x ) = x + x 3x M n i ( ) n i L n( x ) = x x b < + i = i! n i Bu polinomlar matris formunda şu şeilde ifade edilebilirler: L ( x ) = [ L ( x ) L ( x ) L N ( x )] Bu matrisi aşağıdai daha uygun formda yazma mümündür () L( x ) = X( x ) H (2)

2 burada 2 X( x ) x x K x N = ve K K 2 K 2 H = 3 3 K 2 6 M M M M O M 2 3 N ( ) N ( ) N ( ) N ( ) N ( ) N K!! 2! 2 3! 3 N! N Genel olara, m inci mertebe sabit atsayılı bir lineer diferansiyel denlem şu şeilde yazılabilir m ( ) P y ( x ) = g( x ) x b Benzer şeilde şartları da şöyle ifade etme mümündür ( ) ( ) ( ) < + (3) a y ( ) + b y ( b ) = λ j =,,...,m (4) j j j Denlem (3) ün yalaşı bir çözümününün aşağıdai Laguerre polinom formunda olduğunu düşünelim: = N y( x ) anl n( x ), x,t b < (5) n= burada a j, b j, λ j uygun sabitlerdir; a n, n =,, 2, K,N belirlenmeleri gereen Laguerre atsayılarıdır ve L n( x ) ise () de tanımlanmış olan Laguerre polinomlarıdır. 2. EMEL MARİS BAĞINILARI Denlem (3) ü ısaca D( x ) = g( x ) şelinde yazabiliriz, burada (6) = m ( ) D( x ) P y ( x ) (7) Şimdi, y( x ) ( ) çözümü ve türevleri y ( x ) ile D( x ) ve (4) şartları matris formuna dönüştürülecelerdir. () 2.. y(x) ve y (x) için matris bağıntıları y( x ) çözüm fonsiyonu aynı zamanda aşağıdai formda bir esilmiş aylor serisine açılabilir ( n ) = N n y( x ) ynx y ( ), yn = (8) n= n! (5) ve (8) çözümleri ile bunların türevleri matris formunda, sırasıyla, şöyle yazılabilir [ y( x )] = L( x ) A, ( ) ( ) y ( x ) = L ( x ) A (9)

3 burada [ ] = X Y y( x ) ( x ), ( ) ( ) y ( x ) = X ( x ) Y () [ a a a a ] bilinmeyen Laguerre atsayıları ve [ y y y y ] A = 2 K N Y = 2 K N bilinmeyen aylor atsayılarıdır. Öte yandan, Laguerre polinomları aşağıdai yinelenme bağıntısını (recurrence relation) sağlarlar [9] L n ( x ) = L n- ( x ) L n-( x ) () Denlem ()'i ullanara L ( x ) = L ( x ) L ( x ) = L ( x ) L ( x ) = L ( x ) L ( x ) = L ( x ) L ( x ) 2 L ( x ) = L ( x ) L ( x ) = L ( x ) L ( x ) L ( x ) M L N ( x ) = L ( x ) L ( x ) K L N ( x ) yazılabilir. Denlem (2)'den açıça görülmetedir i, L(x) matrisi ile türevleri arasındai bağıntı ( ( x )) = ( ( x )) L E L veya L ( x ) = L( x ) E (3) dır. Burada L ( x ) = L ( x ) L ( x ) L ( x ) K L ( x ) L ( x ) [ ] 2 N E = (9) ve (3) matris denlemlerinden y ( x ) = L( x ) E A (4) olduğunu çıarma mümündür. (3) ve (4) denlemlerini ullanara, yinelenme bağıntısını şu şeilde ifade edebiliriz ( ) ( ) y ( x ) = L( x ) E A 2.2. D(x) diferansiyel ısmı için matris bağıntısı (5) ifadesini denlem (7) de yerine oyarsa bulunur. m [ D( x )] P ( x )( ) = N (2) (5) L E A (6) 2.3. Karışı şartlar için matris bağıntısı (4)'te verilen şartların matris formunu (2) ve (5)'i ullanara şöyle yazabiliriz a j ( ) b j ( b ) a j ( ) b j ( b ) λ ij ( ) ( ) ( ) ( ) burada j =,, 2,...,m L + L E A = X + X H E A = (7) 2.4. g(x) fonsiyonunun matris ifadesi

4 Denlem (3)'tei homojen olmayan terimin yalaşı değeri, esilmiş Laguerre serisi ile ifade edilebilir g( x ) = L( x ) G (8) burada G, g( x ) fonsiyonunun Laguerre atsayılarını ifade etmetedir. Bu terimin yalaşı değeri esilmiş aylor serisi ile de aşağıdai gibi ifade edilebilir g( x ) = X( x ) G t (9) burada G = [ g g K g ] t N (8) ve (9) denlemlerini eşitleyere ve denlem (2)'yi ullanara yazılabilir. ( ) G = H G t 3. ÇÖZÜM YÖNEMİ emel matris denlemini oluşturma için, (6) ve (8) matris bağıntıları (6)'da yerlerine onulur ve gereli sadeleştirmeler yapılırsa m P ( E ) A = G (2) elde edilir. Bu denlem ( N + ) bilinmeyen a,a,...,a n Laguerre atsayısına arşılı gelen ( + ) N denlem sistemini ifade eder. Denlem (2)'yi ısaca şöyle yazabiliriz WA = G veya [ W;G ] (2) burada m W = wpq = P ( E ), p,q =,,...,N Öte yandan, (4) şartlarının matris formu olan (7)'yi de şöyle yazabiliriz UjA = λ j or Uj;λ j, j =,, 2,...,m (22) burada ( a j ( ) b j ( b )) ( ) U = L + L E j u j u j K u jn, j =,, 2,...,m (3) denleminin (4) şartları altında genel çözümünü elde etme için, (2) matrisinin m adet satırının yerine m-satırlı (22) matrisini oyarız ve yeni genişletilmiş matrisi elde ederiz [,] w w K w N ; g( x ) w w w N ; g( x ) K M M O M M M wn m, wn m, K w N m,n ; g( x N m ) W;G % % = u u K u N ; λ u u K u N ; λ M M O M M M um, um, K u m,n ; λ Eğer ran W % = ran W;G % % =N + ise, bu tatirde (23)

5 ( % ) A = W G % olur. Şunu da belirtme gereir i, eğer W % teil bir matris olursa, m-satırlı (22) matrisi, W % matrisinin herhangi başa m satırının yerine onulara teilli giderilebilir. Nihayet, bilinmeyen a, ( n =,,...,N ) Laguerre atsayıları (24) vasıtasıyla bulunmuş olurlar. n 4. SAYISAL UYGULAMA Harmoni zorlama etisindei te serbestli dereceli ütle-yay-sönüm modelinin hareet denlemi M && y + C y& + K y = F cos ω t ve başlangıç oşulları y( ) =. 4 y( & ) = olara verilmiştir. Cismin ütlesi M = g, sönüm atsayısı C = 5 g/s ve yay sabiti K = N/m olara seçilmiştir. Zorlama fonsiyonunun genliği F = N ve freans ω = rad/s 'dir. Bu örnete, y( t ) fonsiyonunun yalaşı çözümünü bulma için derecesi N = 4 olan Laguerre polinomu ullanılmıştır. Özel çözüm ile genel çözüm ayrı ayrı incelenmiştir. üm matris işlemleri MALAB 6.5. programı ullanılara yapılmıştır. Bu işlemlere ait MALAB algoritması E'te verilmiştir. Özel Çözüm Özel çözüm için genişletilmiş matris (2) ullanılmış ve başlangıç şartları diate alınmamıştır. Dolayısıyla ( ) ( ) ( ) 2 W = E + 5 E + E 5 G t = G= Genişletilmiş matris denlemi A için çözülere Laguerre atsayıları elde edilir ve yalaşı özel çözüm şu şeilde bulunur y ( t ) =. 348L L L L L L L p L L L L L L +. 35L. L Genel Çözüm Genel çözümde, genişletilmiş matris denlemi (23)'ü oluşturma için (2) matrisinin son ii satırı yerine 2-satırlı (2) matrisi U j;λ j yerleştirilir. Bu durumda 5 G % t = olur. (24) ullanılara genel çözüme ait Laguerre atsayıları bulunur; böylece genel çözüm elde edilir y ( t ) =. 5L +. 59L 3. 46L L L L L g L L L L L L L. 884L (24)

6 Şeil 'de, Laguerre matris yöntemi ile bulunan sonuçlar, belirsiz atsayılar yöntemi (tam çözüm) ile bulunan sonuçlarla arşılaştırılmıştır. Sonuçların birbirleri ile ço uyumlu olduları görülmetedir. Şeil. Laguerre matris yöntemi ile tam çözüm sonuçlarının arşılaştırılması. Homojen Çözüm Sistem lineer olduğu için, yuarıda bulunan genel çözümden özel çözüm çıarılara homojen çözüm elde edilir. 5. SONUÇLAR e serbestli dereceli ütle-yay-sönüm sisteminin serbest ve zorlamalı titreşimleri Laguerre polinomlarına dayalı matris yöntemi ile incelenmiştir. Bu yöntem, hareet denlemlerini matris formundai denlemlere çevirir, i bu matris denlemler bilinmeyen Laguerre atsayılarına ait lineer cebirsel denlem sistemlerine arşılı gelmetedir. Yalaşı çözüm fonsiyonu ise bu matris denlemlerin çözülmesiyle olayca elde edilmetedir. Elde edilen sonuçlar tam çözüm ile arşılaştırılmış ve çözüm aralığında bulunan sonuçların birbirleri ile uyumlu olduları görülmüştür. Kullanılan yöntem olduça prati olmasının yanında hassas sonuçlar da vermetedir. Laguerre matris yöntemi değişen atsayılı diferansiyel, integral ve integro-diferansiyel denlemlere de uygulanabilir. KAYNAKLAR [] Meirovitch, L., Elements of Vibration Analysis, McGraw-Hill Inc., New Yor, 975. [2] Inman, D.J., Engineering Vibration, Prentice-Hall, New Jersey, 2. [3] Çevi, M., Kurt, N., e serbestli dereceli titreşim sisteminin aylor matris yöntemi ile polinom çözümü, XVI. Ulusal Meani Kongresi Bildiriler Kitabı, Cilt-, 29. [4] Dattoli, G., Laguerre and generalized Hermite polynomials: the point of view of the operational method, Integral ransform Spec. Functions, 5, 93-99, 24. [5] R.S. Alassar, H.A. Mavromatis, S.A. Sofianos, A new integral involving the product of Bessel functions and associated Laguerre polynomials, Acta Appl. Math., , 28. [6] A.D. Alhaidari, Evaluation of integrals involving orthogonal polynomials: Laguerre polynomial and Bessel function example, Appl. Math. Lett. 2, 38-42, 27. [7] S. Lyanaga, Y. Kawada, Encyclopedic Dictionary of Mathematics, MI Press, 98.

7 [8] D. Zwillinger, Handboo of Differential Equations, Academic Press, 998. [9] E. Kreyszig, Introductory Functional Analysis with Applications, John Wiley & Sons, 978. [] S.B. ricovic, M.S. Stanovic, A new approach to the orthogonality of the Laguerre and Hermite polynomials, Integral ransform Spec. Funct. 7, , 26. [] Kurt, N., Sezer, M., Polynomial solution of high-order linear Fredholm integrodifferential equations with constant coefficients, Journal of he Franlin Institute, 345, , 28. E. Sayısal Uygulama için MALAB Algoritması syms m c x m=; c=5; = % Import data from MS-Excel: H, E, Gt matrices W=m*(E')^2+c*(E')+*(E')^; WD=W % Replace the last 2 rows of WD by the following 2-row initial condition matrix G=inv(H')*Gt GD=G % Replace the last 2 rows of GD by initial conditions [.4; ] AP = inv(w)*g; AG = inv(wd)*gd; X= [, x, x^2, x^3, x^4, x^5, x^6, x^7, x^8, x^9, x^, x^, x^2, x^3, x^4] L=X*H'; YP=L*AP; YG=L*AG; ezplot (SG,[,]) ezplot (SP,[,])